Đề cương ôn tập môn CAD CAM

Câu 1:
Xây dưng các mô hình gia công theo công nghệ CAD/CAM? Cho ví dụ minh hoạ cho
chi tiết cụ thể?
Công nghệ CAD/CAM bao gồm 4
giai đoạn phân biệt: (Hình vẽ)
- Vẽ và tạo bản vẽ
- Lập bản vẽ kỹ thuật
- Mô hình hoá hình học
- Gia công điều khiển số
Về công nghệ, sự khác biệt sự
khác biệt giữa gia công tạo hình
theo công nghệ truyền thống và
công nghệ CAD/CAM là thay thế
tạo hình theo mẫu bằng mô hình
hoá hình học. Kết quả là mẫu chép
hình và công nghệ gia công được
thay thế bằng mô hình hình học số
(Computational Geometric Model – CGM) và gia công điều khiển số (CAM).
Ưu điểm của công nghệ CAD/CAM.
Việc lựa chọn thong số công nghệ thích hợp và kiểm tra kích thước được thực hiện dễ
dàng.
Bề mặt gia công trở nên chính xác và tinh xảo hơn.
Khả năng nhầm lẫn được hạn chế, thời gian thực hiện quy trình thiết kế và gia công tạo hình
nhỏ hơn.
Câu 2:
Phần cứng CAD/CAM
I)Các kiểu hệ thống Cad( phân loại theo phần cứng)
1.1 Hệ thống trên cơ sở máy tính lớn (Mainfram-based)
Hệ thống cad này xuất hiện những năm 60 của thế kỷ XX
*) Đặc điểm:
-Phù hợp với điều kiện cần tích hợp các vùng công tác với máy tính lớn đã có trong công

ty.
-Người sử dụng thường bị giảm năng lực tập trung vào công việc của họ.
- Nguời vận hành hệ thống CAD dễ bị ảnh hưởng bởi sự biến động ngẫu nhiên trong
dòng thông tin của hệ thống.
- Nếu số lượng vùng công tác quá nhiều thì ảnh hưởng biến động ngẫu nhiên sẽ càng lớn.
- Kích thuớc lớn, cồng kềnh
1.2 Hệ thống cơ sở máy tính nhỏ ( Minicomputer- based)
Xuất hiện từ những năm 70 thế kỷ XX, máy tính nhỏ xuất hiện nhờ việc phát triển
những mạch tích hợp cỡ lớn LSI và rất lớn VLSI ( Very large Scale Integrated)
*) Đặc điểm:
-Chi phí giảm.
-Khả năng lập trình tự do ( không bị nhiễu loạn chung)
- Kích thuớc nhỏ gọn.


1.3 Hệ thống trên cơ sở máy vi tính (Microcomputer-Based)
Sự tiến bộ vuợt trội của máy vi tính các nhân (PC) của hãng IBM đã tạo điều kiện phát
triển cho phần mềm CAD chạy trên PC.
*) Đặc điểm:
- Đạt tốc độ cao, kích thước nhỏ gọn, độ chính xác cao.
- Nhiều chương trình ứng dụng được giải quyết tốc trên hệ thống này.
1.4 Hệ thống trên cơ sở trạm công tác (Workstation-Based)
Hệ thống được xây dựng trên cơ sở trạm công tác được thiết lập với công nghệ cao
cho các nhân người dùng.
*) Đặc điểm:
Khả năng sẵn sàng cao, di chuyển vị trí linh hoạt, độc lập hoàn toàn với những người
dùng khác, Hiệu suất cao, thời gian phản hồi ngắn, Năng lực đa dạng(đa năng), Khả
năng dễ dàng nối mạng với các hệ thống khác…
Hệ thống trên cơ sở trạm công tác là cơ sở cho các hệ thống CAD/CAM trong tương lai.
I. Các thiết bị đầu vào ( Input)

