Bất đẳng thức bất phương trình

BÀI 1. BẤT ĐẲNG THỨC
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
- Các mệnh đề dạng “a < b” hoặc “a > b” được gọi là bất đẳng thức.
+ Ta còn gặp bất đẳng thức có dấu bằng: “a ≥ b” hoặc “a ≤ b” (còn gọi là bất đẳng thức không ngặt)
+ Nếu bất đẳng thức a < b là hệ quả của bất đẳng thức c < d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng
thức tương đương với nhau.
2.

Tính

II. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dùng định nghia và các tính chất
Để chứng minh một BĐT ta có thể sử dụng các cách sau:
+ Đưa về dạng A- B > 0
+ Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đúng.
+ Sử dụng một BĐT đúng, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh..

chất


+ Biến đổi vế trái hoặc về phải
Một số BĐT đúng thường dùng:
i. A2 ≥ 0

ii. A2 + B2 ≥ 0

3i. A.B ≥ 0 với A, B ≥ 0.

4i. A2 + B2 ≥ 2A.B

Chú ý:
– Trong quá trình biến đổi, ta thường chú ý đến các hằng đẳng thức.
– Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra. Khi đó ta có thể tìm GTLN,
GTNN của biểu thức.

Bài 1. Chứng minh rằng:

với a, b cùng dấu (tức a.b > 0)

Bài 2. Cho a, b, c, d, e ∈ R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a. a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca

b. a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b

c. a2 + b2 + c2 + 3 ≥ 2(a + b + c)
Bài 3. Cho a, b, c, d, e ∈ R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a. a4 + b4 + c2 + 1 ≥ 2a(ab2 – a + c + 1)

c. a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e)
Bài 4. Cho a, b, c ∈ R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Bài 5. Cho a, b, c, d ∈ R. Chứng minh rằng a2 + b2 ≥ 2ab (1). Áp dụng chứng minh các bất đảng thức
sau:


Bài 6. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng nếu
bất đẳng thức sau:

. Áp dụng chứng minh các

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Cho a, b, c, d, e ∈ R. Chứng minh bất đẳng thức sau:
a2 + b2 + c2 ≥ 2(ab + bc – ca)
HD: BĐT đã cho ⇔ ( a- b + c)2 ≥ 0
Bài 2. Cho a, b, c, d, e ∈ R. Chứng minh bất đẳng thức sau:
a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 + a2) ≥ 6abc
HD: BĐT đã cho ⇔ ( a – bc)2 + (b – ca)2 + (c – ab)2 ≥ 0
Bài
3. Cho
3 ≥ 4a

a,

b,

c ∈ R.

Chứng

minh

các

bất

đẳng

thức

sau:

a4 +

HD: BĐT đã cho ⇔ ( a -1)2(a2 + 2a + 3) ≥ 0
Bài 4. Cho a, b, c ∈ R. Chứng minh bất đẳng thức: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca (1). Áp dụng chứng
minh các bất đảng thức sau:

HD: (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ≥ 0.
a. Khai triển, rút gọn, đưa về (1)

b, c. Vận dụng a


d. Sử dụng (1) hai lần

e. Bình phương 2 vế, sử dụng (1)

f. Sử dụng d)

BÀI 2. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Một số bất đẳng thức thông dụng
i) A2 ≥ 0

ii) A2 + B2 ≥ 0

iii) A.B ≥ 0 với A, B ≥ 0

iiii) A2 + B2 ≥ 2AB

2.

Bất

đẳng

II VẤN ĐỀ: Chứng minh BĐT bằng cách sử dụng BĐT Cô–si
Bài 1. Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Bài 2. Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Bài 3. Cho a, b, c > 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

thức

Cô–si:


Bài 4. Cho a, b > 0. Chứng minh

. Áp dụng chứng minh các BĐT sau:

c. Cho a, b, c > 0 thoả

Bài 5. Cho a, b, c > 0. Chứng minh

. Áp dụng chứng minh các BĐT sau:

.

b. Cho x, y, z > 0 thoả x + y + z = 1. Tìm GTLN của biểu thức:
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Bài 2. Cho a, b, c > 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 9(a 3 + b3 + c3) ≥ (a + b + c)3
HD: Áp dụng bài 3b) ta có: 9(a3 + b3 + c3) ≥ 3(a + b + c)(a2 + b2 + c2)


Từ đó ta được: 3(a2 + b2 + c2) ≥ (a + b + c)2 ⇒ đpcm.

Bài 3. Cho a, b > 0. Chứng minh

(1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau:

b. Cho x, y, z > 0 thoả x + 2y + 4z = 12. Chứng minh:
c. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:

HD a. Theo (1):
Cùng với các BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta được đpcm.
b. Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z thì a + b + c = 12 ⇒ đpcm.
c. Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c.

