một số bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Bài tốn viết phương trình đường thẳng là dạng tốn hay và khơng q khó
trong chương trình lớp 12, để làm bài tốn dạng này địi hỏi phải nắm vững kiến
thức hình học khơng gian, mối quan hệ giữa đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu.
Mức độ tư duy lời giải tốn vừa phải, nhẹ nhàng, lơgíc và hấp dẫn người học. Là
dạng toán chiếm tỷ lệ nhiều trong phần phương pháp toạ độ không gian ở các đề
thi tốt nghiệp THPT và thi vào đại học, cao đẳng.
Là giáo viên giảng dạy ở Trường THPT Thường Xuân 2- một trường miền núi
vùng đặc biệt khó khăn- tơi thấy nhìn chung đối tượng học sinh ở mức trung bình
yếu, mức độ tư duy vừa phải, các em gặp nhiều khó khăn để có thể định hướng
được cách giải quyết bài toán; các em dễ nhầm lẫn khi giải bài tốn dạng này.
Vì vậy, để hệ thống hóa lại kiến thức cơ bản liên quan đến bài toán viết
phương trình đường thẳng trong khơng gian, phân loại những bài tốn điển hình
mang tính khái qt đồng thời đề xuất hướng giải quyết các bài tốn dạng này có
vai trị quan trọng trong việc hình thành cho học sinh những phương pháp và kĩ
năng giải tốn, giúp các em có được những định hướng rõ ràng hơn, tiếp cận một
cách đơn giản- dễ nhớ và từng bước giúp học sinh hình thành lối tư duy giải
quyết vấn đề khi đứng trước những bài toán dạng này, nhất là học sinh “vùng
khó”.
Từ thực tế trên cùng với mong muốn tổng hợp được một tài liệu để đồng
nghiệp có thể áp dụng được trong q trình giảng dạy, học sinh có thể áp dụng
được trong q trình tự học, tơi đã đúc rút kinh nghiệm dạy học của bản thân và
đưa ra sáng kiến kinh nghiệm “ một số bài toán viết phương trình đường thẳng
trong khơng gian"

1


B. GIẢI QUYẾT VẤN DỀ
1. Cơ sở lí luận của vấn đề
Bài tốn viết phương trình đường thẳng là dạng tốn hay và khơng q khó

trong chương trình lớp 12.
Cùng với phương pháp tọa độ, học sinh đã có cái nhìn khác về hình học;
thấy được mối liên hệ giữa hình học và giải tích,thốt được lối tư duy trực quan
của hình học mà các em đã học lâu nay.
2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
Trong quá trình giảng dạy chương phương pháp toạ độ trong không gian, tôi
thấy đa phần học sinh rất lúng túng, kỹ năng giải tốn hình khơng gian cịn yếu,
khả năng vận dụng kiến thức đã có để giải bài tập chưa cao… Bên cạnh đó bài
tập sách giáo khoa của chương Phương pháp tọa độ trong khơng gian trong
chương trình hình học khối 12 đưa ra chưa được cân đối, rất ít bài tập cơ bản, đa
phần là bài tập khó, đặc biệt quá khó đối với học sinh yếu, học sinh trường “vùng
khó” dẫn đến học sinh có tư tưởng nản và e sợ khơng học. Do đó dạy bài tập, đặc
biệt với chương này, tìm tịi, chọn bài tập, kết hợp bài tập sách giáo khoa, thiết kế
trình tự bài giảng hợp lý giảm bớt khó khăn giúp học sinh nắm được kiến thức cơ
bản, hình thành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo và lĩnh hội lĩnh kiến thức mới, từ
đó đạt kết quả cao nhất có thể được trong kiểm tra, đánh giá.
Đề tài này được thực hiện trong phạm vi lớp 12A 2, 12A5, 12A6- ban CB
trường THPT Thường Xuân 2, trong những buổi ôn tập chuyên đề sau khi học
xong chương phương pháp toạ độ trong không gian, các buổi ôn thi tốt nghiệp
khối 12 năm học 2012 -2013.
+) Quá trình thực hiện đề tài
* Trước khi thực hiện đề tài:
Tôi yêu cầu các em học sinh thực hiện làm một số bài tập:
Bài tốn: Trong khơng gian với hệ Oxyz, viết phương trình tham số và phương
trình chính tắc của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a/ d đi qua điểm M( c1; 2; 3 ) và có chỉ phương là ud = ( 2; -4 ; 1)
b/ d đi qua điểm N(2; -1; 3) và song song với đường thẳng d1 :

x +1 y + 2 z
=

=
−2
3
1

c/ d đi qua M(2; -1; 3) và vuông góc với mp(P): x + 2y - 3z + 1 = 0
d/ d đi qua 2 điểm A(2; -1; 3), B (4; 0; 1)
*/Số liệu cụ thể trước khi thực hiện đề tài
Kết quả của lớp 12A2 ( sĩ số 29)
Làm đúng
Làm sai
Số h/s khơng có lời lời giải
Câu a 20
7
2
Câu b 18
6
5
Câu c 18
6
5

