Chuyên đề đặc biệt ĐIỂM CỐ ĐỊNH trong hình học dành cho thi vào lớp 10 trường chuyên, lớp chọn

CHUYÊN ĐỀ III: ĐIỂM CỐ ĐỊNH TRONG HÌNH HỌC
Trong một số bài hình học, đề bài cho một điểm chuyển động, khi đó thường kéo
theo một đường chuyển động và vấn đề đặt ra là cần tìm điểm cố định mà các
đường chuyển động đó luôn đi qua.
Trước hết cần lưu ý phân biệt giữa cố định và không đổi. Thường “cố định” bao
gồm hai nội dung: Độ lớn (kích thước) không đổi và cả vị trí cũng không thay đổi.
Còn “không đổi” thì chỉ độ lớn (kích thước) không thay đổi còn vị trí thì vẫn thay
đổi.
Để chứng minh điểm X cố định, thường đưa về một trong các trường hợp sau:
1. Điểm X cố định vì là giao điểm của những đường cố định.
2. Điểm X cố định vì thuộc đường (C) cố định, trên đó có điểm A cố định và đoạn
AX có độ dài không đổi.
3. Điểm X cố định vì thuộc đường (C) cố định, trên đó có 2 điểm A, B cố định và tỉ
AX
số
không đổi (điểm X chia đoạn AB theo một tỷ số không đổi ).
BX
4. Điểm X cố định vì nó trùng với 1 điểm cố định đã cho trong đề bài.
Khi giải các bài toán có câu hỏi về tìm điểm cố định, ta cần theo hai bước: Tìm
chính xác điểm đó rồi chứng minh điểm đó cố định.
Việc dò tìm điểm là rất quan trọng. Ta có thể làm như sau :
1. Tập trung chú ý vào các điểm cố định, các đường cố định có trong đề bài (hoặc
được suy ra từ đề bài), tính chất đối xứng của hình vẽ.
2. Tốt nhất là tìm cách vẽ thêm một vị trí khác của điểm chuyển động. Khi đó hai
đường chuyển động cắt nhau ở đâu thì đó chính là điểm cố định cần tìm.
Tất nhiên trường hợp vẽ thêm này, ta phải bố trí vào các vị trí đặc biệt, thậm chí
phải chọn một vài vị trí đặc biệt thì mới tìm được điểm cố định.
Các vị trí đặc biệt thường gặp:

GV: Hoàng Đại Việt ; Email:

1


- Với một điểm, vị trí đặc biệt có thể là ở hai đầu mút hoặc ở chính giữa của một
đoạn thẳng hay một cung tròn.
- Với 2 đường thẳng, hai đường thẳng song song là vị trí đặc biệt của hai đường
thẳng cắt nhau khi giao điểm ở xa vô tận.
- Với đường tròn, tiếp tuyến có thể coi là vị trí đặc biệt của cát tuyến khi hai điểm
cắt trùng nhau, đường thẳng có thể coi là vị trí đặc biệt của đường tròn có bán kính
vô cùng lớn.
Sau đây là một số bài để tham khảo :
Bài 1. Cho đường tròn (O) đường kính BC và dây BA cố định. Điểm M di chuyển
trên đường tròn (O). Từ trung điểm E của AM vẽ đường song song với với CM,
đường này cắt BM ở I.
a) Chứng minh đường EI luôn đi qua điểm cố định P.
b) Tìm tập hợp I.
c) Tìm vị trí M để ∆PBI có diện tích lớn nhất.
Bài 2. Cho đường tròn (O) bán kính R, một đường thẳng xy tiếp xúc với (O) tại
điểm A cố định. Từ điểm B trên đường tròn vẽ BH vuông góc với xy tại H (mà
H ≠ A). Cho B chuyển động trên đường tròn.

 luôn đi qua điểm cố định.
a) Chứng minh phân giác ngoài của góc OBH
 , chứng minh điểm M thuộc
b) Gọi M là giao điểm của BH với phân giác góc BOA
một đường tròn cố định.
 , điểm C
Bài 3. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Điểm K chính giữa AB
 nhỏ. Trên BC lấy M sao cho BM = AC.
chuyển động trên cung AK

a) Chứng minh ∆CKM vuông cân.
b) Chứng minh đường thẳng kẻ từ M, vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố
định. Từ đó suy ra tập hợp M.

GV: Hoàng Đại Việt ; Email:

2


c) Trên BC lấy điểm D sao cho CD = CA, chứng minh trung trực của AD đi qua
một điểm cố định.
d) Chứng minh tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC và 3 điểm A, D, B cùng thuộc một
đường tròn.
Bài 4. Cho đoạn thẳng AB = 2a và điểm M ở giữa AB. Trong cùng nửa mặt phẳng
bờ AB, vẽ các hình vuông AMCD và MBEF. Hai đường thẳng AF, BC cắt nhau ở
N.
a) Chứng minh AF  BC và điểm N thuộc hai đường tròn ngoại tiếp hai hình vuông
trên.
b) Chứng minh D, N, E thẳng hàng và đường MN vuông góc với DE tại N.
c) Cho A, B cố định còn M di chuyển trên đoạn AB.
* Chứng minh đường thẳng MN đi qua 1 điểm cố định.
* Chứng minh BN. BC + AF. AN không đổi.
d) Tìm vị trí M để
* Độ dài đoạn MN lớn nhất.
* Tích FA.FN có giá trị lớn nhất.
* Tổng S12  S22 nhỏ nhất với S1 là diện tích ∆DCF, S2 là diện tích ∆AMF.
Bài 5. Cho hình vuông ABCD tâm O . Đường thẳng d quay quanh O cắt các cạnh
AD, BC ở E, F (không trùng với đỉnh hình vuông). Từ E kẻ đường song song với
DB và từ F kẻ đường song song với AC, chúng cắt nhau ở I.

a) Tìm tập hợp các điểm I.
b) Từ I vẽ vuông góc với EF tại H. Chứng minh H thuộc một đường tròn cố định.
c) Chứng minh đường thẳng IH đi qua một điểm cố định.

