LUẬN VĂN VẬN DỤNG QUAN ĐIỂM HOẠT ĐỘNG VÀO DẠY HỌC CHƯƠNG “VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC” Ở LỚP 11 TRƯỜNG THPT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI
------

NGUYỄN THỊ PHẤN

VẬN DỤNG QUAN ĐIỂM HOẠT ĐỘNG VÀO
DẠY HỌC CHƢƠNG “VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.
QUAN HỆ VUÔNG GÓC” Ở LỚP 11 TRƢỜNG THPT

Chuyên ngành:
Mã số:

Lý luận và Phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán
60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Vƣơng Dƣơng Minh

HÀ NỘI - 2015


LỜI CẢM ƠN
Bằng tình cảm trân trọng và lòng biết ơn sâu sắc, em xin gửi lời cảm ơn
tới PGS.TS. Vương Dương Minh – giảng viên trường Đại học Sư Phạm Hà
Nội, người thầy trực tiếp hướng dẫn tận tình, chu đáo và giúp đỡ em trong
suốt quá trình làm luận văn.
Em xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô khoa Toán trường Đại học Sư
phạm Hà Nội, phòng sau Đại học, trường Đại học sư phạm Hà Nội, đã tạo
điều kiện thuận lợi và giúp đỡ em trong quá trình thực hiện Luận văn.

Em xin cảm ơn ban lãnh đạo, các thầy cô giáo cùng các em học sinh trường
THPT Tô Hiến Thành đã giúp đỡ trong quá trình thực nghiệm sư phạm.
Sau cùng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè và
những người thân đã luôn quan tâm, động viên giúp đỡ em trong suốt thời
gian học tập và hoàn thành Luận văn
Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong sự đóng góp ý
kiến của các thầy cô giáo và các bạn bè đồng nghiệp để được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 09 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Thị Phấn


NHỮNG CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

Viết tắt

Viết đầy đủ

ĐC

Đối chứng

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

NXB

Nhà xuất bản

SGK

Sách giáo khoa

THPT

Trung học phổ thông

TN

Thực nghiệm


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ..................................................................................... 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .......................................................... 2
3. Phƣơng pháp nghiên cứu ......................................................................... 3
4. Giả thuyết khoa học .................................................................................. 3
5. Cấu trúc luận văn...................................................................................... 3
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN........................................ 4
1.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN ...................................................................................... 4
1.1.1 Nội dung giáo dục toán học ở trƣờng phổ thông ............................... 4
1.1.1.1 Nội dung toán học ....................................................................... 4
1.1.1.2 Hoạt động trí tuệ của học sinh .................................................... 6

1.1.1.3 Thế giới quan và tính cách ........................................................ 12
1.1.2

Hoạt động của học sinh trong học tập môn toán .......................... 12

1.1.2.1 Thành phần của hoạt động ........................................................ 12
1.1.2.2 Các dạng hoạt động của học sinh .............................................. 13
1.1.2.3 Hoạt động của học sinh với câu hỏi và bài tập ......................... 14
1.1.3

Những yếu tố đa dạng của hoạt động học tập .............................. 15

1.1.3.1 Những yếu tố đa dạng ............................................................... 15
1.1.3.2 Thiết kế những yếu tố đa dạng .................................................. 17
1.1.4

Quan điểm hoạt động trong phƣơng pháp dạy học Toán ............. 19

1.1.4.1 Phát hiện những hoạt động tƣơng thích với nội dung............... 19
1.1.4.2 Gợi động cơ cho các hoạt động của học sinh ........................... 20
1.1.4.3 Tri thức trong hoạt động ........................................................... 21
1.1.4.4 Phân bậc hoạt động ................................................................... 23
1.2

MỘT SỐ KHÓ KHĂN CỦA HỌC SINH KHI HỌC TẬP CHƢƠNG

“VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC” ............... 24
1.3

KẾT LUẬN CHƢƠNG 1 .................................................................... 25

CHƢƠNG 2: VẬN DỤNG QUAN ĐIỂM HOẠT ĐỘNG VÀO DẠY HỌC
CHƢƠNG “VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG
GÓC” Ở LỚP 11 TRƢỜNG THPT ............................................................. 26
2.1

NGHIÊN CỨU NỘI DUNG DẠY HỌC CHƢƠNG “VECTƠ

TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC”................................ 26
2.1.1 Nội dung dạy học. ............................................................................ 26
2.1.1.1 Nội dung toán học ..................................................................... 26
2.1.1.2 Tiềm năng giáo dục toán học khác ........................................... 27
2.1.2
2.2

Vị trí và vai trò của chƣơng. ....................................................... 27

VẬN DỤNG QUAN ĐIỂM HOẠT ĐỘNG VÀO DẠY HỌC

CHƢƠNG “VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC” 27
2.2.1

Hoạt động hóa mục tiêu dạy học. ................................................. 27

2.2.2

Phát hiện, chọn lọc hoạt động tƣơng thích với mục tiêu và nội

dung dạy học ............................................................................................. 32

2.2.3

Gợi động cơ cho các hoạt động của học sinh............................... 55

2.2.3.1 Gợi động cơ mở đầu.................................................................. 55
2.2.3.2 Gợi động cơ trung gian ............................................................. 57
2.2.3.3 Gợi động cơ kết thúc ................................................................. 58
2.2.4

Truyền thụ tri thức phƣơng pháp trong quá trình hoạt động........ 59

2.2.4.1 Các tri thức phƣơng pháp cần truyền thụ .................................. 59
2.2.4.2 Cách truyền thụ các tri thức phƣơng pháp ................................ 61
2.2.5

Phân bậc hoạt động ...................................................................... 63

