Bài tiểu luận Nghiên cứu số tự nhiên trong sách giáo khoa tiểu học

PHẦN 1 : VÀI NÉT VỀ LỊCH SỬ HÌNH THÀNH SỐ TỰ NHIÊN
Có thể nói số tự nhiên hình thành là một phần tất yếu của xã hội văn minh. Chúng
ta hình dung một xã hội không có số tự nhiên: ở đó không có số nhà, không có tiền tệ,
không có điện thoại ... Đó chỉ có thể là một xã hội nguyên thủy mà thôi.
Khái niệm số tự nhiên đã manh nha trong thời kỳ xã hội nguyên thủy khi con người
đã biết so sánh số lượng giữa các đối tượng gần gũi như: đàn bò, số người,… cũng
như dần nhận thức được khái niệm ít nhiều. Tuy nhiên cho đến tận bây giờ không một
ai có thể nói được chính xác từ khi nào loài người biết đến các con số, chúng ta chỉ
biết các con số đã được ra đời từ rất lâu dựa vào các văn bản cổ mà con người tìm
được.
Từ trong sinh hoạt hằng ngày con người đã được đụng chạm thường xuyên đến các
nhu cầu so sánh như: phân phối số cá bắt được cho mỗi người, phân phát số vũ khí
cho các chiến binh ... vv và được tiếp xúc với các hiện tượng tự nhiên như: có một mặt
trời vào ban ngày, ban đêm có một mặt trăng, mỗi người có hai con mắt ... vv, chính
vì điều này đã làm cho con người cổ xưa đi dần tới khái niệm về số lượng, về số. Các
số đầu tiên được hình thành để đánh dấu, phân biệt các tập hợp mà con người hằng
ngày được tiếp xúc và các tập hợp mà có thể thiết lập sự tương ứng 1 - 1 lên các tập
hợp đó. Và như ta đã biết đó là việc hình thành các số tự nhiên đầu tiên: 1,2,3,4….
PHẦN 2 : KHÁI NIỆM SỐ TỰ NHIÊN
I. Xây dựng khái niệm số tự nhiên trong sách giao khoa toán tiểu học :
1. Nội dung dạy học
Tổng quát : Trình tự sắp xếp trong SGK Toán tiểu học là quy nạp.
- Vòng số 10 : hình thành các số 1,2,3,4,5  các số 6,7,8,9  số 0  số 10  hình
thành các số có 2 chữ số đến số 100 ( hết lớp 1).
- Lớp 2 : các số tròn chục từ 100 đến 200  Các số có 3 chữ số từ 101 đến 110 
Tương tự từ 200 đến 300.
- Lớp 3 : các số trong phạm vi 100.000.


- Lớp 4 : các số có nhiều chữ số (số tròn tỉ)  Lớp 4 khái quát lại các lớp 1,2,3 
đưa ra thuật ngữ “Số tự nhiên”  hình thành khái niệm “Số tự nhiên”.

- Trong đó giúp học sinh : Hình thành khái niệm hàng, lớp ; Đọc, viết các số tự
nhiên ( La Mã, Hindu Ả Rập ); Phân tích cấu tạo số….
2. Cách hình thành
a. Công đoạn 1 : Hình thành 10 chữ số cơ bản từ 0 đến 9 :
- SGK Toán 1 trình bày khái niệm số tự nhiên theo cách hiểu là số phần tử của
một tập hữu hạn,chọn cách tiếp cận các số 1, 2, 3 xuất phát từ việc hình thành lớp các
tập hợp tương đương, thấy rằng các tập hợp này có điểm chung là có cùng số phần tử,
dần dần hình thành số tự nhiên ứng với số phần tử của các tập hợp.
- Ví dụ: Hình thành số 1,2,3, sách Toán 1 sử dụng các mô hình biểu diễn đường
cong khép kín, bên trong gồm 1, 2 hoặc 3 đồ vật (giống nhau) (chỉ phần tử của tập hợp
đó). Tương tự đó hình thành số 4 và 5.

- SGK hình thành số 6 dựa trên cách tiếp cận theo quan điểm thứ tự, số liền sau
bằng con đường đếm thêm 1 vào số 5. Trong tranh vẽ là 5 bạn nhỏ đang chơi, có 1 bạn
đang đi đến. Tương tự với các số 7,8,9 và 10.


- SGK tiếp cận số 0 là bản số của tập hợp rỗng, số 0 lấy nghĩa “chỉ tập hợp có
không phần tử”. Từ một tập hợp (chậu nuôi cá) gồm 3 con cá, người ta vớt lần lượt ra
mỗi lần 1 con cá và sau cùng trong chậu không còn con cá nào cách tiếp cận ngầm
ẩn theo hệ tiên đề Peano - quan hệ “số liền trước” bằng con đường bớt dần 1 từ 3.

b. Công đoạn 2 : Hình thành các số tròn chục, tròn trăm :
- Bước đầu hình thành khái niệm về 1 chục :một tập hợp gồm 10 phần tử (một chục
que tính+10 que tính), về 1 trăm :một tập hợp 100 phần tử ( một tấm bìa gồm 100 ô
vuông)
- Hình thành khái niệm các số tròn chục ( 2 chục que tính = 20 que tính…), tròn trăm (
200 bằng 2 tấm bìa 100 ô vuông…)
c. Công đoạn 3 : Hình thành các số tự nhiên 2, 3 và nhiều chữ số :

* Hình thành số có 2 chữ số :
Trên cơ sở hình thành các số tròn chục, các số có 2 chữ số được xây dựng theo
cách :
- Đếm thêm 1 ( hoặc 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) vào 10 và đọc là mười một ( 11 ), mười
hai (12) , mười ba (13), mười bốn (14)….
- Đếm thêm 1 ( hoặc 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) vào sau số 20, 30, 40, …và đọc là (hai
mươi ba, ba mươi sáu…) => hình thành khái niệm ban đầu về hàng chục và hàng đơn
vị
* Hình thành các số có 3 chữ số :
- Trong SGK toán lớp 2, phần 6 : Các số trong phạm vi 1000 ( trang 137), bài
đầu tiên đã giới thiệu về đơn vị, chục, trăm, nghìn như sau

