Bài giảng cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyết đàn hồi chương 8 nhập môn phương pháp phần tử hữu hạn

®¹i häc

CƠ
CƠ SỞ
SỞ CƠ
CƠ HỌC
HỌC MÔI
MÔI TRƯỜNG
TRƯỜNG LIÊN
LIÊN TỤC
TỤC
VÀ
VÀ LÝ
LÝ THUYÊT
THUYÊT ĐÀN
ĐÀN HỒI
HỒI
Trần Minh Tú
Đại học Xây dựng – Hà nội

Bộ môn Sức bền Vật liệu
Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

1(53)


Chương 8

Nhập môn
phương pháp phần tử hữu hạn

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

2(53)


NỘI DUNG
8.1.
8.1.Mở
Mởđầu
đầu
8.2.
8.2.Khái
Kháiniệm
niệmvề
vềPhương
Phươngpháp
phápPTHH
PTHH
8.3.
8.3.Trình
Trìnhtự
tựphân
phântích

tíchbài
bàitoán
toántheo
theoPP
PPPTHH
PTHH
8.4.
8.4.Phần
Phầntử
tửtam
tamgiác
giáctrong
trongphép
phépgiải
giảitheo
theochuyển
chuyểnvịvị

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

3(53)


8.1. Mở đầu
8.1.
8.1.Mở
Mởđầu

đầu

Trong chương trước, ta đã giải bài toán phẳng theo ứng suất với việc
sử dụng hàm ứng suất Airy dạng đa thức hoặc chuỗi lượng giác –
các lời giải này là lời giải giải tích. Số bài toán cho nghiệm giải tích là
rất ít, đặc biệt là những bài toán không gian.
Với các bài toán không thể cho nghiệm giải tích, người ta thường tìm
cách giải gần đúng – kết quả không phải là hàm giải tích mà là giá trị
của các đại lượng cần tìm tại một số điểm nhất định trong vật thể và
trên biên => Phương pháp số
Phương pháp số:

9Giải các phương trình vi phân: tích phân số, sai phân hữu hạn (rời

rạc hóa toán học, đưa các phương trình vi phân về các phương trình
đại số)

9Phương pháp Phần tử hữu hạn (PP PTHH): rời rạc hoá mô hình vật

thể - mô hình tương thích, mô hình cân bằng và mô hình hỗn hợp.
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

4(53)


8.1. Mở đầu
• Ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực

• Các ứng dụng
‰ Cơ học/Hàng không/Xây dựng/ Công nghiệp ô tô
‰ Phân tích kết cấu (tĩnh, động,tuyến tính/phi tuyến)
‰ Nhiệt/dòng chảy
‰ Điện từ
‰ Cơ học đất đá
‰ Sinh học
‰ ...

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

5(53)


8.1. Mở đầu

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

6(53)


8.2. Khái niệm về Phương pháp PTHH
8.2.
8.2.Khái

Kháiniệm
niệmvề
vềPhương
Phươngpháp
phápPTHH
PTHH

Miền xác định V của vật thể chia thành một số hữu hạn các miền con phần tử hữu hạn (finite element), liên kết với nhau tại các nút (node).
2
3

e
1

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

7(53)


8.2. Khái niệm về Phương pháp PTHH
Trong phạm vi mỗi phần tử, đại lượng cần tìm được lấy xấp xỉ bởi một
hàm đơn giản nào đó gọi là hàm dạng (shape function) hoặc hàm nội suy
(interpolation function). Các hàm này được biểu diễn qua giá trị của hàm
tại các điểm nút phần tử. Số lượng các giá trị này tại mỗi nút gọi là bậc tự
do của nút. Tổng số bậc tự do của các nút trong phần tử là số bậc tự do
của phần tử và là ẩn số cần tìm của bài toán.
Tùy theo ý nghĩa vật lý của hàm xấp xỉ mà người ta có thể phân tích bài

toán theo các mô hình:

•

Mô hình tương thích: ẩn số cơ bản là chuyển vị (được sử dụng
rộng rãi hơn).
• Mô hình cân bằng: ẩn số cơ bản là ứng suất.
• Mô hình hỗn hợp: ẩn số vừa là ứng suất vừa là chuyển vị.

