Phương trình vi phân cấp 1

30/12/2015

CHƯƠNG V : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
I. Phương trình vi phân cấp 1
II. Phương trình vi phân cấp cao
III. Hệ phương trình vi phân

Phương trình vi phân cấp 1 – Khái niệm chung
Bài toán 1: Tìm tất
cả các đường cong
A
y=f(x) sao cho trên
mỗi đoạn [1,x], diện
tích hình thang cong
bị chắn bởi cung
đường cong bằng tỉ
số giữa hoành độ x
và tung độ y. Nhìn hình vẽ, ta có
x

 f (t )dt 
1

B

y  xy
x
 f ( x) 
 y 3  y  xy
2
y

y

Ta gọi đây là phương trình vi phân cấp 1(phương
trình chứa đạo hàm cấp 1 là y’)

1


30/12/2015

Phương trình vi phân cấp 1– Khái niệm chung
Bài toán 2: Một vật khối lượng m rơi tự do với lực cản
của không khí tỉ lệ với vận tốc rơi. Tìm mối liên hệ giữa
thời gian rơi t & quãng đường đi được của vật s(t)

ds
(1)
dt
ma  F (2)

Gọi v(t) là vận tốc rơi của vật thì v (t ) 
Theo định luật 2 Newton, ta có
Trong đó a 

dv
, F  F1  F2 , F1  mg là trọng lực
dt

F2   v là lực cản của không khí, α>0 là hệ số cản
Thay a, F, F1, F2 vào phương trình (2) ta được

d 2s
ds
dv
(1)
m  mg   v  m 2  mg  
dt
dt
dt
Ta gọi đây là ptvp cấp 2 (chứa đạo hàm cấp 2 là s”)

Phương trình vi phân cấp 1– Khái niệm chung
Định nghĩa 1: Phương trình vi phân là phương trình
chứa đạo hàm hoặc vi phân của 1 hoặc vài hàm
cần tìm
Định nghĩa 2: Cấp của phương trình vi phân là cấp
cao nhất của đạo hàm có trong phương trình
Ví dụ:
Ptvp cấp 1:

y  2 xy  x 2
( x 2  xy )dx  (e x  3 y )dy  0
Ptvp cấp 2 : yy  yx  3 xy  1
Ptvp cấp 3 : y  3 y  3 y  y  ln x

2


30/12/2015

Phương trình vi phân cấp 1– Khái niệm chung
Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp n là
F ( x, y, y, y,..., y ( n ) )  0 hoặc giải ra với y(n) là

y ( n )  f ( x, y, y,..., y ( n 1) )
Định nghĩa 3: Nghiệm của phương trình vi phân
trên khoảng (a,b) là một hàm số y=y(x) sao cho khi
thay vào phương trình ta được một đồng nhất thức
trên (a,b) (đẳng thức luôn đúng với mọi x trên (a,b))
Ví dụ: Nghiệm của ptvp y  3 y  2 y  0
là hàm số y  C1e x  C2e 2 x
Đồ thị của hàm số y=y(x) được gọi là đường cong
tích phân của ptvp

Phương trình vi phân cấp 1– Khái niệm chung
Dạng tổng quát của ptvp cấp 1:
F ( x, y, y)  0(1) hoặc: y  f ( x, y )(2)
Bài toán Cauchy: là bài toán tìm nghiệm của ptvp (1)
hoặc (2) thỏa điều kiện đầu y ( x0 )  y0
Hay nói cách khác là tìm 1 đường cong tích phân
của ptvp (1) hoặc (2) đi qua điểm (x0,y0)
Ví dụ: Tìm nghiệm của ptvp 2 xdx  3 y 2 dy
thỏa điều kiện y(1)=1

2 xdx  3 y 2 dy  d ( x 2 )  d ( y 3 )

 x2  C  y3

Với x=1, y=1 ta thay vào đẳng thức trên và được C=0
Vậy nghiệm của bài toán là y  3 x 2

