ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI KHẢO SÁT LẦN 1 MÔN TOÁN 1O KHỐI A,A1 NĂM 2013-2014

SỞ GD & ĐT BẮC GIANG
Trường THPT Lạng Giang số 1

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ GIỎI LẦN 1
Năm học: 2013 – 2014
Môn: Toán lớp 10- Khối A và A1
Thời gian làm bài: 150 phút

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Câu I. (2 điểm) Cho hàm số y  x 2  2 x  1 .
1. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số.
2. Tìm m để đường thẳng d: y  2 x  m cắt (P) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho
AB  2 5
Câu II. (2 điểm) Phương trình, hệ phương trình đại số
x  2  3  x  5  2x
 x  y x 2  1  xy  y 2  0

2. Giải hệ phương trình:  x 2
2
2
 2  2 x 1  y  3
y


1. Giải phương trình

Câu III. (1 điểm) Tìm m để phương trình: x4  2mx2  m2  m  1  0 có 4 nghiệm phân biệt
x1; x2 ; x3 ; x4 thỏa mãn điều kiện: x14  x24  x34  x44  5x1 x2 x3 x4  5 .
Câu IV. (1 điểm) Cho tam giác ABC có trung tuyến BD, I là trung điểm BD và J là điểm thỏa mãn
JA  2 JB  JC  0 . Chứng minh IA  2IB  IC  0 và ba điểm A, I, J thẳng hàng.

Câu V. (1 điểm) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a  b  c  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

a3
b3
c3


a  bc b  ca c  ab
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm phần 1. hoặc phần 2.
1. Theo chương trình chuẩn.
Câu VIa: (2 điểm)
P

1) Cho tam giác ABC có BAC  600 , AB=5, AC=10, trung tuyến AD và M là điểm thỏa mãn
3MA  2MC  0 . Tính độ dài đoạn BM và chứng minh AD  BM .
2) Cho tam giác ABC với điểm A(1;2), B(2;0), C(0;-4). Tìm tọa độ trực tâm tam H giác và
điểm D là chân đường phân giác trong kẻ từ B.
Câu VIIa: (1 điểm) Với điều kiện xác định cho trước, rút gọn biểu thức:

P=

t an 2 x - cos2 x
sin 2 x

+

cot 2 x - sin 2 x
cos2 x

2. Theo chương trình nâng cao.

Câu VIb. (2 điểm)
1) Cho tam giác ABC vuông cân có AB=AC= a . Gọi M, N, P lần lượt là các điểm trên các
AM BN CP 1


 . Chứng minh tứ giác AMNP có hai đường
cạnh AB, BC, CA sao cho
AB BC CA 3
chéo bằng nhau và vuông góc với nhau.
2) Cho tam giác ABC với A(2;-1), B(1;3), C(-1;4). Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp I
của tam giác và tọa độ điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A.
Câu VIIb. (1 điểm) Với điều kiện xác định cho trước , chứng minh: cot x 

sin x
1

1  cos x sin x



HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ -GIỎI LẦN 1
MÔN TOÁN LỚP 10- KHỐI A VÀ A1

Câu
I

Đáp án
Cho hàm số y  x  2 x  1

Điểm

2 điểm

3. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số.

1 điểm

2

b
1
2a
+ Kết luận đúng tính đồng biến, nghịch biến vẽ đúng bảng biến thiên
+ Chỉ ra các đặc điểm của đồ thị
+ Vẽ đúng đồ thị

+ Chỉ ra tập xác định, tính được a  1  0; 

0,25
0,25
0,25
0,25

2. Tìm m để đường thẳng d: y  2 x  m cắt (P) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho

1 điểm

AB  2 5 .
Phương trình hoành độ giao điểm x2  2 x  1  2 x  m  x2  4x  m  1  0 (1)
+Tìm được điều kiện để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt là m  5

0,25

+d cắt (P) tại 2 điểm A  x1; 2 x1  m  , B  x2 ; 2 x2  m  , với x1 ; x2 là các nghiệm của (1)

0,25

 x1  x2  4
Theo Viet ta có 
 x1 x2  m  1

 x2  x1    2 x2  2 x1   2
 16  4  m  1  4  m  4

+ AB  2 5 

2

2

5   x1  x2   4 x1 x2  4
2

+Kết hợp điều kiện ta được kế quả cầ tìm là 5  m  4 .
II

0,25
1 điểm

x  2  3  x  5  2x
5

+Tìm được điều kiện 2  x 
2

3. Giải phương trình

+ Pt  x  2  3  x  5  2 x  2 x  3 

0,25

3  x 5  2 x 

3

x

3
2

2 x  3  0

x 


 
3
2
2
x



2
 2 x  3   3  x  5  2 x 

2 x  x  6  0

2


x

2

+ Đối chiếu điều kiện và kết luận.

0,25

x2



1 điểm

0,25



x
2
 x  y x2  1  x  y 2  0
 y  y  x 1  x  0




2

 x
2

  y   2 x 2  1  x  3  x  y   2 x 2  1  x  3




 y

 y



0,25

0,25

 x  y x 2  1  xy  y 2  0

2. Giải hệ phương trình:  x 2
2
2
 2  2 x 1  y  3
y



+ Điều kiện: y  0 .
+ Hệ tương đương với

0,25







0,25



u  v  0
x
. Giải hệ, đối chiếu
 y; v  x 2  1  x; v  0 , ta được hệ  2
y
u

2
v

3

điều kiện được u  1; v  1 .

