Tổng hợp các dạng toán về phương trình đường thẳng trong các đề thi (có lời giải)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.57 MB, 60 trang )
Jun
. 17
GiaVienB.Net - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn
Tp cỏc bi Toỏn v ng thng trong cỏc thi
Bi 1Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(2;1) , B(1; 2) , trọng tâm G của tam giác nằm
27
trên đ-ờng thẳng x y 2 0 . Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng
2
Hng dn:Vì G nằm trên đ-ờng thẳng x y 2 0 nên G có tọa độ G (t; 2 t ) . Khi đó AG (t 2;3 t ) ,
2
1
1
AG 2 . AB 2 AG. AB
2 (t 2) 2 (3 t ) 2 1 =
AB (1; 1) Vậy diện tích tam giác ABG là S
2
2
2t 3
2
27
27 9
Nếu diện tích tam giác ABC bằng
thì diện tích tam giác ABG bằng
.
2
6 2
2t 3 9
Vậy
, suy ra t 6 hoặc t 3 . Vậy có hai điểm G : G1 (6;4) , G 2 (3;1) . Vì G là trọng tâm
2
2
tam giác ABC nên
xC 3xG ( xA xB ) và yC 3 yG ( yA yB ) .
Với G1 (6;4) ta có C1 (15;9) , với G 2 (3;1) ta có C2 (12;18)
Bi 2Trong mt phng ta Oxy, cho tam giỏc ABC cõn ti A cú nh A(6; 6), ng thng i qua trung
im ca cỏc cnh AB v AC cú phng trỡnh x + y 4 = 0. Tỡm ta cỏc nh B v C, bit im E(1; 3)
nm trờn ng cao i qua nh C ca tam giỏc ó cho.
Hng dn:Gi l ng thng i qua trung im ca AC v AB
664
4 2
Ta cú d A,
E
2
Vỡ l ng trung bỡnh ca ABC
d A; BC 2d A; 2.4 2 8 2
Gi phng trỡnh ng thng BC l: x y a 0
B
H
C
a 4
T ú:
8 2 12 a 16
2
a 28
Nu a 28 thỡ phng trỡnh ca BC l x y 28 0 , trng hp ny A nm khỏc phớa i vi BC v
66a
, vụ lớ. Vy a 4 , do ú phng trỡnh BC l: x y 4 0 .
ng cao k t A ca ABC l ng thng i qua A(6;6) v BC : x y 4 0 nờn cú phng trỡnh l
x y 0.
Ta chõn ng cao H k t A xung BC l nghim ca h phng trỡnh
x y 0
x 2
Vy H (-2;-2)
x y 4 0 y 2
VỡBC cú phng trỡnh l x y 4 0 nờn ta B cú dng: B(m; -4-m)
Li vỡ H l trung im BC nờn C(-4-m;m)
Suy ra: CE 5 m; 3 m , AB (m 6; 10 m) ;Vỡ CE AB nờn
AB.CE 0 a 6 a 5 a 3 a 10 0
a 0
Vy
2a 2 12a 0
a 6
B 0; 4
C 4;0
Su tm & biờn son:Lc Phỳ a - Vit Trỡ - Phỳ Th
hoc
B 6; 2
.
C 2; 6
Page 1
Jun
. 17
GiaVienB.Net - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
Bài 3Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A 1;2 và đường thẳng d : x 2 y 3 0 . Tìm trên đường thẳng (d)
hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại C và AC 3BC .
Hướng dẫn:Từ yêu cầu của bài toán ta suy ra C là hình chiếu vuông góc của A trên (d)
Phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với (d) là: 2x y m 0
A 1;2 2 2 m 0 m 0
3
x
2x y 0
5 C 3 ; 6 .
Suy ra: : 2x y 0 .Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình:
x 2y 3
6
5 5
y
5
Đặt B 2t 3; t (d) , theo giả thiết ta có: AC 3BC AC 2 9BC 2
16
2
2
t 15
4 16
12 6
2
.
9 2t t 45t 108t 64 0
4
25 25
5 5
t
3
16
4
13 16
1 4
Với t
B ; ; Với t B ;
15
3
15 15
3 3
1 4
13 16
Vậy, có hai điểm thỏa đề bài là: B ; hoặc B ; .
3 3
15 15
A 2;1
Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
và các đường thẳng
d
:
x
2
y
1
0,
d
:
x
2
y
8
0
B
1
2
d1 , D d2 và C sao cho ABCD là hình vuông.
. Tìm
Hướng dẫn:Tịnh tiến gốc tọa độ về điểmA, tìm pt đường (d1),(d2) trong hệ trục mới
B(m; n) d1 => D(n; m) d2
(do ABCD là hình vuông từ đó tìm được điểm B,D,C
C : x2 y 2 2x 6 y 6 0 và điểm M 3;1 . Gọi
Bài 5Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn
T1
C . Viết phương trình đường thẳng T1T2 .
T
và 2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến
PM 15 ( MT1 )2
Hướng dẫn:Tính phương tích của điểm M đối với đường tròn(C), (C )
Viết phương trình đường tròn tâm M ,bk
r 15 x 3 y 1 15 x 2 y 2 6x 2 y 5 0
2
2
x2 y 2 2x 6 y 6 0
8 x 4 y 11 0
2
2
x
y
6
x
2
y
5
0
T1
T2
Tọa độ
và là các nghiệm của hê.
.Suy ra phương trình
TT
đường thẳng 1 2 là: 8x 4 y 11 0
Bài 6Trong mp với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giac PQR có đường cao hạ từ đỉnh P là d: 2x+y+3=0 và
đường phân giác trong của góc Q là d': x-y=0. PQ đi qua điểm I(0;-1) và RQ=2IQ. Viết phương trình
đường thẳng PR.
Hướng dẫn:Gọi I; là điểm đối xúng của I qua đường phân giác trong của góc Q thi I’ nằm trên đường
thảng QR. Từ đây viết được pt QR => điểm Q và pt cạnh PQ, tọa độ điểm P. Có điểm Q và từ hệ thức
RQ=2IQ , ta sẽ tìm được điểm R ( sẽ có hai điểm R) Kiểm tra và kết luận.
Bài 7. Cho đường tròn (C ) : (x-1)2 + (y+3)2 =9 hoctoancapba.com
A(-1,1); B(2 ,-2) tìm C, D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Hướng dẫn:(C) có tâm I(1;3) và bán kính R = 3. Dễ thấy A nằm ngoài (C) và B nằm trong (C)
Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ
Page 2
Jun
. 17
GiaVienB.Net - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
Ta có AB = (3;3) AB = 3 2
n
CD // AB CD có vtpt =(1;1) CD: x y + m = 0
2
2
3 2
3 2
CD
2
R
3
2
2
2
2
ABCD là hình bình hành nên CD = AB = 3 2 d(I, CD) =
4m 3 2
2 m 4 = 3 m = 1 m = 7
2
CD: x y 1 = 0 hoặc x y 7 = 0
( x 1)2 ( y 3)2 9 ( x 1)2 ( x 2)2 9
x y 1 0
y x 1
Th1: CD: x y 1 = 0 tọa độ C, D là nghiệm của hệ:
2 x 2 2 x 4 0 x 1 x 2
y
x
1
y
0
y 3 C(1;0), D(2;3) hoặc C(2;3), D(1;0)
( x 1)2 ( y 3)2 9 ( x 1)2 ( x 4)2 9
x y7 0
y x7
Th2: CD: x y 7 = 0 tọa độ C, D là nghiệm của hệ:
9 17
x
4
2
2 x 9 x 8 0
9 17 19 17
9 17 19 17
y 19 17
y
x
7
4
4
4
C( 4 ;
), D( 4
;
)
9 17 19 17
9 17 19 17
4
4
hoặc C( 4
;
), D( 4 ;
)
Bài 8. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A và D, phương trình cạnh AD là
2 x y 6 0 , điểm M 2;5 là trung điểm của BC và CD BC 2 2 AB . Tìm tọa độ các đỉnh của hình
thang biết A có tung độ dương
+ ngoài lề : thông thường tìm tọa độ của 1 điểm :
giao của hai đường thẳng. (1)
vecto này bằng k lần vecto kia. (2)
Hướng dẫn:
12
10
E
8
B
6
M(2;5)
A
4
C
2
15
10
5
5
10
15
2
Gọi E là trung điểm của CD.
