SKKN Kinh nghiệm phân tích dạng toán tính số hạng n; tính tổng, tích n số hạng đầu tiên của dãy số truy hồi khi giải toán trên máy tính cầm tay

Kinh nghiệm phân tích dạng toán tính số hạng n; tính tổng, tích n số hạng đầu tiên
của dãy số truy hồi khi giải toán trên máy tính cầm tay
MỤC LỤC
MỤC LỤC.............................................................................................................................................1

I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Việc dạy và học toán có sự hỗ trợ của máy tính đã trở nên rất phổ biến trên toàn
thế giới. Trong các tài liệu giáo khoa của các nước có nền giáo dục tiên tiến luôn có
thêm chuyên mục sử dụng máy tính để giải toán.
Ở nước ta, kể từ năm 2001, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã tổ chức các kì thi học
sinh giỏi “Giải toán trên máy tính cầm tay” cho học sinh phổ thông ở các cấp, bậc
học. Đội tuyển học sinh giỏi “Giải toán trên máy tính cầm tay” huyện Krông Ana
những năm gần đây luôn đạt kết quả cao trong các kỳ thi cấp tỉnh, cấp quốc gia.
Tuy nhiên, khi tổ chức kỳ thi cấp huyện thì những học sinh đạt giải cao chủ yếu
tập trung ở một số trường như trường THCS Buôn Trấp, THCS Lương Thế Vinh, …
Một số trường trong huyện, nhiều năm vẫn chưa có học sinh tham gia hoặc có tham
gia nhưng kết quả đạt được chưa cao, nguyên nhân do kiến thức về sử dụng máy tính
bỏ túi còn mới mẻ nên bước đầu giáo viên còn bỡ ngỡ, gặp nhiều khó khăn trong việc
nghiên cứu và tìm tòi tài liệu. Do đó mà nhiều giáo viên còn ngại khi được giao nhiệm
vụ bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi giải toán trên máy tính điện tử. Mặt khác các tài
liệu để giáo viên tham khảo còn ít và chưa thực sự có tính hệ thống.
Trong khi đó nhu cầu học hỏi của học sinh ngày càng cao, các em thích tìm
hiểu ham học hỏi, khám phá những kiến thức mới lạ trên máy tính điện tử. Còn về

Ngô Trí Hiệp – Giáo viên trường THCS Dur Kmăn, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk
1


Kinh nghiệm phân tích dạng toán tính số hạng n; tính tổng, tích n số hạng đầu tiên
của dãy số truy hồi khi giải toán trên máy tính cầm tay

phía giáo viên lại không được đào tạo cơ bản về nội dung này, hầu hết giáo viên tự
tìm hiểu, nghiên cứu các kiến thức về máy tính điện tử.
Trong các dạng toán về máy tính cầm tay thì dạng toán về dãy số truy hồi là
dạng toán khá phổ biến nhưng nhiều giáo viên và học sinh còn gặp nhiều khó khăn
trong việc tìm lời giải, cách trình bày bài giải. Với kinh nghiệm nhiều năm bồi dưỡng
học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay tôi xin mạnh dạn viết sáng kiến kinh
nghiệm “Kinh nghiệm phân tích dạng toán tính số hạng n; tính tổng, tích n số
hạng đầu tiên của dãy số truy hồi khi giải toán trên máy tính cầm tay”.
2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài:
Đề tài đưa ra các dạng toán về dãy số truy hồi và các phương pháp phân tích
bài toán. Bằng các phương pháp nghiên cứu để tìm biện pháp, giải pháp tối ưu nhất,
hiệu quả nhất.
Nâng cao chất lượng giáo dục, đặc biệt là chất lượng bồi dưỡng đội tuyển học
sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay với dạng toán dãy số truy hồi. Đề ra giải
pháp khi làm các bài toán về dãy số, từ phân tích bài toán để tìm lời giải đến cách
trình bài bài giải một cách thống nhất và hợp lý nhất. Đề tài là nguồn tài liệu cho giáo
viên và học sinh khi nghiên cứu, giải toán trên máy tính cầm tay. Từ đó giúp các giáo
viên và học sinh có hứng thú, say mê hơn với dạng toán dãy số.
3. Đối tượng nghiên cứu:
- Một số bài toán về dãy số truy hồi.
- Một số phương pháp phân tích dạng toán truy hồi.
4. Giới hạn, phạm vi nghiên cứu:

