KHAI TRIỂN VẾT NHIỆT VÀ LUẬT WEYL CHO CÁC GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ LAPLACE BELTRAMI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN THỊ NGÂN

KHAI TRIỂN VẾT NHIỆT
VÀ LUẬT WEYL CHO CÁC GIÁ TRỊ RIÊNG
CỦA TOÁN TỬ LAPLACE - BELTRAMI

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN THỊ NGÂN

KHAI TRIỂN VẾT NHIỆT
VÀ LUẬT WEYL CHO CÁC GIÁ TRỊ RIÊNG
CỦA TOÁN TỬ LAPLACE - BELTRAMI

Chuyên ngành: Toán Giải tích (Phương trình vi phân và tích phân)
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Như Thắng

HÀ NỘI, 2015

Lời cảm ơn
Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn tới Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khoá học của mình. Qua đây
em xin bày tỏ lòng biết ơn tới toàn thể các thầy cô trong nhà trường đã dạy dỗ,
chỉ bảo tận tình trong quá trình em học tập tại trường.
Em xin gửi lời cảm ơn tới toàn thể các thầy cô trong Bộ môn Toán Giải tích,
Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận
lợi để em hoàn thành luận văn của mình. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc nhất tới thầy giáo TS. Nguyễn Như Thắng, người đã trực tiếp chỉ bảo
và hướng dẫn tận tình em trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Cuối cùng, xin được cảm ơn gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp, những
người đã luôn ở bên để giúp đỡ và chia sẻ những khó khăn với em trong suốt
thời gian học tập và hoàn thành luận văn của mình.
Hà Nội, tháng 10 năm 2015
Tác giả
Nguyễn Thị Ngân


Mục lục
Trang
Phần mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1. Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Toán tử giả vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.1 Biểu trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.2 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.3 Toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4 Toán tử giả vi phân trên đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Chương 2. Khai triển vết nhiệt và luật Weyl cho các giá trị riêng
của toán tử Laplace - Beltrami . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1. Giới thiệu chung về luỹ thừa phức và toán tử nhiệt . . . . . . . . . . 18
2.1.1 Luỹ thừa phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2 Toán tử nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.3 Mở rộng cực đại và mở rộng cực tiểu của toán tử . . . . . . 22
2.1.4 Lược đồ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2. Công cụ cơ bản nghiên cứu luỹ thừa phức và toán tử nhiệt . . . . . 24
2.2.1 Kí hiệu và kết quả sơ bộ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2 Xây dựng parametrix phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . 25

2.3. Các tính chất của luỹ thừa phức và toán tử nhiệt . . . . . . . . . . . 29
2.3.1 Các tính chất của luỹ thừa phức . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.2 Các tính chất của toán tử nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . 35


2.4. Mối liên hệ giữa luỹ thừa phức và toán tử nhiệt . . . . . . . . . . . . 37
2.5. Tiệm cận Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5.1 Định lí Tauberian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5.2 Khai triển vết nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5.3 Luật Weyl cho toán tử Laplace - Beltrami . . . . . . . . . . 45
2.5.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Kết luận chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54


Phần mở đầu
Ai trải qua thời học sinh cũng đều quen thuộc với tiếng trống trường. Song
không phải ai cũng biết âm của trống được quy định bởi rất nhiều yếu tố như
chất liệu, kích cỡ, chất lượng sản xuất, môi trường sử dụng,... Trong đó, hình
dạng của mặt trống cũng là một yếu tố quyết định đến âm thanh của trống.
Như vậy, khi biết hình dạng bề mặt trống ta sẽ xác định được đặc điểm âm
cơ bản của trống. Ngược lại, giả sử sự nghe là hoàn hảo và các yếu tố khác là
không thay đổi thì có thể xác định được hình dạng mặt trống từ các âm cơ bản
của trống hay không? Trong bài báo rất nổi tiếng: “Can one hear the shape of
a drum?” (1966), Mark Kac đã đưa ra câu hỏi như sau: Cho Ω ⊂ R2 là miền bị

chặn và cho
0 ≤ λ0 ≤ λ1 ≤ λ2 ...

là dãy các giá trị riêng của toán tử Laplace không âm ∆Ω với điều kiện biên
Dirichlet hoặc điều kiện biên Neumann. Có thể xác định được Ω từ dãy giá trị
riêng (λk ) tính cả bội hay không? Câu hỏi tương tự được đặt ra với miền bị chặn
trong Rn . Thực chất, sự xác định các vật thể ở rất xa chính là động cơ để đưa ra
bài toán, chẳng hạn như xác định những vì sao hoặc những nguyên tử, từ ánh
sáng hoặc âm thanh mà chúng phát ra. Những bài toán ngược về phổ có nhiều
ứng dụng như việc xác định hình dạng vật thể, phân tích hình ảnh y tế,... Từ
đó, tổng quát, chúng ta có thể “nghe” được gì từ “tập phổ”? Ví dụ như có thể
“nghe” được diện tích (thể tích) hoặc chu vi của miền hay không?