N …………………. AD;
F là giao của AD và BC
Pt MN : x – 2y + 8 = 0, suy ra N( -4 ; 2)
Dễ dàng nhận ra tam giácBEC vuông cân nên
góc
DFC = 450 = góc hai đường thẳng AD và BC.
n (k ;1)
n (2;1)
Giả sử VTPT của BC là 1
; của AD : 2
n1.n2
2k 1
1
2
n .n
2 suy ra k = 1/3 ; k = -3.
Cos(AD ;BC) = 1 2 = k 1. 5
Với k = -3 : PT BC : 3x – y – 1 = 0 => Suy F ( - 1 ; -4). Gỉa sử điểm A( a; -6 – 2a)
dễ thấy FA 2 AN suy ra A ( nhớ là tung độ A dương mới nhận, không dương ta xét nốt
k = 1/3) , từ đây bạn suy ra D. tới đây mình nghĩ có nhiều cách để suy ra C và B
C1 : Lập PT tìm giao điểm
C2 : vecto = k lân nhau
D
4
6
8
Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ
Page 3
Jun
. 17
GiaVienB.Net - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
Bài 9
Hướng dẫn:
B(b; 0), C(0; c) ĐK: b, c > 0
+ ABC vuông tại A nên: 2b + c - 5 = 0 (1)
1
2
S ABC AB. AC b 2 1 1
2
+
=> b =2 và c = 1.
Bài 10
Hướng dẫn:
A(a; 0), B(0; b) ĐK: a, b > 0
x y
1
AB có pt: a b
3 2
1 (*)
+ AB qua M nên: a b
(*) 1
1. Ta có:
3 2
6
2
ab 24
a b
ab
…..
3 2
a b
2. ta có: OA + OB = a+b = a b
Tự tìm dấu bằng xảy ra => KQ.
3. Áp dụng bunhia
2
3 2
2
BĐT bunhia.
1
1
1
1
1
3 2
1
1
1 32 2 2 2 2 13
2
2
2
2
8
b
OB
13 …Tự tìm ra dấu = xảy ra => KQ.
a b
a
OA OB OA
Bài 11
6
4
Hướng dẫn
Gọi C là giao của AB và d ,BH d ,
1
thì ta có Sin α = α = 30°
2
Bài toán đưa về viết pt đường thẳng đi
15
10
qua
A và tạo với d góc
30°
2
A (1;
3)
α
B
O
5
H
d
C
5
2
4
Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ
Page 4
Jun
. 17
GiaVienB.Net - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
Bài 12.
8
6
Hướng dẫn:
4
Hướng dẫn:
* Từ giả thiết viết được pt AC và KH
* Xác định được tọa độ của A ε đtAc
và Bε đt KH nhận M làm trung điểm
* Viết được pt đt BC (đi qua
B,vuông góc AH
)
10
5
A
K(0;2)
2
M(3;1)
8
C
H(1;0)
5
O
2
B
6
4
Bài 13
4
6
8
Hướng dẫn:
* Dễ dàng xác định được đỉnh C đối xứng
với A qua tâm I(1,-2) => C(0;2)
* Do diện tích ABC bằng 4 suy ra
104
5
d(B;AC)=
. B là giao điểm của
5
đường thẳng song song với AC và cách
4
AC 1 khoảng bằng
; với đường tròn
5
(C).
Kết quả ta có 4 điểm B có tọa độ là
(0.00, 0.00);;(2.00, –4.00) .......
2
A(2;0)
O
5
I
2
E
10
I
4
H
C(0;-4)
8
6
Bài 14
6
Hướng dẫn:
* Dễ thấy các điểm M, C thuộc các
đường thẳng song song với AB và có
các pt tương ứng là : x-y-1=0 ;x-y-2=0
* Diện tích ΔABC là 2 thì diện tích
1
2
ΔIMC là ; do d(C;d2)=d(I;d)=
2 10
25
1
nên IM=
. Từ đó dễ dàng tìm được
2
tọa độ của M ( Có hai điểm M thoả
mãn đk)
8
d
4
d2
B
2
d1
I(2;1)
5
2
10
C
M
A
4
Bài 15
6
8
Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ
Page 5
GiaVienB.Net - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Jun
. 17
10
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
độ các đỉnh của tam giác.
8
6
Hướng dẫn:
* Viết pt đường thẳng (D) đi qua M
và tạo với đt d 1 góc 45°, Đỉnh B là
giao của (D) và d
* Viết pt đường thẳng (D') đi qua N
và vuông góc với (D). Đỉnh C là
giao của d và (D')
* Từ đó suy10ra đỉnh A
5
C
C' x+7y-31=0
4
B
N
2
A'
5
( Bài toán có nhiều hướng giải khác nhau)
10
A
2
M
Bài 16.
4
32
30
6
28
26
24
22
Hướng dẫn:
* tìm M' là điểm đối xứng của M qua BD
* Viết pt đường cao AH . (Đi qua H, có
vtpt:n =HM'
* Tìm các điểm A và B thuộc các đường
phân giác BD và đường cao AH ,đối xứng
nhau qua M
20
18
x+y-5=0
16
14
D
12
M
10
8
6
4
2
c
35
30
25
20
15
M'
10
5
H
5
B
2
10
15
Bài 17
6
4
Hướng dẫn:
*Do tam giác ABC cân tại A, nên khi
dựng hình bình hành AMEM' thì
AMEM' là hình thoi và tâm I là hình
x+y+3=0
E
chiếu của
M
trên
đường
cao
AH.
15
10
5
* Từ đó ta có cách xác định các đỉnh
x-4y-2=0
A,B,C như sau:
+viết pt đt EM ( đi qua M,//d ); Xác
dịnh giao điểm E cảu ME và đường
cao AH.
+Xác định hình chiếu I của M trên
M' C
AH,và xác định tọa độ của A
+ xác định B là giao của MA và d
Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ
+Xác định C là điểm đối xứng của B
qua AH
.
2
M(1;1)
5
B
I
2
H
4
6
A
Page 6
Jun
. 17
GiaVienB.Net - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
8
Bài 18
6
A
4
Hướng dẫn:
*Dễ thấy đỉnh B có tọa độ: B(1;0)
* Đỉnh Aεd thì Ax;2 2(x-1); thì trung
điểm H của BC có tọa độ H(x;0)
* Chu vi ABC bằng 16 thì BA+BH=8
<=>3x-1+x-1
= 8 => x-1=2
<=>
10
5
4 2
x=3 =>A(3;4 2) => G 3;
3
4 2
hoặc x=-1 =>A(-1;-4 2) G -1;3
2
G
B
C5
H
10
2
4
Bài 19
16
6
14
12
8
10
Hướng dẫn:
* Đường tròn (C) có tâm H(1;-2); bán kính
R=5 tiếp xúc với đường thẳng (d) tại A'(4;2)
* Tam giác ABC có trực tâm H, hai đỉnh B và
C thuộc (d) thì A' là chân đường cao thuộc BC
và A thuộc (C) nên AA' là đường kính và
A(-2;-5)
* do trung 20
điểm F của 15AB thuộc (C)
nên
25
10
5
1
HF//= A'B =>A'B=10 .Từ đây ta tìm được
2
tọa độ của B= (12;-4)
* Do C thuộc (d) nên tọa độ của C thỏa mãn
hệ thức:CA' =tA'B và CH . AB =0 => C(0;5).