- SGK giới thiệu các số tròn chục từ 110 đến 200, các số từ 101 đến 110, các số từ
111 đến 200 ( để cho học sinh biết các số đó gồm các trăm,chục, đơn vị nào và cách
đọc các số đó ra sao) hình thành cho học sinh khái niệm về số có 3 chữ số
* Hình thành số có 4, 5 và nhiều chữ số :
- Bước đầu hình thành cho học sinh về cấu tạo của số có 4, 5 và nhiều chữ số :
số có 4 chữ số gồm 4 hàng : hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị; số có 5
chữ số 5 hàng : hàng chục nghìn, hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị;…


- Từ việc hình thành các hàng , SGK xây dựng nên số có 4, 5 và nhiều chữ số.
d. Công đoạn 4 : Hình thành các khái niệm hàng và lớp của một số tự nhiên :
- Từ những hiểu biết ban đầu của học sinh về hàng, SGK đưa ra các khái niệm về
lớp : Gồm các lớp : + Lớp đơn vị gồm : hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị.
+ Lớp nghìn gồm: hàng trăm nghìn, hàng chục nghìn, hàng nghìn.
+ Lớp triệu gồm : hàng trăm triệu, hàng chục triệu, hàng triệu.
II. Bản chất toán học:
Tiếp cận khái niệm số tự nhiên bằng “Bản số của tập hợp”

- Bản số dùng để chỉ thuộc tính, tính chất của một tập hợp
- Bản số của một tập hữu hạn ta gọi là một số tự nhiên. Nếu a là số tự nhiên thì tồn
tại một tập hữu hạn A sao cho a = Card A. Tập tất cả các số tự nhiên kí hiệu là N
- Tập rỗng - hữu hạn : Card ∅ = 0 ∈ N. Tập đơn tử {x} - hữu hạn : Card {x} = 1 ∈
N
III. Phân tích cơ sở toán học :
1. Xây dựng số tự nhiên theo quan điểm của lý thuyết tập hợp và ánh xạ
Định nghĩa 1: Cho A và B là hai tập tùy ý, ta nói tập A tương đương với tập B, kí
hiệu A ∼ B, nếu có một song ánh f từ A lên B.
A ∼ B ⇔∃ f: A → B là song ánh
Định nghĩa 2: Khi hai tập hợp A và B tương đương với nhau, ta nói chúng có cùng
lực lượng hay cùng bản số. Bản số của tập A kí hiệu là Card A.
A ∼ B ⇔ Card A = Card B
Định nghĩa 3: Bản số của một tập hữu hạn gọi là một số tự nhiên. Tập hợp các số
tự nhiên kí hiệu là ℕ.
Ta nói: n là một số tự nhiên, điều đó có nghĩa là tồn tại một tập A hữu hạn sao cho
Card A = n.


2. Xây dựng tập hợp số tự nhiên theo hệ tiên đề Péano:
- Khái niệm cơ bản: Số tự nhiên.
- Quan hệ cơ bản: Số liền sau
1. Hệ tiên đề: Số 0 thuộc ℕ.
2. Mọi số tự nhiên đều có duy nhất một số tự nhiên liền sau.
3. Mọi số tự nhiên khác 0 đều là số liền sau của đúng một số tự nhiên.
4. Nguyên lý quy nạp: Nếu M là một bộ phận của tập các số tự nhiên ℕ thỏa
mãn 2 điều kiện sau:
- Số 0 là một số tự nhiên.
- Nếu n ∈ ℕ thì n’∈ ℕ (n’ là số liền sau của n). Khi đó M = ℕ.
IV. Hình thức thể hiện :

1. Hình thành 10 chữ số cơ bản từ 0 đến 9 (được hình thành trong giai đoạn
đầu lớp 1)
Thể hiện chủ yếu bằng hình ảnh các nhóm đồ vật có số lượng như ngôi sao, con
chim, con voi, chấm tròn, bông hoa, con thỏ…, tranh ảnh , các tên bài học , bài luyện ,
các "lệnh"ở đầu mỗi bài học hoặc bài luyện tập để giúp giáo viên và cha mẹ HS hướng
dẫn HS học tập và thực hành, không phải từ ngữ, câu chữ.
 Trình bày tường minh, trực quan sinh động, cụ thể
Chẳng hạn: Mô hình 1 con chim , bức ảnh một bạn gái , tờ bìa vẽ chấm tròn….đều
có số lượng là 1, ta dùng số 1 để chỉ số lượng của nhóm đồ vật đó, số một viết bằng
chữ số như sau: 1, đọc là một
2. Hình thành khái niệm các số tự nhiên có hai, ba và nhiều chữ số (được
trình bày từ giai đoạn cuối lớp 1 hết học kì 1 lớp 4) :
Việc hình thành đã bớt sử dụng hình ảnh trực quan thay vào đó là là các quy ước
biểu tượng số lượng: 1 bó chục que tính, 1 que tính rời… Trình bày tường minh qua


biểu tượng sau đó khái quát, ẩn tàng khái niệm trong bài tập  Hướng cho HS dần
dần hình thành tư duy trừu tượng, khả năng suy luận.
Ví dụ: Số 23 được thể hiện bằng 2 bó chục que tính và 3 que tính rời, không phải
bằng hình vẽ 23 con thỏ / 23 ngôi sao…
3. Hình thành các khái niệm hàng và lớp của một số tự nhiên (gồm chữ số
hàng chục, hàng trăm …; lớp đơn vị, lớp nghìn, lớp triệu…) (được trình bày từ
lớp 2  hết học kì 1 lớp 4)
Thể hiện chủ yếu qua câu chữ và các con số, hầu như không sử dụng hình vẽ cụ
thể mà chỉ sử dụng các biểu tượng đã quy ước : 1,2,3… bó chục que tính ; 1,2,3…10
tấm bìa trăm ô vuông…chuyển sang cách thể hiện trừu tượng hơn, không cần các
biểu tượng đã quy ước nữa, HS vẫn có thể hiểu như thế nào là hàng đơn vị, hàng trăm,
hàng chục.., lớp đơn vị, lớp nghìn, lớp triệu… Chẳng hạn : ban đầu hàng nghìn được
thể hiện bằng 10 tấm bìa trăm ô vuông sau đó khái quát bằng con số 1000.
4. Hình thành khái niệm số tròn chục, tròn trăm, số chẵn, số lẻ… (được trình