2.2.5.1 Dựa vào sự phức tạp của đối tƣợng hoạt động ......................... 63
2.2.5.2 Dựa vào nội dung hoạt động ..................................................... 64
2.2.5.3 Dựa vào chất lƣợng của hoạt động ........................................... 65
2.2.6
2.3

Ví dụ tổng hợp.............................................................................. 66

KẾT LUẬN CHƢƠNG 2 .................................................................... 76


CHƢƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ................................................ 77
3.1 MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ THỰC NGHIỆM .................................... 77

3.1.1 Mục đích của thực nghiệm .............................................................. 77
3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm .................................................................... 77
3.2 TRIỂN KHAI THỰC NGHIỆM............................................................. 77
3.2.1 Tổ chức thực nghiệm ....................................................................... 77
3.2.2 Nội dung thực nghiệm ..................................................................... 78
3.2.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm ......................................................... 78
3.2.3.1 Nội dung và phƣơng pháp đánh giá .......................................... 78
3.2.3.2 Đánh giá định lƣợng.................................................................. 81
3.2.3.3 Đánh giá định tính ..................................................................... 84
3.3 KẾT LUẬN CHUNG VỀ THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ....................... 85
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 86
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 87


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu, là sự nghiệp của Đảng, Nhà
nƣớc và toàn dân. Đầu tƣ cho giáo dục là đầu tƣ phát triển, đƣợc ƣu tiên đi
trƣớc trong các chƣơng trình, kế hoạch phát triển kinh tế - xã hội. Giáo dục
đặc biệt cần thiết đối với sự phát triển của mỗi con ngƣời và của cả xã hội.
Năng lực của một con ngƣời bao gồm toàn bộ thể lực, trí lực, phẩm chất đạo
đức, nhân cách. Năng lực đó phần lớn là do giáo dục đào tạo mà có, nó làm
cho con ngƣời trở nên có ích, có giá trị, có chất lƣợng, hiệu quả của lao động
cũng vì thế mà tăng lên không ngừng, làm cho xã hội loài ngƣời không ngừng
phát triển. Vì vậy, nghị quyết của Hội nghị lần thứ 2 BCH TW Đảng khóa
VIII đã chỉ rõ con đƣờng đổi mới giáo dục và đào tạo là “Đổi mới mạnh mẽ
các phƣơng pháp giáo dục đào tạo, khắc phục phƣơng pháp giáo dục một
chiều, rèn luyện thành nếp tƣ duy sáng tạo của ngƣời học, phát triển phong
trào tự học, tự đào tạo thƣờng xuyên, rộng khắp trong toàn dân, nhất là trong
thanh niên .”

Nguyễn Bá Kim cho rằng: “Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ mật thiết với
những hoạt động nhất định. Đó trƣớc hết là những hoạt động đƣợc tiến hành
trong quá trình lịch sử hình thành và ứng dụng tri thức đƣợc bao hàm trong
nội dung này, cũng chính là những hoạt động để ngƣời học có thể kiến tạo và
ứng dụng những tri thức trong nội dung đó... Phát hiện đƣợc những hoạt động
nhƣ vậy trong một nội dung là vạch ra con đƣờng để ngƣời học chiếm lĩnh nội
dung đó và đạt đƣợc những mục tiêu dạy học khác, cũng đồng thời là cụ thể
hóa đƣợc mục tiêu dạy học có đạt đƣợc hay không và đạt tiến độ đến mức độ
nào”. Trong phƣơng pháp dạy học tích cực học sinh đƣợc cuốn vào các hoạt
động học tập do giáo viên tổ chức. Thông qua các hoạt động trao đổi, thảo
luận, những tri thức mới, vấn đề mới đƣợc nảy sinh, đƣợc phát hiện, học sinh
1


có thể đề xuất phƣơng pháp giải quyết vấn đề theo cách riêng của mình. Qua
đó vừa có đƣợc những nhận thức mới, kỹ năng mới, vừa nắm đƣợc phƣơng
pháp tìm kiếm ra kiến thức, kỹ năng đó.
Nhƣ vậy, để tăng cƣờng hoạt động nhận thức của học sinh trong quá trình
học tập thì trọng tâm của việc thiết kế bài học là thiết kế các hoạt động học
tập. Mỗi hoạt động học tập thƣờng gồm nhiều hoạt động thành phần với mục
đích riêng. Thực hiện xong các hoạt động thành phần thì mục đích chung của
hoạt động cũng đƣợc thực hiện.
Vì những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài “Vận dụng quan điểm hoạt
động vào dạy học chương “Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc” ở
lớp 11 trường THPT ” góp phần giúp giáo viên bộ môn Toán có khả năng
tiếp cận với phƣơng pháp dạy học tích cực và nâng cao hiệu quả dạy học
Toán ở trƣờng phổ thông hiện nay.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
a) Mục đích nghiên cứu
Đề xuất một phƣơng án vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học

chƣơng “Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc” ở lớp 11 trƣờng trung
học phổ thông.
b) Nhiệm vụ nghiên cứu
 Nghiên cứu quan điểm hoạt động trong phƣơng pháp dạy học.
 Nghiên cứu tình hình dạy học chƣơng “Vectơ trong không gian. Quan
hệ vuông góc”. Bao gồm nghiên cứu nội dung giáo dục toán học thể hiện
trong chƣơng “Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc” và nghiên cứu
thực trạng dạy học chƣơng “Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc” .
 Đề xuất phƣơng án vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học chƣơng
“Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc”.
 Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm để xem xét tính khả thi của các đề xuất
và đánh giá kết quả thực nghiệm.
2


3. Phƣơng pháp nghiên cứu
 Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu tâm lý học,
giáo dục học, lý luận và phƣơng pháp dạy học Toán, đo lƣờng và đánh
giá trong giáo dục, các luận án tiến sĩ, luận văn thạc sĩ có liên quan đến
đề tài.
 Phƣơng pháp điều tra quan sát: Tiến hành dự giờ, trao đổi với các giáo
viên về quan điểm hoạt động trong phƣơng pháp dạy học, lấy ý kiến
học sinh và giáo viên.
 Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm: Tiến hành thực nghiệm sƣ phạm
dạy học hai giáo án đã thiết kế cho học sinh lớp 11.
4. Giả thuyết khoa học
Nếu vận dụng đƣợc quan điểm họat động trong phƣơng pháp dạy học vào
dạy học chƣơng “Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc” thì sẽ góp
phần vào nâng cao chất lƣợng dạy học chƣơng “Vectơ trong không gian.
Quan hệ vuông góc” một cách toàn diện.

5. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo nội dung
chính của luận văn bao gồm 3 chƣơng:
Chƣơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chƣơng 2:Vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học chƣơng
“Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc” ở lớp 11
trƣờng THPT
Chƣơng 3:Thực nghiệm sƣ phạm

3


CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1.1 Nội dung giáo dục toán học ở trƣờng phổ thông
1.1.1.1 Nội dung toán học
Theo [7]. Những đối tƣợng đƣợc làm việc trong môn toán thoạt nhìn có
vẻ rất nhiều, nhƣng xem xét kĩ hơn sẽ thấy chúng có thể quy về hầu nhƣ chỉ
có hai loại: Những số và những đối tƣợng hình học.
Tuy nhiên, trong toán học cũng nhƣ trong mọi khoa học khác, những đối
tƣợng riêng lẻ, cô lập thƣờng ít ý nghĩa. Do vậy, việc nghiên cứu một đối
tƣợng nào đó thƣờng dẫn ngay tới nghiên cứu những mối quan hệ giữa chúng
với nhau và những mối quan hệ giữa chúng với những đối tƣợng khác. Cho
nên có thể nói rằng môn Toán đề cập chủ yếu là những mối quan hệ giữa
những số và những đối tƣợng hình học.
Khi làm việc với môn Toán trong các trƣờng học không phải tuyệt đối
chỉ có hai đối tƣợng những số và những đối tƣợng hình học. Sở dĩ nhƣ vậy là
vì:
 Một số đối tƣợng khác nhƣ: Các kí hiệu, công thức và các phép biến

đổi toán học vẫn đƣợc nghiên cứu ở mức độ nhất định. Chẳng hạn phép nhân
số tự nhiên đƣợc thực hiện theo một thuật giải biểu thị mối quan hệ không
phải giữa bản thân những số mà là những tổ hợp kí hiệu. Nếu trong đó có
những dòng của sơ đồ tính toán thì việc hiểu và giải thích ý nghĩa của những
dòng đó chỉ là một mặt, còn mặt khác là việc thực hiện những quy tắc hình
thức một cách thuần túy máy móc đến mức những phƣơng tiện tự động cũng
có thể tiến hành đƣợc.
 Những đối tƣợng toán học hiện đại ngày nay vƣợt xa khỏi những những
số và những đối tƣợng hình học. Chẳng hạn, những phần tử của một nhóm
4


không nhất thiết phải là số mà có thể là những đối tƣợng bất kì miễn là chúng
thỏa mãn các tiên đề về nhóm, ví dụ nhƣ chúng có thể là các vectơ, ma trận
hay phép biến hình,…
Ở trƣờng phổ thông, việc nghiên cứu môn Toán vẫn tập trung nhiều vào
các đối tƣợng truyền thống (những số và những đối tƣợng hình học) và những
mối quan hệ giữa chúng. Điều này không hoàn toàn vì lí do truyền thống
muốn tuân theo quá trình phát triển lịch sử của toán học, lại càng không phải
vì những đối tƣợng mới quá khó với học sinh. Lí do chủ yếu của việc hạn chế
này là:
 Tầm quan trọng của những đối tƣợng truyền thống cũng tăng theo cùng
sự phát triển của toán học.
 Sự hiểu biết về các đối tƣợng truyền thống là nền móng của sự hiểu
biết về những đối tƣợng khác.
 Những đối tƣợng truyền thống chứa đựng những tiềm năng có thể khai
thác để rèn luyện cho học sinh những phƣơng thức tƣ duy và hoạt động, bồi
dƣỡng cho họ những năng lực, phẩm chất đạo đức và những yếu tố thế giới
quan; tức là có thể làm cơ sở cho việc xây dựng nội dung dạy học môn Toán.
Những nội dung toán học trong nhà trƣờng phổ thông đƣợc tập hợp

thành hai bộ phận bao gồm:
 Số học, đại số và giải tích bao gồm 6 lĩnh vực sau:
(1) Các tập hợp số;
(2) Các phép biến đổi đồng nhất;
(3) Phƣơng trình và bất phƣơng trình;
(4) Hàm số và đồ thị;
(5) Những yếu tố của phép tính vi tích phân;
(6) Những yếu tố tổ hợp và xác suất.

