chinh phục bài tập tích phân

Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission

LƯỢNG GIÁC

Có thể nói rằng, Lượng Giác là một thành phần xuất hiện khá sớm trong lịch sử Toán Học. Nó xuất
hiện nhằm đáp ứng các nhu cầu về đo đạc diện tích cũng như tính toán thiên văn… Làm việc với Lượng Giác,
chúng ta sẽ làm việc với góc và tính chất của góc. Sự biến đổi qua lại theo tính chất giữa các góc sẽ tạo thành
một hệ linh hoạt thống nhất.
Trong phần Lượng Giác này, chúng tôi sẽ lần lượt trình bày theo các phần:
CHƯƠNG I: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG.
Bài 1: Góc Lượng Giác – Cung Lượng Giác
Bài 2: Giá trị Lượng Giác của một cung.
Bài 3: Công thức Lượng Giác.
Bài 4: Hệ thức lượng trong Tam Giác.
CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
Bài 1: Hàm số lượng giác.
Bài 2: Phương trình Lượng Giác cơ bản.
Bài 3: Các phương pháp giải phương trình lượng giác.
Bài 4: Phương trình Lượng Giác có điều kiện.
ĐỌC THÊM: TẢN MẠN VỀ LƯỢNG GIÁC.

LOVEBOOK.VN | 13


Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission

Chương I: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

Trong chương này, kiến thức được trình bày chủ yếu nói về các tính chất biến đổi qua lại giữa các
góc nói chung và các góc trong tam giác nói riêng. Riêng về tam giác, ngoài sự biến hóa giữa các góc, chúng
ta còn làm việc với các yếu tố về cạnh cũng như diện tích và chu vi.
Chúng tôi đã trình bày bố cục chương này theo các phần:
Bài 1: Góc Lượng Giác – Cung Lượng Giác
Bài 2: Giá trị Lượng Giác của một cung.
Bài 3: Công thức Lượng Giác.
Bài 4: Hệ thức lượng trong Tam Giác.
Trong mỗi bài, các kiểu bài tập sẽ được đưa ra dần dần theo mức độ như Tính toán thông thường,
chứng minh, rút gọn, các kiểu bài tập nâng cao. Nắm tốt phần này, chúng ta có thể hiểu được thế nào là
LƯỢNG GIÁC.
Trước khi vào các phần cụ thể, chúng ta hãy cùng đọc câu chuyện dưới đây và suy ngẫm nhé…

HAI ANH EM

Có hai anh em nhà nọ cùng làm việc trên một nông trại của gia đình. Người anh đã lập gia đình,
còn người em vẫn còn độc thân. Mỗi khi kết thúc một ngày làm việc mệt nhọc, hai anh em lại chia đều
những gì mình đã làm được trong ngày, cả phần lúa gạo cũng như lợi nhuận.
Một ngày nọ, người em bỗng nghĩ thầm trong bụng: “Thật không công bằng khi chia đôi mọi
thứ với anh. Mình chỉ có một thân một mình, có cần gì nhiều đâu cơ chứ!”. Nghĩ thế, nên từ đó trở đi,
cứ mỗi tối, anh lại lấy bớt phần thóc của mình, băng qua cánh đồng nhỏ giữa hai nhà và đổ vào kho
thóc của người anh.
Trong khi ấy, người anh cũng thầm nghĩ trong lòng: “Thật không công bằng khi mình chia đều
mọi thứ với em. Mình đã có vợ, có con, không còn phải lo lắng điều gì nữa, còn em mình chỉ có một
mình, đâu có ai để lo cho tương lai”. Và thế là người anh, vào mỗi tối, cũng lấy bớt phần thóc của mình
và đổ vào kho của người em.
Cả hai anh em đều rất ngạc nhiên khi lượng thóc của mình vẫn không vơi đi chút nào so với
trước đó. Rồi một tối nọ, cả hai anh em va phải nhau trong lúc thực hiện kế hoạch của mình. Và họ đã
hiểu ra mọi chuyện. Bỏ rơi bao thóc trên tay, hai anh em xúc động ôm chầm lấy nhau…

Chính những điều chúng ta cho đi sẽ là những gì chúng ta nhận lại !

LOVEBOOK.VN | 14


Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission

I - GÓC LƯỢNG GIÁC – CUNG LƯỢNG GIÁC
1. Đơn vị đo góc lượng giác
1.1. Độ

10 =

1
góc bẹt; 10 = 60′ ; 1′ = 60"
180

1.2. Radian
Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung tròn 1 radian.
180
⇒ 1rad =
độ ≈ 570 17′45"
π
π
π
π
π
π

rad; 900 = rad; 600 = rad; 450 = rad; 300 = rad
10 =
180
2
3
4
6
1.3. Độ dài cung tròn
Độ dài cung tròn α (rad) trên đường tròn bán kính R là: l = R.α
2. Khái niệm Góc Lượng Giác
� , tia Oz di động quay quanh O. Khi Oz xuất phát từ Ox và dừng ở Oy thì Oz quét được một góc lượng
Cho xOy
giác (Ox; Oy)
Sđ(Ox; Oy) = α + k2π (k ∈ ℤ)
sđ(Ox; Oy) = a0 + k. 3600 (k ∈ ℤ)
⇒ a0 = α rad
3. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác
� vào đường tròn tâm O; khi đó giả sử Ox, Oy, Oz cắt đường tròn (O) tại lần lượt A, B và M.
Gắn xOy
Khi Oz quay quanh O từ Ox đến Oy để tạo nên góc gọi là góc lượng giác (Ox; Oy) thì điểm M di chuyển trên


đường tròn (O) từ A đến B để tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu A và điểm cuối B, ký hiệu AB
 = sđ(Ox; Oy) = � α + k2π (k ∈ ℤ)
sđ AB
a0 + k. 3600 (k ∈ ℤ)
α là góc đại diện. Để xác định một góc, cung lượng giác trên đường tròn lượng giác, ta cần xác định góc α.
4. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác.
Đường tròn lượng giác là đường tròn có bán kính bằng 1, có chỉ ra 1 điểm đầu cho mọi cung lượng giác và
1 chiều đi gọi là chiều dương.

BT1 : Cho M là điểm cuối của cung định hướng AM. Xác định số đo cung định hướng AM

 (lớn hoặc nhỏ)
B1: Tìm số đọ cung AM

 để suy ra giá trị lượng giác để suy ra giá trị lượng giác α
B2: Kết hợp chiều đi từ A đến M và số đo cung AB
B3 : Số đo cung định hướng AM bằng α + k2π
BT2 : Cho cung lượng giác định hướng AM có số đo α + k

B1: Từ k

2π
cho trước; tìm M là điểm cuối.
n

2π
: Đường tròn bị chia thành n điểm. Có nghĩa là sẽ có N điểm cuối M cách đều nhau trên đường
n

tròn. Nên n điểm đó sẽ tạo thành một n giác đều.
B2: Để xác định, ta chỉ cần thay n giá trị k vào biểu thức để tìm ra n điểm cuối.
• Chú ý: 2 cung có số đo là α và α + k2π thì có cùng điểm đầu và điểm cuối.

LOVEBOOK.VN | 15


Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission

II - GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

1. Định nghĩa giá trị lượng giác của cung α
Định nghĩa: Cho α ∈ ℝ. Khi đó ∃ duy nhất một điểm M thuộc
đường tròn lượng giác sao cho số đo cung định hướng AM bằng
α. Trên mặt phẳng Oxy, điểm M có tọa độ M(xm ; ym ) với:
ym = sin α ; xm = cos α
sin α
M≠B
Nếu xm ≠ 0 ⇔ �
gọi là tan α
thì
M ≠ B′
cos α
sin α
π
�α ≠ + k2π, k ∈ ℤ�
⇒ tan α =
cos α
2
cos α
M≠A
Nếu ym ≠ 0 ⇔ �
gọi là cot α
′ thì
M≠A
sin α
cos α
(α ≠ kπ, k ∈ ℤ)

⇒ cot α =
sin α
Hệ quả:
−1 ≤ xm ; ym ≤ 1 ⇒ −1 ≤ sin α ; cos α ≤ 1
sin α = sin(α + k2π) ; cos α = cos(α + k2π)

2. Giá trị lượng giác của một số cung – góc đặc biệt
Các em tham khảo sách giáo khoa.
BÀI TẬP:
Bài 1: Cho sin α + cos α = m. Tính:
A = sin α . cos α
B = sin3 α + cos 3 α