 , trên tia Ax lấy điểm B cố định còn trên tia Ay có điểm
Bài 6*. Cho góc vuông xAy
C chuyển động. Đường tròn tâm I nội tiếp ∆ABC, tiếp xúc với CB, CA thứ tự ở M,
N.
GV: Hoàng Đại Việt ; Email:

3


a) Chứng minh đường thẳng MN đi qua điểm E cố định.
b) Vẽ BH  MN, gọi G là trọng tâm ∆ABE. Tìm vị trí C để đoạn GH là ngắn nhất.
Bài 7. Cho hai đường tròn ( O, R) và ( O’, r ) tiếp xúc ngoài tại A và R > r. Đường
thẳng d đi qua A, không vuông góc hoặc trùng với đường nối tâm, cắt đường tròn
(O) ở M (khác A) và cắt đường tròn (O’) ở N (khác A). Vẽ đường kính ME của
đường tròn (O).
a) Chứng minh đường thẳng EN đi qua điểm I cố định khi d quay quanh A.
b) Tính độ dài đoạn IA.
c) Chứng minh ∆AEN và ∆AMF có diện tích bằng nhau.
d) Chứng minh A và I chia đoạn OO’ theo cùng một tỷ số.
 , lấy 2 điểm I, K thứ tự trên Ox và Oy. Vẽ đường tròn
Bài 8. Cho góc vuông xOy

tâm I bán kính OK, cắt Ox ở M (điểm I ở giữa OM). Vẽ đường tròn tâm K bán kính
OI, cắt Oy ở N (điểm K ở giữa ON).
a) Chứng minh hai đường tròn (I) và (K) luôn cắt nhau tại A, B.
b) Tiếp tuyến tại M của đường tròn (I) và tiếp tuyến tại N của đường tròn (K) cắt

nhau ở C. Chứng minh tứ giác OMCN là hình vuông.
c) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
d) Cho I và K di động sao cho OI + OK = a không đổi, chứng minh đường thẳng
AB đi qua một điểm cố định.
Bài 9. Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm A cố định ở ngoài đường tròn.
Đường thẳng d vuông góc với OA tại A. Trên d có điểm M di động, từ M vẽ hai
tiếp tuyến MB, MC tới (O) với B, C là hai tiếp điểm. Dây BC cắt OM, OA thứ tự ở
H, K.
a) Chứng minh OH.OM = OK.OA
b) Chứng minh đường thẳng BC đi qua 1 điểm cố định và H thuộc một đường cố
định.

GV: Hoàng Đại Việt ; Email:

4


c) Tìm vị trí M trên d để diện tích tứ giác MBOC nhỏ nhất.
d) Một đường thẳng vuông góc với OM tại O, đường thẳng này cắt các đường MB,
MC thứ tự tại E, F. Tìm vị trí M trên d và điều kiện về vị trí A để ∆MEF có diện
tích nhỏ nhất.
 . Kẻ
Bài 10. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Điểm C thuộc cung AB

CH  AB tại H. Gọi I, K thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp ∆CAH và ∆BAH. Đường
thẳng IK cắt CA ở M, cắt CB ở N.
a) Chứng minh tứ giác BHKN nội tiếp được.
b) Chứng minh CM = CN. Tìm vị trí C để chu vi ∆IHK lớn nhất.
 để tứ giác ABNM nội tiếp được.
c) Tìm vị trí C trên cung AB

d) Kẻ đường thẳng đi qua C và vuông góc với MN, chứng minh đường thẳng đó đi
.
qua một điểm cố định khi C di chuyển trên cung AB

e) Tìm vị trí C để diện tích ∆CMN lớn nhất.
.
Bài 11*. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Điểm M thuộc cung AB
 , tia BH cắt AM ở I và cắt tiếp tuyến tại A
Gọi H là điểm chính giữa của cung AM

của đường tròn tâm O ở điểm K, tia AH cắt BM ở S.
a) ∆BAS có đặc điểm gì?
b) Chứng minh S thuộc đường tròn cố định khi M di chuyển.
c) Xác định vị trí tương đối của KS với đường tròn tâm B bán kính BA.
d) Đường tròn ngoại tiếp ∆BIS cắt đường tròn tâm B, bán kính BA tại N (khác điểm
A). Chứng minh đường thẳng MN đi qua điểm cố định khi M di chuyển.
 = 90o.
e) Xác định vị trí điểm M sao cho góc MKA

Bài 12. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Điểm M thuộc cung
 (không trùng với A, B ). Điểm N đối xứng với O qua AM.
AB

a) Chứng minh MN // OA.
b) Tứ giác OANM là hình gì?
GV: Hoàng Đại Việt ; Email:

5

c) Gọi P, Q, R thứ tự là trọng tâm ∆MAB, ∆MNA, ∆NAO; tứ giác OPQR là hình
gì?
d) Khi M di chuyển, Chứng minh đường thẳng PQ đi qua điểm cố định.
Bài 13*. Cho đường tròn tâm O bán kính R và ∆ABC nội tiếp (có AB = AC > R).
 nhỏ. Gọi Mx là tia đối của
Kẻ đường kính AI, gọi M là điểm bất kỳ trên cung AC

tia MC; trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD = MC.
.
a) Chứng minh MA là phân giác của góc BMx

b) Gọi K là giao điểm thứ hai của DC với (O). Tứ giác MIKD là hình gì?
:
c) Khi M di chuyển trên cung nhỏ AC