2.1 Bàn phím đồ hoạ (Keyboard)
Bàn phím đồ hoạ được thiết lập trên cơ sở bàn phím cơ bản, nhưng có thêm các phím
chức năng riêng và có thêm chuột.
2.2 Bút quang điện ( Lightpen)
Bút quang điện tạo khả năng linh hoạt lựa chọn, định vị các đối tượng vẽ trên màn
hình nhờ tay người sủ dụng trên màn hình tương tác. hiện nay ít được dùng.
2.3 Bảng số hoá ( Digitizing Tables) kèm bút điện (Stylus):
Sử dụng theo hình tượng: Dùng bút điện vẽ lên bảng số hoá. Nhờ đó, dễ sử dụng như
thói quen viết và vẽ trên giấy.
Bảng số hoá có 2 phần: Vùng vẽ và vùng vào Menu lệnh.
Ngoài loại bảng dùng sensor điện từ,còn có các loại bảng dùng trong kỹ thuật tương tự và
bảng dùng trong kỹ thuật siêu âm (acoustic).
2.4 Chuột (Mouse)
Rất phổ biến do sự tiện lợi trong sử dụng với các biểu tượng và các menu kéo xuống và kéo
lên. Có hai kiểu chuột : chuột cơ khí và chuột quang học.
2.5 Cần gạt ( Joystick) , qủa cầu đánh dấu (Track ball).
2.6 Máy quét ( Scanner):
Dựa vào sự phản xạ ánh sáng quét vào chữ hay hình ảnh. Sau khi biến thành tín hiệu
điện, qua các bộ ghép nối biến đổi tương tự - số ( ADC), tín hiệu được đưa vào Computer.
Có hai dạng máy quét thường dùng: Máy quét dùng bộ đọc quang và từ. Máy quét dùng bộ
đọc hồng ngoại và Laze.
III. Các thiết bị đầu ra ( Output)
3.1 Màn hình đồ hoạ
Màn hình đồ hoạ là thiết bị đầu ra thuận tiện và kinh tế nhât.
Tổ hợp màn hình và bàn phím được gọi là thiết bị đầu cuối đồ hoạ, là thiết bị tối thiểu
của một phần cứng CAD. Có Màn hình đen trắng, Màn hình màu.
3.2 Máy vẽ ( Plotter).


Máy vẽ dùng để xuất các hình đã được vẽ (trên máy tính) ra giấy. Thường dùng các

máy vẽ có 4 bút với 4 màu cơ bản: đỏ (R) , xanh lơ (B) , lục (G) và đen. Máy vẽ thường có
2 loại:
*) Loại bàn phẳng:
*) Loại tang cuộn:
3.3 Máy in.
Máy in là thiết bị xuất tin và lưu trữ tin trên giấy
a) Máy in có bộ chữ đúc sẵn.
Kiểu máy in này dễ in chữ, nhưng khó in hình, hoạt động gây ồn. khi in không tiện
lợi.
b) máy in ma trận điểm (in kim)
Kiểu máy này có thể dễ dàng thay đổi phông chữ, có thể in hình vẽ bất kỳ.Tuy nhiên
máy vận hành hơi ồn, hình và chữ không nét.
c) Máy in Laze.
Kiểu máy in Laze có ưu điểm lã dễ dàng thay đổi phông chữ, máy chạy êm và hình
chữ khá rõ nét, tốc độ in cao
Câu 16:
Trình bày đường cong đa thức tham số? Cơ sở toán và thuật toán hình thành đường cong đa
thức tham số
Trả lời:
Mô hình hóa các thực thể hình học người ta thường sử dụng mô hình đường cong. Để
định nghĩa đường cong về thực tế người ta có thể sử dụng phương trình toán học bất kỳ. Tuy
nhiên, mô hình toán học dưới dạng đa thức được sử dụng phổ biến nhất do có đặc tính dễ xử
lý, đủ linh hoạt để mô tả phần lớn các loại đường cong sử dụng trong kỹ thuật.
Đường cong đa thức tham số:
Khảo sát việc thiết lập đường cong với điều kiện biên cho trước bao gồm tọa độ và tiếp
tuyến tại hai điểm đầu và cuối: P0, P1, t0, t1. Vì rằng đường cong được định nghĩa bởi 2 vectơ
và 2 vectơ tiếp tuyến có thể biểu diễn chúng dưới dạng phương trình đa thức vectơ bậc 3. Đa
thức bậc 3 được sử dụng rất phổ biến, bởi vì nó là bậc tối thiểu, đủ để dụng các loại đường
cong trong không gian 3D.
1.Mô hình đường cong dưới dạng phương trình đa thức chuẩn tắc:

Đặc tính của mô hình đa thức chuẩn tắc là dễ xác định.
Xét phương trình đa thức vectơ bậc 3:
r (u ) = ( x(u ), y (u ), z (u )) = a + bu + cu 2 + du 3

Có thể biểu diễn phương trình đa thức này dưới dạng ma trận theo vectơ cơ sỏ U và vectơ
hệ số A như sau:
a 
b 
2 3  
r(u) = [1 u u u ]   = UA
c
 
d 

với 0 ≤ u ≤ 1

(1)


Phương trình đa thức bậc 3 (1) không thể hiện được ý nghĩa hình học, nhưng có thể sử
dụng để thiết lập được đường cong trơn láng đi qua 4 điểm dữ liệu { Pi , i = 1,...,4} theo phương
pháp sau:
Đặt di là chiều dài cát tuyến giữa điểm Pi và Pi+1:
di = │Pi+1 – Pi│ với I = 0,1,2
Từ đó giá trị tham số ui tại các điểm Pi được xác định như sau:
u1 = d 0 / ∑ d i

u0 = 0

u 2 = ( d 0 + d 1 ) / ∑ d1

u3 = 1

Đường cong bậc 3 (1) đi qua các điểm dữ liệu phải thỏa mãn điều kiện:
r ( ui ) = Pi
với i = 1,…,4
Tổng quát, đa thức bậc n đi qua (n+1) điểm dữ liệu được biểu diễn bởi phương trình đa
thức:
n

r (u ) = ∑ ai .ui
i =1

2.Đường cong Ferguson:
Ferguson giới thiệu một phương pháp khác sử dụng phương trình (1). Theo đó đường
cong được thiết lập bởi (Hình 1):
- Hai điểm đầu cuối P0 và P1
t1
- Tiếp tuyến đầu cuối t0 và t1.
t0
Đường cong bậc 3 (1) thỏa mãn điều kiện
t(u)
biên P0, P1, t0, t1 chúng phải đảm bảo:
P0 = r (0) = a

P1 = r (1) = a + b + c + d
t 0 = r (0) = b

(2)

t1 = r (1) = b + 2c + 3d

Sau các phép biến đổi, hệ số PT đa thức
được xác định theo kiểu biểu thức:
a  1
b  0
A= =
c   − 3
  
d   2

0
0
3
−2

0
1
−2
1

0 P0 
 
0   P1 
= CS (3)
− 1 t 0 
 
1  t1 

P1

P0
Hình 1: Đường cong Ferguson

Kết hợp biểu thức (1) và (3), đường cong Ferguson r(u) theo điều kiện biên như trên được
biểu diễn bởi ma trận hệ số Ferguson C và vectơ điều kiện biên Ferguson S như sau:
r(u) = UA = UCS ,
với
0≤u≤1
(4)
Thực tế dễ dàng xác định được độ lớn của vectơ tiếp tuyến, do đó độ lớn của vectơ được
chọn bằng chiều dài cát tuyến t 0 = t1 = P1 − P0 . Sự lựa chọn này thỏa yêu cầu về hình dáng.
Phương trình (1) và (4) đều được biểu diễn dưới dạng mạ trận cơ sở. Có thể biểu diễn (4)
dưới dạng khác:
r(u) = (U C) S
= (1 – 3u2 + 2u3)P0 + (3u2 – 2u3)P1 + (u – 2u2 + u3)t0 + (-u2 + u3)t1
(5)


= H o3 (u ) P0 + H 13 (u )t 0 (u ) + H 23 (u )t1 (u ) + H 33 (u ) P1
H 13 = (u − 2u 2 + u 3 )
Trong đó: H 03 = (1 − 3u 2 + 2u 3 )
H 33 = (3u 2 − 2u 3 )

H 23 = (−u 2 + u 3 )

H i3 (u ) là hàm kết nối hermite bậc 3 thỏa mãn điều kiện biên tại u = 0,1 như sau:
H 03 (0) = H 33 (1) = H 31(0) = H 23 (1) = 1
H 03 (1) = H 33 (0) = H 31(1) = H 23 (0) = 0
H 03 ( j ) = H 33 ( j ) = H 31( j ) = H 23 ( j ) = 0

với j = 0,1
Dễ dàng xác nhận rằng phương trình (5) thỏa mãn điều kiện biên (2).
Phương trình (5) là định nghĩa chuẩn về đường cong kết nối Hermite.
3.Đường cong Bezier:
Đường cong Bezier được định nghĩa bằng nhiều phương pháp.
Hãy xét phương pháp xây dựng đường cong Bezier bậc 3 từ phương trình đường cong
Ferguson (4).
Bốn đỉnh điều kiển Bezier V0, V1, V2, V3 (Hình 2a) thỏa mãn điều kiện:
V0 là điểm đầu của đường cong,
V1 là vị trí 1/3 chiều dài trên vectơ tiếp tuyến đầu,
V2 là vị trí 2/3 chiều dài trên vectơ tiếp tuyến cuối,
V3 là điểm cuối của đường cong.
V1

t

1

t0

V1

V3

V2

V2

V1
t(u)

t(u)

t(u)

V3

V3 = P3

V2

V0

V0 = P0

V0
c.

b,

a,

Hình 2: Đường cong Bezier bậc 3

Đỉnh điều khiển Bezier được biểu diễn theo điều kiện Ferguson như sau:
V0 = P0 ; V1 = (V0 + t0/3) ; V2 = (V3 – t1/3) ; V3 = P1
Ngược lại, điều kiện biên Ferguson được biểu diễn theo đỉnh điều kiển Bezier Vi là:
P0 = V0 ; P1 = V3 ; t0 = 3(V1 – V0) ; t1 = 3(V3 – V2)
hay dưới dạng ma trận:
 P0  1

P  
0
S ≡ 1=
t 0  − 3
  
t1  0

0
0
3
0

0
0
0
−3

0 V0 
 
1  V1 
≡ LR
0 V2 
 
3  V3 

(6)

Cuối cùng tat hay kết quả (6) vào phương trình đường cong Ferguson (4) để đạt được
phương trình đường cong Bezier bậc 3 biểu diễn bởi ma trận hệ số Bezier M và vectơ đỉnh
điều khiển R:

r(u) = U C S = U C (L R) = U (C L) R = U M R , với 0 ≤ u ≤ 1 (7)
Trong đó:


0
− 3
M =
3

1

0
3
−6
3

0
1
3
−3

o
o 
;
o

1

V0 
V 

R= 1
V2 
 
V3 

Đặc tính tiêu biểu của đường cong bezier là hình dáng của đường cong phụ thuộc vào đa
tuyến lồi giới hạn các đỉnh điều khiển (Hình 2). Tương tự như đường cong Ferguson có thể
biểu diễn đường cong Bezier (7) dưới dạng phương rình đa thức:
r(u) = (U M) R
= B03 (u )V0 + B13 (u )V1 + B23 (u )V2 + B33 (u )V3
(8)
3

= ∑ Bi3 (u )Vi
i =0

Trong đó:
B03 (u ) = (1 − u ) 3

B13 (u ) = 3u (1 − u ) 2
;
B33 (u ) = u 3
B23 (u ) = 3u 2 (1 − u ) ;
Đa thức Bernstein bậc n có dạng:
Bin (u ) =

n!
u i (1 − u ) n−i
(n − 1)!i!

là đa thức Bernstein bậc 3.
(9.a)

Đa thức Bernstein được gọi là hàm cơ sở Bezier sử dụng để định nghĩa đường cong
Bezier bậc n bằng cách kết nối (n + 1) đỉnh điều khiển:
n

r (u ) = ∑ Bin (u )Vi
i =0

,

với 0 ≤ u ≤ 1

(9.b)

Đường cong Bezier bậc n thỏa mãn điều kiện sau:
r(0) = V0
;
r(1) = V1
r (0) = n(V1 − V0 )
r (1) = n(Vn − Vn−1 )
;
(10)
Định nghĩa chuẩn về đường cong Bezier theo hàm cơ sở Bezier (9.b) thể hiện tính chất
hình học của đường cong tốt hơn so với biểu diễn dưới dạng ma trận (7), ví dụ như có thể
chia nhỏ hoặc tăng bậc cho đường cong. Ngược lại dạng ma trận có ưu điển là dễ dàng xử lý
dữ liệu.
4.Đường cong B-spline đều:
Mô hình toán học của đường cong B-spline là phương trình đại số. Ta sẽ nghiên cứu phép

dựng hình để hiểu rõ tính chất hình học của dạng mô hình này.
Xét 4 đỉnh điều khiển V0,…,V3 và các điểm M0, M1, P0, P1 với tính chất như sau: (Hình 3)
M0 là điểm giữa của đoạn thẳng V0V2:
M0 = (V0 + V2)/2.
M1 là điểm giữa của đoạn thẳng V1V3:
M1 = (V1 + V3)/2.
P0 là điểm 1/3 của đoạn thẳng V1M0 :
P0 = (2V1 + M0)/3.
P1 là điểm 1/3 của đoạn thẳng V2M1 :
P1 = (2V2 + M1)/3.
Các thiết lập đường cong bậc 3 r(u) thỏa mãn điều kiện:
- Đường cong bắt đầu từ điểm P0 và kết thúc ở điểm P1.
- Vectơ tiếp tuyến tại điểm P0 có giá trị bằng (M0 – V0).
- Vectơ tiếp tuyến tại điểm P1 có giá trị băng (M1 – V1).


Như vậy ta có thể biểu diễn điểm biên P 0, P1 và tiếp tuyến t0, t1 theo đỉnh điều khiển như
sau:
P0 = r (0) = [ 4V1 + (V0 + V2 )] / 6
(11.a)
P1 = r (1) = [ 4V2 + (V1 + V3 )] / 6
(11.b)

t 0 = r (0) = (V2 − V0 ) / 2
(11.c)
t1 = r (1) = (V3 − V1 ) / 2
(11.d)
Hay dưới dạng ma trận:
 P0 
1

P 

1 0
1

S≡
=
t 0  6 − 3
 

0
t1 

4
1
0
−3

1
4
3
0

0
1 
≡ KR
0

3

Thay kết quả trên vào phương trình đường cong Ferguson (4) để đạt được phương trình
đường cong B-spline đều bậc 3 biểu diễn bởi ma trận hệ số B-spline đều N và vectơ đỉnh
điều khiển R:
r(u) = U C S
= U C (K R)
= U (C K) R
=UNR
với 0 ≤ u ≤ 1
Trong đó:
C là ma trận Ferguson.
1

1 − 3
N=
6 3

− 1

4
0
−6
3

1
3
3
−3

V

0
0
0

1

Tương tự như đường cong Bezier ta
thể biểu diễn đường cong B-spline đều
bậc 3 bởi hàm kết nối B-splien đều
N i3 (u ) :

1

t

P

0

M

t(u)
P

M

V

0

r (u ) = (UN ) R = ∑ N i3 (u )Vi

1

0

V

2

(12)

i =0

Trong đó:
N 03 (u ) = (1 − 3u + 3u 2 − u 3 ) / 6

Câu 17:

3

0

3

N 23 (u ) = (1 + 3u + 3u 2 − 3u 3 ) / 6

V

1

;
;

N13 (u ) = ( 4 − 6u 2 + 3u 3 ) / 6
N 33 (u ) = u 3 / 6

t

1

có


Trình bày đường cong B-Spline không đều (NURSB)? Cơ sở toán và thuật toán hình
thành đường cong B-Spline không đều (NURBS)?
1. Đường cong B-Spline không đều:
NURBS là một khái niệm trong kĩ thuật đồ họa máy tính, viết tắt của cụm từ tiếng Anh
Non-Uniform Rational B-Spline, là một mô hình toán học biểu diễn lại đường cong và bề
mặt.
2. Cơ sở toán hình thành đường cong B-Spline không đều:
Trong kĩ thuật đồ họa máy tính khi muốn xây dựng một đường cong tổng quát mà chưa
biết phương trình toán học của nó người ta sử dụng một tập hợp các điểm điều khiển cho
trước (Control Point). Giả sử ta sử dụng n+1 các điểm điều khiển P 0, P1, P2,…, Pn, khi đó
một đường cong C được tạo ra nhờ một trong hai cách sau:
- Nội suy các điểm điều khiển: C bắt đầu từ điểm P 0 và lần lượt đi qua các điểm P 1, P2,
P3, …Pn. C kết thúc tại Pn.
- Xấp xỉ các điểm điều khiển : C không nhất thiết phải đi qua các điểm điều khiển
nhưng hình dạng của nó được quyết định bởi các điểm điều khiển.
Đường cong B-Spline được xây dựng theo cách thứ hai. B-Spline cho phép chúng ta vẽ

đường cong đều đặn dựa theo một tập hợp các điểm cho trước. Những điểm này gọi là
Control Points, đường cong không nhất thiết phải đi qua chúng, chúng chỉ xác định hình
dạng của đường cong. Để có thể vẽ được đường cong, ngoài Control Points chúng ta phải
bố xung thêm nhiều điểm khác vào nữa. Những điểm này gọi là knots. Số lượng knots chúng
ta phải đưa vào cho chương trình. Toạ độ của tất cả các Control Points đều có ảnh hưởng
đến toạ độ của knot, tuy nhiên ảnh hưởng của chúng khác nhau. Những Control Points nào ở
gần knot hơn thì ảnh hưởng nhiều hơn. Bậc của đa thức B-Spline có thể thiết lập một cách
độc lập với số lượng các điểm điều khiển. Đường cong B-Spline cho phép điều khiển cục bộ
(Local Control) nghĩa là khi ta thay đổi vị trí một điểm điều khiển thì vị trí hai điểm liền kề
sẽ thay đổi tương ứng giúp ta có thể điều chỉnh một phần nào đó của đường cong.
3. Thuật toán hình thành đường cong B-Spline không đều:
Giả sử ta có n+1 điểm điều khiển P 0, P1,..., Pn, kí hiệu toạ độ của mỗi điểm điều khiển là
Pi(xi, yi, zi) trong đó 0 ≤ i ≤ n. Tập hợp các điểm điều khiển ta gọi là đa giác điều khiển
(control polygon). Khi đó các điểm trên đường cong B-Spline được tính theo công thức:
n

C(u) =

∑N
i =o

i ,m

(u ) Pi , tmin ≤ u ≤ tmax , 2 ≤ m ≤ n+1

Ta có thể lựa chọn miền giá trị của tham số u. Hàm N i,m(u) được gọi là hàm B-Spline
là một đa thức bậc m-1. Giá trị của tham số m có thể chọn là một trong số các giá trị từ 2 đến
n+1. Trong thực tế ta có thể thiết lập m=1 nhưng khi đó chỉ hiển thị các điểm điều khiển.
Trước khi định nghĩa hàm Ni,m(u) ta phải xây dựng các giá trị của tham biến u, hàm
Ni,m(u) sẽ được định nghĩa trên từng khoảng đó. Muốn vậy ta định nghĩa r+1 điểm chia t 0 ≤ t1

≤…≤ tr , mỗi điểm như vậy được gọi là một điểm nút. Tập hợp các điểm nút T = {t o, t1, … ,
tr} được gọi là Vector các điểm nút (knot vector).
Các điểm nút tạo thành một dãy số không gian và có thể một vài điểm nút có giá trị
bằng nhau.
Hàm Ni,m(u) được định nghĩa một cách đệ quy theo m như sau:


1 t i ≤ u ≤ t i +1
0 u ∉[ t i , t i +1 ]