Ngô Trí Hiệp – Giáo viên trường THCS Dur Kmăn, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk
2


Kinh nghiệm phân tích dạng toán tính số hạng n; tính tổng, tích n số hạng đầu tiên
của dãy số truy hồi khi giải toán trên máy tính cầm tay
- Một số dạng toán dãy số truy hồi đối với nội dung giải toán trên máy tính cầm

tay.
- Đối tượng khảo sát là học sinh khá, giỏi khối 8, 9 trường THCS Dur Kmăn.
- Thời gian nghiên cứu: Các năm học 2013-2014, 2014-2015, 2015-2016.
5. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp thu thập, xử lý thông tin.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
- Phương pháp thực nghiệm.
- Phương pháp trao đổi.
II. PHẦN NỘI DUNG:
1. Cơ sở lý luận:
Chúng ta đã biết rằng môn học giải toán trên máy tính cầm tay là môn học mới
đối với học sinh THCS, vì vậy để học sinh tiếp cận và vận dụng được máy tính bỏ tay
vào giải Toán thì giáo viên không phải cứ hướng dẫn học sinh làm bài tập theo kiểu
dạy nhồi nhét, thụ động. Dạy như vậy thì học sinh học đâu quên đó, làm bài tập nào
biết bài tập đó, giải hết bài này đến bài khác, tốn rất nhiều công sức mà không đọng
lại trong đầu học sinh điều gì đáng kể. Ngay cả những học sinh khá giỏi cũng vậy,
mới chỉ đầu tư vào giải hết bài toán khó này đến bài toán khó khác mà vẫn chưa phát
huy được tính tư duy sáng tạo, chưa có phương pháp làm bài. Đặc biệt là đối với dạng
toán dãy số, một dạng toán đòi hỏi khả năng tư duy, lập luận cao.

Ngô Trí Hiệp – Giáo viên trường THCS Dur Kmăn, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk
3


Kinh nghiệm phân tích dạng toán tính số hạng n; tính tổng, tích n số hạng đầu tiên
của dãy số truy hồi khi giải toán trên máy tính cầm tay
Qua một số năm thực hiện hướng dẫn học sinh giải toán trên máy tính bỏ túi và
bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi cho bộ môn này, tôi xin đưa ra một số giải pháp của
bản thân về việc: Phân tích tìm lời giải và cách trình bày bài toán về dãy số.
2. Thực trạng:

2.1. Thuận lợi, khó khăn:
a) Thuận lợi:
Được sự quan tâm giúp đỡ của Phòng Giáo dục huyện Krông Ana, Ban giám
hiệu, tổ chuyên môn trường THCS Dur Kmăn. Được sự tư vấn, giúp đỡ của một số
giáo viên có nhiều kinh nghiệm dạy bồi dưỡng “Giải toán trên máy tính cầm tay”
trong huyện. Bản thân cũng là một giáo viên nhiều năm dạy bồi dưỡng học sinh, tham
gia chấm bài thi của học sinh nên cũng phát hiện ra những mặt mạnh, mặt yếu, những
thiếu sót hay mắc phải của học sinh khi làm dạng toán dãy số.
Do nhu cầu học hỏi của học sinh ngày càng cao, các em học sinh thích tìm hiểu,
ham học hỏi, khám phá những kiến thức mới lạ trên máy tính điện tử. Các em thấy
ngay được sự hữu dụng khi vận dụng máy tính vào giải toán nói riêng và các môn học
khác nói chung, vì vậy môn học dễ gây hứng thú học tập cho học sinh, kích thích các
em tìm tòi và vận dụng máy tính vào giải toán.
Trong chương trình dạy học môn Toán cấp THCS, đã có những tiết dạy, luyện
tập, bài đọc thêm lồng ghép hướng dẫn sử dụng máy tính cầm tay (máy tính CASIO).
Hằng năm, cũng có nhiều đợt tập huấn các kiến thức giải toán trên máy tính cầm tay
cho giáo viên ở các cấp, bậc học.
Tài nguyên học tập dễ kiếm tìm từ các nhà sản xuất máy tính đến những tài liệu
từ mạng internet.

