Bài 13 nhân liên hợp giải hệ phương trình

24H HỌC TOÁN - CHIẾN THẮNG 3 CÂU PHÂN LOẠI
Giáo viên: Đoàn Trí Dũng – Hà Hữu Hải
BÀI 13: Nhân liên hợp giải hệ phương trình
x  1  x2  2x  y  y 2  1

Bài 1: Giải hệ phương trình trên tập số thực: 
4 x 3  x  y 2 y  1

y  1
y  1


 x  0
Điều kiện xác định:  x  0  x  2   x  0  x  2  
 y  1
 3

2
4
x

x

0
x
4
x

1

0








 x  0
Nhận thấy 
không phải là nghiệm của hệ phương trình.
 y  1
Do đó

x 2  2 x  y 2  1  0 .Ta có: x  1  x 2  2 x  y  y 2  1  x  1  y  x 2  2 x  y 2  1  0

x
 x 1 y 

2

 

 2x  y2  1

  0  x 1 y 

 x  1

x2  2x  y 2  1

2

 y2

x2  2x  y 2  1

 0  x 1 y 

 x  1  y  x  1  y   0
x2  2x  y 2  1



x 1 y
x 1 y
  0 (*). Vì 1 
 x  1  y1 
 0 do đó (*)  y  x  1


2
2
2
2
x  2x  y  1 
x  2x  y  1


Thay y  x  1 vào phương trình thứ hai ta được: 4 x 3  x  y 2 y  1  4 x 3  x   x  1 2  x  1  1





 4 x 3  x   x  1 2 x  1  4 x3  x   x  1 2 x  1  0  4 x 3  2 x 2  x   x  1 2 x  2 x  1  0























 x 4 x 2  2 x  1   x  1 2 x  2 x  1  0  x 2 x  2 x  1 2 x  2 x  1   x  1  2 x  2 x  1  0













 2 x  2 x  1 2 x 2  x 2 x  1   x  1 2 x  2 x  1  0  2 x  2 x  1 2 x 2  x  1  x 2 x  1  0 (*)

5 1
2 x  2 x  1
x
Vì x  0  2 x 2  x  1  x 2 x  1  0 . Do đó (*)  
4
 x  0
Với x 

5 1
ta có y  x  1  x 
4

5 1
1
4

55
.
4

 x  4  x 2  8 x  17  y  y 2  1

Bài 2: Giải hệ phương trình: 
 x  y  y  21  1  2 4 y  3 x


Điều kiện xác định: y  0; 3x  4 y .Ta có: x  4  x 2  8 x  17  y  y 2  1





x 2  8 x  16  y 2


2
2
  x  4  y    x  8 x  17  y  1   0   x  4  y  
0


x 2  8 x  17  y 2  1

 x  4

 x  4  y 

2

 y2

x 2  8 x  17  y 2  1

 x  4  y  x  4  y 

 0  x  4  y 

x 2  8 x  17  y 2  1

0



2
2
x4y
  0   x  4  y  x  8 x  17  y  1  x  4  y  0 (*)
 x  4  y1 


x 2  8 x  17  y 2  1 
x 2  8 x  17  y 2  1


Như vậy

x 2  8 x  17  y 2  1  x  4  y
2

 x  4

x 2  8 x  17  x  4 

y 2  1  y  1  0 .Và

Vì y  0 nên

2

x  8 x  17  y  1

2

1  x 4  x 4  x 4 0.

 0 .Do đó (*)  y  x  4 . Thay y  x  4 vào phương trình hai ta

có: x  y  y  21  1  2 4 y  3x  x  x  4  x  25  1  2 x  16
Cách 1: Phương pháp đánh giá tính đơn điệu của hàm số.
Nhận xét x  4 không phải nghiệm của phương trình.
Xét hàm số: f  x   x  x  4  x  25  1  2 x  16 với x   4;   .

1

Ta có: f '  x   1 
 f ' x 

2 x4

1
2 x4





1
2 x  25

1
2 x  25







1

 f ' x 

x  16
x  15

x  16  1



x  16

1
2 x4



1
2 x  25

x  16  1



x  16

 0x   4;   .Vậy f  x  là hàm số đồng biến và liên

tục với x   4;   .Do đó phương trình f  x   0 có tối đa một nghiệm với x   4;   .
Mặt khác x  0 là một nghiệm của phương trình do đó đây chính là nghiệm duy nhất của phương trình
f  x   0 . Với x  0 ta có y  x  4  4 .

Cách 2: Sử dụng phương pháp nhân liên hợp.
Điều kiện: x  4 .Ta có: x  x  4  x  25  1  2 x  16







 

x4 2 
x
x4 2



 



x  25  5  x  8  2 x  16  0 
x

x  25  5



x 2  16 x  64  4 x  64
x  8  2 x  16

x44

0 

x4 2



x
x4 2

x  25  25
x  25  5


 x  8


x
x  25  5

2

 4  x  16 

x  8  2 x  16



x 2  12 x
x  8  2 x  16

0

0




1
1
x  12
 x


  0 (*).
x  25  5 x  8  2 x  16 
 x4 2

1

Với x  4 ta có

x4 2

1



x  25  5



x  12

 0 .Do đó (*)  x  0 (Thỏa mãn điều kiện).

x  8  2 x  16

Với x  0 ta có y  x  4  4 .
x  x  y   x  y  2 y  2 y 2

Bài 3: Giải hệ phương trình: 
 x 2  3 y 4  x 2  2 y  1

Điều kiện xác định: y  0 , x  y  0 .Chú ý rằng x  y  0 không phải nghiệm của hệ phương trình do đó:

x  x  y   x  y  2 y  2 y 2  x 2  xy  2 y 2 





x  y  2y  0



1
0
 0   x  y  x  2y 


x  y  2y
x


y

2
y



x  y  2y

  x  2 y  x  y  

1

Vì y  0 , x  y  0 do đó x  2 y 

x  y  2y

 0 .Vì vậy ta có x  y . Thay x  y vào phương trình thứ hai

ta được: x 2  3 y 4  x 2  2 y  1  x 2  3 x 4  x 2  2 x  1

Ta có: x 2  3 x 4  x 2  2 x  1  x 2  3 x 4  x 2  2 x  1  0





 x2  x  1 





3





 x2  x  1  3 x2

Vì 1 

3

x2  1


2



2


3





x4  x2  x  0  x2  x  1  3 x2

3

x  x 1

3

x2  1


2

3

x2  1 3 x 

x2

x2  1 3 x 

 x
3

2

 x
3

2



3



x2  1  3 x  0



 0  x2  x  1  1 








3



3

x2  1


2

3

x

2

x2  1 3 x 

 x 2  x  1  0
1 5
xy
0 
2
 x  y  0

 x  y  1  1  4  x  y 2  3  x  y 

Bài 4: Giải hệ phương trình: 
 x 3  x 2  2 y  9  2x 2  2 y  3 x  1  6



Điều kiện xác định: x  y  0, x 2  2 y  9  0, x  1 .Ta có:



x  y  1  1  4x  y  3x  y

2

 x
3

2



0





2x  y  1

 4  x  y   1  3  x  y   x  y  1  0   2 x  2 y  1 2 x  2 y  1 
2

3x  y  x  y  1

0



1
  0 .Vì x  y  0 do đó ta có: 2 x  2 y  1  0 .
  2 x  2 y  1  2 x  2 y  1  


3x  y  x  y  1 





Thay 2 y  1  2 x vào phương trình thứ hai ta được: x 3  x 2  2 y  9  2x 2  2 y  3



 x 3  x 2  2 x  10  2x 2  2 x  2



2

 x  x1



x 1







 



