Tóm tắt ánh xạ giả đơn điệu và ánh xạ liên tục yếu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

VŨ THỊ BÍCH THỦY

ÁNH XẠ GIẢ ĐƠN ĐIỆU
VÀ ÁNH XẠ LIÊN TỤC YẾU

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01

Hà Nội-2012


2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

VŨ THỊ BÍCH THỦY

ÁNH XẠ GIẢ ĐƠN ĐIỆU
VÀ ÁNH XẠ LIÊN TỤC YẾU

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01

Người hướng dẫn khoa học

TS. TRẦN VĂN BẰNG

Hà Nội-2012


LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2. Trước
hết, tác giả xin bày tỏ sự kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Trần Văn Bằng đã
luôn hướng dẫn và chỉ bảo chu đáo, tận tình, nghiêm khắc trong suốt quá trình tác giả học tập
và nghiên cứu luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Sau đại học, trường Đại học sư phạm
Hà Nội 2 cũng như toàn thể các thầy cô giáo trong trường đã quan tâm và dành cho tác giả
những điều kiện tốt nhất trong thời gian học tập và nghiên cứu tại đây.
Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ, tạo điều kiện của Ban Giám Hiệu Trường THPT
Phúc Yên.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các ý kiến đóng góp xác đáng của các thầy giáo phản biện
để luận văn được hoàn thiện hơn.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo mọi điều kiện
để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2012
Tác giả
Vũ Thị Bích Thủy


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được hoàn thành dưới sự
hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học
nghiên cứu với sự trân trọng biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2012

Tác giả
Vũ Thị Bích Thủy


Mục lục
Mở đầu

v

1 Một số kiến thức chuẩn bị

1

1.1

Giải tích hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

Không gian Banach, không gian lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2

Hàm và ánh xạ trên không gian Banach và không gian đối ngẫu . . . . .

1

1.1.3

Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.4

Tính compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.5

Các định lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2.1

Hàm liên tục và trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2.2

Hàm khả tích Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2.3

Không gian Sobolev

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3

Ánh xạ Nemytskii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4

Công thức Green và một vài bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

2 Ánh xạ giả đơn điệu và ánh xạ liên tục yếu

5

2.1

Các khái niệm cơ bản, phương pháp Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2

Một số tính chất của ánh xạ giả đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.3

Phương trình với ánh xạ đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.4

Phương trình elliptic tựa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.4.1

Bài toán biên đối với phương trình cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.4.2

Công thức nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.4.3

Tính giả đơn điệu, tính bức và sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . .

9

Kết luận

12

Tài liệu tham khảo

13

iii


BẢNG KÍ HIỆU
A

Một ánh xạ,

C(Ω)

C

0,1

(Ω)

Không gian các hàm liên tục trên Ω,
Không gian các hàm liên tục Lipschitz trên Ω,

C(Ω; Rn )

Không gian các hàm liên tục với giá trị trong Rn trên Ω,

cl(·)

Bao đóng của một tập hợp,

div

Divergence của trường vectơ,

L(V1 , V2 )

Không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục A : V1 → V2 ,

p

L (Ω)

Không gian các hàm lũy thừa bậc p khả tích Lebesgue trên Ω,

Lp (Ω; Rn ) Không gian các hàm lũy thừa bậc p khả tích Lebesgue trên Ω
lấy giá trị trong Rn ,
measn (·)

Độ đo Lebesgue n chiều của một tập hợp,

Na

∇2

Ánh xạ Nemytskii cảm sinh bởi a,
∂
∂
∂
Gradient (= grad = i
+j
+ k ),
∂x
∂y
∂z
∂2
∂2
∂2
Laplace, = ∂x2 + ∂y2 + ∂z2 ,

p

Số mũ liên quan đến tính bức của giới hạn cấp cao nhất

∇

của toán tử vi phân,
p =

p
p−1

Số mũ liên hợp của p ∈ [1, +∞],
∗

p∗

Số mũ trong phép nhúng W 1,p (Ω) ⊂ Lp (Ω),

p∗∗

Số mũ trong phép nhúng W 2,p (Ω) ⊂ Lp (Ω),

p#

Số mũ của toán tử vết u → u|Γ ,

W

k,p

∗

(Ω)

Không gian Sobolev các hàm có đạo hàm suy rộng đến
cấp k thuộc Lp (Ω),
Kết thúc chứng minh.