Ngô Trí Hiệp – Giáo viên trường THCS Dur Kmăn, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk
4


Kinh nghiệm phân tích dạng toán tính số hạng n; tính tổng, tích n số hạng đầu tiên
của dãy số truy hồi khi giải toán trên máy tính cầm tay
b) Khó khăn:
Giá thành của máy tính cầm tay tương đối cao so với những học sinh ở những
gia đình có hoàn cảnh khó khăn.
Trình độ của học sinh không đồng đều, tính tự giác, khả năng tư duy còn hạn

chế, một số học sinh chưa chăm học. Môn học này cần sự cần cù, việc tự học là rất
quan trọng, song rất ít học sinh có tinh thần tự học, tự tìm hiểu thêm qua mạng.
Mặc dù nội dung giải toán trên máy tính cầm tay đã được lồng ghép vào
chương trình dạy học bộ môn Toán nhưng nhiều giáo viên vẫn chưa thực sự quan tâm,
giảng dạy cho học sinh, từ đó học sinh thiếu những kỹ năng cơ bản, dẫn đến gặp
nhiều khó khăn khi làm dạng toán dãy số. Một số giáo viên chưa thực sự đam mê với
nội dung giải toán trên máy tính cầm tay.
2.2. Thành công, hạn chế:
a) Thành công:
Đối tượng nghiên cứu trong đề tài đã được một số giáo viên nhiều năm dạy bồi
dưỡng “Giải toán trên máy tính cầm tay” trong huyện nghiên cứu, áp dụng và cho
thấy những thành công nhất định. Bên cạch đó có nhiều nguồn thông tin từ tài liệu, từ
mạng internet, sách, … nên khi viết về đề tài tôi có nhiều nguồn tư liệu để phục vụ
cho quá nghiên cứu.
b) Hạn chế:
Trong đề tài này tôi chỉ đưa ra được một số ví dụ về các dạng toán, phương
pháp phân tích các dạng toán tính số hạng n, tính tổng n số hạng đầu tiên, tính tích n
số hạng đầu tiên của dãy số truy hồi chứ chưa đưa vào khai thác các dạng toán khác
như viết công thức truy hồi, ứng dụng của dãy số truy hồi vào các dạng toán khác, …
Ngô Trí Hiệp – Giáo viên trường THCS Dur Kmăn, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk
5


Kinh nghiệm phân tích dạng toán tính số hạng n; tính tổng, tích n số hạng đầu tiên
của dãy số truy hồi khi giải toán trên máy tính cầm tay
2.3. Mặt mạnh, mặt yếu:
a) Mặt mạnh:
Mặt mạnh của đối tượng nghiên cứu là dễ áp dụng vào thực tiễn và có thể áp
dụng một cách thường xuyên vào các tiết dạy. Cách phân tích các dạng toán ngắn
gọn, logic.

b) Mặt yếu:
Nội dung đề tài tương đối mới, chưa có một tài liệu chính thức nào nói đến.
Cách tiếp cận từ dễ đến khó, từ việc phân tích bài toán đến trình bày bài giải. Tuy
nhiên khi nghiên cứu đề tài, giáo viên và học sinh phải có những hiểu biết cơ bản về
máy tính cầm tay, các thao tác, quy ước cơ bản đã được các nhà sản xuất máy tính
cung cấp cùng máy tính trong quyển “Hướng dẫn sử dụng máy tính”.
2.4. Các nguyên nhân, các yếu tố tác động:
Sự phối hợp giữa các giáo viên dạy bộ môn Toán giữa các khối lớp. Nếu ngay
từ các khối lớp 6, 7, 8, 9 các giáo viên bộ môn Toán đã quan tâm, lồng ghép hướng
dẫn sử dụng máy tính cầm tay vào các tiết dạy thì học sinh sẽ nắm được những kỹ
năng, thao tác cơ bản. Từ đó, việc giải quyết các dạng toán khó như dạng toán dãy số
sẽ có nhiều thuận lợi, tiếp thu một cách dễ dàng.
Một số giáo viên còn có những suy nghĩ nếu hướng dẫn học sinh sử dụng máy
tính cầm tay sẽ làm cho các em mất các kỹ năng tính toán. Tuy nhiên, theo sự phát
triển xu thế của xã hội, việc học phải gắn liền với thực tiễn, việc hướng dẫn học sinh
sử dụng máy tính cầm tay là cần thiết. Giáo viên phải định hướng cho học sinh khi
nào thì được sử dụng máy tính cầm tay, khi nào là không được sử dụng. Việc sử dụng