 

x  2 x  10  5

x
0 

x  1  6  x3  1  2 x2  x  1

2

x1  2 



2

 x1







x1  6

x  1  x 2  2 x  10  5  0

x  1  x  5

x 1  2



 x  5  x  3 
x 2  2 x  10  5

0



 x2  x  1 x  1

x3
  0 do đó x  5  y   9 .
  x  5 


2
x 1  2
x 2  2 x  10  5 


21
3
2
 x  y  1  2x  2 y  7  x  6x  y  4
2

Bài 5: Giải hệ phương trình: 
 x 2  y 2  2 2 x 2  3 xy  2 y 2  x  y  2 xy


Điều kiện xác định: x  y 



7
,2 x 2  3xy  2 y 2  0 .Ta có: x 2  y 2  2 2 x 2  3xy  2 y 2  x  y  2 xy
2



  x  y   2 2 x  3xy  2 y  x  y  0   x  y  
2

2

2

7 x  y

2

2

2 2 x 2  3 xy  2 y 2  x  y

0



2
7
7
7
  0 . Vì 1 
 x  y 1 
 0, x  y  . Do đó: x  y .
2
2
2
2

2
2 2 x  3 xy  2 y  x  y 
2 2 x  3 xy  2 y  x  y

Thay vào phương trình đầu ta được: x  y  1  2 x  2 y  7  x 3  6 x 2 

 2x  1  4x  7  x3  6x2 

21
y4
2

21
x  4  6 x 3  36 x 2  63x  24  6 2 x  1  6 4 x  7  0
2



 



 6 x 3  36 x 2  51x  12  4 x  2  6 2 x  1  8 x  14  6 4 x  7  0









  x  4  6 x 2  12 x  3  2 2 x  1
  x  4  6 x 2  12 x  3 





2x  1  3  2 4x  7

4  x  4  2x  1
2x  1  3





8  x  4  4x  7
4x  7  3



4x  7  3  0

0


2
2
4 2x  1
8 4x  7 
7
3
  x  4   6  x  1  3 

  0 . Vì x   6  x  1  3   0 . Do đó x  y  4 .


4
8
2x  1  3
4x  7  3 


x3  x2  2 y  1  x2 y  y  1

Bài 6: Giải hệ phương trình: 
 3  x  2   3 x  4  3 x  y  1  y  3

Điều kiện xác định: 3 x  4  0, y  3, x 2  2 y  1  0, x  y  1  0 .
Ta có: x 3  x 2  2 y  1  x 2 y  y  1  x 3  x 2 y 

 x 2  x  y  x  y    x  y 
 x2







x2  2 y  1  y  1









x2  2 y  1  y  1  0



x2  2 y  1  y  1  0



x2  2 y  1  y  1   x  y 









x2  2 y  1  y  1  0



x2  2 y  1  y  1 x2 x2  2 y  1  x2 y  x2  x  y  0
2


1 
1 
2
2
2


x  2y  1  y  1 x x  2y  1  x y   x     y     0

2 
4 








2

2

Vì x


1 
1
4
x  2 y  1  x y   x     y    0 với x   , y  3 .
2 
4
3


2

2

Do đó:

2

x 2  2 y  1  y  1  0  x 2  2 y  1   y  1   x  y  x  y   0
2

4

4 
4
Vì x  y   x     y    0 với x   , y  3 .Vậy x  y . Thay x  y vào phương trình thứ hai ta được:
3
3 
3




 

3  x  2   3x  4  3 2 x  1  x  3  2 x  1  3 2 x  1 

 



3x  4  4  x  3  x  3  0

 2 2x  1
3
x3 
  x  4


0xy4.
 2x  1  3
3x  4  4
x  3  1 


 3 y  1  x 2  3 y  1  x
Bài 7: Giải hệ phương trình: 
2
2
2 x  3x  y  4 x  y  x  1
Điều kiện xác định: x 





1
, y  0, x 2  3x  y  0,4 x  y 2  0 .Ta có: 2 x 2  3x  y  4 x  y 2  x  1
3

 

x 2  3x  y  x  1 



x 2  3x  y  4 x  y 2  0 


xy
1
  x  y  1 

2
2
 x  3x  y  x  1
x  3x  y  4 x  y 2

hai ta có:

3x  4  x  x 2  3x  2  0 





3x  4  x 

x  y 1
x 2  3x  y  x  1



x2  y 2  x  y
x 2  3x  y  4 x  y 2

0


  0 . Do đó: y  x  1 . Thay vào phương trình thứ


1
 x  1 2x  4   0
2






3x  4  x 







 1 
4 1
3 x  4  x 1    x    

3 3
 2  

1
 x  1
2



3x  4  x



Do đó:





3x  4  x  0


1 
4 1
3 x  4  x   0 . Vì 1    x    
2 
3 3










3 x  4  x  0x 

4
.
3

3 x  4  x  x  2  y  1 (Thỏa mãn điều kiện).

 x1 y x y1 y  x1  y y
 

 
Bài 8: Giải hệ phương trình: 
x1
 x  y  x  2y

 3 x  2 y  1

Điều kiện xác định: y  0,  x  1 y   x  y  1 y  0, x  1  0, x  y  0, x  2 y  0,3x  2 y  0
 x1  0
x  1  0



Nếu y  0 , khi đó hệ phương trình trở thành:  x  1
. Do đó lúc này hệ phương trình vô
 0 x  0