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng đã và đang ngày càng phát triển mạnh mẽ, đem lại
những ứng dụng thiết thực trong các lĩnh vực khoa học và đời sống. Có được sự phát triển
đó là nhờ những tiến bộ quan trọng trong nghiên cứu các môn cơ bản như giải tích hàm, lý
thuyết độ đo, các không gian hàm,. . . , đặc biệt là nhờ những tiến bộ vượt bậc của khoa học
máy tính. Cho đến nay ngày càng có nhiều bài toán đối với các phương trình đạo hàm riêng
phi tuyến phức tạp được giải quyết như các phương trình Schr¨odinger trong cơ học lượng tử,
phương trình Navier-Stokes trong thủy động học,. . . .
Một trong những phương pháp quan trọng và hiệu quả để nghiên cứu bài toán biên là phương
pháp năng lượng. Phương pháp này dựa trên các đánh giá tiên nghiệm (trong vật lý gọi là các
cận của năng lượng). Để có các đánh giá đó, nói chung ta phải dựa trên tính compact yếu
của tập bị chặn trong các không gian Banach phản xạ, và tính giả đơn điệu hay tính liên tục
yếu của các toán tử vi phân (thực chất là tính bị chặn của các toán tử vi phân từ không gian
Banach này vào không gian Banach khác).
Với lý do đó và được sự hướng dẫn của thầy giáo tiến sỹ Trần Văn Bằng em chọn đề tài:
Ánh xạ giả đơn điệu và ánh xạ liên tục yếu,
đặt vấn đề nghiên cứu một cách có hệ thống về hai loại ánh xạ này cùng với những ứng dụng
của chúng đối với bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến.
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu ánh xạ giả đơn điệu và ánh xạ liên tục yếu và các ứng dụng trong giải
phương trình đạo hàm riêng phi tuyến.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn trình bày các tính chất của ánh xạ giả đơn điệu và ánh xạ liên tục yếu từ đó ứng

dụng để giải một số phương trình elliptic tựa tuyến tính, phương trình nửa tuyến tính.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu ánh xạ giả đơn điệu và ánh xạ liên tục yếu, các ứng dụng trong giải phương
trình đạo hàm riêng phi tuyến.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc sách, nghiên cứu tài liệu.
- Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.
6. Những đóng góp mới của đề tài
- Trình bày một cách hệ thống về ánh xạ giả đơn điệu, ánh xạ liên tục yếu.
- Nghiên cứu những ứng dụng của ánh xạ đó đối với việc giải các phương trình đạo hàm
riêng tựa tuyến tính, nửa tuyến tính.


Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
1.1

Giải tích hàm

Phần này hệ thống lại một số kiến thức cơ bản của Giải tích hàm.
1.1.1

Không gian Banach, không gian lồi địa phương

Xét không gian tuyến tính (thực) V . Phần này nêu lại các định nghĩa:
- Chuẩn, không gian tuyến tính định chuẩn, không gian lồi địa phương.
- Dãy Cauchy, dãy hội tụ.
- Tập đóng, tập mở. Bao đóng, phần trong của một tập hợp. Không gian lồi địa phương
Hausdorff. Tập bị chặn, tập trù mật, không gian tách được, không gian Banach.

- Tích vô hướng.
1.1.2

Hàm và ánh xạ trên không gian Banach và không gian đối ngẫu

Nêu lại khái niệm nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên).
Cho hai không gian tuyến tính định chuẩn V1 , V2 và ánh xạ A : V1 −→ V2 . Định nghĩa toán
tử liên tục, toán tử tuyến tính. Tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ V1 → V2 được kí
hiệu bởi L (V1 , V2 ), bản thân L (V1 , V2 ) là một không gian tuyến tính định chuẩn đối với phép
cộng, phép nhân với vô hướng và chuẩn
A

L(V1 ,V2 )

:= sup
v

V1

Av
1

V2

= sup
v=0

Av V2
.
v V1

(1.1.1)

Từ đó định nghĩa không gian đối ngẫu của V , cặp đối ngẫu của V1 , V2 và một số tính chất cơ
bản.
1.1.3

Tập lồi

Định nghĩa tập lồi, nón, hàm lồi, lồi ngặt và một số tính chất cơ bản.


2

1.1.4

Tính compact

Một khái niệm quan trọng, và có nhiều công cụ mạnh dựa vào nó là tính compact. Định
nghĩa tập compact, tiền compact, compact tương đối. Định nghĩa ánh xạ hoàn toàn liên tục,
ánh xạ compact và nêu lên một số tính chất của chúng.
1.1.5

Các định lý điểm bất động

Các định lý điểm bất động Shauder, Brouwer, Kakutani, Banach.

1.2

Không gian hàm

Ta xét không gian Euclide Rn , n

1, được trang bị tôpô Euclide. Với Ω ⊂ Rn ta sẽ định

nghĩa các không gian hàm khác nhau Ω → Rm . Định nghĩa phép nhúng liên tục, phép nhúng
compact, phép nhúng trù mật.
1.2.1

Hàm liên tục và trơn

Kí hiệu C (·) , C 0 (·) và C 0,1 (·) tương ứng là tập tất cả các hàm liên tục, liên tục bị chặn,
liên tục Lipschitz.
Với k

1, ta định nghĩa không gian các hàm trơn, có đạo hàm tới cấp k liên tục ra đến

biên, tức là
C k Ω; Rm := u ∈ C 0 Ω; Rm ; ∀ (i1 , ..., in ) ∈ (N ∪ {0})n ,
n

iα

k:

α=1

1.2.2

∂ i1 +...+in u

∈ C 0 Ω; Rm
∂x1 i1 ...∂xn in

(1.2.1)
.