Tọa độ các đỉnh của tam giác là :
8
6
C
4
A'
2
E
5
10
15
2
H
4
B
F
6
A
8
A=(-2;-5);B= (12;-4);C=(0;5)
10
12
Bài 20
6
4
Hướng dẫn:
*Từ giả thiết ta có B là chân
2
đường vuông góc kẻ từ A đến
dường thẳng x-2y-2=0 =>B(0;-1)
* Do tam giác ABC vuông cân
tại B nên C10 là giao của đường 5
O
B
thẳng đi qua B vuông góc với
BA, ta tìm được hai điểm C có
2
Sưu tầmtọa
& biên
soạn:Lộc
PhúC'=-2;-2)
Đa - Việt Trì - PhúC'
Thọ
độ C=2;0)
hoặc
C
x-2y-2=0
5
10
Page 7
Jun
. 17
GiaVienB.Net - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
Bài 21 Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A 1;0 ,B 2;4 ,C 1;4 ,D
3;5
và đường thẳng
d : 3x y 5 0 . Tìm điểm M trên d sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau
Hướng dẫn:M thuộc d thi M(a;3a-5 )
x 1 y
- Mặt khác : AB 3; 4 AB 5, AB :
4x 3 y 4 0
3 4
x 1 y 4
CD 4;1 CD 17; CD :
x 4 y 17 0
4
1
4a 3 3a 5 4 13a 19
a 4 3a 5 17 3 11a
, h2
- Tính : h1 M , AB
5
5
17
17
- Nếu diện tich 2 tam giác bằng nhau thì :
11
5. 13a 19
17. 3 11a
a
13a 19 3 11a
1
1
AB.h1 CD.h2
12
2
2
5
17
13a 19 11a 3 a 8
11 27
- Vậy trên d có 2 điểm : M1 ; , M 2 8;19
12 12
Bài 22.
Viết phương trình cạnh BC của tam giác ABC , biết tọa độ chân các đường cao tương ứng là A’,B’,C’.
Hướng dẫn:
A
Gọi H là trực tâm
ABC,Dễ c/m dược
A'H,B'H,C'H là các đường
phân giác trong của tam
giác
A'B'C'. và viết được
phương trình của A'H, ,Từ
đó suy ra phương trình của
BC.
B'
C'
H
B
A'
C
Bài 23.Cho hình tam giác ABC có diện tích bằng 2. Biết A(1;0), B(0;2) và trung điểm I của AC nằm trên
đường thẳng y = x. Tìm toạ độ đỉnh C
Hướng dẫn:
02
2.
- Nếu C nằm trên d : y=x thì A(a;a) do đó suy ra C(2a-1;2a).- Ta có : d B, d
2
1
4
2
2
- Theo giả thiết : S AC.d B, d 2 AC
2a 2 2a 0
2
2
1 3
a
2
8 8a 2 8a 4 2a 2 2a 1 0
1 3
a
2
Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ
Page 8
Jun
. 17
GiaVienB.Net - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn
Tp cỏc bi Toỏn v ng thng trong cỏc thi
1 3 1 3
1 3 1 3
- Vy ta cú 2 im C : C1
2 ; 2 , C2 2 ; 2
Bi 24.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(1;1) , B(2; 5) , đỉnh C nằm trên đ-ờng thẳng
x 4 0 , và trọng tâm G của tam giác nằm trên đ-ờng thẳng 2 x 3 y 6 0 . Tính diện tích tam giác
ABC.
Hng dn:
AB 5
- Ta C cú dng : C(4;a) , AB 3; 4
AB : x 1 y 1 4 x 3 y 7 0
3
4
xA xB xC
1 2 4
xG
1
xG
3
3
- Theo tớnh chỏt trng tõm ;
y y A yB yC
y 1 5 a a 6
G
G
3
3
3
a6
- Do G nm trờn : 2x-3y+6=0 , cho nờn : 2.1 3
6 0 a 2.
3
4.4 3.2 7
1
1
15
3 S ABC AB.d C , AB 5.3
- Vy M(4;2) v d C , AB
(vdt)
2
2
2
16 9
Bi 25.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(2;1) , B(1; 2) , trọng tâm G của tam giác
nằm trên đ-ờng thẳng x y 2 0 . Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng13,5 .
3 1
Hng dn:Ta cú : M l trung im ca AB thỡ M ; . Gi C(a;b) , theo tớnh cht trng tam tam giỏc
2 2
a3
xG 3
a 3 b3
:
; Do G nm trờn d :
2 0 a b 6 1
b
3
3
3
y
G
3
3a b 5
x 2 y 1
3x y 5 0 h C , AB
- Ta cú : AB 1;3 AB :
1
3
10
2a b 5 2a b 5
1
1
10.
13,5
- T gi thit : S ABC AB.h C , AB
2
2
2
10
2a b 5 27
2a b 32
2a b 5 27
2a b 5 27
2a b 22
- Kt hp vi (1) ta cú 2 h :
20
b
a b 6
a b 6
3
a 38
2a b 32
3a 38
38 20
C1 ; , C2 6;12
a b 6
a b 6
3
3
3
b 12
2a b 22
3a 18
a 6
Bi 26Trong mt phng oxy cho ABC cú A(2;1) . ng cao qua nh B cú phng trỡnh x- 3y - 7 = 0
.ng trung tuyn qua nh C cú phng trỡnh : x + y +1 = 0 . Xỏc nh ta B v C . Tớnh din tớch
ABC .
Su tm & biờn son:Lc Phỳ a - Vit Trỡ - Phỳ Th
Page 9
Jun
. 17
GiaVienB.Net - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
Hướng dẫn:- Đường thẳng (AC) qua A(2;1) và vuông góc với đường cao kẻ qua B , nên có véc tơ chỉ
x 2 t
phương n 1; 3 AC :
t R
y 1 3t
x 2 t
- Tọa độ C là giao của (AC) với đường trung tuyến kẻ qua C : y 1 3t
x y 1 0
Giải ta được : t=2 và C(4;-5). Vì B nằm trên đường cao kẻ qua B suy ra B(3a+7;a) . M là trung điểm của
3a 9 a 1
AB M
;
.
2
2
3a 9 a 1
- Mặt khác M nằm trên đường trung tuyến kẻ qua C :
1 0 a 3 B 1; 2
2
2
12
x 2 y 1
3x y 5 0, h C; AB
- Ta có : AB 1; 3 AB 10, AB :
1
3
10
1
1
12
Vậy : S ABC AB.h C , AB
10.
6 (đvdt).
2
2
10
Bài 27 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình đường trung trực
cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam
giác ABC
a5 b2
nằm
Hướng dẫn:- Gọi B(a;b) suy ra M
;
. M
2
2
A(5;2)
trên trung tuyến nên : 2a-b+14=0 (1).
- B,B đối xứng nhau qua đường trung trực cho nên :
2x-y+3=0
x a t
BC :
t R .
y b t
M
Từ đó suy ra tọa độ N :
N
6a b
B
C
t
x+y-6=0
2
x a t
3a b 6
x
y b t
2
x y 6 0
6
b
a
y
2
3a b 6 6 b a
N
;
. Cho nên ta có tọa độ C(2a-b-6;6-a )
2
2
- Do C nằm trên đường trung tuyến : 5a-2b-9=0 (2)
2a b 14 0
a 37
- Từ (1) và (2) :
B 37;88 , C 20; 31
5a 2b 9 0
b 88
Bài 28Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng : x 3 y 8 0 , ' :3x 4 y 10 0 và
điểm A(-2 ; 1). Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng , đi qua điểm A và tiếp xúc với
đường thẳng ’.
x 2 3t
Hướng dẫn:: - Gọi tâm đường tròn là I , do I thuộc :
I 2 3t; 2 t
y 2 t
- A thuộc đường tròn IA
3t 3 t
2
2
R (1)
Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ
Page 10
Jun
. 17
GiaVienB.Net - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
- Đường tròn tiếp xúc với '
5
R
13t 12
5
R . (2)
13t 12
2
2
2
25 3t 3 t 13t 12
5
Bài 29 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn
(C ) : x2 y 2 – 2 x – 2 y 1 0, (C ') : x2 y 2 4 x – 5 0 cùng đi qua M(1; 0). Viết phương trình
đường thẳng qua M cắt hai đường tròn (C ), (C ') lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB
Hướng dẫn:* Cách 1.
x 1 at
- Gọi d là đường thẳng qua M có véc tơ chỉ phương u a; b d :
y bt
- Đường tròn C1 : I1 1;1 , R1 1. C2 : I 2 2;0 , R2 3 , suy ra :
- Từ (1) và (2) :
3t 3 t
3 2 3t 4 t 2 10
C1 : x 1 y 1
2
2
2
2
1, C2 : x 2 y 2 9
2
t 0 M
2ab
2b 2
- Nếu d cắt C1 tại A : a b t 2bt 0
A
1
;
2
2
2
2
t 22b 2
a b a b
a b
t 0 M
6a 2
6ab
2
2
2
- Nếu d cắt C2 tại B : a b t 6at 0
B
1
; 2
6
a
2
2
t 2
a b2
a b
2
a b
2
2
- Theo giả thiết : MA=2MB MA 4MB *
2
2
2
2
2
2
6a 2 2 6ab 2
2ab 2b
2 2 4 2 2 2 2
- Ta có : 2
2
a b a b
a b a b
b 6a d : 6 x y 6 0
4b2
36a 2
2
2
2
4.
b
36
a
b 6 a d : 6 x y 6 0
a b2
a 2 b2
* Cách 2.