2


Câu d 19
7
3
Kết quả của lớp 12A5 ( sĩ số 36)
Số h/s làm đúng Số h/s làm sai

Số h/s không có lời lời giải
Câu a 19
10
7
Câu b 18
14
4
Câu c 18
15
3
Câu d 17
15
4
Kết quả của lớp 12A6 ( sĩ số 38)
Số h/s làm đúng Số h/s làm sai
Số h/s khơng có lời lời giải
Câu a 15
15
8
Câu b 13
16
9
Câu c 12
18
8
Câu d 20
12
6
Như vậy với một bài tốn khá quen thuộc thì kết quả là rất thấp sau khi
nêu lên lời giải và phân tích thì hầu hết các em học sinh đều hiểu bài và tỏ ra

hứng thú.
3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
Vấn đề 1: Hệ thống các kiến thức cơ bản
1. Véc tơ chỉ phương của đường thẳng
* u ≠ 0 và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d thì u là véc tơ chỉ
phương của đường thẳng d.
* u là véc tơ chỉ phương của d thì k. u ( k ≠ 0 ) cũng là véc tơ chỉ phương của d.
2.Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
* n ≠ 0 và có giá vng góc với mặt phẳng ( α ) thì n là véc tơ pháp tuyến của
(α )
* n là véc tơ pháp tuyến của ( α ) thì k. n ( k ≠ 0 ) cũng là véc tơ pháp tuyến
của ( α )
3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
* Phương trình tổng qt của ( α ) có dạng Ax + By + Cz + D = 0
( A2 + B2 + C2 ≠ 0) v
* Nếu ( α ) có phương trình Ax + By + Cz + D= 0 thì véc tơ pháp tuyến của ( α )
là n (A;B;C)
* Nếu ( α ) đi qua điểm M(x0;y0;z0) và nhận n (A;B;C) làm véc tơ pháp tuyến thì
phương trình của ( α ) là : A(x- x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
* Nếu ( α ) chứa hay song song với giá của hai véc tơ khác phương a =(a1;a2;a3)
b (b1;b2;b3) thì pháp tuyến của ( α ) là
n = [ a , b ] = ( a2.b3 - a3.b2 ; a3.b1-a1.b3 ; a1.b2 - a2.b1)

3


* Nếu ( α ) cắt các trục Ox, Oy , Oz lần lượt tại A(a;0;0 ), B (0;b;0) , C(0;0;c) thì
( α ) có phương trình là :

x y z

+ + = 1 ; (a.b.c ≠ 0) (phương trình mặt phẳng theo
a b c

đoạn chắn )
4. Phương trình của đường thẳng
Nếu điểm M(x0 ; y0 ; z0)∈ d và véc tơ chỉ phương của d là u (a; b ; c ) thì
 x = x0 + at

* phương trình tham số của đường thẳng d là :  y = y0 + bt
 z = z + ct
0


* phương trình chính tắc của d là :

;( t là tham số)

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
; (a.b.c ≠ 0 )
a
b
c

5. Các kiến thức khác
* Cho A(xA;yA;zA) và điểm B(xB; y B ; zB)
- véc tơ AB = (xB-xA ; yB-yA; zB-zA )
- Toạ độ trung điểm I của AB là I= (

x A + xB y A + y B z A + z B
;
;
)
2
2
2

* a = (a1;a2;a3) b = (b1;b2;b3)
- Tích có hướng của a và b là một véc tơ ký hiệu là [ a , b ]
[ a , b ] = ( a2.b3 - a3.b2 ; a3.b1-a1.b3 ; a1.b2 - a2.b1)
Chú ý :
-) [ a , b ] ⊥ a và [ a , b ] ⊥ b
- )Nếu a và b cùng phương thì

a1 a2 a3
=
=
b1 b2 b3

- ) Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ký hiệu là n
-) Véc tơ Chỉ phương của đường thẳng ký hiệu là u
Vấn đề 2: Nêu phương pháp chung để giải toán:
Trong bài tốn Viết phương đường thẳng d thì phương pháp chung nhất là đi
xác định véc tơ chỉ phương của đường thẳng ( gọi tắt là chỉ phương) và toạ độ
một điểm mà đường thẳng đi qua sau đó dựa vào công thức của định nghĩa
( trang 83 sgk hh12) để viết phương trình đường thẳng.
CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Xác định toạ độ một điểm và toạ độ véc tơ chỉ phương của một
đường thẳng cho trước .

Hướng dẫn: Dựa vào định nghĩa ( trang 83 sgk hh12).
Ví dụ: Xác định toạ độ điểm M và véc tơ chỉ phương u của đường thẳng d trong
các trường hợp sau:
 x = 2 + 3t

a) d :  y = −3 − t
 z = 5 − 2t


;( t là tham số)

b) d:

x − 2 y +1 z
=
=
3
2
4

Lời giải
a/ Ta có M(2 ;-3 ;5)∈ d, chỉ phương của d là u =(3; -1; -2)
4


b/ Ta có M(2 ;-1 ;0)∈ d, chỉ phương của d là u =(3; 2; 4)
Dạng 2 : Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường
thẳng d biết d đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có chỉ phương u = (a; b; c).
Hướng dẫn:
 x = x0 + at


* phương trình tham số của đường thẳng d là :  y = y0 + bt
 z = z + ct
0


;( t là tham số)

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
; (a.b.c ≠ 0 )
a
b
c

* phương trình chính tắc của d là :

Ví dụ : Trong khơng gian với hệ Oxyz .Viết phương trình tham số và phương
trình chính tắc của d trong các trường hợp sau:
a/ d đi qua điểm M(2; 1; 3) và có chỉ phương là u =(3; -1; -2)
b/ d đi qua điểm M(1;0;3) và có chỉ phương là u =(0; -1; -2)
c/ d đi qua gốc toạ độ và có chỉ phương là u =(3; 1; -2)
Lời giải
 x = 2 + 3t

a/ Ta có phương trình tham số của d là :  y = 1 − t ( t là tham số )
 z = 3 − 2t

x − 2 y −1 z − 3

=
=
3
−1
−2
x = 1

b/ phương trình tham số của d là:  y = − t ( t là tham số )
 z = 3 − 2t


phương trình chính tắc của d là:

Khơng có phương trình chính tắc .
 x = 3t

c/ phương trình tham số của d là  y = t
( t là tham số )
 z = −2t


phương trình chính tắc của d là

x y
z
= =
3 1 −2

Dạng 3: Viết phương trình tham số của đường thẳng d biết d đi qua hai điểm
A,B cho trước.