5


 Hình học bao gồm 5 lĩnh vực sau:
(1) Những khái niệm hình học;
(2) Những đại lƣợng hình học;
(3) Những hệ thức lƣợng trong hình học;
(4) Những phép biến hình: dời hình và đồng dạng;
(5) Vectơ và tọa độ.
Các lĩnh vực trên không tách rời nhau mà trái lại chúng thƣờng đan kết với
nhau. Chẳng hạn, việc trình bày từng tập hợp số thƣờng có biến đổi đồng
nhất, giải phƣơng trình theo nội dung hoặc theo thuật giải, xem xét những
quan hệ hàm một các ẩn tàng hay tƣờng minh.
1.1.1.2 Hoạt động trí tuệ của học sinh
Theo [7]. Môn Toán có khả năng to lớn góp phần phát triển năng lực trí
tuệ cho học sinh. Việc phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh thông qua dạy
học môn Toán cần đƣợc ngƣời dạy tiến hành một cách có ý thức chứ không
phải làm một cách tự phát và tùy tiện. Công việc này đƣợc tiến hành trong
suốt quá trình dạy học một cách có hệ thống, có kế hoạch và phƣơng pháp
phù hợp trên các mặt sau:
a) Rèn luyện các thao tác tư duy

 Phân tích, tổng hợp
Đây đƣợc xem là hai thao tác tƣ duy cơ bản nhất. Vì vậy, việc phát
triển trí tuệ cho học sinh thông qua môn Toán phải coi trọng việc rèn luyện
cho học sinh khả năng phân tích và tổng hợp. Theo [7]:
Phân tích là dùng trí óc chia cái toàn thể ra thành từng phần, hoặc tách
ra từng thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thể đó.
Tổng hợp là dùng trí óc hợp lại các phần của cái toàn thể, hoặc kết hợp
lại những thuộc tính hay khía cạnh khác nhau nằm trong cái toàn thể.

6


Đây là hai thao tác tƣ duy trái ngƣợc nhau nhƣng chúng lại có mối quan
hệ gắn bó chặt chẽ với nhau và chúng đƣợc xem là hai mặt của một quá trình
thống nhất. Việc rèn luyện cho học sinh thực hiện tốt hai thao tác này sẽ giúp
cho học sinh hình thành một năng lực tƣ duy hoàn chỉnh, đồng thời giúp cho
học sinh nắm vững và vận dụng kiến thức một cách sáng tạo và hiệu quả.
Ví dụ 1. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, H là
trực tâm tam giác ABC .Chứng minh rằng OH vuông góc với mặt phẳng  ABC  .
Giải bài toán:

Theo giả thiết H là trực tâm của ABC (phân tích), ta kẻ hai đƣờng cao
AM và CN của ABC (tổng hợp). Khi đó, H  AM  CN và AM  BC ;
CN  AB (tổng hợp).

Do OA  OB và OA  OC (phân tích) nên OA   OBC  (tổng hợp)
Mà BC   OBC  (phân tích) nên suy ra BC  OA (tổng hợp)
AM là đƣờng cao của ABC (phân tích) nên BC  AM (tổng hợp)

Do BC  OA , BC  AM (phân tích) nên BC   OAM  (tổng hợp)

Lại có OH   OAM  (phân tích) nên OH  BC 1 (tổng hợp)
Chứng minh tƣơng tự ta cũng có OH  AB  2 
Từ 1 và  2  suy ra OH   ABC  (tổng hợp).
7


 So sánh, tƣơng tự
Khi so sánh thƣờng có hai mục đích là đƣa ra những đặc điểm chung và
những đặc điểm riêng khác nhau ở một số đối tƣợng. Việc đƣa ra những đặc
điểm chung thƣờng dẫn đến tƣơng tự và đi đối với khái quát hóa.
Tƣơng tự là thao tác tƣ duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan
hệ của những đối tƣợng toán học khác nhau. Có thể mô tả kết luận dựa theo
sự tƣơng tự nhƣ sau:
Đối tƣợng A có các tính chất a, b, c
Đối tƣợng B có các tính chất a, b. Vậy B có thể có tính chất c.
Sự tƣơng tự trong Toán học thƣờng đƣợc xét trên các khía cạnh sau:
 Hai phép chứng minh là tƣơng tự nếu đƣờng lối, phƣơng pháp là giống nhau;
 Hai hình là tƣơng tự nếu có nhiều tính chất giống nhau hay nếu vai trò
của chúng giống nhau trong vấn đề nào đó, hay nếu giữa các phần tử
tƣơng ứng của chúng có quan hệ giống nhau;
Nhiều khi trong quá trình mở rộng, có những tập hợp đối tƣợng có những
thuộc tính tƣơng tự, từ đó ta suy đoán những tính chất từ tập hợp này sang tập
hợp khác.
Ví dụ 2. Tam giác trong mặt phẳng đƣợc xem là tƣơng tự với tứ diện trong
không gian; hình bình hành trong mặt phẳng đƣợc xem là tƣơng tự với hình
hộp trong không gian.
Các tính chất của tam giác vuông trong hình học phẳng tƣơng tự các tính
chất của tứ diện vuông trong không gian cụ thể nhƣ sau:

Tam giác ABC vuông tại A

Tứ diện vuông O.ABC tại O
8


a 2  b2  c 2

2
2
2
2
S ABC
 SOAB
 SOBC
 SOAC

1
1 1
 2 2
2
h
a b
2
cos B  cos2C  1

1
1 1 1
 2 2 2
2
h

a b c
2
cos   cos2   cos2  1

(  ,  ,  lần lƣợt là góc giữa các mặt
 OAB  ,  OBC  ,  OAC  với  ABC  )
Tuy nhiên tƣơng tự có thể dẫn đến kết quả không chính xác nhƣ trong
tam giác các đƣờng cao đồng quy, nhƣng trong tứ diện thì không có điều đó
trừ tứ diện trực tâm.
 Khái quát hóa, đặc biệt hóa
 Khái quát hóa: Là việc chuyển từ nghiên cứu một tập hợp đối tƣợng đã
cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn bao gồm cả đối tƣợng ban đầu
bằng cách so sánh và nêu bật đƣợc một số đặc điểm chung của các phần tử
trong tập xuất phát.
 Đặc biệt hóa: Là quá trình ngƣợc lại với khái quát hóa, đây là quá trình
chuyển từ nghiên cứu một tập hợp đối tƣợng đã cho sang nghiên cứu một tập
hợp nhỏ hơn chứa trong nó.
Khái quát hóa và đặc biệt hóa thƣờng đƣợc vận dụng trong tìm tòi và giải
toán. Từ một tính chất nào đó ta muốn khái quát hóa trƣớc hết ta thử đặc biệt

