SKKN sử dụng phương pháp vẽ sơ đồ đoạn thẳng trong giải toán có lời văn lớp 4

Sử dụng phương pháp vẽ sơ đồ đoạn thẳng trong giải toán có lời văn lớp 4
PHẦN 1. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
1. Cơ sở lí luận:
Cùng với Tiếng Việt – Toán học là môn học có vị trí và vai trò vô cùng
quan trọng ở bậc Tiểu học. Toán học giúp bồi dưỡng tư duy lô gíc, bồi dưỡng và
phát sinh phương pháp suy luận, phát triển trí thông minh, sáng tạo, tính chính
xác, kiên trì, trung thực.
Môn Toán là một trong những môn học có vị trí quan trọng ở bậc Tiểu
học. Trong những năm gần đây, xu thế chung của thế giới là đổi mới phương
pháp dạy học nhằm phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học
sinh trong quá trình dạy học. Một trong những bộ phận cấu thành chương trình
toán học ở bậc Tiểu học mang ý nghĩa chuẩn bị cho việc học Đại số ở các cấp
học trên, đồng thời giúp học sinh những hiểu biết cần thiết khi tiếp xúc với
những “tình huống toán học” trong cuộc sống hàng ngày.
Xuất phát từ cuộc sống hiện tại. Đổi mới của nền kinh tế, xã hội, văn hoá,
thông tin...đòi hỏi con người phải có bản lĩnh dám nghĩ dám làm năng động chủ
động sáng tạo có khả năng để giải quyết vấn đề. Để đáp ứng các yêu cầu trên
trong giảng dạy nói chung, trong dạy học Toán nói riêng cần phải vận dụng linh
hoạt các phương pháp dạy học để nâng cao hiệu quả dạy - học.
Hiện nay toàn ngành giáo dục nói chung và giáo dục Tiểu học nói riêng
đang thực hiện yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính
tính cực của học sinh làm cho hoạt động dạy trên lớp "nhẹ nhàng, tự nhiên, hiệu
quả". Để đạt được yêu cầu đó giáo viên phải có phương pháp và hình thức dạy
học để nâng cao hiệu quả cho học sinh, vừa phù hợp với đặc điểm tâm sinh lí của
lứa tuổi tiểu học và trình độ nhận thức của học sinh. Để đáp ứng với công cuộc
đổi mới của đất nước nói chung và của ngành giáo dục.
Qua việc giải các bài toán có lời văn đã rèn luyện cho học sinh năng lực tư
duy và những đức tính của con người mới. Có ý thức vượt khó khăn, đức tính
cẩn thận, làm việc có kế hoạch, thói quen xét đoán có căn cứ, thói quen tự kiểm
-1-

tra kết quả công việc mình làm óc độc lập suy nghĩ, óc sáng tạo, giúp học sinh
vận dụng các kiến thức, rèn luyện kỹ năng tính toán, kĩ năng ngôn ngữ. Đồng
thời qua việc giải toán của học sinh mà giáo viên có thể dễ dàng phát hiện những
ưa điểm, thiếu sót của các em về kiến thức, kĩ năng, tư duy để giúp học sinh phát
huy những mặt đạt được và khắc phục những mặt còn thiếu sót.
Việc giải toán bằng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng là rất quan trọng
vì “Sơ đồ đoạn thẳng” là một phương tiện trực quan được sử dụng trong việc dạy
giải toán ngay từ lớp 1 bởi nó đáp ứng được nhu cầu tăng dần mức độ trừu tượng
trong việc cung cấp các kiến thức toán học cho học sinh.
Phương tiện trực quan thì có nhiều nhưng qua thực tế giảng dạy tôi nhận
thấy sơ đồ đoạn thẳng là phương tiện cần thiết, quan trọng và hết sức hữu hiệu
trong việc dạy giải toán ở bậc Tiểu học nói chung và ở các lớp cuối cấp nói
riêng. Trong phạm vi đề tài này tôi xin đề cập đến vấn đề “Sử dụng phương pháp
vẽ sơ đồ để giải toán”, giúp học sinh có kỹ năng giải toán và đặc biệt kỹ năng
giải toán bằng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng.
2. Cơ sở thực tiễn
2.1. Thuận lợi:

- Đa số học sinh thích học môn Toán.
- Nhà trường trang bị tương đối đầy đủ đồ dùng cho dạy học toán.
- Học sinh có đầy đủ phương tiện học tập.
2.2 Khó khăn:
- Trình độ nhận thức học sinh không đồng đều.
- Một số học sinh còn chậm, nhút nhát, kĩ năng tóm tắt bài toán còn hạn
chế, chưa có thói quen đọc và tìm hiểu kĩ bài toán dẫn tới nhầm lẫn giữa các
dạng toán, lựa chọn phép tính còn sai, chưa bám sát vào yêu cầu bài toán để tìm
lời giải thích hợp với các phép tính.
- Kĩ năng thực hành diễn đạt bằng lời còn hạn chế. Một số em tiếp thu bài

một cách thụ động, ghi nhớ bài còn máy móc nên chóng quên các dạng bài toán
vì thế phải có phương pháp khắc sâu kiến thức.
- Môn toán là môn học khó, học sinh dễ chán nản.
-2-


Từ thực trạng này đặt ra cho mỗi người giáo viên lớp 4 chúng tôi là dạy
giải toán có lời văn như thế nào để nâng cao chất lượng dạy - học.
Với những lí do trên, với khả năng và điều kiện cho phép tôi mạnh dạn
chọn đề tài: “Sử dụng phương pháp vẽ sơ đồ đoạn thẳng trong giải toán có
lời văn lớp 4”
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.

Trong những năm gần đây, phong trào đổi mới phương pháp dạy học ở
trường Tiểu học được quan tâm và đẩy mạnh không ngừng để ngay từ cấp Tiểu
học, mỗi học sinh đều cần và có thể đạt được trình độ học vấn toàn diện, đồng
thời phát triển được khả năng của mình về một môn nào đó nhằm chuẩn bị ngay
từ bậc Tiểu học những con người chủ động, sáng tạo đáp ứng được mục tiêu
chung của cấp học và phù hợp với yêu cầu phát triển của đất nước.
Dạy toán ở tiểu học vừa phải đảm bảo tính hệ thống chính xác của toán
học vừa phải đảm bảo tính vừa sức của học sinh. Kết hợp yêu cầu đó là một việc
làm khó, đòi hỏi tính khoa học và nhận thức, tốt về cả nội dung lẫn phương
pháp.
Tìm ra phương pháp ứng dụng phù hợp cách giải Toán cho học sinh lớp 4
bằng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng, áp dụng thành thạo vào việc giải Toán cho
học sinh lớp 4 nói riêng và học sinh Tiểu học nói chung.
III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.

1. Phương pháp nghiên cứu lí luận: Phương pháp này giúp tôi có cơ sở
khoa học về toán học để nhận định quan niệm xây dựng các sơ đồ phù hợp với

đề bài.
2. Phương pháp điều tra: Qua điều tra bằng văn bản và cả bằng phỏng
vấn hoặc trao đổi ngẫu nhiên trong giao tiếp, phương pháp này giúp tôi có cơ sở
thực tiễn về thực trạng học sinh sử dụng cách giải tón bằng sơ đồ đoạn thẳng.
3. Phương pháp phân loại: Phương pháp này giúp tôi phân loại học sinh
theo nhận thức để có phương pháp phù hợp, nâng cao chất lượng môn Toán.
-3-


4. Phương pháp khảo sát: Trong quá trình thực hiện đề tài, tôi đã vận
dụng phương pháp này để tìm hiểu và rà soát toàn bộ các bài dạy giải toán bằng
so đồ đoạn thẳng.
Ngoài những phương pháp trên đây, tôi còn vận dụng một số phương pháp
khác như phương pháp thực hành, phương pháp luyện tập, trò chơi,…để nâng
cao chất lượng dạy - học.

IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

Ứng dụng phù hợp phương pháp giải toán bằng sơ đồ đoạn thẳng cho học
sinh lớp 4.
V. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.

Xuất phát từ tình hình thực tế, để các em nắm vững được phương pháp
giải bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng, tôi lần lượt nghiên cứu phương pháp dạy
giải dạng toán này theo các kiểu bài với từng bước sau:
Bước 1: Tìm hiểu đề toán (bước này câu hỏi giáo viên đặt ra rất quan
trọng).
Bước 2: Phân tích các điều kiện của bài toán, biểu diễn các đại lượng trên
sơ đồ đoạn thẳng.
Bước 3: Dựa trên sơ đồ lập kế hoạch giải.

Bước 4: Thực hiện các thao tác giải bài toán (lời giải và phép tính)
Bước 5: Kiểm tra đánh giá lời giải (thử lại kết quả)
Qua các bước trên, học sinh đạt được các yêu cầu về giải toán bằng sơ đồ
đoạn thẳng, dùng sơ đồ đoạn thẳng thay cho các số, các đại lượng để giải toán.
Nhằm giải quyết được nhiệm vụ trên, tôi bám sát vào các phương pháp, hình
thức tổ chức dạy học toán ở Tiểu học nói chung, của lớp 4 nói riêng sao cho phù
hợp với nhận thức của học sinh, tạo hứng thú học tập, tạo không khí lớp học sôi
nổi, chất lượng học toán sẽ nâng cao.
-4-


VI. PHẠM VI VÀ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU:

- Phần giải Toán có lời văn của chương trình Toán lớp 4.
- Phương pháp giải Toán bằng sơ đồ đoạn thẳng.
- Thực hiện nghiên cứu từ tháng 10 / 2014 đến tháng 4/ 2015.

PHẦN 2: NỘI DUNG
I. Thực trạng vấn đề.
Năm học 2013-2014, sau khi về trường tôi đựơc phân công dạy lớp 4B. Ngay
từ khi nhận lớp tôi đã nhanh chóng tiếp cận điều tra phân loại học sinh ,tìm
nguyên nhân dẫn đến tình trạng 1 số học sinh học yếu môn toán, nhất là dạng
toán giải có lời văn.
Tôi thấy rằng các em học yếu môn toán vì nhiều lí do: lười học dẫn đến
hổng kiến thức và các em thiếu một một phương pháp học toán khoa học.
Nhưng xét về nguyên nhân sâu xa thì nguyên nhân chính là các em chưa có
phương pháp giải toán có lời văn phù hợp. Chính vì vậy các em thường gặp
nhiều khó khăn trong giải toán dẫn đến chán học, sợ học.
Để khắc phục tình trạng trên, ngay từ đầu năm học tôi đã suy nghĩ và lựa
chọn phương pháp dạy học toán thật phù hợp với các đối tượng học sinh trong

lớp, thực hiện vừa cung cấp kiến thức vừa dạy cho các em cách tư duy, suy nghĩ
tìm ra hướng giải. Và cách giải bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng là phương pháp
hữu hiệu nhẹ nhàng nhất giúp các em dễ hiểu, dê khắc sâu nhớ lâu kiến thức.
II. Tiến hành nghiên cứu.
1. Khảo sát thực tế.
Sau khi lựa chọn phương pháp phù hợp, tôi tiến hành khảo sát thực tế để
phân loại khả năng nhận thức của học sinh.
-5-


Tổng số học sinh của lớp là 21 em, có 12 em nữ.
Kết quả bài khảo sát về giải toán có lời văn như sau:
Số HS
25

Giỏi
SL
%
5
23.8

Khá
SL
6

%
28.6

Trung bình
SL

%
8
38.0

Yếu
SL
2

%
9.5

Trong số các học sinh đạt điểm trung bình và yếu là do bị mắc trong cách
giải bài toán có lời văn. Thực tế, với bài toán đó có thể giải đơn giản bằng cách
sử dụng sơ đồ đoạn thẳng nên tôi tập trung hướng dẫn học sinh giải bài toán
bằng sơ đồ đoạn thẳng phù hợp và dễ hiểu.
2. Các bước cơ bản để giải một bài toán bằng phương pháp dùng sơ đồ
đoạn thẳng.
Bước 1: Tìm hiểu đề bài
Học sinh đọc đề toán, suy nghĩ về ý nghĩa bài toán, nội dung bài toán đặc
biệt chú ý đến những phần đã biết, những phần chưa biết của bài toán.
Bước 2: Tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng
Sau khi phân tích đề, học sinh biết thiết lập mối quan hệ và phụ thuộc giữa
các đại lượng trong bài toán. Muốn làm việc này ta thường dùng sơ đồ đoạn
thẳng thay cho các số (số đã cho, số phải tìm trong bài toán) để minh hoạ các
quan hệ đó.
Khi vẽ sơ đồ phải chọn độ dài các đoạn thẳng và sắp xếp các đoạn thẳng
một cách thích hợp để có thể dễ dàng thấy được mối quan hệ phụ thuộc giữa các
đại lượng, tạo ra một hình ảnh cụ thể giúp ta suy nghĩ tìm tòi cách giải một bài
toán.
Có thể nói đây là một bước quan trọng vì đề toán được làm sáng tỏ: mối

quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán được nêu bật các yếu tố không cần
thiết được lược bỏ.
Để có thể thực hiện những bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng thì nắm được
cách biểu thị các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) các mối quan hệ (quan hệ về
hiệu, quan hệ về tỷ số) là hết sức quan trọng. Vì nó làm một công cụ biểu đạt
mối quan hệ và phụ thuộc giữa các đại lượng. “Công cụ” này học sinh đã được
-6-


trang bị từ những lớp đầu cấp nhưng cần được tiếp tục củng cố, mài giũa ở các
lớp cuối cấp.
Bước 3: Lập kế hoạch giải toán
Dựa vào sơ đồ suy nghĩ xem từ các dữ kiện đã cho và điều kiện của bài
toán có thể biết gì? Có thể làm gì? Phép tính đó có thể giúp ta trả lời câu hỏi của
bài toán không? Trên cơ sở đó, suy nghĩ để thiết lập trình tự giải bài toán.
Bước 4: Giải bài toán và kiểm tra các bước giải
+ Thực hiện các phép tính theo trình tự đã thiết lập để tìm ra đáp số.
+ Mỗi khi thực hiện phép tính cần kiểm tra xem đã đúng chưa? Giải song
bài toán phải thử xem đáp số đã tìm được có trả lời đúng câu hỏi của bài toán có
phù hợp với các điều kiện của bài toán không?.
Tóm lại, để học sinh có thể sử dụng thành thạo “phương pháp dùng sơ đồ
đoạn thẳng” trong việc giải toán thì việc giúp cho các em hiểu rõ ý nghĩa của
từng dạng toán sau đó có thể mô hình hoá nội dung từng dạng bằng sơ đồ đoạn
thẳng từ đó tìm ra cách giải bài toán là một việc làm hết sức quan trọng. Làm
được việc này giáo viên đã đạt được mục tiêu lớn nhất trong giảng dạy đó là việc
không chỉ dừng lại ở việc “dạy toán” mà còn hướng dẫn học sinh “học toán” sao
cho đạt hiệu quả cao nhất”.
Để khẳng định cụ thể hơn lợi ích của việc sử dụng sơ đồ đoạn thẳng để
dạy
giải toán ở Tiểu học tôi xin trình bày một số dạng toán cơ bản mà khi giải có thể

sử dụng sơ đồ đoạn thẳng như sau.
DẠNG 1: DẠNG TOÁN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN SỐ TRUNG BÌNH CỘNG

Đối với dạng toán này, học sinh nắm được khái niệm số trung bình cộng.
Biết cách tìm số trung bình cộng của nhiều số. Khi giải các bài toán dạng này,
thông thường các em sử dụng công thức.
1. Số trung bình = Tổng : (số các số hạng)
2.Tổng = (số trung bình cộng) x (số các số hạng)
3.(Số các số hạng) = tổng : (số trung bình cộng)
-7-


Áp dụng kiến thức cơ bản đó học sinh được làm quen với rất nhiều dạng
toán về trung bình cộng mà có những bài toán nếu không tóm tắt bằng sơ đồ, học
sinh sẽ rất khó khăn trong việc suy luận tìm ra cách giải. Tổ chức cho học sinh
làm bài toán từ dễ đến khó.
Bài toán:

Lớp 4A trồng được 21 cây, lớp 4B trồng được 22 cây, lớp 4C

trồng được 29 cây, lớp 4D trồng được số cây bằng trung bình cộng số cây trồng
được của 4 lớp. Hỏi lớp 4D trồng được bao nhiêu cây?
Phân tích:
Ta thấy tổng số cây của 4 lớp được chia thành 4 phần bằng nhau thì số cây
của lớp 4D là một phần và tổng số cây của 3 lớp kia sẽ là 3 phần. Như thế trung
bình cộng số cây của cả 4 lớp chính bằng trung bình cộng số cây của 3 lớp còn
lại.
Học sinh tự vẽ sơ đồ (căn cứ vào các dữ liệu biễu diễn các đại lượng trên sơ đồ)
Theo bài ra ta có sơ đồ:
TBC

TBC

TBC

TBC

4D

4A + 4B + 4C

?
Dựa vào sơ đồ lập kế hoạch giải bài toán
Bài giải
Nhìn vào sơ đồ ta có:
Lớp 4D trồng được số cây là:
(21 + 22 + 29) : 3 = 24 (cây)
Đáp số: 24 cây
Nhận xét: Một trong các số đã cho bằng trung bình cộng của các số còn
lại thì số đó chính bằng trung bình cộng của tất cả các số đã cho.
-8-


Qua hướng dẫn cách giải bài toán trên, tôi thấy học sinh có hứng thú về bài
toán (khi mà trước đó các em rất ngại vì đọc bài toán dài) vì được vẽ, được dùng
thước chứ không phải chỉ có viết và viết. Ứng dụng bài toán trên, tôi tiếp tục cho
học sinh làm các ví dụ tiếp theo
Ví dụ 1:

Lớp 4A trồng được 21 cây, lớp 4B trồng được 22 cây, lớp 4C

trồng được 29 cây, lớp 4D trồng được số cây hơn trung bình cộng số cây trồng
được của 4 lớp là 3 cây. Hỏi lớp 4D trồng được bao nhiêu cây?
Phân tích: Bài toán này cho số cây lớp 4D không những bằng trung bình
cộng số cây của 4 lớp mà còn hơn trung bình cộng số cây của 4 lớp là 3 cây.
Học sinh tự vẽ sơ đồ đoạn thẳng
Theo bài ra ta có sơ đồ :
TBC

TBC 3

TB
C

TB
C

3 cây

4A + 4B + 4C

4D
?

Tổng số cây của 3 lớp 4A + 4B + 4C và thêm 3 cây nữa sẽ là 3 lần TBC số
cây của cả 4 lớp. Từ đó ta tìm ra được số cây của lớp 4D.
Bài giải
Nhìn các sơ đồ ta thấy trung bình cộng số cây của 4 lớp là:
(21 + 22 + 29 + 3) : 3 = 25 (cây)
Lớp 4D trồng được số cây là:

25 + 3 = 28 (cây)
Đáp số: 28 (cây)
Từ ví dụ trên tôi đã giúp học sinh rút ra một công thức để tính khi gặp dạng
toán tìm số lớn hơn trung bình cộng.

-9-


⇒ Nhận xét: Nếu có 4 số a, b, c, x trong đó x chưa biết mà: x〉
đơn vị thì

a+b+c+ x
là (n)
4

a + b + c + x a + b +c + n
=
4
3

Ví dụ 2: An có 20 nhãn vở, Bình có số nhãn vở bằng An. Chi có số nhãn
vở ít hơn trung bình cộng số nhãn vở của 3 bạn là 6 nhãn vở. Hỏi Chi có bao
nhiêu nhãn vở?
Sau khi đọc kỹ đề toán, phân tích mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài,
học sinh tóm tắt bài toán bằng sơ đồ:
+ Trước hết vẽ đoạn thẳng: Biểu thị tổng số nhãn vở của 3 bạn
+ Dựa vào đó học sinh nêu cách vẽ đoạn thẳng thể hiện mức trung bình cộng số
nhãn vở của 3 bạn (1/3 tổng trên)
+ Từ đó vẽ đoạn thẳng biểu thị số nhãn vở của Chi (ít hơn mức trung bình cộng
là 6 chiếc).

TBC

Tổng số nhãn vở
Bình + An
Nhãn vở của An và Bình

?Chi
3

Bình + An
Sau khi hướng dẫn tìm hiểu đề và tóm tắt bằng sơ đồ, nhiều học sinh đã biết
từng bước tìm cách giải. Những em chưa làm được bài, sau khi nghe bạn trình
bày cách suy luận của sơ đồ các em đều nắm được và bết tự giải quyết các bài
toán dạng tương tự.
Số nhãn vở của An và Bình là:
20 + 20 = 40 (nhãn vở)
Nhìn vào sơ đồ ta thấy, trung bình cộng số nhãn vở của 3 bạn là
(40 – 6) : 2 = 17 (nhãn vở)
Bạn Chi có số nhãn vở là:
17 – 6 = 11 (nhãn vở)
- 10 -


Đáp số: 11 nhãn vở
Ví dụ 3:
Dùng sơ đồ có thể giúp học sinh hiểu hoặc các em có thể giải thích cách
làm dạng toán tìm 2 số khi biết hiệu và trung bình cộng của 2 số đó một cách
ngắn gọn.

?

Ta thấy:

Hiệu

Số lớn:
Số bé:
TBC:
Qua sơ đồ ta có thể tìm ra:
Số lớn = Trung bình cộng + (hiệu : 2)
Số bé = Trung bình cộng – (Hiệu : 2)
Ví dụ một bài toán cụ thể dạng này:
Trung bình cộng của 2 số tròn chục liên tiếp là 2005. Tìm hai số đó.
Vì hai số tròn chục liên tiếp kém nhau 10 đơn vị nên ta có sơ đồ:
?

10

Số lớn:
Số bé:

?

TBC:
2005
Bài giải:
Số lớn là:
2005 + (10 : 2) = 2010
Số bé là:

2005 – (10 : 2) = 2000
Hoặc 2010 – 10 = 2000
- 11 -


Đáp số: Số lớn 2010
Số bé 2000
Ví dụ 4:
Một tổ công nhân đường sắt sửa đường, ngày thứ nhất sửa được 15m
đường, ngày thứ 2 sửa được nhiều hơn ngày thứ nhất 1m, ngày thứ 3 sửa được
nhiều hơn ngày thứ nhất 2m. Hỏi trung bình mỗi ngày sửa được bao nhiêu mét
đường?
Ta có sơ đồ:
15 m
Ngày thứ nhất:
1m

TBC ?

Ngày thứ hai:
2m
Ngày thứ ba:
Thông thường ta giải bài toán như sau:
Ngày thứ hai sửa được là:
15 + 1 = 16 (m)
Ngày thứ 3 sửa được
15 + 2 = 17 (m)
Trung bình mỗi ngày sửa được
(15 + 16 + 17) : 3 = 16 (m)
Đáp số: 16 (m)

Ngoài ra khi quan sát kỹ sơ đồ ta thấy nếu chuyển một mét từ ngày thứ 3 sang
ngày thứ nhất thì số mét đường sửa được trong các ngày đều bằng 16m.

15m

1m

Ngày thứ nhất:
- 12 -


1m
Ngày thứ hai:
1m

1m

Ngày thứ ba:
Ta thấy ngay trung bình mỗi ngày tổ đó sửa được 16m đường.
Như vậy, sơ đồ giúp ta hình dung rõ khái niệm, đôi khi sơ đồ còn giúp ta
tính nhẩm nhanh kết quả.
DẠNG 2: DẠNG TOÁN TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ HIỆU CỦA
CHÚNG.

Bài toán : Tổng hai số là 48, hiệu hai số là 12. Tìm hai số đó?
Tóm tắt bài toán bằng sơ đồ, căn cứ sơ đồ hướng dẫn học sinh tìm ra
phương pháp giải.
Sử dụng sơ đồ biểu thị mối quan hệ về hiệu, các em sẽ tóm tắt bài toán
bằng sơ đồ dưới đây.
?

Số lớn:
?

12

48

Số bé:
Nhìn vào sơ đồ, yêu cầu học sinh nhận xét:
+ Nếu lấy tổng trừ đi hiệu, kết quả đó có quan hệ như thế nào với số bé?
(Giáo viên thao tác che phần hiệu là 12 trên sơ đồ)... từ đó học sinh sẽ dễ dàng
nhận thấy phần còn lại là 2 lần số bé.
Dựa vào suy luận trên, yêu cầu học sinh nêu cách tìm số bé.
Hơn 80% số em nêu được tìm số bé là:
(42 – 12) : 2 = 18
Tìm được số bé suy ra số lớn là:
18 + 12 = 30
Hay: 48 – 18 = 30
- 13 -


Từ bài toán ta xây dựng được công thức tính:
Số bé = (tổng – hiệu) : 2
Số lớn = Số bé + hiệu
Cách giải vừa nêu trên là dễ nhất với học sinh. Tuy nhiên cũng có thể giới
thiệu thêm phương pháp sau đây:
Cũng biểu thị mối quan hệ hiệu nhưng sử dụng sơ đồ

?
Số lớn:

?

12

48

Số bé:
Suy luận: nếu thêm một đoạn thẳng hiệu (12) vào số bé ta được hai đoạn
thẳng bằng nhau tức là hai lần số lớn.
Từ đó suy ra:
Số lớn là:
(48 + 12) : 2 = 30
Vậy số bé là: 30 – 12 = 18
Hoặc: 48 – 30 = 18
Sau khi học sinh đã nắm được cách giải ta xây dựng công thức tổng quát:

Số lớn = (tổng + hiệu) :2
Số bé = số lớn – hiệu (Hay = Tổng – số lớn)
Như vậy qua sơ đồ đoạn thẳng học sinh nắm được phương pháp giải dạng
toán này và có thể áp dụng để giải các bài tập về tìm hai số khi biết tổng và hiệu
ở nhiều dạng khác nhau.
Ví dụ 1:
- 14 -


Ba lớp bốn A, bốn B, bốn C mua tất cả 120 quyển vở. Tính số vở của mỗi
lớp biết rằng nếu lớp 4A chuyển cho lớp 4B 10 quyển và cho lớp 4C 5 quyển thì
số vở của 3 lớp sẽ bằng nhau:
Phân tích nội dung bài toán sẽ vẽ được sơ đồ
?

5

Lớp 4A:
?

10

Lớp 4B:
Lớp 4C:

120 quyển vở
?

Dựa vào sơ đồ ta có:
Sau khi lớp 4A chuyển cho hai lớp thì mỗi lớp có số vở là:
120:3 = 40 (quyển)
Lúc đầu lớp 4C có là:
40-5 = 35 (quyển)
Lúc đầu lớp 4B có là:
40-10 = 30 (quyển)
Lúc đầu lớp 4A có là:
40 + 10 + 5 = 55 (quyển)
ĐS: 4A: 55 quyển; 4B: 30 quyển; 4C: 35 quyển
Ví dụ 2: Hiệu 2 số bằng 1/4 số bé, tổng hai số bằng 423 Tìm 2 số đó.
Bước 1: Tìm hiểu đề toán
- HS đọc kĩ đề toán
- GV nêu câu hỏi giúp HS phân tích đề toán
+ Bài toán cho biết gì? (Hiệu hai số bằng 1/4 số bé; Tổng hai số bằng 423)
+ Bài toán yêu cầu gì? (Tìm hai số đó )

Bước 2: Phân tích điều kiện của bài toán biểu diễn các đại lượng trên sơ
đồ đoạn thẳng

- 15 -


Số lớn trừ số bé bằng 1/4 số bé, vậy nếu ta biểu thị số bé là bốn phần bằng
nhau thì hiệu là một phần như thế.
Số lớn sẽ là: 1 + 4 = 5 (phần)
Theo bài ra ta có sơ đồ:
?
Số bé
?

423

Số lớn
Bước 3: Dựa trên sơ đồ lập kế hoạch giải
Bước 4: Giải bài toán
Bài giải
Nhìn vào sơ đồ ta thấy:
423 ứng với số phần là:
4 + 5 = 9 (phần)
Số bé là:
423 : 9 x 4 = 188
Số lớn là:
423 - 188 = 235
Đáp số: 188 và 235
Bước 5: Kiểm tra đánh giá lời giải ( thử lại )
188 : ( 235 - 188 ) = 4 ( lần )

DẠNG 3: TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TỈ CỦA CHÚNG

Bài toán: Một đội tuyển học sinh giỏi toán có 12 bạn, trong đó số bạn gái
bằng 1/3 số bạn trai. Hỏi có mấy bạn gái, mấy bạn trai trong đội tuyển đó?
Tóm tắt bài toán bằng sơ đồ, cắn cứ vào sơ đồ hướng dẫn học sinh tìm ra
phương pháp giải:
Sử dụng sơ đồ biểu thị mối quan hệ về tỷ số và các em sẽ tóm tắt bài toán
bằng sơ đồ dưới đây:

?
- 16 -


Số bạn trai:
12 bạn
Số bạn gái:

?

Vẽ sơ đồ đoạn thẳng thế này học sinh dễ dàng thấy được hai điều kiện của
bài toán: cả trai và gái có 12 bạn (biểu thị mối quan hệ về tổng) và có số bạn trai
gấp 3 lần số bạn gái (biểu thị mối quan hệ về tỷ).
Sơ đồ trên gợi cho ta cách tìm số bạn gái bằng cách
lấy 12 chia cho 3 + 1 = 4 (vì số bạn gái ứng với 1/4 tổng số bạn).
Cũng dựa vào sơ đồ ta dễ dàng tìm được số bạn trai
Bài giải
Tổng số phần bằng nhau là
1 + 3 = 4 (phần)
Số bạn gái trong đội tuyển là
12 : 4 = 3 (bạn)

Số bạn trai trong đội tuyển là
3 x 3 = 9 (bạn)
Hoặc 12 – 3 = 9 (bạn)
Đáp số:

Trai: 9 bạn, Gái: 3 bạn

Từ bài toán cơ bản trên ta xây dụng quy tắc giải bài toán tìm hai số khi biết tổng
và tỷ số của 2 số đó.
Bước 1: Vẽ sơ đồ
Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau
Bước 3: Tìm giá trị một phần
Giá trị một phần = Tổng : Tổng số phần bằng nhau
Bước 4: Tìm số bé
Số bé = giá trị 1 phần x số phần của số bé
Bước 5: Tìm số lớn
Số lớn = giá trị 1 phần x số phần của số lớn
Hoặc = tổng – số bé
- 17 -


Nắm được quy tắc giải học sinh sẽ biết áp dụng để giải nhiều bài toán
cùng dạng, học sinh giỏi sẽ biết áp dụng quy tắc để giải các bài toán khó dạng
này (đó là các bài toán cùng dạng như tổng, tỷ được thể hiện dưới dạng ẩn).
Ví dụ 1: Lúc đầu nhà máy số công nhân nữ bằng

2
số công nhân nam.
3

Sau đó 8 công nhân nam nghỉ việc nhà máy nhận thêm 15 công nhân nữ thì lúc
này nhà máy có tổng số công nhân là 167 người. Hỏi lúc đầu nhà máy có bao
nhiêu công nhân nam, công nhân nữ?
Phân tích: Muốn tính được số công nhân nam, công nhân nữ thì cần phải
tính số công nhân ở nhà máy lúc đầu, từ đó ta có lời giải:
Bài giải
Tổng số công nhân lúc đầu trong nhà máy là:
167 + 8 - 15 = 160 (công nhân)
Vẽ sơ đồ biểu thị số công nhân nam, nữ lúc đầu:
?
Số CN nữ:

160 Công nhân

?

Số CN nam:

Nhìn vào sơ đồ ta thấy 160 công nhân ứng với số phần là:
2 + 3 = 5 (phần)
Số công nhân nữ là:
160 : 5 x 2 = 64 (công nhân)
Số công nhân nam là:
160 - 64 = 96 (công nhân)
Đáp số: 64 công nhân nữ
96 công nhân nam
Ví dụ 2:
Hai đội xanh và đỏ có tất cả 45 quả bóng. Tính xem mỗi đội có bao nhiêu
quả bóng. Biết 3 lần số bóng đội xanh bằng 2 lần số bóng đội đỏ.
Bước 1: Ta vẽ sơ đồ biểu thị 3 lần số bóng đội xanh = 2 lần số bóng đội

đỏ.

- 18 -


2 lần đội đỏ:
45 quả bóng
3 lần đội xanh:
Nhìn vào sơ đồ ta thấy nếu chia số bóng của đội xanh thành 2 phần và
chia số bóng của đội đỏ thành 3 phần thì các phần sẽ bằng nhau. Với tỷ số bóng
2 đội là 2/3. Ta có sơ đồ biểu thị số bóng của 2 đội.
?
Đội xanh:
?

45 quả bóng

Đội đỏ:
Bài giải
Tổng số phần bằng nhau là
2 + 3 = 5 (phần)
Số bóng ứng với một phần là
45 : 5 = 9 (quả)
Số bóng đội xanh là
9 x 2 = 18 (quả)
Số bóng đội đỏ là
9 x 3 = 27 (quả)
Đáp số:

Đội xanh: 18 quả

Đội đỏ: 27 quả

Ví dụ 3: Tổng số tuổi của 2 anh em hiện nay là 25 tuổi. Trước đây khi anh
bằng tuổi em hiện nay thì tuổi anh gấp hai lần tuổi em. Tính tuổi của mỗi người
hiện nay?
Đây thực sự là bài toán về tìm 2 số khi biêt tổng và tỷ số nhưng không ở
dạng cơ bản mà đã được nâng cao lên bằng cách diễn đạt tỷ số dưới dạng ẩn. Vì
vậy khi nhận được đề bài này học sinh rất lúng túng khi xác định được cách giải
- 19 -


đúng. Sau khi gợi ý, phân tích và hướng dẫn từng bước sơ đồ hoá nội dung bài
toán các em nhận ra ngay dạng toán quen thuộc tìm hai số khi biết tổng bà tỷ số.
+ Trước hết yêu cầu học sinh vẽ sơ đồ biểu thị số tuổi của 2 anh em trước
đây.
Tuổi em trước đây:
Tuổi anh trước đây:
Nhận xét: Hiệu số tuổi của hai anh em là 1 “phần”. Hiệu số phần bằng nhau giữa
tuổi anh và tuổi em không thay đổi theo thời gian (vì sau cùng một số năm thì 2
anh em cùng tăng một số tuổi như nhau). Như vậy tuổi anh hiện nay bằng 3 lần
tuổi em trước đây.
Ta có sơ đồ:

?

Tuổi em hiện nay:
?

25 tuổi

Tuổi anh hiện nay:
Dùng phương pháp giải bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của 2 số đó học
sinh đễ dàng tìm ra đáp số bài toán.
Kết luận: Qua các ví dụ trên ta có thể thấy sơ đồ đoạn thẳng không chỉ
đơn thuần dùng để tóm tắt bài toán mà còn là một công cụ giúp cho việc suy luận
tìm ra cách giải toán. Sử dụng sơ đồ ta có thể làm cho các bài toán khó, phức tạp
trở thành các bài toán đơn giản theo dạng cơ bản nên có thể dễ dàng giải được.
DẠNG 4: TÌM HAI SỐ KHI BIẾT HIỆU VÀ TỶ CỦA CHÚNG

Bài toán: Tìm hai số tự nhiên biết hiệu của chúng là 27 và số này bằng 2/5 số
kia.
Học sinh phân tích để vẽ sơ đồ vừa biểu thị mối quan hệ về hiệu, vừa biểu
thị mối quan hệ về tỷ số:
?
- 20 -


Số lớn:
?
Số bé:

27

Dựa vào sơ đồ tiến hành tương tự như khi dạy dạng toán “Tìm hai số khi
biết tổng và tỷ số của hai số đó”. Học sinh tìm ra cách giải bài toán.
Tổng kết thành quy tắc giải dạng toán tìm hai số khi biết hiệu và tỷ số của
hai số đó.
Bước 1: Vẽ sơ đồ tóm tắt bài toán
Bước 2: Tìm hiệu số phần bằng nhau
Bước 3: Tìm giá trị một phần

Giá trị một phần = Hiệu : Hiệu số phần bằng nhau
Bước 4: Tìm số bé
Số bé = giá trị 1 phần x số phần của số bé
Bước 5: Tìm số lớn
Số lớn = giá trị 1 phần x số phần của số lớn
Hoặc = Số bé + hiệu
Nắm vững quy tắc giải học sinh cũng sẽ biết áp dụng để giải các bài toán
nâng cao.
Việc dùng sơ đồ đoạn thẳng một lần nữa lại thể hiện vai trò vô cùng quan
trọng vì sơ đồ chính là chỗ dựa giúp học sinh dễ dàng trong việc suy luận tìm ra
cách giải.
Ta có thể lấy một số bài toán sau đây làm ví dụ.
Ví dụ 1: Hiệu hai số là 7, nếu gấp số thứ nhất lên 5 lần và giữ nguyên số
thứ 2 thì hiệu mới là 29. Tìm hai số đó?
Hướng dẫn học sinh sơ đồ hoá nội dung bài toán như sau:
Trước hết vẽ hai đoạn thẳng biểu thị hai số mà hiệu của chúng là 7
Tiếp theo kéo dài đoạn thẳng biểu thị số thứ nhất để hiển thị số đó được
gấp lên 5 lần.
Yêu cầu học sinh xác định trên sơ đồ đoạn thẳng chỉ hiệu mới
- 21 -