1
- Sử dụng phép vị tự tâm I tỉ số vị tự k= . ( Học sinh tự làm )
2
Bài 30 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm
H (1;0) , chân đường cao hạ từ đỉnh B là K (0; 2) , trung điểm cạnh AB là M (3;1) .
Hướng dẫn:- Theo tính chất đường cao : HK vuông
góc với AC cho nên (AC) qua K(0;2) có véc tơ pháp
tuyến
KH 1; 2 AC : x 2 y 2 0 x 2 y 4 0 .
M(3;1)
- B nằm trên (BH) qua H(1;0) và có véc tơ chỉ phương
KH 1; 2 B 1 t; 2t .
B
- M(3;1) là trung điểm của AB cho nên A(5-t;2+2t).
- Mặt khác A thuộc (AC) cho nên : 5-t-2(2+2t)+4=0 ,
suy ra t=1 . Do đó A(4;4),B(2;-2)
- Vì C thuộc (AC) suy ra C(2t;2+t) ,
BC 2t 2; 4 t , HA 3; 4 . Theo tính chất đường cao kẻ từ A :
HA.BC 0 3 2t 2 4 4 t 0 t 1 . Vậy : C(-2;1).
Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ
A
K(0;2)
H(1;0)
C
Page 11
Jun
. 17
GiaVienB.Net - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
x4 y4
- (AB) qua A(4;4) có véc tơ chỉ phương BA 2;6 // u 1;3 AB :
1
3
3x y 8 0
- (BC) qua B(2;-2) có véc tơ pháp tuyến HA 3;4 BC :3 x 2 4 y 2 0
3x 4 y 2 0 .
Bài 31 Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình C1 : x2 y 2 4 y 5 0 và
C2 : x2 y2 6 x 8 y 16 0. Lập phương trình tiếp tuyến chung của C1
Hướng dẫn:: - Ta có :
2
C1 : x2 y 2 9 I1 0; 2 , R1 3,
- Nhận xét : I1I 2 9 4
C2 : x 3 y 4
13 3 3 6 C1 không cắt C2
2
2
và C2 .
9 I 2 3; 4 , R2 3
- Gọi d : ax+by+c =0 ( a 2 b2 0 ) là tiếp tuyến chung , thế thì : d I1 , d R1 , d I 2 , d R2
2b c
3 1
2
2b c
3a 4b c
3a 4b c 2b c
a b2
2b c 3a 4b c
a 2 b2
a 2 b2
3a 4b c 2b c
3a 4b c 3 2
a 2 b2
a 2b
2
. Mặt khác từ (1) : 2b c 9 a 2 b2
3a 2b 2c 0
- Trường hợp : a=2b thay vào (1) :
2b 3 5c
b
4
2
2b c 9 4b2 b2 41b2 4bc c 2 0. 'b 4c 2 41c 2 45c 2
23 5 c
b
4
- Do đó ta có hai đường thẳng cần tìm :
2 3 5 x 2 3 5 y 1 0 2 2 3 5 x 2 3 5 y 4 0
2
4
2 3 5 x 2 3 5 y 1 0 2 2 3 5 x 2 3 5 y 4 0
d :
2
4
d1 :
1
- Trường hợp : c
2b 3a
, thay vào (1) :
2
2b
2b 3a
2
a b
2
2
3 2b a a 2 b 2
a
b0c
b 0, a 2c
2
2
2
2
2
2b a a b 3b 4ab 0
b 4a , a 6c
4
a
a
b
c
3
3
6
- Vậy có 2 đường thẳng : d3 : 2 x 1 0 , d4 : 6 x 8 y 1 0
Bài 32 Trong hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương trình hyperbol (H) dạng chính tắc biết rằng (H) tiếp xúc với
đường thẳng d : x y 2 0 tại điểm A có hoành độ bằng 4.
Hướng dẫn:- Do A thuộc d : A(4;2)
Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ
Page 12
Jun
. 17
GiaVienB.Net - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
2
2
x
y
16 4
2 1* A H 2 2 11
2
a b
a b
- Mặt khác do d tiếp xúc với (H) thì hệ sau có 12 nghiệm bằng nhau :
2
2
2
2
2
2
2 2
2 2
2
2 2
b2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2
b x a x 2 a b
b a x 4a x 4a a b 0
y x 2
y x 2
y x 2
- Giả sử (H) :
'a 4a 4 b2 a 2 4a 2 a 2b2 4a 2b2 a 2b4 a 4b2 a 2b2 4 b2 a 2 0 a 2 b2 4
2
2
2 2
4
2
2
x2 y 2
16b 4a a b
b 8b 16 0
b 4
- Kết hợp với (1) : 2
H
:
1
2
2
2
2
8
4
a
b
4
a
b
4
a
8
Bài 33 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y +
1 = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC đi qua M(2; 1). Tìm toạ độ các đỉnh
của hình chữ nhật
Hướng dẫn:- Dễ nhận thấy B là giao của BD với AB cho nên tọa dộ B là nghiệm của hệ :
x 2 y 1 0
21 13
B ;
5 5
x 7 y 14 0
- Đường thẳng (BC) qua B(7;3) và vuông góc với (AB) cho nên có véc tơ chỉ phương:
21
x 5 t
u 1; 2 BC :
y 13 2t
5
- Ta có : AC, BD BIC 2 ABD 2 2 AB, BD
n1.n2
1 14
15
3
- (AB) có n1 1; 2 , (BD) có n2 1; 7 cos =
5 50 5 10
10
n1 n2
- Gọi (AC) có n a, b cos AC,BD cos2 =
4
9
2cos 2 1 2 1
5
10
50 a 2 b2
a-7b
- Do đó : 5 a 7b 4 50 a 2 b2 a 7b 32 a 2 b2 31a 2 14ab 17b2 0
2
17
17
a b AC : x 2 y 1 0 17 x 31y 3 0
31
31
- Suy ra :
a b AC : x 2 y 1 0 x y 3 0
21
x 5 t
13
7
14 5
- (AC) cắt (BC) tại C y 2t t C ;
5
15
3 3
x y 3 0
x 2 y 1 0
x 7
- (AC) cắt (AB) tại A :
A 7; 4
x y 3 0
y 4
x 7 t
- (AD) vuông góc với (AB) đồng thời qua A(7;4) suy ra (AD) :
y 4 2t
Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ
Page 13
Jun
. 17
GiaVienB.Net - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
x 7 t
7
98 46
- (AD) cắt (BD) tại D : y 4 2t
t D ;
15
15 15
x 7 y 14 0
- Trường hợp (AC) : 17x-31y-3=0 …..làm tương tự .
Bài 34 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0). Hai đỉnh B và
C lần lượt nằm trên hai đường thẳng d1: x + y + 5 = 0 và d2: x + 2y – 7 = 0. Viết phương trình đường tròn
có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng BG
x t
C
Hướng dẫn::- B thuộc d suy ra B :
,
A(2;3)
y 5 t
x 7 2m
x+2y-7=0
thuộc d' cho nên C:
.
y m
G(2;0)
- Theo tính chất trọng tâm :
C
t 2m 9 2, y m t 2 0
xG
M
B
G
3
3
x+y+5=0
m t 2
m 1
- Ta có hệ :
t 2m 3 t 1
- Vậy : B(-1;-4) và C(5;1) . Đường thẳng (BG) qua G(2;0) có véc tơ chỉ phương u 3; 4 , cho nên (BG):
20 15 8 13
x2 y
4 x 3 y 8 0 d C; BG
R
3
4
5
5
13
169
2
2
- Vậy đường tròn có tâm C(5;1) và có bán kính R= C : x 5 y 1
5
25
Bài 35Tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng : 2x – 5y + 1 = 0, cạnh bên AB nằm trên
đường thẳng : 12x – y – 23 = 0 . Viết phương trình đường thẳng AC biết rằng nó đi qua điểm (3;1
2 x 5 y 1 0
A
Hướng dẫn:- Đường (AB) cắt (BC) tại B
12x-y-23=0
12 x y 23 0
Suy ra : B(2;-1). . (AB) có hệ số góc k=12, đường thẳng
M(3;1)
2
(BC) có hệ số góc k'= , do đó ta có :
5
H
2
B
C
12
2x-5y+1=0
5 2 . Gọi (AC) có hệ số góc là m thì ta
tan B
2
1 12.