Hướng dẫn: - Chỉ phương của d là AB
- Chọn điểm đi qua là A hoặc B ( Đưa bài tốn về dạng 2)
Ví dụ : Trong khơng gian với hệ Oxyz .Viết phương trình tham số của d trong
các trường hợp sau:
a/ d đi qua A(2; 3; 5) và B(-1; 2; 0 )
b/ d đi qua M(-2; 1; 3) và N (1; 1; -1)
c/ d đi qua M(-1; 2; 3) và gốc toạ độ
5


Lời giải
a/ Do d đi qua A và B nên chỉ phương của d là AB =(-3; -1; -5)
 x = 2 − 3t

lấy A(2; 3; 5) ∈ d . phương trình tham số của d là  y = 3 − t
 z = 5 − 5t


( t là tham số )

b/ Do d đi qua M và N nên chỉ phương của d là MN =(3; 0; -4)
 x = −2 + 3t

phương trình tham số của d là:  y = 1
 z = 3 − 4t


( t là tham số )

c/ Do d đi qua M và O nên véc tơ chỉ phương của d là OM =(-1; 2; 3)

 x = −1 − t

phương trình tham số của d là:  y = 2 + 2t
 z = 3 + 3t


( t là tham số )

Dạng 4 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vng góc với
mặt phẳng ( α ) .
Hướng dẫn: - pháp tuyến nα của mặt phẳng ( α ) là chỉ phương của d ⇒ đưa bài
tốn về dạng 2
Ví dụ : Trong khơng gian với hệ Oxyz . Viết phương trình tham số của d trong
các trường hợp sau :
a/ d đi qua M(2; 3; 1) và vng góc với ( α ): x + 2y – 3z + 1 = 0
b/ d đi qua gốc toạ độ và vng góc với ( α ): 3x - 5y + 2z -2 = 0
c/ d đi qua M(2; -3; 1) và vng góc với mặt phẳng (Oxy)
d/ d đi qua M(2; -3; 1) và vng góc với mặt phẳng (Oxz)
e/ d đi qua M(2; -3; 1) và vng góc với mặt phẳng (Oyz)
Lời giải
a) Do d ⊥ ( α ) nên chỉ phương của d là u =(1; 2; -3) ⇒ phương trình tham số của
x = 2 + t

d là  y = 3 + 2t ( t là tham số)
 z = 1 − 3t

b/ Do d ⊥ ( α ) nên chỉ phương của d là u =(3; -5; 2) ⇒ phương trình tham số của
 x = 3t

d là  y = −5t ( t là tham số)

 z = 2t


c/ Do d ⊥ (Oxy) nên chỉ phương của d là k =(0; 0; 1) ⇒ phương trình tham số của
x = 2

d là  y = −3
z = 1 + t


( t là tham số)

6


d/ Do d ⊥ (Oxz) nên chỉ phương của d là j =(0; 1; 0) ⇒ phương trình tham số của
x = 2

d là  y = −3 + t
z = 1


( t là tham số)

e/ Do d ⊥ (Oyz) nên chỉ phương của d là i =(1; 0; 0) ⇒ phương trình tham số của
x = 2 + t

d là  y = −3
z = 1


( t là tham số)

Dạng 5: Đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường thẳng d’.
Hướng dẫn: - chỉ phương của d’chính là chỉ phương của d
⇒ đưa bài tốn về dạng 2.
Ví dụ : Trong khơng gian Oxyz .Viết phương trình tham số của đường thẳng d
trong các trường hợp sau:
x = 2 + t

a/ d đi qua điểm M(2; 2; -1) và song song với d’  y = 3 + 2t ( t là tham số)
 z = 1 − 3t

x − 2 y +1 z
=
=
3
2
4
2 x + 3 y − z + 1 = 0 (1)
c/ d đi qua điểm M(0; 2; 1) và song song với d’ 
3 x − y + 2 z + 3 = 0 (2)

b/ d đi qua điểm M(-1;2;3) và song song với d’:

d/ d đi qua điểm M(2; 3; 4) và song song với trục ox.
Lời giải
a/ Do d // d’ ⇒ chỉ phương của d là u = (1; 2; -3)
x = 2 + t


⇒ phương trình tham số của d là:  y = 2 + 2t ( t là tham số)
 z = −1 − 3t


b/ Do d // d’ ⇒ chỉ phương của d là u = (3; 2; 4)

 x = −1 + 3t

⇒ phương trình tham số của d là:  y = 2 + 2t ( t là tham số)
 z = 3 + 4t


c/ Ta có

n 1 = (2; 3; -1)
n 2 = (3; -1; 2)

Véc tơ chỉ phương của d’ là u ’=[ n 1, n 2] = (5; -7 ; -11)
Do d // d’ ⇒ chỉ phương của d là u = (5; -7; -11)
 x = 5t

⇒ phương trình tham số của d là:  y = 2 − 7t ( t là tham số)
 z = 1 − 11t


d/ Do d // trục ox ⇒ chỉ phương của d là i = (1; 0; 0)

7

x = 2 + t

⇒ phương trình tham số của d là:  y = 3
( t là tham số)
z = 4


Dạng 6 : Đường thẳng d đi qua điểm M và song song với 2 mặt phẳng (P) và
(Q)
Hướng dẫn : - Chỉ phương của d là u = [ n P, n Q] ; Đưa bài toán về dạng 2.
Ví dụ1: Trong khơng gian với hệ Oxyz .Viết phương trình tham số của d biết d đi
qua điểm M(3; 1; 5) và song song với hai mặt phẳng:
(P): 2x + 3y - 2z +1 = 0 và (Q): x – 3y + z -2 = 0.
Lời giải .
Ta có n P = (2; 3; -2); n Q=(1; -3; 1)
Do d //(P) và d//(Q) nên chỉ phương của d là u = [ n P, n Q]= (-3; -4; -9)
 x = 3 − 3t

⇒ phương trình tham số của d là:  y = 1 − 4t
 z = 5 − 9t


( t là tham số)