Hàm khả tích Lebesgue

Độ đo ngoài Lebesgue n-chiều measn (.) trên không gian Euclide Rn , n
bởi

∞

∞

n

(bki

measn (A) := inf

1 được định nghĩa

−

aki )

ak1 , bk1 × ...× akn , bkn ,

:A⊂

k=1 i=1

k=1

(1.2.2)
aki

bki .

Từ đó định nghĩa tập đo được Lebesgue, hàm measn : Σ → R ∪ {+∞} (được gọi là độ đo
Lebesgue), hàm đo được Lebesgue, hàm đơn giản.
Bất đẳng thức Holder
|u (x) v (x)| dx
Ω

|u (x)|p dx p

p

Ω

|v (x)|p dx,
Ω

(1.2.3)


3

ở đó p là số mũ liên hợp xác định bởi:


 p/ (p − 1) nếu 1 < p < +∞,

p := 1 nếu p = +∞,



+∞ nếu p = 1.

(1.2.4)

Và một số tính chất khác.
1.2.3

Không gian Sobolev

Lý thuyết hiện đại của phương trình vi phân dựa trên không gian các hàm có đạo hàm tồn
tại theo nghĩa suy rộng và có tính khả tích.
Cho hàm u ∈ Lp (Ω). Với k > 1 nguyên, ta định nghĩa
k

W k,p (Ω) := u ∈ Lp (Ω; Rm ) ; ∇k u ∈ Lp Ω; Rn

,

(1.2.5)

ở đó ∇k u là kí hiệu tập tất cả các đạo hàm riêng cấp k của u được hiểu theo nghĩa suy rộng.

Chuẩn chính tắc trên W k,p (Ω) là u

W k,p (Ω)

=

u

p
Lp (Ω)

+ ∇k u

1/p
p
k
p
n
L (Ω;R )

làm cho nó trở

thành một không gian Banach.
∗

Định lí 1.2.1. (Nhúng Sobolev) Phép nhúng liên tục W1,p (Ω) ⊂ Lp (Ω) đúng với số mũ p∗
được xác định bởi
 np

, nếu p < n,



n−p
p∗ := số thực lớn tùy ý, nếu




+∞ , nếu p > n.

p = n,

(1.2.6)

Định lí 1.2.2. (Toán tử vết) Tồn tại duy nhất một toán tử tuyến tính liên tục T : W1,p (Ω) →
L1 (Γ) sao cho, với mọi u ∈ C 1 Ω , ta có T u = u|Γ (= sự hạn chế của u trên Γ). Hơn nữa T
vẫn liên tục (tương ứng là compact) như ánh xạ
#

u → u|Γ : W1,p (Ω) → Lp (Γ) ,
u → u|Γ : W1,p (Ω) → Lp

#−

tương ứng,

(Γ) ,

∈ 0, p# − 1 ,

(1.2.7)

với số mũ p# được định nghĩa bởi

p# :=

1.3

 np



n−p

, nếu p < n

số thực lớn tùy ý, nếu




+∞ nếu p = +∞

p=n

(1.2.8)

Ánh xạ Nemytskii

Cho các số j, m0 , m1 , ..., mj ta nói rằng ánh xạ a : Ω × Rm1 × ... × Rmj → Rm0 là ánh xạ

Carathéodory nếu a (·, r1 , ..., rj ) : Ω → Rm0 là đo được với mọi (r1 , ..., rj ) ∈ Rm1 × ... × Rmj và


4

a (x, ·) : Rm1 × ... × Rmj → Rm0 là liên tục tại hầu hết x ∈ Ω. Khi đó ánh xạ Nemytskii Na ánh
xạ các hàm ui : Ω → Rmi , i = 1, ..., j thành hàm Na (u1 , ..., uj ) : Ω → Rm0 xác định bởi
[Na (u1 , ..., uj )] (x) = a (x, u1 (x) , ..., uj (x)) .

1.4

(1.3.1)

Công thức Green và một vài bất đẳng thức

Định lí 1.4.1. (Công thức Green) Với mọi υ ∈ W 1,p (Ω) và
z ∈ W 1,p (Ω; Rn ) ta có
(υ (divz) + z · ∇υ) dx =
Ω

υ (z · ν) dS.

(1.4.1)

Γ

Định lí 1.4.2. (Bất đẳng thức kiểu Poincare) Cho 1

p∗ . Khi đó tồn tại Cp < +∞ sao

q

cho
u
Cho 1

q

W 1,p (Ω)

Cp

∇u

Lp (Ω;Rn )

+ u

Lq (Ω)

.

(1.4.2)

p# , Ω là liên thông, và cho ΓD , ΓN ⊂ Γ sao cho measn−1 (ΓD ) > 0 và

measn−1 (ΓN ) > 0. Khi đó tồn tại Cp < +∞ sao cho
u

W 1,p (Ω)

Cp

∇u

Lp (Ω;Rn )

+ u|ΓN

Lq (ΓN )

(1.4.3)

và
u|ΓD = 0 ⇒ u

W 1,p (Ω)

Cp ∇u

Lp (Ω;Rn ) .

(1.4.4)

Trường hợp đặc biệt của (1.4.3) với ΓD = Γ và p = q = 2, thường gọi là bất đẳng thức
Friedrich.