5
2
m
2 5m
5
có : tan C
. Vì tam giác ABC cân tại A cho nên tanB=tanC, hay ta có :
2m
5
2
m
1
5
8
m
2 5m 4m 10
2 5m
2 2 5m 2 2m 5
9
5 2m
2 5m 4m 10
m 12
9
9
- Trường hợp : m AC : y x 3 1 9 x 8 y 35 0
8
8
- Trường hợp : m=12 suy ra (AC): y=12(x-3)+1 hay (AC): 12x-y-25=0 ( loại vì nó //AB ).
- Vậy (AC) : 9x+8y-35=0 .
Bài 36 Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn :
Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ
Page 14
Jun
. 17
GiaVienB.Net - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
2
(C1) : (x - 5) + (y + 12)2 = 225 và (C2) : (x – 1)2 + ( y – 2)2 = 25
Hướng dẫn:- Ta có (C) với tâm I(5;-12) ,R=15. (C') có J(1;2) và R'=5. Gọi d là tiếp tuyến chung có
phương trình : ax+by+c=0 ( a 2 b2 0 ).
5a 12b c
a 2b c
- Khi đó ta có : h I , d
15 1 , h J , d
5 2
a 2 b2
a 2 b2
5a 12b c 3a 6b 3c
- Từ (1) và (2) suy ra : 5a 12b c 3 a 2b c
5a 12b c 3a 6b 3c
a 9b c
. Thay vào (1) : a 2b c 5 a 2 b2 ta có hai trường hợp :
2a 3 b c
2
- Trường hợp : c=a-9b thay vào (1) : 2a 7b 25 a 2 b2 21a 2 28ab 24b2 0
2
14 10 7
14 10 7
175 10 7
d :
0
a
x y
21
21
21
Suy ra :
a 14 10 7 d : 14 10 7 x y 175 10 7 0
21
21
21
3
2
- Trường hợp : c 2a b 1 : 7b 2a 100 a 2 b2 96a 2 28ab 51b 2 0 . Vô nghiệm . (
2
Phù hợp vì : IJ 16 196 212 R R ' 5 15 20 400 . Hai đường tròn cắt nhau ) .
Bài 37. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x 2 y2 2x 8y 8 0 . Viết phương
trình đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x+y-2=0 và cắt đường tròn theo một dây cung có độ dài
bằng 6.
Hướng dẫn:Đường thẳng d' song song với d : 3x+y+m=0
A
3 4 m m 1
- IH là khoảng cách từ I đến d' : IH
K
5
5
2
x+2y-5=0
AB
- Xét tam giác vuông IHB : IH 2 IB 2
25 9 16
4
m 1
C
m 19 d ' : 3x y 19 0
B(2;-1)
H
16 m 1 20
25
m 21 d ' : 3x y 21 0
3x-4y+27=0
Bài 38.Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2; -1), đường cao và đường phân giác trong
qua đỉnh A, C lần lượt là : (d1) : 3x – 4y + 27 = 0 và (d2) : x + 2y– 5=0
x 2 3t
Hướng dẫn:- Đường thẳng (BC) qua B(2;-1) và vuông góc với (AH) suy ra (BC):
, hay :
y 1 4t
x 2 y 1
4 x 3 y 7 0 n 4;3
3
4
x 2 3t
- (BC) cắt (CK) tại C : y 1 4t t 1 C 1;3
x 2 y 5 0
- (AC) qua C(-1;3) có véc tơ pháp tuyến n a; b
2
Suy ra (AC): a(x+1)+b(y-3)=0 (*). Gọi KCB KCA c os=
Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ
46
10
2
5 16 9 5 5
5
Page 15
GiaVienB.Net - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Jun
. 17
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
- Tương tự : cos =
a+2b
a+2b
2
2
a 2b 4 a 2 b 2
5
5 a b
5 a b
a 0 b y 3 0 y 3 0
2
3a 4ab 0
a 4b 4 x 1 y 3 0 4 x 3 y 5 0
3
3
y 3
y 3 0
x 5
3
x
4
y
27
0
31 582
- (AC) cắt (AH) tại A :
x 31 A1 5;3 , A2 ;
4 x 3 y 5 0
25 25
25
582
3x 4 y 27 0
y
25
- Lập (AB) qua B(2;-1) và 2 điểm A tìm được ở trên . ( học sinh tự lập ).
Bài 39.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy , xét tam giác ABC vuôngtại A, phương trình
đường thẳng BC là : 3 x – y - 3 = 0, các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội
tiếptam giác ABC bằng 2 . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC .
Hướng dẫn:- Đường thẳng (BC) cắt Ox tại B : Cho y=0 suy ra x=1 , B(1;0) . Gọi A(a;0) thuộc Ox là đỉnh
2
2
2
2
của góc vuông ( a khác 1 ).. Đường thẳng x=a cắt (BC) tại C : a; 3 a 1 .
- Độ dài các cạnh : AB a 1 , AC 3 a 1 BC 2 AB 2 AC 2 BC 2 a 1
- Chu vi tam giác : 2p= a 1 3 a 1 2 a 1 3 3 a 1 p
3 3 a 1
2
S
1
1
3
2
.(*) Nhưng S= AB. AC a 1 3 a 1
a 1 . Cho nên (*) trở thành :
2
2
2
r
a 3 2 3
1
3
2
3 3 1 a 1
a 1 a 1 2 3 1
2
4
a 1 2 3
- Trọng tâm G :
2 3 2 3 1 7 4 3
2a 1
x
x
G
74 3 2 36
3
G
3
3
G1
;
3
3
3 22 3
y 3 a 1
2 36
G
yG
3
3
3
2 1 2 3 1
2a 1
1 4 3
x
x
G
G
1 4 3 2 3 6
3
3
3
G2
;
3
3
3 2 2 3
y 3 a 1
2 36
G
yG
3
3
3
Bài 40.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho đường tròn (C) : x 2 y 2 4 x 2 y 1 0
và đường thẳng d : x y 1 0 . Tìm những điểm M thuộc đường thẳng d sao cho từ điểm M kẻ được đến
Hướng dẫn:
- Ta có : S=pr suy ra p=
Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ
Page 16
GiaVienB.Net - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Jun
. 17
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
- M thuộc d suy ra M(t;-1-t). . Nếu 2 tiếp tuyến vuông góc với
nhau thì MAIB là hình vuông ( A,B là 2 tiếp điểm ). Do đó
AB=MI= IA 2 =R 2 = 6 2 2 3 .
- Ta có : MI
2 t 2 t
2
2
A
2t 2 8 2 3
- Do đó :
I(2;1)
t 2 M1 2; 2 1
M
.
2t 8 12 t 2
t 2 M
2; 2 1
2
x+y+1=0
* Chú ý : Ta còn cách khác
- Gọi d' là đường thẳng qua M có hệ số góc k suy ra d' có
phương trình : y=k(x-t)-t-1, hay : kx-y-kt-t-1=0 (1) .