Giả thiết: Các phần tử chỉ liên kết với nhau tại các nút. Tại nút có

chuyển vị nút và lực nút. Lực nút bao gồm lực tương tác giữa các phần
tử và tải trọng nút (tải tập trung tại nút, tải trọng phân bố qui đổi về nút)
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

8(53)


8.3. Trình tự phân tích bài toán theo PP PTHH
8.3.
8.3.Trình
Trìnhtự
tựphân
phântích
tíchbài
bàitoán
toántheo

theoPP
PPPTHH
PTHH

Bước 1: Rời rạc hoá miền khảo sát
Miền khảo sát V được chia thành các phần tử Ve có hình dạng thích

hợp. Số phần tử, hình dạng hình học, kích thước phần tử được xác định.
Số điểm nút từng phần tử được lất tùy thuộc vào dạng hàm xấp xỉ định
chọn. Các phần tử thường có dạng hình học đơn giản.

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

9(53)


Mesh

Elements

One-dimensional

Planar

Shell

Solid

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

10(53)


July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

11(53)


8.3. Trình tự phân tích bài toán theo PP PTHH
Bước 2: Chọn hàm xấp xỉ thích hợp

Giả thiết dạng hàm xấp xỉ sao cho đơn giản khi lập trình máy tính nhưng
đồng thời phải thỏa mãn điều kiện hội tụ.
Bước 3: Xây dựng ma trận độ cứng phần tử [Ke] và vec tơ tải phần tử {Pe}
bằng nhiều cách: trực tiếp, sử dụng nguyên lý biến phân,... Phương trình
phần tử có thể biểu diễn dưới dạng

[ Ke ]{q}e = {P}e

{q}e - vec tơ các bậc tự do của phần tử.

Bước 4: Ghép nối các phần tử để có hệ thống phương trình

[K ]

[ K ]{q} = {P}

{q} - vec tơ chuyển vị nút tổng thể
{P}

July 2009

- ma trận độ cứng tổng thể

- vec tơ tải tổng thể.

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

12(53)


8.3. Trình tự phân tích bài toán theo PP PTHH
Sử dụng các điều kiện biên để nhận được hệ phương trình để giải

⎡⎣ K * ⎤⎦ {q* } = { P* }

(*)

Bước 5: Giải hệ phương trình (*) để tìm các chuyển vị nút => Xác định
ứng suất, biến dạng trong từng phần tử.

1
12
14
13

July 2009

2

3

4

5 11

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

13(53)


8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
8.4.
8.4.Phần
Phầntử
tửtam
tamgiác
giáctrong
trongphép

phépgiải
giảitheo
theochuyển
chuyểnvịvị
8.4.1. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị (mô hình tương thích)

• Các nút: i, j, k –

đánh số theo chiều ngược chiều kim đồng hồ

• Toạ độ các nút :
( x i , yi ) , x j , y j , ( x k , yk )

(

)

• Chiều dày phần tử: t
• Diện tích phần tử:
1

1
Δ = Det xi
2
yi
July 2009

1

1

xj

xk

yj

yk

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

14(53)


8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
• Vec tơ chuyển vị nút: mỗi nút có hai thành phần chuyển vị theo hai
phương x, y là u, v

• Vec tơ chuyển vị nút phần tử

{q}e

{q}e

⎧ qi ⎫
⎪ ⎪
= ⎨ q j ⎬ = {ui
⎪q ⎪
⎩ k⎭

July 2009

⎫
⎬ displacements at node i
⎭

⎧ ui ⎫
⎪v ⎪
i ⎪
⎪
q
⎧ i⎫
⎪ ⎪ ⎪u j ⎪
= ⎨q j ⎬ = ⎨ ⎬
⎪q ⎪ ⎪ v j ⎪
⎩ k ⎭ ⎪u ⎪
k
⎪ ⎪
⎩ vk ⎭
vi

uj

⎫
⎬ displacements at node j
⎭
⎫
⎬ displacements at node k
⎭

vj

uk

vk } = {q1
T

q2

q3

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

q4

q5

q6 }

T

15(53)