Ta có: sin α + cos α = m

Lời giải:

m2 − 1
2
B = sin3 α + cos 3 α = (sin α + cos α)3 − 3 sin α . cos α (sin α + cos α)
m2 − 1
3m − m3
3
.m =
= m − 3.
2
2
⇒ sin2 α + cos 2 α + 2 sin α . cos α = m2 ⇒ A =

Bài 2: Cho sin α . cos α = m. Tính:

C = sin α + cos α
D = sin4 α + cos 4 α

Lời giải:
Ta có C = (sin α + cos α) = sin α + cos α + 2 sin α . cos α = 1 + 2m
1
⇒ C = ±√1 + 2m �m ≥ − �
2
4
4
Có D = sin α + cos α = (sin2 α + cos 2 α)2 − 2 sin2 α . cos 2 α = 1 − 2m2
2

2

2

Bài 3: Cho tan α + cot α = m. Tính:
E = tan2 α + cot 2 α
F = tan3 α + cot 3 α

LOVEBOOK.VN | 16

2


Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission
Lời giải:

π
Ta có E = (tan α + cot α)2 − 2 tan α . cot α = m2 − 2 �α ≠ k ; k ∈ ℤ�
2

π
F = (tan α + cot α)3 − 3 tan α . cot α (tan α + cot α) = m3 − 3m �α ≠ k ; k ∈ ℤ�
2
Bài 4: Cho tan α = 2. Tính:
cos 3 α + cos α . sin2 α − sin α
M=
cos 3 α − sin3 α

Lời giải:
sin α
π
Ta có tan α = 2 ⇒
= 2 ⇒ sin α = 2 cos α �α ≠ + kπ; k ∈ ℤ�
cos α
2
Khi đó ta có:
cos 3 α + cos α . sin2 α − sin α cos 3 α + cos α . 4 cos 2 α − 2 cos α
M=
=
cos 3 α − sin3 α
cos 3 α − 8 cos 3 α
3
3
2
2

cos α + 4 cos α − 2 cos α (sin α + cos α) cos 3 α + 4 cos 3 α − 2 cos α . 5 cos 2 α
=
=
−7 cos 3 α
−7 cos 3 α
3
5
5 cos α
=−
=−
3
7
−7 cos α
Bình luận: Nhận thấy với những biểu thức mà có độ lệch bậc giữa các hạng tử với nhau là bội số của
2, chúng ta có thể nhân thêm một lượng lũy thừa của (sin2 α + cos 2 α) để thực hiện cân bằng bậc.
Ngoài cách biến đổi về một ẩn sin hoặc cos như trên, vì biểu thức M đã cho là dưới dạng đẳng cấp, nên ta
còn có thể đưa về một ẩn là tan hoặc cot như sau:
sin α
sin2 α
1+
1 + tan2 α − sin α (sin2 α + cos 2 α)
5
2 α − cos 3 α
cos
=
=⋯=
M=
3
3
sin α

1 − tan α
7
1−
cos 3 α
Bài 5: Cho 2 cos 4 α + sin4 α = 1. Tính P = 6 sin6 α − 8 cos 8 α
Ta có:

Lời giải:

sin4 α
1
π
�α ≠ + kπ�
+2=
4
4
cos α
2
cos α
⇔ tan4 α + 2 = (1 + tan2 α)2
⇔ tan4 α + 2 = tan4 α + 2 tan2 α + 1
1
⇔ tan2 α =
2
Ta có:
P = 5 sin6 α − 8 cos 8 α = 5 sin6 α (sin2 α + cos 2 α) − 8 cos 8 α
sin8 α
sin6 α
1
8

(5 tan8 α + 5 tan6 α − 8)
+
5
−
8�
=
= cos α �5
(tan2 α + 1)4
cos 8 α
cos 6 α
5
24 −113
113
1
5
�
+
−
8�
=
. 4 =−
=
4 24
3
4
2
2
81
3
1

�1 + �
2
2 sin4 α + cos 4 α = 1 ⇔

LOVEBOOK.VN | 17


Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác
Bài 6: Chứng minh:

a) sin2 α + tan2 α =

Your dreams – Our mission

1
− cos 2 α
cos 2 α

cos 2 α − sin2 α
= sin2 α . cos 2 α
cot 2 α − tan2 α
1
(1 + cot 2 α) � 2 − 1�
cos
α
c)
=1
1 + tan2 α
cos 2 α
sin2 α

−
= sin α . cos α
d) 1 −
1 + cot 2 α 1 + tan2 α
1
1
+ tan α� �1 −
+ tan α� = 2 tan α
e) �1 +
cos α
cos α
1 − cos α
1 + cos α
1
� �1 +
�=
f) �1 +
1 + cos α
1 − cos α
sin2 α
b)

a) Ta có:

Lời giải:

VT = sin2 α + tan2 α = (sin2 α − 1) + (1 − tan2 α) = − cos 2 α +

1
= VP

cos 2 α

Vậy đẳng thức được chứng minh.
b) Ta có:
cos 2 α − sin2 α (cos 2 α − sin2 α)(cos 2 α + sin2 α)
VT =
=
cos 2 α sin2 α
cot 2 α − tan2 α
−
sin2 α cos 2 α
cos 4 α − sin4 α
= sin2 α . cos 2 α = VP
=
cos 4 α − sin4 α
sin2 α . cos 2 α
Vậy đẳng thức được chứng minh.
c) Ta có:
1
(1 + cot 2 α) � 2 − 1� tan2 α (1 + cot 2 α)
cos
α
VT =
=
1 + tan2 α
1 + tan2 α
2
2
2
2

tan α + tan α . cot α tan α + 1
=
=
= 1 = VP
tan2 α + 1
tan2 α + 1
Vậy đẳng thức được chứng minh.
d) Ta có:
sin2 α
cos 2 α
sin3 α
cos 3 α
VT = 1 −
−
=
1
−
−
cos α
sin α
sin α + cos α sin α + cos α
1+
sin α 1 + cos α
sin3 α + cos 3 α
=1−
= 1 − (sin2 α + sin α . cos α + cos 2 α) = sin α + cos α = VP
sin α + cos α
Vậy đẳng thức được chứng minh.
e) Ta có:
1

1
1
VT = �1 +
+ tan α� �1 −
+ tan α� = (1 + tan α)2 −
cos α
cos α
cos 2 α
2
2
= tan α + 2 tan α + 1 − (1 + tan α) = 2 tan α = VP
Vậy đẳng thức được chứng minh.
f) Ta có:
1 + cos α
1 + cos α 1 − cos α
1 − cos α
� �1 +
�=1+
VT = �1 +
+
+1
1 − cos α
1 − cos α 1 + cos α
1 + cos α
(cos α + 1)2 + (cos α − 1)2
2 cos 2 α + 2
4
=
2
+

=
= VP
=2+
2
2
sin2 α
1 − cos α
sin α
Vậy đẳng thức được chứng minh.
LOVEBOOK.VN | 18


Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission

Bài 7: Chứng minh các biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào α:
A = 3(sin8 α − cos 8 α) + 4(cos 6 α − 2 sin6 α) + 6 sin4 α
B = (1 + cot α). sin3 α + (1 + tan3 α). cos 3 α − sin α − cos α
Lời giải:

A = 3(sin8 α − cos 8 α) + 4(cos 6 α − 2 sin6 α) + 6 sin4 α
= 3(sin4 α + cos 4 α)(sin4 α − cos 4 α) + 4 cos 6 α − 8 sin6 α + 6 sin4 α (sin2 α + cos 2 α)
= 3(sin4 α + cos 4 α)(sin2 α − cos 2 α) + 4 cos 6 α − 8 sin6 α + 6 sin4 α (sin2 α + cos 2 α)
= 3 sin6 α − 3 cos 6 α − 3 sin4 α . cos 2 α + 3 sin2 α . cos 4 α + 4 cos 6 α + 6 sin6 α + 6 sin4 α . cos 2 α
= sin6 α + cos 6 α + 3 sin4 α . cos 2 α + 3 sin2 α . cos 4 α
= (sin2 α + cos 2 α)3 = 1
Do đó giá trị của A không phụ thuộc vào α.
B = (1 + cot α). sin3 α + (1 + tan3 α). cos 3 α − sin α − cos α
cos α

sin α
� . sin3 α + �1 +
� . cos 3 α − sin α − cos α
= �1 +
sin α
cos α
= sin3 α + cos 3 α + sin2 α . cos α + sin α . cos 2 α − sin α − cos α
= sin α (sin2 α + cos 2 α) + cos α (cos 2 α + sin2 α) − sin α − cos α
= sin α + cos α − sin α − cos α = 0
Do đó giá trị của A không phụ thuộc vào α.
Bài 8: Rút gọn:
sin2 α + sin2 α . tan2 α
A=
cos 2 α + cos 2 α . cot 2 α

4 tan2 α
B = 1 − cos α + 3 sin α −
tan2 α + 1
2
2
cos α − cot α + 1
C=
sin2 α + tan2 α − 1
2

2

Lời giải:

sin2 α (1 + tan2 α) sin2 α sin2 α

sin2 α + sin2 α . tan2 α
=
=
.
= tan4 α
cos 2 α + cos 2 α . cot 2 α cos 2 α (1 + cot 2 α) cos 2 α cos 2 α
4 tan2 α
B = 1 − cos 2 α + 3 sin2 α −
tan2 α + 1
2
2
2
= sin α + cos α − cos α + 3 sin2 α − 4 tan2 α . cos 2 α
= 4 sin2 α − 4 sin2 α = 0
cos 2 α
2
cos 2 α − cot 2 α + 1 cos α − sin2 α + 1
=
C=
sin2 α
sin2 α + tan2 α − 1
−1
sin2 α +
cos 2 α
2
2
2
2
sin α . cos α + sin α − cos α
cos 2 α

sin2 α
=
=
= cot 2 α
sin2 α . cos 2 α + sin2 α − cos 2 α
sin2 α
cos 2 α
A=

LOVEBOOK.VN | 19


Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission

Bài 9: Cho ∆ABC. Chứng minh các hệ thức:
B+C
A
1) sin
= cos
2
2
B+C
A
2) tan
= cot
2
2
3) sin(A + B) = sin C ; cos(A + B) = − cos C

A + B + 3C
= cos C
4) sin
2
A + B − 2C
3
5) tan
= cot C
2
2
1) Theo đề bài, ta có:

A+B+C=π⇒B+C=π−A⇒

B+C π A
= −
2
2 2

Lời giải:

A
B+C
π A
= sin � − � = cos
2
2
2 2
2) Theo 1, ta có:
A

B+C
B+C π A
π A
= − ⇒ tan
= tan � − � = cot
2
2 2
2
2
2 2
3) Ta có:
A+B+C=π⇒A+B=π−C
⇒ sin(A + B) = sin(π − C) = sin C ; cos(A + B) = cos(π − C) = − cos C
4) Ta có:
A + B + 3C
π + 2C
π
sin
= sin
= sin � + C� = cos(−C) = cos C
2
2
2
5) Ta có:
A + B − 2C
π − 3C
3
π 3
tan
= tan

= tan � − C� = cot C
2
2
2
2 2

⇒ sin

Trước khi sang phần tiếp theo, các em dành chút thời gian suy ngẫm câu chuyện sau nhé…

CÁT VÀ ĐÁ

Có hai người bạn đang dạo bước trên sa mạc. Trong chuyến đi dài, hai người nói chuyện với
nhau và đã có một cuộc tranh cãi gay gắt.
Không giữ được bình tĩnh, một người đã tát người bạn của mình. Người kia rất đau nhưng không
nói gì. Anh chỉ lặng lẽ viết lên cát rằng: "Hôm nay, bạn tốt nhất của tôi đã tát vào mặt tôi."
Họ tiếp tục bước đi cho tới khi nhìn thấy một ốc đảo, nơi họ quyết định sẽ dừng chân và tắm
mát.
Người bạn vừa bị tát do sơ ý bị trượt chân xuống một bãi lầy và ngày càng lún sâu xuống. Nhưng
người bạn kia đã kịp thời cứu anh.
Ngay sau khi hồi phục, người bạn suýt chết đuối khắc lên tảng đá dòng chữ: "Hôm nay, bạn tốt
nhất của tôi đã cứu sống tôi."
Người bạn kia hết sức ngạc nhiên bèn hỏi: "Tại sao khi tớ làm cậu đau, cậu lại viết lên cát còn
bây giờ lại là một tảng đá?"
Và câu trả lời anh nhận được là: "Khi ai đó làm chúng ta đau đớn, chúng ta nên viết điều đó lên
cát nơi những cơn gió của sự thứ tha sẽ xóa tan những nỗi trách hờn.”
Nhưng "Khi chúng ta nhận được điều tốt đẹp từ người khác, chúng ta phải ghi khắc chuyện ấy
lên đá nơi không cơn gió nào có thể cuốn bay đi."
Hãy học cách viết những nỗi đau lên cát và khắc tạc những niềm vui và hạnh phúc bạn tận
hưởng trong cuộc đời lên tảng đá để mãi không phai.

LOVEBOOK.VN | 20


Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission

III - CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Công thức cộng
Cho a, b ∈ ℝ, ta có các công thức sau:

cos(a + b) = cos a . cos b − sin a . sin b
cos(a − b) = cos a . cos b + sin a . sin b
sin(a + b) = sin a . cos b + cos a . sin b
sin(a − b) = sin a . cos b − cos a . sin b
tan a + tan b
(5)
tan(a + b) =
1 − tan a . tan b
tan a − tan b
tan(a − b) =
(6)
1 + tan a . tan b

(1)
(2)
(3)
(4)

Các công thức (5) và (6) cần đi kèm điều kiện xác định tương ứng vần thiết cho tan và cot cũng như các
mẫu số trong công thức.
Bài 1: Tính:

9
cos α = −
π
41
A = tan �α − � biết �
3
4
π<α< π
2
1
√3
B=
−
sin 100 cos 100
5π
7π
π
sin ; tan ; cos
12
12
12

Ta có:

cos α = −

Lời giải:

1
1681
1681
40
9
⇒
=
⇒ tan α = ±�
−1=±
2
81
81
9
41 cos α

3
40
π ⇒ tan α =
2
9
π
tan α − tan
π
4 = 31
⇒ A = tan �α − � =
π 49
4
1 + tan α . tan

4
Ta có:
1
√3
cos 100 −
sin 100
sin 300 . cos 100 − cos 300 . sin 100
cos 100 − √3 sin 100
2
2
=
2
=
2
B=
sin 100 . cos 100
sin 100 . cos 100
sin 100 . cos 100
0
0
0)
0
0)
2 sin 20
2 sin(10 + 10
4(sin 10 . cos 10
=
=
=
=4

0
0
0
0
sin 10 . cos 10
sin 100 . cos 100
sin 10 . cos 10
Ta có:
π
π
π
π √2 + √6
5π
π π
= sin � + � = sin . cos + cos . sin =
sin
6
4
6
4
12
4
6 4
π
π
tan + tan
7π
π π
3
4 = 1 + √3

tan
= tan � + � =
π
π 1−
12
3 4
√3
1 − tan . tan
3
4
π
π
π
π √2 + √6
π
π π
= cos � − � = cos . cos + sin . sin =
cos
3
4
3
4
12
4
3 4
Mà π < α <

LOVEBOOK.VN | 21

Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission

Bình luận: Mục đích của các bài tập tính toán này là đưa góc lượng giác về biểu diễn theo các góc đặc
biệt trên đường tròn lượng giác. Ngoài ra cần vận dụng các công thức lượng giác đã có sẵn để biến đổi linh
hoạt giữa các biểu thức lượng giác.
Bài 2:

π
�0 < a < �
4
√5
. Tính a + b
a) Cho
1
π
⎨sin b =
�0 < b < �
2
⎩
√10
⎧ sin a =

b) Cho �

1

tan(a + b) = 5
. Tính tan 2a ; tan 2b

tan(a − b) = 3

Lời giải:

a) Ta có:
1
2
sin a =
⇒ cos a = ±√1 − sin a = ±
√5
√5
π
2
Do 0 < a < ⇒ cos a =
4
√5
3
1
⇒ cos b = ±√1 − sin b = ±
sin b =
√10
√10
π
3
Do 0 < b < ⇒ cos b =
2
√10
1
π
⇒ cos(a + b) = cos a . cos b − sin a . sin b =

⇒ a + b = (vì 0 < a + b < π)
4
√2
b) Ta có:
tan(a + b) + tan(a − b)
4
tan 2a = tan[(a + b) + (a − b)] =
=−
1 − tan(a + b) . tan(a − b)
7
tan(a + b) − tan(a − b)
1
tan 2b = tan[(a + b) − (a − b)] =
=
1 + tan(a + b) . tan(a − b) 8
2. Công thức bội
2.1. Công thức nhân đôi
Trong các công thức (1), (3), (5) của phần I, nếu cho a = b thì ta sẽ thu được:
cos 2a = cos 2 a − sin2 a (7) = 2 cos 2 a − 1 (7a) = 1 − 2 sin2 a (7b)
sin 2a = 2 sin a . cos a (8)
2 tan a
(9)
tan 2a =
1 − tan2 a
1. Công thức hạ bậc:
Từ các công thức (7a), (7b); ta có:

2. Công thức nhân ba:

LOVEBOOK.VN | 22

1 + cos 2a
2
1 − cos 2a
2
sin a =
2

cos 2 a =

cos 3a = 4 cos 3 a − 3 cos a (10)
sin 3a = 3 sin a − 4 sin3 a (11)


Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission

Ví dụ:

Chứng minh các đẳng thức:
1 − 2 sin2 a
a)
=1
π
π
2 cot � + a� . cos 2 � − a�
4
4
1 + cos a + cos 2a + cos 3a

b)
= 2 cos a
2 cos 2 a + cos a − 1
cos 3 a − cos 3a sin3 a + sin 3a
+
=3
c)
cos a
sin a
sin4 a + 2 sin a . cos a − cos 4 a
d)
= cos 2a
tan 2a − 1

Lời giải:
a) Ta có:
π
π
π
π
π
2 cot � + a� . cos 2 � − a� = 2 tan � − � + a�� . cos 2 � − a�
4
4
4
2
4
π
π
π

π
π
2
= 2 tan � − a� . cos � − a� = 2 sin � − a� . cos � − a� = sin � − 2a� = cos 2a
4
4
4
2
4
1 − 2 sin2 a
= 1 = VP
⇒ VT =
cos 2a
Vậy đẳng thức được chứng minh.
b) Ta có:
1 + cos a + cos 2a + cos 3a
VT =
2 cos 2 a + cos a − 1
1 + cos a + 2 cos 2 a − 1 + 4 cos 3 a − 3 cos a 4 cos 3 a + 2 cos 2 a − 2 cos a
=
=
(cos a + 1)(2 cos a − 1)
2 cos 2 a + cos a − 1
2 cos a (2 cos a − 1)(cos a + 1)
=
= 2 cos a = VP
(cos a + 1)(2 cos a − 1)
Vậy đẳng thức được chứng minh.
c) Ta có:
cos 3 a − cos 3a sin3 a + sin 3a

VT =
+
cos a
sin a
cos 3 a − 4 cos 3 a + 3 cos a sin3 a + 3 sin a − 4 sin3 a
=
+
cos a
sin a
3 cos a − 3 cos 3 a 3 sin a − 3 sin3 a
=
+
cos a
sin a
= 3 − 3 cos 2 a + 3 − 3 sin2 a = 6 − 3(sin2 a + cos 2 a) = 3 = VP
Vậy đẳng thức được chứng minh.
d) Ta có:
sin4 a + 2 sin a . cos a − cos 4 a (sin4 a − cos 4 a) + sin 2a
VT =
=
tan 2a − 1
tan 2a − 1
2
2
2
2
(cos
sin 2a −
a − sin a)(cos a + sin a) sin 2a − cos 2a
=

= cos 2a = VP
=
sin 2a
sin 2a − cos 2a
−1
cos 2a
cos 2a
Vậy đẳng thức được chứng minh.
3. Công thức biến đổi giữa tổng và tích
3.1. Công thức biến đổi tích thành tổng
Từ các công thức (1), (2), (3), (4), ta có:

LOVEBOOK.VN | 23


Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission

1
[cos(a + b) + cos(a − b)] (12)
2
1
sin a . sin b = − [cos(a + b) − cos(a − b)] (13)
2
1
sin a . cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)] (14)
2
cos a . cos b =

3.2. Công thức biến đổi tổng thành tích

m+n
a=
a+b=m
2
Từ các công thức cộng, bằng cách đặt �
⇒�
m−n
a−b=n
b=
2
Ta rút ra các công thức sau:
m+n
m−n
(15)
cos m + cos n = 2 cos
. cos
2
2
m+n
m−n
(16)
cos m − cos n = −2 sin
. sin
2
2
m+n
m−n
(17)

sin m + sin n = 2 sin
. cos
2
2
m−n
m+n
(18)
. sin
sin m − sin n = −2 cos
2
2
sin(m + n)
(19)
tan m + tan n =
cos m . cos n
sin(m − n)
(20)
tan m − tan n =
cos m . cos n
BAI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1 : Rút gọn:
sin a + sin 3a + sin 5a
A=
cos a + cos 3a + cos 5a
B = (1 + 2 cos 2a + 2 cos 4a + 2 cos 6a). sin a
2(sin 2a + 2 cos 2 a − 1)
C=
cos a − sin a − cos 3a + sin 3a
sin2 (a + b) − sin2 a − sin2 b

D=
sin2 (a + b) − cos 2 a − cos 2 b

Lời giải:

Ta có:
sin a + sin 3a + sin 5a
sin 3a + 2 sin 3a . cos 2a
A=
=
cos a + cos 3a + cos 5a cos 3a + 2 cos 3a . cos 2a
sin 3a 1 + 2 cos 2a
=
.
= tan 3a
cos 3a 1 + 2 cos 2a
B = (1 + 2 cos 2a + 2 cos 4a + 2 cos 6a). sin a
= sin a + 2 sin a . cos 2a + 2 sin a . cos 4a + 2 sin a . cos 6a
= sin a + (sin 3a − sin a) + (sin 5a − sin 3a) + (sin 7a − sin 5a) = sin 7a
2(sin 2a + cos 2a)
2(sin 2a + 2 cos2 a − 1)
=
C=
cos a − sin a − cos 3a + sin 3a (cos a − cos 3a) + (sin 3a − sin a)
2(sin 2a + cos 2a)
1
2(sin 2a + cos 2a)
=
=
=

2 sin 2a . sin a + 2 cos 2a . sin a 2 sin a (sin 2a + cos 2a) sin a
sin2 (a + b) − sin2 a − sin2 b
D=
sin2 (a + b) − cos 2 a − cos 2 b
(sin2 a . cos 2 b − sin2 a) + (cos 2 a . sin2 b − sin2 b)
=
(sin2 a . cos 2 b − cos 2 b) + (cos 2 a . sin2 b − cos 2 a)
LOVEBOOK.VN | 24


Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission

sin2 a (cos 2 b − 1) + sin2 b (cos 2 a − 1)
cos 2 b (sin2 a − 1) + cos 2 a (sin2 b − 1)
− sin2 a . sin2 b − sin2 b . sin2 a
= tan2 a . tan2 b
=
− cos 2 b . cos 2 a − cos 2 a . cos 2 b
Bình luận: Với những bài toán rút gọn, chứng minh Lượng Giác nói chung, ta cần để ý diễn biến góc
để đưa về các góc lượng giác giống nhau. Đặc biệt với dạng toán của phần B, khi gặp tổng của các biểu thức
có góc lượng giác biến đổi quy luật, ta thường sẽ giải quyết bằng việc nhân thêm một lượng tương ứng vào
để có thể áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng nhằm tạo ra các biểu thức có khả năng khử nhau.
=

Bài 2:

π
2 . Tính a

a) Cho �
tan a = 2 − √3
π
02
b) Cho �
. Tính a
√6 + √2
cos a =
4
0
Lời giải:

Ta có:

2 tan a
4 − 2√3
1
π
π
π
�vì 0 < a < �
=
=
⇒ 2a = ⇒ a =
2
1 − tan a 4√3 − 6 √3
6
12

2
a) Ta có :

tan 2a =

2

�√6 + √2�
π
π
π
√3
�0 < a < �
cos 2a = 2 cos a − 1 = 2
−1=
⇒ 2a = ⇒ a =
6
12
2
16
2
2

Bài 3: Tính
2π
4π
6π
A = cos
+ cos
+ cos

7
7
7
1
0
B=
− 2 sin 70
2 sin 100
C = cos 270 − cos 630
D = tan 90 − tan 270 − tan 630 + tan 810

Lời giải:
2π
4π
6π
A = cos
+ cos
+ cos
7
7
7
2π
2π
2π
2π
4π
2π
6π
⇔ A. sin
= sin . cos

+ sin . cos
+ sin . cos
7
7
7
7
7
7
7
4π
6π
1
8π
2π 1
1
2π
4π
⇔ A. sin
= �sin
+ sin 0� + �sin
− sin � + �sin
− sin �
7
7
2
7
7
2
2
7

7
2π 1
6π
1
8π
2π
⇔ A. sin
= �sin
+ sin � − sin
7
7
2
2
7
7
π 1
2π
1
2π
= − sin π . cos − sin
⇔A=−
⇔ A. sin
7 2
7
2
7
0
0
1
−