+ Giải được x=0; y=-1 và kết luận.
+ Đặt u 

III

Tìm m để phương trình: x4  2mx2  m2  m  1  0 có 4 nghiệm phân biệt x1; x2 ; x3 ; x4
thỏa mãn điều kiện: x14  x24  x34  x44  5x1 x2 x3 x4  5 .
x4  2mx2  m2  m  1  0 (1). Đặt t  x 2 , t  0 , ta được t 2  2mt  m2  m  1  0 (2)
+ Pt (1) có 4 nghiệm phân biệt  (2) có hai nghiệm dương phân biệt
 '  0

 S  0, P  0

0,25

t1  t2  2m
+ Pt (2) có hai nghiệm dương phân biệt t1 ; t2 . Theo Viet ta có 
2
t1t2  m  m  1

0,25

Do đó x14  x24  x34  x44  5x1 x2 x3 x4  5  2t12  2t22  5t1t2  5 . Từ đó tìm được m=2,
m=7.

0,25

Cho tam giác ABC có D là trung tuyến BD, I là trung điểm BD và J là điểm thỏa mãn
JA  2 JB  JC  0 . Chứng minh IA  2IB  IC  0 và ba điểm A, I, J thẳng hàng.
+ Vì D là trung điểm của AC nên IA  IC  2ID

1 điểm

+ Vì I là trung điểm của BD nên IB  ID  0 , từ đó suy ra IA  2IB  IC  0
+ Từ JA  2 JB  JC  0 , suy ra JA  2 JB  JC

0,25
0,25





1
 JI  JB  JC  JA  2 JI Do đó A, I, J thẳng hàng.
2
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a  b  c  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

P

a3
b3
c3


a  bc b  ca c  ab

a3
a  bc 1 3a
b3

b  ca 1 3b
c3
c  ab 1 3c

 

  ;

 
;
a  bc
4
2 2 b  ca
4
2 2 c  ab
4
2 2
5
1
3
+ Từ đó suy ra: P   a  b  c    ab  bc  ca  
4
4
2
+ Chứng minh được ab  bc  ca  3
+ Ta có

+ Suy ra giá trị nhỏ nhất của P là
VIa

1 điểm

0,25

+ Từ IA  2IB  IC  0 , suy ra JA  JI  2 JB  JI  JC  JI  0

V

0,25

+ Giải đúng điều kiện trên được kết quả m>1 (*)

+ Phương trình (1) có 4 nghiệm x1  t1 ; x2   t1 ; x3  t2 ; x4   t2

IV

0,25

3
, đạt được khi a  b  c  1 .
2

0,25

0,25

1 điểm

0,25
0,25

0,25
0,25

1. Cho tam giác ABC có BAC  600 , AB=5, AC=10, trung tuyến AD và M là điểm
thỏa mãn 3MA  2MC  0 . Tính độ dài đoạn BM và chứng minh AD  BM .

1 điểm

+ Ta có AM=4, BM  AM  AB

0,25



+ BM 2  AM  AB
Do đó BM  21



2

 AM 2  AB2  2 AM . AB  AM 2  AB 2  2 AM . AB.cos 600  21

0,25



2
1
1

AC  AB ; AD  AB  AC
5
2
2
+Dùng tích vô hướng chỉ ra BM . AD  0 , suy ra BM  AD

+Chỉ ra BM 

2. Cho tam giác ABC với điểm A(1;2), B(2;0), C(0;-4). Tìm tọa độ trực tâm tam H
giác và điểm D là chân đường phân giác trong kẻ từ B.

 AH .BC  0
+ Giả sử H(x;y), do H là trực tâm tam giác nên 

 BH . AC  0
 13 3 
+ Thay tọa độ tính được H  ;  
4
2

0,25
0,25
1 điểm
0,25

0,25

+ Tình được BA  5, BC  2 5  BC  2BA , theo tính chất phân giác ta có
0,2 5

DC  2DA  DC  2DA
2 
+ Từ đó tính được D  ;0 
3 
VIIa

Rút gọn P =
sin 2 x
2

0,25

t an 2 x - cos2 x
sin 2 x

- cos2 x

+

cos2 x
2

cot 2 x - sin 2 x
cos2 x

1 điểm

- sin 2 x

P = cos x 2

+ sin x 2
sin x
cos x
1
1
2
=
- cot x +
- t an 2 x
2
2
cos x
sin x
1
1
2
=
t
an
x
+
- cot 2 x
2
2
cos x
sin x
= 1+ 1= 2

VIb

1. Cho tam giác ABC vuông cân có AB=AC= a . Gọi M, N, P lần lượt là các điểm trên
AM BN CP 1
các cạnh AB, BC, CA sao cho


 . Chứng minh tứ giác AMNP có
AB BC CA 3
hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau.
a 5
a 5
+ Dựa vào Pitago và tích vô hướng tính được MP 
, suy ra AN=MP
; AN 
3
3
1
2
1
2
+ Chỉ ra PM  AB  AC ; AN  AC  AB , từ đó dùng tích vô hướng chỉ ra
3
3
3
3
PM  AN
2. Cho tam giác ABC với A(2;-1), B(1;3), C(-1;4). Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại
tiếp I của tam giác và tọa độ điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A.
+ Giả sử I(x;y). Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp nên IA=IB=IC

1 điểm

0.5
0.5

1 điểm

 23 3 
+ Thay tọa độ thu được hệ, từ đó có kết quả I   ; 
 14 14 
 AB. AD  0

+ Giả sử D(x;y). Từ giả thiết ta có 

 AD  AB

+ Thay tọa độ, giải hệ được kết quả D  6;0  hoặc D  2; 2  .
VIIb

Chứng minh: cot x 

sin x
1

1  cos x sin x

1 điểm



cot x 

cos x 1  cos x   sin 2 x
sin x
cos x
s inx



1  cos x s inx 1  cos x
sin x 1  cos x 

0.5

cos x  1
1

ddpcm
sin x 1  cos x  sin x

0.5