* Điểm E trung điểm của BM di chyển trên đường nào?
* Điểm G trọng tâm của ∆MDK di chuyển trên đường nào?
 với đường
* Gọi N là giao của AD với (O), P là giao điểm của phân giác góc IBN

tròn tâm O. Chứng minh đường thẳng DP đi qua điểm cố định.
Bài 14. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và điểm M bất kỳ trên đường tròn.
Từ điểm H trên đoạn OB, kẻ đường thẳng d vuông góc với AB. Các đường thẳng
AM, BM và tiếp tuyến tại M của (O) thứ tự cắt d ở D, C, I. đường thẳng AC cắt
(O) ở E. Đường thẳng ME cắt OI ở K.
a) Chứng minh IE là tiếp tuyến của (O) và I là trung điểm của DC.
b) Khi M di chuyển, chứng minh tích OI.OK không đổi.
c) Khi M di chuyển, chứng minh đường thẳng ME đi qua 1 điểm cố định.
Bài 15. Cho đường tròn (O) có dây AB cố định. Điểm D bất kỳ trên đoạn AB. Vẽ

đường tròn tâm I đi qua D và tiếp xúc (O) ở A và vẽ đường tròn tâm K đi qua D và
tiếp xúc (O) ở B.
a) Tứ giác OIDK là hình gì?
b) Gọi giao điểm thứ hai của hai đường tròn (I) và (K) là N. Chứng minh bốn điểm
A, N, O, B cùng thuộc một đường tròn.
GV: Hoàng Đại Việt ; Email:

6


c) Khi D di động trên đoạn AB, chứng minh đường thẳng ND đi qua một điểm cố
định.
Bài 16. Cho ∆ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O. Điểm M di động trên
BC. Qua M vẽ đường tròn tâm I tiếp xúc AB ở B và qua M vẽ đường tròn tâm J tiếp
xúc với AC ở C. Hai đường tròn này cắt nhau ở N (khác M).
a) Chứng minh điểm N thuộc đường tròn (O).
b) Đường thẳng BI và CJ cắt nhau ở K cố định.
c) Chứng minh đường MN đi qua điểm đi qua điểm E cố định.
d) Tìm vị trí M trên BC để ∆BNC có diện tích lớn nhất? Có chu vi lớn nhất?
Bài 17. Cho đường tròn (O, R) và dây AB. Qua trung điểm I của AB vẽ đường kính PQ
 ). Điểm M bất kỳ trên tia đối của tia BA (mà AQM
  90 o ).
(điểm P thuộc cung nhỏ AB

Đường MQ cắt đường tròn (O) ở E (khác Q). Hai dây PE, AB cắt nhau ở D.
a) Chứng minh tứ giác DIQE nội tiếp được.
b) Chứng minh PD.PE = PI.PQ và ME.MQ = MD.MI.
c) Vẽ tia Ax // PE, tia này cắt đường tròn (O) ở F. Chứng minh BE  QF.
d) Khi A, B, M cố định, đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn qua A, B. Chứng minh
đường thẳng PE đi qua điểm cố định.

Bài 18. Cho đường tròn (O, R ) dây CD cố định. Gọi H là trung điểm của CD, điểm S
trên tia đối của tia DC. Qua S vẽ 2 tiếp tuyến SA, SB tới (O). Đường thẳng AB cắt SO,
OH thứ tự ở E, F.
a) Chứng minh tứ giác SEHF nội tiếp được.
b) Chứng minh tích OE.OS có độ lớn không phụ thuộc vào vị trí điểm S.
c) Cho R = 10cm, SD = 4cm, OH = 6cm. Tính CD và SA.
d) Khi S di động trên tia đối của tia DC, chứng minh đường thẳng AB đi qua điểm cố
 có độ lớn không đổi.
định và góc CED

GV: Hoàng Đại Việt ; Email:

7


Bài 19. Cho A, B là hai điểm cố định của đường tròn tâm O, còn M di động trên cung
.
lớn AB

Trên MA lấy A’ mà MA’ = a không đổi, trên MB lấy B’ mà MB’ = b không đổi.
a) Chứng minh ∆MA’B’ luôn bằng chính nó.
b) Chứng minh đường song song với A’B’, kẻ từ M sẽ đi qua điểm cố định và
đường thẳng A’B’ tiếp xúc với đường tròn cố định.
c) Chứng minh đường cao MH của ∆ MA’B’ đi qua điểm cố định và đường trung
trực của A’B’ tiếp xúc với đường tròn cố định.
Bài 20. Cho đường tròn tâm O có 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau.
Lấy điểm I bất kỳ trên đoạn CD.
a) Tìm điểm M trên tia ADx và điểm N trên tia ADy sao cho I là trung điểm đoạn
MN.
b) Khi I chuyển động trên đoạn CD

* Chứng minh tổng AM + AN không đổi.
* Chứng minh đường tròn đường kính MN đi qua 2 điểm cố định.
* Từ I vẽ đường thẳng song song với AB, trên đó lấy điểm J sao cho IJ = AB.
Tìm tập hợp điểm J. Tìm tập hợp điểm J.
Bài 21*. Cho tam giác ABC vuông ở A và AB < AC. Đường tròn tâm O thay đổi
thay đổi luôn luôn đi qua A, B và cắt AC ở N, cắt BC ở M ( BM > AB ). Lấy điểm
E đối xứng với M qua đường thẳng BN. Đường trung trực của AE cắt BE ở I.
Chứng minh đường thẳng AI luôn luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 22. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Điểm M di động trên
 . Vẽ ME  AB và MF  AC (E, F nằm trên đường AB và AC).
cung nhỏ BC

a) Xác định vị trí M để EF đi qua trung điểm của BC)
b) Vẽ AP  MB, AQ  MC ( P, Q nằm trên đường MB, MC). Chứng minh đường
thẳng PQ đi qua điểm cố định.
GV: Hoàng Đại Việt ; Email:

8


Bài 23*. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Điểm M di động trên
(O). Gọi A,, B,, C, thứ tự là điểm đối xứng với M qua các đường thẳng BC, CA, AB.
a) Chứng minh ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng.
b) Chứng minh đường thẳng B’C’ đi qua một điểm cố định.
c) Vẽ ON  A’B’ tại N, gọi G là trọng tâm ∆ ABC. Tìm vị trí M để đoạn GN có độ
dài ngắn nhất.
Bài 24. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Điểm M di chuyển trên nửa
đường tròn nhận AB là đường kính (M khác A và B).
a) Nêu cách dựng đường tròn tâm E tiếp xúc với (O) ở M và tiếp xúc với đường
kính AB. Gọi tiếp điểm với AB là N.

b) Đường tròn (E) cắt MA, MB thứ tự tại C, D. Chứng minh CD // AB.
c) Chứng minh đường thẳng MN đi qua điểm K cố định.
d) Chứng minh KN. KM không đổi.
e) Đường CN, DN cắt KB, KA thứ tự tại C’, D’. Tìm vị trí M để tam giác NC’D’ có
chu vi nhỏ nhất.
Bài 25. Cho hình thang ABCD nội tiếp đường tròn tâm O có đáy là BC và AD.
Trên tia đối của tia BC lấy điểm P, đường PA cắt (O) ở M (khác A). Đường tròn
đường kính PD cắt (O) ở E ( khác D ). Đường DE cắt đường BC ở N. Chứng minh
đường thẳng MN đi qua điểm cố định.
Bài 26*. Cho đường tròn tâm O, bán kính R, điểm A cố định và OA = 2R. Một
đường kính BC quay quanh O sao cho A, B, C không thẳng hàng. Đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng OA ở P (khác A). Đường thẳng AB, AC cắt
đường tròn tâm O ở điểm thứ hai là D, E. Nối DE cắt đường thẳng OA ở K.
a) Chứng minh ∆OPB  ∆OCA.
b) Chứng minh tứ giác PCEK nội tiếp được.
c) Chứng minh AK. AP = AE. AC
d) Chứng minh đường thẳng DE đi qua điểm cố định.
GV: Hoàng Đại Việt ; Email:

9


e) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE đi qua 1 điểm cố định.
Bài 27*. Cho đường tròn tâm O bán kính R, điểm A ở ngoài đường tròn. Kẻ tiếp
tuyến AB, AC (B, C là tiếp điểm). Lấy điểm M thuộc cung BC phần ở miền trong
của ∆ABC. Lần lượt vẽ MI  BC, MH  AC và MK  AB. Đường MB cắt IK ở
E, đường MC cắt IH ở F.
Chứng minh:
a) Các tứ giác BIMK và CIMH nội tiếp được.
b) MI2 = MH.MK

c) EF  MI
d) Đường thẳng MN đi qua điểm cố định, với N là giao điểm thứ hai của các đường
tròn ngoại tiếp ∆MEK và ∆MFH.
Bài 28*. Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm M ở ngoài đường tròn. Từ M vẽ
tiếp tuyến MB, MA và cát tuyến MCD tới đường tròn (MC < MD). Đường thẳng
AB cắt MO ở H, cắt CD ở K. Gọi I là trung điểm CD.
a) Chứng minh 5 điểm A, O, I, B, M cùng thuộc đường tròn tâm E.
b) Khi (O), C, D cố định, điểm M di chuyển trên đường CD (ở ngoài đường tròn).
Hỏi: * Tâm E
* Tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB
* Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HIK.
di chuyển trên đường nào?
* Đường thẳng AB đi qua điểm cố định nào?
c) Cho M, C, D cố định, đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn qua C, D.
Hỏi:
* Điểm A, B di chuyển trên đường nào?
* Đường tròn ngoại tiếp tam giác OHK đi qua điểm cố định nào?
* Tâm đường tròn ngoại tiếp ∆HIK di chuyển trên đường nào?

GV: Hoàng Đại Việt ; Email:

10


Bài 29. Cho đường tròn tâm O có dây AB cố định. Điểm M di động trên đường
tròn. Từ M vẽ MH  AB. Gọi E, F là hình chiếu của H trên MA, MB.
Qua M vẽ đường thẳng vuông góc với EF, cắt AB ở D.
a) Chứng minh đường thẳng MD đi qua điểm cố định.
b) Chứng minh

MA 2 AH AD

.
MB2 BD BH

c) Gọi I là điểm đối xứng của H qua AM và K là điểm đối xứng của H qua BM.
Đường thẳng IK cắt AM ở B’, cắt BM ở A’. Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’
và MH đồng quy.
Bài 30. Cho đường tròn tâm O và dây BC cố định. Gọi A là điểm di động trên cung

 (A khác B, C). Tia phân giác của góc ACB
 cắt (O) ở D (khác C). Lấy điểm
lớn BC
I trên CD sao cho DI = DB. Đường thẳng BI cắt (O) ở K (khác B).
a) Chứng minh ∆KAC cân.
b) Chứng minh đường thẳng AI luôn đi qua điểm J cố định.
c) Tìm vị trí điểm A để độ dài AI lớn nhất.
d) Trên tia đối của tia AB, lấy điểm M sao cho AM = AC. Khi A di động trên cung

 , tìm tập hợp điểm M.
lớn BC
Bài 31*. Cho hình vuông ABCD và điểm P nằm ở miền trong của  ABC.