 3x  1

nghiệm. Vậy y  0 . Khi đó:
 


x1
3x  2 y  1



5x  2  1





x1
3x  2  2 x  1

 
2

5x  2  1 

 y  y   x  y  1



x1 y  0 

 x  1 y   x  y  1

y y



x y1
x1  y

0

1

 x  1 y   x  y  1



y  x1  y y


  0  y  x  1 .Thay vào phương trình hai:

x  1  y 
y y


y y

x1

 x  y  x  2y 

x1



y  y  


 x  1 y   x  y  1


  x  y  1 




 x  1 y   x  y  1

5x  2  1

 2 x  1  3x  2 

x1
5x  2  1

 3x  2  2 x  1

 5x  2  1  3x  2  2 x  1 vì x  1  0, x  

3x  2  2 x  1



2

2
5

 5x  3  2 5x  2  5x  3  2 3x  2 2 x  1

 5x  2  3x  2 2 x  1  5x  2   3 x  2  2 x  1  x  0  x  





1
2
khi đó y  1  y  .
3
3


 xy   x  y  xy  2  x  y  y

Bài 9: Giải hệ phương trình: 
 x  1 y  xy  x  1  x   4




Điều kiện xác định: x  0, y  0 .Ta có:


  xy   x  y 







xy  2  y  




xy   x  y 







xy  2  x  y  y



x  xy  2


1
x  y  0  x  y

0
x y
 xy   x  y  xy  2  y














Mặt khác:  x  1 y  xy  x  1  x   4  y  xy  2 

4

 x2  x  2
x1

2

 y

 x  1  x  2   0 do đó x  y .Thay vào phương trình thứ hai ta có:
xy  2 
x1

 x  1   2 x  x  1  x    4   x  1  3 x  x 2   4   x 3  2 x 2  3 x  4  0   x  1   x 2  x  4   0
 x  y  1 x  y 

1  17
1  17
. Kết hợp điều kiện ta loại x  y 
.
2
2

 x  2 y  2 x  y  x 2 y  x  3 y  xy 2

Bài 10: Giải hệ phương trình: 
2
2
2  1  y  x  2 y  1  y  2 x  1

Điều kiện xác định: 2 x  y  0 .Ta có:





x  2 y  2 x  y  x 2 y  x  3 y  xy 2



1
1
2 x  y  x  x 2 y  xy 2  0   x  y  

 xy   0
 x  2 y  3y

2x  y  x



 



x  2 y  3y 

 x  y .Thay vào phương trình hai ta có: 2  1  x  x 2  2 x  1  x 2  2 x  1

 x 2  2 x  1  2  x  1  x 2  2 x  1  0  x 2  2 x  5  2  x  1





x2  2x  1  2





x 2  2 x  1  2  2  x  1

. Vì x  0 do đó chỉ có duy nhất trường hợp





x2  2x  1  2  0





x2  2 x  1  2  0 



x2  2x  1  2





x2  2x  1  2x  0

x 2  2 x  1  2  x 2  2 x  5  0, x  0  x  y  6  1 .

x3  x2  2 y  1  x2 y  y  1

Bài 11: Giải hệ phương trình: 
3 2 x  1  xy 5  4 y 2  4 x 2
Điều kiện xác định: x 

 x3  x2 y 
 x2





x





1
5
.Ta có: x 3  x 2  2 y  1  x 2 y  y  1
,0  y 

2
2



x 2  2 y  1  y  1  0  x 2  x  y  x  y    x  y 

x2  2 y  1  y  1





x2  2 y  1  y  1   x  y 



Vì x  y  0 với x 



x2  2 y  1  y  1  0





x2  2 y  1  y  1  0



x2  2 y  1  y  1 x2 x2  2 y  1  x2 y  x2  x  y  0 .

1
5
.Do đó:
,0  y 
2
2



Vì

x2 x2  2 y  1  x2 y  x2  x  y  0

x 2  2 y  1  y  1  0  x 2  2 y  1   y  1   x  y  x  y   0
2

1
5
. Vậy x  y . Thay x  y vào phương trình thứ hai ta được:
,0  y 
2
2





3 2 x  1  x 5  4 x2  4 x2  3 2x  1  2x  1  4x2  6x  3  x 5  4x2  0

với




6  x  1 2 x  1
2x  1  1

10x


2



 9 x  9  x  1 2 x  1

2

4x  6x  3  x 5  4x2

 0  x  y  1.

 x2  x  y .3 x  y  y

Bài 12: Giải hệ phương trình: 
2
2

x  y  x2  y 2  2
 x  y





Điều kiện xác định: x 2  x  y  0, x  y .Nếu x 2  x  y  0  y  x 2  x , thay vào hệ ta có:
0  x 2  x

2
 2
2
2
2
2
x

x

x

 2x  x  x  x  x












 x  0  x  1
 2
2
2
 x x  x  2

2

x 2  x  y ta có:

Ta nhận thấy hệ trên vô nghiệm. Do vậy: x 2  x  y  0 . Chia hai vế phương trình đầu cho

y

y

 xy 
3

2

x xy




  x  y  1 





3

xy



2

x xy

1
2

1 x  y 1 
3



 x y 1
3

y  x2  x  y

xy

y 

x2  x  y



2

x xy

 3 x  y 1



0
x2  x  y 


 y  x  1 . Thay vào phương trình thứ hai ta được: 2 x  1  2 x 2  2 x  1  x  0, y  1  x  2, y  1
 1  y  x  y  x  2   x  y  1 y                 
Bài 13: Giải hệ phương trình: 
2
 2 y  3x  6 y  1  2 x  2 y  4 x  5 y  3
Điều kiện xác định: x  2 y  0; 4 x  5 y  3 .Ta có:  1  y  x  y  x  2   x  y  1 y  
 1  y 





x  y  1   x  y  1

  x  y  1

y 1
y  1

   y  1





y  1     1  y 

x  y 1
x y 1

  x  y  1

y 1
y  1

 

 1

1
0

 0   x  y  1 y  1 
 
 y  1
x y 1
x  y  1 


x  y 1

1

Do đó x  y  1 hoặc y  1 vì

y  1

 

1
x y 1

0.

Với y  1 , thay vào phương trình hai ta được: 9  3x  2 x  2  4 x  8  9  3 x  0  x  3
Với x  y  1 thay vào phương trình hai ta được: 2 y 2  3 y  2  2 1  y  1  y  2 y 2  3 y  2  1  y  0



 





 



Ta có: 2 y 2  3 y  2  1  y  0  2 y 2  2 y  2  y  1  y  0  2 y 2  y  1  y  1  y  0



 





 2 y 2  1  y   y  1  y  0  2 y  1  y

 y 

 



1 y  y  1 y  0








 y  1  y 2 y  2 1  y  1  0 (*). Vì y  0 nên 2 y  2 1  y  1  0
0  y  1
5 1
5 1
Do đó (*)  y  1  y   2
. Do đó y 
.
 x  y 1
2
2
 y  y  1  0