Ngô Trí Hiệp – Giáo viên trường THCS Dur Kmăn, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk
6


Kinh nghiệm phân tích dạng toán tính số hạng n; tính tổng, tích n số hạng đầu tiên
của dãy số truy hồi khi giải toán trên máy tính cầm tay
và vận dụng máy tính cầm tay thành thạo sẽ bổ trợ cho học sinh rất nhiều trong việc
học tập của các em, phát triển khả năng tư duy, ham mê học hỏi, khám phá cái mới.
Sự quan tâm, giúp đỡ của Phòng giáo dục, lãnh đạo, tổ chuyên môn, đối tượng
học sinh cũng ảnh hưởng nhiều đến thành công của đề tài.
2.5. Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra:
Xuất phát từ thực tiễn, học sinh có nhu cầu giải toán trên máy tính và các dạng

toán về dãy số truy hồi thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi thực hành trên máy
tính ở các cấp. Những năm trước chưa áp dụng đề tài này cho học sinh thì bài làm của
các em chất lượng không cao, hiệu quả thấp. Đề tài này áp dụng cho các dạng toán về
dãy số, nhằm phục vụ cho đối tượng là các em học sinh ham thích học hỏi về lập trình
trên máy tính cầm tay. Giải toán bằng máy tính cầm tay (máy tính CASIO) đã có
nhiều tác giả viết sách hướng dẫn, nhưng dạng bài tập về dãy số còn tản mạn, hệ
thống bài tập chưa đa dạng và các phương pháp giải chưa được liệt kê một cách tường
minh.
Nhiều giáo viên và học sinh còn có những suy nghĩ chưa đúng về giải toán trên
máy tính cầm tay nói chung và giải toán dãy số nói riêng là chỉ bấm máy tính, không
đòi hỏi khá năng tư duy, suy luận. Nhiều học sinh khi làm bài toán tính số hạng n, tính
tổng, tích của n số hạng đầu tiên của dãy số truy hồi còn bấm máy trực tiếp để ghi kết
quả hoặc bỏ qua. Điều này là không đúng mà chúng ta phải viết thuật toán, quy trình
bấm phím (lập trình bài giải sau đó thực hiện các thao tác trên máy tính cầm tay).
Một số giáo viên khi dạy bồi dưỡng học sinh giỏi “Giải toán trên máy tính cầm
tay” về dạng toán dãy số còn chưa chú ý đến cách phân tích bài toán, trình bày bài
toán mà chỉ dạy các ví dụ cụ thể sau đó đòi hỏi học sinh học thuộc một cách máy
móc. Dẫn đến khi gặp các bài toán tương tự, học sinh sẽ gặp nhiều khó khăn.
Ngô Trí Hiệp – Giáo viên trường THCS Dur Kmăn, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk
7


Kinh nghiệm phân tích dạng toán tính số hạng n; tính tổng, tích n số hạng đầu tiên
của dãy số truy hồi khi giải toán trên máy tính cầm tay
Vì lẽ đó, tôi nghiên cứu viết đề tài này nhằm cung cấp các dạng toán cơ bản về
dãy số truy hồi và nêu ra những cách phân tích, giúp học sinh bổ sung kiến thức giải
toán, nâng cao kỹ năng thực hành.
3. Giải pháp, biện pháp:
3.1. Mục tiêu của giải pháp, biện pháp:
Đối với dạng toán dãy số thì có nhiều cách giải, quy trình bấm phím khác nhau

