Hệ thống, giải bài tập về tích phân chuyển động và các định luật bảo toàn

Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

PHẦN I: MỞ ĐẦU
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết cơ bản của vật lý học, nó
mở rộng và bổ sung cho cơ học cổ điển của Newton. Cơ học lượng tử nghiên
cứu về chuyển động và các đại lượng vật lý liên quan đến chuyển động như
năng lượng và xung lượng của các vật có kích thước nhỏ bé, ở đó có sự thể hiện
rõ rệt của lưỡng tính sóng hạt. Lưỡng tính sóng hạt là tính chất cơ bản của vật
chất, chính vì thế cơ học lượng tử được coi là cơ bản hơn cơ học Newton vì nó
cho phép mô tả chính xác và đúng đắn rất nhiều các hiện tượng vật lý mà cơ học
Newton không thể giải thích được.
Chính vì vậy sự ra đời của cơ học lượng tử giúp chúng ta giải quyết được
những khó khăn mà cơ học cổ điển còn ở trong bế tắc.
Việc học tập và nghiên cứu cơ học lượng tử mà nhất là các đối tượng của
nó là không thể thiếu và cần thiết đối với những ai nghiên cứu vật lý đặc biệt là
với sinh viên khoa Vật Lý.
Việc học tập là rất cần thiết đối với mỗi sinh viên để hoàn thành tốt chương
trình học tập của ngành cũng như của khoa đề ra. Với mỗi môn học đều có hệ
thống kiến thức chuyên biệt và cơ học lượng tử cũng vậy. Do đó nhằm giúp cho
mỗi sinh viên học tập tốt học phần cơ học lượng tử cần có hệ thống kiến thức và
hệ thống bài tập cơ bản phục vụ. Nhằm đáp ứng một phần nhỏ mục đích trên thì
em xin chọn vấn đề “Hệ thống, giải bài tập về tích phân chuyển động và các
định luật bảo toàn” làm đề tài nghiên cứu.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Hệ thống hóa cơ sở lý thuyết.
- Xây dựng được các ví dụ bài tập minh họa cho từng phần cơ bản trong
chương “Sự phụ thuộc đại lượng động lực theo thời gian”.
- Nghiên cứu để mở rộng kiến thức, rèn luyện phương pháp giải bài tập,

phương pháp nghiên cứu khoa học.
III. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Chương “Sự thay đổi đại lượng động lực theo thời gian”.
IV. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương

1


Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

Xây dựng được một số bài tập cơ bản và bài tập nâng cao liên quan minh
họa cho từng phần cơ bản trong chương “Sự thay đổi đại lượng động lực theo
thời gian”.
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Phương pháp chủ yếu là phương pháp lý thuyết.
VI. BỐ CỤC TIỂU LUẬN
Tiểu luận gồm 3 phần:
- Phần 1: Phần mở đầu:
Gồm: Lý do chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu,
nhiệm vụ nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu.
- Phần 2: Phần nội dung
Gồm 2 chương:
 Chương 1: Cơ sở lý thuyết.
 Chương 2: Bài tập
A. Bài tập cơ bản.
B. Bài tập nâng cao.
- Phần 3: Phần kết luận.

SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương

2


Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

PHẦN II: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Đạo hàm của toán tử theo thời gian
Đạo hàm của trị trung bình của đại lượng động lực A bằng trung bình của
đạo hàm của đại lượng động lực A theo thời gian
d
dA
A=
.
dt
dt

Biểu thức đạo hàm theo thời gian của toán tử A:
ˆ ∂A
ˆ i
dA
ˆ ˆ
=
+ [H,A].
dt

∂t h

Phương trình trên còn được gọi là phương trình chuyển động Heisenberg,
đối với số hạng thứ hai ta ký hiệu như sau:
i ˆ ˆ
ˆ}
ˆ ,A
[H, A] = {H


Trong trường hợp đại lượng động lực A không phụ thuộc tường minh vào
thời gian, thì đạo hàm của toán tử A theo thời gian
ˆ
dA
i ˆ ˆ
ˆ ˆ
= [H,A]
= {H,A}.
dt h

2. Tích phân chuyển động
Theo phương trình chuyển động Heisenberg ta thấy rằng A là một tích phân
chuyển động khi:
ˆ i
∂A
ˆ]= 0
ˆ ,A
+ [H
∂t 

⇔

ˆ
∂A
= 0, ˆ ˆ
[H,A] = 0.
∂t

Điều kiện để một đại lượng động lực là tích phân chuyển động là đại lượng
động lực đó không phụ thuộc tường minh vào thời gian và toán tử tương ứng
giao hoán với toán tử Hamilton.
3. Tính đối xứng của không gian, thời gian và các định luật bảo toàn
SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương

3


Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

Cơ học lượng tử cũng có tất cả các định luật bảo toàn như cơ học cổ điển.
Ngoài ra, nó còn bao gồm cả các định luật bảo toàn không có tiền lệ trong cơ
học cổ điển như: bảo toàn chẵn lẻ, bảo toàn tính đối xứng, bảo toàn spin… Khi
một đại lượng động lực là tích phân chuyển động thì nó tuân theo định luật bảo
toàn. Ta sẽ lần lượt xét các định luật sau:
a. Định luật bảo toàn xung lượng
Định luật này liên quan đến tính đồng nhất của không gian. Vì không gian
là đồng nhất nên tính chất vật lý của một hệ kín không thay đổi qua một phép
biến đổi tịnh tiến hệ coi như một tổng thể. Vì tính chất của hệ lượng tử được xác

định bởi toán tử Hamilton của nó, nên tính đồng nhất của không gian thể hiện ở
chỗ toán tử Hamilton bất biến đối với mọi phép biến đổi tịnh tiến. Nếu ta xét
một phép biến đổi tịnh tiến một khoảng rất nhỏ và gọi là toán tử tịnh tiến thì