9


hóa nếu kết quả đặc biệt hóa là đúng ta mới tìm cách chứng minh dự đoán từ
khái quát hóa, nếu sai thì dừng lại.
Ví dụ 3.
Đặc biệt hóa: Khi dạy phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng    trong mặt
phẳng ax  by  c  0

1 , với

a 2  b2  0 . Giáo viên có thể rèn luyện hoạt

động trí tuệ đặc biệt hóa bằng các trƣờng hợp riêng của đƣờng thẳng nhƣ sau:
c
b

 Nếu a  0 phƣơng trình 1 có dạng: by  c  y   .    vuông góc
c
với trục Oy tại điểm  0;   .


b

c
 Nếu b  0 phƣơng trình 1 có dạng: ax  c  x   .    vuông góc
a
c
với trục tung tại điểm   ;0  .
 a



 Nếu c  0 phƣơng trình 1 có dạng ax  by  0 .    đi qua gốc tọa độ.
 Nếu a, b, c đều khác 0 , biến đổi 1 ta đƣợc:
c
a

x y
 1

ao bo

 2

c
b

Với ao   ; bo   .  2  đƣợc gọi là phƣơng trình đoạn chắn.
Khái quát hóa: Khi dạy học đạo hàm cấp cao của hàm số y  sin x , ta có thể
rèn luyện hoạt động trí tuệ khái quát hóa nhƣ sau:




Đạo hàm cấp một: y '  cos x  sin  x  
2




2 

Đạo hàm cấp hai: y ''   sin x  sin  x     sin  x 

2 






3 


Đạo hàm cấp ba: y '''   cos x  sin  x    sin  x  
2
2 



10







 4
Đạo hàm cấp bốn: y  sin x  sin  x 

4 

2 

n 

 n
Tƣơng tự nhƣ trên ta có: y  sin  x 
 . Điều này đúng với các
2 



trƣờng hợp cụ thể ở trên, và ta dễ dàng chứng minh đƣợc công thức này bằng
phƣơng pháp quy nạp toán học.
b) Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác
Theo [7]. Do đặc điểm của khoa học toán học, môn Toán có tiềm năng
quan trọng có thể khai thác để rèn luyện cho học sinh tƣ duy logic. Tƣ duy
không thể tách rời ngôn ngữ, nó phải đƣợc diễn ra với hình thức ngôn ngữ,
đƣợc hoàn thiện trong sự trao đổi bằng ngôn ngữ của con ngƣời và ngƣợc lại,
ngôn ngữ đƣợc hình thành nhờ có tƣ duy. Nếu tƣ duy đúng nhƣng ngôn ngữ thể
hiện không chính xác hay ngƣợc lại đều dẫn đến kết quả sai lệch với thực tế. Vì
vậy, việc phát triển tƣ duy logic gắn liền với việc rèn luyện ngôn ngữ chính
xác. Việc này đƣợc thực hiện theo ba hƣớng liên quan chặt chẽ với nhau:
 Làm cho học sinh nắm vững, hiểu đúng và sử dụng đúng những liên kết
logic: và, hoặc, nếu thì, phủ định, những lƣợng từ tồn tại và khái quát…
 Phát triển khả năng định nghĩa và làm việc với các định nghĩa.
 Phát triển khả năng hiểu chứng minh, trình bày lại chứng minh và độc
lập tiến hành chứng minh.
c) Rèn luyện các phẩm chất trí tuệ
Một số phẩm chất trí tuệ có thể rèn luyện cho học sinh qua dạy học môn
Toán nhƣ:
 Tính linh hoạt: Tính linh hoạt đƣợc thể hiện ở khả năng thay đổi hƣớng
giải quyết để phù hợp với từng tính huống cụ thể. Trƣớc hết, học sinh cần
đƣợc rèn luyện khả năng đảo ngƣợc quá trình tƣ duy. Ngoài ra, học sinh cần
biết cách tìm ra phƣơng pháp mới tích cực hơn trong khi giải quyết vấn đề.

11


Một vấn đề, một hiện tƣợng có thể đƣợc nhìn nhận theo các hƣớng và quan

điểm khác nhau.


Tƣ duy độc lập và sáng tạo: Sự độc lập thể hiện ở khả năng tự mình

phát hiện vấn đề, tự mình xác định phƣơng hƣớng, tìm ra cách giải quyết, tự
mình kiểm tra hoàn thiện kết quả đạt đƣợc. Tính độc lập liên hệ mật thiết với
tính phê phán của tƣ duy. Tính sáng tạo thể hiện ở khả năng sáng tạo ra cái
mới: Phát hiện vấn đề mới, tìm ra hƣớng đi mới, tạo ra kết quả mới.
d) Rèn luyện các kĩ năng thực hành
 Kĩ năng tính toán: Nhiệm vụ quan trọng trong việc dạy môn Toán là
cần rèn luyện cho học sinh các kĩ năng nhƣ: tính đúng, tính nhanh, tính hợp lí.
Để có đƣợc những kĩ năng đó đòi hỏi ngƣời học phải: cẩn thận, chu đáo,
nhanh trí…Ngƣời dạy cần phải hiểu rõ và làm cho ngƣời học hiểu về tác dụng
thực tế và ý nghĩa giáo dục của việc rèn luyện kĩ năng tính toán, và cần rèn
cho học sinh kĩ năng đó từ nhỏ nếu không sẽ không đáp ứng đƣợc yêu cầu của
đời sống và đòi hỏi của xã hội.
 Kĩ năng sử dụng hình vẽ, biểu đồ, sơ đồ, đồ thị: Để vận dụng vào bài
học và thực tế học sinh cần đƣợc rèn luyện các kĩ năng sử dụng hình vẽ, biểu
đồ, sơ đồ bên cạnh đó còn cần kĩ năng đo đạc.
1.1.1.3 Thế giới quan và tính cách
Trong quá trình giảng dạy, ngƣời giáo viên không chỉ chú ý đến những tri
thức khoa học mà còn phải chú trọng đến việc hình thành thế giới quan cho
học sinh, đồng thời giáo dục cho học sinh những nét tính cách thật thà, chăm
chỉ, cẩn thận, làm việc khoa học và có tính kỉ luật cao.
1.1.2 Hoạt động của học sinh trong học tập môn toán
1.1.2.1 Thành phần của hoạt động
Một hoạt động hoàn chỉnh bao gồm những thành phần sau:
 Chủ thể: Hoạt động do ai thực hiện? (Học sinh, trình độ)
12