Ví dụ2: Trong khơng gian với hệ Oxyz .Viết phương trình tham số của d biết d đi
qua điểm M(-2; 1; 5) và song song với mặt phẳng (P): 3x + 2y - 4z +1 = 0 và mặt
phẳng (Oxy)
Lời giải .
Ta có pháp tuyến của (P) là : n P = (3; 2; -4); Pháp tuyến của (Oxy) là k =(0; 0; 1)
Do d //(P) và d//(Oxy) nên chỉ phương của d là u = [ n P, k ]= (2; -3; 0)

 x = −2 + 2t

⇒ phương trình tham số của d là:  y = 1 − 3t
z = 5


( t là tham số)

Dạng 7 : Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M, song song với mặt
phẳng (P) và vng góc với đường thẳng d’.( d’ khơng vng góc với (P))
Hướng dẫn : - Xác định pháp tuyến của (P) và chỉ phương của d’.( n P và u ’ )
- Chỉ phương của d là u = [ n P, u ’] (Đưa bài toán về dạng 2)
Ví Dụ: Trong khơng gian với hệ Oxyz .Viết phương trình tham số của đường
thẳng d trong các trường hợp sau:
a/ d đi qua điểm M(2; 3; 0), song song (P): 3x – 2y +z+1 = 0 và vuông góc với
d’:

x −1 y +1 z + 3
=
=
.
2
3
4

b/ d đi qua điểm M(-2; 1; 3) song song với mặt phẳng (Oxz) và vng góc với
 x = 1 + 3t

d’:  y = 2 − t
 z = 4 + 2t



( t là tham số )

Lời giải
8


a/ Ta có : - Pháp tuyến của (P) là n P = (3; -2; 1); chỉ phương của d’ là u ’= (2; 3;
4)
Do d//(P) và d ⊥ d’ ⇒ chỉ phương của d là u = [ n P, u ’] = (-11; -10; 13)
 x = 2 − 11t

⇒ phương trình tham số của d là:  y = 3 − 10t
 z = 13t


( t là tham số)

b/ Ta có : - Pháp tuyến của (Oxz) là j = (0; 1; 0)
- Chỉ phương của d’ là u ’= (3; -1; 2 )
Do d//(Oxz) và d ⊥ d’ ⇒ chỉ phương của d là u = [ j , u ’] = (2; 0; -3)
 x = −2 + 2t

⇒ phương trình tham số của d là:  y = 1
 z = 3 − 3t


( t là tham số)

Dạng 8 : Đường thẳng d đi qua điểm M và vng góc với hai đường thẳng
khơng cùng phương d1 và d2.
Hướng dẫn : -Xác định chỉ phương của d1 và d2 ( u 1 và u 2)
Chỉ phương của d là u = [ u 1, u 2]
Đưa bài tốn về dạng 2.
Ví dụ: Trong khơng gian với hệ Oxyz .Viết phương trình tham số của đường
thẳng d trong các trường hợp sau:
 x = 2 − 3t

a/ d đi qua điểm M(2; -3; 4) và vng góc với d1:  y = 3 + t
 z = −1 + 2t


d2:

( t là tham số )

x +1 y z + 3
= =
2
5
3

b/ d đi qua điểm M(1; 2; 3) vng góc với trục Oy và đường thẳng
 x + 3 y − 2 z + 2 = 0 ( P)
 2 x − y + 3 z − 2 = 0 (Q )

d’ 

Lời giải

a/ Ta có : Chỉ phương của d1 là u 1 = (-3; 1; 2)
Chỉ phương của d2 là u 2 = (2; 5; 3 )
Do d ⊥ d1 và d ⊥ d2 ⇒ chỉ phương của d là u =[ u 1, u 2]= (-7; 13; -17)
 x = 2 − 7t

⇒ phương trình tham số của d là:  y = −3 + 13t
 z = 4 − 17t


( t là tham số)

b/ Xét đường thẳng d’ ta có :
- Pháp tuyến của (P) là n P = (1; 3; -2 )
- Pháp tuyến của (Q) là n Q = (2; -1; 3)
⇒ Chỉ phương của d’ là u ’ = [ n P, n Q] = (7; -7; -7)
9


Hay chỉ phương của d’ là u ’ = (1; -1; -1); chỉ phương của trục oy là j = (0; 1; 0)
Do d ⊥ d’ và d ⊥ oy ⇒ chỉ phương của d là u =[ u ’, j ]= (1; 0; 1)
x = 1 + t

⇒ phương trình tham số của d là:  y = 2
z = 3 + t


( t là tham số)

Dạng 9 : Viết phương trình tham số của đường thẳng d là giao tuyến của hai
mặt phẳng (P) và (Q), ( (P) và (Q) không song song )

Hướng dẫn : - Xác định pháp tuyến của (P) và (Q) , ( n P và n Q )
- Chỉ phương của d là u = [ n P, n Q]
-Xác định một điểm thuộc d: ( bằng cách giải hệ tạo bởi phương
trình hai mặt phẳng và cho trước giá trị một ẩn.) ( Đưa bài tốn về dạng 2)
Ví Dụ : Trong khơng gian Oxyz .Viết phương trình tham số của đường thẳng d là
giao tuyến của (P): x + y + z - 1 = 0 và (Q): 2x - 3y +z +3 = 0.
Lời giải
- Pháp tuyến của (P) là n P = (1; 1; 1 ); Pháp tuyến của (Q) là n Q = (2; -3; 1)
⇒ Chỉ phương của d là u = [ n P, n Q] = (4; 1; -5)
x + y + z − 1 = 0
cho x = 0 ⇒ y=1 và z = 0
2 x − 3 y + z + 3 = 0

Toạ độ điểm M ∈ d thoả mãn hệ 
⇒ M(0; 1; 0 ) ∈ d

 x = 4t

⇒ phương trình tham số của d là  y = 1 + t
 z = −5t


( t là tham số )

