Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 tỉnh nghệ an năm học 2014 2015

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN

Đề chính thức

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 CẤP THCS
NĂM HỌC 2014 - 2015

Môn thi: TOÁN – BẢNG A
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (4 điểm):
a. Cho hai số tự nhiên a, b thoả mãn điểu kiện: a2 + a = 2b2 + b.
Chứng monh rằng a – b và a + b + 1 đều là các sô chính phương.
b. Tìm số tự nhiên n sao cho số 2015 có thể viết được thành tổng của n hợp số nhưng
không thể viết được thành tổng của n + 1 hợp số.
Câu 2. (5 điểm):
a. Giải phương trình: 6 x − 1 + 9 x 2 − 1 = 6 x − 9 x 2
2
2
 x + y + xy = 2
b. Giải hệ phương trình:  2 2
 x + y = 2 x + 4 y

Câu 3. (3 điểm):
Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn: abc = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =

1
1
1
+
+

.
a + 2b + 3 b + 2c + 3 c + 2a + 3

Câu 4. (6 điểm):
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Trên cung nhỏ BC của đường tròn
(O) lấy điểm M (M không trùng với B, C). Gọi D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng với M
qua BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
a. Ba điểm D, E, F thẳng hàng .
b.

AB AC BC
+
=
MF ME MD

Câu 5. (2 điểm):
Cho 121 điểm phân biệt nằm trong hoặc trên các cạnh của một tam giác đều có cạnh bằng 6
cm. Chứng mỉnhằng có thể vẽ được một hình tròn đường kính bằng 3 cm chứa ít nhất 11
điểm trong số các điểm đã cho.
............Hết...........

Họ và tên thí sinh.....................................................Số báo danh