 = 135o, chứng minh 2PB2 + PC2 = PA2.
a) Giả sử BPC
b) Các đường thẳng AP, CP cắt cạnh BC, BA thứ tự tại M, N. Gọi Q là điểm đối
xứng của B qua trung điểm của MN. Chứng minh khi P thay đổi ở miền trong của
tam giác ABC thì đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 32. Cho đường tròn tâm O có dây AB cố định. Điểm M di động trên đường tròn
tâm O nhưng không trùng với A, B. Hai đường tròn tâm O1, O2 đi qua M và tiếp

xúc với AB ở A, B, hai đường tròn cắt nhau tại N (khác M).
a) Chứng minh đường thẳng MN đi qua điểm cố định.
GV: Hoàng Đại Việt ; Email:

11


b) Tìm tập hợp N.
c) Đường thẳng MN cắt (O) ở D. Chứng minh tứ giác ANBD là hình bình hành.
Tìm vị trí điểm M để ANBD trở thành hình thoi.
d) Tìm vị trí điểm M để diện tích ∆ANB lớn nhất.
Bài 33. Cho đường tròn tâm O và hai điểm A, B cố định thuộc đường tròn (mà AB
 . Trên đoạn AB
không phải là đường kính), gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ AB

lấy hai điểm C, D phân biệt không trùng với A, B. Các đường thẳng MC, MD cắt
đường tròn tại E, F (khác M).
a) Chứng minh các điểm C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn.
b) Các đường thẳng EA và FD cắt nhau ở G, các đường thẳng FB và EC cắt nhau ở
H. Chứng minh GH // AB.
c) Gọi O1, O2 là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ACE và ∆BDF. Chứng minh khi C, D
thay đổi trên AB thì các đường thẳng AO1 , BO2 cùng đi qua một điểm cố định.
Bài 34. Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AF,
BD, CE đồng quy tại H.

 cũng là phân giác của OAF
.
a) Chứng minh phân giác ABC
b) Gọi N, M là trung điểm của AH, BC. Chứng minh tứ giác DNEM nội tiếp được.

?
c) Cho biết ∆ABC ở vị trí mà AH = BC. Tính BAC
d) * Chứng minh

HF HD HE


1
AF BD CE

 ở A2
* Tia AO cắt BC ở A1, cắt BC
 ở B2
Tia BO cắt AC ở B1, cắt AC
 ở C2
Tia CO cắt AB ở C1, cắt AB

Chứng minh

A1A 2 B1B2 C1C2


1
AA1 BB1 CC1

e) Cho B, C cố định còn A di động trên đường tròn sao cho ∆ABC nhọn
GV: Hoàng Đại Việt ; Email:

12

* Chứng minh đường tròn ngoại tiếp ∆ADE có bán kính không đổi.
* Tia Ax vuông góc với DE đi qua điểm cố định.
Bài 35. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B. Trên đường thẳng AB lấy
điểm M sao cho M nằm ngoài đoạn AB. Từ M kẻ tới (O’) hai tiếp tuyến MC, MD
(C nằm ngoài đường tròn tâm O) và kẻ tới (O) hai tiếp tuyến ME, MF (E nằm ngoài
đường tròn (O’)).
a) Chứng minh bốn điểm E, F, D, C cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh ∆BCD và ∆BPQ đồng dạng (với P là giao điểm của đường thẳng
AC với đường tròn tâm O, còn Q là giao điểm của đường thẳng AD với đường tròn
tâm O).
c) Gọi giao điểm của CD và PQ là K, khi M thay đổi trên đường thẳng AB và ở
ngoài đoạn AB. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp ∆KPC đi qua một điểm cố định.

 > 90o. Vẽ hai đường tròn (O1) và (O2) có đường kính
Bài 36*. Cho ∆ABC có BAC
là AB và AC. Hai đường tròn cắt nhau ở H (khác A). Một đường thẳng d thay đổi
luôn qua A cắt (O1) ở D, cắt (O2) ở E sao cho A ở giữa DE.
a) Chứng minh D và E luôn cách đều một điểm cố định.
b) Gọi trung điểm của DA, EA thứ tự là F, G. Chứng minh trung trực của FG luôn
đi qua một điểm cố định.
c) Tìm vị trí của d để ∆DHE có diện tích lớn nhất? chu vi lớn nhất?
d) Tìm vị trí của d để A là trung điểm DE? Để DA =

1
AE?
2

e) Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh M thuộc một cung tròn cố định.

 = 900. Tìm vị trí của d để tứ giác BDEC có diện tích lớn nhất.
g) Giả sử BAC
Bài 37. Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp (O, R). Vẽ đường cao AH, đường kính
AD. Vẽ BE, CF cùng vuông góc với AD.
a) Chứng minh các tứ giác ABHE và AHFC nội tiếp được.
b) Chứng minh tứ giác BHFD là hình thang.
GV: Hoàng Đại Việt ; Email:

13


c) Cho B, C cố định còn A di động nhưng tam giác ABC vẫn nhọn. Chứng minh
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH cố định.
Bài 38. Cho hình vuông ABCD, điểm M di động trên cạnh BC (M khác B), điểm N

  MAB
  NAD
.
di động trên cạnh CD (N khác D) sao cho MAN
a) Đường thẳng BD cắt AN, AM thứ tự tại P, Q. Chứng minh năm điểm P, Q, M, C,
N cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
c) Gọi diện tích tam giác APQ là S1, diện tích tứ giác PQMN là S2. Chứng minh

S1
S2

không đổi.
d) Tìm vị trí M, N để đoạn MN lớn nhất.

 = 45o quay quanh điểm A cố định. Từ điểm B cố định vẽ
Bài 39*. Cho góc xAy
BM  Ax và BN  Ay.
a) Chứng minh MN có độ dài không đổi và đường tròn đường kính MN đi qua một
điểm cố định.
b) Đường BN cắt tia Ax ở E, đường BM cắt tia Ay ở F. Chứng minh EF song song
với đường thẳng cố định và có độ dài không đổi.
c) Khi góc xAy quay, chứng minh trung điểm của EF chạy trên đường tròn cố định.
Bài 40. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi C là điểm bất kỳ trên
AO, tia Cx  AO cắt (O) ở I. Điểm K bất kỳ trên đoạn CI (K không trùng với C và
I). Tia AK cắt (O) ở M. Tiếp tuyến tại M cắt Cx ở N. Tia BM cắt Cx ở D.
a) Chứng minh ∆MNK cân.
b) Chứng minh bốn điểm A, C, M, D thuộc một đường tròn.
c) Khi C là trung điểm AO và K là trung điểm của CI, hãy tính diện tích ∆ABD.
d) Khi K di động trên đoạn CI, chứng minh đường tròn ngoại tiếp ∆AKD đi qua
một điểm cố định và tâm đường tròn này di chuyển trên một đường cố định.
GV: Hoàng Đại Việt ; Email:

14


Phần bài giải:
Các bài tập đều có nhiều câu hỏi; ở phần này chỉ những câu hỏi khó, đặc biệt là
những câu hỏi về tìm điểm cố định mới được trình bày lời giải. Một số câu hỏi dễ
nhằm gợi ý để giải bài tập thì chỉ ghi kết quả.
Bài 1.
a) Vị trí đặc biệt của M là trùng với B, khi đó
I1

điểm E là trung điểm của AB, đường EI là

A

đường trung bình của ∆ABC do đó điểm P là
trung điểm của AC.