Chương 2

Ánh xạ giả đơn điệu và ánh xạ liên tục
yếu
2.1

Các khái niệm cơ bản, phương pháp Galerkin

Trong suốt chương này, V là không gian Banach phản xạ, tách được và V ∗ là đối ngẫu của
nó, với · và ·

∗

tương ứng là kí hiệu ngắn gọn của chuẩn của chúng.

Định nghĩa 2.1.1. (Các dạng đơn điệu) Cho ánh xạ A : V → V ∗ . Ta định nghĩa:
(i) A : V → V ∗ là đơn điệu nếu ∀u, v ∈ V : A (u) − A (v) , u − v

0.

(ii) Nếu A là đơn điệu và ∀u = v ta đều có A (u) − A (v) , u − v > 0, thì A gọi là đơn điệu
ngặt.
(iii) Xét hàm tăng d : R+ → R, ta sẽ nói rằng A : V → V ∗ là d-đơn điệu theo nửa chuẩn |·| nếu
A (u) − A (v) , u − v

(d (|u|) − d (|v|)) (|u| − |v|) .

(2.1.1)

Nếu |·| là chuẩn · trên V thì ta sẽ nói đơn giản A là d-đơn điệu. Hơn nữa, A được gọi là đơn
điệu đều nếu
A (u) − A (v) , u − v

ς( u−v ) u−v

(2.1.2)

với một hàm tăng, liên tục ς : R+ → R+ . Nếu ς (r) = δr với δ > 0, thì A được gọi là đơn điệu
mạnh.
(iv) Ánh xạ A : V → V ∗ được gọi là giả đơn điệu nếu
A bị chặn, và


uk
u
⇒ ∀v ∈ V : A (u) , u − v
lim sup A (uk ) , uk − u
0
k→∞

(2.1.3)

(2.1.4)

lim inf A (uk ) , uk − v .
k→∞

Định nghĩa 2.1.2. (Các dạng liên tục)
(i) A : V → V ∗ là bán liên tục (hemicontinuous) nếu ∀u, v, w ∈ V hàm t → A (u + tv) , w là
liên tục, tức là A liên tục yếu có hướng.
5

6

(ii) Nếu nó chỉ đúng với v = w, tức là ∀u, v ∈ V : t → A (u + tv) , v liên tục thì A được gọi
là liên tục xuyên tâm (radially continuous).
(iii) A : V → V ∗ là 1/2 liên tục (demicontinuous) nếu ∀w ∈ V phiếm hàm u → A (u) , w liên
tục; tức là A là liên tục với tư cách là ánh xạ V, chuẩn → V ∗ , yếu .
(iv) A : V → V ∗ là liên tục yếu (weak continuous) nếu ∀w ∈ V phiếm hàm u → A (u) , w liên
tục yếu; tức là A là liên tục như một ánh xạ: V, chuẩn → V ∗ , yếu .
(v) A : V → V ∗ là hoàn toàn liên tục (totally continuous) nếu nó liên tục như một ánh xạ
V, yếu → V ∗ , chuẩn .
Bổ đề 2.1.1. Mọi ánh xạ giả đơn điệu A đều 1/2 liên tục.
Định nghĩa 2.1.3. (Tính bức) A : V → V ∗ là bức nếu ∃ς : R+ −→ R+ và A (u) , u
ς ( u ) u . Nói cách khác, A bức có nghĩa là
lim

u →∞

A (u) , u
= +∞.
u

(2.1.5)

Định lí 2.1.1. (Brezis) Mọi toán tử A giả đơn điệu và bức đều toàn ánh; nghĩa là, với mọi
f ∈ V ∗ , tồn tại ít nhất một nghiệm của phương trình
A (u) = f.

2.2

(2.1.6)

Một số tính chất của ánh xạ giả đơn điệu

Định lý Brézis 2.1.1 cho thấy vai trò quan trọng của toán tử giả đơn điệu. Vì vậy cần thiết
phải tìm hiểu một số trường hợp cụ thể dẫn tới loại toán tử đó.
Bổ đề 2.2.1. Mọi ánh xạ đơn điệu liên tục xuyên tâm đều thỏa mãn (2.1.4). Đặc biệt, mọi
ánh xạ đơn điệu, liên tục xuyên tâm bị chặn đều là giả đơn điệu.
Bổ đề 2.2.2. Mọi ánh xạ 1/2 liên tục, bị chặn A : V → V ∗ thỏa mãn
(uk

u và lim sup A (uk ) − A (u) , uk − u

0) ⇒ uk → u

(2.2.1)

k→∞

là giả đơn điệu.
Bổ đề 2.2.3. (i) Tổng của hai ánh xạ giả đơn điệu cũng là giả đơn điệu, tức là A1 và A2 là
giả đơn điệu dẫn đến u → A1 (u) + A2 (u) là giả đơn điệu.
(ii) Tịnh tiến ánh xạ giả đơn điệu cũng là giả đơn điệu, tức là A là giả đơn điệu dẫn đến
u → A (u + w) là giả đơn điệu với mọi w ∈ V .
Hệ quả 2.2.1. Nhiễu của ánh xạ giả đơn điệu bởi một ánh xạ hoàn toàn liên tục là ánh xạ giả
đơn điệu.