Tˆδr

Hˆ

ˆ , Tˆ ] = 0
[H
δr

toán tử sẽ giao hoán với toán tử
, nghĩa là
b. Định luật bảo toàn mômen xung lượng
Định luật này liên quan đến tính đẳng hướng của không gian. Vì không
gian là đẳng hướng nên tính chất vật lý của một hệ không đổi theo mọi phương.
Về mặt vật lý, điều đó có nghĩa là Hamiltonian của hệ giao hoán với toán tử
δϕ

quay một góc nhỏ .
c. Định luật bảo toàn năng lượng
Định luật này liên quan đến tính đồng nhất của thời gian. Điều này có nghĩa là
các định luật chuyển động của hệ không phụ thuộc vào việc chọn gốc thời gian.
d. Định luật bảo toàn chẵn lẻ
Định luật bảo toàn chẵn lẻ liên quan đến tính nghịch đảo của không gian.
Đây là phép biến đổi làm thay đổi dấu của tọa độ không gian của hạt:

x → − x; y → − y; z → − z

Như vậy trong phép biến đổi không gian thì hệ tọa độ phải biến thành hệ
tọa độ trái.
Định luật bảo toàn chẵn lẻ có thể phát biểu theo cách khác: Khi một hệ kín
có số chẵn, lẻ xác định thì số chẵn, lẻ đó không thay đổi theo thời gian.

SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương

4


Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

CHƯƠNG II: BÀI TẬP
Trong chương này khi làm bài tập chúng ta có thể áp dụng một số tính chất
và các giao hoán từ sau để dễ dàng tính toán, trong đó
(1) Các tính chất:
(1.1) Phản đối xứng:

[ Aˆ , Bˆ ] = −[ Bˆ , Aˆ ],

(1.2) Giao hoán với một số vô hướng a:
(1.3) Phân phối đối với phép cộng:
(1.4) Phân phối đối với phép nhân:
(1.5) Đồng nhất Jacobi:

[ Aˆ , a ] = 0,

[ Aˆ + Bˆ , Cˆ ] = [ Aˆ , Cˆ ] + [ Bˆ , Cˆ ],

ˆ ˆ , Cˆ ] = [ Aˆ , Cˆ ]Bˆ + Aˆ[ Bˆ , Cˆ ],
[ AB

[ Aˆ [ Bˆ , Cˆ ]] + [ Bˆ ,[Cˆ , Aˆ ]] + [Cˆ ,[ Aˆ , Bˆ ]] = 0.

(2) Các hệ thức giao hoán:
(2.1)
(2.2)

 xˆ j , xˆk  = 0,
 pˆ j , pˆ k  = 0,

[ pˆ , xˆ ] = −i δ
j

(2.3)

k

jk

[ f ( x), pˆ x ] = ih
(2.4)
(2.5)
(2.6)
(2.7)

(với

1 khi j = k 

δ jk = 
÷,
0 khi j ≠ k 

∂f ( x )
,
∂x

 Lˆ j , xˆk  = i hε jkl xˆl ,


 Lˆ j , pˆ k  = i hε jkl pˆ l ,


 Lˆ j , Lˆk  = i hε jkl lˆl ,



 Lˆ j , lˆ2  = 0,



(2.8)
SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương

5


Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

ε jkl

với
bằng:
0, khi có ít nhất 2 chỉ số j, k, l trùng nhau,
hay +1, khi các hoán vị j, k, l cùng chiều kim đồng hồ,
hay - 1, khi các hoán vị j, k, l ngược chiều kim đồng hồ.
A. BÀI TẬP CƠ BẢN
1. Bài tập 1
Chứng minh rằng đạo hàm theo thời gian của tổng và tích của hai toán tử cũng
tuân theo quy luật giống như đạo hàm của tổng và tích của hai số thông thường.
Lời giải:
+ Chứng minh đạo hàm của tổng hai toán tử theo thời gian.
Sử dụng hệ thức đạo hàm của tổng hai toán tử theo thời gian, ta có
d ˆ ˆ
∂ ( Aˆ + Bˆ ) i ˆ ˆ ˆ
( A + B) =
+ [ H , A + B].
dt
∂t
h
(1)
Ta cần chứng minh rằng
d ˆ ˆ dAˆ dBˆ
( A + B) =
+
dt
dt dt

sử dụng công thức tính đạo hàm theo thời gian của hai toán tử
dAˆ dBˆ ∂Aˆ i ˆ ˆ ∂Bˆ i ˆ ˆ
+
=
+ ( H , A) +
+ [ H , B]
dt dt ∂t 
∂t 

=

Aˆ

và

Bˆ

=

∂Aˆ i ˆ ˆ ˆ ˆ ∂Bˆ i ˆ ˆ ˆ ˆ
+ ( HA − A H ) +
+ ( HB − B H )
∂t 
∂t 

=

∂ Aˆ + Bˆ i ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
+ ( H A − AH + H B − B H ]
∂t



=

∂ Aˆ + Bˆ i ˆ ˆ ˆ
+ ( H ( A + B ) − ( Aˆ + Bˆ ) Hˆ )
∂t


(

)

(

)

(

∂ Aˆ + Bˆ

SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương

∂t

) + i [ Hˆ , Aˆ + Bˆ ]
h

6

. (2)

, ta có


Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

Cách khác là từ (1), áp dụng tính chất của toán tử ta được:

(

∂ Aˆ + Bˆ
∂t

) + i [Hˆ , Aˆ + Bˆ ] = ∂Aˆ + i [ Hˆ , Aˆ ] + ∂Bˆ + i [ Hˆ , Bˆ ]
∂t

h

h

∂T

h

. (3)
Từ (1) và (2) hoặc (3) ta có thể suy ra hệ thức cần chứng minh là:
d ˆ ˆ

dAˆ dBˆ
( A + B) =
+
.
dt
dt dt
+ Chứng minh đạo hàm của tích hai toán tử theo thời gian:
Sử dụng hệ thức đạo hàm của tích hai toán tử theo thời gian, ta có
ˆ ˆ) i
d ˆˆ
∂ ( AB
ˆ Bˆ ]
( AB) =
+ [ Hˆ , A
dt
∂T
h
. (4)
Ta cần chứng minh rằng:

d ˆˆ
dAˆ ˆ ˆ dBˆ
( AB ) =
B+ A ,
dt
dt
dt
từ (4), ta được
∂ ( Aˆ Bˆ ) i ˆ ˆ ˆ  ∂Aˆ i ˆ ˆ  ˆ ˆ  ∂Bˆ i ˆ ˆ 
+ ( H , AB ) = 