1


Bài toán ngược về phổ đã và đang thu hút được sự quan tâm của nhiều
nhà toán học trên thế giới. Vì vậy, chúng tôi chọn vấn đề này làm đề tài nghiên
cứu của luận văn.
Nội dung luận văn "Khai triển vết nhiệt và luật Weyl cho các giá
trị riêng của toán tử Laplace - Beltrami" gồm hai chương:
• Chương 1. Kiến thức cơ sở. Nội dung chương này trình bày những kiến

thức cơ sở cần thiết để nghiên cứu nội dung chương sau.
• Chương 2. Khai triển vết nhiệt và luật Weyl cho các giá trị riêng của toán

tử Laplace - Beltrami. Nội dung chương này giới thiệu toán tử nhiệt suy
rộng và luỹ thừa phức dựa trên parametrix phụ thuộc tham số. Tiếp theo
sẽ trình bày các định lí chứng tỏ toán tử nhiệt là toán tử thuộc lớp vết,
vết của luỹ thừa phức có khai triển tiệm cận. Từ đó ta sẽ phát biểu luật

Weyl cho các giá trị riêng của toán tử Laplce - Beltrami.
Các kết quả được trình bày trong luận văn dựa chủ yếu vào tài liệu [14]
“E. Schrohe (2014), Heat trace expansions and Weyl’s law on the asymptotics
of eigenvalues, Notes for the summer school, “Spectral geometry”, G¨ottingen,
September 9–12”. Bên cạnh đó, tác giả cũng đã tham khảo một số tài liệu khác
được liệt kê trong mục Tài liệu tham khảo. Tuy vậy, các kết quả được trình bày
trong luận văn chưa hẳn đã phản ánh hết tầm quan trọng của bài toán ngược
về hình học phổ. Vì vậy, tác giả rất mong nhận được những đóng góp của các
thầy, cô và bạn đọc cho luận văn, để luận văn này có thể trở thành một tài liệu
tham khảo có ý nghĩa.
Hà Nội, tháng 10 năm 2015
Tác giả
Nguyễn Thị Ngân
2


Danh mục kí hiệu
C ∞ (X)

Không gian các hàm khả vi vô hạn trên X .

Cc∞ (X)

Không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong X .

D (X × Y )

Không gian các hàm suy rộng trên X × Y .

H s (Rn )

Không gian Sobolev cơ sở L2 trên Rn .

Rn

Không gian Euclid n chiều.

Sµ

Lớp các biểu trưng bậc µ trên Rn × Rn .

S −∞

S −∞ =

µS

µ

là không gian tất cả các biểu trưng chính quy

hoá trên Rn × Rn .
S (Rn )

Không gian Schwartz các hàm giảm nhanh trên Rn .

Tx X

Không gian tiếp xúc với X tại x.

Tx∗ X

Không gian đối tiếp xúc của X tại x.

volg (X)

Thể tích của đa tạp X theo metric Riemann g tương ứng.

Γ(s)

Hàm Gamma Γ(s) được định nghĩa như một tích phân
∞

xác định: Γ(s) =

ts−1 e−t dt.

0

Ψµ (X)

Không gian các toán tử giả vi phân bậc µ trên X .
3


Chương 1
Kiến thức cơ sở
Trong chương này, chúng tôi trình bày những kiến thức cơ sở cần thiết để
nghiên cứu nội dung chương sau, trong đó trọng tâm là kiến thức cơ bản về lí
thuyết toán tử giả vi phân, cụ thể là toán tử giả vi phân trên đa tạp.

1.1.

Giới thiệu

Trong bài báo rất nổi tiếng “Can one hear the shape of a drum?”, Mark Kac
đã đưa ra bài toán sau: Xét một màng hai chiều được biểu diễn bởi một miền bị
chặn trong mặt phẳng với biên đủ trơn. Nếu màng đó được cố định biên và đặt
trong chuyển động bởi một cái dùi trống, khi đó độ dịch chuyển U theo phương
trực giao với mặt phẳng thoả mãn phương trình sóng
∂t2 U − c2 ∆U = 0,

U |∂Ω = 0.

Ở đó, c là hằng số phụ thuộc vào chất liệu của màng. Không mất tính tổng quát
ta cho c = 1. Nói riêng, điều thú vị trong trường hợp này đó là nghiệm điều hoà
(“sóng đứng”) của phương trình trên có dạng
U (t, x) = u(x)eiωt
4


với hàm u xác định trên Ω và ω ∈ R. Nghiệm điều hoà đó xác định âm cơ bản
của màng được chế tạo bởi nhà sản xuất.
Thế hàm U vào phương trình sóng, ta thấy nghiệm u thoả mãn phương trình
ω 2 u + ∆u = 0,

u |∂Ω = 0.