 2 x 2  y 2  5 x  2  3 y  x  1   2 x  y  1 y  x

Bài 14: Giải hệ phương trình: 
2
2
4 x  y  x  4  2 x  y  x  4 y

Điều kiện xác định: y  x ,2 x  y  0, x  4 y  0 .
Ta có: 2 x 2  y 2  5x  2  3 y  x  1   2 x  y  1 y  x  2 x 2  y 2  5x  2  3xy  3 y   y  2 x  1 y  x  0
 2 x 2  y 2  3x  1  3xy  2 y   y  2 x  1




y  x 1







y  x  1  0   y  x  1 y  2 x  1   y  2 x  1



y  x  1  y  2 x  1   y  2 x  1





y x 1  0 





y  x  1  y  2 x  1







y x 1  0



yx 2 0

 y  2x  1  0
 y  2x  1
y  x  2  0 do đó 

 y  x  1  0  y  x  1

Vì

Với y  2 x  1 thay vào phương trình thứ hai ta có: 3x  4 x  1  9 x  4  3  0

2
9
1
1

 0x   .
Ta xét f  x   3x  4 x  1  9 x  4 với x   .Ta có: f '  x   3 
4
4
4x  1 2 9x  4
 1


Do đó hàm số f  x  đồng biến và liên tục trên   ;   .Do đó phương trình f  x   0 có nghiệm duy nhất
 4


x  0 khi đó y  1 .
Với y  x  1 thay vào phương trình thứ hai ta được: 3x 2  x  3  3x  1  5x  4



 

 



 3x2  x  3  3x  1  5x  4  0  3 x2  x  x  1  3x  1  x  2  5x  4  0



2

3 x x





2

2

 x  1   3 x  1   x  2    5 x  4   0  3

x  1  3x  1

x  2  5x  4





x2  x 

x2  x
x  1  3x  1





1
1
 x2  x  3 

  0 (*).
x  1  3x  1 x  2  5x  4 

Vì x  

 x  0, y  1

1
1
1

 0 .Vậy (*)  
do đó 3 
.
3
x  1  3x  1 x  2  5x  4
 x  1, y  2

 2x  y  3y  x  x  2 y

Bài 15: Giải hệ phương trình: 
2
2
 x  2 x  y  x  3 y  2



x2  x
x  2  5x  4

0


Điều kiện xác định: x , y  0 .Nhận thấy x  y  0 không phải là nghiệm của hệ phương trình.

2x  y  3y  x  x  2 y

Do đó x , y không đồng thời bằng 0.Ta có:






 



2x  y  x 

xy
2x  y  x

 x  y



3y  x  2 y

 

x  2y  2x  y 

3y  x  2 y

0

1
x  2 y  2x  y



1
3y  x



 0  x  y




0



 

x  2 y  2x  y 



2x  y  x



3y  x

3y  x  2 y



 0

 x  2y  2x  y
3y  x
3 y  x   0   x  y  


 x  2y  2x  y
3y  x



3y  x
3y  x
 x  y

 x  2y  2x  y
3y  x


Vì

3y  x  2 y



1
1
 0  x  y

 2x  y  x
3y  x  2 y
3y  x  2 y


2x  y  x



2x  y  x



yx

3y  x  2 y  2x  y  x



  x  y  




2x  y  x

3y  x  2 y  0 




0






1
1
  0   x  y  3 y  x  
  0 (*)


 x  2y  2x  y

3
y

x




 0 với x , y không đồng thời bằng 0.Do đó (*)  x  y  x  3 y .

Trường hợp 1: Với x  y , thay vào phương trình 2 ta được: x 2  x  2  x 2  x  0

x2  x  1
 x 2  x  1   x 2  x  1   0  x 2  x  1 
 0  x2  x  1
2


x x 1



Vì 1 




1 




  0 (*)

x2  x  1 
1

 2
5 1
5 1

5 1
 0 do đó (*)   x  x  1  x 
. Với x 
ta có y 
.
2
2
2
 x  0
x2  x  1

1

Trường hợp 2: Với y 

x
x2  9x
, thay vào phương trình 2 ta được: x 2  x  2 
0
3
3

x  0
 x  0
Điều kiện:  2
. Vì x  0 và x  9 không phải là nghiệm của phương trình nên điều kiện

 x  9 x  0  x  9

của bài toán là x  9 . Xét f  x   x 2  x  2 

Ta có: f '  x   2 x  1 

2x  9
2

6 x  9x

x2  9 x
, x   9;  
3

 0x   9;   .Do đó f  x  là hàm số đồng biến và liên tục trên  9;   .

Do đó với x  9 thì f  x   f  9  . Mà f  9   88  0 . Do đó f  x   0x   9;   .



1
 8x  y  5
 xy 
Bài 16: Giải hệ phương trình: 
x
 8x  y  5  x  y  1  3 x  2


Điều kiện xác định: x  0, y  0 .Ta có:






 

8x  y  5  3 x 

x  y  5
8x  y  5  3 x

  x  y  5



8x  y  5  3 x



x  y 1 4
x  y 1  2

0



1
1
0
 0   x  y  5 

 x  y 1  2

x  y 1  2
8 x  y  5  3 x 


xy5

x  y 1  2



8x  y  5  9x

x y 1  2  0 

8x  y  5  3 x  x  y  1  2



  x  y  5  




8x  y  5  x  y  1  3 x  2



8x  y  5  3 x



 0   x  y  5





8x  y  5  3 x  x  y  1  2  0

 8x  y  5  4
9x  x  y  1 
0
8 x  y  5  2  3 x  x  y  1   0   x  y  5  


 8x  y  5  2 3 x  x  y  1 



 



 8x  1  y

8x  1  y
0
  x  y  5 

 8x  y  5  2 3 x  x  y  1 





1
1
  0 (*)
  x  y  5  8 x  1  y  

 8x  y  5  2 3 x  x  y  1 



Vì

1
8x  y  5  2



1
3 x  x y 1

 0 . Do đó (*)  y  5  x  y  8 x  1

Trường hợp 1: y  5  x . Thay vào phương trình thứ nhất ta được:

xy 

1

x

 8x  y  5  x 5  x 

1
x

 3 x  x 5  x  1  3x

Cách 1: Sử dụng nhân liên hợp:





Ta có: x 5  x  1  3x  3x  x 5  x  1  0  x 2  5  x   x  1  0 

x 4  5  x
2 5x

  x  1  0



x
x

 1   x  1  0 (*). Vì
 1  0x  0 do đó (*)  x  1  y  4
2 5x

 2 5x

Cách 2: Đánh giá hàm số đơn điệu:
Vì x  5 không phải nghiệm của phương trình. Do đó xét hàm số f  x   3x  x 5  x  1 với x   0; 5  .