+ [ H , A]  B + A
+ [ H , B ] 
∂t

∂
t

∂
t






. (5)

Cách khác là đi từ
dAˆ ˆ ˆ dBˆ ∂Aˆ ˆ i ˆ ˆ ˆ ˆ ∂Bˆ ˆ i ˆ ˆ
B+ A
=
B + ( H , A) B + A
+ A [ H , B]
dt
dt ∂t

∂t

=

∂Aˆ ˆ i ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ∂Bˆ ˆ i ˆ ˆ ˆ ˆ
B + ( HA − AH ) B + A
+ A ( HB − BH )
∂t

∂t


=

∂Aˆ ˆ ˆ ∂Bˆ i ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
B+ A
+ ( HAB − AHB + AHB − ABH )
∂t
∂t 

=

∂ Aˆ Bˆ i ˆ ˆ ˆ
+ H , AB
∂t


( ) [

]

. (6)
Từ (4) và (5) hoặc (6) ta có thể suy ra hệ thức cần chứng minh là:
SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương

7


Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

d ˆˆ
dAˆ ˆ ˆ dBˆ
( AB) =
B+ A .
dt
dt
dt
2. Bài tập 2
Một hạt dao động điều hòa có điện tích q > 0 và khối lượng m, đặt trong
một điện trường
a) Tính

E0 cos(ωt ).

d p x / dt

và

d E / dt.

b) Giải phương trình cho
Lời giải:

Ta có:

d x / dt

x(t )
, từ đó tìm

khi biết

x(0) = x0 .

d px
d ¶px
d
Px =
ψ
ψ
dt
dt
dt

.

[

a) Sử dụng phương trình chuyển động Heisenberg:
thức giao hoán, ta có: trong đó Hamiltonian có dạng:

ˆ2
Hˆ = p x

dpˆ x i ˆ
= H , pˆ x
dt 

]
và các hệ

+ 1 kx 2 + qxE0 cos(ωt ).
2
2

Do đó
)
d ¶px i  p 2x 1 2
) 
=  + kx + qxE0 cos(ωt ), px 
dt
h  2m 2


i 1 ) )
1
)
)
= (  p 2x , px  + [kx 2 ), px + [qxE0cos(ωt ), p x ]
h 2m
2
= 0 − qxE0 cos(ω t ).

Ta tính được

d
px = − ψ kx + qE0cos (ω t ) ψ = −kx − qE0 cos (ωt )
dt

SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương

8

và


Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

d
E=
dt

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

i  ) )  ∂H
H,H +
− qE0ω xsin (ωt ) .
 ∂t
h
)
dpx / dt

d x / dt

b) Đạo hàm theo thời gian biểu thức

và sử dụng biểu thức

ta được

qE
d2
1 d
k
x=
px = − x − 0 cos(ωt ).
2
m dt
m
m
dt
Phương trình này cho nghiệm là
 k  qE0
x(t ) = x (0)cos 
t÷
÷− mω sin(ω t ) + A,
m



ới A là hằng số được xác định từ điều kiện đầu, và
v
A = 0 , từ đó

x (0) = x0

nên ta được

 k  qE0
x(t ) = x0 cos 
t÷
÷ − mω sin(ω t ).
m



3. Bài tập 3
Đối với hạt chuyển động tự do một chiều theo trục x, các đại lượng nào sau
đây là các tích phân chuyển động: năng lượng, xung lượng, hình chiếu momen
xung lượng trên trục x (Lx)?
Lời giải:
Vì các đại lượng không phụ thuộc tường minh vào thời gian, nên để chứng
minh chúng là các tích phân chuyển động ta chỉ cần chứng minh toán tử tương
ứng giao hoán với toán tử Hamilton, nghĩa là:
) )
) )
) )
 H , H  = 0;  H , Px  = 0;  H , Lx  = 0.

) p) 2
H= x

2m

,

Với:
ta có:

SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương

9


Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

- Về Năng lượng đối với hạt chuyển động tự do một chiều theo trục x:

(

)

1
1
1
 Hˆ , Hˆ  = 2  p) 2x , p) 2x  = 2 p) x  p) 2x , p) x  +  p) 2x , p) x  p) x = 2 p) 2x [ p) x , p) x ] + [ p) x , p) x ] p) 2x = 0
 4m

 



 4m 
2m

(

)

nên Năng lượng là tích phân chuyển động.
- Về Xung lượng đối với hạt chuyển động tự do một chiều theo trục x:

 Hˆ , p) x  = 1  p) 2x , p) 2x  = 1 ( p) x [ p) x , p) x ] + [ p) x , p) x ] p) x ) = 0
 2m

 4m 

,

nên xung lượng là tích phân chuyển động.
- Về hình chiếu mômen xung lượng trên trục x đối với hạt chuyển động tự
do một chiều theo trục x:

)
1
)) ))
) 2 ))
) 2 ))
 Hˆ , Lx  = 1  p) 2x , yp

−
zp

=
z
y
 2m  p x , ypz  −  p x , zp y  = 0,

 2m 

(

tính

) ))
) )
 p 2x , ypz  = y  p 2x , pz  = 0

và

) ))
) )
 p 2x , zp y  = z  p 2x , p y  = 0

)

ta được

) )
 H , Lx  = 0

.

nên Lx cũng là tích phân chuyển động.
4. Bài tập 4: (Cơ sở áp dụng cho một số bài tập tiếp theo)
Cho toán tử Hamilton của một hạt có dạng
)
1 )2 )2 )2
H=
( p x + p y + p z ) + U ( x, y , z ).
2m
Hãy xét đối với bình phương momen xung lượng có phải là một đại lượng
bảo toàn hay không?
Lời giải:
Một đại lượng động lực A được gọi là bảo toàn khi thỏa mãn điều kiện sau
)
∂A i ) )
+  H , A = 0,
∂t h 

SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương

10


Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

ta đang xét đến bình phương momen xung lượng nên ta thấy rằng nó không
phụ thuộc tường minh vào thời gan. Do đó, ta chỉ cần tính giao hoán tử của toán
tử tương ứng với toán tử Hamilton là nó có phải là đại lượng bảo toàn không.
Bình phương momen xung lượng có toán tử tương ứng là:

)
)
)
)
L2 = L2x + L2y + L2z ,

ta có:
) )
) 
1 )2 )2 )2
 H , L2  = 
( p x + p y + p z ) + U ( x, y , z ), L2 
 2m

=

)
1
) )
) )
) )
 p 2x , L2  +  p 2y , L2  +  p 2z , L2  + U ( x, y , z ) , L2  .
2m

(

)

Trước hết, ta lần lượt đi tính

) )
) )
) )
) )
) )
) )
 p 2x , L2  =  p 2x , L2x + p 2y , L2z  =  p 2x , L2x  +  p 2y , L2y  +  p 2z , L2z  ,

ta lần lượt xét các giao hoán sau:

) ) )
) )
) ) )
 p 2x , L2x  = Lx  p 2x , Lx  +  p 2x , Lx  Lx = 0.