2.3

Phương trình với ánh xạ đơn điệu

Ánh xạ đơn điệu (với tính bị chặn và liên tục xuyên tâm) là một lớp đặc biệt của ánh xạ
giả đơn điệu, xem Bổ đề 2.2.1, với lớp này ta có những kết quả mạnh hơn một chút so với lí
thuyết về ánh xạ giả đơn điệu nói chung (xem Định lý 2.3.1 và Mệnh đề 2.3.2).


7

Bổ đề 2.3.1. (Thủ thuật Minty) Cho A : V → V ∗ là liên tục xuyên tâm và f − A (v) , u − v
0 với mọi v ∈ V . Khi đó f = A (u).
Định lí 2.3.1. Cho A bị chặn, liên tục xuyên tâm, đơn điệu, bức. Khi đó:
(i) A là toàn ánh; nghĩa là, với mọi f ∈ V ∗ đều tồn tại nghiệm u của (2.1.6). Hơn nữa tập các
nghiệm của (2.1.6) là đóng và lồi.
(ii) Nếu thêm điều kiện, A là đơn điệu ngặt thì A−1 : V ∗ → V tồn tại, đơn điệu ngặt, bị chặn
và 1/2 liên tục. Nếu A là d−đơn điệu và V lồi đều thì A−1 : V ∗ → V là liên tục.
(iii) Nếu thêm điều kiện A là đơn điệu đều (tương ứng mạnh) thì A−1 : V ∗ → V liên tục đều
(tương ứng Lipschitz).
Bổ đề 2.3.2. Mọi ánh xạ đơn điệu A : V → V ∗ đều bị chặn địa phương theo nghĩa:
∀u ∈ V, ∃ε > 0, ∃M ∈ R+ , ∀v ∈ V : v − u

ε ⇒ A (v)

∗

M.

(2.3.1)

Bổ đề 2.3.3. Mọi ánh xạ đơn điệu, liên tục xuyên tâm đều là 1/2 liên tục.
Mệnh đề 2.3.2. Cho A = A1 + A2 : V → V ∗ là bức, A1 là liên tục xuyên tâm và đơn điệu,

A2 là hoàn toàn liên tục. Khi đó A là toàn ánh.
Định lí 2.3.3. (Browder-Minty) Mọi A : V → V ∗ đơn điệu, liên tục xuyên tâm và bức là toán
ánh.
Định lí 2.3.4. (Lax-Milgram) Cho V là không gian Hilbert, A : V → V ∗ là toán tử tuyến tính
liên tục, xác định dương theo nghĩa Av, v

ε v 2 , với một ε > 0. Khi đó A có nghịch đảo bị

chặn.
Mệnh đề 2.3.5. Cho A = A1 + A2 : V → V ∗ là bức, A1 là đơn điệu, liên tục xuyên tâm và
thỏa mãn (2.2.1), A2 là 1/2 liên tục và compact. Khi đó A là toàn ánh.
Mệnh đề 2.3.6. (Kỹ thuật điểm bất động Banach) Cho V là không gian Hilbert, A : V → V ∗
là đơn điệu mạnh, tức là có ς (r) = δr từ (2.1.2) với δ > 0 và A là liên tục Lipschitz, tức là
A (u) − A (v)

∗

u − v . Khi đó ánh xạ phi tuyến Tε xác định bởi

uk = Tε (uk−1 ) := uk−1 − εJ −1 (A (uk−1 ) − f ) ,

k ∈ N, u0 ∈ V,

là ánh xạ co với mọi ε > 0 thỏa mãn
ε < 2δ/

2

(2.3.2)

và điểm bất động của Tε , tức là Tε (u) = u, tồn tại và hiển nhiên thỏa mãn A (u) = f .

2.4

Phương trình elliptic tựa tuyến tính

Ta sẽ minh họa lý thuyết trừu tượng ở trên qua bài toán biên đối với phương trình đạo hàm
riêng tựa tuyến tính cấp 2
− div (a (x, u, ∇u)) + c (x, u, ∇u) = g

(2.4.1)


8

trong miền bị chặn, liên thông, Lipschitz Ω ⊂ Rn . Ở đây a : Ω×R×Rn → Rn và c : Ω×R×Rn →
Rn . Nhớ lại rằng ∇u :=
n

−
i=1

∂
u, ..., ∂x∂n u
∂x1

là gradient của u. Chi tiết hơn, (2.4.1) viết lại:

∂
ai (x, u (x) , ∇u (x)) + c (x, u (x) , ∇u (x)) = g (x),

∂xi

(2.4.2)

với x ∈ Ω nhưng ta thường sử dụng dạng viết ngắn gọn (2.4.1). Bên cạnh đó ta sẽ hạn chế chỉ
xét các dữ kiện có độ tăng đa thức bậc p ∈ (1, +∞) và độ tăng của số hạng phi tuyến a (x, u, ·).
2.4.1