(lập trình trên máy tính). Trong đề tài này sẽ hướng đến phân tích bài toán dãy số theo
các dạng cơ bản, tìm ra lời giải bài toán tối ưu, dễ thực hiện nhất sao cho khi gặp các
bài toán dãy số tương tự thì học sinh cũng có thể thực hiện được.
- Đối với dạng toán tính số hạng, tính tổng, tích, … của các dãy số truy hồi thì
phân tích bài toán là quan trọng, để các em hiểu được bản chất của mỗi dãy số từ đó
lập quy trình bấm phím cho mỗi bài toán, trách tình trạng học sinh nhớ quy trình bấm
phím một cách máy móc, học vẹt, …
Quy trình bấm phím trong đề tài này tôi thực hiện trên máy tính CASIO fx
570VN PLUS.
Ngoài các phím cơ bản trên máy tính, có một số quy ước khi lập trình trên máy
tính như sau:
→ bấm phím SHIFT RCL (chức năng gán biến)
Ví dụ: 1 → A bấm phím: 1 SHIFT RCL ALPHA (-)
= bấm phím ALPHA CALC
Ví dụ: A = B bấm phím ALPHA (-) ALPHA CALC ALPHA 0’’’
3.2. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp:

Ngô Trí Hiệp – Giáo viên trường THCS Dur Kmăn, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk
8


Kinh nghiệm phân tích dạng toán tính số hạng n; tính tổng, tích n số hạng đầu tiên
của dãy số truy hồi khi giải toán trên máy tính cầm tay
PHẦN 1: Các bài toán cơ bản của dạng toán dãy số (dãy truy hồi):
(với n ≥ 2. a, b là hai số tùy

* Dạng 1: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = mun + kun-1
ý nào đó).
Phân tích bài toán:
U1= a

U2=b

U3=mU2+kU1 U4=mU3+kU2
= mB+kA

Gán cho A

Gán cho B

A=a

B=b

Gán cho C

=mC+kB
Để sử dụng mB+ kA thì phải có A=B
và B=C

Quy trình bấm:
a→A
b→B
2→D
D=D+1:C=mB+kA:A=B:B=C
Sau đó nhấn phím CALC = = …=
- Với cách phân tích bài toán như trên thì quy trình bấm phím thực hiện trên
một vòng lặp nên việc bấm phím ít hơn, học sinh ít bị nhầm lẫn. Ngoài ra ta cũng có
thể phân tích bài toán theo hướng khác, quy trình bấm phím trên hai vòng lặp như
sau:

U1= a

U2=b

U3=mU2+kU1 U4=mU3+kU2 U5=mU4+kU3 U6=mU5+kU4
= mB+kA

Gán cho

Gán cho

Gán cho A

=m A+kB
Gán cho B

=m B+kA
Giống U3

= mA+kB
Giống U4

Ngô Trí Hiệp – Giáo viên trường THCS Dur Kmăn, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk
9


Kinh nghiệm phân tích dạng toán tính số hạng n; tính tổng, tích n số hạng đầu tiên
của dãy số truy hồi khi giải toán trên máy tính cầm tay
A

B

A=a

B=b

Quy trình bấm:
a→A
b→B
2→D
D=D+1:A = mB+kA:D=D+1:B = mA+kB
Sau đó nhấn phím CALC = = …=
- D là biến đếm, những ví dụ sau, để học sinh chỉ chú ý đến cách phân tích bài
toán, thuật toán nên tôi không cho biến đếm vào quy trình bấm phím. Với hai cách
phân tích bài toán như trên ta được hai quy trình bấm phím khác nhau. Trong quá
trình giảng dạy học sinh tôi nhận thấy với cách làm thứ nhất học sinh dễ nắm bắt hơn,
đỡ bị sai sót, nhầm lẫn khi thực hiện quy trình bấm phím nên tôi chọn cách thứ nhất.
Tuy nhiên, với một số bài toán dãy số truy hồi không phân tích được như cách thứ
nhất thì cũng hướng các em phân tích theo cách thứ hai ví dụ như dãy số truy hồi theo
số hạng chẵn, lẽ thì có hai dãy khác nhau. Sau đây là một số ví dụ về phân tích theo
cách thứ nhất.
Ví dụ: Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = 3un + 2un-1 (n ≥ 2). Lập qui trình bấm
phím liên tục để tính un+1?
Phân tích bài toán:
U1= 8

U2=13

U3=3U2+2U1 U4=3U3+2U2

Ngô Trí Hiệp – Giáo viên trường THCS Dur Kmăn, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk
10


