CẤU TRÚC PHA CỦA NGƯNG TỤ BOSEEINSTEIN (BEC) MỘT THÀNH PHẦN Ở NHIỆT ĐỘ CỰC THẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÍ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
----------

NGUYỄN THÀNH VINH

CẤU TRÚC PHA CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN
(BEC) MỘT THÀNH PHẦN Ở NHIỆT ĐỘ CỰC THẤP

Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và vật lí toán
Mã số: 60.44.01.03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÍ

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Viết Hòa

HÀ NỘI - 2015


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy
giáo hướng dẫn PGS. TS Lê Viết Hòa, khoa Vật lý trường ĐH Sư Phạm Hà
Nội, người đã trực tiếp hướng dẫn trực tiếp cũng như giúp đỡ tôi trong suốt
quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. Thầy đã cung cấp cho tôi
rất nhiều hiểu biết về một lĩnh vực mới là lí thuyết chuyển pha khi tôi mới bắt
đầu bước vào thực hiện luận văn. Trong quá trình thực hiện luận văn thầy
luôn định hướng, góp ý và sửa chữa những chỗ lỗi sai giúp tôi hoàn thành tốt
luân văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Vật Lý trường ĐH
Sư Phạm Hà Nội, cũng như các thầy cô trong trường đã giảng dạy, giúp đỡ
chúng tôi nhiệt tình trong khoá học này.

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn phòng Sau đại học, các phòng ban, thư
viện trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ và cũng
xin chân thành cảm ơn những bạn bè, đồng nghiệp, đoàn thể cơ quan đã tạo
điều kiện giúp đỡ tôi để tôi hoàn thành luận văn này.
Do hạn chế về thời gian cũng như trình độ bản thân nên luận văn không
tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được mọi ý kiến đóng quý báu và
chỉ bảo của thầy cô, bạn bè và đồng nghiệp để luận văn được hoàn chỉnh hơn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Thành Vinh


DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT
STT

Kí hiệu viết tắt

Chú thích

1

QCD

Sắc động học lượng tử

2

BEC

Ngưng tụ Bose – Einstein

3

CJT

Cornwall Jackiw Tomboulis

4

EOS

Phương trình trạng thái

5

SD

Schwinger-Dyson

6

HF

Hartree-Fock


MỤC LỤC
Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và vật lí toán.....................................................1
HÀ NỘI - 2015..................................................................................................1

DANH MỤC BẢNG
Bảng 1.1. Minh hoạ một số loại chuyển pha và các tham...............................10
số trật tự tương ứng.........................................................................................10
Bảng 1.2. Giá trị của một số chỉ số tới hạn trong lý thuyết Landau................20
Các chỉ số có giá trị như nhau ở cả hai phía của chuyển pha..........................20
Giá trị thực nghiệm là kết quả trung bình mô tả các chuyển pha từ [4]..........20


DANH MỤC HÌNH
Hình 1.1. Sự biến đổi enthanpy và một số biến số nhiệt động thể tích (V),
entropy (S) và nhiệt dung () tại điểm chuyển pha loại một (a) và loại hai (b). .6
Hình 1.2. Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của tham số trật tự................................10
Hình 1.3: Sự phụ thuộc của tham số trật tự enthanpy tự do ở T > T và T < T13
Hình 1.4. Sự phụ thuộc của áp suất vào nhiệt độ trong chuyển pha loại hai và
chuyển pha loại một........................................................................................14
Hình 1.5. Năng lượng tự do như là hàm số của tham số trật tự......................16
Hình 1.6. Sự thay đổi của nhiệt dung ở chuyển pha loại hai...........................18
Đường liền nét: lý thuyết landau, đường đứt nét: thực nghiệm......................18
Hình 1.7. Hệ số từ hoá ở lân cận điểm chuyển pha của hợp kim....................20
Hình 2.1. Chu tuyến được sử dụng trong hình thức luận thời gian thực.........43
Hình 3.1. Sự phụ thuộc nhiệt độ của ở một vài giá trị của µ...........................64
Hình 3.2. Sự phụ thuộc nhiệt độ của tham số trật tự ở một vài giá trị của µ...64
Hình 3.3. Sự phụ thuộc tham số trật tự của thế hiệu dụng..............................65
Hình 3.4. Giản đồ pha trong mặt phẳng (T, µ)................................................65
Hình 3.5. Sự phụ thuộc λ của ở một vài nhiệt độ............................................66
Hình 3.6. Sự phụ thuộc λ của tham số trật tự ở một vài nhiệt độ....................66
Hình 3.7. Sự phụ thuộc tham số trật tự của thế hiệu dụng V tại T = 116nK...67
Hỉnh 3.8. Giản đồ pha trong mặt phẳng (T, λ)................................................67

MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài
Sự tồn tại của ngưng tụ Bose – Eintein (BEC) trong khí Bose ở nhiệt độ
cực thấp đã được Einstein tiên đoán từ năm 1925 nhưng mãi đến năm 1995
mới thực sự được kiểm chứng bằng thực nghiệm và từ đó đến nay việc nghiên
cứu các tính chất vật lý của BEC tạo nên từ khí Bose đã trở thành một trong
những lĩnh vực hấp dẫn nhất của vật lý hiện đại vì nó mở ra một khả năng
thực tế cho việc tạo nên các vật liệu mới với những đặc tính vượt trội so với
các vật liệu truyền thống. Mặc dù đã có nhiều tiến bộ trong việc nghiên cứu
các tính chất của BEC, nhưng vẫn còn nhiều vấn đề chưa được sáng tỏ như
cấu trúc pha, tính bất ổn động lực... Đặc biệt, gần đây thực nghiệm còn chứng
tỏ có thể thay đổi các tham số để điều chỉnh quá trình ngưng tụ theo ý muốn.
Do đó nghiên cứu một cách toàn diện cấu trúc pha của BEC cũng như khảo
sát vai trò của hằng số tương tác là một trong những vấn đề cấp thiết trong
việc hoàn thiện hiểu biết về BEC.
2. Mục đích đề tài
Trong luận văn này chúng ta tập trung nghiên cứu cấu trúc pha của
BEC được tạo ra từ khí Bose một thành phần với mục đích sau:
1. Tìm hiểu lý thuyết chuyển pha và lí thuyết trường ở nhiệt độ và mật
độ hữu hạn.
2. Nghiên cứu cấu trúc pha của BEC một thành phần với các nhiệm vụ
cụ thể: thiết lập phương trình trạng thái, trên cơ sở đó sẽ thực hiện tính số để
vẽ giản đồ pha trong trường hợp nhiệt độ hoặc các hằng số liên kết thay đổi.
3. Đối tượng nghiên cứu
Là khí Bose một thành phần được mô tả bằng mật độ Lagrangian sau:
 ∂ ∇2 
*
*φ + λ( φ*φ)

φ
-μ
φ
÷
£ = φ  - i ÷
2
 ∂t 2m 

1

2


trong đó m, µ tương ứng là khối lượng thuần và thế hóa của hạt vô
hướng mang điện được mô tả bằng trường φ . Còn λ là hằng số liên kết mô tả
sự tự tương tác của trường.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
* Tìm hiểu lý thuyết chuyển pha.
* Tìm hiểu lí thuyết trường ở nhiệt độ và mật độ hữu hạn.
* Tính thế nhiệt động CJT ở gần đúng 2 loop, tiến hành tái
chuẩn hoá thế nhiệt động, từ đó rút ra phương trình khe, phương trình
Swchinger-Dyson… và tiến hành tính số để làm rõ cấu trúc pha BEC trong
khí Bose ở nhiệt độ cực thấp.
5. Phương pháp nghiên cứu của đề tài
Sử dụng các phương pháp đang sử dụng rộng rãi trong lý thuyết trường:
phương pháp gần đúng trường trung bình, phương pháp Hartree-Fock,
phương pháp tính số bằng máy tính điện tử.
6. Cấu trúc của luận văn
Luận văn này trình bày các kết quả thu được khi thực hiện những mục
đích đề ra và được cấu trúc như sau: ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu

tham khảo là phần chính gồm 3 chương:
Chương I: Trình bày tổng quan về lí thuyết chuyển pha.
Chương II: Phương pháp tác dụng hiệu dụng ở nhiệt độ và thế hóa hữu
hạn với những khái niệm cơ bản như: Thế hiệu dụng CJT, hàm Green nhiệt
độ, khai triển loop, hình thức luận thời gian thực và thời gian ảo…
Chương III: Cấu trúc pha của BEC trong khí Bose một thành phần ở
nhiệt độ cực thấp

2


Chương I:
TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT CHUYỂN PHA
1.1. Khái niệm pha và đặc tính của các loại chuyển pha
* Pha là trạng thái của một hệ vật lý với các tính chất và đối xứng xác
định. Ví dụ là: pha rắn, pha lỏng của kim loại và hợp kim; Pha sắt từ, thuận từ
của các vật liệu từ; pha xê nhét, pha thuận xê nhét của các chất điện môi; pha
siêu dẫn hoặc pha dẫn điện của các chất siêu dẫn [1].
* Chuyển pha là sự thay đổi trạng thái từ mức độ đối xứng này sang
mức độ đối xứng khác, hình thành các tính chất mới của vật liệu. Đối xứng đề
cập ở đây có thể là đối xứng tinh thể (chuyển pha rắn - lỏng, chuyển pha xê
nhét - thuận xê nhét), nhưng cũng có thể là đối xứng của các tham số vật lý
khá. Ví dụ: trong chuyển pha sắt từ - thuận từ, đối xứng tinh thể nói chung
không thay đổi nhưng đối xứng của mô men từ thay đổi: các mômen từ có
một phương dị hướng (đối xứng thấp) trong pha sắt từ nhưng lại đẳng hướng
(đối xứng cao) trong pha thuận từ.
* Tại điểm chuyển pha (ở nhiệt độ T = T C ), trạng thái (và do đó các
hàm trạng thái) của hệ có thể thay đổi một cách liên tục (theo phân loại của
Ehrefest đây là chuyển pha loại hai) hoặc có thể thay đổi một cách đột ngột
(chuyển pha loại một) nhưng đối xứng tại điểm chuyển pha bao giờ cũng thay