Nhận xét: Bài toán trên bản chất là bài toán chuyển từ phương trình tổng quát
của đường thẳng về dạng phương trình tham số.
Dạng 10 : Đường thẳng d song song và cách đều hai đường thẳng song song
d1 và d2 và nằm trong mặt phẳng chứa d1 và d2.
Hướng dẫn: - Chỉ phương của d là chỉ phương của d1 và d2
- Xác định toạ độ điểm M ∈ d1, N∈ d2 ⇒ toạ độ trung điểm I của MN ∈ d

Đưa bài tốn về dạng 2.
Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng
 x = 2 + 3t

x − 4 y +1
z
=
=
d1:  y = −3 + t ( t là tham số ) và d2:
3
1
−2
 z = 4 − 2t


Viết phương trình tham số của đường thẳng d nằm trong mặt phẳng chứa d 1 và d2
đồng thời cách đều hai đường thẳng đó.
Lời giải
Do d1//d2 và d cách đều d1, d2 ⇒ chỉ phương của d là u = (3; 1; -2)
Lấy M(2; -3; 4) ∈ d1 , N(4; -1; 0) ∈ d2 ⇒ toạ độ trung điểm I của MN là
I(3; -2; 2) ∈ d
10


 x = 3 + 3t

⇒ phương trình tham số của d là  y = −2 + t
 z = 2 − 2t


( t là tham số )

Nhận xét : - phương trình của d và d1 chỉ khác nhau toạ độ của điểm đi qua.
- Giả sử d 1 và d2 được thay bằng phương trình tổng quát thì cách xác
định điểm đi qua và véc tơ chỉ phương tương tự như dạng 9.
Dạng 11 : Đường thẳng d là phân giác của góc tạo bởi d1 và d2 cắt nhau.
Hướng dẫn :- Xác định toạ độ giao điểm I của d1 và d2
- Lấy điểm A ∈ d1 ( A khác I)
- Xác định B ∈ d2 sao cho IA = IB (tìm được hai điểm B 1 và B2 thoả
mãn)
+ Với điểm B1 ⇒ trung điểm I1 của AB1 ⇒ d đi qua I và I1
+ Với điểm B2 ⇒ trung điểm I2 của AB2 ⇒ d đi qua I và I2
Đưa bài toán về dạng 3.
Ví dụ: Trong khơng gian với hệ Oxyz . Viết phương trình tham số của d là phân
giác của góc tạo bởi hai đường thẳng
x −1 y +1 z
=
=
d1:
2
1
−1

x = 3 − t

và d2:  y = 2t
( t là tham số ).
 z = −1 + t


Lời giải
 x = 1 + 2t '

Phương trình tham số của d1 là:  y = −1 + t '
 z = −t '

3 − t = 1 + 2t '

xét hệ 2t = −1 + t ' ⇒ t=0 và t’=1 thoả mãn cả 3 phương trình trong hệ.
− 1 + t = −t '

⇒ d1 cắt d2 tại điểm I(3; 0; -1)
Lấy A(1; -1; 0) ∈ d1. B ∈ d2 ⇒ toạ độ của B(3-t; 2t; -1+t)
IA = IB ⇒ t = 1 hoặc t = -1.

Vậy có hai điểm B thoả mãn là B1(2; 2; 0) và B2(4; -2; -2)
3 1
* gọi I1 là trung điểm của AB1 ⇒ I1=( ; ; 0)
2

2
−3 1
⇒ phân giác thứ nhất đi qua I và I1 . II1 =(
; ; 1) ⇒ chỉ phương của d là
2 2
u = (-3; 1; 2)
 x = 3 − 3t

⇒ phân giác thứ nhất là  y = 0 + t ( t là tham số )

 z = −1 + 2t


11


5 −3
* gọi I2 là trung điểm của AB2 ⇒ I1=( ;
; -1)
2

2

1 −3
⇒ phân giác thứ nhất đi qua I và I2 . II 2 =(- ;
; 0) ⇒ chỉ phương của d là
2 2
 x = 3 − 3t

u = (-1; -3; 0) ⇒ phân giác thứ hai là  y = 0 + t ( t là tham số )
 z = −1 + 2t


Dạng 12 : Đường thẳng d là đường vng góc chung của hai đường thẳng d 1
và d2 chéo nhau.
Phân tích : giả sử d là đường vng góc chung của d1 và d2 chéo nhau thì d là
giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) :(P) chứa d và d1 ; (Q) chứa d và d2
Hướng dẫn :
- Xác định chỉ phương của d1 và d1 là u 1 và u 2
- Chỉ phương của d là u =[ u 1, u 2]

- Viết pt mặt phẳng (P) chứa d và d1
- Viết pt mặt phẳng (Q) chứa d và d2
- d là giao tuyến của (P) và (Q) ( Đưa bài tốn về dạng 9 )
Ví dụ: Trong khơng gian với hệ Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau:
d1:

x −1 y +1 z − 5
=
=
2
3
1

và d2:

x −1 y + 2 z +1
=
=
3
2
2

Viết phương trình tham số của đường thẳng d là đường vng góc chung của d 1
và d2.
Lời giải:
Ta có : chỉ phương của d1 là: u 1=(2; 3; 1); Chỉ phương của d2 là : u 2= (3; 2; 2)
d là đường vng góc chung của d1 và d2
⇒ Chỉ phương của d là u = [ u 1, u 2] = (4; -1; -5)
Gọi (P) chứa d và d1 ⇒ pháp tuyến của (P) là n P=[ u 1, u ]=(-14; 14; -14)
Hay pháp tuyến của (P) là n P = (-1; 1; -1)