Kinh nghiệm phân tích dạng toán tính số hạng n; tính tổng, tích n số hạng đầu tiên
của dãy số truy hồi khi giải toán trên máy tính cầm tay
=

=3C+2B

3B+2A
Gán cho A

Gán cho B

A= 8

B=13

Gán cho C

Để sử dụng 3B+ 2A thì phải có A=B
và B=C

Quy trình bấm:
8→ A
13 → B
C=3B+2A:A=B:B=C
* Dạng 2 (Dãy phi tuyến dạng): Cho u1 = a, u2 = b, un +1 = Au2n + Bu2n−1 (với n ≥
2).

Ví dụ: Cho dãy u1 = 1, u2 = 2, un +1 = 3u2n + 2u2n −1 (n ≥ 2). Lập qui trình bấm phím
liên tục để tính un+1?
Phân tích bài toán:
U1= 1

U2=2

U3=3U22+2U21 U4= 3U23+2U22
= 3B2+2A2

Gán cho A

Gán cho B

A= 1

B=2

Gán cho C

= 3C2+2B2
+ Để sử dụng 3B2+2A2 thì phải có
A=B và B=C

Quy trình bấm:
1→ A
2→B

Ngô Trí Hiệp – Giáo viên trường THCS Dur Kmăn, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk
11

Kinh nghiệm phân tích dạng toán tính số hạng n; tính tổng, tích n số hạng đầu tiên
của dãy số truy hồi khi giải toán trên máy tính cầm tay
C= 3B2+2A2: A=B:B=C
* Dạng 3 (Dãy Fibonacci suy rộng dạng): Cho u1 = u2 = 1; u3 = 2; un+1 = un +
un-1 + un-2 (với n ≥ 3).
Ví dụ: Tính số hạng thứ 10 của dãy u1 = u2 = 1; u3 = 2; un+1 = un + un-1 + un-2?
Phân tích bài toán:
U1= U2=

U3=

U4=U3+U2+U1 U5=U4+U3+ U6=U5+U4+ U3

1

1

2

= C+B+A

U2=D+C+B

A=

B=1

C=2

Gán cho D

Gán cho E

Phải có:

D=C+B+A

E=D+C+B

A=C:B=D:C=

1

= E+D+C

E
Quy trình bấm:
1→ A
1→ B
2→D
D=C+B+A:E=D+C+B:A=C:B=D:C=E
* Dạng 4 (Dãy truy hồi dạng tổng quát): Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = mun + kun1

+ f(n)

(với n ≥ 2)

Ví dụ: Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = 3un + 2un-1 +

1
(n ≥ 2).
n

a) Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?
b) Tính u7?

Ngô Trí Hiệp – Giáo viên trường THCS Dur Kmăn, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk
12


Kinh nghiệm phân tích dạng toán tính số hạng n; tính tổng, tích n số hạng đầu tiên
của dãy số truy hồi khi giải toán trên máy tính cầm tay
Phân tích bài toán:
U1= 1

U2=2

n=2

U3=3U2+2U1+
=3B+2A+

Gán cho A Gán cho B

Gán

A= 8

C

B=13

1
C

cho Gán cho D

1
2

U4=3U3+2U2+
= 3D+2B+

1
C +1

+ Để sử dụng 3B+2A+
phải

C=2

1
3

có

A=B,

1
thì
C

B=D

và

C=C+1

Quy trình bấm:
8→ A
13 → B
2→C
D=3B+2A+

1
:C=C+1:A=B:B=D
C

* Dạng 5: Tính tổng n số hạng đầu tiên của dãy số
Ví dụ: Cho dãy số Un xác định bởi: U1 = 1; Un+1 = 5Un – 2n . Tính U20 và
tổng của 20 số hạng đầu tiên.
Phân tích bài toán: Giống như các ví dụ trên. Chỉ thêm biến tính tổng.
Quy trình bấm:
1→ A
1→ X
0→C
Ngô Trí Hiệp – Giáo viên trường THCS Dur Kmăn, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk
13