Bài toán biên đối với phương trình cấp hai

Phương trình (2.4.1) có thể có rất nhiều nghiệm nếu bỏ qua các yêu cầu khác. Điều này sẽ
được khắc phục bởi điều kiện biên-mô tả thông tin của nghiệm trên biên Γ := ∂Ω của miền Ω.
Điều kiện biên đơn giản là cho vết u|Γ của u, tức là:
u|Γ = uD

trên Γ,

(2.4.3)

với uD là hàm cố định trên Γ. Điều kiện này được gọi là điều kiện biên Dirichlet.
Đối với phương trình (2.4.1) ta thường xét phương trình địa phương đối với thông lượng
trên biên ν · a, tức là:
ν · a (x, u, ∇u) + b (x, u) = h trên Γ,

(2.4.4)

ở đó ν = (ν1 , ..., νn ) là véctơ pháp tuyến ngoài đơn vị của Γ và h : Γ → R, b : Γ × R → R là các
hàm số đã cho.
Ta cũng có thể kết hợp các điều kiện (2.4.3) và (2.4.4) trên các phần khác nhau của Γ.
Chẳng hạn ta chia Γ (sai khác một tập có độ đo bằng 0) thành hai phần rời nhau, mở ΓD và

ΓN sao cho measn−1 (Γ\ (ΓD ∪ ΓN )) = 0 và khi đó xét điều kiện biên hỗn hợp
u|Γ = uD

trên ΓD ,

ν · a (x, u, ∇u) + b (x, u) = h trên ΓN .

(2.4.5)
(2.4.6)

Vì ΓD hoặc ΓN có thể bằng rỗng nên (2.4.5), (2.4.6) bao gồm cả (2.4.4), (2.4.3).
Ta có thể nghĩ đến nghiệm cổ điển u của nó, tức là u ∈ C 2 Ω thỏa mãn các đẳng thức
khắp nơi trên Ω và Γ. Tuy nhiên đòi hỏi này, yêu cầu các điều kiện định tính rất mạnh đối với
dữ kiện a, b, c và bản thân Ω. Bởi vậy lý thuyết hiện đại thường xét các loại nghiệm suy rộng,
vì thế tự nhiên đặt ra các yêu cầu:
1. Tính phù hợp: mọi nghiệm cổ điển của bài toán biên đều là nghiệm suy rộng.
2. Tính chọn lựa: Nếu mọi dữ liệu là trơn và nghiệm suy rộng thuộc vào C 2 Ω thì nó là
nghiệm cổ điển. Hơn nữa ta cũng cần nghiệm suy rộng phải duy nhất.
2.4.2

Công thức nghiệm yếu

Ở đây nghiệm suy rộng sẽ bắt nguồn từ cái gọi là công thức nghiệm yếu của bài toán biên,
khái niệm này thường xuyên được sử dụng vì nó phù hợp với cách tiếp cận nhờ tính giả đơn


9

điệu. Tuy nhiên còn có khái niệm nghiệm suy rộng khác nữa. Để tổng quát nhất ta xét điều
kiện biên hỗn hợp (2.4.5), (2.4.6). Công thức yếu của bài toán (2.4.1) với (2.4.5), (2.4.6) được

dẫn ra như sau:
Bước 1: Nhân phương trình vi phân, ở đây là (2.4.1), với hàm thử υ.
Bước 2: Lấy tích phân trên Ω.
Bước 3: Sử dụng công thức Green (1.4.1), ở đây với z = a (x, u, ∇u).
Bước 4: Thay thế điều kiện biên Newton, ở đây là (2.4.6) vào tích phân trên biên, tức là
ΓN

υ (z · v) dS =

ΓN

(v · a (x, u, ∇u)) vdS trong (1.4.1), và nhờ điều kiện υ|ΓD = 0 mà tích

phân trên ΓD không xuất hiện.

Định nghĩa 2.4.1. Ta gọi u ∈ W 1,p (Ω) là nghiệm yếu của bài toán biên hỗn hợp (2.4.1) và
(2.4.5), (2.4.6) nếu u|ΓD = uD và nếu đẳng thức tích phân (??) đúng với mọi υ ∈ W 1,p (Ω), với
υ|ΓD = 0.
Mệnh đề 2.4.1. (Tính chọn lựa của khái niệm nghiệm yếu) Cho a ∈ C 1 Ω × R × Rn ; Rn , c ∈
C 0 Ω × R × Rn , b ∈ C 0 ΓN × R , g ∈ C Ω , và h ∈ C (ΓN ). Khi đó mọi nghiệm yếu u ∈
C 2 Ω đều là nghiệm cổ điển.
Mệnh đề 2.4.2. (Phép dịch chuyển đối với điều kiện biên Dirichlet không thuần nhất) Phương
trình trừu tượng (2.1.6) với A0 có nghiệm u0 ∈ V , tức là A0 (u0 ) = f khi và chỉ khi u = u0 +w ∈
W 1,p (Ω) là nghiệm yếu của bài toán biên (2.4.1) và (2.4.5), (2.4.6) theo Định nghĩa 2.4.1.
2.4.3