) ) )
) )
) ) )
 p 2x , L2y  = Ly  p 2x , Ly  +  p 2x , Ly  Ly
) ) ) )
) ) ) ) ) ) ) )
) ) ) )
= Ly px  px , Ly  + px  p x , Ly  Ly + Ly  p x , Ly  p x +  px , Ly  px Ly
) ) )
) ) )
= 2i h Ly px pz + px p z Ly .

(

)

) ) )
) )
) ) )
 p 2x , L2z  = Lz  p 2x , Lz  +  p 2x , Lz  Lz

) ) ) )
) ) ) ) ) ) ) )
) ) ) )
= Lz px  px , Lz  + px  px , Lz  Lz + Lz  px , Lz  px +  px , Lz  px Lz
) ) )
) ) )
= −2i h Ly px p y + px p y Ly .

(

)

Do đó:

) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
) )
 p 2x , L2  = 2i h Ly px p y + px pZ Ly − Ly p x p y + p x p y Ly

(

Tương tự ta cũng tính và được các kết quả sau:
SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương

11

)

. (1)


Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

) )
) )
)
) )
) )
) )
 p 2y , L2  =  p 2y , Lˆ 2x + L2y + L2z  =  p 2y , L2x  +  p 2y , L2y  +  p 2y , L2z 


) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
= −2ih Lx px pz + px pz Lx − Lz p y px + p y px Lz

(

)

. (2)
)
)

)
)
)
)
)
)
)
)
) )
 p 2z , L2  =  p 2z , L2x + L2y + L2z  =  p 2z , L2x  +  p 2z , L2y  +  p 2z , L2z 

) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
= −2ih Lx pz p y + pz p y Lx − Ly pz px + pz px Ly

(

)

.

(3)

Suy ra:
) )
 p 2z , L2  = 0

)
) ) )
U ( x, y, z ), L2  = U ( x, y, z ), L2x + L2y + L2z 

)
)
)
= U ( x, y, z ), L2x  + U ( x, y, z ), L2y  + U ( x, y, z ), L2z 
)
)
) ) )
)
= Lx U ( x, y, z ), L2x  + U ( x, y, z ), L2x  Lx + Ly U ( x, y, z ), L2y 

) ) )
) )
) )
+ U ( x, y , z ), Ly  Ly + Lz U ( x, y , z ), Lz  Lx + U ( x, y, z ), Lz  Lz .
)
)) ))
U ( x, y, z ), Lx  = U ( x, y, z ), ypz − zp

y
))
))
= [ U ( x, y, z ), ypz ] − U ( x, y, z ), zp y 

)
)
= y [ U ( x, y, z ), p z ] − z U ( x, y, z ), p y 
∂U ( x, y, z ) 
 ∂U ( x, y, z )
= ih y
−z

÷
∂z
∂z



.

(4)

.

(5)

)
 ∂U ( x, y, z )
∂U ( x, y, z ) 
U ( x, y, z ), Lz  = ih x
−y
÷
∂y
∂x


.

(6)

)
∂U ( x, y, z )

∂U ( x, y , z ) 
U ( x, y , z ), Ly  = ih z
−x
÷
∂x
∂z



SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương

12


Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

 )  ∂U ( x, y , z )
)
∂U ( x, y, z )   ∂U ( x, y , z )
∂U ( x, y, z )  )
U ( x, y, z ), L2  = i h Lx  y
−z
+ y
−z

 Lx

∂

z
∂
y
∂
z
∂
y



 

)  ∂U ( x, y, z ) ∂U ( x, y, z )   ∂U ( x, y, z ) ∂U ( x, y, z )  )
+ Ly  z
−x
−x
 + z
 Ly
∂x
∂z
∂x
∂z

 

)  ∂U ( x, y , z )
∂U ( x, y, z )   ∂U ( x, y , z )
∂U ( x, y, z )  ) 
+ Lz  x
−y

+
x
−
y
 
 Lz ÷÷.
∂
y
∂
x
∂
y
∂
x



 
) )
 H , L2  ≠ 0

(7)

Từ (1), (2), (3), (7) ta thấy rằng:
.
Vậy bình phương momen xung lượng không bảo toàn.
5. Bài tập 5
Hạt chuyển động trong một môi trường thế năng phụ thuộc vào x hay
U=U(x) hãy tìm trong các đại lượng động lực sau đại lượng nào là tích phân
chuyển động: năng lượng, các hình chiếu của xung lượng, các hình chiếu của

momen xung lượng và bình phương momen xung lượng.
Lời giải:
Do các đại lượng động lực không phụ thuộc tường minh vào thời gian, nên ta
chỉ cần tính các giao hoán tử của toán tử tương ứng với toán tử Hamilton là được.
Cụ thể cần tính các giao hoán tử sau đây
) )
) )
) )
) )
) )
) )
) )
) )
 H , H  ,  H , p x  ,  H , p y  ,  H , pz  ,  H , Lx  ,  H , Ly  ,  H , Lz  ,  H , L2 
,
)
)
)
p 2x
H =
+ U ( x ).
2m

toán tử Hamilton có dạng như sau:
Áp dụng các tính chất của toán tử và các hệ thức giao hoán, ta có
) )
 H , H  = 0

, do đó năng lượng là tích phân chuyển động.
Ta đi tính các giao hoán tử giữa các toán tử của các hình chiếu xung lượng

lên các trục, ta có
)2
) )
)
)
∂U ( x)
)  1 )2 )
)
 H , px  =  p x
 p x , px  + U ( x), px  = ih
+ U ( x), px  =
,
∂x
 2m
 2m

SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương

13


Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

)2
) )
)
)
)  1 )2 )

)
 H , p y  =  p x
 p x , p y  + U ( x), p y  = 0,
+ U ( x), p y  =
 2m
 2m
)2
) )
)
)
)  1 )2 )
)
 H , pz  =  p x
 p x , pz  + U ( x ), p z  = 0.
+ U ( x), pz  =
 2m
 2m

Đối với các hình chiếu của momen xung lượng lên các trục có các toán tử
) ) )
Lx , Ly , Lz

tương ứng là:
Tính cho

)
Lx

.

thì

)2
) )
)
)  1 )2 )
)
)

p
 H , Lx  =  x
 p x , Lx  + U ( x ), Lx 
+ U ( x), Lx  =
 2m
 2m

=

)
1 ) ) )
) ) )
)) ))
px  px , Lx  +  px , Lx  px + U ( x), ypz − zp y 
2m

(

)

)

)
)
)
))
)
)
))
= U ( x), ypz  − U ( x), zp y  = y U ( x), pz  − z U ( x), p y 
= 0.
Lˆ y

Đối với
[

ˆ
Hˆ Ly

,

, ta có:
pˆ x2

]=[

=

2m

+

Uˆ ( x ) Lˆ y

,

1
ˆ
2m pˆ x pˆ x Ly

(

−

[

,

]=

]+[

ih
( pˆ x pˆ y + pˆ y pˆ x )
2m

=
ih
pˆ x pˆ y
m

=

+ x[

SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương

[

,

pˆ x Lˆ y pˆ x

,

+[

Uˆ ( x ) pˆ y

,

1
2 ˆ
2m pˆ x Ly

]

)+[

ˆˆ y
Uˆ ( x ) xp

,

] - y[

]+[

14

,

,

]

ˆˆ z
ˆ ˆ x xp
Uˆ ( x ) zp

]-[

Uˆ ( x ) pˆ x

Uˆ ( x ) Lˆ y

,

ˆˆx
Uˆ ( x ) yp

,

]

-

]

]


Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

=

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

∂U ( x )
i
pˆ x pˆ y i hy
.
m
∂x
-

Còn đối với

Lˆz

, ta tính như sau

 Pˆ 2

1
 Hˆ , LˆZ  =  X + Uˆ (x), Lˆ Z  =
 pˆ X2 , LˆZ  + Uˆ (x), Lˆ Z 

  2m

 


 2m

=

1
ˆ ˆ y − yˆ pˆ x 
(pˆ X  pˆ X , LˆZ  +  pˆ X , LˆZ  pˆ X ) + Uˆ (x), xp

2m

=

−ih
ˆ ˆ y  − Uˆ (x), yp
ˆˆx 
(pˆ X pˆ y + pˆ y pˆ X ) + Uˆ (x), xp
 

2m

=

ih
pˆ X pˆ y + x Uˆ (x), pˆ y  − y Uˆ (x), pˆ x 
m

=

ih
∂U (x)
pˆ X pˆ y − i hy
.
m
∂x
Lˆ2

Còn đối với bình phương moment xung lượng thì toán tử tương ứng là:
pˆ x2

Hˆ Lˆ

2m

Uˆ ( x ) Lˆ2

1
2
2m pˆ x Lˆ2

Uˆ ( x ) Lˆ2

[ , ]=[
+
, ]=
[ , ]+[
, ]
Từ (7) ở bài tập 4 ta có được:
2i ( Lˆ y pˆ x pˆ z + pˆ x pˆ z Lˆ y − Lˆ y pˆ x pˆ y − pˆ x pˆ y Lˆ y )
pˆ 2X , Lˆ2
[
]=

[

Uˆ ( x ) Lˆ2

,

+

]=

  ∂U ( x )
∂U ( x)   ∂U ( x)
∂U ( x)  ˆ
i  Lˆ x  y
−z
−z
 + y

 Lx
∂z
∂y  
∂z
∂y 
 

∂U ( x)   ∂U ( x)
∂U ( x)  ˆ
 ∂U ( x)
Lˆ y  z
−x
−x
 + z
 Ly
∂z   ∂x
∂z 
 ∂x

SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương

15


Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

+

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

 ∂U ( x)
∂U ( x)   ∂U ( x )
∂U ( x)  ˆ 
Lˆz  x
−y
−y
 + x
 Lz ÷.
∂y
∂x  
∂y
∂x  


[ Hˆ , Lˆ ]

Ta thấy rằng:
# 0.
Như vậy: Năng lượng, hình chiếu của xung lực lên trục y, lên trục z, và
hình chiếu momen xung lượng lên trục x đều là tích phân chuyển động.
B. BÀI TẬP NÂNG CAO
1. Bài tập 1:
Chứng minh trị trung bình của đạo hàm theo thời gian của một đại lượng
vật lý không phụ thuộc tường minh vào thời gian trong trạng thái dừng của phổ
gián đoạn thì bằng 0.
Lời giải:
Gọi A là đại lượng vật lý đang xét, ta có trị trung bình của đạo hàm theo
thời gian của A là:
dA
dAˆ

i
= ψn
ψ n = ψ n  Hˆ , Aˆ ψ n ,
dt
dt
h

khai triển móc ta có
ˆ ˆ.
ˆ ˆ − AH
 Hˆ , Aˆ  = HA



Áp dụng tính chất hermite của toán tử
Hˆ

riêng của toán tử

= Enψ n
Hˆ ψ n

Hˆ

rồi áp dụng phương trình trị

, ta được

(

dA
i
i
= ψ n Hˆ Aˆ − Aˆ Hˆ ψ n = ψ n Hˆ Aˆ ψ n − ψ n Aˆ Hˆ ψ n
dt 


=

(

iE n
ψ n Aˆ ψ n − ψ n Aˆ ψ n


⇒

) =0

dA
= 0.
dt

2. Bài tập 2:
SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương

16

)

Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

Hạt chuyển động trong trường thế U(x). Hãy chứng minh các hệ thức sau:
a.
b.