Ta có: f '  x   3  5  x 

x



2 5x

x4
3 5x



x
2 5x

 0x   0; 5  . Do đó f  x  là hàm số đồng biến và

liên tục trên  0; 5  .Do đó trong  0; 5  phương trình f  x   0 có tối đa một nghiệm.
Mặt khác trong  0; 5  phương trình f  x   0 có nghiệm x  1 .Vậy x  1 là nghiệm duy nhất của phương

trình f  x   0 .Với x  1 ta có y  4 .
Trường hợp 2: y  8 x  1 , thay vào phương trình thứ nhất ta được:

xy 

1
x

 8x  y  5  x 8x  1 

1
x

 2  x 8x  1  1  2 x

 x  0
1
1

 2 x  1  x  . Xét hàm số f  x   x 8 x  1  1  2 x với x   ;   .
Ta có: 
4
4

 x 8 x  1  1  2 x
Ta có: f '  x   8 x  1 

f " x 

8x  1

8x  1



4
8x  1

1



x

. Vì f '  x   8 x  1 

4x
8x  1



1
x

do đó ta có:


4x 
4  8x  1 


4
1
8x  1 
8x  1  1

 f " x 


8x  1
8x  1
2x x
8x  1
2x x

4 8x  1  4x

4

 f " x 

4x



4

4  8x  1  4x 

 8 x  1

8x  1



1
2x x

 f " x 

4
8x  1



4  4 x  1

 8 x  1

8x  1



1

1

 0x   ;  
2x x
4


1
1

1
Vậy f '  x  là hàm số đồng biến và liên tục với x   ;   .Vì x  nên f '  x   f '   .
4
4

4
 1 4 3 6
1

Vì f '   
 0 Do đó f '  x   0 với x   ;   nên f  x  là hàm số đồng biến và liên tục trên
3
4
4

1
1
1

1
1

3
 0 do đó f  x   0 với x   ;   .
 ;   . Với x  ta có: f  x   f   .Vì f   
4

4 4
4

4
4

1

Vậy phương trình x 8 x  1  1  2 x vô nghiệm với x   ;   .
4


 x 4  x 2 y 2  4 y 4  x 4  20 x 2 y 2  4 y 4  7 xy

Bài 17: Giải hệ phương trình: 
 x 2  xy  y 2  1

Điều kiện xác định: xy  0 .Vì x  y  0 không phải là nghiệm của hệ phương trình. Do đó x , y không đồng
thời bằng 0.Do đó:

x 4  x 2 y 2  4 y 4  x 4  20 x 2 y 2  4 y 4  7 xy

  x 4  x 2 y 2  4 y 4  2 xy    x 4  20 x 2 y 2  4 y 4  5xy   0

 





x4  x2 y 2  4 y 4  4x2 y 2
x 4  x 2 y 2  4 y 4  2 xy
x4  5x2 y 2  4 y 4



x 4  x 2 y 2  4 y 4  2 xy





x 4  20 x 2 y 2  4 y 4  25x 2 y 2
x 4  20 x 2 y 2  4 y 4  5xy
x 4  5x 2 y 2  4 y 4
x 4  20 x 2 y 2  4 y 4  5xy


1
 x4  5x2 y 2  4 y 4 

 4
2 2
4
x

x
y

4

y

2
xy






1

Vì

x 4  x 2 y 2  4 y 4  2 xy



0

0


0

4
2 2
4
x  20 x y  4 y  5xy 
1

1
x 4  20 x 2 y 2  4 y 4  5 xy

0

Do đó x 4  5x 2 y 2  4 y 4  0   x  2 y  x  2 y  x  y  x  y   0

 x  2 y  0
Vì xy  0 và x , y không đồng thời bằng 0 do đó 
. Vậy x  y  x  2 y .
 x  y  0
Với x  y , thay vào phương trình thứ hai ta được: x 2  1  x  y  1
Với x  2 y , thay vào phương trình thứ hai ta được: y 2 

1
1
2
y
. Vì x  2 y nên ta có x  
3
3
3

 6 x2  1  y  1  y 2

Bài 18: Giải hệ phương trình: 
 6 y 2  1  x  1  x 2

Điều kiện xác định: x , y  1 .Đây là hệ phương trình đối xứng, chúng ta trừ hai phương trình cho nhau:

 6 x2  1  y  1  y 2

 6x2  1  6 y 2  1 

2
2
 6 y  1  x  1  x








 

6x2  1  6 y 2  1  x2  y 2 



 

y  1  y2 

x  1  x2





x1  y 1  0



xy
1
  0 (*)
 x  y
xy
 6x2  1  6 y 2  1
x 1  y 1 



Do đó (*)  x  y . Thay x  y vào phương trình một ta được:
6x2  1  y  1  y 2  6x2  1  x  1  x2  x2  x  1  6x2  1  0



 

Ta có: x 2  x  1  6 x 2  1  0  x 2  4 



x  1  1   6 x 2  1  5   0



  x  2  x  2  

  x  2 x  2 



x2
x 1 1
1
x 1 1





6 x 2  1  25
6 x2  1  5

 0   x  2  x  2  

x2
x 1 1



6  x  2  x  2 
6x2  1  5

0

6  x  2





1
6
  0
  0   x  2
  x  2 1 



2
2

x

1

1
6 x  1  5  
6x  1  5 






2


2


6
x
x

2


1
1
6x  1  1 

  x  2
  x  2
 0   x  2
0
2
 x 1 1




2
2
x


1

1

6x  1  5 

 6 x  1  1  6 x  1  5  






 x  2 (Thỏa mãn điều kiện). Khi đó y  x  2 .
 x 2  91  y  2  y 2

Bài tương tự: Giải hệ phương trình: 
 y 2  91  x  2  x 2
 x  1  x 2  2 x  y  xy  2 y
Bài 19: Giải hệ phương trình: 
2
 x  xy  x  y  1

Điều kiện xác định: x  0  x  2, y  x  2   0 .Ta có: x 2  xy  x  y  1  x 2  xy  x  y  1 . Thế vào phương
trình đầu: x  1  xy  x  y  1  y  xy  2 y   x  1  y   xy  x  y  1  xy  2 y  0

 x  1  y 



1
 0  x  1  y1 

xy  x  y  1  xy  2 y
xy  x  y  1  xy  2 y


x 1 y


  0  y  x1.



