ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI KHẢO SÁT LẦN 1 MÔN TOÁN 11 KHỐI B,D NĂM 2013-2014

Tr-êng THPT L¹ng Giang sè 1

ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ GIỎI

®Ò chÝnh thøc

LẦN 1 NĂM 2013
Môn: Toán 11 - Khối B, D. Thời gian làm bài: 150 phút

A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)

Câu I (2 điểm) 1. Cho hàm số y = x2+x+1 có đồ thị là (P) Tìm m để đường thẳng (d) y=mx+1 cắt (P) tại 2
3
điểm A, B phân biệt đối xứng nhau qua đường thẳng (  ) y = -2x +
8
4
2
2. Tìm m để phương trình: x  2  m  1 x  2m  1  0 có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
Câu II (2 điểm) Giải phương trình,hệ phương trình
8xy
 2
2
sin 4 x  co s 4 x 1
1
 x  y  x  y  16
1)
2) 
 cot 2 x 
5sin 2 x
2

8sin 2 x
 x y  x y

3
Câu III (1 điểm) Chứng minh rằng: Với mọi n  N* thì n +11n chia hết cho 6.
Câu IV (1 điểm) Cho tứ diện ABCD biết AB = a, BD=b và AC=c. Trên cạnh AB lấy một điểm M đặt
AM=x với 0P, Q. Thiết diện MNPQ là hình gì? Xác định vị trí M trên AB để MP vuông góc với NQ.
Câu V (1 điểm) Cho a, b, c là ba số thực không âm thoả mãn : a  b  c  3 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P  a b  b c  c a  abc .

B. PHẦN DÀNH RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm phần 1. hoặc phần 2.
1. Theo chương trình chuẩn.
Câu VI.a (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = 0 có tâm I và
đường thẳng : mx + 4y = 0. Tìm m biết đường thẳng  cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A,B thỏa
mãn diện tích tam giác IAB bằng 12.
2. .Một hộp đựng 10 viên bi trong đó có 4 viên bi đỏ ,3 viên bi xanh,2 viên bi vàng,1 viên bi trắng .Lấy
ngẫu nhiên 2 viên bi.Tính xác suất lấy được 2 viên bi cùng màu.
Câu VII.a (1 điểm) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn Cn2 .Cnn2  2Cn2Cn3  Cn3Cnn3  100

2. Theo chương trình nâng cao.
Câu VI.b (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(1;-1), B(2;1), diện tích bằng 5,5 và trọng tâm G
thuộc đường thẳng d: 3x  y  4  0 . Tìm tọa độ đỉnh C.
2. Một bình đựng 16 viên bi trong đó có 7 viên bi trắng ,6 viên bi đen,3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên ba viên
bi. Tính xác suất lấy được đúng 1 viên bi trắng.
2013
Câu VII.b (1 điểm) Cho đa thức: P  x   16x  15
, khai triển đa thức đó dưới dạng

P  x   a0  a1 x  a2 x 2  ...  a2013 x 2013 . Tính tổng: S  a0  a1  a2  ...  a2013
--------------------- HẾT --------------------Họ và tên thí sinh:…………………………………………Số báo danh:……………………
Chú ý: Học sinh không được sử dụng bất kỳ tài liệu gì!
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!



H-ớng Dẫn chấm thi Khảo sát HS khá giỏi lần 1 năm 2013
môn: Toán lớp 11
Câu

ý

N I DUNG
Phần chung cho tất cả các thí sinh

I

2 điểm
1

1đ

x 0
PT honh dim chung: x2+x+1= mx+1 x2 1 m x 0
x m 1
(d) ct (P) ti 2 im phõn bit khi v ch khi m 1
(d) ct (P) ti 2 im A(0;1) v B(m-1;m2-m+1)
m 1 m2 m 2

;
Gi I l trung im on AB, ta cú I

2
2

cú v ộc t ch phng u 1; 2

1
I
A, B i xng nhau qua
m (TM)
2

AB.u 0
KL...

2

1đ

x 2 m 1 x 2m 1 0 (1)
t t = x2, t 0; f(t)=t2-2(m+1)t+2m+1=0(2)
Phng trỡnh (1) cú 4 nghim phõn bit lp thnh cp s cng khi v ch khi phng
trỡnh (2) cú 2 nghimt2>t1>0 sao cho :
t2 t1 t1 t1 t2 3 t1 t2 9t1 0
4

0.25

0.25
0.25
0.25

2





' 0
t t 0
1 2
Khi ú ycbt
t1.t2 0
t2 9t1
m 4
...
m 4
9

KL: Vy ....
II

0.5
0.25

0.25

2 điểm

sin x co s x 1
1
cot 2 x
5sin 2 x
2
8sin 2 x

iu kin: sin 2x 0 x k (k )
2
4

1

1đ

Điểm

4

GPT:

0.25

1
1 sin 2 2 x
1
1
2
cot 2 x

Khi ú phng trỡnh ó cho tng ng vi:
5sin 2 x
2
8sin 2 x
0.5




1®
2

9

cos 2 x 

1
2
 8(1  sin 2 2x)  20cos 2x  5  
1
2
cos 2 x 

2
KL:………………..
8xy
 2
2
 x  y  x  y  16 1


 x y  x y
 2


(loai)
x


6

 k (k  )