4
sin
10
1
.
sin
70
− 2 sin 700 =
B=
2 sin 100
2 sin 100
0
0)
1 + 2(cos 80 − cos 60
cos 800
=
=
=1
2 sin 100
cos 800
C = cos 270 − cos 630 = 2 sin 900 . sin 360 = 2 sin 360
Ta có: sin 180 = cos 720 = 2 cos 2 36 − 1 = 2(1 − 2 sin2 180 )2 − 1
⇔ sin 180 = 8 sin4 180 − 8 sin2 180 + 1
⇔ 8 sin4 180 − 8 sin2 180 − sin 180 + 1 = 0

LOVEBOOK.VN | 25


Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission

sin 180 = 1 (loại)
⎡
1
⎢
sin 180 = − (loại)
2
⎢
�10 + 2√5
−1 + √5
0
0
2 180 =
�
⇒
sin
18
−1
+
⇔⎢
=
⇒
cos
18
=
1
−
sin
√5

4
4
(thỏa mãn)
⎢sin 180 =
4
⎢
−1 − √5
⎢
0
(loại)
⎣ sin 18 =
4
�10 − 2√5
⇒ C = 2 sin 360 = 4 sin 180 . cos 180 =
2
D = tan 90 − tan 270 − tan 630 + tan 810
= (tan 90 + tan 810 ) − (tan 270 + tan 630 )
sin 900
1
1
sin 900
−
=
−
=
0
0
0
0
0

0
0
cos 9 . cos 81
cos 27 . cos 630
cos 9 . cos 81
cos 27 . cos 63
2
2
2
2
=
−
=
−
0
0
0
0
2
0
cos 90 + cos 72
cos 90 + cos 36
2 cos 36 − 1 cos 360
Mà theo C, ta có:
−1 + √5
1 + √5
⇒ cos 360 = 1 − 2 sin2 180 =
4
4
⇒ D = 3 − √5

Bình luận:
sin 180 =

- Việc nhân thêm một lượng sin

2π
vào cả hai vế của A là một điều tất yếu như đã nói ở Bài 1.
7

- Động tác biến đổi sin180 = cos 720 là một kỹ thuật cần thiết nếu trong bài tập yêu cầu tính toán với các
góc có số đo không đặc biệt trên đường tròn lượng giác. Các bạn có thể tham khảo thêm tại phần Tản mạn
xung quanh Lượng Giác.
Bài 4: Cho phương trình ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm x1 = tan u và x2 = tan v. Tính giá trị biểu thức sau
đây theo a, b và c:
P = a. sin2 (u + v) + b. sin(u + v) . cos(u + v) + c. cos 2 (u + v)
•
•

Lời giải:

Nếu cos(u + v) = 0 ⇒ P = a
Nếu cos(u + v) ≠ 0, ta có:
P = cos 2 (u + v) [a. tan2 (u + v) + b. tan(u + v) + c]
a. tan2 (u + v) + b. tan(u + v) + c
=
1 + tan2 (u + v)
Mà ta có:
b
−
tan u + tan v

x1 + x2
a = b
tan(u + v) =
=
=
1 − tan u . tan v 1 − x1 x2 1 − c c − a
a
2
2
b
b
� +
a. �
+c
c
−
a
c
−a
⇒P=
=a
b 2
�
1+�
c−a

LOVEBOOK.VN | 26


Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission

Bài 5: Tìm một phương trình bậc ba có đúng 3 nghiệm sau:
π
3π
5π
x1 = cos ; x2 = cos ; x3 = cos
7
7
7
Từ đó tính tổng:
1
1
1
S=
+
π+
3π
5π
cos
cos
7 cos 7
7
Lời giải:

Một phương trình bậc 3 có dạng x 3 + ax 2 + bx + c = 0 có đúng 3 nghiệm x1 , x2 , x3 như đề bài cho thì chúng
phải thỏa mãn định lý Viete cho phương trình bậc 3:
x1 + x2 + x3 = −a
�x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = b

x1 x2 x3 = −c
Ta có:
π
3π
5π
+ cos
x1 + x2 + x3 = cos + cos
7
7
7
π
π
π
3π
π
5π
2 sin . cos + 2 sin . cos
+ 2 sin . cos
7
7
7
7
7
7
=
π
2 sin
7
4π
2π

6π
4π
6π
2π
+ sin s − sin
+ sin
− sin
sin
sin
7
7
7
7 =
7 =1
7
=
π
π 2
2 sin
2 sin
7
7
π
3π
3π
5π
5π
π
+ cos . cos
+ cos . cos

x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = cos . cos
7
7
7
7
7
7
4π
2π
8π
2π
6π
4π
1
+ cos
+ cos
+ cos
+ cos
+ cos �
= �cos
7
7
7
7
7
7
2
2π
2π
2π

4π
2π
6π
2 sin . cos
+ 2 sin . cos
+ sin . cos
1
2π
4π
6π
7
7
7
7
7
7
= �2 cos
+ 2 cos
+ cos � =
2π
2
7
7
7
2 sin
7
4π
6π
2π
8π

4π
2π
sin
+ sin
− sin
+ sin
− sin
sin
7
7
7
7
7 =−
7 = −1
=
2π
2π
2
2 sin
2 sin
7
7
8π
π
3π
5π 1
π
2π
x1 x2 x3 = cos . cos . cos
= cos �cos

+ cos �
7
7
7
7
2
7
7
9π
1
π
1
3π
π
3π
5π
= �cos
+ cos π + cos
+ cos � = �cos + cos
+ cos
− 1�
7
4
7
4
7
7
7
7
1 1

1
= � − 1� = −
4 2
8
1
⎧a = −
2
⎪
1
Vậy ta thu được kết quả: b = −
2
⎨
1
⎪
⎩ c=8
1
1
1
Vậy phương trình bậc 3 cần tìm là: x 3 − x 2 − x + = 0
2
2
8

LOVEBOOK.VN | 27


Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission

Bài 6: Chứng minh:

a) 1 + 4 cos a + 6 cos 2a + 4 cos 3a + cos 4a = 16 cos 2a . cos 4

a
2

b) sin 9a + 3 sin 7a + 3 sin 5a + sin 3a = 8 sin 6a . cos 3 a
8√3
c) tan 300 + tan 400 + tan 500 + tan 600 =
cos 200
3
d) cos(a + b) . sin(a − b) + cos(b + c) . sin(b − c) + cos(c + a) . sin(c − a) = 0
4π
6π
8π
1
2π
+ cos
+ cos
+ cos
=−
e) cos
9
9
9
2
9
a
3a

cot 2 − cot 2
2
2 = 8 cos 2 a . cos a
f)
3a
2
1 + cot 2
2
1
7
35
cos 8x +
cos 4x +
g) sin8 x + cos 8 x =
64
16
64
tan α + cos α n (tann α + cos n α)
� =
h) �
1 + cot α . cos α
1 + cot n α . cos n α
Lời giải:

a) Ta có:
VT = 1 + 4 cos a + 6 cos 2a + 4 cos 3a + cos 4a
= 1 + 4(cos a + cos 3a) + 6 cos 2a + cos(2.2a)
= 1 + 8 cos 2a . cos a + 6 cos 2a + 2 cos 2 2a − 1
= 2 cos 2a (4 cos a + 3 + cos 2a) = 2 cos 2a (2 cos 2 a + 4 cos a + 2)
2

a
= 4 cos 2a (cos a + 1)2 = 4 cos 2a . �2 cos 2 − 1 + 1�
2
a
a
= 4 cos 2a . 4 cos 4 = 16 cos 2a . cos 4 = VP
2
2
Vậy đẳng thức được chứng minh.
b) Ta có:
VT = sin 9a + 3 sin 7a + 3 sin 5a + sin 3a
= (sin 9a + sin 3a) + 3(sin 7a + sin 5a)
= 2 sin 6a . cos 3a + 6 sin 6a . cos a
= 2 sin 6a (cos 3a + 3 cos a) = 2 sin 6a (4 cos 3 a − 3 cos a + 3 cos a) = 8 sin 6a . cos 3 a = VP
Vậy đẳng thức được chứng minh.
c) Ta có:
VT = tan 300 + tan 400 + tan 500 + tan 600
= (tan 300 + tan 600 ) + (tan 400 + tan 500 )
sin 900
4
2
4
2
1
=
+
=
+
= � + √3� +
0

0
0
0
cos 40 . cos 50
√3 cos 90 + cos 10
√3 cos 100
√3
8
16
8
(2 cos 2 100 − 1) =
VP =
cos 2 100 −
√3
√3
√3
2
8
16
4
2
0
�
�
�
−
cos
10
−
⇒ VT − VP = � +

√3
√3
√3 cos 100
2
16
2
16 cos 2 100 − 12
2
0
= 4√3 +
−
cos
10
=
−
cos 100 √3
cos 100
√3
2√3 − 4(4 cos 3 100 − 3 cos 100 ) 2√3 − 4 cos 300
=
=
=0
√3 cos 100
√3 cos 100
Vậy đẳng thức được chứng minh.
d) Ta có:
VT = cos(a + b) . sin(a − b) + cos(b + c) . sin(b − c) + cos(c + a) . sin(c − a)
LOVEBOOK.VN | 28

Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission

1
1
1
(sin 2a − sin 2b) + (sin 2b − sin 2c) + (sin 2c − sin 2a) = 0 = VP
2
2
2
Vậy dẳng thức được chứng minh.
e) Ta có:
2π
4π
6π
8π
VT = cos
+ cos
+ cos
+ cos
9
9
9
9
π
2π
π
4π
π

6π
π
8π
π
+ sin . cos
+ sin . cos
+ sin . cos
⇔ VT. sin = sin . cos
9
9
9
9
9
9
9
9
9
π 1
π
1
5π
1
7π
1
7π
π
π
5π
⇔ VT. sin = �sin − sin � + �sin
− sin � + �sin

− sin � + �sin π − sin �
9 2
3
2
9
2
9
2
9
9
3
9
π
1
π 1
⇔ VT. sin = �− sin � ⇔ VT = − = VP
9
2
9 2
Vậy đẳng thức được chứng minh.
f) Ta có:
a
3a
cot 2 − cot 2
2
2 = 8 cos 2 a . cos a = sin2 3a . �cot a − cot 3a� . �cot a + cot 3a�
VT =
3a
2
2

2
2
2
2
1 + cot 2
2
sin a
sin 2a
sin a . sin 2a
3a
= sin2 .
.
=
a
2 sin a . sin 3a sin a . sin 3a
sin2
2
2
2
2
2
a
a
a
a
2.2. sin . cos . cos a . 2 sin . cos
a
2
2
2

2
= 8 cos 2 . cos a = VP
=
a
2
sin2
2
Vậy đẳng thức được chứng minh.
g) Ta có:
VT = sin8 x + cos 8 x = (sin4 x + cos 4 x)2 − 2 sin4 x . cos 4 x = (1 − 2 sin2 x . cos 2 x)2 − 2 sin4 x . cos 4 x
2
1
= 1 − 4 sin2 x . cos 2 x + 2 sin4 x . cos 4 x = 1 − sin2 2x + 2 � sin2 2x�
4
1 − cos 4x 1 1 − cos 4x 2 1 + cos 4x 1 1 − 2 cos 4x + cos 2 4x
� =
+ .�
+ .�
�
=1−
8
2
8
4
2
2
1
7
35
1 + cos 4x 1 − 2 cos 4x 1 + cos 8x

+
+
=
cos 8x +
cos 4x +
= VP
=
32
64
64
16
64
2
Vậy đẳng thức được chứng minh
h) Ta có:
tan α + cos α n
tan α + cos α n
� = �tan α .
� = tann α
VT = �
tan α + cos α
1 + cot α . cos α
tann α + cos n α
tann α + cos n α
n
VP =
=
tan
α
.

= tann α
1 + cot n α . cos n α
tann α + cos n α
Nên ta thu được : VT = VP = tann α
Vậy đẳng thức được chứng minh.
=

Bài 7 : Chứng minh:
a) 5 + 3 cos 4x = 8(sin6 x + cos 6 x)
b) sin 2x . tan x = 1 − cos 2x
Từ đó suy ra giá trị:

A = tan2

π
3π
5π
+ tan2
+ tan2
12
12
12
Lời giải:

a) Ta có:
VP = 8(sin6 x + cos 6 x) = 8(sin2 x + cos 2 x)(sin4 x − sin2 x . cos 2 x + cos 4 x)
3
= 8[(sin2 x + cos 2 x)2 − 3 sin2 x . cos 2 x] = 8 �1 − sin2 2x�
4

LOVEBOOK.VN | 29


Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission

3
= 8 �1 − (1 − cos 4x)� = 5 + 3 cos 4x = VT
8
Vậy đẳng thức được chứng minh.
b) Ta có:
2 sin2 x
1 − cos 2x
=
= tan x ⇒ sin 2x . tan x = 1 − cos 2x
sin 2x
2 sin x cos x
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Áp dụng kết quả trên, ta có:
π
1 − cos
π
⎧
6
tan
=
π = 2 − √3
⎪
12

sin
6
⎪
π
⎪
1
−
cos
3π
2
2
2
tan
=
⇒ A = �2 − √3� + 1 + �2 + √3� = 15
π =1
12
sin
⎨
2
⎪
5π
5π 1 − cos 6
⎪
tan
=
= 2 + √3
⎪
5π
12

sin
⎩
6
Bài 8: Chứng minh:

Từ đó suy ra giá trị:

sin4 x =
S = sin4

3 1
1
− cos 2x + cos 4x
8 2
8

π
3π
5π
7π
+ sin4
+ sin4
+ sin4
16
16
16
16

Ta có:

Lời giải:

1 − cos 2x 2 1 + cos 2 2x − 2 cos 2x
� =
sin4 x = �
4
2
1 + cos 4x
1+
− 2 cos 2x 3 1
1
2
= − cos 2x + cos 4x
=
8 2
4
4
Áp dụng kết quả thu được, ta có :
3 1
π 1
π
π
= − cos + cos
⎧ sin4
8
2
8
4
4
16

⎪
3
1
3π
1
3π
3π
⎪sin4
= − cos
+ cos
8 4
4
16 8 2
3
1
5π
1
5π
5π
⎨sin4
= − cos
+ cos
⎪
8 4
4
16 8 2
7π 1
7π
⎪ 4 7π 3 1
⎩sin 16 = 8 − 2 cos 8 + 4 cos 4

Mà ta lại có:
3π
5π
π
7π
π
3π
5π
7π
cos
+ cos
= cos + cos
= cos + cos
= cos
+ cos
=0
8
8
8
8
4
4
4
4
3
⇒S=
2
Bài 9: Chứng minh các đẳng thức:
a) cot x − tan x = 2 cot 2x
b) sin(x + y) + sin(x − y) = 2 sin x . cos y

c) cos(x − y) − cos(x + y) = 2 sin x . sin y

a) Ta có:

LOVEBOOK.VN | 30

Lời giải:


Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission

CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Như các bạn cũng đã biết, trong đề thi Đại Học của nhiều năm về trước, cũng như đề thi THPT Quốc

Gia năm vừa rồi, Phương trình Lượng Giác là phần được khai thác khá nhiều trong mảng kiến thức Lượng

Giác. Do đó việc nắm bắt hiệu quả các kỹ năng cần thiết để giải phương trình Lượng Giác là điều bắt buộc

phải cần thiết, vì yêu cầu bài tập của phần này là không khó!

Trong chương này, chúng tôi trình bày hệ thống kiến thức theo các phần:
Bài 1: Hàm số lượng giác.

Bài 2: Phương trình Lượng Giác cơ bản.

Bài 3: Các phương pháp giải phương trình lượng giác.
Bài 4: Phương trình Lượng Giác có điều kiện.

Các bài tập trong chương này được trú trọng hơn vì đây là mảng thường xuyên được dùng để đưa

vào các đề thi. Trong mỗi bài tập quan trọng, đều có các lưu ý cũng như hướng dẫn cần thiết để giúp bạn

đọc có được sự liên hệ giữa các phần kiến thức lại.

LOVEBOOK.VN | 61


Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission

I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Hàm số tuần hoàn
Cho hàm số y = f(x) xác định trên D. Hàm số này gọi là tuần hoàn nếu ∃T > 0 sao cho ∀T ∈ D thì ta có:
x − T; x + T ∈ D
�
f(x + T) = f(x)
Với T là chu kỳ của hàm số tuần hoàn f(x).
Do đó, đồ thị của hàm số tuần hoàn được lặp đi lặp lại.
2. Hàm số Lượng Giác
a) Hàm số sin.
ℝ→ℝ
Hàm số y = sin x là hàm số được định nghĩa: �
⇔ y = sin x tuần hoàn với chu kỳ T = 2π
x → sin x
Do sin x ∈ [−1; 1] ∀x ∈ ℝ ⇒ y ∈ [−1; 1]

b) Hàm số cosin.
ℝ→ℝ
Hàm số y = cos x là hàm số được định nghĩa: �
⇔ y = cos x tuần hoàn với chu kỳ T = 2π
x → cos x
Do cos x ∈ [−1; 1] ∀x ∈ ℝ ⇒ y ∈ [−1; 1]
c) Hàm số tang (k ∈ ℤ)
Hàm số y = tan x là hàm số được định nghĩa: �

d) Hàm số cotang (k ∈ ℤ)

Hàm số y = cot x là hàm số được định nghĩa: �

ℝ\{

ℝ\{

π
+ kπ} → ℝ
⇔ y = tan x tuần hoàn với chu kỳ T = π
2
x → tan x

π
+ kπ} → ℝ
⇔ y = cot x tuần hoàn với chu kỳ T = π
2
x → cot x

Trước khi sang phần mới, các em hãy dành chút thời gian suy ngẫm câu chuyện sau nhé…

CÂU CHUYỆN VỀ CẬU BÉ VÀ CHIẾC ĐINH

Một cậu bé nọ có tính hay nổi nóng. Một hôm cha của cậu bé đưa cho cậu một túi đinh và nói
với cậu:
- Mỗi khi con muốn nổi nóng với ai đó thì hãy chạy ra sau nhà và đóng một cây đinh lên chiếc
hàng rào gỗ.
Ngày đầu tiên cậu bé đã đóng hơn một chục cây đinh lên hàng rào gỗ. Và cứ thế số đinh tăng
dần. Nhưng vài tuần sau cậu bé đã tập kềm chế dằn cơn nóng giận của mình và số lượng đinh phải
đóng mỗi ngày ít đi. Cậu nhận thấy rằng kềm chế cơn giận của mình dễ hơn là phải đi đóng đinh lên
hàng rào.
Đến một ngày, cậu đã không nổi giận một lần nào suốt cả ngày. Cậu đến thưa với cha và ông
bảo :
- Tốt lắm, nếu bây giờ con tự dằn lấy được và không nổi nóng một lần thì con hãy nhổ một cây
đinh ra khỏi hàng rào.
Ngày lại ngày trôi qua, rồi cũng đến một hôm cậu bé đã vui mừng hãnh diện tìm cha mình báo
rằng trên hàng rào đã không còn cây đinh nào cả.
Người cha nói nhỏ nhẹ với cậu :
- Con đã làm rất tốt, nhưng con hãy nhìn những lỗ đinh con để lại trên hàng rào.
Hàng rào đã không giống như xưa nữa rồi. Nếu con nói điều gì trong cơn giận dữ, những lời nói
ấy cũng giống như những lỗ đinh này, chúng để lại những vết thương khó rất khó lành trong lòng người
khác. Cho dù sau đó con có nói xin lỗi bao nhiêu lần đi nữa, vết thương dù lành nhưng vết sẹo cũng
còn để lại mãi.
Con hãy luôn nhớ: Vết thương tinh thần còn đau đớn hơn cả thể xác. Bạn bè ta, những người
chung quanh ta là những viên đá quí. Họ giúp con cười và giúp con mọi chuyện. Họ nghe con than thở
mổi khi con gặp khó khăn, cổ vũ con và luôn sẵn sàng mở trái tim mình ra cho con. Hãy nhớ lời cha...

LOVEBOOK.VN | 62

Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission

II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. Phương trình lượng giác cơ bản (Cơ bản 1)
Dạng 1. Phương trình sinx = m
Bài 1: Giải các phương trình sau:

 x = α + k2π
, k ∈ .
sinx
= sin α ⇔ 
 x = π − α + k2π

π
sin  
a. sin x + 3 =
4

(

a. Ta có:

)

Bài giải chi tiết:


3

π
b. sin  3x −  =
3 2


π

π

x + 3 = + k2π

 x = 4 − 3 + k2π
π
4
sin x +=
3 sin   ⇔ 
k ∈ .
⇔
 x + 3 = π − π + k2π
4
 x= 3π − 3 + k2π


4
4
π
3π
Vậy phương trình có nghiệm là: x = − 3 + k2π (k ∈ ℤ); x =
− 3 + l2π (l ∈ ℤ)
4

4
b. Ta có:

(

)



π
3
π
π
sin  3x −  =
⇔ sin  3x −  =
sin  
3 2
3


3

2π

π π

x
=
+ k2π
3x

k2
−
=
+
π


9
3 3
k ∈ .
⇔
⇔
3x − π = π − π + k2π
 x = π + k2π


3
3
3

Vậy phương trình có nghiệm là: x =
Bài 2: Giải phương trình sau:

2π
π
+ k2π (k ∈ ℤ); x =
+ l2π (l ∈ ℤ)
9
3



π 
sin  π sin  4x +   =
1
3 



Hướng dẫn: Nhìn bề ngoài thì phương trình này có vẻ cồng kềnh vì cấu trúc lồng nhau, nhưng thực tế
khi bắt tay vào giải quyết, vấn đề của chúng ta gặp phải chỉ khó hơn ở bài trước một chút. Cụ thể sẽ đánh giá
ra được tới phương trình sau:


π 1
sin  4x +  = + 2k ( k ∈ Z )
3 2

Đến đây xuất hiện 2 trường hợp của tham số k để vế phải của phương trình trên có giá trị tuyệt đối lớn hơn 1
hoặc không lớn hơn 1. Sau khi giải xong, chúng ta chỉ cần kết luận nghiệm thu được mà không cần quan tâm
đến trường hợp tương ứng của tham số có trong bài giải.
Bài giải chi tiết:
Phương trình đã cho tương đương với:



π

π 
π 
sin  π sin  4x +   =

1 ⇔ sin  π sin  4x +   =
sin  
3 
3 


2



•

π 1

π π

+ 2k ( k ∈ Z ) (*)
⇔ π sin  4x + =
+ k2π sin  4x +  =
3 2
3 2



Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi

LOVEBOOK.VN | 63


Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission

1
1
3
1
+ 2k ≤ 1 ⇔ −1 ≤ + 2k ≤ 1 ⇔ − ≤ k ≤ ⇒ k =0 ( do k ∈  )
2
2
4
4

Khi đó phương trình (*) trở thành:


π

π
π 1
sin  
sin  4x +  =⇔ sin  4x +  =
3
3 2

6


π π
π lπ



− +
4x + 3 = 6 + l2π
x =
24 2
l ∈ .
⇔
⇔
4x + π = π − π + l2π
 x = π + lπ


8 2
3
6

• Trong trường hợp ngược lại, tức là k ≠ 0, phương trình (*) không có nghiệm; do đó phương trình đã
cho vô nghiệm.
−π lπ
π mπ
(m ∈ ℤ)
Kết luận: Phương trình có nghiệm x =
+ (l ∈ ℤ); x = +
24 2
8
2
Bình luận: Đây là một phương trình lượng giác khá đơn giản, mấu chốt của bài toán này là từ tập xác
định của hàm sin, ta tìm được ra “k”. Đôi lúc vai vai trò của “k” rất quan trọng trong việc giải phương trình
lượng giác. Việc xét điều kiện cho k có thể đưa về những bài toán khá hay. Ta có thể gặp thêm những ví dụ về

việc xét điều kiện cho “k” ở những bài toán dưới. Và cách làm chung cũng là phá từ ngoài phá vào để giải
phương trình theo tham số trung gian; và không cần quan tâm đến giá trị trung gian đó ở kết luận.
Bài 3: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình:

2
sin ( 2πx )= sin  π ( x + 1) 



Theo đề bài ta có:

-

-

Bài giải chi tiết:

2πx =π ( x + 1)2 + k2π
 x2 + 1 + 2k =
0 (1 )
2

, k ∈
sin ( 2πx )= sin  π ( x + 1)  ⇔ 
⇔
2πx = π − π ( x + 1)2 + k2π


 x2 + 4x − 2k =
0

2
(
)


−1

k ≤
Xét phương trình (1) có ∆1' =−1 − 2k ≥ 0 , nên ta có 
2 ⇒ k ≤ −1
k ∈ 

Do đó: x2 =−1 − 2k ≥ 1 mà x > 0 nên phương trình (1) có nghiệm nhỏ nhất là x = 1

k ≥ −2

Xét phương trình (2) có ∆'2 = 4 + 2k ≥ 0 , nên ta có k ∈ 
⇒k ≥1

2
( x + 2) = 2k + 4 > 4 ( do x > 0)

Do đó ( x + 2) = 2k + 4 ≥ 6 ⇔ x + 2 ≥ 6 ⇔ x ≥ −2 + 6 ( do x > 0 ), nên phương trình (2) có nghiệm nhỏ
2

nhất là x = −2 + 6

Ta thấy x =−2 + 6 ≤ 1 ; do đó nghiệm thỏa mãn là x = −2 + √6

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình đã cho là : x =−2 + 6

LOVEBOOK.VN | 64


Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác
Dạng 2: Phương trình cosx = m
Bài 1: Giải các phương trình sau:

( )

(

a. cos 2x= cos x − 15°

a) Ta có:

Your dreams – Our mission

cos x = cos α ⇔ x = ±α + k2π , k ∈ .



