SKKN: Giaỉ bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Giaỉ bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
I. PHẦN MỞ ĐẦU:
1.

Lý do chọn đề tài:

Trong quá trình ôn thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7. Tôi nhận thấy học sinh
còn gặp nhiều khó khăn khi gặp “ Bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị
tuyệt đối” do nhiều vấn đề về phương pháp giải, thiếu logic và chưa chặt chẻ, còn
thiếu sót các trường hợp có thể xảy ra. Nguyên nhân chính là vì chưa hiểu rõ về giá
trị tuyệt đối của một biểu thức, chưa phân loại được các dạng bài tập và cách giải
của từng dạng, còn nhầm lẫn giữa dạng này với dạng kia. Mặt khác kiến thức về giá
trị tuyệt đối trong lớp 6, 7 còn khá đơn giản, mới ở dạng cơ bản vì vậy các em gặp
rất nhiều khó khăn khi giải bài toán dạng này. Chính vì vậy, để khắc phục cho học
sinh những sai lầm khi giải bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt
đối khi ôn thi học sinh giỏi toán 7. Tôi nghĩ cần phải làm như thế nào đó để học
sinh có thể vận dụng được tốt định nghĩa, tính chất về giá trị tuyệt đối, phân chia
được các dạng, tìm được phương pháp giải và không có sự nhầm lẫn giữa các dạng
bài tập. Mặc dù đề tài này đã được nhiều anh chị đồng nghiệp đi trước nghiên cứu.
Nhưng qua quá trình học hỏi và rút kinh nghiệm từ bản thân trong thời gian ôn thi
cho các em có hiệu quả nên tôi mạnh dạn viết ra sáng kiến này để các anh chị đồng
nghiệp có thể vận dụng trong quá trình ôn tập cũng như các em học sinh có thể tự
tin khi gặp phải dạng toán này.
1.Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài:
Mục tiêu: Nâng cao kỷ năng giải một số dạng bài toán tìm x có chứa dấu giá
trị tuyệt đối cho học sinh cũng từ đó phát triển tư duy logic cho học sinh, giúp cho
bài giải của các em hoàn thiện hơn, chính xác hơn.
Nhiệm vụ: Phân loại được từng dạng bài tập, cách giải cụ thể đối với từng
dạng bài tập.
2.Đối tượng nghiên cứu:
Biện pháp sư phạm nhằm phát triển khả năng trình bày giải “Bài toán tìm x

trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối”.
Đào Thị Nữ - Trường THCS Lê Đình Chinh

1


Giaỉ bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
3.Giới hạn phạm vi nghiên cứu:
Khuôn khổ nghiên cứu: Một số biện pháp nâng cao chất lượng khi ôn thi học
sinh giỏi môn Toán 7.
Đối tượng khảo sát: Một số em học sinh giỏi khối 7 trường THCS Lê Đình
Chinh.
Thời gian: Năm học 2015-2016.
4.Phương pháp nghiên cứu:
Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng, sách giáo khoa, sách tham khảo và
Internet. .
Điều tra, tổng kết kinh nghiệm từ các anh chị đi trước.
Tham khảo một số ý kiến của đồng nghiệp.
Tiến hành thử nghiệm trong quá trình ôn thi cho các em học sinh.
2.PHẦN NỘI DUNG:
1.Cơ sở lý luận:
Chương trình học lớp 7 còn nhẹ nhàng, học sinh chỉ mới tìm hiểu tới khái
niệm và một số tính chất đơn giản của giá trị tuyệt đối. Học sinh chưa được học
quy tắc giải phương trình, bất phương trình cũng như các phép biến đổi tương
đương. Chính vì vậy học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi giải các bài toán tìm x
trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. Hiểu và nắm vững kiến thức này sẽ giúp
cho các em thuận lợi hơn trong quá trình học tập và thi cử sau này.
2.Thực trạng:
Trong quá trình ôn thi, tôi nhận thấy học sinh còn gặp nhiều khó khăn khi
giải quyết “Bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối”. Bài giải thiếu

chặt chẽ, thiếu logic, thiếu trường hợp, chất lượng chưa cao.
2.1. Thuận lơi, khó khăn:
Thuận lợi: Các em đều là học sinh giỏi nên các em đã có kiến thức cơ bản về
Toán học, tình yêu và sự ham học hỏi chính là thuận lợi khi áp dụng phương pháp.