Kinh nghiệm phân tích dạng toán tính số hạng n; tính tổng, tích n số hạng đầu tiên
của dãy số truy hồi khi giải toán trên máy tính cầm tay
C=C+A:B=5A-2X:X=X+1:A=B
* Dạng 6: Tính tích của n số hạng đầu tiên của dãy số
Ví dụ: Cho dãy số Un xác định bởi: U1 = U2 = 1; Un + 2 = Un + 1 + 2Un .
Tính tích của 10 số hạng đầu của dãy.
Phân tích bài toán: Giống như các ví dụ trên. Chỉ thêm biến tính tích.
Quy trình bấm:
1→ A
1→ B
1→ C
C=C.B : D=B+2A : A=B : B=D
3.3. Điều kiện thực hiện giải pháp, biện pháp:
Với các bài toán về dãy số truy hồi, khi tính số hạng thứ n, tích tổng của n số
hạng đầu tiên, tính tích của n sống hạng đầu tiên thì có nhiều cách phân tích bài toán,
nhiều phương pháp làm khác nhau, từ đó quy trình bấm phím khác nhau. Với cách
phân tích bài toán như trên thì quy trình bấm phím sẽ ít biến, thuật toán dễ nhớ, ngắn
gọn nên học sinh ít bị nhầm lẫn, sai sót. Vì những ưu điểm đó nên không những với
học sinh có học lực khá giỏi mà chỉ cần học sinh có học lực trung bình khá cũng có
thể dễ dàng dễ dàng làm được.
3.4. Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp:
Hầu hết các bài toán tính tính số hạng thứ n, tích tổng của n số hạng đầu tiên,
tính tích của n sống hạng đầu tiên đều thực hiện được theo cách phân tích bài toán và
quy trình bấm phím một vòng lặp. Tuy nhiên cũng có một số bài toán nếu khó thực
Ngô Trí Hiệp – Giáo viên trường THCS Dur Kmăn, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk
14

Kinh nghiệm phân tích dạng toán tính số hạng n; tính tổng, tích n số hạng đầu tiên
của dãy số truy hồi khi giải toán trên máy tính cầm tay
hiện được theo cách trên thì cũng có thể hướng học sinh theo cách phân tích bài toán,
quy trình bấm phím hai vòng lặp.
4. Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu:
Qua kết quả khảo nghiệm áp dụng cho đối tượng học sinh khá giỏi lớp 8, 9 cho
thấy học sinh đã không còn sợ dạng toán dãy số truy hồi mà còn rất thích thú, ham
mê. Kết quả học sinh giỏi “Giải toán trên máy tính cầm tay” của trường đạt kết quả
càng cao theo từng năm học. Việc học sinh giải toán trên máy tính cầm tay tốt có thể
giúp các em đạt kết quả cao trong các kỳ thi, đặc biệt là thi toán trên mạng internet.
Ngoài ra còn bổ trợ nhiều cho các em trong việc học tập các môn tự nhiên như toán,
lý, hóa, …
Kết quả học sinh giỏi “Giải toán trên máy tính cầm tay các năm của trường” cụ
thể như sau:

Số lượng học sinh tham gia

Năm học

Năm học

Năm học

2013-2014

2014-2015

2014-2015

02

04

02

01

03

02

0

02

0

0

01

0

thi HSG cấp huyện:
Số lượng đạt HSG cấp
huyện
Số lượng học sinh tham gia
thi HSG cấp tỉnh:
Số lượng đạt HSG cấp
huyện

III. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ:
Ngô Trí Hiệp – Giáo viên trường THCS Dur Kmăn, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk
15