Nói cách khác, λ = −ω 2 là một giá trị riêng của bài toán Dirichlet và u là
một hàm riêng tương ứng. Như chúng ta đã biết, các giá trị riêng của bài toán

Dirichlet lập thành một dãy 0 > λ1 ≥ λ2 ≥ λ3 . . . tiến tới −∞.
Một câu hỏi được Mark Kac đặt ra đó là có thể xác định được Ω từ dãy các giá
trị riêng (λk ) bao gồm cả bội hay không, ví dụ như có thể “nghe được hình dạng
của một cái trống hay không”.
Bây giờ chúng ta biết rằng điều đó là không thể, ngay cả khi chúng ta xét miền
bị chặn bởi đường cong trơn từng khúc. Tuy nhiên, chúng ta có thể biết được
nhiều thông tin hơn về Ω từ dãy các giá trị riêng (λk ). Một kết quả cơ bản đó là
từ dãy các giá trị riêng của bài toán Dirichlet ta có thể xác định được thể tích
của Ω. Điều đó không chỉ giới hạn trong trường hợp hai chiều, mà còn được xét
trên các miền trong Rn .
Mark Kac đã nhắc lại bài toán “nghe được hình dạng của trống” với câu hỏi được
đặt ra bởi nhà vật lí người Đức H.A. Lorentz trong dịp giảng bài ở G¨ottingen.
Sau đây là trích dẫn của Kac:
• Lorentz đã đưa ra năm bài giảng với nhan đề “Alte und neue Fragen der

Physik” - vấn đề cũ và mới trong Vật lí, và khi kết thúc bốn bài giảng của
mình, Lorentz đã kết luận như sau: “Trên đây là những vấn đề toán học có
lẽ sẽ thu hút rất nhiều sự chú ý của các nhà toán học hiện tại. Nguồn gốc
của nó là từ lí thuyết bức xạ của Jeans”.
• Trong một miền với một bề mặt phản xạ tốt, có thể có dạng sóng điện

tử đứng tương tự như âm cơ bản của một cái đàn organ; chúng ta sẽ chỉ
5


tập trung tìm hiểu các âm cao. Jeans dự đoán năng lượng trong khoảng
tần số dν . Cuối cùng ông ta cũng tính toán được số lượng các âm cao nằm
trong khoảng tần số từ ν đến ν + dν và làm tăng số lượng này bởi năng
lượng thuộc tần số ν , và theo như định lí của cơ học thống kê, điều đó
tương tự với tất cả các tần số còn lại.

• Đây chính là nguồn gốc làm nảy sinh bài toán chứng minh rằng số các âm

đủ cao nằm trong khoảng từ ν đến ν + dν không phụ thuộc vào hình dạng
của miền mà tỉ lệ với thể tích của miền. Đối với một miền có dạng đơn
giản, việc tính toán cụ thể có thể thực hiện được, định lí này đã được kiểm
lại trong một luận văn ở Leiden. Điều đó khẳng định rằng định lí vẫn đúng
khi ta xét trong trường hợp tổng quát hơn, chẳng hạn như đối với miền đa
liên. Những định lí tương tự vẫn đúng đối với các vật có cấu trúc tương
tự, chẳng hạn như màng, hay khối không khí...
Theo phỏng đoán của Lorentz, số các âm cao của màng đang xét có biểu
diễn dạng
1∼

N (λ) =
λk <λ

vol(Ω)
λ.
2π

Trong đó, N (λ) là số các giá trị riêng nhỏ hơn λ, vol(Ω) là diện tích của Ω
và ∼ được hiểu là
N (λ)
vol(Ω)
=
.
2π
λ→∞ λ
lim

Hàm N (λ) được biết như là hàm đếm các giá trị riêng. Trong luận văn này,
chúng ta sẽ xét trường hợp tổng quát hơn với toán tử giả vi phân elliptic P bậc µ
trên đa tạp đóng và chứng tỏ rằng hàm đếm giá trị riêng thoả mãn luật Weyl
tương ứng.
Sử dụng phương pháp giả vi phân, đầu tiên ta sẽ trình bày phương pháp xây
dựng giải thức phụ thuộc tham số của toán tử. Bước tiếp theo sẽ trình bày về
6


luỹ thừa phức P s và phân tích dáng điệu của Tr(P s ). Một cách tương tự, ta cũng
định nghĩa toán tử nhiệt tổng quát e−tP và sau đó trình bày vết của toán tử
nhiệt. Với những giả thiết phù hợp trên P , chúng ta có định lí về luỹ thừa phức
như sau.
Định lí. P s là toán tử giả vi phân bậc µ Re s thuộc lớp vết khi Re s < −n/µ. Hàm
ζP (s) = Tr(P s ) là một hàm chỉnh hình trên {z ∈ C, Re s < −n/µ}.