Đào Thị Nữ - Trường THCS Lê Đình Chinh

2


Giaỉ bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Khó khăn: Kiến thức đã được học trong chương trình chỉ mới sơ khai, các
em còn khá lúng túng khi giải quyết bài toán cũng như ghi nhớ từng dạng bài tập.
2.2. Thành công, hạn chế:
Thành công: Sau quá trình nghiên cứu, đề tài đã đạt được những thành công
nhất định, đã tổng hợp gần như đầy đủ các dạng bài tập và cách giải cũng như cách
trình bày từng dạng bài tập “ Tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối”.
Hạn chế: Tuy đã phân loại được từng dạng bài tập nhưng số lượng khá nhiều
nên để hướng dẫn và ghi nhớ cho học sinh thì phải cần một thời gian nhất định và
phải thường xuyên củng cố để học sinh có thể ghi nhớ hơn.
2.3. Mặt mạnh, mặt yếu:
Mặt mạnh: Phân loại được các dạng bài tập, phương pháp giải cụ thể, có ví
dụ minh họa rõ ràng, có kèm theo bài tập cho học sinh củng cố đối với từng dạng
bài cụ thể.
Mặt yếu: Số lượng kiến thức nhiều và dễ nhầm lẫn giữa các dạng bài tập.
2.4. Các nguyên nhân, các yếu tố tác động:
Kiến thức ở lớp 6 & 7 ở dạng này để áp dụng còn hạn chế nên không thể đưa
ra đầy đủ các phương pháp giải một cách có hệ thống và phong phú được . Mặc dù
chương trình sách giáo khoa sắp xếp rất hệ thống và lô gíc, có lợi thế về dạy học
đặt vấn đề trong dạng toán tìm x, thời gian giảng dạy trên lớp còn hạn chế nên giáo

viên không thể mở rộng kiến thức nhiều hơn cho học sinh.
2.5. Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra:
Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi đối với môn toán 7, tôi
nhận thấy học sinh còn nhiều vướng mắc khi giải bài toán tìm x có chứa dấu giá trị
tuyệt đối. Đa số học sinh khi giải còn thiếu lô gíc ,thiếu chặt chẽ , thiếu trường hợp.
Chất lượng môn toán của học sinh còn hạn chế, học sinh giỏi còn ít.
Với học sinh lớp 7 ở trường THCS Lê Đình Chinh đa số các em là con
nông dân nên thời gian dành cho các em học tập là ít. Nên gặp bài toán này các em
làm được rất ít, hoặc làm thì thường mắc những sai lầm.
Đào Thị Nữ - Trường THCS Lê Đình Chinh

3


Giaỉ bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
3.Giải pháp, biện pháp:
Giải pháp: Điều khó khăn khi dạy học sinh lớp 7 là các em chưa được học
giải phương trình, bất phương trình, các phép biến đổi tương đương, hằng đẳng
thức ….Nên giải bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối có những
phương pháp xây dựng thì chưa thể hướng dẫn được học sinh vì thế các em cần
nắm vững các kiến thức cơ bản sau :
* Quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế.
* Định lí và tính chất về giá trị tuyệt đối .
A khi A ≥ 0
A =
-A khi A<0

A = −A ,

A ≥0

* Định lí về dấu nhị thức bậc nhất.
Biện pháp: Để giải bài toán tìm x mà biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Tôi đã sử dụng các kiến thức cơ bản như quy tắc, tính chất, định nghĩa về giá trị
tuyệt đối hướng dẫn học sinh phân chia từng dạng bài, phát triển từ dạng cơ bản
sang dạng khác. Từ phương pháp giải dạng cơ bản, dựa vào định nghĩa tính chất về
giá trị tuyệt đối tìm tòi các phương pháp giải các dạng khác đối với mỗi dạng bài,
loại bài.
3.1. Mục tiêu của giải pháp, biện pháp:
Các kiến thức cơ bản là khởi đầu cho mọi kiến thức mở rộng sau này, nắm
vững được các kiến thức chúng ta sẽ dễ dàng ghi nhớ và sử dụng để giải quyết các
bài tập từ cơ bản đến phức tạp. Hiểu rõ được vấn đề sẽ giúp cho các em không
nhầm lẫn kiến thức với nhau.
3.2. Nội dung và cách thức việc thực hiện giải pháp, biện pháp:
Biện pháp cụ thể như sau:
A/.Một số dạng cơ bản
1.1 Dạng cơ bản A ( x ) = B với B ≥ 0
a. Cách tìm phương pháp giải
Đào Thị Nữ - Trường THCS Lê Đình Chinh

4


Giaỉ bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Đẳng thức có xảy ra không? Vì sao? Nếu đẳng thức xảy ra cần áp dụng kiến
thức nào để bỏ dấu giá trị tuyệt đối (áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối của hai số
đối nhau thì bằng nhau)
b. Phương pháp giải
Ta lần lượt xét A(x) = B và A(x) = -B, giải hai trường hợp
c.Ví dụ