Thay vào phương trình hai ta có: x 2  x  x  1  x   x  1  1  x  2  y  1 .
 y  2 y 2  xy  1  x  1  x 2  x  1
Bài 20: Giải hệ phương trình: 
2
2
 x  2 y  xy  3 x  2 y  4

Điều kiện xác định: 2 y 2  xy  1  0, x 

1 5
1 5
.
x
2
2

Từ phương trình thứ hai ta có: 2 y 2  x 2  xy  3 x  2 y  4 .Thay vào phương trình đầu ta được:

y  x 2  3x  2 y  3  x  1  x 2  x  1  x  1  y 

 x 1 y 





x 2  x  1  x 2  3x  2 y  3  0

2x  1  y


 0  x  1  y1 

x2  x  1  x 2  3x  2 y  3



0
2
2
x  x  1  x  3x  2 y  3 
2

 y  x  1 .Thay vào phương trình hai ta được: x 2  2  x  1  x  x  1  3x  2  x  1  4  x  1  y  0 .
2

 x 3  9 y 3  x  2 y  y 3  4  1
Bài 21: Giải hệ phương trình: 
2
2
 x  2 xy  4 y  4


x3  9 y 3  x  2 y  y 3  4  1

Điều kiện xác định: x 3  9 y 3  0, x  2 y  0, y   3 4 .Ta có:

x







3



 8y3  y3  x  2y  y3  4  1  4  x  2y   y3  x  2y  y3  4  1



4  x  2y   y3  y3  4 



x  2y  1  0 

4  x  2 y  1
4  x  2y   y  y  4
3

3



x  2y  1
x  2y  1

0



4
1
  0  2y  1  x .
  x  2 y  1 


3
3
x  2 y  1 
4 x  2y   y  y  4
 


2 x 2  x  y  1  2 xy  x  2  0
Bài 22: Giải hệ phương trình: 
2
2 y  y  1  xy  2 y  2  0

Điều kiện xác định: y  1, x  y  1  2 .Trừ hai phương trình cho nhau ta được:
2 x 2  3xy  2 y 2  x  2 y 




x  y  1  y  1  0   x  2y   2x  y  1 






  0  x  2y .
x  y  1  y  1 
1

Thay vào phương trình hai ta được: 4 y 2  y  1  2 y  2  0  2  y  1 2 y  1  y  1  0





 y  1 2  2 y  1 y  1  1  0  y  1  x  2 .
 x  1 x  y3  3  y  1



Bài 24: Giải hệ phương trình: 
2
 x  xy  y 2  3

Ta có:

 x  1

x  y 3  3  y  1   x x  y 3  3  







x  y1  0 

x3  y 3  3
x x  y3  3





3
1


  0  y  x  1.


 0   x  y  1



3
3
x

y

1
x

y

1
x x  y 3
x x  y 3

3  x  y  1

x  y 1

2

Thay vào phương trình hai ta được: x 2  x  x  1   x  1  3  x 

3  33
3  33
y
6
6

 2 x 2  5 xy  y 2  1

Bài 24: Giải hệ phương trình:  

2
2
 y  xy  2 y  4 y  xy   1




Điều kiện xác định: y  0 . Ta có:
 2 x 2  5 xy  y 2  1

 2 x 2  5 xy  y 2  y  xy  2 y 2  4 y 2  xy 
 

2
2


 y  xy  2 y  4 y  xy   1

 

x  y 1
x  y1

0


Hai vế là hai phương trình có cùng bậc hai nên ta chia hai vế cho y 2 :
2

x
x
2 x 2  5xy  y 2  y  xy  2 y 2  4 y 2  xy   2    5    1 


y
y

x
x
x
 t , phương trình
 2  4  . Đặt
y
y
y

trở thành: 2t 2  5t  1  t  2  4  t  2t 2  5t  1  t  2  4  t  0



 

 2t 2  5t  3 

 



t  2  1  1  4  t  0   t  3  2t  1 


1
1
  t  3   2t  1 

t  2 1 1 4 t


t3
t 2 1



t3
1 4 t

0







1
1
  0

  0   t  3   2t   1 
t

2

1
1

4

t








t2
1
t2

1

0.
  t  3   2t 

  0 (*). Vì 2  t  4 nên 2t 


t  2 1 1 4 t
t  2 1 1 4 t 


Do đó (*)  t  3 hay x  3 y .Với x  3 y thay vào phương trình thứ nhất ta được:
18 y 2  15 y 2  y 2  1
2 x 2  5 xy  y 2  1  
 y  1 x  3
 y  0
 2

2
2
2 
 3 x  xy  3 y  y  3 xy  y  5 xy  4 y 


Bài 25: Giải hệ phương trình: 
4 x2  4 y 2  1  4 x  4 y


Điều kiện xác định: 3 xy  y 2  0,5 xy  4 y 2  0 .

Vì

3xy  y 2  5xy  4 y 2  0,3 x 2  xy  3 y 2 





2
5 2
1
x  y2   x  y   0
2
2

 3 x 2  0
Do đó ta có y  0 . Mặt khác nếu y  0 hệ trở thành: 
(Vô lý).
2
 4 x  1  4 x

Vậy y  0 , ta chia hai vế phương trình đầu cho y 2 : 3x 2  xy  3 y 2  y  3xy  y 2  5xy  4 y 2 


2

x x
x
x
x

 3       3  3    1  5    4 . Đặt  t , khi đó: 3t 2  t  3  3t  1  5t  4
y
y y
y
y



 



 3t 2  3t  t  1  3t  1  t  2  5t  4  0  3t  t  1 

t  t  1
t  1  3t  1



t  t  1
t  2  5t  4



1
1
 t  t  1  3 

  0  t  0 t 1.
t  1  3t  1 t  2  5t  4 



Trường hợp 1: Nếu t 

x
1
 0  x  0 , ta có: 4 x 2  4 y 2  1  4 x  4 y  4 y 2  1  4 y  y  .
y
2

0


Trường hợp 2: Nếu t 

x
2 2
 1  x  y , ta có: 4 x 2  4 y 2  1  4 x  4 y  8 y 2  8 y  1  0  x  y 
y
4

 x  6 y  3  xy  3 y  y  8 y  3 x  9 

Bài 26: Giải hệ phương trình: 
  x 2  8 x  24 y  417   y  3  y  1  3 y  17

Điều kiện xác định: y  1, x  3,  x 2  8 x  24 y  417  0 .Ta có:  x  6 y  3  xy  3 y  y  8 y  3x  9 





 x3
 x3
 8  3
.
y

 y 

 x  3  6 y  y  x  3  8 y2  3  x  3  y .Chia cả hai vế cho y2 ta được:  x y 3  6 


Đặt t 

2
2
x3
 0 , khi đó ta có:  t  6  t  8  3t   t  6  t   8  3t 
y





 t 3  3t 2  12t  64  0   t  4  t 2  7 t  16  0  t  4 (Vì t  0 ).

Do vậy x  3  4 y . Thay vào phương trình hai ta được: 4

 y  4  6  y    y  3 

y  1  3 y  17

y  1  a , a  0 , khi đó phương trình trở thành: a3  3a2  4a  20  4 25  a 4  0

Đặt


4a4
4a3
 a3  3a 2  4a  4  5  25  a 4   0  a a 2  3a  4 
 0  a  a 2  3a  4 



5  25  a4
5  25  a 4







4  y  1 y  1
Thay a  y  1 ta có phương trình trở thành: y  1  y  3  3 y  1 

5  2 y  24  y 2





  0  y  1 x  1.