Hơn nữa, ζP thác triển đến một hàm phân hình trên C chỉ với cực điểm đơn tại
các điểm sj = (j − n)/µ. Thặng dư tại sj tính được tường minh. Thặng dư tại
s = 0 bị triệt tiêu, do đó 0 là điểm chính quy. Nếu P là một toán tử vi phân thì

thặng dư triệt tiêu khi sj là một số nguyên.
Đối với toán tử nhiệt, ta có định lí sau.
Định lí. Toán tử nhiệt e−tP với t > 0 là toán tử giả vi phân chính quy hoá và là
toán tử thuộc lớp vết. Vết Tr(e−tP ) có khai triển tiệm cận khi t → 0+ như sau
Tr(e−tP ) ∼

cj t(j−n)/µ +

cj t(j−n)/µ ln t +

j∈N0 , j−n
∈
/N
µ

j∈N0 , j−n
∈N
µ

cj tk .
k∈N

Nếu P được giả thiết thêm là toán tử dương và tự liên hợp, từ định lí Tauberian
ta sẽ suy ra luật Weyl.
Định lí. N (λ) ∼ cpµ λn/µ khi λ → ∞ với hệ số tính được tường minh từ biểu trưng
chính pµ của P .

1.2.

Toán tử giả vi phân

Toán tử giả vi phân là một công cụ quan trọng của giải tích hiện đại. Hiểu
những kiến thức cơ bản về lí thuyết toán tử giả vi phân là điều cần thiết. Toán
tử giả vi phân được sử dụng nhiều trong lí thuyết phương trình đạo hàm riêng
và lí thuyết trường; toán tử giả vi phân là mở rộng của khái niệm toán tử vi phân,
xuất phát từ việc nghiên cứu phương trình tích phân kì dị. Việc nghiên cứu
7


toán tử giả vi phân được bắt đầu từ giữa những năm 1960 và có lẽ những bài

báo đầu tiên mà các phép toán trên toán tử giả vi phân được hoàn thiện và phát
triển là của Kohn và Nirenberg [10]. Có thể nghiên cứu và tham khảo về toán
tử giả vi phân trong các tài liệu và các sách chuyên khảo của H¨ormander [7],
Kumano-go [11], Shubin [15] và Taylor [16].

1.2.1.

Biểu trưng

Một khái niệm quan trọng liên kết với toán tử giả vi phân là biểu trưng
Rn

x → x = (1 + |x|2 )1/2 ∈ R+ .

Định nghĩa 1.1. (a) Lớp biểu trưng. Đặt S µ = S µ (Rn × Rn ) là không gian
vectơ tất cả các hàm trơn p = p(x, ξ) trên Rn × Rn thoả mãn ước lượng
|Dξα Dxβ p(x, ξ)| ≤ Cαβ ξ

µ−|α|

.

Ta gọi các hàm như trên là biểu trưng bậc µ. Ước lượng trang bị một tôpô
Fréchet cho S µ .
Kí hiệu S −∞ =

µS

µ.

Các phần tử thuộc không gian này thường được coi

như một hàm chính quy hoá hoặc hàm trơn.
(b) Khai triển tiệm cận. Biểu trưng p ∈ S µ có khai triển tiệm cận p ∼
∞
j=0 pµ−j

với pµ−j ∈ S µ−j nếu với mọi N , ta có
N

pµ−j ∈ S µ−N .

p−
j=0

(c) Biểu trưng cổ điển. Biểu trưng p được gọi là cổ điển nếu p có khai triển
tiệm cận p ∼

pµ−j với pµ−j ∈ S µ−j là thuần nhất bậc µ − j trên ξ với mọi

|ξ| ≥ 1, nói cách khác
pµ−j (x, tξ) = tµ−j p(x, ξ), x ∈ Rn , ξ ∈ Rn , |ξ| ≥ 1, t ≥ 1.
8


(d) Tính elliptic. Biểu trưng p ∈ S µ được gọi là elliptic bậc µ nếu tồn tại một
số R ≥ 0 sao cho p(x, ξ) khả nghịch với mọi (x, ξ), |ξ| ≥ R và
|p(x, ξ)−1 | ≤ c ξ

−µ

.

Đối với một biểu trưng cổ điển thì các điều kiện sẽ đơn giản hơn, chỉ cần
điều kiện pµ (x, ξ) khả nghịch với x ∈ Rn , |ξ| = 1.
µ−j , khi đó
Định lí 1.2 (Tính đầy đủ tiệm cận). Cho một dãy (pj )∞
j=0 với pj ∈ S

tồn tại một biểu trưng p ∈ S µ thoả mãn p ∼

pj .

Chú ý 1.3. Hàm p trong Định nghĩa 1.1 không cần là hàm vô hướng mà chỉ
cần nhận giá trị trong một ma trận cỡ tuỳ ý; điều này thực sự quan trọng trong
trường hợp hệ các toán tử hay toán tử tác động trên các thớ của phân thớ vectơ
trên đa tạp. Dĩ nhiên, một biểu trưng có thể chỉ là elliptic nếu nó nhận giá trị
trong ma trận vuông.

1.2.2.

Không gian Sobolev

Đặt S = S (Rn ) là không gian các hàm giảm nhanh trên Rn và S =
S (Rn ) là không gian đối ngẫu, không gian các phân phối tuyến tính.

Định nghĩa 1.4. Biến đổi Fourier của u ∈ S là hàm F u hoặc u trên Rn được
cho bởi công thức
F u(ξ) = u(ξ) =

1
(2π)n/2

e−ixξ u(x)dx.