đổi một cách nhảy bậc. Trong đại đa số các trường hợp đã biết về chuyển pha
loại hai, pha có đối xứng cao thường ứng với nhiệt độ cao, còn pha có đối
xứng thấp ứng với nhiệt độ thấp hơn. Do đó, chuyển pha loại hai từ trạng thái
trật tự sang trạng thái hỗn độn xảy ra khi nhiệt độ tăng. Tuy nhiên đó không
phải là quy luật thống kê nên sẽ có những trường hợp ngoại lệ. Thí dụ, chất xê
nhét Titanát Bari (BaTiO 3 ) có ba điểm chuyển pha, trong đó điểm chuyển pha

3


ở nhiệt độ thấp nhất là T = 190K là chuyển pha từ cấu trúc hệ thoi sang hệ
đơn tà với bậc đối xứng thấp hơn.
Theo lý thuyết nhiệt động, sự thay đổi liên tục của trạng thái tại điểm
chuyển pha loại hai được mô tả bằng các điều kiện sau đây:
- Các hàm thế nhiệt động của hệ thay đổi liên tục khi đi qua điểm
chuyển pha
- Đạo hàm bậc nhất của các thế nhiệt động và (hoặc) các hàm trạng thái
nhiệt động (entropy, thể tích,…) liên tục.
- Đạo hàm bậc nhất của các hàm trạng thái nhiệt động và (hoặc) đạo
hàm bậc hai của các thế nhiệt động có giá trị gián đoạn.
- Các hàm thế nhiệt động thường sử dụng là năng lượng tự do F (nếu
xét với các biến số (T,V) và enthanpy tự do G (nếu xét với các biến sô (p,T)),
…
- Xét năng lượng tự do F với T là nhiệt độ, x i là toạ độ suy rộng (thể
tích mô men từ), X i là lực suy rộng (áp suất, từ trường,…), các điều kiện của
chuyển pha loại hai vừa nêu có thể biểu diễn bằng các phương trình sau đây.
F 1 (T C ) = F 2 (T C )

(1.1)

 ∂F1 
 ∂F2 

÷ = 
÷
 ∂T T
 ∂T T

(1.2a)

 ∂F1 

÷
 ∂X i T

(1.2b)

C

C

C

 ∂F 
=  2 ÷ = x i1 = x i2
 ∂X i T
C

∂2 F1 
∂2 F2 

∂T 2 ÷ ≠ ∂
2 ÷

T
 T T
C

C

Từ điều kiện (1.2a) ta thấy nhiệt dung của hai pha bằng nhau:

 ∂F1 
 ∂F2 

÷ = 
÷ = − S1 = − S2
 ∂T T
 ∂T T
C

C

4

(1.3)


Suy ra Δ S = 0. Mặt khác ta cũng thấy ΔQ = TΔS = 0 tức là tại điểm
chuyển pha loại hai không có ẩn nhiệt kèm theo.
Theo điều kiện (1.2b), Δx i = 0, tức là các toạ độ suy rộng, như thể tích,

mô men từ,… cũng thay đổi liên tục ( ΔV = 0, ΔM = 0,... ).
Hệ quả trực tiếp từ biểu thức (1.3) là bước nhảy của nhiệt dung
x 
 x 
 ∂S 
ΔC p = Δ T  ≠ 0. tương tự, Δ  i  ≠ 0; Δ  i  ≠ 0. Điều này có nghĩa là
 ∂T 
 Ti 
 ∂X i 
1 ∂V 1 ∂ 2G
=
≠ 0; hệ
tại điểm chuyển pha loại hai, hệ số giãn nở nhiệt α =
T ∂T T ∂p∂T
∂M ∂ 2 F
số từ hoá χ =
=
≠ 0. Như vậy có thể nói rằng tại điểm chuyển pha
∂H ∂H 2
loại hai không thể phân biệt được các pha. Khi đi qua điểm chuyển pha loại
hai ta chỉ dịch chuyển khỏi điểm mà qua đó tính chất của các pha và sự phụ
thuộc nhiệt độ của các tính chất đó trở nên khác nhau.
Đối với các chuyển pha loại một, ngược lại các đại lượng nhiệt động là
đạo hàm bậc nhất của thế nhiệt động như mật độ, entropy,… thay đổi đột
ngột, sự biến đổi của enthanpy tự do và một số biến số nhiệt động tại điểm
chuyển pha loại một và loại hai được minh hoạ trên hình 1.1. Ở chuyển pha
loại một, sự sắp xếp lại của mạng tinh thể (sự thay đổi kích thước giữa các
nguyên tử và góc giữa các mặt tinh thể) xảy ra trong một khoảng nhiệt độ
thấp hẹp. Hệ quả là đối xứng của vật thể thay đổi một cách đột ngột. Đồng
thời trạng thái của tinh thể, nội năng và các đại lượng nhiệt động khác sẽ thay