2k kt t 2
- Nếu d' là tiếp tuyến của (C) kẻ từ M thì d(I;d')=R
6
1 k 2
2
2
B
2 t k t 2 6 1 k 2 t 2 4t 2 k 2 2 t 2 2 t k t 2 4t 2 0
2
t 2 4t 2 0
- Từ giả thiết ta có điều kiện : ' 4 t 2 t 2 2 4t t 2 2 4t 0
2
t 4t 2 1
t 2 4t 2
t 2 6
1
k1 k2
2
2
- ' t 19 t 0 t 2
2 k1; k2 M
2
k1k2 1
t 2
Bài 41.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho elip (E) : x 2 4 y 2 4 0 .Tìm những điểm N trên elip (E)
sao cho : F1Nˆ F2 600 ( F1 , F2 là hai tiêu điểm của elip (E) )
x2
y 2 1 a 2 4, b2 1 c 2 3 c 3
4
x02 4 y02 4
3
3
x0 ; MF2 2
x0 . Xét tam giác F1MF2 theo hệ thức hàm số cos
- Gọi N x0 ; y0 E MF1 2
2
2
F1 F2 2 3
Hướng dẫn:: - (E) :
: F1F2 MF12 MF22 2MF1MF2 cos600
2
2
2
3
3
3
3
2 3 2
x0 2
x0 2
x0
2
x0
2
2
2
2
4 2
1
x0
y0
3
3
9
32
1
3
3
12 8 x02 4 x02 x02 8 x02
y02
2
4
4
9
9
4 2
y 1
x0
0 3
3
2
Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ
Page 17
Jun
. 17
GiaVienB.Net - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
4 2 1
4 2 1
4 2 1
4 2 1
- Như vậy ta tìm được 4 điểm : N1
3 ; 3 , N 2 3 ; 3 , N3 3 ; 3 , N 4 3 ; 3
Bài 42.Trong mă ̣t phẳ ng to ̣a đô ̣ Oxy cho điể m A(1;1) và đường thẳng : 2x + 3y + 4 =0
Tìm tọa độ điểm B thuộc đường thẳng sao cho đường thẳng AB và hợp với nhau góc 450.
Hướng dẫn:- Gọi d là đường thẳng qua A(1;1) có véc tơ pháp tuyến n a; b thì d có phương trình dạng :
a(x-1)+b(y-1)=0 (*). Ta có n 2;3 .
- Theo giả thiết : cos d,
2a 3b
cos450
1
2
2 2a 3b 13 a 2 b 2
2
13 a 2 b2
1
1
a b d : x 1 y 1 0 x 5 y 4 0
2
2
5
5
5a 24ab 5b 0
a 5b d : 5 x 1 y 1 0 5 x y 6 0
- Vậy B là giao của d với cho nên :
x 5 y 4 0
5 x y 6 0
32 4
22 32
B1
B1 ; , B2 :
B2 ;
13 13
13 13
2 x 3 y 4 0
2 x 3 y 4 0
Bài 43.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng d1 : 2 x y 5 0 .
d2: 3x +6y
– 7 = 0. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2; -1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng
d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2.
Hướng dẫn:: - Trước hết lập phương trình 2 đường phân giác tạo bởi 2 đường thẳng cắt nhau :
2x y 5
3x 6 y 7
3 5
9 x 3 y 8 0
5
3x 6 y 7 2 x y 5
3x 9 y 22 0
3 5
5
- Lập đường thẳng 1 qua P(2;-1) và vuông góc với tiếp tuyến : 9x+3y+8=0 .
x 2 y 1
1 :
x 3y 5 0
9
3
x 2 y 1
3x y 5 0
- Lập 2 qua P(2;-1) và vuông góc với : 3x-9y+22=0 2 :
3
9
x2 y2
Bài 44.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho Hypebol (H) có phương trình:
1 . Viết
16 9
phương trình chính tắc của elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ
sở của (H).
Hướng dẫn:: - (H) có a 2 16, b2 9 c2 25 c 5 F1 5;0 , F2 5;0 . Và hình chữ nhật cơ sở của
(H) có các đỉnh : 4; 3 , 4;3 , 4; 3 , 4;3 .
x2 y 2
- Giả sử (E) có : 2 2 1 . Nếu (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) thì ta có phương trình :
a
b
2
2
2
c a b 25 1
- (E) đi qua các điểm có hoành độ x 2 16 và tung độ y 2 9
16 9
1 2
a 2 b2
x2 y 2
- Từ (1) và (2) suy ra : a 40, b 15 E :
1
40 15
Bài 45.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: x2 y 2 4 3x 4 0
Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn (C’), bán kính R’ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại A
2
2
Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ
Page 18
Jun
. 17
GiaVienB.Net - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
Hướng dẫn:- (C) có I( 2 3;0 ), R= 4 . Gọi J là tâm đường tròn cần tìm :
J(a;b) C ' : x a y b 4
-Do (C) và (') tiếp xúc ngoài với nhau cho nên khoảng cách IJ
2
=R+R'
a 2 3
2
2
y
A(0;2)
b 4 2 6 a 4 3a b 28
2
2
2
- Vì A(0;2) là tiếp điểm cho nên : 0 a 2 b 4 2
2
2
I(-2 2 ;0)
x
a 2 3 2 b 2 36
a 2 4 3a b 2 24
- Do đó ta có hệ :
2
2
2
2
a 4b b 0
a
2
b
4
- Giải hệ tìm được : b=3 và a=
3 C ' : x 3
2
y 3 4 .
2
* Chú ý : Ta có cách giải khác .
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của J trên Ox suy ra OH bằng a và JH bằng b
IA IO OA
4
2 3
2
- Xét các tam giác đồng dạng : IOA và IHJ suy ra :
IJ IH HJ
6 a2 3 b
- Từ tỷ số trên ta tìm được : b=3 và a= 3 .
Bài 46.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x -2y -1 =0, đường
chéo BD: x- 7y +14 = 0 và đường chéo AC đi qua điểm M(2;1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật
Hướng dẫn:- Hình vẽ : ( Như bài 12 ).
x 2 y 1 0
- Tìm tọa độ B là nghiệm của hệ :
B 7;3 .
x 7 y 14 0
x 7 t
- Đường thẳng (BC) qua B(7;3) và AB uBC 1; 2 BC :
y 3 2t
1 1
1
1
1
7
2 1
2 x y 17 0 kBC . Mặt khác : k BD , k AB tan
11 3
2
7
2
1
72
1
2
k
7
k
1
2
tan
3
7
- Gọi (AC) có hệ số góc là k tan 2
3
2
k
7 k 1 tan 1 1 4
1
7
9
17
28k 4 3k 21 k
- Do đó : 4 7k 1 3 k 7
31
28k 4 3k 21
k
1
- Trường hợp : k=1 suy ra (AC) : y=(x-2)+1 , hay : x-y-1=0 .
x 7 t
- C là giao của (BC) với (AC) : y 3 2t t 1, C 6;5
x y 1 0
x 7 t
t 0, A 1;0
- A là giao của (AC) với (AB) : y 3 2t
x 2 y 1 0
- (AD) //(BC) suy ra (AD) có dạng : 2x+y+m=0 (*) , do qua A(1;0) : m= -2 . Cho nên (AD) có phương
trình : 2x+y-2=0 .
Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ
Page 19
Jun
. 17
GiaVienB.Net - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
2 x y 2 0
- D là giao của (AD) với (BD) :
D 0; 2
x 7 y 14 0
17
- Trường hợp : k=cách giải tương tự ( Học sinh tự làm ).
31
Bài 47. Trong mp (Oxy) cho đường thẳng () có phương trình: x – 2y – 2 = 0 và hai điểm A (-1;2);
B (3;4). Tìm điểm M () sao cho 2MA 2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất
Hướng dẫn:- M thuộc suy ra M(2t+2;t )
2
2
- Ta có : MA2 2t 3 t 2 5t 2 8t 13 2MA2 10t 2 16t 26
Tương tự : MB2 2t 1 t 4 5t 2 12t 17
2
2
- Do dó : f(t)= 15t 2 4t 43 f ' t 30t 4 0 t
2
641
. Lập bảng biến thiên suy ra min f(t) =
15
15
2
26 2
M ;
15
15 15
Bài 48.Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0 và điểm M (2;4)
Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường tròn tại 2 điểm A và B, sao cho M là trung điểm của
AB
2
2
Hướng dẫn:- Đường tròn (C) : x 1 y 3 4 I 1;3 , R 2, PM /(C ) 1 1 4 2 0 M nằm
trong hình tròn (C) .
x 2 at
- Gọi d là đường thẳng qua M(2;4) có véc tơ chỉ phương u a; b d :
y 4 bt
đạt được tại t
- Nếu d cắt (C) tại A,B thì : at 1 bt 1 4 a 2 b2 t 2 2 a b t 2 0 1 ( có 2 nghiệm t ) .
2
2
Vì vậy điều kiện : ' a b 2 a 2 b2 3a 2 2ab 3b2 0 *
2
- Gọi A 2 at1;4 bt 1 , B 2 at 2;4 bt 2 M là trung điểm AB thì ta có hệ :
4 a t1 t2 4
a t1 t2 0
t1 t2 0 . Thay vào (1) khi áp dụng vi ét ta được :
8 b t1 t2 8
b t1 t2 0
2 a b
x2 y4
t1 t2 2
0 a b 0 a b d :
d : x y6 0
2
a b
1
1
x2 y 2
Bài 49.Viết phương trình các tiếp tuyến của e líp (E):
1 , biết tiếp tuyến đi qua điểmA(4;3)
16 9
Hướng dẫn:- Giả sử đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến n a; b qua A(4;3) thì d có phương trình là
:a(x-4)+b(y-3)=0 (*) , hay : ax+by-4a-3b (1) .
- Để d là tiếp tuyến của (E) thì điều kiện cần và đủ là : a 2 .16 b2 .9 4a 3b
2
a 0 d : y 3 0
16a 2 9b2 16a 2 24ab 9b 2 24ab 0
b 0 d : x 4 0
Bài 50.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = 0 có tâm I
và đường thẳng : mx + 4y = 0. Tìm m biết đường thẳng cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A,B
thỏa mãn diện tích tam giác IAB bằng 12.
2
2
Hướng dẫn:- (C) : x 1 y m 25 I (1; m), R 5 .
Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ
Page 20
Jun
. 17
GiaVienB.Net - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
m
y
x
4
- Nếu d : mx +4y=0 cắt (C) tại 2 điểm A,B thì 2
2
m 16 x 2 2 4 m x m 2 24 0 1
16
4
m
m
- Điều kiện : ' m2 25 0 m R . Khi đó gọi A x1; x1 , B x2 ; x2
4
4
AB
x2 x1
2
m2
2
x2 x1 x2 x1
16
- Khoảng cách từ I đến d =
m 4m
m2 16
m2 16
m2 25
8
4
m2 16
5m
m2 16
5m
1
1
m2 25
m2 25
- Từ giả thiết : S AB.d .8
.
4 5m
12
2
2
m2 16
m2 16 m2 16
2
m2 25
2
2
2
5m
3
25
m
m
25
9
m
16
m2 16
- Ta có một phương trình trùng phương , học sinh giải tiếp .
Bài 51.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: x - y - 2 = 0,
phương trình cạnh AC: x + 2y - 5 = 0. Biết trọng tâm của tam giác G(3; 2). Viết phương trình cạnh BC
Hướng dẫn:
x y 2 0
- (AB) cắt (AC) tại A :
A 3;1
x 2 y 5 0
- B nằm trên (AB) suy ra B(t; t-2 ), C nằm trên (AC) suy ra C(5-2m;m)
t 2m 8
3
xG
t 2m 1 m 2 C 1; 2
3
- Theo tính chất trọng tâm :
t m 7
y t m 1 2
t 5 B 5;3
G
3
Bài 52.Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(2; 5), B(4;1) và tiếp xúc với đường thẳng có
phương trình 3x – y + 9 = 0.
Hướng dẫn:
Gọi M là trung điểm AB suy ra M(3;3 ) . d' là đường trung trực của AB thì d' có phương trình : 1.(x-3)2(y-3)=0 , hay : x-2y+3=0 .
- Tâm I của (C) nằm trên đường thẳng d' cho nên I(2t-3;t) (*)
3 2t 3 t 9
5t
10
t R . (1)
- Nếu (C) tiếp xúc với d thì h I , d R
2
10
10
- Mặt khác : R=IA=
5 2t 5 t
2
- Thay (2) vào (1) :
5 2t 5 t
2
2
2
. (2) .
10
t 4 5t 2 30t 50 10t 2
2
t 6 34
. Thay các giá trị t vào (*) và (1) ta tìm được tọa độ tâm I và bán kính R
t 2 12t 2 0
t 6 34
của (C) .
* Chú ý : Ta có thể sử dụng phương trình (C) : x2 y 2 2ax 2by c 0 ( có 3 ẩn a,b,c)
- Cho qua A,B ta tạo ra 2 phương trình . Còn phương trình thứ 3 sử dụng điều kiện tiếp xúc của (C) và d :
khoảng cách từ tâm tới d bằng bán kính R .
Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ
Page 21
Jun
. 17
GiaVienB.Net - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn
Tp cỏc bi Toỏn v ng thng trong cỏc thi
Bi 53.Cho ng trũn (C): x2 + y2 2x + 4y + 2 = 0.
Vit phng trỡnh ng trũn (C') tõm M(5, 1) bit (C')
t (C) ti cỏc im A, B sao cho AB 3 .
Hng dn:- ng trũn (C) :
2
2
x 1 y 2 3 I 1; 2 , R 3 .
- Gi H l giao ca AB vi (IM). Do ng trũn (C') tõm M
cú bỏn kớnh R' = MA . Nu AB= 3 IA R , thỡ tam giỏc
A
H
I
M
B
3. 3 3
( ng cao
2
2
3 7
tam giỏc u ) . Mt khỏc : IM=5 suy ra HM= 5 .
2 2
AB 2 49 3
- Trong tam giỏc vuụng HAM ta cú MA2 IH 2
13 R '2
4
4 4
2
2
- Vy (C') : x 5 y 1 13 .
IAB l tam giỏc u , cho nờn IH=
Bi 54.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đ-ờng tròn (C) có ph-ơng trình (x-1)2 + (y+2)2 = 9 và
đ-ờng thẳng d: x + y + m = 0. Tìm m để trên đ-ờng thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ đ-ợc hai
tiếp tuyến AB, AC tới đ-ờng tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông.
Hng dn:
- (C) cú I(1;-2) v bỏn kớnh R=3 . Nu tam giỏc ABC
vuụng gúc ti A ( cú ngha l t A k c 2 tip tuyn
ti (C) v 2 tip tuyn vuụng gúc vi nhau ) khi ú
x+y+m=0
ABIC l hỡnh vuụng . Theo tớnh cht hỡnh vuụng ta cú
B
IA= IB 2 (1) .
- Nu A nm trờn d thỡ A( t;-m-t ) suy ra :
IA
t 1 t 2 m
2
2
A
. Thay vo (1) :
t 1 t 2 m 3 2
2t 2 2 m 1 t m2 4m 13 0 (2). trờn d cú
2
I(1;-2)
2
C
ỳng 1 im A thỡ (2) cú ỳng 1 nghim t , t ú ta cú iu
kin : m2 10m 25 0 m 5 0 m 5 .Khi ú (2) cú nghim kộp l :
2
m 1 5 1
3 A 3;8
2
2
Bi 55.Trong mt phng to Oxy cho hai ng thng (d1) : 4x - 3y - 12 = 0 v (d2): 4x + 3y - 12 = 0.
Tỡm to tõm v bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc cú 3 cnh nm trờn (d1), (d2), trc Oy.
4 x 3 y 12 0
Hng dn:- Gi A l giao ca d1 , d 2 A :
A 3;0 Ox
4 x 3 y 12 0
- Vỡ (BC) thuc Oy cho nờn gi B l giao ca d1 vi Oy : cho x=0 suy ra y=-4 , B(0;-4) v C l giao ca
t1 t2 t0
d 2 vi Oy : C(0;4 ) . Chng t B,C i xng nhau qua Ox , mt khỏc A nm trờn Ox vỡ vy tam giỏc ABC
l tam giỏc cõn nh A . Do ú tõm I ng trũn ni tip tam giỏc thuc Ox suy ra I(a;0).
IA AC 5
IA IO 5 4
OA 9
- Theo tớnh cht phõn giỏc trong :
IO AO 4
IO
4
IO 4
4OA 4.3 4
4
IO
. Cú ngha l I( ; 0 )
9
9
3
3
Su tm & biờn son:Lc Phỳ a - Vit Trỡ - Phỳ Th
Page 22
Jun
. 17
GiaVienB.Net - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn
Tp cỏc bi Toỏn v ng thng trong cỏc thi
1
1
15 1 AB BC CA 1 5 8 5
18 6
BC.OA .5.3
r .