d 2
ˆˆ X + px
ˆ ˆ x ) / m.
( xˆ ) = ( xp
dt
d
∂U ( x)
ˆˆ x ) = ( pˆ x2 ) / m + xˆ
.
( xp
dt
∂x

d 2
 ∂U ( x) ∂U ( x) 
pˆ x ) = −  pˆ x
+
pˆ x ÷.
(
dt
∂x

∂x



c.
Lời giải:
a. Áp dụng công thức phương trình chuyển động Heisenberg, ta có

{

}

d 2
i
xˆ ) = Hˆ , xˆ 2 =  Hˆ , xˆ 2  ,
(
dt
h

với toán tử Hamilton có dạng
1 2
Hˆ =
pˆ x + U ( x),
2m

do đó
1 2
 1
 Hˆ , xˆ 2  = 
ˆ x + U ( x ), xˆ 2  =

 pˆ x2 , xˆ 2  + U ( x ), xˆ 2 
p


  2m
 2m

[

]

[

]

=

1
1
pˆ x pˆ x , xˆ 2 +
pˆ x , xˆ 2 pˆ x
2m
2m

=

1  
∂  
∂  
 pˆ x − i , xˆ 2  + − i , xˆ 2  pˆ x 

2m   ∂x   ∂x  

=−

ih
ih
ˆˆ x ) = − ( pˆ x xˆ + xp
ˆˆ x ) ,
( pˆ x 2 xˆ + 2 xp
2m
m

như vậy
d 2
( xˆ ) = ( pˆ x xˆ + xpˆˆ x ) / m.
dt
b. Ta có:

SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương

17


Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

pˆ x
d
d

d
−∂U ( x)
−∂U ( x) pˆ x2
VT = ( xˆ. pˆ ) = xˆ. pˆ x + pˆ x . xˆ = xˆ.
+ pˆ x
= xˆ.
+
= VP.
dt
dt
dt
∂x
m
∂x
m
c. Ta có:

d
( pˆ x . pˆ x ) = pˆ x . d . pˆ x + d pˆ x . pˆ x = pˆ x . −∂U ( x) + −∂U ( x) . pˆ x
dt
dt
dt
∂x
∂x

VT =

 ∂U ( x) ∂U ( x) 
= −  pˆ x .
+

. pˆ x ÷ = VP.
∂x
∂x


3. Bài tập 3
Với điều kiện nào thì
Lời giải:
Lz

Lz

và

L2

là những tích phân chuyển động?

L2

Vì và được biểu diễn qua tọa độ và xung lượng nên chúng không phụ
thuộc tường minh vào thời gian. Vì vậy, để chứng minh chúng là tích phân

[Hˆ , Lˆ ] = 0 [ Hˆ , Lˆ ] = 0
2

chuyển động ta chỉ cần chứng minh
cầu, trong đó các toán tử

Hˆ , Lˆ z , Lˆ2

z

và

. Ta sẽ sử dụng tọa độ

có dạng:

Hˆ = Tˆ (r ,θ ,ϕ ) + Uˆ (r ,θ , ϕ ),
∂
Lˆz = −i h ' ,
∂ϕ

Lˆ2 = −h2 ∆θϕ ' .
Với toán tử động năng là


2
2  1 ∂  2 ∂  1
ˆ
T ( r ,θ , φ ) = − ∆ = −  2  r
 + 2 ∆ θφ 
2m
2m  r ∂r  ∂r  r

Phần góc của toán tử Laplace trong hệ tọa độ cầu có dạng

1 
∂ 

∂  ∂2 
∆θφ = 2 sin θ  sin θ  + 2 
∂θ 
∂θ  ∂φ 
sin θ 
SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương

18

’

.


Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

 Hˆ , Lˆz  = Tˆ ( r , θ , ϕ ) + Uˆ ( r , θ , ϕ ) , Lˆz  = Tˆ ( r ,θ , ϕ ) , Lˆ z  + Uˆ ( r ,θ , ϕ ) , Lˆ z 

 
 
 


[ (

= Uˆ ( r ,θ ,φ ) , Lˆ z

)]

.

Muốn cho giao hoán tử trên bằng không thì thế năng phải không phụ thuộc
θ

U = U ( r ,θ )

nghĩa là

.

 Hˆ , Lˆ2  = Tˆ ( r ,θ , ϕ ) + Uˆ ( r ,θ , ϕ ) , Lˆ2  = Tˆ ( r ,θ , ϕ ) , Lˆ2  + Uˆ ( r ,θ ,ϕ ) , Lˆ2 

 
 
 


[(

= Uˆ ( r ,θ ,φ ) , Lˆ2

)]
.

Muốn cho giao hoán tử này bằng không thì thế năng phải không phụ thuộc
vào

θ

và

φ

nghĩa là

U = U (r)

.
Lˆ z

Lˆ2

Như vậy, hạt chuyển động trong trường xuyên tâm thì
và
là những
tích phân chuyển động.
4. Bài tập 4:
Toán tử Hamiiton của hạt mang điện chuyển động trong từ trường có dạng
2
1  ˆ e r
r
ˆ
H=
 P − A÷ + U ( r ) .
2m 
c 


A

Trong đó là thế vectơ, m là khối lượng của hạt.
a) Tìm toán tử vận tốc của hạt.
b) Thiết lập hệ thức giao hoán giữa các toán tử thành phần.
Lời giải:
a) Thay toán tử Hamilton vào công thức tính toán tử vận tốc ta được như sau

2
 dr i ˆ  i  1  ˆ e  
 
v=
= H , r =   P − A  + U ( r ), r 
dt 
  2m 
c 


[ ]

2
i   1  ˆ e r  r
r r 
=    P − A ÷ , r  + U ( r ) , r  ÷
÷
h   2m 
c  


SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương

19


Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

2
i  ˆ e r  r 
=
 P − A ÷ , r 
2mh 
c  

=

i   ˆ e   ˆ e    ˆ e   ˆ e  
  P − A   P − A , r +  P − A , r  P − A  
2m   c   c    c   c  

=

1  ˆ e r
 P − A ÷.
m
c 

b) Tính hệ thức giao hoán giữa các thành phần vận tốc bởi các công thức sau
1 
e 

e 
v x , v y = 2  pˆ x − Ax ,  pˆ y − Ay 
c 
c 
m 

[

]

=

1 
e  e
e
  e 
 pˆ , pˆ y  +  A x , Ay  −  A x , pˆ y  −  pˆ x , A y  ÷
2  x
c  c
m 
c
  c 

=

r
i he  ∂Ax ∂Ay  i he
−
+
=

rot
A
.

