ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 SA ĐÉC 2015

PHÒNG GD&ĐT TP SA ĐÉC
TRƯỜNG THCS TRẦN THỊ NHƯỢNG
ĐỀ THAM KHẢO
(Đề gồm 2 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
MÔN: TOÁN 9
Ngày thi:
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể giao đề)

ĐỀ BÀI:
Bài 1. (3 điểm)
a) Cho A = 13 - 2 42 . Tính

A.

b) Rút gọn biểu thức B = 6 + 2 2. 3 − 4 + 2 3
Bài 2. (2 điểm)
a) Chứng minh rằng tổng của hai số tự nhiên ab + ba chia hết cho 11.
b) Phân tích đa thức sau thành nhân từ: x4 + 2x2 – 3
Bài 3. (2 điểm)
6
6
6
6
80
+
+
+ ... +
+
15.18 18.21 21.24

87.90 90
b) Tìm số ab sao cho bbb = ab.a.b

a) Tính tổng sau: M =

Bài 4. (2 điểm)
Có hai đội cờ thi đấu với nhau. Mỗi đối thủ của đội này phải thi đấu một ván
cờ với mỗi đấu thủ của đội kia. Cho biết tổng số ván cờ bằng 4 lần tổng số đấu thủ
của cả hai đội và một trong hai đội có số đấu thủ lẻ. Vậy mỗi đội có bao nhiêu đối
thủ ?
Bài 5. (3 điểm)
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) 4(1 − x)2 − 8 = 0
b) (x + 3)3 – (x + 1)3 = 56
 xy − 4 = 8 − y 2
c) 
2
 xy = 2 + x

(1)
(2)

Bài 6. (5 điểm)
1) Cho tam giác ABC có AB= 6cm, BC= 10 cm, CA= 8cm.
Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; I là tâm của đường
trong nội tiếp tam giác ABC. Tính độ dài IO ?
2) Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của cạnh BC. Lấy điểm D
· E = B
µ . Chứng minh:
thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho DM

a) Tam giác DBM đồng dạng với tam giác MCE.
b) Tia DM là tia phân giác của góc BDE.

-1-


Bài 7. (3 điểm)
Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, lấy điểm I thuộc đoạn AO sao cho
AO = 3.IO. Qua I vẽ dây cung CD vuông góc với AB, trên đoạn CD lấy điểm K tuỳ
ý. Tia AK cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là M.
1. Chứng minh: Bốn điểm I, K, M, B cùng thuộc một đường tròn.
2. Chứng minh rằng tâm F của đường tròn ngoại tiếp tam giác MKC nằm trên
một đường thẳng cố định.
3. Khi K di động trên đoạn CD, tính độ dài nhỏ nhất của đoạn DF.
HẾT

Họ và tên giám thị 1: .......................................... Chữ ký: ..................
Họ và tên giám thị 2: .......................................... Chữ ký: ..................
Họ và tên thí sinh: ..................................... Số báo danh: ………
Giám thị coi thi không cần giải thích gì thêm.

-2-


PHÒNG GD&ĐT TP SA ĐÉC
TRƯỜNG THCS TRẦN THỊ NHƯỢNG

Câu

ĐÁP ÁN

ĐỀ THI THAM KHẢO HSG CẤP TỈNH

Nội dung
a)

2
A = 13 − 2 42 = ( 7 − 6) =

7− 6 = 7− 6

Điểm
1đ

b) B = 6 + 2 2. 3 − 4 + 2 3
1

= 6 + 2 2. 3 − ( 3 + 1) = 6 + 2 2. 2 − 3

2đ

= 6 + 2 4 − 2 3 = 6 + 2( 3 − 1)
= 4 + 2 3 = 3 +1

2

a) ab + ba =10a+ b+ 10b+ a= 11(a+b) nên chia hết cho 11.
b) x4 + 2x2 – 3 = [(x2)2 + 1]2 – 22 = (x - 1)(x + 1)(x2 + 3)

1đ
1đ

6
6
6
6
80
+
+
+ ... +
+
15.18 18.21 21.24
87.90 90
1 1  8
1 1
= 2.  − + ... + − ÷+
87 90  9
 15 18
M =

3a
b

1 1  8 1 8
= 2.  − ÷+ = + = 1
 15 90  9 9 9
Ta có bbb = ab.a.b
⇔ 3.37.b = a.b.ab

2đ

⇔ 3.37 = a.ab

4

5

Vậy a= 3, b=7. Số ab = 37
Gọi x, y là số đối thủ của mỗi đội (ĐK: x,y là số nguyên dương).
Vì mỗi đấu thủ của đội này phải thi đấu một ván cờ với mỗi đối
thủ của đội kia, nên tổng số ván cờ đã thi đấu là: x.y.
Theo giả thiết, ta có:
xy= 4(x+y) ⇔ ... ⇔ (x-4)(y-4)= 16
= 1.16= 2.8=4.4
x hoặc y là số lẻ, nên ta có thể đồng nhất x- 4= 1 và y- 4=16
Suy ra x= 5; y= 10
Vậy: Một đội có 5 đấu thủ, đội kia có 20 đối thủ.
a) 4(1 − x)2 − 8 = 0 ⇔ 2. 1 − x = 8 (1)
* Nếu x ≤ 1, (1) ⇔ 2(1- x) = 8 ⇔ x = - 3 (thỏa mãn đk)
* Nếu x > 1, (1) ⇔ 2 (x - 1) = 8 ⇔ x = 5 (thỏa mãn đk)
Vậy, S = {- 3; 5}
b)(x + 3)3 – (x + 1)3 = 56
⇔ x3 + 9x2 +27x + 27 – x3 – 3x2 – 3x – 1 = 56
⇔ 6x2 + 24x + 26 = 56
⇔ 6(x2 + 4x - 5) = 0
-3-