Ví dụ 1 :( Bài 25 (a) sách giáo khoa trang 16 tập 1)
x − 1,7 = 2,3

Tìm x , biết

GV: Đặt câu hỏi bao quát chung cho bài toán :
Đẳng thức có xảy ra không ? vì sao?
( Đẳng thức có xảy ra vì x − 1,7 ≥ 0 và 2,3 ≥ 0 )
Cần áp dụng kiến thức nào để giải, để bỏ được dấu giá trị tuyệt đối (áp dụng
tính chất giá trị tuyệt đối của hai số đối nhau thì bằng nhau )
Bài giải
x − 1,7 = 2,3 ⇒ x-1,7= 2,3; hoặc x-1,7 = -2,3

+ Xét

x-1,7= 2,3 ⇒ x= 2,3 + 1,7 ⇒ x= 4

+ Xét

x-1,7 = -2,3 ⇒ x = -2,3 +1,7 ⇒ x=-0,6

Vậy x=4 hoặc x=-0,6
Từ ví dụ đơn giản, phát triển đưa ra ví dụ khó dần
Ví dụ 2 : ( bài 25b SGK trang 16 tập 1)
Tìm x biết

x+

3 1
− =0

4 3

Với bài này tôi đặt câu hỏi ‘Làm sao để đưa về dạng cơ bản đã học ‘
Từ đó học sinh biến đổi đưa về dạng x +

3 1
=
4 3

Bài giải
Ta có:

x+

3 1
− =0
4 3

Đào Thị Nữ - Trường THCS Lê Đình Chinh

5


Giaỉ bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
⇒ x+
⇒x +

3 1
=
4 3

3 1
=
4 3

+ Xét x +

3 1
= ⇒
4 3
3
4

3
4

1
3

x =−

5
12

hoặc x + = -

1
3

+ Xét x + = - ⇒ x

Vậy x = −
Ví dụ 3

=−

13
12

13
5
hoặc x = −
12
12

Tìm x biết
3 9 − 2 x -17 =16

Làm thế nào để đưa về dạng cơ bản đã học?
Từ đó học sinh đã biến đổi đưa về dạng cơ bản đã học 9 − 2 x = 11
Bài giải
Ta có: 3 9 − 2 x -17 =16
⇒ 3 9 − 2x

= 33

⇒ 9 − 2x

= 11

⇒

9-2x =11 hoặc 9-2x = -11

⇒

+ Xét

9-2x = 11 ⇒

-2x = 2 ⇒ x= -1

+ Xét

9-2x = -11 ⇒

-2x = - 20 ⇒ x= 10

Vậy x = -1 hoặc x = 10
d. Bài tập cũng cố:
Bài 1.1: Tìm x, biết:
a) 2 x − 5 = 4

b)

1 5
1
− − 2x =
3 4
4

c)

1
1 1
− x+ =
2
5 3

d)

3
7
− 2x + 1 =
4
8

Bài 1.2: Tìm x, biết:
a) 2 2 x − 3 =

1
2

b) 7,5 − 3 5 − 2 x = −4,5

Đào Thị Nữ - Trường THCS Lê Đình Chinh

c) x +

4
− − 3,75 = − − 2,15

15
6


Giaỉ bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bài 1.3: Tìm x, biết:
a) 2 3x − 1 + 1 = 5

b)

x
−1 = 3
2

c) − x +

2 1
+ = 3,5
5 2

d) x −

1
1
=2
3
5

Bài 1.4: Tìm x, biết:
a) x +

4,5 −

1 3
− = 5%
4 4

b) 2 −

3
1
−5
x− =
2
4
4

c)

3 4
3 7
+ x− =
2 5
4 4

d)

3 1
5 5
x+ =
4 2

3 6

Bài 1.5: Tìm x, biết:
9
4

a) 6,5 − : x +

1
=2
3

b)

11 3
1 7
+ : 4x − =
4 2
5 2

c)

15
3
1
− 2,5 : x + = 3
4
4
2

d)

21
x 2
+ 3: − = 6
5
4 3

1.2 Dạng cơ bản A(x) = B(x) ( Trong đó biểu thức B (x) có chưá biến x)
a. Cách tìm phương pháp giải
Cũng đặt câu hỏi gợi mở như trên , học sinh thấy được đẳng thức không xảy
ra khi B(x) <0. Vậy cần áp dụng kiến thức nào để có thể dựa vào dạng cơ bản đế
suy luận tìm ra cách giải bài toán trên không? Có thể tìm ra mấy cách ?
b. Phương pháp giải
Cách 1 : ( Dựa vào tính chất )
A(x) = B(x)

Với điều kiện B(x) ≥ 0 ta có A(x) = B(x) hoặc A(x) = - B(x) sau đó giải hai
trường hợp với điều kiện B(x) ≥ 0
Cách 2 : Dựa vào định nghĩa xét các quá trình của biến của biểu thức chứa
dấu giá trị tuyệt đối để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
A(x) = B(x)

+Xét A(x) ≥ 0 ⇒ x? Ta có A(x) = B(x) ( giải tìm x để thoả mãn A(x) ≥ 0 )
Đào Thị Nữ - Trường THCS Lê Đình Chinh

7


Giaỉ bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

+ Xét A(x) < 0 ⇒ x? Ta có A(x) = - B(x) ( giải tìm x để thoả mãn A(x) < 0)
+ Kết luận : x = ?
Lưu ý : Qua hai dạng trên tôi cho học sinh phân biệt rõ sự giống nhau (đều
chứa một dấu giá trị tuyệt đối) và khác nhau ( A(x) =m ≥ 0 dạng đặc biệt của dạng
hai)
Nhấn mạnh cho học sinh thấy rõ được phương pháp giải loại đẳng thức
chứa một dấu giá trị tuyệt đối, đó là đưa về dạng A =B (Nếu B ≥ 0 đó là dạng đặc
biệt, còn B<0 thì đẳng thức không xảy ra. Nếu B là biểu thức có chứa biến là dạng
hai và giải bằng cách 1) hoặc ta đi xét các trường hợp xảy ra đối với biểu thức
trong giá trị tuyệt đối.
c. Ví dụ
Ví dụ 1 Tìm x biết: 9 − 3x = x- 7
* Cách 1 :
Với x-7 ≥ 0 ⇒ x ≥ 7 ta có 9-3x = x-7 hoặc 9-3x = -( x-7 )
+ Nếu

9-3x = x-7

⇒ -4x

= -16 ⇒ x = 4 (Thoả mãn)

+ Nếu 9 - 3x = -( x-7) ⇒ 9- 3x = -x +7 ⇒ x=
Vậy x =

1
(Thoả mãn)
2

1

hoặc x = 4
2

* Cách 2 :+ Xét 9-3x ≥ 0 ⇒ x ≤ 3 ta có 9-3x= x-7 ⇒ x= 4(Thoả mãn)
+ Xét 9-3x< 0 ⇒ x > 3 ta có -(9-3x)= x-7 ⇒ x=
Vậy x =

1
(Thoả mãn)
2

1
hoặc x = 4
2

Ví dụ 2 Tìm x biết

x − 3 -x = 7

*Cách 1 : x − 3 -x = 7
⇒ x−3

= x+7

Với x+7 ≥ 0 ⇒ x ≥ -7 ta có x-3 = x+7 hoặc x-3 =-( x+7)
Đào Thị Nữ - Trường THCS Lê Đình Chinh

8

Giaỉ bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
⇒ 0x = 10 ( loại )
+ Nếu x-3 = x+7
+ Nếu

x-3 =-( x+7)

⇒ x-3 = -x-7 ⇒ 2x= -4 ⇒ x=-2 ( Thoả mãn)

Vậy x = -2
*Cách 2 : x − 3 -x = 7
+ Xét x-3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3 ta có x-3 -x= 7 ⇒ 0x= 10 ( loại )
+ Xét x-3<0 ⇒ x< 3 ta có -(x-3) -x = 7 ⇒ -x+3 -x=7 ⇒ 2x= -4 ⇒ x=-2
( Thoả mãn)
Vậy x= -2
d. Bài tập cũng cố:
Bài 1.2.1: Tìm x, biết:
a)

1
x = 3 − 2x
2

b) x − 1 = 3x + 2

c) 5 x = x − 12

d) 7 − x = 5 x + 1

c) x + 6 − 9 = 2 x

d) 2 x − 3 + x = 21

c) x + 15 + 1 = 3x

d) 2 x − 5 + x = 2

c) 3x − 7 = 2 x + 1

d) 2 x − 1 + 1 = x

c) 3x − 4 + 4 = 3x

d) 7 − 2 x + 7 = 2 x

Bài 1.2.2: Tìm x, biết:
a) 9 + x = 2 x

b) 5 x − 3x = 2

Bài 1.2.3: Tìm x, biết:
a) 4 + 2 x = −4 x

b) 3x − 1 + 2 = x

Bài 1.2.4: Tìm x, biết:
a) 2 x − 5 = x + 1

b) 3x − 2 − 1 = x

Bài 1.2.5: Tìm x, biết:
a) x − 5 + 5 = x

b) x + 7 − x = 7

1.3 Dạng A( x ) + B( x ) =0
a. Cách tìm phương pháp giải
Với dạng này tôi yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức về đặc điểm của giá trị
tuyệt đối của một số (giá trị tuyệt đối của một số là một số không âm ). Vậy tổng
của hai số không âm bằng không khi nào? (Cả hai số đều bằng không ). Vậy ở bài

Đào Thị Nữ - Trường THCS Lê Đình Chinh

9


Giaỉ bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
này tổng trên bằng không khi nào ? [A(x) =0 và B(x)=0 ] Từ đó ta tìm x thoả mãn
hai điều kiện: A(x) =0 và B(x)=0
b. Phương pháp giải
Tìm x thoả mãn hai điều kiện : A(x) =0 và B(x)=0
c. Ví dụ
Tìm x , biết
2
1, x + 2 + x + 2 x =0
2
2, x + x + ( x + 1)( x − 2) =0

Bài giải
1,

x + 2 + x 2 + 2 x =0

⇒

x + 2 =0 và x 2 + 2 x =0

+ Xét x + 2 =0 ⇒ x+2=0

⇒

2
+ Xét x + 2 x =0 ⇒ x2 +2x=0 ⇒

x=-2

(1)

x(x+2) =0 ⇒ x=0 hoặc x+2 =0 ⇒ x=-2

(2)
Kết hợp (1)và (2) ⇒ x=-2
2,

x 2 + x + ( x + 1)( x − 2 ) =0

⇒ x 2 + x =0 và ( x + 1)( x − 2 ) =0
2
+ Xét x + x =0 ⇒ x2 + x=0 ⇒ x(x+1) =0 ⇒ x=0 hoặc x+1 =0 ⇒ x=-1 (1)

+ Xét ( x + 1)( x − 2) =0 ⇒ ( x+1)(x-2) =0 ⇒ x+1=0 hoặc x-2 =0
⇒ x=-1

hoặc x=2

(2)

Kết hợp (1) và (2) ta được x= -1
Lưu ý : Ở dạng này tôi lưu ý cho học sinh phải ghi kết luận giá trị tìm được
thì giá trị đó phải thoả mãn hai đẳng thức A( x ) =0 và B( x ) =0
d. Bài tập cũng cố:
Bài 1.3.1: Tìm x, y thoả mãn:
Đào Thị Nữ - Trường THCS Lê Đình Chinh

10


Giaỉ bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
a) 3x − 4 + 3 y + 5 = 0

b) x − y + y +

9
=0
25

c) 3 − 2 x + 4 y + 5 = 0
Bài 1.3.2: Tìm x, y thoả mãn:
3
4

a) 5 − x +

2
y −3 = 0
7

b)

2 1 3
11 23
− + x + 1,5 − +
y =0
3 2 4
17 13

c)

x − 2007 + y − 2008 = 0

* Chú ý 1: Bài toán có thể cho dưới dạng A + B ≤ 0 nhưng kết quả không thay đổi
* Cách giải: A + B ≤ 0 (1)
A ≥ 0
⇒ A + B ≥0
B ≥ 0

(2)
A = 0
B = 0

Từ (1) và (2) ⇒ A + B = 0 ⇔ 
1.4.

Dạng A( x )

= B( x ) hay A( x ) - B( x ) =0

a. Cách tìm phương pháp giải
Trước hết tôi đặt vấn đề để học sinh thấy đây là dạng đặc biệt ( vì đẳng thức
luôn xảy ra vì cả hai vế đều không âm), từ đó các em tìm tòi hướng giải quyết.
Cần áp dụng kiến thức nào về giá trị tuyệt đối để bỏ được đấu giá trị tuyệt
đối và cần tìm ra phương pháp giải ngắn gọn. Có hai cách giải: Xét các trường hợp
xảy ra của A(x) và B(x) (dựa vào định nghĩa) và cách giải dựa vào tính chất hai số
đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau để suy ra ngay A(x) =B(x); A(x) =-B(x) (vì
ở đây cả hai vế đều không âm do A( x ) ≥ 0 và B( x ) ≥ 0). Để học sinh lựa chọn cách
giải nhanh, gọn, hợp lí để các em có ý thức tìm tòi trong giải toán và ghi nhớ được.
b. Phương pháp giải
*Cách 1 : Xét các trường hợp xảy ra của A(x) và B(x) để phá giá trị
tuyệt đối.

Đào Thị Nữ - Trường THCS Lê Đình Chinh

11


Giaỉ bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
*Cách 2 : Dựa vào tính chất hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng
nhau ta tìm x thoả mãn một trong hai điều kiện A(x) =B(x) hoặc A(x) =-B(x).
c. Ví dụ
Ví dụ 1 : Tìm x biết

x + 3 = 2x − 1

⇒ x+3 = 2x-1 hoặc x+3 =-(2x-1)

+ Xét x+3 = 2x-1 ⇒ x=4
+ Xét x+3 =-(2x-1) ⇒ x+3 = -2x +1 ⇒ x=- −
Vậy x= −

2
3

2
hoặc x=4
3

Ví dụ 2: Tìm x biết

x−2 + x+4 =8

Bước 1 : Lập bảng xét dấu :
Trước hết cần xác định nghiệm của nhị thức :
x-2=0 ⇒ x=2 và x+4 =0 ⇒ x=-4
Trên bảng xét dấu xếp theo thứ tự giá trị của x phải từ nhỏ đến lớn .
Ta có bảng sau:
X
x-2

-4
-

2
-

0

+

X+4
0
+
+
Bước 2: Dựa vào bảng xét dấu các trường hợp xảy ra theo các khoảng giá trị
của biến .Khi xét các trường hợp xảy ra không được bỏ qua điều kiện để A=0 mà
kết hợp với điều kiện để A >0 ( ví dụ -4 ≤ x<2)
Cụ thể : Dựa vào bảng xét dấu ta có các trường hợp sau :
+ Nếu x<-4 ta có x-2<0 và x+4 <0
nên x − 2 = 2-x và x + 4 = -x-4
Đẳng thức trở thành

2-x -x-4 = 8
⇒ -2x = 10

Đào Thị Nữ - Trường THCS Lê Đình Chinh

12


Giaỉ bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
⇒ x=-5 ( thoả mãn x< -4)

+ Nếu -4 ≤ x<2 ta có x − 2 = 2-x và x + 4 = x+4
Đẳng thức trở thành

2-x +x+ 4 = 8
0x= 2 (vôlí )

+ Nếu x ≥ 2 ta có x − 2 =x-2
Đẳng thức trở thành

và x + 4 = x+4

x-2 + x+4 = 8
2x = 6
x = 3 (thoả mãn x ≥ 2 )

Vậy x=-5 ; x=3
Lưu ý: Qua hai cách giải trên tôi cho học sinh so sánh để thấy được lợi thế
trong mỗi cách giải . Ở cách giải 2, thao tác giải sẽ nhanh hơn , dễ dàng xét dấu
trong các khoảng giá trị hơn , nhất là các dạng chứa 3 ; 4 dấu giá trị tuyệt đối
( nên ý thức lựa chọn cách giải)
Ví dụ 3 : Tìm x ,biết
x − 1 − 3 x − 3 + 5 x − 6 = 8 (1)

Nếu giải bằng cách 1 sẽ phải xét nhiều trường hợp xảy ra ,dài và mất nhiều
thời gian . Còn giải bằng cách hai (lập bảng xét dấu ).
X
x-1

1
-

0

3
+

6
+

+

+

+

x-3
-

-

0

x-6
0
+
+ Nếu x<1 thì (1) ⇒ 1-x +3x-9 +30 -5x =8 ⇒ x=14/3 (loại)
+ Nếu 1 ≤ x<3 thì (1) ⇒ x-1 +3x-9 +30 -5x =8 ⇒ x=6 (loại)
+ Nếu 3 ≤ x<6 thì (1) ⇒ x-1 -3x+9 +30 -5x =8 ⇒ x=30/7 (thoả mãn )
+ Nếu x ≥ 6 thì (1) ⇒ x-1 -3x +9 +5x -30 =8 ⇒ x=10 (thoả mãn )
Vậy x= 30/7 ; x=10

Đào Thị Nữ - Trường THCS Lê Đình Chinh

13


Giaỉ bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Tuy nhiên với cách hai sẽ dể mắc sai sót về dấu trong khi lập bảng ,nên khi
xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối cần phải hết sức lưu ý và tuân theo
đúng quy tắc lập bảng. Một điều cần lưu ý cho học sinh đó là kết hợp trường hợp ≥
trong khi xét các trường hợp xảy ra để thoả mãn biểu thức ≥ 0 (tôi đưa ra ví dụ cụ
thể để khắc phục cho học sinh).
Ví dụ 4 : Tìm x biết x − 4 + x − 9 = 5
Lập bảng xét dấu
X

4

9

x-4
0
+
+
x-9
0
+
+ Xét các trường hợp xảy ra , trong đó với x ≥ 9 thì đẳng thức trở thành
x-4 + x-9 =5
x = 9 thoả mãn x ≥ 9 , như vậy nếu không kết hợp với x = 9 để x-9 = 0
mà chỉ xét tớí x > 9 để x-9 > 0 thì sẽ bỏ qua mất giá trị x = 9

Từ những dạng cơ bản đó đưa ra các dạng bài tập mở rộng khác về loại toán
này: dạng lồng dấu ,dạng chứa từ ba dấu giá trị tuyệt đối trở lên.
+ Xét 4 ≤ x <9 ta có x-4 +9-x = 5 ⇒ 0x = 0 thoả mãn với mọi x sao cho 4
≤ x<9

+ Xét x < 4 ta có 4-x+9-x = 5

⇒ x = 4 (loại)

Vậy 4 ≤ x ≤ 9
d. Bài tập cũng cố:
Bài 1.4.1: Tìm x, biết:
a) 5 x − 4 = x + 2

b) 2 x − 3 − 3x + 2 = 0

c) 2 + 3x = 4 x − 3

d) 7 x + 1 − 5 x + 6 = 0
Bài 1.4.2: Tìm x, biết:
a)

3
1
x + = 4x − 1
2
2

5
4

b) x −

7 5
3
− x+ =0
2 8
5

Đào Thị Nữ - Trường THCS Lê Đình Chinh

7
5

c) x +

2
4
1
= x−
3
3
4

14


Giaỉ bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
d)

7
5 1
x+ − x+5 = 0
8
6 2

1.5.

Dạng toán hỗn hợp:

a. Cách tìm phương pháp giải:
Với dạng toán này tôi yêu cầu học sinh cần nắm vững các dạng toán đã được
học ở trên. Từ đó vận dụng linh hoạt từng phương pháp phù hợp để giải quyết các
vấn đề mà bài toán gặp phải.
b. Phương pháp giải:
Xét từng trường hợp có thể xảy ra để phá giá trị tuyệt đối.
c. Ví dụ:
Ví dụ 1: 2 x − 1 +
⇒ 2x −1 +

1 4
=
2 5

1 4
1
4
= ; hoặc 2 x − 1 + = −
2 5
2

5
1
2

4
5

Xét 2 x − 1 + = ⇒ 2 x − 1 =
⇒x=

3
3
3
⇒ 2x −1 =
hoặc 2 x − 1 = −
10
10
10

13
7
hoặc x =
.
20
20
1
2

4
5

Xét 2 x − 1 + = − ⇒ 2 x − 1 = −
Vậy x =

13
( Loại)
10

13
7
hoặc x =
.
20
20

2
Ví dụ 2: x + 2 x −

1
= x2 + 2
2

Ta có x 2 + 2 ≥ 0 suy ra:
x2 + 2 x −

1
1
1
= x 2 + 2 ⇒ x 2 + 2 x − = x 2 + 2 hoặc x 2 + 2 x − = −( x 2 + 2)
2

2
2

2
Với x + 2 x −

⇒x=

1
1
1
1
= x 2 + 2 ⇒ x − = 1 ⇒ x − = 1 hoặc x − = −1
2
2
2
2

3
1
hoặc x = −
2
2

Đào Thị Nữ - Trường THCS Lê Đình Chinh

15


Giaỉ bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

2
Với x + 2 x −

Vậy x =

1
1
= −( x 2 + 2) ⇒ x − = −2 x 2 − 2 ( Loại)
2
2

3
1
hoặc x = −
2
2

d. Bài tập cũng cố:
Bài 1.5.1: Tìm x, biết:
a) 2 x − 1 −

1 1
=
2 5

b)

1
3 2
x +1 − =

2
4 5

2
c) x x +

3
=x
4

Bài 1.5.2: Tìm x, biết:
2
a) x x −

1




3
=x
4
3

1
2

b)  x +  2 x −

3

3
= 2x −
4
4

3

c) x − 2 2 x − 4 = 2 x − 4
Bài 1.5.3: Tìm x, biết:
a) 2 x − 3 − x + 1 = 4 x − 1

b) x − 1 − 1 = 2

c) 3 x + 1 − 5 = 2

1.6. Phương pháp giải và cách tìm phương pháp giải
Sau khi giới thiệu cho học sinh hết các dạng bài tôi chốt lại cho học sinh:
*Phương pháp giải : Tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Phương pháp 1 : Nếu A =B ( B ≥ 0) thì suy ra A=B hoặc A=-B không cần
xét tới điều kiện của biến x.
Phương pháp 2 :Sử dụng tính chất A = − A và A ≥ 0 để giải dạng A = − A
Và A( x )

= B( x ) , A( x ) =B(x)

Phương pháp 3 : Xét khoảng giá trị của biến ( dựa vào định nghĩa ) để bỏ
dấu giá trị tuyệt đối, thường để giải với dạng A( x ) =B(x) hay A( x ) = B( x ) +C.
3.3. Điều kiện thực hiện giải pháp, biện pháp:

Đào Thị Nữ - Trường THCS Lê Đình Chinh

16


Giaỉ bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Trong bất cứ hoàn cảnh nào ta cũng có thể dựa vào những nội dung trong đề
tài để giải quyết các bài tập liên quan đến tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị
tuyệt đối. Đối tượng áp dụng chủ yếu ở đây là các em học sinh khá giỏi nhằm nâng
cao chất lượng ôn tập.
3.4. Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp:
Cốt lõi của việc giải bài toán tìm x trong đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt
đối đó là cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối .
+ Trước hết xem bài có rơi vào dạng đặc biệt không? ( có đưa về dạng đặc
biệt được không). Nếu là dạng đặc biệt A =B ( B ≥ 0) hay A = B thì áp dụng tính
chất giá trị tuyệt đối ( giải bằng phương pháp 1 đã nêu) không cần xét tới điều kiện
của biến .
+ Khi đã xác định được dạng cụ thể ta nên suy nghĩ cách nào làm nhanh hơn,
gọn hơn thì lựa chọn.
4.