bày từ giai đoạn cuối lớp 1 hết lớp 4)
Thể hiện chủ yếu qua câu chữ và các con số, không có hình vẽ mà là những biểu
tượng các số đã học và quy ước từ trước. Sau đó trừu tượng, khái quát hóa chỉ có chữ
và số  Kích thích khả năng tư duy logic , suy luận của HS và việc nắm bắt khái
niệm trong làm bài tập  Trình bày tường minh qua biểu tượng rồi đến ẩn tàng trong
bài tập.
Việc thể hiện khái niệm số tự nhiên trong SGK Toán tiểu học tương đối chặt
chẽ, kích thích khả năng tri giác, hình thành tư duy suy luận cho HS . Sắp xếp các
bước hình thành khái niệm phù hợp với đặc điểm phát triển tư duy của học sinh tiểu
học đó là từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng
V. Ý nghĩa thực tiễn và ứng dụng thực tiễn :
a. Ý nghĩa thực tiễn : Phản ánh số lượng của các nhóm đối tượng trong thế giới
khách quan.
b. Ứng dụng thực tiễn :


- Dùng để đếm, biểu thị số lượng  định lượng trở nên đơn giản , dễ dàng hơn.
- Định lượng về số lượng: đếm một lớp có bao nhiêu học sinh/ định lượng các đồ
vật, cây cối, con vật,…
- Định lượng về giá trị: các sự vật được định giá bằng các con số tự nhiên đi kèm
với các đơn vị tiền tệ như 100.000$,… việc buôn bán thuận tiện hơn.
- Tùy thuộc trong cuộc sống, số tự nhiên lại được ứng dụng linh hoạt với những
mục đích khác nhau. VD: Khi sản xuất thìa ăn cơm ý nghĩa dùng để ăn cơm nhưng
trong thực tế có thể sử dụng thìa như một công cụ chơi nhạc…
VI. Mức độ dạy học :
- Nội dung : Học hết lớp 4, học sinh biểu tượng đúng với mỗi đối tượng.
- Kĩ năng :
+ Đọc, viết và thành thạo các số của người Hindu Ả Rập.
+ Viết được các số La Mã : sử dụng 7 kí hiệu I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C =
100, D = 500, M = 1000.

+ Phân tích số tự nhiên theo khai triển của 10, 100, 1000.
- Thái độ:
+ Học sinh không cảm thấy khó khăn trong việc đọc,viết và so sánh số tự nhiên.
+ Học sinh thấy yêu thích các kiến thức liên quan đến số tự nhiên.
PHẦN 3 : QUAN HỆ THỨ TỰ TRÊN TẬP SỐ TỰ NHIÊN
I. Xây dựng quan hệ thứ tự trên tập số tự nhiên trong sách giáo khoa Toán tiểu
học :
1. Nội dung dạy học :
- Dạy về nhiều hơn, ít hơn….thông qua các biêu tượng.
- Quan hệ >; <; =
- Cách viết, đọc các quan hệ.


- Sắp xếp các số tự nhiên.
- Sử dụng thứ tự đã sắp xếp để đếm từ lớn đến bé và từ bé đến lớn => So sánh 2
số bằng cách đếm.
- Biểu diễn các số tự nhiên lên tia số => Sử dụng để so sánh các số ( càng gần số
0 thì bé, càng xa số 0 thì càng lớn ).
- Khái niệm số liền trước, số liền sau, số tự nhiên liên tiếp.
- Tính chất của số liền trước, số liền sau => Hình thành dãy số tự nhiên.
2. Cách hình thành :
a. Công đoạn 1 : Thông qua các biểu tượng hình thành cho học sinh khái
niệm về lớn hơn, bé hơn, rộng hơn, hẹp hơn, cao hơn, thấp hơn...
Vị trí : Công đoạn này được hình thành ở đầu lớp 1.
VD : Sách giáo khoa đưa ra hình ảnh của một số chiếc cốc và một số chiếc
thìa. Khi nối số cốc vào số thìa, ta thấy số thìa bị thừa ra. Ta nói số cốc ít hơn số thìa,
hay số thìa nhiều hơn số cốc.
b. Công đoạn 2: Hình thành quan hệ so sánh giữa các số từ 0 đến 9 thông
qua các biểu tượng :
Vị trí : Công đoạn này được xác định ở đầu lớp 1.

VD : Sách giáo khoa đưa ra một ô được chia làm 2 phần : một phần cho hình
ảnh của 1 cái ô tô, còn phần kia cho hình ảnh của 2 cái ô tô. Sau đó học sinh sẽ so
sánh số lượng ô tô của 2 phần đó : 1 < 2.
c. Công đoạn 3 :Bằng phân tích cấu tạo số, hướng dẫn cho học sinh cách so
sánh các số có 2 hoặc 3 chữ số :
Vị trí : Công đoạn này được xác định ở cuối lớp 1 ( so sánh các số có 2 chữ số
và cuối lớp 2 ( so sánh các số có 3 chữ số ).
VD : Khi so sánh số 65 và 62 ta làm như sau :


Phân tích số 62 = 60 + 2, 65 = 60 + 5
Ta thấy 5 > 2 => 65 > 62.
d. Công đoạn 4 : Xây dựng quy tắc so sánh 2 số tự nhiên : Số nào có chữ số
nhiều hơn sẽ lớn hơn. Nếu số chữ số của chúng bằng nhau thì lần lượt so sánh các chữ
số cùng hàng ( từ trái qua phải ). Số nào có số chữ số tương đương lớn hơn sẽ lớn hơn.
Vị trí : Công đoạn này được xác định ở cuối lớp 3 và lớp 4.
VD : So sánh số 1000 và 999 : ta thấy số 1000 có 4 chữ số, số 999 có 3 chữ
số ( mà 4 > 3) nên 1000 > 999.
So sánh số 6579 và 6580 : 6579 < 6580 vì các chữ số hàng nghìn đều là
6, các chữ số hàng trăm đều là 5, nhưng ở hàng chục 7 < 8.
e. Công đoạn 5 : Hình thành khái niệm: Số tự nhiên liền trước, liền sau và số
tự nhiên liên tiếp ; số chẵn liền trước (hoặc lẻ), liền sau; 2 số chẵn (lẻ) liên tiếp.
Vị trí : Công đoạn này được hình thành ở cuối lớp 1 và đầu lớp 4.
VD : Số liền trước của 8 là 7, hay 8 là số liền sau của 7, ta nói 7 và 8 là hai số
tự nhiên liên tiếp.
Số chia hết cho 2 là số chẵn, không chia hết cho 2 là số lẻ. Số 162 và 164 là hai
số chẵn liên tiếp, số 164 là số chẵn liền sau của số 162, số 162 là số chẵn liền trước
của số 164. Số 123 và 125 là hai số lẻ liên tiếp, số 123 là số lẻ liền trước của số 125,
số 125 là số lẻ liền sau của số 123.
f. Công đoạn 6 : Kết thúc nội dung về số tự nhiên ở lớp 4, ta chốt lại :

