Đề HSG Toán 6 Huyện Lục Nam 20142015

PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2014 – 2015
MÔN THI : TOÁN 6
Ngày thi 09/04/2015
Thời gian làm bài 150 phút

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1 (5 điểm)
Tính giá trị của biểu thức
 9 15   5 11 7 
A =  − ÷.  − − ÷
 10 16   12 15 20 
1 + 2 + 3 + 4 + .............. + 2014
B=
2015.1002 + 2015.5

C=

11.322.37 − 915
4.328

Bài 2 (4 điểm)
Tìm x biết
1) x − 2013 − 2014 = 2015
20
20
20  3
 20

2) x − 
+
+
+ ............ +
÷=
53.55  11
 11.13 13.15 15.17

Bài 3 (6 điểm)
1) Cho 2 số x, y nguyên thỏa mãn 621x + 587y M2014 Chứng minh rằng
151x + 253y M2014
12x + 1
2) Tìm tất cả các số nguyên x để phân số
có giá trị là số nguyên?
3x − 2
3) Một số tự nhiên chia cho 3 dư 2, chia cho 4 dư 1, chia cho 5 dư 3. Hỏi số
đó chia cho 60 thì có số dư là bao nhiêu?
Bài 4 (3 điểm)
·
·
·
·
Cho hai góc xOy
, yOz
kề bù và thỏa mãn xOy
gấp 3 lần yOz

·
1) Tính yOz
?

·
·
2) Gọi tia Ot là phân giác xOy
, Om là tia đối của tia Ot. Tính số đo xOm
?
Bài 5 (2 điểm)
1
2
3
2013
+
+
+ .............. +
+ 2014
2014 2013 2012
2
1 1 1
1
B = + + + ............................ +
2 3 4
2015

1) Cho A =

Tính giá trị

A
B

2) Cho a, b, c ∈ Z thỏa mãn ab − ac + bc − c 2 = −1
Tính giá trị biểu thức M = a + b
………………Hết ………………….


PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2014 – 2015
MÔN THI : TOÁN 6

Bài

Nội dung

Bài 1
 9 15   5 11 7   72 75   25 44 21 
A =  − ÷.  − − ÷=  − ÷.  − − ÷
 10 16   12 15 20   80 80   60 60 60 
 3   40  1
=  − ÷.  − ÷ =
 80   60  40
1 + 2 + 3 + 4 + .............. + 2014
2015.1002 + 2015.5
(1 + 2014).2014 : 2
=
=1
2015.(1002 + 5)

Điểm

5
1
1

B=

11.322.37 − 915
4.328
11.329 − 330
=
4.328
329 (11 − 3)
=
4.328
329.8
=
=6
4.328

1.5

C=

Bài 2
1

0.5
0.5
0.5
4

a) x − 2013 − 2014 = 2015

Trường hợp 1:
x − 2013 − 2014 =2015

0.5

x − 2013 = 4029

Trường hợp a) x - 2013=4029
x = 6042
Trường hợp b) x - 2013= -4029
x= - 2016
Trường hợp 2:
x − 2013 − 2014 =-2015

0.5

0.5

x − 2013 = - 1
x ∈φ

Vậy x =6042 hoặc x = -2016

0.5


20

20
20  3
 20
b) x − 
+
+
+ ............ +
÷=
53.55  11
 11.13 13.15 15.17

2

1 1  3
1 1 1 1
b) x − 10.  − + − + .............. + − ÷ =
53 55  11
 11 13 13 15
1 1  3
x − 10.  − ÷ =
 11 55  11
4
3
x - 10. =
55 11
3 8
x=
+
11 11
x=1

Vậy x = 1

0.5
0.5
0.5

0.5

Bài 3

6

621x + 587y M2014 ⇒ 3.(621x + 587y) M
2014
1

1

⇒ 1863x + 1761y M
2014

Xét tổng (1863x + 1761y) + (151x + 253y) = 2014x + 2014y
Ta có 1863x + 1761y M
2014 và 2014x + 2014y M
2014
Nên suy ra 151x + 253y M2014 (đpcm)
12x + 1 12x − 8 + 9
9
= 4+
=

3x − 2
3x − 2
3x − 2
Để P nguyên thì 9 M3x – 2
Vì x nguyên ta có bảng sau
3x – 2 1
3
-1
-3
φ
φ
φ
x
1

1
1

P=

2

9

-9

φ

φ

Vậy x = 1 thỏa mãn

3

Gọi số đó là x ta có:
x chia cho 3 dư 2, chia cho 4 dư 1, chia cho 5 dư 3
Suy ra x + 7 chia hết cho 3; 4; 5
Hay x + 7 M(3.4.5)
x + 7 M60 ⇒ x + 7 = 60k (k ∈ N)
x = 60k – 7
x = 60k – 60 +53
x = 60(k – 1 ) + 53
Vậy số dư x chia cho 60 dư 53

0.5
0.5

1

0.5
0.5


Bài 4

3
0.5

·
·

·
·
Vì xOy
, yOz
kề bù nên ta có xOy
+ yOz
= 1800
·
·
·
Mà xOy
gấp 3 lần yOz
Nên 4 yOz
= 1800
1

⇒

0.5

= 450
·
yOz

0.5

·
Ta có yOz
= 450
Nên

2

·
xOy

=

1350

do

Ot

là

phân

giác

·
nên
xOy

· = 1 xOy
·
xOt
= 67,50
2
Mặt

khác

Ot,

Om

0.5

là

hai

tia

đối

nhau

·
xOm
= 180 − 67,5 = 112,50
Bài 5
1

0.5

nên
0.5
2

1
2
3
2013
+
+
+ .............. +
+ 2014
2014 2013 2012
2
1 1 1
1
B = + + + ............................ +
2 3 4
2015

1) Cho A =


Ta có
1
2
3
2013
+
+
+ .............. +
+ 2014
2014 2013 2012
2

 1
  2

 2013 
=
+ 1 ÷+ 
+ 1 ÷+ .......... + 
+ 1 ÷+ 1
 2014   2013 
 2

2015 2015
2015 2015
=
+
+ .............. +
+
2014 2013
2
2015
1 
1 1
= 2015.  + + .................... +
÷
2015 
2 3

A=

Vậy

A
= 2015
B

0.5

0.5

ab − ac + bc − c 2 = −1
⇒ a(b – c ) + c(b – c ) = -1
⇒ (b – c )(a + c) = -1

0.5

Vì a,b,c nguyên nên ta có
a + c = 1
 b − c = −1

TH1: 
2

⇒M = a + b = 0
 a + c = −1
b − c = 1

TH2: 

⇒M = a + b = 0

0.5

Vậy M = 0

Tổng điểm toàn bài

20