3


30/12/2015

Phương trình vi phân cấp 1 – Khái niệm chung

x 2  y 3 , y (1)  1
x 2  1  y 3 , y (1)  0
x 2  1  y 3 , y (0)  1

Đường cong tích phân của ptvt trên với 3 trường hợp
Trong phạm vi môn học, bài toán Cauchy luôn có
nghiệm xác định trong 1 lân cận ( x0   , x0   )

Phương trình vi phân cấp 1 – Khái niệm chung
Nghiệm tổng quát: Hàm y=y(x,C) được gọi là nghiệm
2
tổng quát của ptvp cấp 1 trong miền D  R nếu
( x0 , y0 )  D : !C0 , y  y ( x, C0 ) là nghiệm của bài
toán Cauchy với điều kiện đầu y(x0) = y0. Nghĩa là:

 y  y ( x, C0 ), x  ( x0   , x0   )
!C0 : 
 y0  y ( x0 , C0 )
Nghiệm bất kỳ nhận được từ nghiệm tổng quát bằng
cách cho hằng số C một giá trị cụ thể được gọi là
nghiệm riêng tức là mọi nghiệm của bài toán Cauchy
đều là nghiệm riêng

4


30/12/2015

Phương trình vi phân cấp 1 – Khái niệm chung
Lưu ý 1: Không phải nghiệm nào của 1 ptvp cũng
nhận được từ nghiệm tổng quát (NTQ) bằng cách
cho hằng số C những giá trị cụ thể. Những nghiệm
như vậy được gọi là nghiệm kì dị
Ví dụ: Xét ptvp y  1  y 2

Ta biến đổi pt

 dy
 dx
arcsin y  x  C

2
2


y  1 y   1 y

 y  1
 y  1

 y  sin( x  C ) Rõ ràng, y=1 hay y=-1 đều là


nghiệm của ptvp trên. Đó là các
 y  1
nghiệm kì dị

Phương trình vi phân cấp 1 – Khái niệm chung
Lưu ý 2: Trong phạm vi môn học này, ta chỉ tìm
nghiệm của các ptvp một cách không đầy đủ, tức là
ta sẽ biến đổi các phương trình không chặt như ví
dụ trên. Ta chỉ giải phương trình hệ quả chứ không
giải phương trình tương đương.
Ví dụ: Khi biến đổi ptvp y  y
Ta không xét trường hợp y=0 hay y≠0

dy
 dx  ln y  x  C
y
 y  e x C  y  Ce x
y  y 

Ta giải thiếu nghiệm y=0 của pt vì ta không gpt
tương đương, tức là tìm nghiệm không đầy đủ

5


30/12/2015

Phương trình vi phân cấp 1- PT tách biến
Dạng : f ( x )dx  g ( y )dy  0
Cách giải : Lấy tích phân 2 vế phương trình

 f ( x)dx   g ( y )dy  C
Ví dụ: Tìm NTQ của pt (3 x 2  1) dx  cos ydy  0
Lấy tích phân 2 vế phương trình
2
 (3 x  1)dx   cos ydy  C

 x3  x  sin y  C
 y  arcsin(C  x3  x)

Phương trình vi phân cấp 1- PT tách biến
Hai dạng ptvp có thể đưa về pt tách biến:

f1 ( x) g1 ( y )dx  f 2 ( x) g 2 ( y )dy  0
f ( x)
g ( y)
 1
dx  2
dy  0
f 2 ( x)
g1 ( y )
y  f (ax  by  c)
Đặt : z(x)=ax+by+c  y 

z  a
b

6

30/12/2015

Phương trình vi phân cấp 1- PT tách biến
Ví dụ: Tìm NTQ của pt xy 2 dy  ( y  1) dx

y2
dx
xy dy  ( y  1) dx 
dy 
0
y 1
x
y2
dx

dy    C
y 1
x
2
y

 y  ln y  1  ln x  C
2
2

Trường hợp này, việc biến đổi để được y=y(x,C) rất
khó nên ta sẽ để nguyên dạng trên (dạng pt
φ(x,y,C)=0. Ta gọi đây là tích phân tổng quát của ptvp