2
 y x 3 4  x y11
Bài 27: Giải hệ phương trình: 
x3  x  4  3 y  1






Điều kiện xác định: y  1, y x 2  3  4  0 .





Điều kiện có nghiệm: Vì x 3  x  3 y  1  4  4  0  x x 2  1  0  x  0 .







Bình phương hai vế của phương trình đầu ta được: y x 2  3  4  x y  1  1





2



 y x 2  3  4  x 2  y  1  1  2 x y  1  x2  2 x y  1  3  y  1  0 (*).

 1  x 2  1
Với y  1 , hệ phương trình trở thành: 
(Vô nghiệm).
 x 3  x  4  0
Với y  1 , chia hai vế của (*) cho  y  1 và đặt

x
y 1


0



 t với t  0 , ta được: t 2  2t  3  0


  t  1 t  3   0  t  1  t  3 . Vì t  0  t  1 .Khi đó:



2

y  1  x , thay vào phương trình hai ta có:



x 3  x  4  3 y  1  x 3  2 x  4  0   x  2   x  1  1  0  x  2 . Với x  2 , ta tìm được y  3

 x  1  2x  y  9  y  x  2  x  3  5

Bài 28: Giải hệ phương trình: 
2
 y  1 x  y  xy  x  0

Điều kiện: x  1, 2 x  y  9  0 ,x 2  y  0 .Ta có:  y  1 x 2  y  xy  x  0



  y  1



x 2  y  x  y   x  y  y  1  xy  x  0   y  1

  y  1



x2  y  x  y 



 

x2  y  x  y











x 2  y  x  y  y 2  2 xy  y  0



x2  y  x  y  0 







x2  y  x  y y  1  x2  y  x  y  0



x 2  y  x  y x  1  x 2  y  0 . Vì x  1  x 2  y  0x  1, x 2  y  0 .

Do đó:

 x  y  0
 x  y  0
x2  y  x  y   2

2
2
 x  y  x  2 xy  y
 y  y  2 x  1  0

Trường hợp 1: y  0 , thay vào phương trình thứ nhất ta được:

x  1  2 x  9  5  3x  8  2 x  1 2 x  9  25  2 x  1 2 x  9  17  3 x

17

17
1  x 

1  x 
3

 x  65  10 39 (Thỏa mãn điều kiện).

3
 x 2  130 x  325  0
4  x  1 2 x  9   9 x 2  102 x  289



 x  y  0
 x  1  2 x  0

 0  x  1 .Thay y  1  2 x vào phương trình thứ
Trường hợp 2: y  1  2 x , vì 
 x  0
 x  0
nhất ta được: x  1  4 x  8   1  2 x  x  2  x  3  5  x  1  2 x  2   1  2 x  x  2  x  3  5




 

x 1 1  2



x  2  2   1  2 x  x  2  x  3  0 

x2
x 1 1



2  x  2
x2 2

  1  2 x  x  2  x  3  0



1
2
  x  2

  1  2 x  x  3   0 vô nghiệm.
x2 2
 x 1 1

 y 2  2 xy  3 x  3 y  1   x  y  3  2 x 2  y 2  1  0

Bài 29: Giải hệ phương trình:  1
1
x3  1



x4

2 xy  2 x  4  1
 2 x  3

3
Điều kiện: x   , 2 xy  2 x  4  0 , 2 xy  2 x  3  0 .Ta có: y 2  2 xy  3x  3 y  1   x  y  3  2 x 2  y 2  1  0
2
 x 2  2 xy  1   x  y  3 





2x2  y2  1  x  y  0






2x2  y 2  1  x  y



2x2  y 2  1  x  y  x  y  3  0





2x2  y 2  1  x  y



2 x 2  y 2  1  2 x  3  0 . Vì

do đó:





2 x 2  y 2  1  2 x  3  0x  

 2 x 2  y 2  1  x  y
 x 2  1  2 xy

2x2  y 2  1  x  y  0  
.
 x  y  0
 x  y  0

1

Thay 2 xy  x 2  1 thay vào phương trình thứ hai ta có:

x3  1



3

2

2

x  2x  5  1

1



x4

 



 2x  3 x  4 x3  1 





1
2x  3



 2 x  3 x  4  x  1 x  x  1 
2





2

x  2x  5  1



 x  1 



  x  1  2 x  3 x  4 x 2  x  1 



x3  1

0 

2x  3  x  4

2x  3

1

x3  1



x4

x2  2x  5  1

2x  3  x  4



2x  3 x  4

0



x2  2x  5  1  0

x2  2x  5  1

2x  3  x  4





 0



x 2  2 x  5  1 
  0  x  1 y  1.
2x  3  x  4 






 x  y  2  x 2  2 y 2  x  2 y  2  x 

Bài 30: Giải hệ phương trình: 
 x  1  x  y  1  x3  x2  2  y


Điều kiện: x  1, x  y  1  0, x 3  x 2  2  0 .Ta có:  x  y  2 





x2  2 y 2  x  2 y  2  x 



  x  y  2



x2  2 y 2  x  2 y  2 y  2  x   2 y  x  y  2    x  y  2 

  x  y  2



x 2  2 y 2  x  2 y  4 xy  2 y 2  0

  x  y  2



x2  2 y 2  x  2 y 







x2  2 y 2  y  2

Do đó:



 







x 2  2 y 2  x  2 y  2 y 2  4 xy



x2  2 y 2  x  2 y





x2  2 y 2  x  2 y  0



x 2  2 y 2  x  2 y  0 . Vì y  x  1  x  y  1  x 3  x 2  2  0  x  y  1  2  0

x  y  1  0  y  x  1  x  y  1  x 3  x 2  2  0 .Khi đó:

x 2  2 y 2  y  2  0, y  0 nên:

 2 y  x  0, y  0
 2 y  x  0, y  0
x2  2 y 2  x  2 y  0   2

 y  2 x . Thay y  2 x vào phương trình

2

2
 2 y  y  2 x   0
 x  2 y   2 y  x 

hai ta được: x  1  3 x  1  x 3  x 2  2  2 x  x  1 





3 x  1  2  x  1 x 2  2 x  2  2  x  1  0


 x 1 

3  x  1
3x  1  2

 x1



x  2x  2  2 x  1  0  x  1 

 x  1


3 x 1
 x  1 1 



3x  1  2


3  x  1



2

3x  1  2





x  1 x2  2x  6



2

x  2x  2  2 x  1

0


  0  x 1 y  2 .
2
x  2 x  2  2 x  1 

2

5

 x  5  2y  4  x  y  1

Bài 31: Giải hệ phương trình: 
2
8 y  x  2   4  8 y   y  x 

Điều kiện xác định: x  5, y  2 .Ta có: 8 y  x  2   4  8 y   y  x   8 xy  2 y  4  8 y  x 2  y 2  2 xy  0
2



 



 4 2 xy  2 y   x  y  2   4 x  4 y  4  x 2  y 2  2 xy  0



 





 4 2 xy  2 y  2  x  y  2 xy  2 y  2  x  y 2 xy  2 y  x  y  2  0







 2 xy  2 y   x  y  2  4  2 xy  2 y   x  y  2   0







 2 xy  2 y  2  x  y 2 xy  2 y  2  x  y  0





2

 2 xy  2 y  2  x  y  0
 x2  y 0
Vì 2 xy  2 y  2  x  y  0, x  5, y  2 . Do đó: 

 x  5  2 y  4  x  y  1  x  5  2 y  4  x  y  1

 x  2  y

 y  x  2


. Do đó:
 x  5  2 y  4  x  y  1  x  5  2 y  4  x  y  1

x  5  2x  8  3  x  6  y  4 .