P

Xét ∆ACM có EP là đường trung bình.

E

b) Tập hợp I là đường tròn đường kính BP

C

B

O

(có đi qua A).
c) SBPI lớn nhất khi IP = IB  Có hai giao

I

M

I2

điểm I1 và I2 thuộc trung trực của BP. Từ đó

tìm được hai vị trí hai vị trí M1, M2 trên
đường tròn (O).
Bài 2.
C

a) Vị trí đặc biệt của B là làm cho BH
trở thành tiếp tuyến vuông góc với xy.

B

Khi đó tứ giác OBHA là hình vuông do
đó tìm thấy vị trí C cố đinh.
O

Ta có BA là tia phân giác trong của

 nên phân giác ngoài là tia kẻ
góc OBH
M

từ B, vuông góc với BA do đó AC là
đường kính.

x

b) M thuộc đường tròn (A, R).

GV: Hoàng Đại Việt ; Email:

y

H

A

15


E

Bài 3.
a) ∆ACK = ∆BMK
b) Vị trí đặc biệt của C là trùng với K, khi đó:
AC = BM nên M trùng với K. Từ đó tìm

K

được điểm E cố định.

C

Ta có ∆ABC = ∆BME (BE  AB)

D

 BE = BA.

1
Tập hợp M là
đường tròn đường kính BE
4

O'
M
A

B

O

(phần nằm trong đường tròn tâm O).
c) ∆ACD vuông cân ở C nên trung trực của
.
AD đi qua F chính giữa AB
F

d) Tính được:

 CBA

CAB


AO
'B  180o 

 135o  ADB
2
2
Suy ra A, O’, D, B thuộc đường tròn tâm F bán kính AO 2 .
Bài 4.

C

D

  AFM
  AN  BC
a) ∆AMF = ∆CMB  MBC
K

 N cùng thuộc hai đường tròn ngoại tiếp hai hình

vuông AMCD, MBEF.

N

F

E

b) Do N thuộc đường tròn nên:

  ANM
  MNB
  BNE
  45o .
DNA

A
O

c) N thuộc đường tròn đường kính AB, mà MN là

  Điểm cố định I là chính giữa AB
.
phân giác ANB
Nếu xét vị trí đặc biệt của M là chính giữa AB, thì
GV: Hoàng Đại Việt ; Email:

I

16

M

B


khi đó hai hình vuông bằng nhau và F, C, N trùng nhau thì thấy ngay MN là đường
kính vuông góc với AB.
Ta có BN.BC + AF.AN = AB2
d) * ∆KNI có IN ≤ IK = AB và ∆OIM có IM ≥ OI =
Từ đó có MN = IN – IM ≤
Do đó MN lớn nhất bằng

AB
.
2

AB

.
2
AB
khi M  O.
2

* Đặt AM = x (0 ≤ x ≤ a) và AB = a  MB = a – x và FC = 2x – a.
Do FA.FN = FC.FM = (a – x)(2x – a) =

1
(2a – 2x)(2x – a)
2
2

1  2a  2x  2x  a  a 2
≤ .
 
2
2
8

Vậy FA.FN lớn nhất là

a2
3a
khi x =
.
8
4
1

* Dù M ở vị trị nào, ta cũng có: S12  S22 = x 2 (2x  a)2  (a  x) 2 
4
2
1 2 
3a  a 2 
 x  5x 
  5 .
4 
5


C

D

Vậy S12  S22 nhỏ nhất là O khi x = 0.

F

Điểm M trùng với A.
Bài 5.

O
H
E

a) Chứng minh I luôn nằm trên AB.
Vậy tập hợp I là cạnh AB (trừ A, B).

A

I

O'

  BHI
  45o  H thuộc đường tròn tâm
b) Có AHI
O’ đường kính AB.
GV: Hoàng Đại Việt ; Email:

K

17

B


c) Vị trí đặc biệt của d là song song với AB.
Khi đó E, F là trung điểm các cạnh và I  O’ và IH là trung trực của AB, đồng thời
là trục đối xứng của hình vẽ.
Chứng minh được điểm K ở chính giữa cung AB phần
nằm ngoài hình vuông là điểm cố định cần tìm.
Bài 6*.
x

a) Vị trí đặc biệt của C là C’ tạo thành ∆BAC’ vuông

D

B

cân ở A. Khi đó M là trung điểm E của BC’.
H

Tứ giác AC’DB là hình vuông, điểm E là tâm của
hình vuông này.
K


  180  C1 .
Ta có ∆NCM cân ở C  N
1
2

E

G

o

M
I

o
 
 N
 A
 1  90  C1  ABC  IBM


∆AEN có AEN
1
2
2

1

1

A

1

N

C

C'

  90o nên IEB
  90o  ∆BEA vuông cân
 Tứ giác IBEM nội tiếp được, mà IMB
ở E. Ta có AE =

AB 2
 E cố định.
2

  ANH

 (đồng vị)  ∆GEH có GEH
 tù  GH ≥ GE mà
b) Ta có GEH
GE =

2
AB
AB
EK =
(không đổi), nên GH ngắn nhất là
xảy ra khi H  E tức là C
3
3
3

ở vị trí của C’.
Bài 7.
M

F

O

A

N
GV: Hoàng Đại Việt ; Email:

E

I

O'

18

y


a) Vị trí đặc biệt của d là trùng với đường nối tâm. Khi đó E  A và đường thẳng
EN là đường nối tâm  Điểm cố định sẽ là nơi EN cắt OO’.
Chứng minh được OM // O’N. Vẽ giao điểm I của EN và OO’.
Ta có

IO' O' N r

  I cố định.
IO OE R

b) Tính được IA =

2Rr
R r

c) Chú ý hai tam giác vuông MAE và NAF đồng dạng  AM.AF = AN.AE
d) Ta có

AO' IO' r

 .