đổi, dẫn đến sự xuất hiện của bước nhảy thể tích và sự thu (hoặc toả) ẩn nhiệt
chuyển pha.

5


G

G

p

p

T

T

(a)

V

S

p

p0

S

(b)

T

TC

TC

TC

C

T

T
TC

T
TC

Hình 1.1. Sự biến đổi enthanpy và một số biến số nhiệt động thể tích (V), entropy (S)
và nhiệt dung ( C P ) tại điểm chuyển pha loại một (a) và loại hai (b)

Theo phân loại của Ehrenfest, cũng có thể tồn tại các chuyển pha cao
hơn, trong trường hợp đó nói chung, có thể gọi là chuyển pha đa tới hạn.
Chuyển pha này có các đặc điểm sau đây:
- Các hàm thế nhiệt động thay đổi liên tục khi đi qua điểm chyển pha.

6

- Một số đạo hàm bậc hai và bậc cao hơn của các thế nhiệt động theo
các biến số trạng thái triệt tiêu tại điểm chuyển pha.
Điểm chuyển pha tương ứng gọi là điểm đa tới hạn. Một cách tổng
quát, người ta còn gọi là chuyển pha loại p. Khi đó điểm đa tới hạn là điểm
mà tại đó có p pha trở nên giống nhau, không thể phân biệt.
1.2. Phân loại chuyển pha
Khái niệm hiện tượng tới hạn được dùng để chỉ các tính chất nhiệt động
của hệ vật lý ở gần nhiệt độ tới hạn trong chuyển pha loại hai hoặc gần điểm
tới hạn trong chuyển pha loại một (khí-lỏng) nói chung.
Có hai cách phân loại chuyển pha:
a - Ehrenfest (1933). Chuyển pha thuộc loại bậc n nếu đạo hàm bậc n
theo nhiệt độ của ít nhất một trong các biến nhiệt động, chẳng hạn hóa thế
μ ( T ) , nội năng E (T) hay entropy S (T), là gián đoạn tại điểm chuyển pha

trong khi các đạo hàm thấp hơn vẫn liên tục.
b – Landau (1937). Landau nhận xét rằng chuyển pha luôn gắn liền
với các đối xứng khác nhau của hệ. Chẳng hạn trong hệ ferromagnetic hai
pha ở hai phía của nhiệt độ tới hạn có những đối xứng không gian khác
nhau. Với T > T C không xảy ra từ hóa, hệ bất biến đối với nhóm O(3). Khi
→

T < TC xảy ra hiện tượng từ hóa tự phát với m ≠ 0 lúc này hệ chỉ còn bất
biến O(2).
Do sự phá vỡ từ đối xứng cao xuống đối xứng thấp, một tham số diễn tả
tính chất của hệ ở pha nhiệt độ thấp cần được đưa vào: đó là tham số trật tự
→

(order parameter). Trong trường hợp ferromagnetic thì tham số trật tự là m với
ba thành phần. Đối với chuyển pha khí – lỏng thì tham số trật tự là hiệu số thể

tích của các pha đồng tồn tại, hiệu số này tiến tới không tại điểm tới hạn.

7


Chuyển pha là bậc một nếu tồn tại một sự thay đổi gián đoạn của tham số trật
tự và là loại hai nếu tham số trật tự tiến tới không liên tục tại T = TC.
Ý tưởng cơ bản là ở điểm tới hạn tham số trật tự là đại lượng quan
trọng duy nhất. Để đơn giản ta hãy xét trường hợp tham số trật tự là một vô
hướng M. Khi tham số trật tự thay đổi một lượng dM thì công sinh ra trên hệ
được viết:
dw = HdM. H – trường liên hợp của M
Trong trường hợp ferromagnetic H chính là trường ngoài tác dụng lên
hệ, khi H = 0, tham số trật tự là hàm chính quy của nhiệt độ, nhưng nó có thể
có đạo hàm gián đoạn tại TC khi H ≠ 0. Sự có mặt của trường ngoài không cho
chuyển pha xảy ra.
Dùng H và T như các biến nhiệt động độc lập ta có thể suy ra tất cả các
hàm nhiệt động từ năng lượng tự do Gibbs G (H, T)
Q ( H,T ) = e − G(H,T)/kT = Tre − H/kT
ˆ