Kinh nghiệm phân tích dạng toán tính số hạng n; tính tổng, tích n số hạng đầu tiên
của dãy số truy hồi khi giải toán trên máy tính cầm tay
1. Kết luận:
Đối với dạng toán tính số hạng n, tính tổng, tích n số hạng đầu tiên của dãy số
truy hồi trong giải toán trên máy tính cầm tay có nhiều cách giải khác nhau, có nhiều
cách lập trình quy trình bấm phím khác nhau. Tùy thuộc vào đối tượng học sinh, từng
bài toán cụ thể khác nhau mà các thầy cô có thể áp dụng những cách giải khác nhau
khi dạy học sinh.
Đối với bản thân tôi, khi áp dụng cách dạy đã được nêu trong đề bài cho đối
tượng học sinh chỉ ở mức học lực khá, từ việc phân tích bài toán, lập quy trình bấm
phím đã cho những kết quả nhất định. Học sinh đã không còn sợ dạng toán dãy số mà
còn rất thích thú, ham mê. Kết quả học sinh giỏi “Giải toán trên máy tính cầm tay”
của trường đạt kết quả càng cao theo từng năm học. Việc học sinh giải toán trên máy
tính cầm tay tốt có thể giúp các em đạt kết quả cao trong các kỳ thi, đặc biệt là thi
toán trên mạng internet. Ngoài ra còn bổ trợ nhiều cho các em trong việc học tập các
môn tự nhiên như toán, lý, hóa, …
Tuy nhiên do đề tài chỉ mới áp dụng cho một số ít đối tượng học sinh, chủ yếu
là học sinh khá giỏi lớp 8, 9 của trường THCS Dur Kmăn nên chắc chắn không tránh
khỏi những suy nghĩ chủ quan của bản thân. Rất mong nhận được nhiều ý kiến góp ý,
đề xuất những kinh nghiệm hay khi dạy học sinh dạng toán dãy số trong giải toán trên
máy tính cầm tay để ngày càng nâng cao chất lượng học sinh giỏi của trường, của
huyện.
2. Kiến nghị:
Phòng giáo dục, cụm chuyên môn nên tổ chức nhiều buổi tập huấn chuyên môn
về giải toán trên máy tính cầm tay cho nhiều đối tượng học sinh. Có thể kết hợp với

đại diện các hãng sản xuất máy tính để tập huấn, vừa nâng cao năng lực chuyên môn,
Ngô Trí Hiệp – Giáo viên trường THCS Dur Kmăn, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk
16


Kinh nghiệm phân tích dạng toán tính số hạng n; tính tổng, tích n số hạng đầu tiên
của dãy số truy hồi khi giải toán trên máy tính cầm tay
vừa nâng cao được kỹ năng sử dụng máy tính. Bên cạnh đó, hằng năm vẫn tiếp tục tổ
chức kỳ thi giải toán trên máy tính cầm tay cho học sinh lớp 9, có thể mở rộng cho đối
tượng học sinh lớp 8.
Lãnh đạo, tổ chuyên môn các trường khuyến khích các giáo viên lồng ghép
hướng dẫn sử dụng máy tính cầm tay vào các tiết dạy. Tuyên truyền để giáo viên, học
sinh có cách suy nghĩ đúng về kỳ thi giải toán trên máy tính cầm tay. Việc học sinh sử
dụng máy tính một cách hợp lý không những không làm các em mất các kỹ năng tính
toán cơ bản mà còn phát triển khả năng tư duy, tinh thần say mê, ham học hỏi ngày
càng nâng cao.
Giáo viên bộ môn Toán nên trao đổi các tài liệu, mạnh dạn đề xuất những sáng
kiến, kinh nghiệm của bản thân khi dạy giải toán trên máy tính cầm tay nói chung và
dạng toán dãy số truy hồi nói riêng để các đồng nghiệp góp ý, tư vấn. Từ đó những
phương pháp hay, phù hợp với đối tượng học sinh được trao đổi cho nhau để về dạy
học sinh đạt hiệu quả cao nhất.

Ngô Trí Hiệp – Giáo viên trường THCS Dur Kmăn, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk
17


Kinh nghiệm phân tích dạng toán tính số hạng n; tính tổng, tích n số hạng đầu tiên
của dãy số truy hồi khi giải toán trên máy tính cầm tay
TÀI LIỆU THAM KHẢO
STT

01

02

TÊN TÀI LIỆU

NHÀ XUẤT BẢN

Hướng dẫn giải toán trên máy tính CASIO Công ty CP XNK Bình Tây
fx 570VN PLUS
Các trang Wed: /> …

Ngô Trí Hiệp – Giáo viên trường THCS Dur Kmăn, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk
18


Kinh nghiệm phân tích dạng toán tính số hạng n; tính tổng, tích n số hạng đầu tiên
của dãy số truy hồi khi giải toán trên máy tính cầm tay
NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN

Ngô Trí Hiệp – Giáo viên trường THCS Dur Kmăn, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk
19