Áp dụng (1) ta được:
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta được đpcm.

BÀI 3. BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1.

Bất

đẳng

thức

về

giá

trị

2. Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác
Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có:
+ a, b, c > 0.
+ |a - b|< c < a + b; |b - c|< a < b + c ; |c - a|< b < c + a .
Tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại, hiệu hai cạnh luôn bé hơn cạnh còn lại.

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Cho a, b, c ∈ R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a. |a – b| ≤ |a - c| + | c – b|
b. |a ± b| ≥ |a| - |b|
Bài 2. Chứng minh rằng nếu: |a| + |b| = a + b thì a, b ≥ 0.
Bài 3. Bài 10 – Trang 110 – SGK - Đại số 10 – Nâng cao

a. Chứng minh rằng nếu x ≥ y ≥ 0 thì

b. Chứng minh rằng đối với hai số tùy ý a, b ta có

Đẳng thức xảy ra khi nào?

tuyệt

đối


Bài 4. B2 – Trang 109 – SGK - Đại số 10 – Nâng cao
Chứng minh rằng nửa chu vi của một tam giác lớn hơn độ dài mỗi cạnh của tam giác đó
Bài 5. (Bài 3 – Trang 79 – SGK – Đại số 10 – Cơ bản)
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
a) Chứng minh (b – c)2 < a2
b) Từ đó suy ra a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
Bài 6. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh:
a. ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
b. abc ≥ ( a + b – c)( b + c – a)(a + c – b)
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh:
2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 0
HD: BĐT ⇔ (a + b + c)(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) > 0.
Bài 2. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh:
a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a + b)2 > a3 + b3 + c3
HD: BĐT ⇔ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) > 0.

BÀI 4. BẤT ĐẲNG THỨC BU-NHIA-CỐP-XKI
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki
Với a, b, x, y ∈ R, ta có: (ax + by)2≤(a2 + b2)(x2 + y2). Dấu "=" xảy ra ⇔ ay = bx.
Với a, b, c, x, y, z ∈ R, ta có: (ax + by + cz)2≤ (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2).

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:


Bài 2. Chứng minh rằng:
Bài 3.
a. Chứng minh rằng: |ab + bc + ca| ≤ a2 + b2 + c2

b. Cho a, b, c ∈ R \ {0}. Chứng minh:
c. Cho a, b ∈ R, thỏa mãn a3 + b3 = 2. Chứng minh : a2 + b2 ≤ 2
Bài 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Bài 5. Cho
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a. 3a2 + 4b2 ≥ 7, với 3a + 4b = 7
b. 2a2 + 3b2 ≥ 5 , với 2a + 3b = 5

Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:


BÀI 5. ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TÌM GTLN VÀ GTNN
I. TÓM TĂT LÝ THUYẾT
Tìm GTLN của một tích: A.B
+ Kiểm tra A, B > 0: A + B = const
+ Tích A.B đạt GTLN khi và chỉ khi A = B
Tìm GTNN của một tổng: A + B
+ Kiểm tra A, B > 0: A.B= const
+ Tổng A + B đạt GTNN khi và chỉ khi A = B
Sử dụng điều kiện dấu bằng xảy ra của BĐT thông dụng, BĐT Cô-si, Bu-nhi-cốp-ski,..

Lưu ý: GTLN, GTNN phải đạt được khi có dấu “=” xảy ra

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau
a. y = (x + 3)(5 - x)

(-3 ≤ x ≤ 5)

b. y = (x + 1)(2 - x)

(-1 ≤ x ≤ 2)

c. y = (2x - 3)(6 - 2x)

(3/2 ≤ x ≤ 3)

Bài 2. Tìm GTNN của các hàm số sau
a. y = 2x + 1/2x

( x > 0)


b. y = x + 3 + 1/(x + 3)

(x > -3)

c. y = 2x +36/(2x - 4)

( x > 2)

Bài 3. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN của các biểu thức sau:

Bài 4. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN của các biểu thức sau:

Bài 5.

a. Tìm GTLN của biểu thức

b. Tìm GTNN của hàm số:

với 0 < x < 1.

c. Tìm GTLN của biểu thức:

với a ≥ 1, b ≥ 2, c ≥ 3

d. Tìm GTLN của biểu thức
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN của các biểu thức sau:
a. y = (x + 3)(5 – x); -3 ≤ x ≤ 5.