Ni,m(u) = 

Các hàm B-Spline với m>1 được định nghĩa bởi công thức sau :
u − ti

ti+m − u

N i ,m−1 (u ) +
N i +1,m−1 (u )
Ni,m(u) = t
t i + m − t i +1
i + m −1 − t i
Nhìn vào công thức tính trên ta thấy để tính được Ni,m(u) ta cần các nút
t0, t1,…, ti+m trong vector nút. Vậy khi i=n ta cần t0,t1,…,tn+m trong vector nút, chính vì lí do
đó mà ta phải chọn từ đầu vector nút sao cho khoảng giá trị của tham số u được chia thành
n+m khoảng bởi n+m+1 điểm chia hay nói cách khác r=n+m.
Để dễ hình dung cách xây dựng đường cong B-Spline ta xét khi m=1,2,3.
+ Khi m=1, hàm B-Spline Ni,1 sẽ có bậc bằng 0, phương trình đường cong B-Spline có
dạng:
n

C(u) =

∑
i =0

Ni,1(u) Pi = N0,1P0 + N1,1P1 + … + Nn,1Pn (t0 ≤ u≤ tn+1)

Theo định nghĩa ở trên ta có khi t0 ≤ u≤ t1 chỉ có duy nhất hàm N0,1=1 còn các hàm BSpline khác đều bằng 0 do đó C(u)=P0. Tương tự như vậy khi ta xét lần lượt các khoảng của
tham số u ta thấy trên khoảng [t i, ti+1] chỉ có duy nhất hàm Ni,1 có giá trị bằng 1, còn các hàm
B-Spline khác có giá trị bằng 0. Vậy khi m=1 ta có đường cong C(u) chính là các điểm điều
khiển rời rạc. Hình dưới đây minh họa đồ thị của các hàm Ni,1 (0≤ i ≤ 4) và đường cong C(u).
1

t

0

t t
1

P0

2

t t
3

4

t

P1

P2

P3

P4

5

Đồ thị các hàm B-Spline Ni,1 và đường cong C(u) là các điểm điều khiển.
+ Khi m=2,hàm B-Spline Ni,2 sẽ có bậc bằng 1, phương trình đường cong B-Spline có
dạng:
n

C(u) =

∑
i =0

Ni,2(u) Pi = N0,2P0 + N1,2P1 + … + Nn,2Pn (t1 ≤ u≤ tn+1)

Ta xét hàm B-Spline đầu tiên N0,2
u −t

t −u

0

2
N0,2(u)= t − t N 0,1 (u ) + t − t N1,1 (u )
1
0
2
1

u − t0

Ta nhận thấy N0,2 được tính dựa vào N0,1 và N1,1. Hệ số của N0,1 là t − t , đây là
1
0
phương trình của hàm số bậc nhất tăng trên đoạn [t 0,t1], giá trị của hàm bằng 0 khi u=t0 và
bằng 1 khi u=t1 (ta gọi đây là nửa bên trái của N 0,2). Tương tự hệ số của N 1,1 là một hàm bậc
nhất giảm trên đoạn [t1,t2], giá trị của hàm bằng 1 khi u=t1 và bằng 0 khi u=t2 (ta gọi đây là
nửa bên phải của N0,2). Phương trình của N0,2(u) có thể viết lại như sau:


0
u − t
0

 t1 − t0
No,2(u)= 
 t2 − u
 t 2 − t1

0

u ≤ t0

t0 ≤ u ≤ t1
t1 ≤ u ≤ t 2
u ≥ t2

Tổng quát ta có công thức sau :
u ≤ ti
0
 u −t
i

ti ≤ u ≤ ti +1
 ti +1 − ti
Ni,2(u)= 
 ti +2 − u ti +1 ≤ u ≤ ti +2
 ti +2 − ti +1

u ≥ ti + 2
0

1

t

t

0

1

1

t

2

t

t

3

t

4

t

5

(a)
P

0

0

t
P

1

t

2

t

t
(b)

