Bài giảng biến ngẫu nhiên nguyễn thị hồng nhung
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (370.39 KB, 29 trang )
Định nghĩa biến ngẫu nhiên
Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Biến ngẫu nhiên
Nguyễn Thị Hồng Nhung
Ngày 3 tháng 10 năm 2014
Nguyễn Thị Hồng Nhung
Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa biến ngẫu nhiên
Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Table of contents
1
Định nghĩa biến ngẫu nhiên
2
Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục
3
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục
4
Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên
Phương sai
Nguyễn Thị Hồng Nhung
Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa biến ngẫu nhiên
Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa 1
Biến ngẫu nhiên X là một ánh xạ từ không gian các biến cố sơ cấp
vào R
X :Ω → R
ω → X (ω)
Người ta thường dùng các chữ cái in hoa X , Y , Z ,... để ký hiệu
các biến ngẫu nhiên và các chữ thường x, y , z,... để chỉ các giá trị
của biến ngẫu nhiên.
Nguyễn Thị Hồng Nhung
Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa biến ngẫu nhiên
Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Biến ngẫu nhiên
Ví dụ 1
Thực hiện phép thử tung hai đồng xu cân đối đồng chất. Không
gian mẫu của phép thử này như sau
Ω = {SS, SN, NS, NN}
Gọi X là số mặt ngửa xuất hiện. Khi đó, X sẽ nhận các giá trị sau
X (ω) = 0, X (ω) = 1, X (ω) = 2.
Nguyễn Thị Hồng Nhung
Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa biến ngẫu nhiên
Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Phân loại biến ngẫu nhiên
Dựa vào miền giá trị của biến ngẫu nhiên mà người ta phân
thành hai loại chính như sau:
Biến ngẫu nhiên rời rạc
Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu tập hợp các giá trị mà nó
có thể nhận là tập hữu hạn hoặc vơ hạn đếm được các giá trị.
Ví dụ 2
Biến ngẫu nhiên trong phép thử tung hai đồng xu ở ví dụ trên
là một biến ngẫu nhiên rời rac.
Số cuộc điện thoại đến một tổng đài ở bưu điện trong một
ngày.
Số sản phẩm bị lỗi của một lô hàng.
Thị Hồng Nhung
Biến ngẫu nhiên Nguyễn
liên tục
Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa biến ngẫu nhiên
Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục
Ví dụ 3
Chọn ngẫu nhiên một hợp chất hóa học và đo độ pH, X , của nó.
Khi đó X là một biến ngẫu nhiên liên tục, vì mọi pH đều nằm
trong khoảng từ 0 đến 14.
Nguyễn Thị Hồng Nhung
Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa biến ngẫu nhiên
Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Kí hiệu
Cho X ⊂ X . Ta kí hiệu
(X ⊂ X ) = {ω ∈ Ω : X (ω) ∈ X }.
Chẳng hạn, ta viết
(X = x) = {ω ∈ Ω : X (ω) = x}.
(X ≤ x) = {ω ∈ Ω : X (ω) ≤ x}.
Nguyễn Thị Hồng Nhung
Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa biến ngẫu nhiên
Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục
Quy luật phân phối xác suất
Định nghĩa 2
Một hệ thức cho phép biểu diễn mối quan hệ giữa các giá trị có
thể có của biến ngẫu nhiên với xác suất nhận các giá trị tương ứng
gọi là luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên.
Định nghĩa 3
Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X ( xác định trên
không gian các biến cố sơ cấp Ω) là hàm F (x) được định nghĩa
FX : R → [0, 1]
x
→ P(X ≤ x)
Nguyễn Thị Hồng Nhung
Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa biến ngẫu nhiên
Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục
Tính chất của hàm phân phối xác suất
Mệnh đề 1
Hàm phân phối xác suất F (x) ≡ FX (x) có các tính chất sau
(i) F (x) ≤ F (y ) nếu x ≤ y .
(ii) liên tục phải, có giới hạn trái tại mọi điểm.
(iii) F (−∞) = limx→−∞ F (x) = 0, F (∞) = limx→−∞ F (x) = 1.
(iv) P(a < X ≤ b) = F (b) − F (a) với a ≤ b bất kì.
Nguyễn Thị Hồng Nhung
Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa biến ngẫu nhiên
Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục
Hàm xác suất
Định nghĩa 4 (Hàm xác suất)
Xét một biến ngẫu nhiên rời rạc X có thể nhận các giá trị
x1 , x2 , x3 , ..., xn , một hàm giá trị xác suất( gọi tắt là hàm xác suất)
là hàm thỏa
(1) f (xi ) ≥ 0
(2)
n
i=1 f
(xi ) = 1
(3) f (xi ) = P(X = xi )
Nguyễn Thị Hồng Nhung
Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa biến ngẫu nhiên
Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục
Bảng phân phối xác suất
Để mô tả biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị nào đó với xác
suất tương ứng là bao nhiêu thì người ta dùng phân phối xác suất.
Bảng này có hai dịng.
Dịng thứ nhất là các giá trị mà biến ngẫu nhiên X nhận được.
Dòng thứ hai là xác suất biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị
tương ứng.
Nguyễn Thị Hồng Nhung
Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa biến ngẫu nhiên
Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục
Ví dụ 4
Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có hàm xác suất
f (x) =
2x + 1
, x = 0, 1, 2, 3, 4.
25
(a) Lập bảng phân phối xác suất.
(b) Tính P(X ≤ 1)và P(2 ≤ X ≤ 4)
Nguyễn Thị Hồng Nhung
Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa biến ngẫu nhiên
Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục
Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
Định nghĩa 5 ( Hàm phân phối xác suất của b.n.n rời rạc)
Hàm phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên rời rạc X , ký
hiệu F (x) được xác định như sau
F (x) = P(X ≤ x) =
f (xi ).