HD: a. Maxy = 16 khi x = 1

b. y = x(6 – x); 0≤ x ≤ 6

b. Maxy = 9 khi x = 3


Bài 2. Cho a, b, x, y ∈ R. Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min–cốp–xki):

Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:

a. Cho a, b ≥ 0 thoả a + b = 1. Tìm GTNN của :

b. Tìm GTNN của biểu thức

.

.

HD: Bình phương 2 vế ta được: (1) ⇔
Nếu ab + xy < 0 thì (*) hiển nhiên đúng.
Nếu ab + xy ≥ 0 thì bình phương 2 vế ta được: (*) ⇔ (bx – ay)2 ≥ 0 (đúng).

Bài 3.
a. Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 1. Chứng minh:

(*)


b. Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = √3. Tìm GTNN của biểu thức:

HD: a. Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta được:

b. Tương tự câu a). Ta có

BÀI 6. ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ TÌM GTLN-GTNN (nâng
cao)
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Tìm GTLN của một tích: A.B

+ Kiểm tra A, B > 0: A + B = const
+ Tích A.B đạt GTLN khi và chỉ khi A = B
Tìm GTNN của một tổng: A + B
+ Kiểm tra A, B > 0: A.B = const
+ Tổng A + B đạt GTNN khi và chỉ khi A = B
Sử dụng điều kiện dấu bằng xảy ra của BĐT thông dụng, BĐT Cô-si, Bu-nhi-cốp-ski,..
Lưu ý: GTLN, GTNN phải đạt được khi có dấu “=” xảy ra
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Cho ba số a, b, c tỏa mãn điều kiện ab + bc + ca =1. Tìm GTNN của biểu thức A = a 2 + b2 + c2
Bài 2. Cho 2x + 5y = 7. Tìm GTNN của M = 2x2 + 5y2 + 2006


Bài 3. Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 4. Cho x, y > 0. Tìm GTNN của các biểu thức sau:

Bài 5. Tìm GTLN của các biểu thức sau:

Bài 6. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau:

b. C = y – 2x + 5, với 36x2 + 16y2 = 9.
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau:


BÀI 7. BÀI TẬP NÂNG CAO VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
I .TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Khi gặp bài toán chứng minh bất đẳng thức, có thể nghĩ tới các hướng giải sau:
1. Dùng biến đổi tương đương, định nghĩa, tính chất BĐT
2. Dùng bất đẳng thức Cô-si cho các số không âm

3. Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki
4. Kết hợp hợp nhiều phương pháp.

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Bài 1. Cho a, b, c ∈ R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Bài 2. Cho a, b ≥ 0 . Chứng minh bất đẳng thức: a3 + b3 ≥ a2b + b2a = ab(a + b) (1). Áp dụng chứng
minh các bất đảng thức sau:


Bài 3. Cho ba số không âm a, b, c và a + b +c ≤ 3. Chứng minh :

Bài 4. Cho x, y > 0. Chứng minh rằng:

Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1.

a. Cho a, b > 0. Chứng minh:
Hd : sử dụng BĐT Côsi cho hai số dương a, b và 1 + ab

b. Cho x ≥ 1, y ≥ 1. Chứng minh:

c. Cho a, b, c ∈ R, thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh:


Bài 2. Cho a, b, c > 0. Chứng minh

(1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau:

a. Cho a, b, c > 0 thoả a + b + c ≤ 1. Tìm GTNN của biểu thức:

.

b. Cho a, b, c > 0 thoả a + b + c = 1. Chứng minh:

Bài 3. Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z ≤ 1. Chứng minh rằng:

HD: Áp dụng BĐT (B), ta có:


BÀI 8. ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
I. TÓM1. Khái niệm bptrình một ẩn:
Định nghĩa:
Cho 2 hsố y = f(x) và y = g(x) có txđ lần lượt là Df và Dg.
*Mđề chứa biến có 1 trong các dạng f(x) < g(x), f(x) > g(x), f(x) < g(x), f(x) < g(x), được gọi là bphtrình
một ẩn, x gọi là ẩn số và D gọi là txđ của bphương trình đó.
*Số x0 thuộc D là một nghiệm của bpt f(x) < g(x) nếu f(x0) = g(x0) là mđề đúng.
*Giải 1 bpt là tìm tất cả các nghiệm (hay tìm tập nghiệm) của bpt đó
2. Bất phương trình tương đương:
Định nghĩa:
f1(x) = g1(x)<=>f2(x) = g2(x) nếu hai bpt có cùng tập nghiệm.
3. Biến đổi tương đương các bpt:
Phép biến đổi tương đương biến 1 bpt thành 1 bpt tương đương với nó.
Định lý:Cho bpt f(x) < g(x) có txđ D; y=h(x) là 1 hs xđ trên D.
Khi đó trên D, bpt f(x) < g(x) t đương với mỗi pt sau:


1. f(x)+h(x) < g(x)+h(x);
2. f(x)h(x) < g(x)h(x) nếu h(x) > 0, ∀x thuộc D.