Kết quả thu được qua khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề

nghiên cứu:
4.1. Kết quả khảo nghiệm:
Khi áp dụng đề tài nghiên cứu này vào việc ôn thi cho học sinh khối 7. Tôi
thấy học sinh làm dạng toán này nhanh gọn hơn. Học sinh không còn lúng túng về
phương pháp giải cho từng loại bài. Biết lựa chọn cách giải nhanh, gọn, hợp lí. Hầu
hết đã trình bày lời giải chặt chẽ. Cụ thể như sau:
Giỏi
Khá

30%
45,5%
4.2. Giá trị khoa học:

Trung bình
24,5%

Yếu
0%

Đề tài nghiên cứu đã đạt được một số giá trị về khoa học cụ thể như:
+ Hệ thống được kiến thức bổ trợ cho việc giải quyết dạng toán “ Tìm x
trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối”.
+ Hệ thống các phương pháp cơ bản để giải dạng Toán đó.
+ Khái quát hóa, tổng quát hóa từng loại, từng dạng bài tập.
Đào Thị Nữ - Trường THCS Lê Đình Chinh

17


Giaỉ bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
+ Tìm tòi, khai thác sâu kiến thức, sưu tầm và tích lũy được nhiều bài toán,
sắp xếp theo từng dạng bài tập để khi dạy học sinh nắm vững dạng toán.
III.
1.

PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ:
Kết luận:

Đề tài nghiên cứu này với mục đích đưa ra một số phương pháp giải bài toán

tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để bồi dưỡng nâng cao cho đối
tượng học sinh khá - giỏi bằng cách: Bổ trợ thêm hệ thống kiến thức, tổng hợp từng
dạng, từng loại bài tập cụ thể, đưa ra cách giải quyết từng dạng bài tập. Giúp tìm
tòi, khai thác sâu kiến thức để khi giảng dạy giúp học sinh nắm vững dạng toán và
làm bài tập tốt hơn, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục.
2.

Kiến nghị:

Do kinh nghiệm và khả năng, năng lực của bản thân còn hạn chế nên trong
quá trình viết không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự quan
tâm, chia sẻ từ các cấp lãnh đạo, các thầy cô giáo đóng góp ý kiến bổ sung để tôi
tiếp tục hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Quảng Điền, ngày 22 tháng 2 năm 2016
Người viết

Đào Thị Nữ
NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG CHẤM SÁNG KIẾN CẤP TRƯỜNG:
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………

Đào Thị Nữ - Trường THCS Lê Đình Chinh

18


Giaỉ bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN
(Kí tên, đóng dấu)

NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG CHẤM SÁNG KIẾN CẤP HUYỆN
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………

MỤC LỤC
Nội dung
I. PHẦN MỞ ĐẦU:
Đào Thị Nữ - Trường THCS Lê Đình Chinh

Trang

19


Giaỉ bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
1. Lý do chọn đề tài.

1

2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài

1

3. Đối tượng nghiên cứu

1

4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu

2

5. Phương pháp nghiên cứu

2

II. PHẦN NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận

2

2.Thực trạng

2

2.1 Thuận lợi- khó khăn

2-3

2.2 Thành công- hạn chế

3

2.3 Mặt mạnh- mặt yếu

3

2.4 Các nguyên nhân, các yếu tố tác động…

3

2.5 Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trang mà đề

3

tài đã đặt ra.
3. Giải pháp, biện pháp:
3.1 Mục tiêu của giải pháp, biện pháp
3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp

4
4-17

3.3 Điều kiện thực hiện giải pháp, biện pháp

17

3.4 Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp

17

4. Kết quả thu được qua khảo nghiệm, giá trị khoa

17-18

học của vấn đề nghiên cứu

III. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. Kết luận:

18

2. Kiến nghị:

18
TÀI LIỆU THAM KHẢO

1, Sách giáo khoa toán 7 – NXB giáo dục -2007
2, Nâng cao và phát trỉên toán 7 - NXB giáo dục 2003 của Vũ Hữu Bình
Đào Thị Nữ - Trường THCS Lê Đình Chinh

20


Giaỉ bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
3, Toán bồi dưỡng học sinh lớp 7- NXB giáo dục 2006 của Vũ Hữu Bình
4, Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 7 NXB giáo dục 2005 của Bùi Văn
Tuyên
5, Một số kiến thức có liên quan trên mạng internet.

Đào Thị Nữ - Trường THCS Lê Đình Chinh

21