Tính giả đơn điệu, tính bức và sự tồn tại nghiệm

Từ Định lý 2.1.1 và Mệnh đề 2.4.2 ta cần chỉ ra tính giả đơn điệu của A0 : V → V ∗ . Để
đơn giản ta có thể chứng minh nó với A như ánh xạ từ W 1,p (Ω) → W 1,p (Ω)∗ . Khi đó Bổ đề

2.2.3(ii) dẫn đến tính giả đơn điệu của A0 : W 1,p (Ω) → W 1,p (Ω)∗ và khi đó hiển nhiên là có
tính giả đơn điệu của A0 : V → V ∗ . Ta sẽ chứng minh (2.1.3) và (2.1.4) trong các Bổ đề sau:
Bổ đề 2.4.1. (Tính bị chặn của A) Giả sử ta có (??) và (??), (??), (??). Khi đó ta có (2.1.3),
tức là A : W 1,p (Ω) → W 1,p (Ω)∗ bị chặn.
Bổ đề 2.4.2. (Kiểm tra (2.1.4)) Giả sử ta có (??), (??), (??), (??), (??) và ta có một trong
ba trường hợp sau:
i) c không phụ thuộc vào s, tức là có c : Ω × R → R,
c (x, r, s) = c (x, r) .

(2.4.7)

ii) c phụ thuộc tuyến tính vào s, tức là với
c : Ω × R → Rn , c (x, r, s) = c (x, r) · s.

(2.4.8)

iii) c phụ thuộc vào s nhưng đơn điệu ngặt theo phần chính, a (x, r, ·) là bức và độ tăng của
c (x, ·.·) bị hạn chế bởi:
(a (x, r, s) − a (x, r, s)) · (s − s) = 0 ⇒ s = s

(2.4.9)


10

a (x, r, s) · (s − s0 )
= +∞ đều với r bị chặn,
|s|→∞
|s|

∀s0 ∈ Rn : lim
∗

∃γ ∈ Lp

+

γ (x) + C|r|p

(Ω) , ∃C ∈ R : |c (x, r, s)|

∗−

−1

+ C|s|(p− )/p

(2.4.10)

∗

(2.4.11)

với quy ước ??.
Khi đó A : W 1,p (Ω) → W 1,p (Ω)∗ thỏa mãn (2.1.4).
Bổ đề 2.4.3. (Tính bức (2.1.5)) Giả sử ta có các điều kiện bức sau:
∃ε1 , ε2 , k1 ∈ L1 (Ω) : a (x, r, s) · s + c (x, r, s) r ≥ ε1 |s|p + ε2 |r|q − k1 (x) ,

(2.4.12)

∃c1 < +∞, ∃k2 ∈ L (r) : b (x, r) r ≥ −c1 |r|q1 − k2 (x)

(2.4.13)

với 1 < q1 < q ≤ p. Khi đó A : W 1,p (Ω) → W 1,p (Ω)∗ là bức.
Định lí 2.4.3. (Leray-Lions) Cho (??), (??), (??), (??), (??), (??), (??) và (??) đúng và ít
nhất một trong các điều kiện (2.4.7) hoặc (2.4.8) hoặc (2.4.9), (2.4.10), (2.4.11) thỏa mãn. Khi
đó bài toán biên (2.4.1)-( (2.4.5), (2.4.6)) có một nghiệm yếu.
Tổng quát của phương trình cấp 2 ta thường xét phương trình cấp 2k, k

2. Bài toán biên

tương ứng sẽ có k điều kiện biên. Nó được gọi là bài toán Dirichlet nếu chúng chỉ liên quan tới
các đạo hàm cấp nhỏ hơn hoặc bằng k − 1, gọi là bài toán Newman hoặc Newton, nếu chúng
liên quan tới các đạo hàm với cấp từ k đến 2k − 1. Ta đưa ra ở đây một cách ngắn gọn phương
trình tựa tuyến tính cấp 4 dạng divergence :
div a x, u, ∇u, ∇2 u

+ c x, u, ∇u, ∇2 u = g,

(2.4.14)

trong Ω, với a : Ω × R × Rn × Rn×n → Rn×n và c : Ω × R × Rn × Rn×n → R. Ở đó ∇2 u :=
∂2
u
∂xi ∂xj

n

. Phương trình (2.4.14) được viết cụ thể hơn:

i,j=1
n

∂2
aij x, u, ∇u, ∇2 u + c x, u, ∇u, ∇2 u = g.
∂x
∂x
i
j
i,j=1

(2.4.15)

Mệnh đề 2.4.4. Cho a (x, r, R, ·) : Rn×n → Rn×n là đơn điệu ngặt
∃k1 ∈ L1 (Ω) , 1 < q

p :a(x, r, R, S) : S + c (x, r, R, S) r

ε|s|p

(2.4.16)

+ ε|r|q − k1 (x) ,
∃k2 ∈ L1 (Γ) : b (x, r, R) (R · ν (x))