Điểm M(1; -1; 5) ∈ (P)
⇒ phương trình của (P) là: -1(x-1)+1(y+1)-1(z-5) =0 ⇔ -x +y - z +7 = 0
Gọi (Q) chứa d và d2 ⇒ pháp tuyến của (Q) là n Q=[ u , u 2]=(8; -23; 11)
Điểm N(2; -1; -1) ∈ (Q)
⇒ phương trình của (Q) là: 8(x-2)- 23(y+1)+ 11(z+1) =0 ⇔ 8x- 23y +11z43=0
− x + y − z + 7 = 0
8 x − 23 y + 11z − 43 = 0
22
2
22
2
Cho y = 1 ⇒ x =
và z = ⇒ điểm A( ; 1; ) ∈ d
3
3
3
3

Xét hệ 

12


22

x=
+ 4t

3


Vậy phương trình tham số của d là :  y = 1 − t
( t là tham số )

2
 z = − 5t
3


Dạng 13 : Đường thẳng d đi qua điểm M, vng góc với đường thẳng d 1 và
cắt đường thẳng d2 .
Phân tích : - do d cắt d2 tại N ⇒ N ∈ d2 và N ∈ d
- Khi đó MN là chỉ phương của d ⇒ MN . u 1 = 0 ⇒ toạ độ điểm N
- Đưa bài toán về dạng 3.
Hướng dẫn : - Xác định dạng toạ độ điểm N ∈ d2
- Lập véc tơ MN =? , xác định chỉ phương của d1
- do d ⊥ d1 ⇒ MN . u 1 = 0 ⇒ toạ độ điểm N
- d là đường thẳng đi qua M và N đã biết ( dạng 3)
Ví dụ: Trong khơng gian với hệ Oxyz .Lập phương trình đường thẳng d đi qua
 x = −3
x +1 y + 4 z + 2

=
=
M(2; 3; 3) vng góc với d 1:
và cắt d2 :  y = 2 − t ( t là tham
1
3
1
z = 1 + t


số)
Lời giải:
Ta có: chỉ phương của d1 là : u 1 = (1; 3; 1)
Do d cắt d2 ⇒ N(-3; 2 - t; 1+ t ) ∈ d ⇒ MN = (-5; -1 – t ; -2 + t ) là chỉ phương
của d
do d ⊥ d1 ⇒ MN . u 1 = 0 ⇒ t = -5 ⇒ MN = (-5; 4; -7)
 x = 2 − 5t

⇒ phương trình tham số của d là :  y = 3 + 4t
 z = 3 − 7t


( t là tham số)

Dạng 14 : Viết phương trình tham số của đường thẳng d là hình chiếu của d 1
trên mặt phẳng (P).
Phương pháp : - Xác định pháp tuyến n P của (P), chỉ phương u 1 của d1
- gọi (Q) là mặt phẳng chứa d 1 và vuông góc với (P) ⇒ phương
trình (Q)
- d là giao tuyến của (P) và (Q)
(Dạng 9)
Ví dụ : Trong khơng gian với hệ Oxyz .Viết phương trình tham số của đường
 x = 2 + 3t

thẳng d là hình chiếu của d1 :  y = 1 − t trên mặt phẳng (P) : 2x- 3y + z +1 = 0.
z = 3 + t


Lời giải :

Ta có : M(2 ; 1 ; 3 ) ∈ d1
Chỉ phương của d1 là u 1= (3; -1; 1); Pháp tuyến của (P) là n P=(2; -3; 1)
13


Do d là hình chiếu của d1 trên (P) ⇒ d là giao tuyến của (P) và mặt phẳng (Q)
chứa d1 và vng góc với (P).
⇒ pháp tuyến của (Q) là n Q=[ u 1, n P] = (2; -1; -7)
⇒ phương trình của (Q) là : 2( x - 2) – (y – 1) – 7( z - 3) = 0
⇔ 2x –y -7z +18 = 0
⇒ chỉ phương của d là : u =[ n P, n Q] = ( 22; 16; 4 )
Hay chỉ phương của d là u =(11; 8; 2)
2 x − 3 y + z + 1 = 0
31
9
31 9
cho z=1 ⇒ x= - và y = - ⇒ A(- ;- ; 1) ∈ d
4
2
4 2
2 x − y − 7 z + 18 = 0
31

 x = − 4 + 11t

9

⇒ phương trình tham số của d là :  y = − + 8t
( t là tham số )
2


 z = 1 + 2t



Xét hệ: 

Dạng 15 : Viết phương trình tham số của đường thẳng d biết d vng góc với
(P) đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và đường thẳng d2.
Phương pháp:
- giả sử d cắt d1 và d2 tại M và N ⇒ dạng toạ độ của M và N ⇒ MN ?
- d vng góc (P) ⇒ pháp tuyến n P của (P) cùng phương MN ⇒ toạ độ của M,
N ( Đưa bài toán về dạng 9)
Ví dụ: Trong khơng gian với hệ Oxyz .Viết phương trình tham số của đường
thẳng d . biết d vng góc với mặt phẳng (P): x + 2y +z + 2 = 0 đồng thời cắt cả
x = 3 + t

hai đường thẳng d1:  y = 2 + 3t và d2:
 z = 1 − 2t


x = 2 − t '

 y = 3 + t'
 z = 4 + 2t '


( t và t’ là tham số )

Lời giải:

Giả sử d cắt d1 tại M ⇒ toạ độ của M (3 + t; 2 + 3t; 1 - 2t)
d cắt d2 tại N ⇒ toạ độ của N (2- t’; 3 + t’; 4 + 2t’)
⇒ MN =( -t’ - t - 1; t’ - 3t +1; 2t’ +2t +3)
Pháp tuyến của (P) là n P= (1; 2; 1)
Do d vng góc với (P) ⇒ MN và n P cùng phương.
− t '−t − 1 t '−3t + 1 2t '+2t + 3
−1
và t’= − 13
⇒ t=
=
=
1
2
1
4
12
11 5 3
1 2 1
⇒ M( ; ; ) ∈ d1 , MN =( ; ; ) ⇒ chỉ phương của d là u =(1; 2; 1)
4 4 2
3 3 3
⇒