2đ

1đ

1đ


⇔ x(x- 1) + 5(x - 1) = 0
⇔ (x - 1)(x + 5) = 0
⇔ x = 1 hoặc x = - 5.Vậy S = {1; - 5}
 xy − 4 = 8 − y 2
c) 
2
 xy = 2 + x

(1)
(2)

Từ pt (1) suy ra 8 − y 2 ≥ 0 hay y ≤ 8
Từ pt (2) suy ra x 2 + 2 = x . y ≤ 2 2 x
⇒ x 2 − 2 2 x + 22 ≤ 0
⇒ ( x − 2)2 ≤ 0
⇒ x = 2

Nếu x = 2 ⇒ y = 2 2
Nếu x = − 2 ⇒ y = −2 2 .
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm:

1đ

 x = 2

và  x = − 2


 y = 2 2
 y = −2 2

⇒x=± 2

6

1) Trong tam giác ABC có BC 2 = 100; AB 2 + AC 2 = 100 . Vậy tam
giác ABC vuông tại A (theo ĐL Pytago đảo)
Ta có S = p.r ⇔ ... ⇔ 6.8 = ( 6 + 8 + 10 ) .r ⇔ r = 2cm
I là giao điểm của ba phân giác của tam giác ABC, kẻ
IH ⊥ BC tại H, IK ⊥ CA tại K, ; IL ⊥ AB tại L. Suy ra tứ giác
ALIK là hình vuông cạnh r. Ta có BL= BH= AB- r= 6- 2= 4cm.
O là trung điểm của BC. Nên BO= 5cm,
HO= BO- BH= 1cm
Trong tam giác OIH vuông tại H có: OI = 1 + 4 = 5cm
2) Vẽ hình đúng

-4-

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ


a)

¶ +M
¶ +M

¶ = 1800
M
1
2
3
¶M + B
µ +D
¶ = 1800
1

1

¶ =B
µ ,⇒ D
¶ =M
¶
Mà M
2
1
3
Mặt khác: Bµ = Cµ (do ∆ ABC cân)
Nên ∆ DBM đồng dạng ∆ MCE (g.g)
DB DM
DB DM
=
, Do BM = MC nên
=
c) Từ a) suy ra:
MC ME
BM ME

¶ , nên ∆ DBM đồng dạng ∆ DME (c.g.c)
Mà Bµ = M
2
¶
¶ . Vậy DM là tia phân giác của ·
Suy ra D1 = D
BDE .
2

Câu
7.1

Câu
7.2

Câu
7.3

1. Chứng minh : Bốn điểm I, K, M, B cùng thuộc một đường tròn
·
Ta có KMB
= 900 ( vì chắn nửa đường tròn (O)
·
Lại có KIB
= 900 (gt) nên các tam giác KMB, KIB đều nội tiếp một đường
tròn đường kính là cạnh huyền BK. Hay bốn điểm I, K, M, B cùng thuộc
một đường tròn.
2. Chứng minh : Tâm F của (CKM) thuộc một đường cố định
Vẽ đường kính CE của (CKM) , ta có KE // AB
·

·
( vì cùng ⊥ CD) ⇒ MKE
(đ/vị)
= MAB
·
·
¼ của (F) )
Lại có MKE
(cùng chắn cung ME
= MCE
·
·
» của (O) )
(cùng chắn cung MB
MAB
= MCB
·
·
Suy ra MCE
= MCB
⇒ C, E, B thẳng hàng ⇒ C, F, B thẳng hàng
Suy ra F thuộc đường thẳng CB cố định
3. Tính độ dài ngắn nhất của DF
Kẻ DH ⊥ CB tại H ⇒ DH không đổi
Ta có DF ≥ DH nên DF ngắn nhất bằng DH
-5-

2đ

1đ

1đ

1đ

1đ


R2 2R 2
4R 2
=
⇒ CD =
9
3
3
2
4R
8R
2R 6
CB 2 = BI .BA =
.2 R =
⇒ CB =
3
3
3
BI .CD
Lại có DH.CB=BI.CD ( bằng nửa S ∆ CBD) ⇒ DH =
CB
4R 4R 2
.

3
3 = 8 R 3 . Vậy DF ngắn nhất bằng 8 R 3
DH =
9
2R 6
9
3
Ta có CI = CO 2 − IO 2 = R 2 −

Ghi chú: Học sinh làm bài theo cách khác hợp lí đạt điểm tối đa.

-6-