3. f(x)h(x) > g(x)h(x) nếu h(x) < 0, ∀x thuộc D.
Hệ quả: f(x) < g(x) ⇔ f3(x) < g3 (x)
0 ≤ f(x) < g(x) ⇔ f2(x) < g2(x)
TẮT LÝ THUYẾT

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
VẤN ĐỀ 1: Thử nghiệm,xét tính tương đương, xét dấu của nhị thức bậc nhất
Bài 1. Cho bất phương trình:
Kiểm tra xem các nghiệm giá trị x sau đây có phải là nghiệm của BPT trên hay không?
a. x = 0

b. x = -2

c. x = 3

d. x = -4

Bài 2. Xét từng cặp bất phương trình sau có tương đương không ?

Bài 3. Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm :

Bài 4. Bài 2 – Trang 88 – SGK – Đại số 10 – Cơ bản
Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm.


Bài 5. Bài 3 – Trang 88 – SGK – Đại số 10 – Cơ bản
Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương?

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Tìm các giá trị x thoả mãn điều kiện của mỗi bất phương trình sau:

Bài 2. Giải các bất phương trình sau:

BÀI 9. NHỊ THỨC BẬC NHẤT VÀ ỨNG DỤNG
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Định nghĩa
Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng:
f(x) = ax + b trong đó a, b là hai số đã cho, a ≠ 0.
Nghiệm của ptrinh f(x) = 0 là nghiệm của nhị thức f(x).
Phương pháp giải bất phương trình
+ Biến đổi BPT về một trong các dạng: f(x) > 0 (hoặc <, ≤, ≥ 0)
+ Lập bảng xét dấu của f(x)
+ Dựa vào bảng xét dấu để rút ra tập nghệm của BPT.


II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Xét dấu của các biểu thức sau:

Bài 2. Xét dấu của các biểu thức sau:

Bài 3. Giải các bất phương trình sau:

Bài 4. Giải các bất phương trình sau:
a. (x – 2)(3x + 1) > 0
b. (7 – 4x) (2x – 6) < 0
c. 6x (3 – x) > 0
Bài 5. Giải các bất phương trình sau :

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Giải bất phương trình :


HD: có thể xét dấu từng biểu thức trong trị tuyệt đối hoặc vẽ đồ thị
ĐS: -3 < x < 3
Bài

2. Giải

các

bất

phương

trình

sau

:

bất

phương

trình

sau

:

Bài 3. Giải các bất phương trình

Bài

4. Giải

các

BÀI 10. BIỆN LUẬN BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT CHỨA THAM SỐ
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Giải và biện luận BPT :


Bài 2. Giải và biện luận các bất phương trình sau:

Bài 3. Giải và biện luận các bất phương trình sau:
a. (m + 1)x + m < 3m + 4

d. mx + 1 > m2 + x

Bài 4. Giải và biện luận các bất phương trình sau:

Bài 5. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm:

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài

1. Giải

các

BPT

sau

Bài 2. Giải và biện luận các bất phương trình sau:
a. 2m(x + m) ≤ x + 1

b. mx – 6 > 2x + m.

Bài 3. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm:
a. mx – m2 > mx - 4

b. 3 – mx < 2(x – m) – (m + 1)2.

BÀI 11. BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUI VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT
ẨN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Bất phương trình tích
Dạng:

P(x).Q(x) > 0 (1)

(trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất)

Cách giải: Lập bảng xét dấu của P(x).Q(x). Từ đó suy ra tập nghiệm của (1).

:


2. Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

Dạng:

(2)

(trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất)

Cách giải: Lập bảng xét dấu của

. Từ đó suy ra tập nghiệm của (2).

Chú ý: Không nên qui đồng và khử mẫu.
3. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ
Tương tự như giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính
chất

của

GTTĐ

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Giải các bất phương trình sau:

Bài 2. Giải các bất phương trình sau:

để

khử

dấu

GTTĐ.


Bài 3. Giải các bất phương trình sau :

Bài 4. Giải các bất phương trình sau:

Bài 5. Giải các bất phương trình :

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Giải các bất phương trình sau:
a. (x + 2)(x – 1)(3x – 6) > 0

b. x3 + 6x2 + 11x + 6 > 0

Bài 2. Giải các bất phương trình sau:

Bài 3. Giải các bất phương trình sau:

Bài 4. Giải và biện luận các bất phương trình sau:

BÀI 12. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN