Bài tập bất đẳng thức có lời giải (phần 1)-Trần Phương

Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph

B T

ng

B t đ ng th c Cô - si

NG TH C CÔ-SI (PH N 01)
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: TR N PH
NG

Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng B t đ ng th c Cô - si (Ph n 01) thu c khóa h c B i
d ng h c sinh gi i Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng t i website Hocmai.vn giúp các b n ki m tra,
c ng c l i các ki n th c đ c giáo viên truy n đ t trong bài gi ng B t đ ng th c Cô - si (Ph n 01).
s d ng hi u
qu , b n c n h c tr c bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.




a






b



1. Ch ng minh r ng: 1    1    21 a , b  0
b
a




HD






 a  a   b  b 
a , b  0, 1     2
 , 1     2

 b   b   a   a 




 a  b
 VT   2
 2
2
 b   a 


 




a












 a  b
2
1
 2
 . 2
  2 2  2
 b  a
b






c



2. Ch ng minh r ng:  2     2     2    31 a , b, c  0
b
c
a






HD

V i m i a, b, c>0 ta có:



a   3 a  

 2  b    3. b 

 
 


 








 
 


 
 

b  3 b  
a
b
c
a
b
c

1
 2  c    3. c    VT   3. 3 b    3. 3 c    3. 3 a   3. 3  3. 3 b   3. 3 c   3. 3 a   3

 
 


 
 


 
 




c   3 c  

 2  a    3. a 

 
 

a,b,c  0

3. Cho 

abc  1

1
2

1
3

. Ch ng minh r ng: a  b2  c3 

V i a, b, c>0 và abc=1 ta có:

11
6

HD

1
1
11
a  b2  c3   6a  3b2  2c3  11
2
3
6

Ta có VT  a  a  a  a  a  a  b 2  b 2  b 2  c 3  c 3  116 a 6b 6c 6  11 (đpcm)
a , b, c  0

4. Cho 

abc  4

Ch ng minh r ng: (2 + a)(2 + b)(1 + c)  32
HD

V i a, b, c > 0 và abc=1 ta có:
VT=(2 + a)(2 + b)(1 + c) = 4  2b  2a  ab  4c  2bc  2ac  abc

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph

ng

B t đ ng th c Cô - si

 VT  8  2b  2a  4c  ab  2bc  2ac
 8  6 6 2b.2a .4c.ab.2bc.2ac  8  6. 6 26.a 3b3c 3  32

5. Ch ng minh r ng: 8a  8b  8c  2a  2b  2c

a  b  c  0

HD
t 2  x, 2  y, 2  z  x, y, z  0
a

b

c

 a  log 2 x, b  log 2 y, c  log 2 z

 a  b  c  0  log 2  xyz   0  xyz  1

Nh v y bài toán tr thành ch ng minh x3  y3  z3  x  y  z x, y, z  0 | xyz  1 Ta có

x

3

 

 



 1  1  y3  1  1  z3  1  1  3x  3 y  3z

=>x 3 +y3 +z3  3  x  y  z   6  x  y  z  2.3 3 xyz  6  x  y  z

a , b, c  0

6. Cho 

a b c  1

. Ch ng minh r ng: (a + b)(b + c)(c + a)  2(1 + a + b + c)
HD

(Các b n t gi i)
7. Cho a, b > 1. Ch ng minh r ng:

a2
b2

8
b 1 a 1

 a  1  2a  1   b  1  2b  1  8
a
b


b 1 a 1
b 1
a 1
2

2

a,b,c  0

8. Cho 

a  b  c  1

2

HD

2




1 

1 

1







Ch ng minh r ng: 1   1   1    64
a
b
c
HD

V i a, b, c > 0 ta có
 1  1  1   a  1 b  1 c  1
1  a 1  b 1  c  
abc






abc  ab  ac  a  bc  b  c  1
ab  bc  ca  2
3
2
1
1 3

 1  9  54  64
abc
abc
abc abc
a,b,c  0

9. Cho 

a  b  c  1




1 

1 

1







Ch ng minh r ng:  2    2    2    125
a
b
c

(Các b n làm t

ng t nh bài 8)

10. Cho a  b > 0; a  2; ab  2. Ch ng minh r ng: a  b  3
HD
+ Xét b  1  a  b  3 luôn đúng v i m i a, b th a mãn đi u ki n đ bài
+ Xét b  1  1  a  2  a  b  a 
=> PCM
Hocmai.vn – Ngôi tr

2
2a
 1
 a 2
 3   a  2  1    3  3
a
a
 a

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph

ng

B t đ ng th c Cô - si

11. Cho a > b > c > 0 ; a  3; ab  6 ; abc  6. Ch ng minh r ng: a  b  c  6
(Các b n ch ng minh t ng t nh bài 10)
12. Ch ng minh r ng:

4a 2 b 2



 a 2  b2  2

a 2 b2

 3 a, b  0
b2 a 2

HD
VT 

2a b

a b
a b
a b


 33
3
4
4
2 2
2 2
2a b
2a b
2a 2 b 2
a b
2 2

4

4

a,b,c  0

13. Cho 

ab  bc  ca  1

4

4

4

Ch ng minh r ng:

4

a3
b3
c3
1



bc ca a b 2

HD

V i a, b, c > 0 ta có

a3
ab  ac a 2 b3
ba  bc b 2 c3
ca  cb c 2

 ;

 ;



bc
4
2 a c
4
2 a b
4
2
 VT 

ab  bc  ac a 2  b 2  c 2

2
2

 VT 

a 2  b2  c2 1 1
 
2
2 2
1
a

14. Cho a,b, c > 0. Ch ng minh r ng: a  b  c  6  (abc  1)  

1 1 a c b

  
b c  c b a

HD

V i a, b, c > 0 ta có

1 1 1 a c b
1 1 1 a c b
(abc  1)         bc  ca  ab      
a b c c b a
a b c c b a
 2a  2b  2c 

1 1 1
3
   a  b  c  3 3 abc  3
 a bc6
a b c
abc

1
1  3bc ca a b
 1


15. Cho a,b,c > 0. Ch ng minh r ng:  a 3  b3  c3   3  3  3   

a

đ

c

12 

a3 a
a
 4 t
3
b
b
b

c 

2 a

b

c 

HD

V i a, b, c > 0 ta có
11

b

ng v n t nh v y cho

a 3 b3 b3 c 3 c 3
, , , , ta đ

c 3 a 3 c 3 a 3 b3

c 6 B T ph c ng v v i v ta

a 3 a 3 b3 b3 c 3 c 3
a a b b c c
 3  3  3  3  3  3      
3
b
c
a
c
a
b
b c a c a b

 9  VT  VP  VP
3 a a b b c c 
co 'VP          9
2 b c a c a b
 VT  VP



PCM

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph

ng

B t đ ng th c Cô - si

16. Cho a1 , a 2 ,..., a n  0 for 3  n. Ch ng minh r ng:
a12  a 2 a 3
a 2  a 3 a1
a 2  a n a1
a 2  a1 a 2
 2
 ...  n 1
 n
n
a1 (a 2  a 3 ) a 2 (a 3  a1 )
a n 1 (a n  a1 ) a n (a1  a 2 )

HD

V i a1 , a 2 ,..., a n  0 ta có

a12  a 2 a 3
a 2  a 3 a1
a 2  a n a1

a 2  a1a 2
 2
 ...  n 1
 n
a1 (a 2  a 3 ) a 2 (a 3  a1 )
a n 1 (a n  a1 ) a n (a1  a 2 )





a n2
a 2 a3
a12
a1a 2
 .... 

 ..... 
a1 (a 2  a 3 )
a n (a1  a 2 ) a1 (a 2  a 3 )
a n (a1  a 2 )

 a1  ...  a n 2

2  a1a 2  a 2 a 3  ....  a n a1 



2a1a 2 
1  2a 2 a 3

 ..... 


2  a1 (a 2  a 3 )
a n (a1  a 2 ) 

n n
 n
2 2

a1  a 2  a3  a 4  a5

5

17. Cho a1 , a 2 , a3 , a 4 , a5 > 0. Ch ng minh r ng:
5

a1a 2a3a 4a5




a1  a 2

a1  a 2  a3  a 4  a5

5
5

a1a 2 a 3 a 4 a 5




 5 a1a 2 a 3 a 4 a 5 

a1  a 2

 
2

a 2  a3

 
2

a3  a 4

 
2

a 4  a5

 
2

a5  a1



2

20

HD

 
2

a 2  a3

 
2

a3  a 4

 
2

a 4  a5

 
2

a 5  a1



2

20
2  a1  a 2  a 3  a 4  a 5   2



a1a 2  a 2 a 3  a 3 a 4  a 4 a 5  a 5 a1
20

 2  a1  a 2  a 3  a 4  a 5   10 5 a1a 2 a 3 a 4 a 5   a1  a 2  a 3  a 4  a 5  





a1a 2  a 2 a 3  a 3a 4  a 4 a 5  a 5 a1

 a1  a 2  a 3  a 4  a 5  a1a 2  a 2 a 3  a 3a 4  a 4 a 5  a 5 a1  10 5 a1a 2 a 3a 4 a 5

Luôn đúng v i m i a1 , a 2 , a3 , a 4 , a5 > 0 => PCM

Giáo viên : Tr n Ph
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

:

ng

Hocmai.vn

- Trang | 4 -