5π 
π
0
b. cos  x −  + sin  3x −  =
6 
6



)

2x = x − 15° + k360°
2x = − x + 15° + k360°

cos ( 2x=
) cos ( x − 15°) ⇔ 

Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
b. Ta có:

Bài giải chi tiết:

 x = −15° + k360°
, k ∈ .
⇔
 x = 5° + k120°





5π 
π
5π 
π
− sin  3x − 
cos  x −  + sin  3x −  =0 ⇔ cos  x −  =
6 

6
6 
6






π


5π 
π
5π 
π
⇔ cos  x −  = sin  −3x+  ⇔ cos  x − =
 cos  + 3x − 
6 
6
6 
6



2

7π
 5π π


 x − 6 = 3 + 3x + k2π
 x =− 12 − kπ
, k ∈ .
⇔
⇔
 x − 5π =− π − 3x + k2π
 x= π + kπ


8 2
6
3
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.

Bài 2: Giải phương trình sau:

sin (5π cos2x ) =sin (3π cos2x )

Bài giải chi tiết:
5π cos 2x =3π cos 2x + k2π
sin 3π cos2x ⇔ 
Ta có: sin 5π cos2x =
5π cos 2x = π − 3π cos 2x + k2π

(

)

(

cos 2x = k
,k ∈ 
⇔
cos 2x= 1 + k

8 4

k ≤1
k ∈ 

⇒ 1 k
Vì: 
⇔
 cos 2x ≤ 1
 8+ 4 ≤1


)

 −1 ≤ k ≤ 1
 9
, do đó k ∈ −4, ±3, ±2, ±1,0
− ≤ k ≤ 7
 2
2

{

}

 −7 
7
± arccos   + l1 2π
− ⇔ 2x =
Với k = - 4, ta có cos2x =
8
 8 

1
2

7
8

⇔ x = ± arccos   + l1 2π

5

cos 2x = − 8
Với k = ±3 , ta có 
⇔
cos 2x = 7

8


1
 5
 x =± 2 arccos  − 8  + l2 π




, l2 ∈ .

1
7
 x =± arccos   + l2 π
2
8


LOVEBOOK.VN | 65


Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác
5

cos2x = 8
Với k = ±2, ta có 
⇔
cos2x = − 3

8

Your dreams – Our mission


1
5
 x =± 2 arccos  8  + l3 π

 

, l3 ∈ .

1
 3
 x =± arccos  −  + l3 π
2
 8


 x= l4 π
cos2x = 1

Với k = 1 , ta có 
, l4 ∈ 
⇔ 
1
3
cos2x = 3
x =± arccos   + l4 π


2
8
8

π

cos2x = −1

 x = 2 + l5 π
, l5 ∈ 
Với k = -1, ta có 
⇔ 
cos2x = − 1
 x =± 1 arccos  −1  + l π

8
  5

2
 8 



π l6 π
cos2x = 0
 x= 4 + 2
, l6 ∈ .
⇔
Với k = 0, ta có 
cos2x = 1
1

1

8
 x =± 2 arccos  8  + l6 π
 


Vậy phương trình có mười tám họ nghiệm như trên.
Dạng 3: Phương trình tanx = m.

= tan α ⇔ x = α + kπ ,k ∈.
tanx

Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

π
tan  
a. tan 2x + 5 =
6

(

(

)

a. Theo đề bài ta có:

)

b. tan x − 15° = 3
Bài giải chi tiết:

π
π 5 kπ
π
tan ( 2x + 5) =

tan   ⇔ 2x + 5 =
− +
,k ∈  .
+ kπ ⇔ x =
12 2 2
6
6

Vậy phương trình có nghiệm x =

b.Theo đề bài ta có:

tan ( x − 15° )=

π 5 kπ
− + ( k ∈ )
12 2 2

=
° ) tan ( 60° )
3 ⇔ tan ( x − 15

⇔ x − 15°= 60° + k180° ⇔ x= 75° + k180°
Vậy phương trình có nghiệm x= 75° + k180°

Dạng 4: Phương trình cotx = m

cotx
= cot α ⇔ x = α + kπ ,k ∈.

Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

 7π 
tan  
b. cot x + 3 =
 12 

x π
3
a. cot  +  =
−
3
2 3

a. Ta có:

LOVEBOOK.VN | 66

(

Bài giải chi tiết:

)


Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission

II. TÍCH PHÂN

1. Định nghĩa: Cho y= f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và F(x) ∈ � ∫ f(x)dx + c� trên [a; b].

Hiệu F(b) – F(a) gọi là tích phân của y = f(x) trên đoạn [a; b].
b

Ký hiệu: � f(x)dx
a

Trong đó: a là cận dưới dấu tích phân
b là cận trên dấu tích phân
f(x) là hàm dưới dấu tích phân.
b

Nếu � f(x)dx = F(b) − F(a) ta có F(b) − F(a) = F(x) �
a

b

b
a

Nên viết được như sau: � f(x)dx = F(b) − F(a) = F(x) �
1

Ví dụ: � x 2 dx =
0

a

x3 1 1
� =
3 0 3

Chú ý: Tích phân không phụ thuộc vào biến:
•

b

Ý nghĩa hình học của tích phân:

b
a

d

� f(x)dx = � f(x)dx = ⋯
a

b

c

Nếu y=f(x) liên tục, không âm trên [a; b] thì f(x)dx = S là diện tích hình được giới hạn bởi đồ thị hàm
∫
a

số y = f(x) và Ox trên [a; b].
2. Tính chất của tích phân.
Cho hàm số: y=f(x) và y=g(x) liên tục trên [a; b] và a ≤ c ≤ b

a

1) � f(x)dx = 0

b

a

b

b

2) � f(x)dx = � f(x)dx

b

a

4) �[f(x) + g(x)]dx = � f(x)dx + � g(x)dx

Ví dụ.
𝐈𝐈𝟐𝟐
𝐈𝐈𝟑𝟑

𝐈𝐈𝟒𝟒
𝐈𝐈𝟓𝟓
𝐈𝐈𝟔𝟔

a

a

b

b

b

b

3) � k. f(x)dx = k � f(x)dx
a
c

b

a

5) � f(x)dx = � f(x)dx + � f(x)dx
a

2
2
𝐱𝐱 𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝟐𝟐
dx
dx
2 2 2
�
�
𝐝𝐝𝐝𝐝

=
−
2
= ln(x) � + � = ln2 − 1
𝟑𝟑
2
1 x 1
𝐱𝐱
𝟏𝟏
1 x
1 x
𝟒𝟒
4
4 x
𝐱𝐱
x 4
3
= � �𝟑𝟑𝟑𝟑 − 𝐞𝐞𝟒𝟒 � 𝐝𝐝𝐝𝐝 = 3 � xdx − 4 � e4 . dx = � x 2 − 4e4 �� = 28 − 4e
0
2
𝟎𝟎
0
0
𝟐𝟐
2
2
1
= � (𝐱𝐱 − 𝟏𝟏)𝟑𝟑 . 𝐝𝐝𝐝𝐝 = � (x − 1)3 . d(x − 1) = � . (x − 1)4 �� = 1/4
1
4

𝟏𝟏
1
𝛑𝛑
π
𝟐𝟐
= � (𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜)𝐝𝐝𝐝𝐝 = (sinx − 2cosx) �2 = −1
𝟎𝟎
0
1
𝟏𝟏
= � (𝐝𝐝𝐝𝐝)/𝐱𝐱 = ln(x) �1 = 1
𝟏𝟏
e
𝐞𝐞
π
𝛑𝛑
π
π
𝟑𝟑
3 4dx
3 d(2x)
𝐝𝐝𝐝𝐝
3= 4
=�
=�
= −2 �
= −2cot(2x) �π
𝛑𝛑 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐧𝐧𝟐𝟐 𝐱𝐱. 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐬𝐬 𝟐𝟐 𝐱𝐱
π sin2 x
π sin2 x

√3
𝟔𝟔
6
6
6

𝐈𝐈𝟏𝟏 = �

𝟐𝟐

a

a

a

c

LOVEBOOK.VN | 197