÷
z
m2 c  ∂y ∂x  m2 c

[v , v ] = m1
y

z

[ vz , vx ] =

2


e 
e 
 pˆ y − c Ay ,  pˆ z − c Az 




=

1 
e  e
e

  e 
 pˆ , pˆ z  +  A y , Az  −  A y , pˆ z  −  pˆ z , A y  ÷
2  y
c  c
m 
c
  c 

=

r
i he  ∂Ay ∂Az  i he
−
+
=
rot
A

÷
x .
m 2 c  ∂z ∂y  m 2 c

1 
e 
e 
pˆ − Az ,  pˆ x − Ax 
2  z
m 
c 
c 

=

1 
e  e
e
  e 
pˆ , pˆ x ] +  A z , Ax  −  A z , pˆ x  −  pˆ z , A x  ÷
2 [ z
c  c
m 
c
  c 

=

r
ihe  ∂Az ∂Ax  ihe
−
+
=
rot
A
y .
m 2 c  ∂x ∂z ÷ m 2 c

5. Bài tập 5:
SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương

20

Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

Dùng phương trình chuyển động Heisenberg cho tọa độ, hãy chứng tỏ rằng
trị trung bình của xung lượng của hạt ở trạng thái dừng thì bằng không.
Lời giải:
Trị trung bình của xung lượng của hạt ở trạng thái dừng được xác định bởi
công thức sau:
p x = ψ ( x ) pˆ xψ ( x )

(1).
Từ phương trình chuyển động Heisenberg cho tọa độ, ta có
pˆ x = m

[ ]

(

dxˆ
i
i
= m Hˆ , xˆ = m Hˆ xˆ − xˆHˆ
dt



)
(2),

thay (2) vào (1), ta được

i ˆ

ˆ − xH
ˆ ˆ ψ ( x ) ÷ = m i ψ ( x ) Hx
px = ψ  x m Hx
ˆ ˆψ ( x ) − ψ ( x ) xH
ˆ ˆ ψ ( x) .
h


h

(

)

{

Áp dụng tính chất Hermite của toán tử
px = m

{

i ˆ
Hψ ( x ) xˆψ ( x ) − Hˆψ ( x ) xˆψ ( x )
h

Hˆ

, ta có

} = 1h{

Sử dụng phương trình riêng của toán tử
px = m

}

{

Hˆ

Hˆψ ( x ) xˆψ ( x ) − Hˆψ ( x ) xˆψ ( x )

}
.

là:

Hˆ ψ = Eψ

iE
ψ ( x ) xˆψ ( x ) − ψ ( x ) xˆψ ( x )
h

, thì

} = 0.

Như vậy ta có điều phải chứng minh.
6. Bài tập 6:
Hàm Hamilton của dao động tử điều hòa một chiều có dạng
1 2 1
Hˆ =
pˆ x + mω 2 xˆ 2 .
2m
2
Hãy kiểm tra trong các đại lượng sau, đại lượng nào là tích phân chuyển động
a) Năng lượng.
b) Các hình chiếu của xung lượng.
c) Các hình chiếu momen xung lượng.
d) Bình phương momen xung lượng.
Lời giải:
SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương

21


Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

Áp dụng điều kiện để một đại lượng động lực A là tích phân chuyển động
dựa vào công thức sau:
d
∂Aˆ i
A = +  Hˆ , Aˆ  .

dt
∂t h
Hˆ

Với
là hàm Hamilton.
Vì các đại lượng động lực không phụ thuộc tường minh vào thời gian nên
đạo hàm theo thời gian của các đại lượng đó bằng không. Do đó, ta chỉ cần tính
các giao hoán tử của toán tử tương ứng với toán tử Hamilton, ta có:
 Hˆ , Hˆ  =  1 pˆ x2 + 1 mω 2 xˆ 2 , 1 pˆ x2 + 1 mω 2 xˆ 2 


  2m
2
2m
2

ω2
m2ω 4 2 2
2
2
2
2
 pˆ , pˆ  +
 pˆ x , xˆ  +  xˆ , pˆ x  +
 xˆ , xˆ 
=
2
4m 
4 

( 2m ) 
1

2
x

2
x

(

)

=

ω2
pˆ x  pˆ x , x 2  +  pˆ x , x 2  pˆ x + pˆ x  x 2 , pˆ x  +  x 2 , pˆ x  pˆ x
4m

=

ω2
2h2 − 2i hpˆ x − 2h2 + 2i hpˆ x ) = 0.
(
4m

(

)

Do đó, năng lượng là một tích phân chuyển động.
pˆ x

pˆ y pˆ z

b) Các hình chiếu xung lượng tương ứng với các toán tử: , ,
1  1 )2
1
1
2 )2 ) 
) )
 pˆ x2 , pˆ x  +  mω 2 x 2 , pˆ x  = imhx.
 H , p x  2  m px + mω x , px 
2m
2
=
=
1  1 )2
1
1
2 )2 ) 
) )
 pˆ x2 , pˆ y  + mω 2 x 2 , pˆ y  = 0.
 H , p y  2  m px + mω x , p y 
2m
2
=
=
) )
 H , p z 

1  1 )2
) ) 
px + mω 2 x 2 , pz 

2 m


.

1
1
 pˆ x2 , pˆ z  + mω 2 x 2 , pˆ z  = 0.
2m
2

=
=
Như vậy, hình chiếu xung lượng lên trục x không phải là tích phân chuyển
động, còn hình chiếu xung lượng lên trục y và z là tích phân chuyển động.
Lˆx , Lˆ y , Lˆz ,

c) Các hình chiếu momen xung lượn tương ứng với các toán tử:

SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương

22


Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

1 1
1
1
 Hˆ , Lˆx  =  pˆ x2 + mω 2 xˆ 2 , Lˆx  =
 pˆ X2 , Lˆ x  + mω 2 x 2 , Lˆx 
 2m 

 2  m
 2

=

(

)

1
1
ˆ ˆ z − zp
ˆ ˆ y 
pˆ x  pˆ x , Lˆx  +  pˆ x , Lˆx  pˆ x +  mω 2 x 2 , yp
2m
2

mω 2 2
ˆ ˆ z  −  x 2 , zp
ˆ ˆ y  + y  x 2 , pˆ z  − z  x 2 , pˆ y  ) = 0.