AO IO R

x

Bài 8.

M

C

a) R(I) + R(K) = OK + IO > IK
| R(I) – R(K)| < IK
I

 Hai đường tròn luôn cắt nhau.

B

b) Tứ giác OMCN là hình vuông vì có ba
góc vuông và hai cạnh liên tiếp bằng nhau.

A
y

c) Sử dụng CM2 = CN2 = CB.CA

a
d) Vị trí đặc biệt là khi OI = OK = ,
2

O

K

N

khi đó A  O với AB là đường chéo của
hình vuông IOKB cố định.
Khi OI + OK = a không đổi thì hình vuông MONC cố định. Rõ ràng đường thẳng
AB đi qua C cố định.
Bài 9.
a) ∆OKH đồng dạng ∆OMA  OH.OM = OK.OA
b) ∆MBO có OH.OM = OB2 = R2 (không đổi).
Vị trí đặc biệt của M là M  A, hình vẽ có trục đối xứng là MO.

GV: Hoàng Đại Việt ; Email:

19


M
B

Điểm cố định sẽ là K thuộc trục đối xứng.

E

R2
Do OK.OA = R  OK =
không đổi

OA
2

 K là điểm cố định cần tìm.

H

Điểm H thuộc đường tròn đường kính OK

A

c) SMBOC = MB.OB nhỏ nhất khi MB nhỏ nhất.
2

2

O

K
C

2

∆MBO có MB = MO – R nhỏ nhất khi MO
nhỏ nhất.

F

∆MAO có MO ≥ AO không đổi.
Vậy SMBOC nhỏ nhất khi M  A .

d) SMEF = 2SMOE = OB.ME = R(MB + BE) ≥ 2R MB.BE  2R. OB2  2R 2 .

  90o
Vậy SMEF nhỏ nhất = 2R2 khi MB = BE  ∆MOE vuông cân ở O  BMC
 OM = R 2 . Để tìm được M thì A cố định và AO ≤ R 2 , đường tròn tâm O bán

kính R 2 cắt d ở hai điểm M1, M2 cần tìm (có thể M1  M 2 )
Bài 10.

 và CHB
 nên
a) Do HI, HK là hai phân giác của CHA
∆IHK vuông ở H.

C

Gọi R1, R2 thứ tự là bán kính đường tròn nội tiếp
∆CHA và ∆CHB.
Ta có IH = R1. 2 và KH = R2. 2 nên
Lại có ∆CHA đồng dạng với ∆BHC 

N

K
M

IK R1
.

KH R 2

A

I
H

O

CA R 1

CB R 2

  ABC
 và
Vậy ∆IHK đồng dạng với ∆ACB  IKH

D

  BAC

KIH
 các tứ giác BHKN và AHIM nội tiếp được.
GV: Hoàng Đại Việt ; Email:

20

B


  KHB

  45o  ∆MCN vuông cân ở C  CM = CN.
b) CNK


  KHN
  CBH nên ∆HKN cân ở K
Tứ giác BHKN nội tiếp  KNH
2
 KH = KN. Tương tự có IM = IH

 Chu vi ∆IHK = IH + HK + KI = MN =

CN
.
2

Chứng minh được ∆CKH = ∆CKN  CH = CN.
.
Vậy chu vi ∆IHK lớn nhất khi và chỉ khi CH lớn nhất  C nằm chính giữa AB

  CBA
  45o  C nằm chính giữa AB
.
c) Tứ giác ABNM nội tiếp  CMN
  H  O và MN // AB.
d) Chọn vị trí đặc biệt của C là chính giữa AB

Khi đó đường cao kẻ từ C là đườngkính vuông góc với AB. Có ∆CMN vuông cân ở

  Điểm cố định là điểm D, chính

C, đường vuông góc kẻ từ C là phân giác ACB
giữa của nửa đường tròn nằm phía dưới đường kính AB.
e) S∆CMN =

1
1
.
CN2 = CH2 lớn nhất khi C nằm chính giữa AB
2
2

Bài 11*.
a) ∆ABS cân ở B vì có BH vừa là đường cao vừa là phân giác.
b) Do BS = BA không đổi nên S

S

thuộc đường tròn tâm B bán
kính 2R.
c) ∆KAB = ∆KSB

K

  90o nên KS là tiếp
 KSB

M

H

tuyến của (B, 2R).
I

d) Vị trí đặc biệt là M  A. Khi
đó các điểm M, N, H, I, S, K

A

O

đều trùng với A. Đường thẳng
GV: Hoàng Đại Việt ; Email:

21

D

B


MN là tiếp tuyến tại A của (O). Vậy A sẽ là điểm cần tìm.
Lưu ý: bài này rất dễ nhầm khi lấy M  B. Lúc này I cũng trùng với B và BM trở
thành tiếp tuyến tại B của (O), điểm N là S và đường tròn (B, I, S) là đường tròn
đường kính BS (!).
Thực ra do BI phải đi qua H nên trung trực của BI là đường vuông góc với BH tại
B, đường thẳng này cắt trung trực của BS tại E mà ∆EBS vuông cân ở E. Khi đó N
thẳng hàng với A, B nghĩa là đường thẳng MN chính là đường AB.
Sau khi đã tìm được điểm A, ta có thể chuyển bài toán thành dạng khác như sau:
Gọi N1 là giao điểm của đường thẳng AM với (B, BA) sau đó chứng minh N1 thuộc
đường tròn ngoại tiếp ∆BIS tức là N1 là giao điểm của (B, BA) với (B, I, S)