8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
Chuyển vị tại điểm bất kỳ bên trong phần tử: u, v

{U ( x , y )} = N ( x , y ) {q}e
N2 0

⎡ N1 0
N=⎢
0 N1
0 N2
⎣






Node 1

July 2009

Node 2

N3 0 ⎤
0 N 3 ⎦⎥




Hàm dạng
(shape function)
Hàm nội suy
(interpolation function)

Node 3

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

16(53)


8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
• Vec tơ lực tương tác tại nút phần tử : Tại các nút đều có lực tương tác

giữa các phần tử ta gọi chúng là các lực nút. Tại mỗi nút có 2 thành phần
lực nút theo hai phương x, y là U, V, chúng tạo thành vec tơ lực nút phần
tử
⎧ Ri ⎫
T
⎪ ⎪
R
R
U
V
U
V
U
V
=
=
{ }e ⎨ j ⎬ { i i j j k k }
⎪R ⎪
⎩ k⎭

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

17(53)


8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
• Vec tơ tải trọng nút phần tử : tại các nút có tải trọng tác dụng (tải trọng
tập trung hoặc tải trọng phân bố qui đổi về tải trọng tập trung tại nút) mà
2 thành phần theo hai phương là X và Y

{ F }e
July 2009

⎧ Fi ⎫
⎪ ⎪
= ⎨ Fj ⎬ = { X i
⎪F ⎪
⎩ k⎭

Yi

X j Yj

Xk

Yk } = {F1
T

F2

F3

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

F4

F5

F6 }

T

18(53)


8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
Khi ghép các phần tử thành vật thể thì theo điều kiện cân bằng, tổng
các lực tương tác phần tử tại mỗi nút sẽ triệt tiêu và chỉ còn tổng các
tải trọng tại từng nút.
Cũng do vật thể ở trạng thái cân bằng nên tại các nút các lực cũng
phải cân bằng, và do vậy tại nút thứ i ta có (e là số phần tử tại nút i):

∑ {R } = {F }
i

i

e

Trên mỗi phần tử, các tải trọng nút phần tử có thể biểu diễn qua
chuyển vị nút (từ điều kiện cân bằng phần tử):

{F }e = [ Ke ]{q}e
ẩn số cần tìm
July 2009

[ Ke ]

- ma trận độ cứng phần tử

{q}e - vec tơ chuyển vị nút phần tử
{F }e - vec tơ tải trọng nút phần tử.

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

19(53)


8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
8.4.2. Hàm xấp xỉ chuyển vị
Giả thiết chuyển vị tại điểm bất kỳ thuộc phần tử là hàm bậc nhất của toạ độ.

u ( x, y ) = α1 + α 2 x + α 3 y
v ( x, y ) = α 4 + α 5 x + α 6 y

Như vậy giá trị chuyển vị nút tại các đỉnh i, j, k sẽ là:

ui = α1 + α 2 xi + α 3 yi
u j = α1 + α 2 x j + α 3 y j

uk = α1 + α 2 xk + α 3 yk

vi = α 4 + α 5 xi + α 6 yi
v j = α 4 + α5 x j + α6 y j

αi

vk = α 4 + α 5 xk + α 6 yk
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

20(53)


8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
Biểu thức của chuyển vị.

{

}

{

}

1
[ ai + bi x + ci y ] ui + ⎡⎣ a j + b j x + c j y ⎤⎦ u j + [ ak + bk x + ck y ] uk
2Δ
1
v ( x, y ) =
[ ai + bi x + ci y ] vi + ⎡⎣ a j + b j x + c j y ⎤⎦ v j + [ ak + bk x + ck y ] vk
2Δ

u ( x, y ) =

trong đó:

ai = x j yk − xk y j

bi = y j − yk

a j = xk yi − xi yk

b j = yk − yi

ak = xi y j − x j yi

bk = yi − y j

ci = − x j + xk
c j = − xk + xi
ck = − xi + x j
(8.10)

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

21(53)