Định nghĩa 1.5. Kí hiệu H s (Rn ) là không gian Sobolev cơ sở L2 trên Rn . Đó
là không gian tất cả các phân phối suy rộng u mà biến đổi Fourier F u là một
hàm chính quy và ξ s F u ∈ L2 . Trên H s (Rn ) ta trang bị chuẩn
u

2
Hs

=

1
(2π)n/2

ξ

9

2s

|F u|2 (ξ)dξ.


Ví dụ 1.6. Với y ∈ Rn , hàm phân phối δy : S

ϕ → ϕ(y) ∈ C là một phần

tử thuộc H s (Rn ) khi s < −n/2, khi đó biến đổi Fourier của δy là hàm hằng
(2π)−n/2 e−iyξ .

Định lí 1.7 (Định lí nhúng Sobolev). Cho s > n/2. Khi đó, H s (Rn ) được nhúng
vào không gian hàm liên tục, tức là với mọi u ∈ H s (Rn ), tồn tại u ∈ C(Rn );
u = u h.k.n và u

C(Rn )

< c. u

H s (R n ) .

Thay vì phải nghiên cứu trực tiếp các toán tử, chúng ta có thể nghiên cứu
nhân của toán tử bằng cách đồng nhất toán tử với nhân của nó, điều này được
thể hiện trong nội dung định lí sau.
Định lí 1.8. Cho toán tử A : Cc∞ (X) → D (Y ) là tuyến tính liên tục. Khi đó,
tồn tại duy nhất nhân Schwartz KA ∈ D (X × Y ) sao cho
Au; v = KA (x, y); u ⊗ v ,

trong đó u ∈ Cc∞ (X), v ∈ Cc∞ (Y ), x, y ∈ Rn .
Đặc biệt, toán tử K là một toán tử tích phân trên không gian M với nhân
k = k(x, y), k là hàm suy rộng trên M × M , nếu
Ku(x) =

k(x, y)u(y)dy.
M

Mệnh đề 1.9. Cho s > n/2 và toán tử bị chặn A : H −s (Rn ) → H s (Rn ). Khi đó,

A là một toán tử tích phân với nhân liên tục kA (x, y) = Aδy , δx , x, y ∈ Rn .

Nếu A : H −s−k (Rn ) → H s+k (Rn ) liên tục thì nhân là C k .
Cặp đối ngẫu Aδy , δx cho biết các tính chất của toán tử A. Không khó để
kiểm tra toán tử A được trang bị nhân. Chú ý rằng Dxα Dyβ kA (x, y) là nhân của
(−1)|β| Dα ADβ .

Điều đó đôi khi hữu ích để xét các không gian Sobolev có trọng số.
10


Định nghĩa 1.10. Với s1 , s2 ∈ R, đặt H s1 ,s2 (Rn ) = x

−s2 H s1 (Rn ).

Định lí 1.11. (a) H 0 (Rn ) = H 0,0 (Rn ) = L2 và H s1 ,s2 (Rn ) ⊆ H t1 ,t2 (Rn ) khi
s1 ≥ t1 , s2 ≥ t2 .

(b) Nhúng H s1 ,s2 (Rn ) → H t1 ,t2 (Rn ) là nhúng compact khi s1 > t1 , s2 > t2 . Đây
là trường hợp đặc biệt của định lí Rellich.
(c) Nhúng H s1 ,s2 (Rn ) → H t1 ,t2 (Rn ) là lớp vết khi s1 − t1 > n, s2 − t2 > n.

1.2.3.

Toán tử

Định nghĩa 1.12. Với biểu trưng p ∈ S µ , ta định nghĩa toán tử giả vi phân
op(p) liên kết với toán tử giả vi phân p là
op(p) : C ∞ (Rn ) → C ∞ (Rn )
op(p)u(x) =

1
(2π)n/2

eixξ p(x, ξ)u(ξ)dξ, u ∈ S (Rn ), x ∈ Rn .

(1.1)

Trong đó, S (Rn ) là không gian Schwartz của các hàm giảm nhanh trên Rn ,
u là biến đổi Fourier của u:
u(ξ) =

1
(2π)n/2

e−iyξ u(y)dy.

Định lí 1.13. Cho p ∈ S µ .
(a) op(p) : S (Rn ) → S (Rn ) liên tục.
(b) Với mỗi s ∈ Rn ,
op(p) : H s (Rn ) → H s−µ (Rn )

là toán tử bị chặn. Chuẩn của toán tử có thể được ước lượng bởi hữu hạn
các nửa chuẩn của biểu trưng.
11


Một chứng minh đơn giản về tính liên tục là toán tử bậc 0 trong không
gian Lp (với ý (b) có thể xem chứng minh trong sách của Hwang [8]). Chú ý
rằng định lí được mở rộng cho không gian Sobolev có trọng số [13].