N
 mà BAN
  BSI
 (cạnh tương
 N1  N. Thực vậy ∆N1BA cân ở B  BAN
1
1
1

  BN

ứng vuông góc) nên BSI
1A chứng tỏ N1 ở trên đường tròn (B, I, S).
  90o thì MKAD là hình chữ nhật.
e) Vẽ MD  AB. Nếu MKA
Đặt MB = x (0 ≤ x ≤ 2R).
Do MK //AB  ∆KMB cân ở M  MB = MK = AD = x .
∆AMK có MB2 = BD.BA = BA(BA – AD)  x2 = 2R(2R – x)
 x2 + 2Rx – 4R2 = 0  Chỉ lấy x = R( 5 – 1) thỏa mãn điều kiện

  90o .
 M cách B một khoảng MB = R( 5 – 1) thì MKA
Bài 12.

  AOI

a) ∆NIM = ∆OIA  NMI

M

N

 MN // AB.

Q
I

b) OANM là hình thoi.

P

R

c) OPQR là hình bình hành (có OP và
QR vừa song song vừa bằng nhau).

GV: Hoàng Đại Việt ; Email:

A

22

C

O

D

B

d) Nếu chọn vị trí đặc biệt của M là A hoặc B thì ∆MAB, ∆NAM, ∆NAO trở thành
đoạn thẳng nên rất khó hình dung vị trí trọng tâm P, Q, R.
 và thấy rõ QP không thể đi qua B mà cắt OB ở D
Vậy ta chọn M ở chính giữa AB

(khác B).
Gọi C là giao điểm của QR với OA.

OM
. Vậy có QR = RC nên ∆QCD có OR là đường trung bình
3

Tính được RC =
 OC = OD =

2
R.
3

Điểm cố định D nằm trên đoạn OB và cách O một khoảng là

2
OB .
3

Bài 13*.

  ACB

 và AMx
  ABC

a) AMB
  AMx
  MA là tia phân giác của góc
 AMB

x

.
BMx

D

A

b) ∆CMD cân ở M  IM // CD vì cùng vuông góc
M

với AM

O'

  IB
  MK

 IC

O

E
K

  MIK
  BM // IK
 BMI

B

C
I

 Tứ giác MIKD là hình bình hành.

  90o  E thuộc đường tròn đường kính OB (giới hạn là cung nằm trong
c) * OEB
∆ABC, từ trung điểm của BC tới trung điểm của AB).
* Do AM là trung trực của DC nên AB = AC = AD  D thuộc đường tròn tâm A
bán kính AC. Trọng tâm G của ∆MKD mà MIKD là hình bình hành nên

GV: Hoàng Đại Việt ; Email:

23

IG 2
 .
ID 3

G

Kẻ từ G đường thẳng song song với AD, cắt
IA ở O’ 

IO ' 2
  O’ cố định.
IA 3

D

Điểm G di chuyển trên đường tròn tâm O’
bán kính

A

2
AC .
3

M

N

* Chọn vị trí đặc biệt M  C, khi đó độ dài
P

MC = 0 nên cả D, N đều ở C. Phân giác

 cắt cung nhỏ CI
 ở P, chính giữa CI

.
IBN

O

Đường DP không thể đi qua I mà sẽ cắt
đường AI ở F nằm bên ngoài đoạn AI.

 nên P ở
Do BP là phân giác của góc IBN

C

B
I

  OP  IN vậy OP // ND.
chính giữa IN

Ta có

F

FO OP
R


FA AD AC

FO

R
R2

FO
=


FA  FO AC  R
AC  R
 F cố định.
D

Bài 14.
a) ∆ACB có CH, AM, BE là ba đường cao
chúng đồng quy ở D
 B, E, D thẳng hàng.

I

  MAB
  1 sđ MB

IMC
2

F

M

  MAB

 (cạnh tương ứng vuông góc)
ICM
 ∆MIC cân ở I  ∆MID cân ở I.

K
C
A

O

Vậy I là trung điểm cạnh DC.
GV: Hoàng Đại Việt ; Email:

24

H

E

B

S


  OEI
  90o  IE là tiếp tuyến của (O).
∆MIO = ∆EIO  OMI
b) ∆OMI có OM2 = OI.OK (không đổi).
c) Vị trí đặc biệt của M là trùng với F (giao điểm của d với đường tròn). Khi đó D,
C, E, I đều ở F  đường thẳng ME là tiếp tuyến tại F  Điểm cố định nằm trên

đường thẳng AB.
∆OIH và ∆OKS đồng dạng nên OK.OI = OH. OS  OH.OS = R2

R2
không đổi. Điểm cố định cần tìm chính là S.
 OS =
OH
Bài 15.
a) Tâm K là giao điểm của OB với
trung trực của DB. Tâm I là giao điểm
của OA với trung trực của DA.
Các góc bằng nhau
N

 OBD,
 IDA,
 KDB

OAD,

O
K

 OI // DK và ID // OK. Tứ giác OIDK
I

là hình bình hành.
A

B

D

  1 AID
 và BND
  1 BKD

b) AND
2
2

  AID
  BKD
  AOB

 ANB
 Tứ giác ANOB nội tiếp được.

c) Vị trí đặc biệt là D trở thành trung
điểm của AB. Khi đó đường tròn I và

E

đường tròn K sẽ bằng nhau, N  O và đường ND trở thành trung trực của AB. Ta
xác định được E.

  DNB
  ND và OE đều là phân giác của hai
Theo kết quả của câu b, ta có AND

 và AOB

góc bằng nhau ANB
GV: Hoàng Đại Việt ; Email:

25