Phương trình vi phân cấp 1- PT tách biến

Ví dụ: Tìm nghiệm riêng của pt

y  x 2  2 xy  y 2  1, y (0)  1
y  x 2  2 xy  y 2  1  y  ( x  y ) 2  1
Đặt z=x+y  y  z  1

thay vào pt trên

dz
1
 dx    x  C
2
z
z
1

 x  y  y  x  1
xC
xC
z  1  z 2  1 

Thay điều kiện đầu vào : 1 = -C
Nghiệm riêng cần tìm là: y 

1
x
1 x

7

30/12/2015

Phương trình vi phân cấp 1- PT tách biến
Bài tập: Tìm NTQ hoặc nghiệm riêng của các pt sau

1. y  2 x  y
2.tan ydx  x ln xdy  0
3. y  cos y  2
4.x 2 ( y 2  5)dx  ( y 3  5) y 2 dy  0, y (0)  1
5. Một chất điểm chuyển động trên trục Ox theo
chiều dương bắt đầu từ O với vận tốc 2m/s, gia tốc
a= -v/2 (m/s2) . Tính v(t).

Phương trình vi phân cấp 1- PT tách biến

8


30/12/2015

Phương trình vi phân cấp 1- PT đẳng cấp

y
x

Dạng : y  f ( )
Cách giải : Đặt u 

y

 y  u  ux
x

Ví dụ: Tìm NTQ của phương trình y 

y
y
 cos
x
x

y
 y  ux  y  u  ux Thay vào pt
x
du
dx
du
dx
u  ux  u  cos u 


  C
cos u x
cos u
x
u



 tan     Cx  y  x  2arctan Cx    k 2 

2 4
2


Đặt: u 

Phương trình vi phân cấp 1- PT đẳng cấp
Hai dạng ptvp có thể đưa về pt đẳng cấp:

f ( x, y )dx  g ( x, y )dy  0
Trong đó, f, g là các hàm đẳng cấp cùng bậc tức
là tồn tại số nguyên k sao cho

f (tx, ty )  t k f ( x, y ), g (tx, ty )  t k g ( x, y )

 a x  b1 y  c1 
y  f  1
 Ta xét hpt
a
x

b
y

c
 2
2
2 
a
D 1

a2

b1
b2

 a1 x  b1 y  c1  0

 a2 x  b2 y  c2  0

D≠0: hpt có ng duy nhất x=x0, y=y0
Đặt X=x-x0, Y=y-y0
D=0 : pt thành dạng y  g ( a2 x  b2 y )

9


30/12/2015

Phương trình vi phân cấp 1- PT đẳng cấp
Ví dụ: Tìm NTQ của pt ( x 2  y 2 ) dx  xydy  0
Đây là pt đẳng cấp bậc 2
Chia 2 vế pt cho x2


1
y
y2 
y



y


1

dx

dy

0

2 
y
x
x
x


x
y
Đặt u   y  u  ux Thay vào pt trên:
x
u2
1
dx
 ln Cx
u  ux   u   udu    C 
2
u
x

 y 2  2 x 2 ln | Cx |

Phương trình vi phân cấp 1- PT đẳng cấp
Ví dụ: Tìm NTQ của pt

(2 x  2 y  1)dx  ( x  y  1)dy  0
Ta viết lại pt thành :

2 2
2( x  y )  1
Nên D 
 0 Ta được pt
( x  y)  1
1 1
3
y   2 
Dạng pt y  f ( ax  by  c )
( x  y)  1

y  

Đặt z=x-y+1
NTQ của pt là 3 x  C  x  y  1  ln | x  y |

10


30/12/2015

Phương trình vi phân cấp 1- PT đẳng cấp
Bài tập: Tìm NTQ hoặc nghiệm riêng của các pt
y

y
1
x
2.x 2 y  y 2  xy  x 2  0

1. y  e

x



3.( x 2  xy )dy  y 2 dx  0
y
4.xy  y ln , y (1)  1)
x





5. y  x 2  y 2 dx  xdy  0, y (1)  0

Phương trình vi phân cấp 1- PT tuyến tính
Dạng :