ĐK: x +y>0
3
1   x  y   2xy  x  y   8xy  16  x  y 

0.25

0.25

(1)   x  y  4  .  x  y  x  y  4   2xy   0

x  y  4
 2
2
 x  y  4  x  y   0  3
TH1: x+y=3 thế vào pt(2) đươc nghiệm (-3;7) và (2;2)
TH2: x2+y2+4(x+y)=0 Vô nghiệm theo ĐK
KL: Hệ PT ó 2 nghiệm (-3;7) và (2;2)

0.25
0.25
0.25
1 ®iÓm

III
1®

Với n=1 ta có 12 chia hết cho 6 (đúng)
Giả sử với n=k, k  N* thì k3+11k chia hết cho 6.
Ta chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1, k  N*
KL:…

0.25
0.25
0.5

IV
Nêu được cách dựng N, P, Q với MN//AC, MQ//BD
Chứng minh được thiết diện là hình bình hành

Khi MP vuông góc NQ thì hình bình hành ABCD
M
Trở thành hình thoi. Do đó MP vuông góc với NQ
khi và chỉ khi MN=MQ(*)
Theo định lí ta lét ta có :
MQ AM
AM .BD bx
B


 MQ 

BD
AB
AB
a
MN BM
BM . AC  a  x  c

 MN 

N
AC
AB
AB
a
bx  a  x  c
ac

x
Do (*) 
a
a
bc
ac
Vậy M  AB, AM 
thì thiết diện là hình thoi
bc
V

A

0.25

Q
0.25
D

P
C

0.25
0.25

1 ®iÓm
Đặt

a  x, b  y, c  z ,thì điều kiện trở thành:




1®

 x, y , z  0
.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  x 2 y  y 2 z  z 2 x  xyz
 2
2
2
x  y  z  3

Ta thấy P  0 theo bất đẳng thức Côsi.
Không mất tính tổng quát giả sử y là số có giá trị nằm giữa x & z khi đó ta có:

0.25

z  y  x  y  z   0  y 2 z  z 2 x  yz 2  xyz  0

0.25

 x 2 y  y 2 z  z 2 x  xyz  x 2 y  y z 2  P 2   x 2 y  y z 2 

2

3

2
1
1  2 y 2  x2  z 2  x2  z 2 
 P  .2 y 2 .  x 2  z 2   . 
  4 (bất đẳng thức Côsi.)
2
2 
3

a  b  c  1
x  y  z

a  2

 P  2 dấu bằng xẩy ra trong 2 trường hợp   z  0

 
 b  1
  x 2  2 y 2


 c  0

0.25

2

0.25

Vậy Pmax  2  a  b  c  1  a  2; b  1; c  0 và các hoán vị.
3 ®iÓm

PhÇn dµnh riªng
A. Theo ch-¬ng tr×nh chuÈn
VIa

2 ®iªm
1

Đường tròn (C) có tâm I(1; m), bán kính R = 5.
0.25
I
5
A



H

B

Gọi H là trung điểm của dây cung AB.
Ta có IH là đường cao của tam giác IAB.
| m  4m |
| 5m |
IH = d ( I , ) 

2
m  16
m2  16

0.25

(5m)2
20

2
m  16
m2  16
Diện tích tam giác IAB là SIAB  12  2S IAH  12

0.25

 m  3
 d ( I ,  ). AH  12  25 | m | 3( m  16)  
16
m  

3


0.25

AH  IA2  IH 2  25 

2

VIIa
Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi trong 10 viên bi có số phần tử không gian mẫu là C210
Gọi A là biến cố lấy được 2 viên bi cùng màu
n(A)= C24+ C23 +C22
Xác suất P(A) =2/15
B. Theo ch-¬ng tr×nh n©ng cao
VIb

1 ®iÎm
0.25
0.5
0.25



1

Gi ta ca im C ( xC ; yC ) G(1

xC y C
; ) . Vỡ G thuc d

3 3

x y

31 C C 4 0 yC 3xC 3 C ( xC ;3xC 3)
3 3

ng thng AB qua A v cú vộct ch phng AB (1;2)
ptAB : 2 x y 3 0
2 xC 3xC 3 3 11
1
11
11
S ABC AB.d (C; AB ) d (C; AB )


2
2
5
5
5
xC 1
5 xC 6 11
xC 17
5


1đ

TH1: xC 1 C (1;6)

17
17 36
TH2: xC
C ( ; ) .
5
5
5
2

VIIb

Ly ngu nhiờn 3 viờn bi trong 16 viờn bi cú s phn t khụng gian mu l C316
Gi A l bin c ly c 3 viờn bi trong ú cú ỳng 1 viờn bi trng
n(A)= C17. C29
Xỏc sut P(A) =9/140
Cn2 .Cn2 2Cn2Cn3 Cn3Cn3 100



Cn2 Cn3



2

100

Cn2 Cn3 10

0.5

0.25

0.25
0.5
0.25
0.25
0.25



n 4 n 2 4n 15 0
n4

0.25

0.25
0.25

L-u ý:
Tất cả những cách giải khác, nếu đúng thì vận dụng HD trên để chấm cho HS. Yêu cầu các đ/c chấm
đúng đáp án, không vận dụng, chỗ no chưa rõ nên có sự thống nhất giữa các GV chấm để cho
điểm, tuyệt đối không chấm thiếu, cộng thiếu điểm của HS vì bài thi sẽ trả cho HS.