Mọi số tự nhiên đều có số liền sau.
Số 0 không có số liền trước , mọi số tự nhiên khác 0 đều có số liền trước.
0,1,2,3,4,…10,11,….gọi là dãy số tự nhiên.
Vị trí : Công đoạn này được xác định ở lớp 4.
II. Bản chất toán học:
1. Xây dựng quan hệ thứ tự trên tập số tự nhiên:
Bản chất của quan hệ thứ tự trên tập số tự nhiên là các quan hệ > ; ≥ ; < ; ≤


2. Số tự nhiên liền trước, liền sau và số tự nhiên liên tiếp :
Cho hai số tự nhiên a và b, A,và B là hai tập hợp hữu hạn sao cho A

B

và a= cardA, b = cardB. Số tự nhiên b là số kề sau của một số tự nhiên a nếu B \ A là
một tập đơn tử, hay card( B\A) =1, kí hiệu là b= a’.
III. Phân tích cơ sở toán học :
1. Xây dựng quan hệ thứ tự trên tập số tự nhiên:
Cho a, b là 2 số tự nhiên ( a, b  N), trong đó a = cardA, b = cardB. Ta nói :
a . Số tự nhiên a nhỏ hơn hoặc bằng b , kí hiệu là a ≤ b, nếu A tương đương
với một bộ phận của B ( tồn tại B’ là tập con của B sao cho A tương đương B’).
b. Số tự nhiên a nhỏ hơn b và kí hiệu là a < b, nếu a ≤ b và a # b.
c. Số tự nhiên a lớn hơn hoặc bằng b, kí hiệu là a ≥ b, nếu b ≤ a.
d . Số tự nhiên a lớn hơn b, kí hiệu là a > b, nếu b < a.
- Bổ đề Cantor :

Nếu A ~ B’

B ; B ~ A’

A thì A ~ B

Hay nói cách khác : Nếu có 2 tâp hợp mà tập này tương đương với một tập
con của tập kia thì 2 tập hợp đó tương đương nhau.
Dấu “ ≤ ; < ; ≥ ; > ’’ là quan hệ thứ tự trong tập số tự nhiên, trong đó a < b và a > b là
các bất đẳng thức nghiêm ngặt.
2. Số tự nhiên liền trước, liền sau và số tự nhiên liên tiếp :
Cho a là một số tự nhiên, a = CardA và x ∉ A. Ta gọi số tự nhiên b =
Card( A ∪ {x}) là số liền sau của số tự nhiên a, và kí hiệu là b = a’. Khi b là số liền
sau của a ta nói a là số liền trước của b, kí hiệu a = ‘ b.
Nếu a là số liền trước của b, và b là số liền sau của a thì ta nói a và b là 2
số tự nhiên liên tiếp.
IV. Hình thức thể hiện :


1. So sánh :
* Lớp 1:
- Nhiều hơn, ít hơn : Thể hiện qua hình ảnh và dưới dạng tường minh.
- So sánh số có 1 chữ số (các số từ 0 đến 9):
Trong SGK Toán tiểu học, chúng ta không hình thành cho HS khái niệm về
quan hệ nhỏ hơn hoặc bằng ( ≤ ) và lớn hơn hoặc bằng ( ≥ ), mà dựa trên cơ sở bài học
về nhiều hơn và ít hơn, cũng như các bài học về các số tự nhiên để hình thành khái
nhiệm về quan hệ nhỏ hơn ( < ), lớn hơn ( > ) => Thể hiện bằng hình ảnh trực quan và
kí hiệu và được trình bày dươi dạng tường minh.
-

So sánh số có 2 chữ số :
Thể hiện qua hình ảnh trực quan và kí hiệu - Hình ảnh que tính, kí hiệu và

được trình bày dưới dạng tường minh.

*Lớp 2 :
-

So sánh các số tròn trăm :
Thể hiện qua hình ảnh trực quan và kí hiệu, dưới dạng tường minh.

- So sánh các số có 3 chữ số: (tương tự so sánh các số có 2 chữ số)
Cách thể hiện: Hình ảnh trực quan và kí hiệu - Hình ảnh ô vuông, kí hiệu.
Qua cách so sánh các số có 2 và 3 chữ số dựa vào phân tích cấu tạo số, học sinh đã
dần hiểu được quy tắc so sánh các số có cùng số chữ số: đó là so sánh các chữ số
tương ứng từ trái qua phải, mặc dù chưa được phát biểu thành quy tắc bằng lời.
*Lớp 3: So sánh các số trong phạm vi 10 000: được ghi lại trong khung ghi nhớ
=> Trình bày dưới dạng tường minh.
*Lớp 4: So sánh và xếp thứ tự các số tự nhiên => Quy tắc bằng lời => Ẩn tàng.
2. Số liền trước, số liền sau, số tự nhiên liên tiếp, số chẵn, số lẻ :


- Ở lớp 1, HS được học về tia số, các em có thể hình dung được trực quan về thứ
tự các số tự nhiên cũng như số liền trước, số liền sau : Đưa ra hình ảnh của tia số cho
HS là một đoạn thẳng có gốc (bên trái) là số 0, bên phải là mũi tên. Tiếp theo số 0 là
các đoạn thẳng bằng nhau và cuối mỗi đoạn thẳng là các số tự nhiên 1, 2, 3, … 10. =>
Thể hiện bằng hình ảnh trực quan, khái niệm số liền trước, liền sau được trình bày
dưới dạng ẩn tàng.
- Đến lớp 4, HS được hình thành khái niệm về dãy số tự nhiên qua việc liệt kê dãy
số (chứ không sử dụng cách xây dựng dựa vào số liền sau ở trên) và chốt lại các tính
chất của số liền trước, liền sau. => Thể hiện qua lời giảng của giáo viên, được trình
bày dưới dạng ẩn tàng.
Khái niệm số chẵn và số lẻ, hai số chẵn lẻ liên tiếp được dạy ở lớp 4, nhưng trước
đó các em đã được làm các bài tập viết tiếp vào dãy số cách đều 2 đơn vị để làm quen
với các khái niệm này => Trình bày dưới dạng ẩn tàng.