ở đây H là Hamiltonian của hệ.
Độ từ hóa

M=−

∂G
∂H

1 ∂M

V ∂H

Độ nhậy

χ=

Nhiệt dung

∂ 2G
C=T
∂T 2

Nội năng

2

U=G−T

1.3. Tham Số trật tự

8

∂G
∂T


Khái niệm thay đổi đối xứng tại điểm chuyển pha (trừ chuyển pha lỏng
– khí) đã được L.D. Landau đưa ra vào năm 1937. Các bài toán về đối xứng,

η

do đó có một ý nghĩa quan trọng trong các nghiên cứu hiện tượng chuyển pha,
để mô tả sự chuyển pha, hay sự thay đổi (hoặc phá vỡ) đối xứng Landau đã
đưa thêm vào khái niệm tham số trật tự (

). Tham số trật tự là một đại lượng

vật lý có giá trị bằng không trong pha đối xứng cao (hay pha bất trật tự). Khái
niệm tham số trật tự này có ý nghĩa định tính rõ rệt: khi nhiệt độ giảm trật tự
của hệ tăng lên. Như vậy, ngoài các tham số quen thuộc như áp suất p, nhiệt
độ T, lực suy rộng h, các hàm thế nhiệt động của hệ vật lý bây giờ đựơc biểu
diễn như là các hàm số của tham số trật tự, G = G(p,T,h, η ). Tham số trật tự
được sử dụng để mô tả sự thay đổi định tính của hàm thế nhiệt động ở gần
điểm chuyển pha liên quan đến sự áp suất chiếm vị trí tinh thể của các nguyên
tử khác loại trong hợp kim đôi CuZn, của độ từ hoá trong các vật liệu từ, của
độ phân cực trong các chất điện môi,… Do vậy, các tham số trật tự có thể là
các đại lượng vật lý đó (bảng 1.1).
Tham số trật tự η thay đổi từ η = 0 (hỗn độn tuyệt đối) đến η = 1 (trật
tự tuyệt đối) khi được làm lạnh đến thấp hơn nhiệt độ chuyển pha T = T C , vật
có thể bắt đầu thay đổi từ trạng thái hỗn độn sang trạng thái trật tự một phần.
Tiếp tục giảm nhiệt độ, mức độ trật tự có thể hoàn toàn đạt được. Sự phụ
thuộc nhiệt độ của tham số trật tự được minh hoạ trên hình 1.2. Đối với
chuyển pha loại một, η thay đổi một cách nhảy bậc (hình 1.2a). Còn đối với
chuyển pha loại hai, η thay đổi một cách nhảy bậc từ từ (hình 1.2b)

9


η

η

(a)

(b)

Hình 1.2. Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của tham số trật tự
(a) chuyển pha loại một, (b) chuyển pha loại hai

Cần lưu ý rằng, khi khảo sát các đại lượng nhiệt động, hàm thế nhiệt
động là hàm của p,T, h và của cả η . Tuy nhiên trong một chừng mực nhất
định, biến số η không thể đứng ngang hàng với các biến số p, và T, trong khi
nhiệt độ và áp suất có thể cho trước một cách tuỳ ý, thì giá trị thực tế của η
cần phải được được xác định từ điều kiện cân bằng nhiệt động tức là từ điều
kiện cực tiểu của năng lượng.
Bảng 1.1. Minh hoạ một số loại chuyển pha và các tham
số trật tự tương ứng

Chuyển pha

Thông số trật tự

Chất

T C (K)

Lỏng – khí

Khối lượng riêng

H2 O

373

Sắt từ - thuận từ

Độ từ hoá

Fe

1044

Xê nhét - thuận xê nhét

Độ phân cực

BaTiO 3

408

Siêu dẫn - dẫn điện thường Số cặp Cooper

Pb

7,4

Hêli thường – hêli siêu
chảy

Heli 3

0,002

Cặp Cooper siêu
chảy

Dimethoazoxy- 408,5

Chất lỏng thường – tinh thể Mức độ định hướng
lỏng

Benzen

Hợp kim đồng thau

Zn - Cu
Xác suất chiếm vị trí
tinh thể

10

742


1.4. Năng lượng tự do và hàm thế nhiệt động
Trong vật lý thống kê hàm trạng thái thường được sử dụng để khảo sát
các trạng thái của hệ thông thường là năng lượng tự do F:
F = E – TS