Định lí 1.14. (a) Cho p ∈ S µ và q ∈ S ν . Khi đó tồn tại một phần tử r ∈ S µ+ν
thoả mãn
op(p) ◦ op(q) = op(r),

và r có khai triển tiệm cận
r(x, ξ) ∼
α

1 α
∂ p(x, ξ)Dxα q(x, ξ).
α! ξ

Kí hiệu r = p#q và gọi là tích Leibniz của p và q . Tương ứng có ánh xạ
S µ × S ν → S µ+ν , (p, q) → r là ánh xạ liên tục.

(b) Cho p ∈ S µ . Khi đó liên hợp hình thức (op(p))∗ của op(p) là op(q) với q ∈ S µ .
q có khai triển tiệm cận
1 α α
∂ D p(x, ξ).
α! ξ x

q(x, ξ) ∼

Tương ứng, ánh xạ S µ → S µ , p → p∗ liên tục.
Định lí 1.15. Nếu p ∈ S µ là elliptic thì tồn tại một biểu trưng q thoả mãn
p#q − 1 = r1 và q#p − 1 =: r2

là phần tử thuộc S −∞ . Biểu trưng q được gọi là parametrix của p.
Chứng minh. Đầu tiên, ta lấy một biểu trưng q0 ∈ S −µ trùng với p(x, ξ)−1 , |ξ| ≥
R + 1; và nó có dạng χ(ξ)p(x, ξ)−1 với hàm χ có bậc 0. Khi đó, p#q0 = 1 − s1 với

s1 là phần tử bậc −1. Đặt q1 = q0 #s1 , q2 = q0 #s1 #s1 và cứ tiếp tục như vậy ta

sẽ nhận được một dãy các phần tử qj ∈ S µ−j thoả mãn
N

qj − 1 ∈ S µ−N .

p#
0

12


Khi đó theo Định lí 1.2 tồn tại một phần tử q với q ∼

qj thoả mãn p#q − 1

thuộc S −∞ . Một cách tương tự, ta cũng xây dựng được một phần tử q thoả mãn
q #p − 1 ∈ S −∞ . Do đó ta cũng có q − q ∈ S −∞ .

1.2.4.

Toán tử giả vi phân trên đa tạp

Cho X là một đa tạp đóng (hay đa tạp compact không biên). Bởi H s (X)
được định nghĩa là không gian các phân phối trên X , trong toạ độ địa phương
U ∈ Rn , các phân phối đó thuộc H s (Rn ) sau khi nhân với một hàm trong Cc∞ (U ).

Định lí sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lí 1.11:
Định lí 1.16. (a) H 0 (X) = L2 (X) và H s (X) ⊆ H t (X) khi s ≥ t.

(b) Nhúng H s (X) → H t (X) là nhúng compact khi s > t.
(c) Nhúng H s (X) → H t (X) là lớp vết khi s − t > n.
Định nghĩa 1.17. Toán tử P : C ∞ (X) → C ∞ (X) được gọi là toán tử giả
vi phân bậc µ trên X , miễn là mọi hàm trơn φ, ψ với giá trong một lân cận toạ
độ địa phương đơn với toạ độ κ, kéo lùi của φP ψ theo κ là một toán tử giả vi phân
trên Rn với biểu trưng trong S µ .
P được gọi là toán tử giả vi phân cổ điển nếu tất cả các biểu trưng địa phương

của P đều là cổ điển. Kí hiệu Ψµ (X) là không gian các toán tử giả vi phân bậc µ
trên X và Ψµcl (X) là không gian con các toán tử cổ điển.
Cho φ, ψ ≡ 1 trong một lân cận của điểm x ∈ X . Khi đó, P được gọi là elliptic
gần x nếu biểu trưng bất kì của toán tử kéo lùi của φP ψ theo κ thoả mãn điều
kiện elliptic trong Định nghĩa 1.1(d) gần nghịch ảnh của x theo κ. P được gọi
là elliptic nếu nó elliptic gần mọi x ∈ X .
13


Chú ý 1.18. (a) Nếu P là toán tử cổ điển thì ta liên kết với P một biểu trưng
chính thuần nhất σψ (P ). Đó là một hàm thuần nhất bậc µ trên T ∗ X \ {0} phân thớ đối tiếp xúc đã bỏ đi vectơ 0, σψ (P ) có thể nhận được từ biểu
trưng chính của biểu trưng địa phương hoá như trong phần cuối của Định
nghĩa 1.17. Đầu tiên nó được định nghĩa cho |ξ| đủ lớn và sẽ được mở rộng
bởi tính thuần nhất cho ξ = 0.
(b) Toán tử giả vi phân tác động trên các thớ của phân thớ vectơ có thể được
định nghĩa một cách tương tự. Về địa phương, các toán tử đó được cho bởi
ma trận của các biểu trưng; và được gọi là cổ điển nếu tất cả các phần tử
là biểu trưng cổ điển. Biểu trưng chính của một toán tử giả vi phân cổ điển
P : C ∞ (X; E1 ) → C ∞ (X; E2 ) bậc µ là một tự đồng cấu pµ : π ∗ E1 → π ∗ E2 ,

