Phương pháp giải phương trình vô tỷ

CHUN ĐỀ: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ
GV. Cao Thanh Phương
Bài tốn mở đầu:
2
Giải phương trình: 1 +
x − x 2 = x + 1 − x ( 1)
3
Đ/k: 0 ≤ x ≤ 1
Cách 1:
2

 2

2
1+
x − x 2 = x + 1 − x ⇔ 1 +
x − x2 ÷ =
3
 3


(

)

(

(

x + 1− x

)

)

2

⇔ 4 x − x2 − 6 x − x2 = 0 ⇔ x − x2 4 x − x2 − 6 = 0
 x − x2 = 0
x = 0
⇔ 
⇔
3
2
x = 1
 x − x = 2
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là x = 0, x = 1 .
Cách 2:
t2 −1
Đặt t = x + 1 − x 1 ≤ t ≤ 2 ⇒ x − x 2 =
2
Phương trình trở thành:
t = 1
x = 1
t2 − 1
1+
=t⇔
⇔ x + 1− x = 1 ⇔ 
3
 t = 2 ( không thỏa mãn )
x = 0

Cách 3: Đặt a = x ; b = 1 − x ; a ≥ 0, b ≥ 0
Ta có:
 2

1 + ab = a + b
3 + 2ab = 3 ( a + b )
⇔
 3
2
a + b ) − 2ab = 1
a 2 + b 2 = 1

(


 a + b = 1
 a = 0


ab
=
0


x = 0
b = 1
⇔  a + b = 2
⇔
⇒
 a = 1


x = 1

khô
n
g
tồ
n
tạ
i
a
,
b
)
3 (

 b = 0
ab =

2

Cách 4:

π
2
Phương trình trở thành:
2
2
1 + sin α 1 − sin 2 α = sin α + 1 − sin 2 α ⇔ ( sin α + cos α ) − 3 ( sin α + cos α ) + 2 = 0
3

Đặt

x = sin α ,0 ≤ α ≤

α = 0
sin α + cos α = 1
x = 0
⇔
⇔
⇒
π
α =
sin α + cos α = 2 ( không tồn tại α )
x = 1

2

Qua ví dụ trên ta thấy có rất nhiều cách để giải pt vơ tỷ. Sau đây tơi đi vào một số pp cụ thể
Trang 1


1.Phương pháp 1:Biến đổi tương đương
Bài toán: Giải phương trình sau
x 2 + 5x + x3 + 2 x + 1 = x + 1
Đk: x 3 + 2 x + 1 ≥ 0; x 2 + 5 x + x 3 + 2 x + 1 ≥ 0;
 x + 1 ≥ 0
x 2 + 5x + x3 + 2 x + 1 = x + 1 ⇔  2
2
3
 x + 5 x + x + 2 x + 1 = ( x + 1)

 x ≥ −1


1
 x ≥ −1
1
 −1 ≤ x ≤
⇔
⇔ ≥x
⇔
⇔ x = 0 (TMÑK)
3
3
3
x
+
2
x
+
1
=
1
−
3
x

 x = 0; x = 1; x = 8


 x 3 + 2 x + 1 = ( 1 − 3x ) 2


2.Phương pháp2:Đặt ẩn số phụ

)

(

3
3
3
3
Bài toán: Giải phương trình: x 35 − x x + 35 − x = 30

Đặt t = x + 3 35 − x 3 ⇒ x 3 35 − x 3 =

t 3 − 35
3t

Phương trình đã cho trở thành
 x3 = 8
x = 2
t 3 − 35
3
3
3
3
3
.t = 30 ⇔ t = 125 ⇔ t = 5 ⇔ x 35 − x = 6 ⇔ x 35 − x = 216 ⇔  3
⇔
3t

x = 3
 x = 27
3. Phương pháp 3:Phương pháp làm xuất hiện biểu thức liên hợp

(

Bài toán: Giải phương trình:
Đk: x ≥ 1

(

x −1 + x + 2

)(

(

x −1 + x + 2

)(

)

)

x2 + x − 2 −1 = 3

)

x 2 + x − 2 − 1 = 3 ⇔ ( x + 2 ) − ( x − 1) 

(

) (

x2 + x − 2 −1 = 3 − x −1 + x + 2

 x2 + x − 2 −1 ≥ 0

⇔ x + x − 2 −1 = − x −1 + x + 2 ⇔ 
2
2
 x + x − 2 −1 = − x −1 + x + 2

2
x + x − 2 ≥ 1
 x 2 + x − 2 ≥ 1

⇔ 2
⇔  x = 2
⇔ x = 2 (TMÑK).
 x − x − 2 = 0
  x = −1

4. Phương pháp 4: Đưa về phương trình tích
Bài toán: Giải phương trình: x + 3 + 2 x x + 1 = 2 x + x 2 + 4 x + 3
Đk: x ≥ −1
2