14


11

x = +t


4

5

⇒ phương trình tham số của d là :  y = + 2t
4

3

z = 2 + t


; ( t là tham số )

Dạng 16 : Viết phương trình tham số của đường thẳng d. biết d song song với
hai mặt phẳng (P) và (Q) đồng thời cắt hai đường thẳng d1 và d2 .
Phân tích:
- do d // (P) và d//(Q) ⇒ chỉ phương của d là tích có hướng của hai pháp tuyến
của (P) và (Q).
- do d cắt d1 và d2 tại M và N ⇒ dạng toạ độ của M và M ⇒ MN cùng phương với
chỉ phương của d ⇒ toạ độ cụ thể của M ⇒ phương trình tham số của d
Hướng dẫn:
- Xác định pháp tuyến của (P) và (Q) là n P và n Q
- Xác định chỉ phương của d là u = [ n P, n Q]
- Xác định dạng toạ độ giao điểm M,N của d với d1 và d2
- Lập MN , MN // u ⇒ toạ độ của M
⇒ phương trình tham số của d
Ví dụ: Viết phương trình tham số của d biết d song song với hai mặt phẳng
(P): x + 2y - z +1 = 0; (Q): - x - y + 2z -2 = 0 đồng thời cắt hai đường thẳng d 1:
x = 1 + t

x = 3 − t'


 y = 2 − t , d2:  y = 1 + 2t '
 z = 1 + 2t
z = 2 − t'



Lời giải
Ta có: pháp tuyến của (P) là: n P= ( 1; 2; -1)
Pháp tuyến của (Q) là: n Q= (-1; -1; 2)
Do d //(P) và d//(Q) ⇒ chỉ phương của d là u = [ n P, n Q]= ( 3; -1; 1)
Giả sử d cắt d1 tại M ⇒ toạ độ của M là M(1+t; 2-t; 1+2t) ∈ d
d cắt d2 tại N ⇒ toạ độ của N là N(3-t’; 1+2t’; 2-t’) ∈ d
MN = (-t - t’+2; t +2t’ -1; -2t –t’ +1 )
− t − t '+2 t + 2t '−1 − 2t − t '+1
=
=
3
−1
1
8 13 9
⇒ M( ;
; )
7 7 7

MN // u ⇒

⇒ t = t’ =

1
7

15


8

 x = 7 + 3t

13

Vậy phương trình tham số của d là:  y = − t
7

9

z = 7 + t


; ( t là tham số )

Bài tập tự luyện :
Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hai điểm A(0; 2; 1) và B(1; -1;
3) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
( đề thi tốt nghiệp BTTHPTnăm 2007)
Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hai điểm M(3; 4; 1), N(2; 3; 4)
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng MN.
( đề thi tốt nghiệp BTTHPT lần 2 năm 2007)

Bài3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hai điểm M(1; 0; 2) và N(3; 1;
5) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua M và N.
( đề thi tốt nghiệp THPTphân ban lần 2 năm 2007)
Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho điểm M(-1; 2; 3) và mặt phẳng
( α ) : x – 2y + 2z +5 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vng góc
với ( α )
( đề thi tốt nghiệp BTTHPTnăm 2008)
Bài 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho điểm M(1; 2; 3) và mặt phẳng
( α ) : 2x – 3y + 6z +35 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vng
góc với ( α )
( đề thi tốt nghiệp THPT không phân ban năm 2008)
Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho điểm A(3; -2; -2) và mặt phẳng
( α ): 2x – 2y + z - 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vng góc
với ( α )
( đề thi tốt nghiệp THPT phân ban năm 2008)
Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hai điểm A(1; 4; 2), B(-1; 2;
4). Viết phương trình của đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB
và vng góc với mặt phẳng (OAB)
( đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối D năm 2007)
Bài 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hai mặt phẳng
(P): 2x +3y – 4z +5 =0 và (Q): 3x + y – z +4 = 0. Viết phương trình tham số của
đường thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q).
(Đề 16 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm 2009)
Bài 9: Lập phương trình đường vng góc chung của hai đường thẳng
x−3 y −3 z −3
=
=
d1:
1
3

1

x = 2 − t

và d2:  y = 2t (Đề 11 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm 2009)
z = 8 + t


16


 x = −4 − t

Bài 10: Viết phương trình hình chiếu vng góc của đường thẳng d:  y = −1 + 8t
 z = −3t


trên mặt phẳng (P): 3x + 2y +z – 5 = 0.(Đề 10 tài liệu ơn tập tốt nghiệp năm
2009)
Bài 11: Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng Oxy và cắt
x = 3 + t

cả hai đường thẳng d1:  y = 2 + 5t
 z = −1 + 4t


(t ∈ R);

x = 2 − t'


d2:  y = 4 + 2t '
z = 6 + t '


(t’ ∈ R )

(Đề 14 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm 2009)
Bài 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
x y −1 z + 2
=
d1: =
2
−1
1

 x = −1 + 2t

d2:  y = 1 + t
z = 3


(t ∈ R)

Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P): 7x + y – 4z =0 và
cắt cả hai đương thẳng d1 và d2.
( đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối A năm 2007)
Bài 13: Trong không gian hệ toạ độ Oxyz. lập phương trình đương thẳng d song
song với với hai mặt phẳng (P): 3x + 12y – 3z -20 = 0, (Q): 3x - 4y + 9z + 8 = 0
và cắt hai đường thẳng d1:

x + 4 y − 4 z +1
x−4 y z−2
=
=
= =
, d2:
2
−3
3
−2
3
4

(Đề 17 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm 2009)
Bài 14: Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(2; 3; 3 )vng góc với
 x = −3
x +1 y + 4 z + 2

=
=
đường thẳng d1:
và cắt đường thẳng d2:  y = 8 − t
3
1
1
z = 9 − t


(t ∈ R)