trong đó π ∗ là kéo lùi của phân thớ vectơ dưới phép chiếu π : T ∗ X \{0} → X .
Định nghĩa 1.19. Toán tử giả vi phân P được gọi là toán tử chính quy hoá, hay

toán tử trơn nếu như nó có thể được biểu diễn qua các biểu trưng địa phương
trong S −∞ .
Bổ đề 1.20. Toán tử giả vi phân P là toán tử chính quy hoá khi và chỉ khi P có
thể được viết như một toán tử tích phân với nhân C ∞ .
Chứng minh. Từ Mệnh đề 1.9 suy ra P có một nhân trơn. Từ công thức (1.1)
suy ra trong toạ độ địa phương, ta có thể viết
kP (x, y) = (2π)−n

ei(x−y)ξ p(x, ξ)dξ.

(1.2)

Ngược lại, một công thức tương ứng chứng tỏ rằng mọi toán tử tích phân với
nhân trơn có một biểu trưng trong S −∞ .
Bổ đề 1.21. Cho P là một toán tử giả vi phân và ϕ, ψ ∈ C ∞ (X) có giá rời rạc.
Khi đó ϕP ψ là toán tử chính quy hoá.
14


Chứng minh. Nếu

trong

phương

trình

1.2,

p(x, ξ)

được

thay

bởi

ϕ(x)p(x, ξ)ψ(y) thì suy ra với bất kì p ∈ S µ , áp dụng công thức tích phân từng

phần ta có điều phải chứng minh.
Tính chất này của toán tử giả vi phân được gọi là giả địa phương (pseudolocal).
Định lí 1.22. Cho P là một toán tử giả vi phân cổ điển bậc µ trên một đa tạp
đóng.
(a) Với mọi s ∈ R, toán tử P mở rộng lên một toán tử bị chặn
P : H s (X) → H s−µ (X).

(1.3)

(b) Nếu P trong (1.3) là một toán tử Fredholm với s nào đó thì P là toán tử
Fredholm với mọi s, và khi đó tồn tại toán tử Fredholm nghịch đảo là một
toán tử giả vi phân bậc −µ. Cụ thể, nếu biểu trưng chính của P khả nghịch
với mọi (x, ξ) ∈ T ∗ X \ {0}, hay nếu P là elliptic.
(c) Nếu P trong (1.3) khả nghịch với s nào đó thì P khả nghịch với mọi s.
Nghịch đảo của P là một toán tử giả vi phân bậc −µ.
Chú ý 1.23. Chìa khoá chứng minh Định lí 1.22(b) là cấu trúc parametrix địa
phương. Parametrix địa phương được định nghĩa là một toán tử giả vi phân Q
bậc −µ thoả mãn
P Q − I =: R1 và QP − I =: R2

là các toán tử bậc −∞. (c) được suy ra từ (b) với chú ý rằng nhân và đối nhân

của một toán tử giả vi phân elliptic bao gồm các hàm trơn và vì thế không phụ
thuộc vào s.

15


Chú ý 1.24. Toán tử giả vi phân bậc 0 có dạng một đại số con Fréchet của
L (L2 (X)) và tổng quát hơn là L (H s ) với mọi s ∈ R. Thực tế, đại số này chứa

cả nghịch đảo của toán tử đó (nếu tồn tại) và được gọi là “bất biến phổ”, kết
quả này có một số hệ quả rất thú vị (có thể xem trong [4]). Nó có thể mở rộng
đến nhiều lớp của không gian có trọng số trên Rn .
Định lí 1.25. Cho P là toán tử elliptic, f ∈ H s (X) và cho u ∈ H −N (X), với N ∈
R tuỳ ý, là nghiệm của phương trình P u = f . Khi đó u ∈ H s+µ (X).
Chứng minh. Vì P là toán tử elliptic nên tồn tại một parametrix Q ∈ S −µ (X)
thoả mãn
P Q = I + R1 và QP = I + R2 ,

trong đó R1 , R2 ∈ Ψ−∞ (X). Từ phương trình P u = f, f ∈ H s (X) suy ra QP u =
Qf , hay (I + R2 )u = Qf . Suy ra u = −R2 u + Qf . Vì R2 trơn nên R2 u ∈ H ∞ (X),

áp dụng định lí nhúng Sobolev suy ra R2 u ∈ C ∞ (X); lại có Qf ∈ H s+µ (X). Vậy
u ∈ H s+µ (X).

Chú ý 1.26. Tính chất trong Định lí 1.25 được gọi là tính chính quy elliptic.
Định lí 1.27. Cho P là một toán tử giả vi phân bậc < −n. Khi đó P là một
toán tử tích phân với nhân liên tục là hàm kP được cho bởi (1.2). Hơn nữa, P là
toán tử lớp vết trên L2 (X) và vết của toán tử được cho bởi công thức
Tr(P ) =

kP (x, x)dx.
X

16


Kết luận chương 1
Nội dung chương 1 giới thiệu bài toán ngược về hình học phổ xuất phát
từ bài báo rất nổi tiếng: “Can one hear the shape of a drum?”. Tiếp theo, chúng
tôi trình bày những kiến thức cơ bản về lí thuyết toán tử giả vi phân, cụ thể là
toán tử giả vi phân trên đa tạp. Để trình bày nội dung chương 1, chúng tôi đã
tham khảo tài liệu [14], ngoài ra còn có các tài liệu [3, 7, 10, 11, 15, 16].