=
(  x , yp
2
1 1
1
1
 Hˆ , Lˆ y  =  pˆ x2 + mω 2 xˆ 2 , Lˆ y  =
 2 ˆ 
 2 2 ˆ 
 2m  pˆ x , Ly  + 2 mω x , Ly 

 2  m
=

(

)

1
mω 2 2
 x , zˆ pˆ x − xp
ˆˆ z 
pˆ x  pˆ x , Lˆ y  +  pˆ x , Lˆ y  pˆ x +
2m
2 

ih
mω 2
 x 2 , zˆ pˆ x  −  x 2 , xp
ˆˆ z 

=
( pˆ x pˆ z + pˆ z pˆ x ) +
2m
2

(

ih
mω 2
= pˆ x pˆ z +
z  x 2 , pˆ x  − x  x 2 , pˆ z 
m
2

(

=

)

)

ih
pˆ x pˆ z + mω 2 xi hz.
m

1 1
1
1
 Hˆ , Lˆz  =  pˆ x2 + mω 2 xˆ 2 , Lˆ z  =

 2 ˆ 
 2 2 ˆ 
 2m  pˆ x , Lz  + 2  mω x , Lz 

 2  m

=

(

)

1
mω 2 2
 x , xˆ pˆ y − yp
ˆ ˆ x 
pˆ x  pˆ x , Lˆz  +  pˆ x , Lˆz  pˆ x +
2m
2 

ih
mω 2
 x 2 , xˆ pˆ y  −  x 2 , yˆ pˆ x 
=−
pˆ x pˆ y + pˆ y pˆ x ) +
(
2m
2

(

ih
mω 2
ˆ
ˆ
= px p y +
x  x 2 , pˆ y  − y  x 2 , pˆ x 
m
2

(

=

ih
pˆ x pˆ y − i hymω 2 x.
m

SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương

23

)

)


Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

Do đó, hình chiếu momen xung lượn trên trục x là tích phân chuyển động,
con lên các trục y và z không phải.
d) Bình phương momen xung lượng có toán tử tương ứng là

Lˆ2

.

 Hˆ , Lˆ2  =  pˆ x2 / 2m + Uˆ ( x ) , Lˆ2  = 1  pˆ x2 , Lˆ2  + Uˆ ( x ) , Lˆ2  .

 
 2m 
 


Áp dụng bài tập cơ bản số 4 ta có:

(

)

 pˆ x2 , Lˆ2  = 2ih Lˆ y pˆ x pˆ z + pˆ x pˆ z Lˆ y − Lˆ y pˆ x pˆ y − pˆ x pˆ y Lˆ y .



∂U ( x )
∂U ( x ) ˆ ˆ ∂U ( x )
∂U ( x ) ˆ 


Uˆ ( x ) , Lˆ2  = ih Lˆ y z
+z
Ly − Lz y
−y
Lz ÷


∂x
∂x
∂x
∂x


 ∂ 2U ( x )
∂U ( x )
∂U ( x ) ˆ
∂U ( x )
h2  z 2
−x
+z
L/ y − xy
2
∂x
∂x
∂x
∂x

+ y2

∂ 2U ( x )

∂U ( x ) ˆ 
−y
Lz ÷
2
∂x
∂x


.

 Hˆ , Lˆ2  ≠ 0.



Từ đó, ta được kết quả:
Do đó, bình phương momen xung lượng không phải là tích phân chuyển động.
7. Bài tập 7:
Những đại lượng động lực nào sau đây: năng lượng, các hình chiếu của
xung lượng, các hình chiếu momen xung lượng được bảo toàn khi hạt chuyển
động trong trường thế biến thiên U(z,t) = a(t)z.
Lời giải:
Muốn biết được đại lượng động lực A có phải là đại lượng bảo toàn ta phải
áp dụng công thức sau:
∂Aˆ i  ˆ ˆ 
+ H , A = 0
∂t h 

Trước hết ta xét toán tử Hamilton có dạng:
pˆ 2
1 2 2 2

Hˆ =
+ a( t) z =
( pˆ x + pˆ y + pˆ z ) + a ( t ) z.
2m
2m

SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương

24


Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

Ta có:
∂Hˆ ∂ 1
∂
=
pˆ x2 + pˆ y2 + pˆ z2 ) + a ( t ) z = z a ( t )
(
∂t ∂t 2m
∂t

và

,


i ˆ ˆ

i  pˆ 2
pˆ 2
 H , H  =  + a ( t ) z, + a ( t ) z 
 h 2m
h
2m



 i
i  pˆ 2 pˆ 2  i  pˆ 2
pˆ 2 
=  ,  +  , a(t) z  + a (t) z, 
h  2m 2m  h  2m
2m 
 h

(

i
i
+  a ( t ) z , a ( t ) z  =
a ( t )  pˆ 2 , z  + a ( t )  z , pˆ 2 
h
2 mh

(

=

)

)

i
a ( t )  pˆ z2 , z  + a ( t )  z, pˆ z2  = 0.
2 mh

Do đó,năng lượng không phải là đại lượng bảo toàn
Đối với các đại lượng động lực khác thì nó không phụ thuộc tường minh
vào thời gian do đó ta chỉ cần tính giao hoán tử của toán tử tương ứng với toán
tử Hamilton.
Đối với các hình chiếu momen xung lượng lên các trục có các toán tử
tương ứng là:
Ta có:

pˆ x + pˆ y + pˆ z

.

1
 Hˆ , pˆ x  =  ( pˆ x2 + pˆ y2 + pˆ z2 ) + a ( t ) z , pˆ x 


  2m

=

1 2 2 2
 pˆ x + pˆ y + pˆ z , pˆ x  +  a ( t ) z, pˆ x 

2m 

=

1
 pˆ 2x , pˆ x  +  pˆ y 2 , pˆ x  +  pˆ 2z , pˆ x  + a ( t ) [ z , pˆ x ] = 0.
2m

(

SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương

)

25