=> Sách giáo khoa tiểu học thể hiện nội dung quan hệ thứ tự rất phù hợp đi từ dễ đến
khó, có tính hệ thống phân chia đều qua các lớp. Các nội dung hầu hết được trình bày
tường minh qua lý thuyết còn lại thì giúp học sinh từ bài tập có thể rút ra.
V. Ý nghĩa thực tiễn và ứng dụng thực tiễn :
1. Ý nghĩa thực tiễn :
- So sánh số lượng của 2 nhóm đồ vật.
- Định vị vị trí các vật trong một dãy, xếp hạng các vật theo thứ hạng.
2. Ứng dụng thực tiễn :
- Học tính chất của quan hệ thứ tự trên tập số tự nhiên giúp học sinh so sánh các
số nhanh hơn.
- So sánh biểu đồ dân số , lượng mưa; so sánh chiều cao, cân nặng, khoảng cách.
- Vẽ tiến trình lịch sử trên tia số; đánh dấu trang sách , truyện…
VI. Mức độ dạy học:


- Dạy cho học sinh so sánh được 2 hay nhiều số tự nhiên với nhau: biết đọc, biết
viết dấu >,< và ý nghĩa của nó
- Mọi số tự nhiên đều có số liền sau.
- Số 0 là số tự nhiên nhỏ nhất và không có số tự nhiên lớn nhất.
- Số 0 không có số liền trước. Mọi số tự nhiên khác 0 đều có số liền trước.
- 0,1,2,3…10,11,... gọi là dãy số tự nhiên.
Phần 4 : CÁC PHÉP TÍNH TRÊN TẬP SỐ TỰ NHIÊN.
I. Phép cộng số tự nhiên :
1. Nội dung dạy học :
- Hình thành khái niệm phép cộng các số tự nhiên
+ Giới thiệu cho HS bảng cộng trong phạm vi 10, 20, 100 (không nhớ và có
nhớ), 1000 (không nhớ và có nhớ), 10 000, 100 000.
+ Cộng các số có 1; 2; 3 chữ số trong phạm vi 10, 100, 1000, 10 000, 100 000.
+ Biểu thức số và cách tính giá trị biểu thức số có và không có dấu ngoặc đơn,
các biểu thức có chứa cả phép cộng và phép trừ

+ Giới thiệu thành phần của phép cộng.
- Các dạng bài tập: Đặt tính rồi tính; Tính; Tính nhẩm; Tính giá trị biểu thức; Tìm
x; Giải toán có lời văn.
- Giới thiệu các tính chất của phép cộng : giao hoán, kết hợp, phân phối, tinh chất
của số 0 và số 1 trong phép cộng.
2. Cách hình thành :
a. Công đoạn 1: Bằng công cụ là bảng số, người ta hình thành các phép cộng
trong phạm vi 10 hay còn gọi là phép cộng không nhớ các số có 1 chữ số.
Vị trí : Công đoạn này được trình bày ở lớp 1
VD :

3

2
3+2


b. Công đoạn 2: Bằng phương pháp tách số hạng trọng phép cộng, người ta hình
thành bảng cộng trong phạm vi 20 hay còn gọi là phép cộng có nhớ các số có 1 chữ
số. Ví dụ: 7 + 5 = 7 + 3 + 2 = 12. Công đoạn này được hình thành ở lớp 1.
c. Công đoạn 3: Bằng cách thiết lập các qui tắc cộng các chữ số trong cùng một
hàng, người ta xây dựng phép cộng các số có 2 hay nhiều chữ số (có nhớ và không
nhớ). VD : Số 36 + 25 . Ta lấy 6 cộng 5 bằng 11 viết 1 nhớ 1, 3 cộng 2 bằng 5 nhớ 1
là 6. Vị trí công đoạn này là vào đầu lớp 2.
d. Công đoạn 4: Sử dụng các qui tắc thực hiện phép cộng trong một dãy tính,
người ta hình thành khái niệm dãy tính đối với phép cộng hay còn gọi là phép cộng
nhiều số hạng.
3. Bản chất toán học :
Giả sử a,b ∈ N, a = cardA, b = cardB, A ∩ B = ∅ . Ta gọi tổng của 2 số tự nhiên a
và b là một số tự nhiên c sao cho c = card (A ∪ B), kí hiệu là c = a+b.

Quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số tự nhiên a, b với một số tự nhiên c nói trên ta
gọi là phép cộng các số tự nhiên. Trong đó c ( hay a+b ) là tổng, a,b là các số hạng.
4. Phân tích cơ sở toán học :
Dựa trên các bổ đề :
Bổ đề 1 : ∀ a, b ∈ N , ∃ A, B : a= cardA, b= cardB
Trong đó : A ∩ B = ∅ .
Bổ đề 2 : Nếu A ~ A’, B ~ B’ thì A ∪ B ~ A’ ∪ B’


Trong đó : A ∩ B = A’ ∩ B’= ∅
5. Hình thức thể hiện
* Lớp 1:
- Sử dụng nhiều hình ảnh trực quan, sinh động, dễ liên tưởng để hình thành khái
niệm và xây dựng phép cộng.
- Tường minh trong lí thuyết: 1 + 2 = 3
- Ẩn tàng trong bài tập:
VD: + So sánh 1 tổng với 1 số: 2 +1 …. 3
+ Cho hình ảnh, viết phép tính (Bài luyện tập trang 48, 49 SGK Toán 1)
* Lớp 2:
- Cách thể hiện tường minh : Phần lí thuyết được đóng khung màu xanh ở đầu mỗi
bài hình thành kiến thức mới. Ví dụ :
38 + 25 = ?