 Đối tƣợng: Hoạt động tác động vào cái gì? (Nội dung dạy học)
 Mục đích: Hoạt động nhằm chiếm lĩnh điều gì?(Kiến thức, kỹ năng,
thái độ)
 Điều kiện: Hoạt động muốn tiến hành đƣợc cần có những điều gì?
(Kiến thức, phương tiện)
 Động cơ: Chủ thể có hiểu đƣợc ý nghĩa của hoạt động không? (Tâm thế
của chủ thể đối với hoạt động)
 Kết quả: Sau hoạt động chủ thể thu đƣợc những gì? (Về kiến thức, tư
duy và tính cách)
Nếu quan tâm đƣợc đầy đủ 6 thành phần nhƣ trên thì hoạt động đó đƣợc
coi là hoạt động có hiệu quả. Tuy nhiên, một số thành phần có thể trùng nhau
trên một số phƣơng diện hoặc trùng nhau hoàn toàn. Chẳng hạn nhƣ: Ba thành
phần mục đích, động cơ và kết quả là đồng nhất (Theo Nguyễn Bá Kim: Gợi
động cơ là nhằm làm cho mục tiêu sƣ phạm biến thành những mục tiêu của cá
nhân học sinh); hay chủ thể và điều kiện thống nhất ở phƣơng diện trình độ
học sinh (kiến thức cần thiết). Trình bày bản chất của hoạt động bằng sự liệt
kê 6 thành phần nêu trên có tác dụng kiểm tra một hoạt động có hiệu quả hay
không và để định hƣớng thiết kế hoạt động hiệu quả.
1.1.2.2 Các dạng hoạt động của học sinh
Trong bất kì môn học nào, nếu liệt kê tất cả các hoạt động mà học sinh
thực hiện trong một tiết học thì số lƣợng sẽ rất lớn, và rất khó có khả năng
thực hiện đƣợc. Do đó, để thuận tiện cho việc nghiên cứu các dạng hoạt động
của học sinh ta có thể nhóm các hoạt động cụ thể lại thành những dạng. Việc
liệt kê các dạng hoạt động của học sinh là công việc của giáo viên từng môn
học. Nhìn một cách khái quát thì các dạng hoạt động của học sinh có thể phân
chia thành 3 nhóm:
 Nhóm 1: Gồm những dạng họat động nhằm hình thành, củng cố hoặc
13

vận dụng kiến thức.
 Nhóm 2: Gồm những dạng hoạt động trí tuệ đặc trƣng cho môn học
hoặc hoạt động trí tuệ chung cho nhiều môn học.
 Nhóm 3: Gồm những hoạt động ngôn ngữ; ở đó học sinh sử dụng ngôn
ngữ thông thƣờng và phối hợp với ngôn ngữ của riêng bộ môn để diễn
đạt quá trình tƣ duy của mình.
Cụ thể trong môn Toán, hoạt động của học sinh có thể phân chia thành 5
dạng nhƣ sau:
Nhóm 1: (1) Những hoạt động nhận dạng và thể hiện một khái niệm, một
định lý, một quy tắc hay một phƣơng pháp.
(2) Những hoạt động toán học phức hợp bao gồm: giải toán chứng
minh, dựng hình, quỹ tích, giải toán lập phƣơng trình, khảo sát và
vẽ đồ thị hàm số, …
Nhóm 2: (3) Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong môn toán: mò mẫm và dự
đoán, lật ngƣợc vấn đề, xét tính giải đƣợc, phân chia trƣờng hợp, …
(4) Những hoạt động trí tuệ chung: Phân tích, tổng hợp, khái quát
hóa, so sánh, tƣơng tự, trừu tƣợng hóa, cụ thể hóa, đặc biệt hóa, hệ
thống hóa, …
Nhóm 3: (5) Những hoạt động ngôn ngữ: Phát biểu bằng cách khác một
định nghĩa, một định lý, trình bày lời giải một bài toán, chuyển bài
toán phát biểu bằng ngôn ngữ này sang ngôn ngữ khác,…
Các dạng hoạt động trên khó có thể tách rời riêng biệt mà chúng có sự
xâm nhập lẫn nhau, trong hoạt động này có mặt các hoạt động khác, do đó
việc phân chia các dạng hoạt động trên đây chỉ là tƣơng đối không phải là sự
phân chia logic.
1.1.2.3 Hoạt động của học sinh với câu hỏi và bài tập
Các hoạt động học tập của học sinh rất đa dạng, tuy nhiên ngƣời dạy
không thể trực tiếp yêu cầu ngƣời học thực hiện hoạt động nào đó đƣợc, mà

14


ngƣời giáo viên phải thông qua các dạng bài tập hoặc những câu hỏi để học
sinh thực hiện hoạt động theo mong muốn của mình. Khi đó, chúng ta nói câu
hỏi, bài tập là giá mang hoạt động . Điều đó nói lên vai trò của câu hỏi và
bài tập trong hoạt động hóa ngƣời học. Chất lƣợng của hoạt động nằm trong
chất lƣợng của câu hỏi và bài tập.
1.1.3 Những yếu tố đa dạng của hoạt động học tập
1.1.3.1 Những yếu tố đa dạng
Trong quá trình học tập, ngƣời học luôn diễn ra các hoạt động nhƣ: Nghe,
nói, nhìn, nghĩ, làm, đọc, viết. Ta gọi đó là các yếu tố đa dạng của hoạt động học
tập. Ngƣời dạy cần tạo cơ hội để ngƣời học thực hiện 7 yếu tố một cách tích cực.