y  p ( x) y  q ( x) pt không thuần nhất

pt thuần nhất
y  p ( x ) y  0


Cách giải : Nhân 2 vế pt với e



p ( x ) dx


  q( x)e

ye  p ( x ) dx  y p ( x)e  p ( x ) dx  q ( x)e  p ( x ) dx

 ye

 p ( x ) dx

 p ( x ) dx

Hoặc dùng công thức



y  e  p ( x ) dx  q( x)e  p ( x ) dx dx  C



11

30/12/2015

Phương trình vi phân cấp 1- PT tuyến tính
Ví dụ: Tìm NTQ của pt y  2 xy  1  2 x 2
Sử dụng công thức nghiệm với

p ( x)  2 x, q ( x)  1  2 x 2



y  e  p ( x ) dx  q ( x)e  p ( x ) dx dx  C
2


e

2

y  e x  (1  2 x 2 )e x dx  C
y  ex

2

 x2

y  x  Ce x

2





dx   xe x d ( x 2 )  C



2

Phương trình vi phân cấp 1- PT tuyến tính
Ví dụ: Tìm NTQ của pt y( x  y 2 )  y
Ta biến đổi để đưa về thành pt khi xem x=x(y)

x  y2
1
x 
 x  x  y Dùng công thức
y
y
1
1

 dy 
 dy
y
y
xe
dy  C 

  ye




 1

x  y   y dy  C   x  y 2  Cy
 y


12


30/12/2015

Phương trình vi phân cấp 1- PT tuyến tính
Bài tập: Tìm NTQ hoặc nghiệm riêng của các pt

1
2 y  xe x  2e x
x
2.(1  x 2 ) y  y  arctan x

1. y 





3. ydx  ( x  y 2 sin y ) dy  0
4. y 1  x 2  y  arcsin x, y (0)  0
5. y 

y
, y (1)  1
2 y ln y  y  x

Phương trình vi phân cấp 1- PT Bernullli
Dạng : y  p ( x) y  q ( x ) y
Trong đó: α≠0 vì nếu α=0 thì ta được pt tuyến tính
α≠1 vì nếu α=1 thì ta được pt tách biến
Cách giải : Đặt z  y1

 z  (1   ) y. y 
z. y
 y 
Thay vào pt trên
1
zy
 yp ( x)  q ( x) y
1
z  z.(1   ) p ( x)  (1   )q ( x)

13


30/12/2015

Phương trình vi phân cấp 1- PT Bernulli

Ví dụ: Tìm NTQ của pt y  2 y tan x   y 2 sin 2 x
Đây là pt Bernulli với α = 2
Đặt z  y 1  y   z. y 2

Thay vào pt trên

 zy 2  2 y tan x   y 2 sin 2 x

z  2 z tan x  sin 2 x



z  e  2 tan xdx  sin 2 xe  2 tan xdx dx  C
1
y
cos 2 x( x  tan x  C )



Phương trình vi phân cấp 1- PT tuyến tính
Bài tập: Tìm NTQ hoặc nghiệm riêng của các pt

xy
x y
1  x2
2. y  y ( y 3 cos x  tan x)

1. y 

3. ydx  ( x  x 2 y 2 )dy  0

4.3dy  (1  3 y 3 ) y sin xdx  0, y ( )  1
2
5.( y 2  2 y  x 2 ) y  2 x  0, y (1)  0

14


30/12/2015

Phương trình vi phân cấp 1- PT vp toàn phần
Dạng : P ( x, y ) dx  Q ( x, y ) dy  0
Trong đó: Py  Qx
Cách giải : Ta tìm nghiệm pt dưới dạng U(x,y)=C
trong đó hàm U(x,y) được tìm bằng 2 cách
Cách 1: Chọn điểm (x0,y0) sao cho tại đó 2 hàm
P, Q liên tục thì :
y

x

U ( x, y )   P ( x, y )dx   Q( x0 , y )dy
x0

y0

Cách 2: Ta tìm U(x,y) sao cho

U x  P( x, y ),U y  Q( x, y )