(Đề 7 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm 2009)
Bài 15: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và hai đường
thẳng d1:

x−2 y +2 z −3
=
=
,
2
−1
1

d2:

x −1 y −1 z +1
=
=
−1
2
1

Viết phương trình đường thẳng d đi qua A vng góc với d1 và cắt d2.
( đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối D năm 2006)
Bài 16: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(-4; -2; 4) và đường
 x = −3 + 2t

thẳng d:  y = 1 − t
 z = −1 + 4t


, viết phương trình đường thẳng d’ đi qua điểm A , cắt và

vng góc với đường thẳng d.
khối B năm 2004)

( đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng

17


x = 0

Bài 17: Cho hai đường thẳng d1:  y = 1
( t ∈ R), d2:
z = 1 − t


 x = −2 + 2t '

y = 1
(t’ ∈ R)
z = 0


Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d1 và d2.
Bài 18: Viết phương trình đường thẳng d song song , cách đều d 1, d2 và thuộc
mặt phẳng chứa hai đường thẳng d1, d2.
d1:

x+2 y −5 z −9

=
=
;
3
−1
4

ĐÁP ÁN:

x = t

Bài 1 :  y = 2 − 3t
 z = 1 + 2t


;

d2 :

x y+3 z+7
=
=
3
−1
4

(tham số t ∈ R)

x − 3 y − 4 z −1
=

=
−1
−1
3
 x = 1 + 2t

Bài 3 :  y = t
(tham số t ∈ R)
 z = 2 + 3t


Bài 2 :

 x = −1 + t

Bài 4 :  y = 2 − 2t
 z = 3 + 2t


(tham số t ∈ R)

 x = 1 + 2t

Bài 5 :  y = 2 − 3t
 z = 3 + 6t


(tham số t ∈ R)

 x = 3 + 2t


Bài 6 :  y = −2 − 2t
 z = −2 + t


(tham số t ∈ R)

x y−2 z−2
=
=
2
−1
1
 x = −1 + t

Bài 8 : d :  y = −1 − 10t
 z = −7t


Bài 7 :

x = 3 + t

Bài 9 : d :  y = −2 − 2t
 z = 7 + 5t


(tham số t ∈ R)

(tham số t ∈ R)

18


34 9

 x = − 13 + 13 t

167 40

− t
Bài 10:  y = −
13 13

z = t


x = 2

Bài 11:  y = 3
 z = −1 + t


x − 2 y z +1
= =
7
1 −4
 x = −2 + 8t

Bài 13 :  y = −3t

 z = 2 − 4t


(tham số t ∈ R)

(tham số t ∈ R)

Bài 12:

(tham số t ∈ R)

x−2 y −3 z −3
=
=
−5
7
8
x −1 y − 2 z − 3
=
=
Bài 15 :
1
−3
−5
x+4 y+2 z−4
=
=
Bài 16 :
3
2

−1

Bài 14 :

 x = −t
x = t


Bài 17 : có hai phân giác là :  y = 1 (t ∈ R ) và  y = 1
z = t
z = t


 x = −1 + 3t

Bài 18 :  y = 1 − t
(tham số t ∈ R)
 z = 1 + 4t


(t ∈ R)

KIỂM NGHIỆM
Là dạng toán hay các em tỏ ra rất say mê, hứng thú học tập. đó có thể coi
là một thành công của người giáo viên. Kết thúc đề tài này tôi đã tổ chức cho các
em học sinh lớp 12A2, 12A5, 12A6 làm một đề kiểm tra 45 phút với nội dung là
các bài tốn viết phương trình mặt phẳng thuộc dạng có trong đề tài. Kết quả rất
khả quan, cụ thể như sau:
Giỏi
Khá

Trung bình Yếu
Lớp 12A2
18%
48%
30%
4%
Lớp 12A5
17%
56%
25%
2%
Lớp 12A6
13%
40%
37%
10%
Rõ ràng là đã có sự khác biệt giữa các em học sinh trước và sau khi học thực hiện
đề tài. Như vậy chắc chắn phương pháp mà tôi nêu ra trong đề tài đã giúp các em
phân loại được bài tập và nắm khá vững phương pháp làm và trình bày bài giúp
các em tự tin hơn trong học tập cũng như khi đi thi .
19


C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung các bài giảng liên quan đến đề tài và
có sự tham gia góp ý của đồng nghiệp, vận dụng đề tài vào giảng dạy đã thu được
một số kết quả nhất định sau :
1) Học sinh trung bình trở lên nắm vững được một số phương pháp và
biết vận dụng vào giải các bài tập cơ bản, bài tập vận dụng trong sách
giáo khoa...

2) Một số đề thi học sinh giỏi, học sinh lớp chọn có thể sử dụng phương
pháp trình bày trong đề tài để giải bài toán.
3) Là một phương pháp tham khảo cho học sinh và các thầy cô giáo
4) Qua nội dung đề tài, đồng nghiệp có thể xây dựng thêm các bài toán về
đường thẳng
Xây dựng phương pháp giảng dạy theo quan điểm đổi mới là việc mà toàn
xã hội và ngành đang quan tâm. Tuy nhiên khơng có phương pháp nào vạn năng
theo nghĩa có thể giải được mọi bài tốn. Vấn đề đặt ra là trong quá trình giảng
dạy chúng ta ln ln cố gắng tìm tịi suy nghĩ, cải tiến phương pháp giảng dạy
cho thích hợp để khơng ngừng nâng cao chất lượng giảng dạy.
Vì thời gian có hạn, với phạm vi một sáng kiến kinh nghiệm nên đề tài mà
tơi nghiên cứu có thể vẫn cịn hạn chế rất mong được độc giả góp ý kiến để đề tài
được hoàn thiện
Thường Xuân, ngày 20 tháng 5 năm
2013
XÁC NHẬN CỦA BGH

Người thực hiện
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
tôi tự làm, không sao chép nội dung của
người khác.

Vũ Thị Hoa
20