Sơ đồ bài toán
Số thứ nhất:
? 7
5 lần số thứ nhất:
39
Số thứ hai:
?
Với sơ đồ trên học sinh có thể thấy ngay

Bốn lần số thứ nhất là:
39 – 7 = 32
Số thứ nhất là:
32 : 4 = 8
Số thứ hai là:
8–7=1
Vậy hai số đó là 8 và 1
Ví dụ 2: Hiện nay cha gấp 4 lần tuổi con. Trước đây 6 năm tuổi cha gấp
13 lần tuổi con. Tính tuổi cha và tuổi con hiện nay?
Đây là một bài toán khó, học sinh sẽ lúng túng vì cả hiệu và tỷ số đều dưới
dạng ẩn. Nhưng sử dụng sơ đồ đoạn thẳng các em sẽ có số dựa vào suy luận và
đưa ra bài toán về dạng điển hình.
Sơ đồ bài toán:
Trước đây 6 năm:
Tuổi con:
Tuổi cha:
12 lần tuổi con trước đây 6 năm
Hiện nay:
Tuổi con:
- 22 -


Tuổi cha:
12 lần tuổi con trước đây 6 năm

Theo sơ đồ, hiệu số tuổi của cha và con bằng 12 lần tuổi con lúc đó.
Còn hiệu số tuổi của cha và con hiện nay bằng 3 lần tuổi con hiện nay.
Vì hiện nay không thay đổi nên 3 lần tuổi con hiện nay bằng 12 lần tuổi
con trước đây.
Ta vẽ sơ đồ biểu thị tuổi con trước đây và tuổi con hiện nay:

Tuổi con trước đây:
6 năm
Tuổi hiện nay:
?
Bài toán được đưa ra dạng cơ bản học sinh dễ dàng giải được:
Giải
Từ sơ đồ suy ra tuổi con trước đây là:
6 : (4 – 1) = 2(tuổi)
Tuổi con hiện nay là:
2 + 6 = 8 (tuổi)
Tuổi cha hiện nay là:
4 x 8 = 32 (tuổi)
Đáp số:

Cha: 32 tuổi
Con: 8 tuổi

DẠNG V: DẠNG CẤU TẠO THẬP PHÂN CỦA SỐ

Bài toán: Tìm số có 3 chữ số biết rằng nếu viết thêm vào bên trái số đó
chứ số 2 thì được số mỗi gấp 6 lần số phải tìm.
- 23 -


Cách 1: Gọi số phải tìm là abc
(a ≠ 0); a, b, c < 10)
Số mới biết là 2abc
Theo bài ra ta có:
abc x 6 = 2abc
abc x 6 = 2000 + abc (phân tích số)

abc x 6 - abc = 2000 (tìm một số hạng của một tổng)
abc x (6 - 1) = 2000
abc x 5 = 2000 (một số nhân với một hiệu)
abc = 2000 : 5 (Thừa số)
abc = 400

Đáp số: 400
Cách 2: Vì số phải tìm có 3 chữ số nếu khi viết thêm chữ số 2 vào bên trái số đó
thì được số mới hơn số đó là 2000.
Ta có sơ đồ:

?

2000

Số phải tìm
Số mới
Bài giải
Số phải tìm: 2000 : (6 - 1) = 400
Đáp số: 400
Như vậy qua 2 cách giải thì cách giải thứ 2 vừa đơn giản vừa dễ hiểu,
tránh được dài dòng và học sinh càng hiểu hơn bản chất của dạng toán này.
DẠNG VI : TÌM HAI SỐ KHI BIẾT HIỆU HAI SỐ.

Bài toán:

Tang tảng lúc trời mới rạng đông
Rủ nhau đi hái mấy quả hồng
- 24 -

Mỗi người 5 quả, thừa 5 quả
Mỗi người 6 quả, 1 người không
Hỏi bao nhiêu người? Bao nhiêu hồng?
Phân tích: Khi dạng toán này cần giúp học sinh hiểu được đâu là hai hiệu
số và ngoài ra học sinh phải “giải mã” được các từ “khoá” của bài toán như
“thừa, thiếu, không” trong bài toán để học sinh vẽ được sơ đồ.
1 người 5 quả thừa 5 quả, 1 người 6 quả 1 người không tức là còn thiếu 6 quả
nữa mới chia đủ cho số người mỗi người 6 quả.
Theo bài ra ta có sơ đồ:
Số quả đủ để chia 1 người 5 quả 5 quả

5 quả

6 quả

Số quả đủ để chia 1 người 6 quả

Số quả đủ để chia 1 người 6 quả nhiều hơn số quả đủ để chia 1 người 5 quả là:
5 + 6 = 11 (quả)
Mỗi người 6 quả nhiều hơn mỗi người 5 quả là:
6 - 5 = 1 (quả)
Số người được chia là:
11 : 1 = 11 (người)
Số quả hồng là:

5 x 11 + 5 = 60 (quả)

Hoặc:

6 x (11 - 1) = 60 (quả)
Đáp số: 60 quả

DẠNG VII : DẠNG TÍNH NGƯỢC TỪ CUỐI

Bài toán: Nhân ngày Môi trường thế giới, trường Tiểu học Hữu Nghị đã
trồng được một số cây. Khối lớp 5 nếu trồng thêm được 5 cây nữa thì số cây
- 25 -