Moon vn Tập hợp và các phép toán về tập hợp (phần 2)

Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

03. TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN VỀ TẬP HỢP – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 2. PHÉP TOÁN VỀ TẬP HỢP
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho A = {0; 1; 2; 3; 4}, B = {2; 3; 4; 5; 6}.
a) Tìm các tập A \ B, B \ A, A ∪ B, A ∩ B.
b) Tìm các tập (A \ B) ∪ (B \ A), (A \ B) ∩ (B \ A).
Lời giải:
a) A \ B = {0;1}
B \ A = {5; 6}
A ∪ B = {0;1; 2; 3; 4; 5; 6}

b) (A \ B) ∪ (B \ A) = {0;1; 5; 6}

A ∩ B = {2; 3; 4}

b) (A \ B) ∩ (B \ A) = ∅

Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho A là tập hợp các học sinh lớp 10 đang học ở trường em, B là tập hợp học sinh đang học tiếng
Anh ở trường em. Hãy diễn đạt bằng lời các tập:
a) A ∩ B
b) A \ B
c) A∪B
d) B \ A
Lời giải:
a) A ∩ B là tập hợp các học sinh lớp 10 học môn Tiếng Anh của trường em.
b) A \ B là tập hợp các học sinh lớp 10 nhưng không học môn tiếng Anh của trường em.

c) A ∪ B là tập hợp các học sinh học lớp 10 hoặc học môn tiếng Anh của trường em.
d) B \ A là tập hợp các học sinh học môn tiếng Anh nhưng không học lớp 10 của trường em.
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hai tập hợp A và B dưới đây. Viết tập A ∩ B, A ∪ B bằng hai cách:
a) A = {x|x là ước nguyên dương của 12}
B = {x|x là ước nguyên dương của 18}
b) A = {x|x là bội nguyên dương của 6}
B = {x|x là ước nguyên dương của 15}
Lời giải:
a) A ∩ B = {x|x là ước nguyên dương của 6} = {1; 2; 3; 6}

A ∪ B = {x|x là ước nguyên dương của 12 hoặc 18} = {1; 2; 3; 4; 6; 9;12;18}

b) A ∩ B = {x|x là bội nguyên dương của 30} = {30; 60; 90; ...30n;...}

A ∪ B = {x|x là bội nguyên dương của 6 hoặc 18} = {6;12;15;18; 24; 30;...}

Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho các tập hợp: A = {1; 2; 3; 4} , B = {2; 4; 6; 8} , C = {3; 4; 5; 6}
Tìm: A∪B, A∪C, B∪C, A∩B, A∩C, B∩C, (A∪B) ∩ C, A ∪ (B∪C).
Lời giải:
Ta có: A∪B = {1; 2; 3; 4; 6; 8}
A∪C = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

A∩B = {2; 4}

(A∪B) ∩ C = {3; 4; 6}

A∩C = {3; 4}

A ∪ (B∪C) = {1; 2; 3; 4; 6}

B∪C = {2; 3; 4; 5; 6; 8}
B∩C = {4; 6}

Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho tập hợp A các ước số tự nhiên của 18 và tập hợp B các ước số tự nhiên của 30. Xác định A, B,
A∪B, A∩B, A \ B, B \ A.
Lời giải:
Ta có: A = {1; 2; 3; 6; 9;18} và B = {1; 2; 3; 5; 6;10;15; 30} nên:
A ∩ B = {1; 2; 3; 6} ;

A ∪ B = {1; 2; 3; 5; 6; 9;10;15;18; 30} ;

A \ B = {9;18} ;

B \ A = {5;10;15; 30} .

Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho A là tập hợp các số tự nhiên chẵn không lớn hơn 10.
B = {n ∈ N n ≤ 6}
C = {n ∈ N 4 ≤ n ≤ 10}
Tìm: a) A ∩ (B ∪ C)

b) (A \ B) ∪ (A \ C) ∪ (B \ C) .
Lời giải:

Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Ta có: A = {2; 4; 6; 8;10} , B = {0;1; 2; 3; 5; 6} , C = {4; 5; 6; 7; 8; 9;10}
a) B ∪ C = {0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;10}

nên A ∩ ( B ∪ C ) = {2; 4; 6; 8;10} = A

b) A \ B = {8;10} , A \ C = {2} , B \ C = {0;1; 2; 3}

nên (A \ B) ∪ (A \ C) ∪ (B \ C) = {0; 1; 2; 3; 8; 10}.