8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
8.4.3. Biểu thức biến dạng
Theo quan hệ chuyển vị - biến dạng :

ε xx

∂u
,
=
∂x

ε yy

⎧ ε xx ⎫
⎡bi
⎪
⎪ 1 ⎢
ε = ⎨ ε yy ⎬ =
0
⎢
⎪2ε ⎪ 2Δ ⎢ c
⎩ xy ⎭

⎣ i

∂u ∂v
∂v
+
= , γ xy =
∂y ∂x
∂y

0
ci

bj
0

0
cj

bk
0

bi

cj

bj

ck

⇒ {ε } = [ B ]{q}e

Ma trận hình học

July 2009

0⎤
⎥
ck ⎥ {ui
bk ⎥⎦

⎡bi
1 ⎢
B
=
0
[ ]
⎢
2Δ
⎢ci
⎣

vj

uj

vj

0
ci

bj

0

0
cj

bk
0

bi

cj

bj

ck

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

uk

vk }

T

0⎤
⎥
ck ⎥
bk ⎥⎦
22(53)

8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
8.4.4. Biểu thức ứng suất
Quan hệ ứng suất – biến dạng :

⎡
⎤
⎢1 ν
⎧σ xx ⎫
0 ⎥ ⎧ε xx ⎫
⎥⎪ ⎪
E ⎢
⎪ ⎪
σ = ⎨σ yy ⎬ =
ν 1
0 ⎥ ⎨ε yy ⎬ = [ D ][ B ]{q}e
2 ⎢
⎪σ ⎪ 1 −ν ⎢
⎪ε ⎪
⎥
1
−
ν
⎩ xy ⎭
⎢0 0
⎥ ⎩ xy ⎭ Ma trận đàn hồi
2 ⎦
⎣
⎡

⎤
⎢1 ν
0 ⎥
⎥
E ⎢
ν
1
0
[ D] =
⎥
1 −ν 2 ⎢⎢
1 −ν ⎥
⎢0 0
⎥
⎣
2 ⎦

(ứng suất phẳng)
July 2009

⎡
⎢1 −ν
⎢
E
ν
[ D] =
(1 + ν )(1 − 2ν ) ⎢⎢
⎢ 0
⎣

ν
1 −ν
0

⎤
0 ⎥
⎥
0 ⎥
1 − 2ν ⎥
⎥
2 ⎦

(biến dạng phẳng)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

23(53)


8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
8.4.5. Quan hệ lực nút - chuyển vị nút - Ma trận độ cứng phần tử
Nguyên lý chuyển vị khả dĩ Lagrange

Ở trạng thái cân bằng nếu hệ có thêm các chuyển vị khả dĩ thì trị tuyệt
đối của công ngoại lực và của công nội lực bằng nhau: A = U
Ở trạng thái cân bằng phần tử có:

- vec tơ lực nút

{Fe }

{qe }
{ε } = [ B ]{qe }
{σ } = [ D ][ B ]{qe }

- vec tơ chuyển vị nút
- vec tơ biến dạng
- vec tơ ứng suất

{q }
{ε } = [ B ]{q }
*
e

Khi cho các nút phần tử một chuyển vị khả dĩ
phần tử có biến dạng khả dĩ là

July 2009

*

*
e

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

24(53)

8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
Công của ngoại lực

{Fe }

trên các chuyển vị khả dĩ là:

A = {q

} {F }

* T
e

e

Công nội lực trên toàn bộ phàn tử:

U = ∫ t {ε
S

*

}

T

(

{σ } dS = ∫ t [ B ]{q

*
e

})

S

⇒ U = t Δ {q

}

* T
e

T

{σ } dS = ∫ t {q

[ B ] [ D ][ B ]{qe }
T

}

* T
e

[ B ] [ D ][ B ]{qe } dS
T

S

k

Cân bằng với công A, ta thu được biểu thức:

{F }e = ( t Δ [ B ] [ D ][ B ]) {q}e = [ Ke ]{q}e
T

Ma trận độ cứng phần tử [Ke]
July 2009

F = k.u
Độ cứng lò xo

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

25(53)