38
+

25

* 8 cộng 5 bằng 13, viết 3, nhớ 1.
*3 cộng 2 bằng 5, thêm 1 bằng 6 viết 6

63

- Cách thể hiện ẩn tàng:
Các bài toán có lời văn, bài tìm x, các bài học về đơn vị lít, ki lô gam được thể
hiện dưới dạng ẩn tàng.


Ví dụ: Bài 3 trong bài Ki-lô-gam (trang 32 SGK Toán lớp 2): Bao gạo to cân
nặng 25 kg, bao gạo bé cân nặng 10 kg. Hỏi cả hai bao gạo cân nặng bao nhiêu ki-lôgam?
* Lớp 3:
- Lý thuyết: tường minh. Các kiến thức được nêu ra trong khung xanh lí thuyết.
- Bài tập : ẩn tàng.
+ Cách tính nhân chia trước cộng trừ sau (Bài 2 – Tính giá trị biểu thức, trang 80)
+ Xuất hiện dưới dạng hình ảnh (Bài 3 - “Luyện tập” trang 6)
* Lớp 4: Hoạt động tính cụ thể.
6. Ý nghĩa thực tiễn và ứng dụng thực tiễn :
II. Phép trừ số tự nhiên :
1. Nội dung dạy học :
- Hình thành khái niệm phép trừ các số tự nhiên
+ Giới thiệu cho HS bảng trừtrong phạm vi 10, 20, 100 (không nhớ và có nhớ),
1000 (không nhớ và có nhớ), 10 000, 100 000
+ Trừ các số có 1; 2; 3 chữ số trong phạm vi 10, 20, 100, 1000, 10 000, 100 000.
+ Biểu thức số và cách tính giá trị biểu thức số có và không có dấu ngoặc đơn,
các biểu thức có chứa cả phép cộng và phép trừ
+ Giới thiệu thành phần của phép trừ.
- Các dạng bài tập: Đặt tính rồi tính ; Tính ; Tính nhẩm ; Tính giá trị biểu thức ;
Tìm x ; Giải toán có lời văn.
- Giới thiệu tính chất của phép nhân đối với phép trừ.
2. Cách hình thành :

a. Công đoạn 1: Bằng công cụ là bảng số, người ta hình thành các phép trừ
trong phạm vi 10 hay còn gọi là phép trừ không nhớ các số có 1 chữ số.
VD : Sau khi nhắc lại trên các đồ vật cụ thể 3 que tính với 2 que tính là 5 que
tính, hoặc 3 bông hoa với 2 bông hoa bằng 5 bông hoa, giáo viên ghi 3 + 2 = 5.
Từ 5 bông hoa đã đính ở trên bảng, giáo viên gạch đi 2 bông hoa và nói “Có
5 bông hoa, bớt đi (hoặc cho đi) 2 bông hoa, còn mấy bông hoa” (…)
Sau đó giới thiệu :
* 5 bông hoa bớt đi 2 bông hoa, còn 3 bông hoa.


* 5 bông hoa trừ 2 bông hoa còn 3 bông hoa, 5 trừ 2 còn 3, ta viết phép
tính trừ: 5 - 2 = 3.
Vị trí : Công đoạn này được hình thành ở lớp 1.
b. Công đoạn 2: Bằng phương pháp tách số hạng trong phép trừ, người ta hình
thành bảng trừ trong phạm vi 20 hay còn gọi là phép trừ các số có 1 chữ số.
VD : 7 - 5 = 7 - 3 - 2 = 2
Vị trí : Công đoạn này được hình thành ở lớp 1.
c. Công đoạn 3: Bằng cách thiết lập các qui tắc trừ các chữ số trong cùng một
hàng, người ta xây dựng phép trừ các số có 2 hay nhiều chữ số (có nhớ và
không nhớ)
VD : Tính 869- 254, ta lấy 9 trừ đi 4 bằng 5 viết 5, 6 trừ 5 bằng 1 viết 1, 8
trừ 2 bằng 6 viết 6. Vậy 869-254= 615.
Vị trí : Công đoạn này được hình thành cuối lớp 1, cuối lớp 2 và 3.
d. Công đoạn 4: Sử dụng các qui tắc thực hiện phép trừ trong một dãy tính,
người ta hình thành khái niệm dãy tính đối với phép trừ hay còn gọi là phép trừ nhiều
số hạng.
3. Bản chất toán học:
∀ a, b ∈ N , b ≤ a , ∃ duy nhất c ∈ N : b + c = a.
Ta gọi số tự nhiên c nói trên là hiệu của hai số tự nhiên a và b, và viết lại là :
a – b = c.

4. Phân tích cơ sở toán học :
Có hai cách xác định phép trừ các số tự nhiên :
Cách 1 : Cho a,b ∈ N, a ≥ b. Khi đó tồn tại hai tập hợp hữu hạn A,B sao cho
B ⊂ A, b = cardB, a = cardA. Ta định nghĩa:A - b = card (A \ B).Trong đó:(A \ B gọi
là hiệu của hai tập hợp A và B, tập hợp này gồm các phần tử thuộc A nhưng không
thuộc B).
Cách 2 :Cho a, b ∈ N , a ≥ b . Khi đó có số tự nhiên c sao cho b + c = a. Số c được
gọi là hiệu a - b. Cách định nghĩa thứ hai cho thấy ngay phép trừ là phép toán ngược
của phép cộng.
5. Hình thức thể hiện
* Lớp 1:
- Sử dụng nhiều hình ảnh trực quan, sinh động, dễ liên tưởng để hình thành
khái niệm và xây dựng phép cộng.
- Tường minh trong lí thuyết và ẩn tàng trong bài tập:


VD: + So sánh 1 hiệu với 1 số: 2 -1 …. 1,vv
+ Cho hình ảnh, viết phép tính
* Lớp 2:
- Cách thể hiện tường minh : Phần lí thuyết được đóng khung màu xanh ở
đầu mỗi bài hình thành kiến thức mới.
- Cách thể hiện ẩn tàng: Các bài toán có lời văn, bài tìm x được thể hiện
dưới dạng ẩn tàng.
VD : Bài 4 trong bài 14 trừ đi một số: 14 – 8 (trang 61 SGK Toán 2): Một
cửa hàng có 14 quạt điện, đã bán 6 quạt điện. Hỏi cửa hàng đó còn lại mấy quạt điện ?
* Lớp 3:
- Tường minh trong lý thuyết: Các kiến thức được nêu ra trong khung xanh
lí thuyết.
- Ẩn tàng trong bài tập:
+ Cách tính nhân chia trước cộng trừ sau (Bài 5 - LTC trang 90, SGK

Toán lớp 3)
+ Xuất hiện dưới dạng hình ảnh (Bài “Ôn tập về giải toán” trang 12)
* Lớp 4: hoạt động tính cụ thể.
III. Phép nhân số tự nhiên :
1. Nội dung dạy học
- Hình thành khái niệm phép nhân các số tự nhiên :
+ Giới thiệu cho học sinh bảng nhân với 2,3,4,5,6,7,8,9
+ Xây dựng các quy tắc nhân số có 2,3 hay nhiều chữ số với số có 1 chữ số
+ Xây dựng quy tắc nhân phối số có 2,3 và nhiều chữ số
+ Giới thiệu các quy tắc nhân nhẩm với 10, 100, 1000,… và nhân nhẩm số có
2 chữ số với 11.
- Giới thiệu thành phần của phép nhân và quy tắc tìm thành phần chưa biết của
phép nhân


- Giới thiệu các tính chất của phép toán : giao hoán, kết hợp, phân phối, tính chất
của số 1 và số 0 trong phép nhân.
2. Cách hình thành :
a. Công đoạn 1 : Hình thành khái niệm phép nhân các STN như một cách kí hiệu
phép cộng nhiều số hạng bằng nhau
VD 2 + 2 +2 = 2.3
Vị trí : Công đoạn này được hình thành ở lớp 2 .
b. Công đoạn 2 : Bằng thao tác trực quan người ta giới thiệu cho học sinh các
bảng nhân ( hay còn gọi là bảng cửu chương ) với 2,3 ,4…,9.
Vị trí : Công đoạn này được hình thành ở lớp 2 và 3.
c. Công đoạn 3 : Dựa vào bảng cửu chương người ta xây dựng các quy tắc nhân
số có 2, 3,… nhiều chữ số với số có 1 chữ số.
Vị trí : Công đoạn này được hình thành ở lớp 3.
d. Công đoạn 4 : Dựa vào kết quả ở công đoạn 3 người ta xây dựng quy tắc nhân
với số có 2, 3 và nhiều chữ số.

Vị trí : Công đoạn này được hình thành ở lớp 4.
e. Công đoạn 5 : Giới thiệu các quy tắc nhân nhẩm với 10, 100, 1000 và nhân
nhẩm số có 2 chữ số với 11.
Vị trí : Công đoạn này được hình thành ở lớp 3 và 4.
3. Bản chất toán học :
Cho a, b N, a = card A và b = card B, A
. Ta gọi tích của hai STN a, b
là một STN p. Kí hiệu là p = a x b hoặc (a.b).
Trong đó : p = card ( A x B )
Quy tắc cho tương ứng mỗi cặp STN a, b và một STN p nói trên ta gọi là phép
nhân các STN. Trong đó, p gọi là tích ( a x b cũng gọi là tích ) và a, b gọi là các
thừa số hay còn gọi là các nhân tử.
4. Phân tích cơ sở toán học :
Bổ đề 1 : ∀ a, b ∈ N , ∃ A, B : a= cardA, b= cardB
Trong đó : A ∩ B = ∅ .
Bổ đề 2 : Nếu A ~ A’, B ~ B’ thì A ∪ B ~ A’ ∪ B’
Trong đó : A ∩ B = A’ ∩ B’= ∅
5. Hình thức thể hiện
* Lớp 2 +3 :
- Tường minh trong khung lí thuyết


Ví dụ: Trong khung lí thuyết bài Thừa số - Tích nêu lên tên gọi các thành phần
của phép nhân
- Ẩn tàng trong bài tập :
+ Cách tính nhân chia trước cộng trừ sau (Bài Luyện tập trang 100)
+ Lập bảng nhân 1 (Bài Luyện tập trang 134)
+ Nhân/chia nhẩm với số tròn chục (Bài Luyện tậpchung trang 135)
- Xuất hiện dưới dạng hình ảnh: Các chấm tròn trong phần khung lí thuyết.
* Lớp 4 :

- Các kiến thức được thể hiện 1 cách rất tường minh trong phần lý thuyết. Còn
trong các bài toán thì được thể hiện 1 cách ẩn ý, tự học sinh phải hiểu vs dùng kiến
thức nào vừa học.
IV. Phép chia các số tự nhiên
1. Nội dung dạy học:
a. Phép chia:
- Hình thành khái niệm phép chia.
- Giới thiệu cho học sinh bảng chia với 2,3,4,5,6,7,8,9.
- Giới thiệu phép chia hết và phép chia có dư đối với trường hợp số bị chia có 2
chữ số và số chia có 1 chữ số.
- Hình thành quy tắc chia số có 2,3 hay nhiều chữ số cho số có 1 chữ số
- Hình thành cho học sinh quy tắc chia nhẩm 1 số có tận cùng là những chữ số 0
cho 10, 100, 1000,..
b. Giới thiệu thành phần của phép chia và quy tắc tìm thành phần chưa biết của
phép chia.
c. Giới thiệu các tính chất của phép chia : Chia một tích cho một số ; Chia một số
cho một tích ; Chia một tổng hoặc một hiệu cho một số ; Tính chất của số 0 và số 1
trong phép chia.
2. Cách hình thành phép chia các số tự nhiên:
a. Công đoạn 1: Bằng thao tác trực quan cho học sinh phép chia được hiểu như 1
phép tính ngược của phép nhân.