) (

(

x + 3 + 2x x + 1 = 2x + x2 + 4x + 3 ⇔ x + 3 −

(

)

(

)

(

( x + 1) ( x + 3) − ( 2 x − 2 x

⇔ x + 3 1− x +1 − 2x 1− x +1 = 0 ⇔ 1− x +1
1 − x + 1 = 0
x = 0
⇔
⇔
(TMÑK) .
 x + 3 − 2 x = 0
x = 1

Trang 2

)(

)

x + 3 − 2x = 0

)

2

)

x +1 = 0

)


5. Phương pháp 5:Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình
Bài toán: Giải phương trình: 2 x + 8 − 3 2 x − 9 = 5
Đk: x ≥ −4
Đặt a = 2 x + 8 ≥ 0; b = 3 2 x − 9 ≥ 3 −17
 b = −1
2
 a − b = 5
a = b + 5

3
⇔ 2
⇒ ( b + 5 ) − b = 17 ⇒  b = −2
Ta có:  2
3
3

 a − b = 17
a − b = 17
b = 4

Với
b = −1 ⇒ 3 2 x − 9 = − 1 ⇔ x = 4
1
b = −2 ⇒ 3 2 x − 9 = −2 ⇔ x =
2
73
b = 4 ⇒ 3 2x − 9 = 4 ⇔ x =
2
1
73
Vậy nghiệm của pt là x = 4, x = , x = .
2
2
6. Phương pháp 6: Phương pháp đánh giá:
Bài toán: Giải phương trình: 1 − 2012 x + 1 + 2012 x = x + 1 +

1
x +1

1
1
≤x≤
2012
2012
1
≥ 2 . Dấu = xảy ra khi x = 0.

Ta có: x + 1 +
x +1
Ta có:
Đk: −

(

1 − 2012 x + 1 + 2012 x

)

2

≤ 2 ( 1 − 2012 x + 1 + 2012 x ) = 4 ⇒ 1 − 2012 x + 1 + 2012 x ≤ 2

Dấu = xảy ra khi x = 0. Vậy x = 0 là nghiệm của pt.
7. Phương pháp 7: Phương pháp hàm số
Bài toán: Giải phương trình: x − 1 = − x 2 + 2 x + 17
Đk: x ≥ 1
Dễ thấy
Hàm số f ( x ) = x − 1 đồng biến trên ( 1; +∞ ) .

2
Hàm số g ( x ) = − x + 2 x + 17 nghịch biến trên ( 1; +∞ ) .
Suy ra pt đã cho nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
Ta có: f ( 5) = g ( 5) .
Vậy x = 5 là nghiệm duy nhất.

Trang 3

8. Phương pháp 8: Phương pháp lượng giác hóa
Bài toán: Giải phương trình: 1 + 1 − x 2 = 2 x 2
Đk: −1 ≤ x ≤ 1
Đặt x = cos α ,0 ≤ α ≤ π
Phương trình trở thành

sin α = −1 ( loaïi )
1 + 1 − cos α = 2 cos α ⇔ 1 + sin α = 2 cos α ⇔ 
1
sin α = 2

π
α = 6
3
⇔
⇒x=±
2
α = 5π

6
9. Phương pháp 9: Phương pháp vectơ
2

2

2

2
2

Bài toán:Giải phương trình: x − 4 x + 5 − x − 10 x + 50 = 5
r
r
Chọn a = ( x − 2;1) ; b = ( x − 5;5 )
r
2
a = ( x − 2) + 1 = x2 − 4x + 5
r
2
b = ( x − 5 ) + 52 = x 2 − 10 x + 50

Suy ra:

r r
a − b = x 2 − 4 x + 5 − x 2 − 10 x + 50
r r
r r
a − b = ( 3; −4 ) ⇒ a − b = 5
r r r r
r
r
r
r
Ta có: a − b ≤ a − b , dấu bằng xảy ra khi a = ( x − 2;1) ; b = ( x − 5;5 ) cùng hướng ⇔ a = kb ( k > 0 )

1
 x − 2 = k ( x − 5)
k = 5

⇔ 1 = 5k

⇔
k > 0
x = 5


4
5
Vậy x = .
4

Trang 4