Nghe và nói: Hai hoạt động này thƣờng đi liền với nhau, phối hợp và

hỗ trợ cho nhau. Nói và nghe thƣờng đƣợc thể hiện khi: Giáo viên đặt câu hỏi,
học sinh trả lời; giáo viên yêu cầu học sinh nhận xét câu trả lời của bạn; học
sinh nói quá trình suy nghĩ giải bài toán của mình, học sinh khác lắng nghe và
tham gia ý kiến; học sinh này nói, học sinh khác lắng nghe khi đƣợc phân
công làm việc theo cặp hay theo nhóm; …


Nhìn: hoạt động nhìn đƣợc thực hiện khi: học sinh xem vật thật, xem

mô hình, xem hình biểu diễn trên bảng hoặc màn hình máy chiếu; xem giáo
viên làm mẫu; xem bạn trình bày lời giải một bài toán trên bảng; …


Viết: Ở đây ta hiểu viết không phải theo kiểu thầy đọc trò chép hay ghi

lại ý của ngƣời khác, mà là khám phá suy nghĩ của bản thân về một vấn đề,
chẳng hạn nhƣ ghi lại lời giải bài toán do mình tự làm, tổng kết lý thuyết, bài
tập của một chƣơng, viết một bài báo cáo hay kinh nghiệm toán học, viết thu
hoạch sau buổi tham quan hoặc viết nhật kí học tập; …


Đọc: Đây là hoạt động trái ngƣợc với hoạt động nói và viết. Nói và

viết là trình bày ý kiến của mình, còn đọc là tìm hiểu xem ngƣời khác nghĩ gì.
Khi đọc, ngƣời đọc có thể chú thích bên lề những nhận xét đánh giá của cá
15


nhân mình, động tác đó làm cho những lời lẽ, ý tứ đến với trí tuệ sắc nét hơn
và lƣu giữ lại trong ký ức tốt hơn. Có thể cho học sinh đọc cá nhân hoặc đọc
theo nhóm nhỏ; có thể đọc thầm hoặc đọc thành tiếng; …


Làm: Các hoạt động nói, nghe, viết, đọc và nghĩ đều có thể gọi là làm.

Tuy nhiên làm còn bao hàm cả một số việc quan trọng khác trong quá trình
học tập nhƣ: làm bài tập, làm đề cƣơng ôn tập, lập bản đồ tƣ duy để hệ thống
hóa kiến thức, kỹ năng, thực hiện trò chơi học tập; …


Nghĩ: Nghĩ diễn ra cùng với các hoạt động nói, nghe, nhìn, đọc, viết,

làm. Tuy nhiên nghĩ trong một số thời khắc yên lặng, không kể những phút

nghỉ ngơi. Nghĩ đòi hỏi ngừng quan sát và phản ứng bên ngoài tại một thời
điểm nào đó để một ý tƣởng trở nên chín chắn. Nghĩ theo nghĩa đó tạo cơ hội
chuyển hóa những điều đọc đƣợc, nghe đƣợc thành cách diễn đạt của mình,
làm cho mình hiểu đƣợc; cấu tạo lại và củng cố những hiểu biết trong suy
nghĩ thầm lặng; tiến hành tƣ duy phê phán; nhập kiến thức mới vào cấu trúc
đã có trƣớc hoặc xây dựng cấu trúc mới, tức là thiết lập sự cân bằng trở lại.
Một số điều cần lưu ý khi sử dụng 7 yếu tố của hoạt động học tập:
Thứ nhất, 7 yếu tố của hoạt động học tập thƣờng đƣợc phối hợp với nhau
trong quá trình dạy học chứ không phải chỉ có riêng hai yếu tố nói và nghe,
chẳng hạn: Giáo viên cho học sinh đọc hoặc quan sát sau đó yêu cầu học sinh
tóm tắt hay trình bày trƣớc nhóm, lớp những điều đã đọc hoặc quan sát đƣợc;
học sinh đọc hoặc quan sát xen kẽ với bình luận, thảo luận tạo cơ hội phát
triển tƣ duy phê phán.
Thứ hai, bằng việc phối hợp các yếu tố của hoạt động học tập đòi hỏi học
sinh thể hiện và rèn luyện kỹ năng cơ bản nhƣ: Tóm tắt (nêu ý chính); nhận
diện (chỉ rõ một đối tƣợng thuộc phạm vi của một khái niệm); so sánh (tìm
điểm giống nhau và khác nhau) đối chiếu (nêu những mặt tƣơng phản nhau);
liên hệ (với những điều đã học) hoặc liên tƣởng (với kinh nghiệm cá nhân).
16


Thứ ba, các hoạt động nói, viết, đọc, làm dễ quan sát và nhiều khi đánh
giá đƣợc, còn các hoạt động nghe, nhìn, nghĩ khó quan sát nên việc giám sát
và kiểm soát 3 yếu tố này là một thách thức đối với phƣơng pháp dạy học.
Giải pháp hợp lí là, một mặt phối hợp 4 yếu tố còn lại, mặt khác đặt ra câu hỏi
cho học sinh trả lời khi những yêu tố đang diễn ra hoặc đã kết thúc, trƣờng
hợp đã kết thúc có thể yêu cầu học sinh trả lời viết. Đặc biệt, để kiểm soát
việc nghĩ có thể làm nhƣ sau:
 Đặt câu hỏi hợp lí đan xen vào trong khoảng thời gian thầy trình
bày hoặc học sinh đang quan sát hay thực hiện một nhiệm vụ nào đó.