(1.4)

trong đó E là nội năng của vật thể.
Lưu ý rằng:
dE = TdS – pdV

(1.5)

dE = dE – TdS – SdT = - SdT – pdV

(1.6)

nên
Năng lượng tự do F còn được gọi là thế nhiệt động ứng với V và T. Từ
đây ta có thể xác định được:
 ∂F 
 ∂F 
S= −  ÷
và p = − 
÷
 ∂T  V=const
 ∂V T=const

(1.7)

Đặc điểm của thế nhiệt động là nếu biết đại lượng đó và lập đựơc các
đạo hàm riêng của nó, ta có thể xác định được tất cả các đại lượng còn lại.
Theo nghĩa đó, hàm số:
G = E – TS + pV = F + pV

(1.8)

có
dG = – SdT + Vdp
nên cũng được gọi là thế nhiệt động với các biến số p và T (enthanpy). Trong
nhiều tài liệu, các hàm số F và G nhiều khi còn được gọi một cách tương ứng
là năng lượng tự do Helmholtz và năng lượng tự do Gibbs. Trong các khảo
sát từ nay về sau ta sử dụng chủ yếu là hàm năng lượng tự do F và enthanpy
tự do G, khi thảo luận về hiệu ứng thể tích, số hạng pV được đưa vào trong
hàm F.

11


Trước khi trình bày khai triển Landau của năng lượng tự do, chúng ta
hãy nhớ rằng, trong vật lý thống kê, năng lượng tự do thường được xác định
theo tổng thống kê Z như sau:
e
F = – k B TlnZ = k B Tln ∑
n

-E n /k BT

(1.9)

hay:
∂ ( VlnZ )
∂ ( Vlne-E
G = – kB T
= kB T
∂V
∂V

n

/k B T

)

(1.10)

trong đó E n là năng lượng tương tác của hệ với trường ngoài.
Ta sẽ sửa dụng các biểu thức (1.9) và (1.10) để tính toán năng lưọng tự
do, enthanpy tự do và thảo luận các đặc tính chuyển pha trong các chương sau.
Việc tìm hiểu một cách đầy đủ tính chất của thế nhiệt động tại điểm
chuyển pha cho đến nay vẫn còn có những khó khăn lớn. Tuy nhiên, về mặt
toán học và một cách hoàn toàn hiện tượng luận, lý thuyết Landau đã rất
thành công trong việc mô tả các chuyển pha siêu dẫn, chuyển pha xênhét,
chuyển pha từ, …chỉ dựa trên việc khai triển hàm enthanpy tự do theo chuổi
luỹ thừa của tham số trật tự. Ở lân cận điểm chuyển pha, đại lượng η nhận
những giá trị nhỏ bất kỳ, do đó ta có thể khai triển G(p,T, η ) thành chuỗi lũy
thừa của η như sau:
2
3
4
G = G 0 + αη + Aη + βη + Bη + …

(1.11)

trong đó G 0 là enthanpy tự do của hệ trong trạng thái bất trật tự:
α,β,A,B và các hệ số khai triển phụ thuộc vào p và T.

12


A >0

0
η

0

Hình 1.3: Sự phụ thuộc của tham số trật tự enthanpy tự do ở T > T C và T < T C

Trạng thái cân bằng của hệ phải thoã mãn các điều kiện sau đây:
∂F
∂ 2F
= 0 và 2 > 0.
∂T
∂T
Khi đó ta có:
α+

Aβ
B
η + η2 + η3 + ... = 0.
2
3
4

Để trạng thái bất trật tự η=0 ở T > T C , ta có thể cho α=0 . Tiếp tục

biện luận về và giá trị của các hệ số A và β trong các số hạng bậc hai và bậc
ba, trước hết ta có thể nhận xét rằng để η có giá trị hữu hạn, hệ số B của số
hạng bậc bốn ( hay một cách tổng quát là số hạng bậc cao nhất trong khai
triển Landau) phải có giá trị dương. về hệ số A trong số hạng bậc hai, như ta
minh hoạ trên hình 1.3 ta có thể thấy rằng: A > 0 ở T > T C để G có cực tiểu
η = 0 , và A < 0 ở T < T C để G có cực tiểu tại 0 < η ≤ 1. Vì A có dấu đối
nhau ở hai phía của T C nên có thể bằng không tại chính điểm đó. Do vậy ta
có thể đặt:
A(p,T C ) = 0

(1.12)

Có thể xảy ra hai trường hợp với số hạng bậc ba. Số hạng bậc ba có thể
đồng nhất bằng không do tính chất đối xứng của tinh thể (hay của pha tương