Ví dụ 7: [ĐVH]. Cho A là tập hợp các số nguyên lẻ, B là tập hợp các bội của 3, C là tập hợp các bội của 6. Xác định
A∩B, B∩C, C \ B.
Lời giải:
A ∩ B = { x ∈ Z x lẻ và x là bội của 3} = {3 ( 2k − 1) k ∈ Z } .
B ∩ C = { x ∈ Z x là bôi của 3 hoặc x là bội của 6} = { x ∈ Z x là bội của 3} = B.

C \ B = { x ∈ Z x là bôi của 6 và x không là bội của 3} = ∅ .

DẠNG 3. ĐOẠN, KHOẢNG, NỬA KHOẢNG
Ví dụ 1: [ĐVH]. Xác định tập hợp:
A = ( −3;5] ∪ [8;10] ∪ [ 2;8 )

B = [ 0;2] ∪ ( −∞;5] ∪ (1; +∞ )

C = [ −4;7 ] ∪ ( 0;10 )

Dùng định nghĩa các phép toán ta có:
A = ( −3;10]

B = ( −∞; +∞ ) = R

C = ( 0;7 ]

D = ( −∞;3] ∪ ( −5; +∞ )

D = ( −5;3]

E = ( 3; +∞ ) \ ( −∞;1]
Lời giải:

E = ( 3; +∞ )

D = (1;3] \ [ 0; 4 ) .

F =∅.

Ví dụ 2: [ĐVH]. Xác định các tập hợp sau:
a) ( −3;6 ) ∩ Z ;

b) (1; 2 ) ∩ Z ;

c) (1;2] ∩ Z ;

d) [ −3;5 ) ∩ N .
Lời giải:

Dùng định nghĩa giao các tập hợp, ta có:
a) {−2; − 1; 0;1; 2; 3; 4; 5; 6}

b) ∅

c) {2}
d) {0;1; 2; 3; 4}.
Chú ý: N, Z là tập các số “rời rạc” còn khoảng, nửa khoảng, đoạn là tập các số “trù mật’.
Ví dụ 3: [ĐVH]. Có thể kết luận gì về số a biết:
a) ( −1;3) ∩ ( a; +∞ ) = ∅
b) ( 5; a ) ∩ ( 2;8 ) = ( 2;8 )
Lời giải:
Theo đề bài thì ta có kết quả:
a) a ≥ 3
b) 5 < a ≤ 8

c) [3;12 ) \ ( −∞; a ) = ∅ .
c) a ≥ 12

DẠNG 4. TẬP CON, TẬP BẰNG NHAU
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm tất cả các tập hợp con của tập:
a) A = {a; b}

b) B = {1; 2; 3}

d) D = {a; b; c; d }

c) C = ∅

a) Có 4 tập con: ∅, {a} , {b} , và {a; b} .

Lời giải:

b) Có 8 tập con: ∅, {1} , {2} ,{3} ,{1; 2} ,{2; 3} ,{1; 3} ,{1; 2; 3}.
c) Có 2 tập con: ∅ và {∅}.

d) Có 16 tập con: ∅, {a} , {b} , {c} , {d } , {a; b} , {a; c} , {a; d } , {b; c} , {b; d } , {c; d } , {a; b; c} , {a; b; d } , {b; c; d } và

{a; b; c; d }

Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho A = {1; 2; 3; 4; 5} . Viết tất cả các tập con của A có ít nhất 3 phần tử.
Lời giải:
Các tập con có ít nhất 3 phần tử cùng A là:
{1; 2; 3} , {1; 2; 4} , {1; 2; 5} , {1; 3; 4} , {1; 3; 5} , {1; 4; 5} , {2; 3; 4} , {2; 3; 5} , {2; 4; 5} , {3; 4; 5} , {1; 2; 3; 4} , {1; 2; 3; 5} ,

{1; 2; 4; 5} , {1; 3; 4; 5} , {2; 3; 4; 5} , {1; 2; 3; 4; 5} gồm 16 tập.

Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho A = {1; 2; 3; 4} . Hãy viết tất cả các tập con gồm:
a) 1 phần tử
b) 2 phần tử
Lời giải:
a) {1} , {2} , {3} , {4}.

c) 3 phần tử.

b) {1; 2} , {1; 3} , {1; 4} , {2; 3} , {2; 4} , {3; 4} .
c) {2; 3; 4} , {1; 3; 4} , {1; 2; 4} , {1; 2; 3} .