 Dành thời gian thích đáng cho học sinh nghĩ trƣớc khi trả lời
 Để quá trình nghĩ diễn ra tốt và kết quả của nó đọng lại thỉnh
thoảng có thể yêu cầu học sinh trả lời viết thay vì trả lời miệng.
 Khuyến khích học sinh viết nhật kí ngoài giờ học, trong đó nêu ra
những kết quả đạt đƣợc, khó khăn gặp phải trong một số bài học, tóm tắt ý
kiến hay, câu hỏi hay của bạn, giải đáp hay của thầy.
1.1.3.2 Thiết kế những yếu tố đa dạng
Những yếu tố đa dạng của hoạt động học tập có thể thiết kế theo quy trình
khái quát sau:
Bƣớc 1: Phát hiện và chọn lọc những hoạt động tƣơng thích với nội dung và
phù hợp với mục tiêu bài học.
Bƣớc 2: Đề xuất một số lƣợng hợp lí câu hỏi, bài tập là giá mang các hoạt
động ở bƣớc 1.
Bƣớc 3: Với mỗi hoạt động đƣa ra những việc làm đòi hỏi học sinh thực hiện
một số trong 7 yếu tố: Nói, nghe, nhìn, đọc, viết, nghĩ và làm.
Ví dụ 4. Dạy học công thức đường trung tuyến (Hình học 10)
Bƣớc 1: Tƣơng thích với nội dung dạy học này gồm các hoạt động sau đây:
 Phân tích và tổng hợp (trong quá trình tính toán tìm ra công thức)
17


 Hoạt động ngôn ngữ (thông qua việc phát biểu định lí)
 Hoạt động nhận dạng và thể hiện (củng cố định lí)
Bƣớc 2 và Bƣớc 3: Đƣợc thể hiện qua các việc làm sau đây của GV và HS:
GV: Một tam giác hoàn toàn đƣợc xác định khi biết độ dài ba cạnh của nó,
nghĩa là các yếu tố khác trong tam giác nhƣ: Góc, các đƣờng cao, các
đƣờng phân giác, bán kính đƣờng tròn nội (ngoại) tiếp tam giác, các đƣờng
trung tuyến đều đƣợc xác định. Một vấn đề cụ thể đó là: Cho tam giác
ABC , biết AB  c , AC  b , BC  a . Tính độ dài đường trung tuyến AM .

Để tính trung tuyến AM ta cần xét tam giác nào?
HS: Độc lập suy nghĩ (Nhìn, nghĩ và nói). Tam giác AMB hoặc AMC
GV: Trong AMB những yếu tố nào đã biết, những yếu tố nào chƣa biết? Yếu
tố chƣa biết có thể tính đƣợc không?
HS: Thảo luận theo cặp (Nhìn, nghĩ, nghe, nói và viết)
AB  c ; BM 

cos B 

a
; Có thể tính cos B dựa vào ABC theo định lí cosin:
2

a 2  c 2  b2
2ac

Khi đó ta có: AM 2  AB2  BM 2  2 AB.BM .cos B hay:
2

a
a2
a
ma2  c 2     2c cos B  c 2   ac cos B
2
4
2
m 
2
a

2  b2  c 2   a 2
4

18


GV: Tƣơng tự hãy tính trung tuyến mb và mc ?
HS: (Nghĩ, làm, viết) độc lập làm bài.
m 
2
b

2  a 2  c 2   b2
4

và mc2 

2  a 2  b2   c 2
4

.

GV: Đây là công thức tính độ dài đƣờng trung tuyến khi biết độ dài ba cạnh
của tam giác.
Củng cố định lí
GV: Cho tam giác ABC biết AB  a , AC  2a , góc A  600 . Có thể tính độ dài
đƣờng trung tuyến AM dựa vào công thức vừa học hay không?
HS: Làm việc theo cặp (Nghe, nói, nhìn, nghĩ, làm).
Tính BC : Theo định lí côsin ta có
BC 2  AB2  AC 2  2 AB. AC.cos A  a 2   2a   2a.2a.cos600

2

1
2

Suy ra BC 2  a 2  4a 2  2a 2 .  2a 2 Hay BC  a 2 .
AM 2 

2  AB 2  AC 2   BC 2
4



2  a 2  4a 2   2a 2
4

 2a 2

. Suy ra AM  a 2 .

1.1.4 Quan điểm hoạt động trong phƣơng pháp dạy học Toán
Quan điểm hoạt động trong phƣơng pháp dạy học Toán đƣợc thể hiện qua
các tƣ tƣởng chủ đạo sau:
1.1.4.1 Phát hiện những hoạt động tƣơng thích với nội dung.
Theo [7]. Một hoạt động của ngƣời học đƣợc gọi là tƣơng thích với một
nội dung dạy học nếu nó có tác động góp phần kiến tạo hoặc củng cố, ứng
dụng những tri thức đƣợc bao hàm trong nội dung đó hoặc rèn luyện những kĩ
năng, hình thành những thái độ có liên quan.
Việc phát hiện những hoạt động tƣơng thích với nội dung căn cứ một
phần quan trọng vào sự hiểu biết về những dạng nội dung khác nhau (khái

niệm, định lí hay phƣơng pháp) cũng nhƣ sự hiểu biết về những con đƣờng

19