3 y 2  1  2  x  1 y  4 y x 2  2 y  1
Bài 32: Giải hệ phương trình: 
 y  y  x   3  3x
Điều kiện xác định: x 2  2 y  1  0 .Ta có: 3 y 2  1  2  x  1 y  4 y x 2  2 y  1
 4 y x 2  2 y  1  3 y 2  1  2  x  1 y  0  4 y





x 2  2 y  1  x  y   x  y  4 y  3 y 2  1  2  x  1 y  0



 4y



x 2  2 y  1  x  y  4 xy  4 y 2  3 y 2  1  2 xy  2 y  0  4 y

 4y



x 2  2 y  1  x  y  2 y  1  2 xy  y 2  0

 4y



x2  2 y  1  x  y 









 

 

x2  2 y  1  x  y 4 y 





x 2  2 y  1  x  y  2 xy  y 2  1  2 y  0



x2  2 y  1  x  y






x2  2 y  1  x  y  0

x2  2 y  1  x  y  0










x2  2 y  1  x  y 3y  x  x2  2 y  1  0 



x2  2 y  1  x  3y





x2  2 y  1  x  y  0

18 x  3 y 2  2 y  17
 x 2  2 y  1  x  3 y  0

 3 y  x  0
Trường hợp 1: 
9 y 2  6 xy  2 y  1  0
 y  y  x   3  3x



2
 x  3 y  2 y  17
x  y  1

18

 3 y  x  0
 
62  4 178
13  178
x
,y 

2




9
3

9 y 2  6  3 y  2 y  17  y  2 y  1  0



18



2
 x 2  2 y  1  x  y  0
18 x  3 y  2 y  17
Trường hợp 2: 
 2
 y  2 xy  2 y  1  0
 y  y  x   3  3 x


3 y 2  2 y  17
x

x  y  1

18


 

2
2
1  10


3
y

2
y

17
x  ,y 
y2  2 
y

2
y

1

0

3
3




18




 x  5 y  4  x  y 2  2 xy  2 y

Bài 33: Giải hệ phương trình: 
 x  y 2  x  y

Điều kiện xác định: x  y 2  0 .Ta có:  x  5 y  4  x  y 2  2 xy  2 y  2  x  5 y  4  x  y 2  4 xy  4 y  0















 

  x  5 y  4  2 x  y 2  x  y   x  y  x  5 y  4   4 xy  4 y  0
  x  5 y  4  2 x  y 2  x  y  x 2  2 xy  5 y 2  4 x  0





  x  5 y  4  2 x  y 2  x  y   x 2  2 xy  5 y 2  4 x  0





  x  5y  4  2 x  y2  x  y  2 x  y2  x  y 2 x  y 2  x  y  0



  x  5y  4    2





 2 x  y2  x  y









x  y2  x  y  0  2 x  y2  x  y 4y  4  2 x  y2  0



 2 x  y2  x  y 2y  2  x  y2  0 







x  y2  2y  2 2 x  y2  x  y  0

 x  y2  2y  2
 y  x  2

 x  y  2 y  2

Trường hợp 1: 


2
2
 x  y 2  x  y
 x  y  x  y
 x  y  x  y
y  x  2

 y  x  2




2
2 (Vô nghiệm).
2
 x   x  2   2 x  2
 x   x  2    2 x  2 


2 x  y 2  x  y

 x  y  2  x  y 
 y   x


Trường hợp 2: 
2
2
 x  y 2  x  y
 x  y  x  y
 x  x  0

 x  y  0 hoặc x  1, y  1 (Đều thỏa mãn điều kiện).
 x  1 x  y 2  y  x  2 y  1

Bài 34: Giải hệ phương trình: 
 y x  1  3 x  y 2  2 x  y  1

Điều kiện xác định: x  y 2 , x  1 .Ta có:  x  1 x  y 2  y  x  2 y  1 



x  y2  y  1







x  y2  x  y  0



2
y2  x  1 3 x  y  1
Mặt khác: Theo bất đẳng thức AM – GM ta có: y x  1  3 x  y 

 2x  y2  1
2
2
2

 2 x  y 2  1  2 x  y  1  y 2  y  2  0  2  y  1 .Khi đó  1  y   x  y 2  0  x  y  1 .

Cặp nghiệm này thay vào hệ không thỏa mãn. Vậy  1  y   x  y 2  0 .
2
 x  y2  x  y  0



 xy xy

Vậy 
 y x  1  3 x  y 2  2 x  y  1  y x  1  3  x  y   2 x  y  1

 x  y 2  x  y

 x  2, y  1 (Thỏa mãn điều kiện).
 y x  1  4 y  x  1
 x  y  1  x  y  2 y  2  0

Bài 35: Giải hệ phương trình: 
 x x  y  xy  5  2 x  y  y   x  1 x 2  x  3

Điều kiện xác định: x  y , x  y  y , Ta có:  x  y  1 x  y  2 y  2  0 
Vì
x



x  y  1  0 do đó ta có:



xy y 52







x2 2 

 x  1 x  2 
x  1  x2  x  3



2  x  2
x2 2



 

x  2  2  2 x  1  x 2  x  3   0   x  2   x  1 x  2  2 x 2  x  3   0





 4y2
Trường hợp 1: x  2  4  2  y  y  
2  y  2 .
 2  y   y  4 

Trường hợp 2:  x  1





 x  12  x  2   4 x 2  x  3
 x  2  y  2 .
x2 2 x x3  
 x  1
2



xy xy2 0

x  y  y   x  1 x 2  x  3  x 2  2 x  5  2 x  2   x  1  x 2  x  3

  x  1 x  1  x 2  x  3  2
  x  2    x  1


x y 1

x  y  x  y  2 hay x  2  x  y  y .Thay vào phương trình hai ta có:

 