Ví dụ 4: [ĐVH]. Trong các tập sau, tập nào là tập con của tập nào?
A = {1; 2; 3}
B = { x ∈ N x < 4}

{

C = ( 0; + ∞ )

}

D = x ∈ R 2 x2 − 7 x + 3 = 0

Lời giải:
1 
A = {1; 2; 3} , B = {0;1; 2; 3} , C = ( 0; + ∞ ) , D =  ; 3
2 
Do đó: A ⊂ B, A ⊂ C, D ⊂ C.
Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho các tập hợp:
A = {a; b; c; d }
B = {b; d ; e}
Chứng minh:
a) A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C)
a) A ∩ (B \ C) = {a; b; c; d } ∩ {d } = {d }

C = {a; b; e} .

b) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C)
Lời giải:

(A ∩ B) \ (A ∩ C) = {b; d } \ {a; b} = {d }

Vậy A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C).
b) A \ (B ∩ C) = {a; b; c; d } \ {b; e} = {a; c; d }
(A \ B) ∪ (A \ C) = {a; c} ∪ {c; d } = {a; c; d }

Vậy A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C).

Ví dụ 6: [ĐVH]. Chứng minh rằng:
a) Nếu A ⊂ B thì A ∩ B = A.
b) Với ba tập A, B, C thì A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ C.
a) x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A. Do đó A ∩ B ⊂ A.
x ∈ A ⇒ x ∈ A và x ∈ B (do giả thiết A ⊂ B).
⇒ x ∈ A ∩ B. Do đó A ⊂ A ∩ B. Vậy A ∩ B = A.
b) Giả sử x ∈ A ∩ ( B \ C ) ⇒ x ∈ A và x ∈ ( B \ C ) nên:

Lời giải:

x ∈ A và x ∈ B và x ∉ C ⇒ x ∈ ( A ∩ B ) \ C

Do đó: A ∩ ( B \ C ) ⊂ ( A ∩ B ) \ C

(1)

Ngược lại, giả sử x ∈ ( A ∩ B ) \ C ⇒ x ∈ A ∩ B và x ∉ C
⇒ x ∈ A và x ∈ B và x ∉ C ⇒ x ∈ A và x ∈ ( B \ C )

⇒ x ∈ A ∩ ( B \ C ) . Do đó ( A ∩ B ) \ C ⊂ A ∩ ( B \ C )

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ C.

Ví dụ 7: [ĐVH]. Cho a, b, c, d là những số thực. Hãy so sánh a, b, c, d trong các trường hợp sau:
Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

a) (a; b) ⊂ (c; d)

b) [a; b] ⊂ [c; d]
Lời giải:

Theo định nghĩa tập con ta có:
b) c < a ≤ b < d
a) c ≤ a < b ≤ d
Ví dụ 8: [ĐVH]. Cho tập hợp A. Có thể nói gì về tập hợp B nếu:
b) A ∩ B = A
c)
a) A ∩ B = B
d) A ∪ B = B
e) A \ B = ∅
g)
Lời giải:
Theo định nghĩa ta có:
a) B ⊂ A
b) A ⊂ B
c)

d) A ⊂ B
e) A ⊂ B
g)

A∪ B = A
A\ B = A
B⊂ A
A∩ B = ∅

Ví dụ 9: [ĐVH]. Tìm tất cả các tập hợp X sao cho: {1; 2} ⊂ X ⊂ {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Lời giải:
Tập hợp X phải chứa các phần tử 1; 2 ngoài ra có thể chứa thêm một số phần tử còn lại là 3; 4; 5; tức là X là tập hợp
của 2 tập A = {1; 2} và tập B, với B là tập con của tập {3; 4; 5}.
Vậy các tập X cần tìm là: {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 2; 4}, {1; 2; 5}, {1; 2; 3; 4}, {1; 2; 3; 5}, {1; 2; 4; 5}, {1; 2; 3; 4; 5},
Ví dụ 10: [ĐVH]. Cho X = { x ∈ N 2 < x < 12}.
 A ∩ B = {6; 8;11}

Xác định A ⊂ X; B ⊂ X sao cho  A ∪ {5; 6; 7} = {3; 5; 6; 7; 8;10;11}

{4; 5; 6; 7; 8; 0;10;11} = B ∪ {6;10}
Lời giải:
Từ (1) và (2) suy ra: {3; 6; 8;10;11} ⊂ A

(1)
(2)
(3)

Từ (1) và (3) suy ra: {4; 5; 6; 7; 8; 9;11} ⊂ B

Vậy A = {3; 6; 8;10;11} ⊂ B; B = {4;5;6 7; 8; 9;11}.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Viết lại các tập sau bằng cách liệt kê các phần tử của chúng
a) A = { x ∈ N | x < 7}

b) B = { x ∈ Z | −3 < x < 5}

1
1

c) C =  x | x = k ; k ∈ N ; x ≤ 
2
16 

d) D = { x ∈ R | x 4 − 6 x 2 + 8 = 0}

e) E = {x ∈ N | x là số chính phương nhỏ hơn 100}
f) F = {x ∈ N | x là ước chung của 64 và 120}
g) G = {x ∈ N | x là bội chung của 12 và 20}
Bài 2: [ĐVH]. Trong các tập hợp dưới đây, tập nào khác rỗng? Khi đó, hãy liệt kê các phần tử của chúng?
a) A = { x ∈ R | x 2 + 4 = 5}

b) B = { x ∈ N | 3x + 9 = 6}
c) C = { x ∈ Q | x 2 + 3 = 5}

Bài 3: [ĐVH]. Xác định quan hệ giữa các tập hợp sau?

{

}

a) A = x ∈ R | x − 3 − 2 x = 0 và B = { x ∈ R | x 2 + 2 x − 3 = 0}
b) A = { x ∈ N | x 2 − 2 x + 1 ≥ 10} và B = { x ∈ N | x ≥ 2}

Bài 4: [ĐVH]. Tìm các tập X thỏa mãn {1; 2;3} ⊂ X ⊂ {1; 2;3; 4;5; 6} .
Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Bài 5: [ĐVH]. Trong các tập hợp sau, tập nào là tập con của tập nào?
a) A = {1; 2; 3};
B = {x∈ N| x < 4};
b) A = Tập các ước số tự nhiên của 6;
c) A = Tập các hình bình hành;
C = Tập các hình thoi;
d) A = Tập các tam giác cân;
C = Tập các tam giác vuông;

C = (0; +∞); D = { x ∈ R 2 x 2 − 7 x + 3 = 0} .
B = Tập các ước số tự nhiên của 12.
B = Tập các hình chữ nhật;
D = Tập các hình vuông.
B = Tập các tam giác đều;
D = Tập các tam giác vuông cân.

Bài 6: [ĐVH]. Tìm A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A với:
a) A = {2, 4, 7, 8, 9, 12}, B = {2, 8, 9, 12}

b) A = {2, 4, 6, 9}, B = {1, 2, 3, 4}
c) A = { x ∈ R 2 x 2 − 3x + 1 = 0} ; B = { x ∈ R 2 x − 1 = 1}
d) A = Tập các ước số của 12; B = Tập các ước số của 18.
e) A = { x ∈ R ( x + 1)( x − 2)( x 2 − 8 x + 15) = 0} ; B = Tập các số nguyên tố có một chữ số.
f) A = { x ∈ Z x 2 < 4} ; B = { x ∈ Z (5 x − 3 x 2 )( x 2 − 2 x − 3) = 0}

g) A = { x ∈ N ( x 2 − 9)( x 2 − 5x − 6) = 0} ; B = {x∈ N|x là số nguyên tố nhỏ hơn 5}
Bài 7: [ĐVH]. Tìm tất cả các tập hợp X sao cho:
a) {1; 2} ⊂ X ⊂ {1; 2; 3; 4; 5}.
b) {1; 2} ∪ X = {1; 2; 3; 4}.
c) X ⊂ {1; 2; 3; 4}, X ⊂ {0; 2; 4; 6; 8}
Bài 8: [ĐVH]. Tìm các tập hợp A, B sao cho:
a) A ∩ B = {0; 1; 2; 3; 4}, A \ B = {–3; –2}, B \ A = {6; 9; 10}.
b) A ∩ B = {1; 2; 3}, A \ B = {4; 5}, B \ A = {6; 9}.
Bài 9: [ĐVH]. Tìm A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A và biểu diễn kết quả trên trục số với:
a) A = [–4; 4], B = [1; 7]
b) A = [–4; –2], B = (3; 7]
c) A = [–4; –2], B = (3; 7)
d) A = (–∞; –2], B = [3; +∞)
e) A = [3; +∞), B = (0; 4)
f) A = (1; 4), B = (2; 6)
Bài 10: [ĐVH]. Tìm A ∪ B ∪ C, A ∩ B ∩ C và biểu diễn kết quả trên trục số với:
a) A = [1; 4], B = (2; 6), C = (1; 2)
b) A = (–∞; –2], B = [3; +∞), C = (0; 4)
c) A = [0; 4], B = (1; 5), C = (−3; 1]
d) A = (−∞; 2], B = [2; +∞), C = (0; 3)
e) A = (−5; 1], B = [3; +∞), C = (−∞; −2)

Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!