13


ứng), β = 0 . Ví dụ đối với các vật liệu từ, enthanpy tự do G là một hàm vô
hướng của các véc tơ từ độ, nên chỉ có thể chứa các số hạng bậc chẵn, nói
cách khác G không được thay đổi theo phép đảo thời gian nhưng mô men từ
có thể thay đổi dấu. Do đó trong khai triển Landau của G theo chuỗi của η
không chứa các số hạng bậc lẻ theo η trong trường hợp này, điểm chuyển pha
chỉ có một điều kiện, A(p,T) = 0. Điều kiện này xác định p, T như hàm số của
nhau. Như vậy trong mặt phẳng (p,T) có tồn tại cả một đường các điểm
chuyển pha loại hai (hình 1.4).
Khi số hạng bậc ba tồn tại, để G( η ) có cực tiểu và là trạng thái bền
vững với η = 0 thì ngoài điều kiện A(p,T C ) = 0 còn phải có thêm β (p,T C ) =
0. Khi đó điểm chuyển pha được xác định bằng trường hợp của chuyển pha
rắn - lỏng, chuyển pha các tinh thể lỏng. Do tồn tại số hạng bậc ba trong khai

triển của enthanpy tự do cho nên chuyển pha này không phải là chuyển pha
loại hai.

p

A(p,T) = 0
Điểm ba
Chuyển pha loại hai

Chuyển pha loại một
T

Hình 1.4. Sự phụ thuộc của áp suất vào nhiệt độ trong chuyển pha loại hai và chuyển
pha loại một.

1.5. Hiện tượng tới hạn trong lý thuyết Landau cho chuyển pha loại hai
Lý thuyết hiện tượng luận về chuyển pha của Landau không tính đến số
chiều của tham số trật tự, do đó có thể đơn giản chúng ta có thể xem xét tham

14


số trật tự một chiều η . Trong trường hợp này, năng lượng tự do của hệ ở lân
cận điểm chuyển pha loại hai có thể được viết:
F = F0 +

1 2 1 4
Aη + Bη + ...
2
4

(1.13)

trong đó các hệ số khai triển A và B được giả thíết là các hàm giải tích
của T.
Sự phụ thuộc vào tham số trật tự của năng lượng tự do được biểu diễn
trên hình 1.5. Từ hình này, chúng ta thấy rằng:
* Đường cong 1 có cực tiểu năng lượng tại tương ứng với trạng thái bất
trật tự của hệ (ở T > T C ). Điều kiện của trạng thái này là: A > 0 và B > 0.
* Đường cong 3 có cực tiểu năng lượng tại η = η0 ( ≠ 0) tương ứng với
trạng thái trật tự của hệ (T < T C ). Điều kiện của trạng thái này là A < 0, B > 0.
* Đường cong 2 nhận được ở nhiệt độ tới hạn T = T C và là giớn hạn
giữa trạng thái (1) và (3). Điều kiện của trạng thái này là A = 0, B > 0.
Với sự thay đổi liên tục qua điểm chyển pha như vậy, có thể cho phép
biểu diễn sự phụ thuộc nhiệt độ của hệ số A như sau:
A(T) = A 0 (T − T C ) với A 0 > 0

(1.14)

Trong các khảo sát dưới đây, sự phụ thuộc như vậy của hệ số A được
sử dụng, còn hệ số B được giả thiết là một hằng số.
F
A>0

A=0

1

A<0

2

η=0

3

0

15


Hình 1.5. Năng lượng tự do như là hàm số của tham số trật tự

1.5.1. Sự phụ thuộc nhiệt độ của tham số trật tự, chỉ số tới hạn β
Sự biến đổi theo nhiệt độ của η ở gần T C có thể được xác định bằng
cách cực tiểu hoá hàm năng lượng tự do theo η ,

∂F
= 0 . Khi đó nhận được:
∂η

∂F
= Aη + Bη3 = 0
∂η

(1.15)

η(A+Bη2 ) + = 0

(1.16)

Hay:
Các nghiệm tương ứng của phương trình này là:
η1 = 0
η22 = −
η2 = ±

A
B
−

(1.17a)
(1.17b)

1
A
A0
=±
T − TC 2 .
B
B

(1.17c)

Nghiệm số η1 tương ứng với trạng thái bất trật tự ở T > T C . Các
nghiệm số η2 là hoàn toàn giống nhau, tương ứng với các trạng thái trật tự có
hướng ngược nhau của tham số trật tự (ví dụ như véc tơ từ độ trong quá trình
từ hoá và đảo từ, véc tơ độ phân cực và khử phân cực).
Trong các lý thuyết về hiện tượng tới hạn, chỉ số tới hạn β được định
nghĩa như sau:

η ~ (T − TC )β .