3

4

t

5

3

P

1

P

2

P

4

(c)
Hình a minh họa đồ thị của hàm N0,2. Hình b minh họa đồ thị hàm Ni,2(0≤ i ≤ 3)
Ta nhận thấy trên đoạn [ti,ti+1] (1≤i≤n) có hai nửa đồ thị, nửa bên trái của N i,2 và nửa
bên phải của Ni-1,2. Do đó phương trình của C(u) trên đoạn [ti,ti+1] là:
ti +1 − u

u − ti

C(u)= t − t Pi−1 + t − t Pi
i +1
i
i +1
i
Hai hệ số của Pi-1 và Pi đều không âm và có tổng bằng 1 do đó C(u) chính là đoạn
thẳng Pi-1Pi. Chứng tỏ khi m=2 đường cong B-Spline chính là đường gấp khúc P0P1…Pn.
+ Khi m=3, hàm B-Spline Ni,3 sẽ có bậc bằng 2, phương trình đường cong B-Spline có
dạng:
n

C(u) =

∑
i =0

Ni,3(u) Pi = N0,3P0 + N1,3P1 + … + Nn,3Pn (t2 ≤ u≤ tn+1)

Ta xét hàm B-Spline đầu tiên N0,3
u −t

t −u

0
3
N0,3(u)= t − t N 0, 2 (u ) + t − t N1, 2 (u )
2
0
3
1


N0,3(u) là hàm tích hợp của hai hàm N0,2(u) và N1,2(u) trên đoạn [t0,t3], thay các giá trị
đã biết N0,2(u) N1,2(u) vào ta có:





 u − t0
N0,3(u)= 
 t 2 − t0






u ≤ t0

0
u − t0 u − t 0
*
t 2 − t0 t1 − t0
*

t0 ≤ u ≤ t1

t 2 − u t3 − u u − t1
+
*
t 2 − t1 t3 − t1 t 2 − t1

t1 ≤ u ≤ t 2

t3 − u t3 − u
*
t3 − t1 t3 − t 2

t 2 ≤ u ≤ t3
u ≥ t3

0

Giá trị của hàm N0,3(u) hoặc là bằng 0 hoặc là một hàm bậc 2 theo biến u.
Tổng quát ta có công thức sau:

0

u − ti

u − ti

*

ti +2 − ti ti +1 − ti

t −u
t − u u − t1i +
 u − ti
* i +2
+ i +3
*
N0,3(u)= 
t
−
t
t
−
t
t
−
t
ti +2 − ti +1
i
+
2
i
i
+
2

i
+
1
i
+
3
i
+
1


ti +3 − u
t −u
* i +3

ti +3 − ti +1 ti +3 − ti +2


0


u ≤ ti
ti ≤ u ≤ ti +1
ti +1 ≤ u ≤ ti +2
t i + 2 ≤ u ≤ t i +3
u ≥ ti +3

1

t

0

t

1

1

t
(a)
2

t

3

P0

t

t

4

t

5

0

t

1

t

t

2

P2
(c)

t

4

t

5

(b)

P3

P1

3

P4

Hình a minh họa đồ thị của N0,3(u), phần đồ thị nằm trên trục hoành ta có thể chia làm 3 phần
tạm gọi là phần bên trái, phần bên phải và phần ở giữa. Hình b minh họa các phần đồ thị
khác 0 của Ni,3 , 0≤ i ≤2 , phần bên trái và phần ở giữa của N3,3(u), phần bên trái của N4,3(u).
Xét trên đoạn [ti,ti+1], 2≤i≤n bao gồm ba phần đồ thị: Phần bên trái của đồ thị N i,3, phần
bên giữa của đồ thị Ni-1,3 và phần bên phải của đồ thị N1-2,3.
Do đó trên đoạn [ti,ti+1], 2≤ i ≤n ta có:
C(u)=


 ti +1 − u ti +1 − u 
 u − ti −1 ti +1 − u ti +2 − u u − ti 
 u − ti
u − ti 

 Pi −2 + 
 Pi −1 + 
 Pi
*
*
*
*
*
 ti +1 − ti −1 ti +1 −t i 
 ti +1 − ti −1 ti +1 − ti ti +2 −t i ti +1 − ti 
 ti +2 − ti ti +1 −t i 

Hệ số của Pi-2 là phần bên phải của Ni-2,3, hệ số của Pi-1 là phần bên giữa của Ni-1,3, hệ
số của Pi là phần bên trái của Ni,3 và tổng ba hệ số này bằng 1 thuộc [t i,ti+1]. Đồ thị của C(u)

là một đường cong được minh họa trên hình c.