2
2
2 2
r
2
r
15 5
Bi 56.Trong mt phng to Oxy cho im C(2;-5 ) v ng thng : : 3x 4 y 4 0 . Tỡm trờn
hai im A v B i xng nhau qua I(2;5/2) sao cho din tớch tam giỏc ABC bng15
Hng dn:- Nhn xột I thuc , suy ra A thuc : A(4t;1+3t) . Nu B i xng vi A qua I thỡ B cú ta
- Tớnh r bng cỏch : S
B(4-4t;4+3t) AB 16 1 2t 9 1 2t 5 1 2t
2
2
- Khong cỏch t C(2;-5) n bng chiu cao ca tam giỏc ABC :
6 20 4
6
5
t 0 A 0;1 , B 4; 4
1
1
- T gi thit : S AB.h 5. 1 2t .6 15 1 2t 1
2
2
t 1 A 4; 4 , B 0;1
x2 y 2
1 v hai im A(3;-2) , B(-3;2) Tỡm
9
4
trờn (E) im C cú honh v tung dng sao cho tam giỏc ABC cú din tớch ln nht.
Hng dn:- A,B cú honh l honh ca 2 nh ca 2 bỏn trc ln ca (E) , chỳng nm trờn ng
thng y-2=0 . C cú honh v tung dng thỡ C nm trờn cung phn t th nht
- Tam giỏc ABC cú AB=6 c nh . Vỡ th tam giỏc cú din tớch ln nht khi khong cỏch t C n AB ln
nht .
- D nhn thy C trựng vi nh ca bỏn trc ln (3;0)
Bi 57.Trong mt phng vi h to Oxy cho elớp ( E ) :
Bi 58.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết A(2; - 3), B(3; - 2), có diện tích bằng
3
và trọng tâm
2
thuộc đ-ờng thẳng : 3x y 8 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C.
Hng dn:- Do G thuc suy ra G(t;3t-8). (AB) qua A(2;-3) cú vộc t ch phng u AB 1;1 , cho
x2 y3
5 5
x y 5 0 . Gi M l trung im ca AB : M ; .
1
1
2 2
5
5
11
5
- Ta cú : GM t; 3t 8 t; 3t . Gi s C x0 ; y0 , theo tớnh cht trng tõm ta cú :
2
2
2
2
nờn (AB) :
5
x0 t 2 2 t
x0 5 2t
GC 2GM
C 2t 5;9t 19 1
y0 9t 19
y 3t 8 2 11 3t
0
2
3 2t 5 9t 19 8 4 3t
- Ngoi ra ta cũn cú : AB= 2 , h C ,
10
10
4 3t 3
1
1
2
2 4 3t 3 10
- Theo gi thit : S AB.h C ,
2
2
2
10
2 4 3t
2
43 5
76 5
C
; 7 9 5
t
3
3
90 9t 2 24t 29 0
t 4 3 5 C 6 5 7 ;9 5 7
3
3
1
2
Bi 59.Trong mt phng ta Oxy cho hỡnh ch nht ABCD cú tõm I ( ;0)
Su tm & biờn son:Lc Phỳ a - Vit Trỡ - Phỳ Th
Page 23
Jun
. 17
GiaVienB.Net - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
Đường thẳng AB có phương trình: x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD và hoành độ điểm A âm. Tìm tọa độ các đỉnh
của hình chữ nhật đó
Hướng dẫn:- Do A thuộc (AB) suy ra A(2t-2;t) ( do A có hoành độ âm cho nên t<1)
- Do ABCD là hình chữ nhật suy ra C đối xứng với A qua I : C 3 2t; t .
1
x t
- Gọi d' là đường thẳng qua I và vuông góc với (AB), cắt (AB) tại H thì : d ' :
2 , và H có tọa độ là
y 2t
H 0;1 . Mặt khác B đối xứng với A qua H suy ra B 2 2t;2 t .
- Từ giả thiết : AB=2AD suy ra AH=AD , hay AH=2IH
2 2t 1 t
2
2
2 1
1
4
t 1 1 t 0
5
2
5t 2 10t 5 4. t 1 1
4
t 1 1
t 2 1
1
- Vậy khi t = A 2;0 , B 2; 2 , C 3;0 , D 1; 2 .
2
* Chú ý : Ta còn có cách giải khác nhanh hơn
1
02
5
2
- Tính h I ; AB
, suy ra AD=2 h(I,AB)= 5
2
5
AB
2
2 AD
2
5
25
5
5
IA=IB =
4
4
4
4
2
-Do đó A,B là giao của (C) tâm I bán kính IA cắt (AB) . Vậy A,B có tọa độ là nghiệm của hệ :
x 2 y 2 0
2
2
1
5 A 2;0 , B 2; 2 (Do A có hoành độ âm
2
x
y
2
2
- Theo tính chất hình chữ nhật suy ra tọa độ của các đỉnh còn lại : C(3;0) và D(-1;-2)
Bài 60.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao CH : x y 1 0 , phân giác
trong BN : 2 x y 5 0 .Tìm toạ độ các đỉnh B,C và tính diện tích tam giác ABC
Hướng dẫn:- Đường (AB) qua A(1;-2) và vuông
x 1 t
C
2x+y+5=0
góc với (CH) suy ra (AB):
.
y 2 t
- Mặt khác : IA IH
2
2
IH
2
IH 2 AD 2
x 1 t
t 5
- (AB) cắt (BN) tại B: y 2 t
2 x y 5 0
Do đó B(-4;3).Ta có :
1 2 1
k AB 1, kBN 2 tan
1 2
3
- Gọi A' đối xứng với A qua phân giác (BN) thì A'
nằm trên (AB). Khi đó A' nằm trên d vuông góc với
x 1 2t
(BN) d :
y 2 t
Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ
N
B
H
A(1;-2)
x-y+1=0
Page 24
Jun
. 17
GiaVienB.Net - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
x 1 2t
- d cắt (BN) tại H : H : y 2 t
t 1 H 1; 3 .
2 x y 5 0
- A' đối xứng với A qua H suy ra A'(-3;-4) . (BC) qua B,A' suy ra : u 1; 7
x 4 t
x 4 t
3
13 9
. (BC) cắt (CH) tại C: y 3 7t t C ;
BC :
4
4 4
y 3 7t
x y 1 0
- Tính diện tích tam giác ABC :
AB 2 5
1
1
9
9 10
- Ta có :
9 S ABC AB.h(C , AB) .2 5
2
2
4
2 2
h C , AB
2 2
Bài 61.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD, có diện tích bằng 12, tâm I là
giao điểm của đường thẳng d1 : x y 3 0 và d2 : x y 6 0 . Trung điểm của một cạnh là giao điểm
của d1 với trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật
x y 3 0
9 3
Hướng dẫn:- Theo giả thiết , tọa độ tâm I
I ; . Gọi M là trung điểm của AD thì
2 2
x y 6 0
M có tọa độ là giao của : x-y-3=0 với Ox suy ra M(3;0). Nhận xét rằng : IM // AB và DC , nói một cách
khác AB và CD nằm trên 2 đường thẳng // với d1 ( có n 1; 1 .
x 3 t
-A,D nằm trên đường thẳng d vuông góc với d1 d :
. Giả sử A 3 t; t (1), thì do D đối xứng
y t
với A qua M suy ra D(3-t;t) (2) .
- C đối xứng với A qua I cho nên C(6-t;3+t) (3) . B đối xứng với D qua I suy ra B( 12+t;3-t).(4)
- Gọi J là trung điểm của BC thì J đối xứng với M qua I cho nên J(6;3). Do đó ta có kết quả là :
2t
S ABCD 2h A, d1 .MJ
: MJ AB AD 3 2 . Khoảng cách từ A tới d1 : h A, d1
2
2t
t 1
. Thay các giá trị của t vào (1),(2),(3),(4) ta tìm được các đỉnh
S ABCD 2
3 2 12 t 12
2
t 1
t 1 A 3;1 , D 4; 1 , C 7; 2 , B 11; 4
của hình chữ nhật :
t 1 A 4; 1 , D 2;1 , C 5; 4 , B 13; 2
x 2 y2
1
3
Bài 62.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hypebol (H): 2
và điểm M(2; 1). Viết phương
trình đường thẳng d đi qua M, biết rằng đường thẳng đó cắt (H) tại hai điểm A, B mà M là trung điểm của
AB
x 2 at
Hướng dẫn:- Giải sử d có véc tơ chỉ phương u a; b , qua M(2;1) d :
y 1 bt
x 2 at
2
2
2 at 1 bt
1
- d cắt (H) tại 2 điểm A,B thì A,B có tọa độ : y 1 bt
2
3
x2 y 2
1
2 3
Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ
Page 25