17


Chương 2
Khai triển vết nhiệt
và luật Weyl cho các giá trị riêng
của toán tử Laplace - Beltrami
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu toán tử nhiệt suy rộng và luỹ thừa
phức dựa trên parametrix phụ thuộc tham số. Tiếp theo sẽ trình bày các định lí
chứng tỏ toán tử nhiệt là toán tử lớp vết, vết của luỹ thừa phức có khai triển
tiệm cận. Để chứng minh khai triển tiệm cận của toán tử nhiệt, chúng tôi phát
biểu mối liên hệ giữa luỹ thừa phức và toán tử nhiệt. Cuối cùng chúng tôi phát
biểu luật Weyl cho các giá trị riêng của toán tử Laplace - Beltrami và đưa ra
hai ví dụ minh hoạ cho luật Weyl.

2.1.

Giới thiệu chung về luỹ thừa phức
và toán tử nhiệt

Cho P là toán tử không bị chặn trong không gian Hilbert H .
Định nghĩa 2.1. Tia Rθ = {reiθ ∈ C : r ≥ 0} được gọi là tia tăng trưởng cực tiểu
18


của P nếu Rθ và tập phổ của P không giao nhau, và khi đó tồn tại một hằng số
c ≥ 0 sao cho
(P − λ)−1 ≥ c λ

2.1.1.

−1

.

Luỹ thừa phức

Cho Rθ là tia tăng trưởng cực tiểu của P . Hơn nữa, 0 không thuộc tập phổ
của P và có số δ0 ≥ 0 sao cho B(0, 2δ0 ) chứa trong trong tập giải. Với Re s < 0,
ta định nghĩa Ps bởi
Ps =

i
2π

λs (P − λ)−1 dλ,

(2.1)

C

ở đó, C là chu tuyến trong C từ ∞ đến δ0 eiθ dọc theo Rθ , theo chiều kim đồng hồ
xung quanh đường tròn {|z| = δ0 } đến δ0 eiθ và trở về ∞ dọc theo Rθ . Tích phân
trên hội tụ khi |λs | ≤ cs |λ|s .
Điều cốt yếu ở đây đó là trên tia đi vào, argument của λ được xét là θ, trong
khi trên tia đi ra là θ − 2π . Do đó, thành phần dọc theo tia không bị triệt tiêu
trừ khi s là một số nguyên âm.
Chú ý 2.2. Biểu thức
f (P ) =

i
2π

f (λ)(P − λ)−1 dλ

(2.2)

C

được gọi là tích phân Dunford đối với f (P ).
Ở đó, chu tuyến C cô lập tập phổ của P và hàm f là hàm chỉnh hình trên tập
phổ của P .
Nhắc lại rằng, định lí Cauchy trong giải tích phức có nội dung như sau: Với một
hàm chỉnh hình trên miền liên thông đơn và một chu tuyến C bao quanh z , ta có
f (z) =

f (ω)

dω.
ω−z

1
2πi
C

Chú ý rằng, để đơn giản ta xét (P − λ)−1 thay vì xét (λ − P )−1 .
19


Định lí 2.3. Cho s, t ∈ C với phần thực âm.
(a) s → Ps là họ giải tích các toán tử bị chặn;
(b) Ps Pt = Ps+t ;
(c) P−1 = P −1 là nghịch đảo của P .
Chứng minh.

(a) Lấy vi phân dưới dấu tích phân.

(b) Gọi C là chu tuyến con của C và đóng trong C . Bởi định lí Cauchy ta có
thể thay chu tuyến C bởi C . Khi đó

Ps Pt = −

1
4π 2

=−

C

λs µt
(P − λ)−1 − (P − µ)−1 dµdλ
λ−µ

1
4π 2
C

=

i
2π

(P − λ)−1 (P − µ)−1 λs µt dµ dλ


C



C

λs+t (P − λ)−1 dλ −
C

1
4π 2

λs µt

dλdµ.
λ−µ

(P − λ)−1
C

C

Tích phân cuối triệt tiêu khi µ nằm ngoài C .
(c) Với một số nguyên âm, tích phân trên chu tuyến được quy về tích phân
trên đường tròn bán kính δ0 ngược chiều kim đồng hồ. Gọi C là chu tuyến
đối, chúng ta có thể viết lại (2.1) trong trường hợp s = −1 như sau
P−1 =

1
2πi

λ−1 (P − λ)−1 dλ
C

=

1
2πi

λ−1 λ−1 P −1 (P −1 − λ−1 )−1 dλ
C

=−

1
2πi

(P −1 − µ)−1 dµP −1
C

20