−k2 (x),

∃γ ∈ Lp (Ω) : |a (x, r, R, s)| ≤ γ (x) + C|r|(p
∃γ ∈ Lp

∗∗

p#

∃γ ∈ L

+

∗∗ −

(Ω) : |c (x, r, R, s)| ≤ γ (x) + C|r|p

)/p

∗∗ −

(p∗# − )/p#

(Γ) : |b (x, r, R)| ≤ γ (x) + C|r|

∗−

+ C|R|(p
−1

)/p

+ C|S|p−1 ,

(p∗ − ) p∗∗

+ C|R|

(p− ) p∗∗

+ C|s|

,

p# − −1

+ C|R|

với C nào đó thuộc R+ và ε, > 0 và xem lại Qui ước ?? (p∗∗ = +∞, với p > n/2) và cho
u0D = υ |Γ với một υ ∈ W 2,p (Ω), g ∈ Lp
và (??) có nghiệm yếu.

∗∗

#

(Ω) và h ∈ Lp (Γ). Khi đó bài toán biên (2.4.14)


11

sectionÁnh xạ liên tục yếu, phương trình nửa tuyến tính
Trong trường hợp A là bức và thay tính giả đơn điệu bởi tính liên tục yếu, ta có thể chứng
minh sự tồn tại nghiệm của A (u) = f một cách dễ dàng hơn. Mặc dù giả thiết tính liên tục
yếu là khá chặt nhưng loại ánh xạ này vẫn có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực. Ở đây, ta còn

có thể tổng quát khái niệm ánh xạ A : V → Z ∗ với không gian Banach Z ⊂ V trù mật, nên
Z ∗ ⊂ V ∗ . Nếu Vk ⊂ Z với mọi k ∈ N ta có thể thay đổi (2.1.5) và sau đó là Định lý 2.1.1.
Mệnh đề 2.4.5. (Sự tồn tại) Nếu ánh xạ liên tục yếu A : V → Z ∗ là bức theo nghĩa đã điều
chỉnh:
lim
υ

V →∞
υ∈Z

A (υ) , υ Z ∗ ×Z
= +∞
υ V

(2.4.17)

và nếu f ∈ V ∗ thì phương trình A (u) = f có nghiệm.
Bổ đề 2.4.4. (Tính liên tục yếu của A) Cho (??), (??)-(??), (??), (??). Khi đó A là liên tục
yếu* sao từ W 1,2 (Ω) → W 1,∞ (Ω)∗ .
∗

Mệnh đề 2.4.6. (Sự tồn tại của nghiệm yếu) Cho (??), (??)-(??), (??), (??), g ∈ L2 (Ω) , h ∈
#

L2 (Γ) và với ε > 0, γ1 ∈ L2 (Ω) , γ2 ∈ L1 (Ω) , γ3 ∈ L1 (Ω), và với hầu hết x ∈ Ω (tương ứng
x ∈ Γ với (2.4.18)) và ∀ (r, s) ∈ R1+n , ta có:
n

n

n

aij (x, r) sj + ai0 (x, r) si +
i=1

j=1
2

cj (x, r) sj + c0 (x, r) r
j=1

ε|s| + ε|r|2 − γ1 (x) |s| − γ2 (x) ,
b (x, r) r

−γ3 (x) .

(2.4.18)

Khi đó bài toán biên (2.4.1) và (2.4.5), (2.4.6) có nghiệm yếu theo nghĩa của Định nghĩa 2.4.1
nhưng sử dụng υ ∈ W 1,∞ (Ω).


Kết luận
Luận văn đề cập đến nghiệm của phương trình elliptic phi tuyến và phương trình nửa tuyến
tính, trình bày một cách có hệ thống về ánh xạ giả đơn điệu và ánh xạ liên tục yếu từ đó ứng
dụng để tìm nghiệm của hai loại phương trình trên.
Đóng góp của luận văn bao gồm:
1. Trình bày hệ thống về ánh xạ giả đơn điệu, ánh xạ liên tục yếu và một số tính chất của
chúng.
2. Nghiệm yếu của phương trình elliptic phi tuyến.

3. Nghiệm của phương trình tựa tuyến tính.
Tuy nhiên do thời gian thực hiện luận văn không nhiều còn có những sai sót em rất mong nhận
được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc.
Hà nội, tháng 5 năm 2012.

12


Tài liệu tham khảo
[A]

Tài liệu tiếng Việt

[1]

Nguyễn Mạnh Hùng (2007), Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, Nhà xuất bản Đại
học Sư Phạm, Hà Nội.

[2]

Trần Đức Vân (2005), Phương trình vi phân đạo hàm riêng, Nhà xuất bản đại học Quốc
Gia Hà Nội.

[B]

Tài liệu tiếng Anh

[1]

Tomas Roubicek (2005), Nonlinear Partial Differential Equation with Applications,

Birkhauser Verlag, Berlin.

[2]

K. Yosida (1980), Functional Analysis, 6th edition, Springer, Berlin.

[3]

E. Zeidler (1985-1990), Nonlinear Functional Analysis and Its Applications, I. Fixed point theorems, II. Monotone operators, III. Variational methods and optimization, IV.
Applications to mathematical physics, Springer, NewYork.

13