(1)
xi ≤x
Cụ thể
0
f (x1 )
f (x1 ) + f (x2 )
F (x) = P(X ≤ x) =
..
.
f (x1 ) + ... + f (xn−1 )
1
Nguyễn Thị Hồng Nhung
Biến ngẫu nhiên
x < x1
x1 ≤ x < x2
x2 ≤ x < x3
xn−1 ≤ x < xn
x ≥ xn
Định nghĩa biến ngẫu nhiên
Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục
Ví dụ 5
Một lơ hàng có 850 sản phẩm trong đó có 50 sản phẩm kém chất
lượng. Chọn ngẫu nhiên lần lượt 2 sản phẩm khơng hồn lại. Gọi X
là số sản phẩm không đạt chất lượng trong 2 sản phẩm được chọn.
(a) Lập bảng phân phối xác suất cho X .
(b) Viết hàm phân phối xác suất.
Nguyễn Thị Hồng Nhung
Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa biến ngẫu nhiên
Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục
Hàm mật độ xác suất
Định nghĩa 6 (Hàm mật độ xác suất)
Cho biến ngẫu nhiên liên tục X , hàm số f (x) không âm, xác định
trên R và thỏa các tính chất
(i)
P(X ∈ I ) =
f (x)dx, ∀I ⊂ R.
I
(ii)
∞
f (x)dx = 1
−∞
hàm số f (x) được gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên
X.
Nguyễn Thị Hồng Nhung
Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa biến ngẫu nhiên
Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Nguyễn Thị Hồng Nhung
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục
Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa biến ngẫu nhiên
Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục
Nhận xét 1
∞
(1) Mọi hàm f (x) không âm và thỏa điều kiện −∞ f (x)dx = 1
đều là hàm mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên X nào
đó.
(2) Từ định nghĩa về hàm mật độ ta có hàm phân phối xác suất
của biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f (x) là
x
F (x) = P(X ≤ x) =
f (t)dt.
−∞
(3)
F (x) = f (x.)
(4) Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục, với x1 , x2 bất kỳ, ta có
P(x1 ≤ X ≤ x2 ) = P(x1 < X ≤ x2 )
= P(x1 ≤ X < x2 ).
Nguyễn Thị Hồng Nhung
Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa biến ngẫu nhiên
Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên
Phương sai
Ví dụ 6
Cho hàm số
f (x) =
Ce −λx
0
nếu x ≥ 0,
khi x < 0
a Chứng tỏ f (x) là hàm mật độ của một biến ngẫu nhiên X .
b Tìm hàm phân phối F (x).
c Tính xác suất P(1 ≤ X ≤ 3/2).
Nguyễn Thị Hồng Nhung
Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa biến ngẫu nhiên
Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên
Phương sai
Ví dụ 7
Cho hàm số
f (x) =
3 2
8x
0
0≤x ≤2
nơi khác
(a) Chứng tỏ rằng f (x) là hàm mật độ của một biến ngẫu nhiên
X.
(b) Tìm hàm phân phối F (x)
(c) Tính xác suất P(1 ≤ X ≤ 3/2).
Nguyễn Thị Hồng Nhung
Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa biến ngẫu nhiên
Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên
Phương sai
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc
Định nghĩa 7 (Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc)
Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất
X
x1
x2
···
xn
···
P f (x1 ) f (x2 ) · · · f (xn ) · · ·
Kỳ vọng của X , ký hiệu E(X ) được định nghĩa như sau
+∞
+∞
xi P(X = xi ) =
E(X ) =
i=1
Nguyễn Thị Hồng Nhung
xi f (xi )
i=1
Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa biến ngẫu nhiên
Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên
Phương sai
Ví dụ 8
Một hộp chứa 10 viên bi, trong đó có 3 viên bi nặng 10g, 5 viên bi
nặng 50g, 2 viên bi nặng 20g. Chọn ngẫu nhiên ra viên bi và gọi X
là khối lượng của viên bi đó. Tính E(X ).
Nguyễn Thị Hồng Nhung
Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa biến ngẫu nhiên
Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên
Phương sai
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên liên tục
Định nghĩa 8 (Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên liên tục)
Giả sử biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f (x),
kỳ vọng của X là
+∞
xf (x)dx.
E(X ) =
−∞
Nguyễn Thị Hồng Nhung
Biến ngẫu nhiên
(2)
Định nghĩa biến ngẫu nhiên
Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên
Phương sai
Ví dụ 9
Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất
f (x) =
20e −20(x−12.5) x ≥ 12.5
0
nơi khác
(a) Tính P(X > 12, 60).
(b) Tính kỳ vọng của X .
Nguyễn Thị Hồng Nhung
Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa biến ngẫu nhiên
Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên
Phương sai
Ý nghĩa của kỳ vọng
(i) Là giá trị trung bình theo xác suất của tất cả các giá trị có
thể của biến ngẫu nhiên.
(ii) Kỳ vọng phản ánh giá trị trung tâm của phân phối xác suất.
Nguyễn Thị Hồng Nhung
Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa biến ngẫu nhiên
Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên
Phương sai
Mệnh đề 2 (Tính chất của kỳ vọng)
Cho X , Y là hai biến ngẫu nhiên bất kỳ và c ∈ R thì kỳ vọng của
biến ngẫu nhiên có các tính chất sau
(i) E(c) = c.
(ii) E(cX ) = cE(X )
(iii) E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ).
(iv) Nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập thì
E(XY ) = E(X )E(Y ).
Nguyễn Thị Hồng Nhung
Biến ngẫu nhiên