(1.18)

Như vậy trong lý thuyết của Landau mô tả ở đây, β nhận giá trị cổ điển
bằng 1/2. Tuy nhiên, giá trị thực nghiệm của β xấp xỉ bằng 0,34 (xem bảng 1.2)
1.5.2. Entropy
Ở lân cận điểm chuyển pha, coi T và η là hai biến độc lập, entropy S
được xác định bởi công thức sau:

16


S= −

∂F
∂A
= Sη
−
0
∂T
∂T

2

(1.19)

Trong pha bất trật tự T = T C + ε , η = 0 nên S 1 = S 0 , còn trong pha bất
trật tự (T = T C − ε ), η2 = −

A
B

Do đó:
A 02
S2 = S0 +
(T − TC )
B

(1.20)

Ở T = T C , S2 = S1 = S0 , do đó entropy là một hàm liên tục của nhiệt độ.
Khi qua chuyển pha loại hai, ΔS = 0 , tức là không có ẩn nhiệt kèm theo
ΔQ=TΔS=0 . Mặt khác, biểu thức (1.20) cũng cho thấy ở T < T C entropy
giảm theo sự giảm của nhiệt độ.
1.5.3. Nhiệt dung
Nhiệt dung đẳng áp của hệ được xác định bằng biểu thức:
 ∂S 
C p = T ÷ .
 ∂T  p

(1.21)

Trong pha đối xứng (hay pha bất trật tự, T = (T C + ε ), S = S 0 , do đó C
p1

=C p0 . Trong pha bất đối xứng (pha trật tự, T = (T C − ε )), từ phương trình

(1.20) ta có:
C p2 = C p0

A 02TC
+
.
B

(1.22)

Tại T = T C , nhiệt dung thay đổi gián đoạn vì C p2 > C p0 , tức là nhiệt
dung tăng lên khi đi từ pha bất trật tự sang pha trật tự. Bước nhảy nhiệt dung
khi T = T C là:
A 02TC
ΔC = C p2 − C p1 = C p2 − C p0 =
.
B

(1.23)

Trong trường hợp này hệ đang xét (hệ đồng nhất chỉ tồn tại trật tự xa),
sự thay đổi của nhiệt dung theo nhiệt độ được biểu diễn trên hình 1.6 (đường
17


cong liền nét). Tuy nhiên các kết quả thực nghiệm đã chỉ ra rằng, nhiệt dung
không thay đổi một cách đột ngột ở trên nhiệt độ chuyển pha mà tăng một
cách từ từ (đường cong đứt nét trên hình 1.6). Như sau đây ta sẽ xét đến, đó là
do sự ảnh hưởng của hiệu ứng thăng giáng tới hạn.
C

Hình 1.6. Sự thay đổi của nhiệt dung ở chuyển pha loại hai

Đường liền nét: lý thuyết landau, đường đứt nét: thực nghiệm

1.5.4. Độ cảm
Chúng ta hãy tiếp tục xét bài toán với việc đưa thêm vào đại lượng lực
tổng quát h. Đại lượng này có liên hệ với tham số trật tự như sau:
h=−

∂F
.
∂η

(1.14)

Dễ dàng nhận thấy rằng nếu η là độ từ hoá M thì h là từ trường đặt vào
H, còn nếu η là độ phân cực điện môi P thì h là cường độ điện trường E,…
Khi có mặt của lực tổng quát, năng lượng bổ sung thêm số hạng − ηh ,
do đó năng lượng tự do có dạng:
1
1
F = F0 + Aη2 + Bη4 +... − hη.
2
4
Điều kiện cực tiểu của F dẫn đến phương trình trạng thái của hệ:
Aη + Bη3 − h = 0

(1.25)

Từ đây ta có phương trình mô tả các đường cong Arrott quen thuộc ở
lân cận điểm chuyển pha:

18


η2 =

1h A
− .
Bη B

(1.26)

Độ cảm đoạn nhiệt χ T được định nghĩa như sau:
 ∂η 
χT =  ÷ .
 ∂h T

(1.27)

Khi đó phương trình (1.26) trở thành:
2
A χ T + 3Bη χ T − 1 = 0 .

(1.28)

Trong pha bất trật tự (T > T C ), η = 0 , do đó:
χ T (T > T C ) =

1
1
=

.
A A 0 ( T − TC )

(1.29)

Đối với chất sắt từ biểu thức (1.29) chính là định luật Curie – Weiss.
Trong pha trật tự, T < T C , η ≠ 0 nên:
χ T (T < T C ) =

1
A+3Bη2

(1.30)

2
η2 được xác định từ phương trình (1.17b) ( η = − A/B ) nên ta nhận được

χ T (T
1
1
=
.
2A 2A 0 (TC − T)

(1.31)

Rõ ràng χ T phân kỳ ở cả hai phía của T C với các chỉ số tới hạn
γ = γ, = 1
Chia phương trình (1.29) cho phương trình (1.310, ta tìm được định

luật “hai lần” (“ rule of two”):

χ T>T

C

χ T
= 2.

(1.32)

C

Để minh hoạ cho định luật “hai lần”, sự phụ thuộc nhiệt độ của độ cảm
từ của hợp kim Fe 64 Ni 36 được trình bày trên hình 1.7

19