Phương trình vi phân cấp 1- PT vp toàn phần

Ví dụ: Tìm NTQ của pt

(e x  y  2 y )dx  (e x  y  2 x  2)dy  0
P  e x  y  2 y  Py  e x  y  2

  Py  Qx
Q  e x y  2 x  2  Qx  e x  y  2 
Cách 1: Chọn (x0,y0)=(0,0)
x

U   (e

x y

y

 2 y ) dx   (e0 y  2.0  2)dy

0



0
y

 

U  (e x  y  2 xy )  (e  0)  (e y  2 y )  (e0  0)



U  e x  y  2 xy  2 y

15


30/12/2015

Phương trình vi phân cấp 1- PT vp toàn phần
Cách 2: Tìm hàm U(x,y) sao cho

U x  e x  y  2 y
(1)

x y
(2)
U y  e  2 x  2
Từ (1): U  e x  y  2 y.x  C1 ( y )
x y
Từ (2): U  e
 2 x. y  2 y  C2 ( x)
So sánh 2 đẳng thức trên, ta được

U  e x  y  2 xy  2 y
Vậy NTQ của pt đã cho là

e x  y  2 xy  2 y  C

Phương trình vi phân cấp 1- PT vp toàn phần
Ví dụ: Tìm NTQ của pt ( y 

2
3
)
dx

(
x

)dy  0
2
2
x
y

Kiểm tra điều kiện để pt trên là ptvp toàn phần
Tìm hàm U(x,y) sao cho U x  y 

2
x2

Đạo hàm theo x là y thì nguyên hàm là xy
Đh theo x là

2
x2

Suy ra U  xy 

thì nguyên hàm là 

2
x

2
x

Lấy đh U theo y và so sánh với Q  x 

3
y2

16


30/12/2015

Phương trình vi phân cấp 1- PT vp toàn phần
Ta thấy thiếu nguyên hàm của 

3
y2

3
y
2 3
Suy ra : U  xy  
x y

Thêm nguyên hàm là

Thử lại bằng cách lấy đạo hàm của U theo x
(so sánh với P) và theo y (so sánh với Q)
Vậy NTQ của pt đã cho là xy 

2 3
 C
x y

Phương trình vi phân cấp 1- PT vp toàn phần
Bài tập: Tìm NTQ hoặc nghiệm riêng của các pt

1.( x 2  y )dx  ( x  2 y )dy  0
2.(e x  y  sin y )dx  (e y  x  x cos y )dy  0



3. y cos xdx  sin xdy  cos 2 xdx, y ( )  5
2
2
2
4.(3 y  x)dx  2 y ( y  3 x)dy  0
Biết rằng khi nhân 2 vế phương trình với hàm

h  h( x  y 2 ) thì ta được 1 ptvp toàn phần

17


30/12/2015

Phương trình vi phân cấp1
Bài tập: Nhận dạng và giải các pt sau
Pt:
1. xyy   y 2  2 x 2
y

2. xy   xe

x

y
e2 x
1 x 2
3.e tgydx 
dy
x 1
x y
4. y   2

Pt:
Pt:
Pt:

5.( x  y  4)dy  ( x  y  2)dx  0
6. y  cos x  y  1  sin x

Pt:

7. y ( x  y 2 )  y

Pt:

8.4 xy   3 y  e x x 4 y 5

Pt:

Pt:

Phương trình vi phân cấp1

9. y ln 3 y  y  x  1  0
Pt
x y
x y
Pt
10. y   e  e
11.( x 4  6 x 2 y 2  y 4 )dx  4 xy ( x 2  y 2 )dy  0
Pt:

12.(2 x  y  1)dx  ( x  2 y  1)dy  0
13. y  

xy
 arcsin x  x
1  x2

Pt:

Pt

14. y  xy   y  ln y

Pt:

15. ydx  ( x  x 2 y 2 )dy  0
1
16. y  
1  xy

Pt:
Pt:

18


30/12/2015

Phương trình vi phân cấp1
17.( x 2 ln y  x )y   y
18.y x 3 sin y  2y  xy 
19.y  
20.

y2
2 xy  3

y  2x y
arctgx



4
y 1 x 2
1 x 2

21.( y 2  2y  x 2 )y   2 x  0
cos y  sin y  1
22.y  
cos x  sin x  1
23.3 y sin(3 y )dx  ( y  3 xs in(3 y )dy  0
x
x
xy
24.y  
xy

Phương trình vi phân cấp1
25.2 xdx  ( x 2  y 2  2y )dy
y
y2
26.y  

x 1 x 1
27.y   y  e
28.y  

x

2

y

y
 x ln x
x ln x

29.(e x sin y  x )dx  (e x cos y  y )dy  0
30.2( x  y )y   ( x  y )2  1
31.y   y  3e x y 2
32.(1  2 x 2 )y   2 xy  (1 2 x 2 )3

19


30/12/2015

Phương trình vi phân cấp1
34.(2x 2 y ln y  x )y   y
35.y cos xdx  sin xdy  cos 2xdx
36.e y dx  ( xe y  2y )dy  0
37.y  1 x 2  y  acr sin x
38.y   2ytgx  y 2 sin2 x  0
39.x 2 y   y 2  xy  x 2

20


Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng
Định nghĩa:
PT vp tuyến tính cấp n hệ số hằng là ptvp có dạng

an y
an y

(n)

(n)

 an1 y
 an1 y

( n 1)

( n 1)

 ...  a1 y  a0 y  0 (1)
 ...  a1 y  a0 y  f ( x) (2)

Trong đó a1,a2 , … , an là các hằng số thực
PT (1) gọi là pt thuần nhất
PT (2) gọi là pt không thuần nhất


Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng
Hệ hàm độc lập tuyến tính trên (a,b)
Hệ {y1(x), y2(x), …, yn(x)} được gọi là độc lập tuyến
tính trong (a,b) nếu từ đẳng thức
λ1y1(x)+λ2y2(x)+…+λnyn(x)=0
Ta suy ra λ1= λ2 =… = λn=0
Định thức Wronski của các hàm y1(x), y2(x), …, yn(x)

có đạo hàm đến cấp (n-1) trong (a,b) là

W ( y1 , y2 ,..., yn ) 

y1
y1
:

y2
y2
:

y1( n1)

y2 ( n 1)

...
yn
...
yn
:
:
... yn ( n1)


Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng
Định lý: Cho các hàm y1(x), y2(x), …, yn(x) có đạo
hàm đến cấp (n-1) trong (a,b).
Nếu W ( y1 , y2 ,..., yn )  0 thì hệ trên đltt trong (a,b)
Ví dụ: 2 hàm y1(x) = ex , y2(x) = xex đltt với mọi x

Ta đi tính định thức Wronski của 2 hàm đã cho
x

e
W ( y1 , y2 )  x
e

e

2x

x

xe
2x
2x
 e (1  x)  xe
x
e (1  x)

 x


Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng thuần nhất

y  a1 y  a0 y  0 (1.1)
Cấu trúc nghiệm: Nếu y1(x), y2(x) là 2 nghiệm riêng
đltt của thì NTQ của pt (1.1) là
ytn=C1y1(x)+C2y2(x)
Ta đi tìm nghiệm của (1) ở dạng y  e

kx

Thay vào (1) : k 2e kx  a1ke kx  a2e kx  0

 k 2  a1k  a2  0 (3)
kx
Vậy hàm y  e là nghiệm của pt (1) khi và chỉ khi
k là nghiệm của pt (3)
Ta gọi pt (3) là pt đặc trưng của pt (1)


Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng thuần nhất
Pt thuần nhất : y  a1 y  a2 y  0
Pt đặc trưng : k 2  a1k  a2  0 (3)
TH 1: (3) có 2 nghiệm thực
k1x

k2 x

k1  k 2 : y1  e , y2  e đltt
TH 2: (3) có 1 nghiệm thực

k  k1  k2 : y1  e kx ,y2  xe kx đltt
TH 3: (3) có cặp nghiệm phức liên hợp

k    i : y1  e x cos  x, y1  e x sin  xđltt
NTQ của pt thuần nhất là y  C1 y1  C2 y2