VD : 3 x 2 = 6 tức là 6 : 2 = 3 hay 6 : 3 = 2.
Vị trí : Công đoạn này được hình thành ở lớp 2.
b. Công đoạn 2: Bằng các thao tác trực quan, sách giáo khoa lần lượt giới thiệu các
bảng chia cho 2, 3,..., 9. Vị trí : Đầu kì II lớp 2.
c. Công đoạn 3: Giới thiệu phép chia hết và phép chia có dư đối với trường hợp số
bị chia có 2 chữ số và số chia có 1 chữ số. Vị trí : Đầu lớp 3.
d. Công đoạn 4: Dựa vào kĩ thuật đối với phép chia trong bảng và phép chia có dư,

người ta hình thành các quy tắc chia số có 2, 3,.. và nhiều chữ số cho số có 1 chữ số.
Vị trí : Cuối lớp 3.
e. Công đoạn 5: Dựa vào kĩ năng thực hiện phép chia cho số có 1 chữ số người ta
hình thành cho học sinh qui tắc chia số có 2,3 chữ số. Vị trí : Lớp 4.
f. Công đoạn 6: Giới thiệu cho học sinh quy tắc chia nhẩm 1 số có tận cùng là
những chữ số 0 cho 10, 100,… Vị trí : lớp 4
3. Bản chất của phép chia số tự nhiên:
Giả sử a, b ∈ N, a  b và a: b = q . Ta gọi số tự nhiên q là thương của 2 số tự nhiên
a và b. Quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số tự nhiên a, b với một số tự nhiên q nói trên
gọi là phép chia ( hay còn gọi là phép chia hết ) các số tự nhiên. Trong đó, a là số bị
chia, b là số chia, q là thương và a: b cũng được gọi là thương.
∀ a, b ∈ N, b ≠ 0 và a = b.q + r . Ta gọi số tự nhiên q và r lần lượt là thương gần

đúng (còn gọi là thương hụt ) ở trong phép chia a cho b và viết lại là a : b = q ( dư r ).
Quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số tự nhiên a, b với một cặp q, r nói trên gọi là phép
chia có dư trên tập N. Trong đó, a là số bị chia, b là số chia, q là thương và r là số dư.
4. Cơ sở toán học của phép chia số tự nhiên:
- Phép chia : Dựa vào định nghĩa về quan hệ chia hết :
Cho a, b ∈ N, b ≠ 0. Ta nói rằng số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b và kí
hiệu là a  b nếu tồn tại một số tự nhiên q sao cho a= p.q.


Khi a chia hết cho b ta còn nói b chia hết a và kí hiệu là b| a. Trong trường hợp
này ta sẽ nói b là ước của a và a là bội của b.
- Phép chia có dư : Dựa vào định lí của phép chia có dư trong tập N :
Giả sử a, b ∈ N, b ≠ 0. Khi đó tồn tại số tự nhiên q và r sao cho a= b.q +r,
0 ≤ r < b.
5. Hình thức thể hiện:
* Lớp 2 + 3:
- Tường minh trong khung lí thuyết : Trong bài tìm số bị chia, khung lí thuyết

đã nêu ra cách tìm số bị chia “ Muốn tìm số bị chia ta lấy thương nhân với số chia”
- Ẩn tàng trong BT:
+ Cách tính nhân chia trước cộng trừ sau ( Bài Luyện tập trang 100)
+ Lập bảng nhân ( Bài Luyện tập trang 134)
+ Nhân/ chia nhẩm với số tròn chục ( Bài Luyện tập chung trang 135 ).
* Lớp 4: Các kiến thức được đưa ra dưới dạng mệnh đề, công thức.
Thể hiện rất tường minh trong phần lý thuyết. Còn trong các bài toán thì
được thể hiện 1 cách ẩn tàng, tự học sinh phải hiểu cần dùng kiến thức nào vừa học.
=> Cách sắp xếp của sách giáo khoa hợp lí, từ khái niệm đến việc hình thành bảng
chia. Sau mỗi tiết hình thành bảng chia là mở rộng thêm 1 tiết về các phân số ½, 1/3,
¼, 1/5 để học sinh bước đầu làm quen với khái niệm phân số. Cùng với đó là các tiết
luyện tập và luyện tập chung để củng cố bài học.
Tuy nhiên phần Các thành phần của phép chia lại giới thiệu sau khi học bảng chia
2 chứ không giới thiệu ngay sau khi học bài phép chia (như phần phép nhân). Nếu đưa
lên trước sẽ phù hợp hơn và liền mạch hơn.
* Ý nghĩa thực tiễn và ứng dụng thực tiễn của các phép toán với số tự nhiên :
- Ý nghĩa thực tiễn :


Phép cộng là sự thêm hay gộp một lượng sự vật vào một lượng ban đầu trong
thế giới khách quan.
Phép trừ là việc bớt đi hay tách ra một lượng sự vật so với lượng ban đầu.
Phép nhân là sự thêm vào nhiều lần một số lượng.
Phép chia là sự bớt đi nhiều lần một số lượng.
- Ứng dụng thực tiễn :
+ Giúp mọi người giải quyết các vấn đề thường gặp về tính toán trong học tập,
trong cuộc sống (biết cách tính số lượng vở cần mua, số tiền cần để mua quần áo...).
+ Việc dạy học phép nhân là nâng cao và rút ngắn thời gian thực hiện của phép
tính cộng, làm đơn giản phép tính và dễ dàng thực hiện các biểu thức phức tạp.
+ Là các phép tính cơ bản trong các ngành khoa học, làm cho việc nghiên cứu

khoa học được phát triển. Hầu hết các môn nghiên cứu khoa học từ khtn đến khxh đều
có sự đóng góp của các phép tính toán cộng, trừ, nhân, chia.
+ Các phép tính được sử dụng hiệu quả trong đời sống, phép nhân xuất hiện
trong rất nhiều các lĩnh vực của đời sống: tính toán tài chính, kiến trúc xây dựng, phần
mềm, đồ họa, kĩ thuật lắp ráp với số liệu tuyệt đối, vật lý hạt nhân nguyên tử,..
* Mức độ dạy học của các phép toán trên tập số tự nhiên :
- Giúp học sinh nắm được các phép toán cộng, trừ, nhân, chia.
- Giúp học sinh thuộc được các bảng cộng, trừ, nhân, chia từ 2 đến 9.
- Học sinh nắm được những kiến thức liên quan đến các phép toán cộng, trừ, nhân,
chia để thực hành các bài tập liên quan.
- Hiểu và biết vận dụng các tính chất của các phép toán.

- Hết-