Phương pháp hàm số trong bài toán tham số

A). Phương Pháp:
Với phương trình có dạng : f ( x) = g (m)
Chúng ta thực hiện các bước sau ñây:
Bước 1: Xem ñó là phương trình hoành ñộ giao ñiểm của f (x ) và g (m) .Do ñó số nghiệm của
phương trình là số giao ñiểm của 2 hàm số
Bước 2: Xét hàm số y = f (x)
• Tìm tập xác ñịnh D
• Tính ñạo hàm y ' , rồi giải phương trình y '= 0
• Lập bảng biến thiên của hàm số
Bước 3: Kết luận:
• Phương trình có nghiệm ⇔ min f ( x) ≤ g (m) ≤ max f ( x)
• Phương trình có k nghiệm phân biệt ⇔ dựa vào bảng biến thiên xem g (m) cắt f ( x) tại
k ñiểm .Suy ra giá trị cần tìm
• Phương trình vô nghiệm ⇔ hai hàm số không cắt nhau
Với bất phương trình có dạng : f ( x) ≤ g (m)

Chúng ta thực hiện các bước sau ñây:
Bước 1: Xét hàm số y = f ( x)
• Tìm tập xác ñịnh D
• Tính ñạo hàm y ' , rồi giải phương trình y '= 0
• Lập bảng biến thiên của hàm số
Bước 2: Kết luận:
• Bất phương trình có nghiệm ∈ D ⇔ min y ≤ g (m)
• Bất phương trình nghiệm ñúng ∀x ∈ D ⇔ max y ≤ g (m)

Chú ý : Nếu f ( x) ≥ g (m) thì:
•
•

Bất phương trình có nghiệm ∈ D ⇔ min y ≥ g (m)
Bất phương trình nghiệm ñúng ∀x ∈ D ⇔ max y ≥ g (m)

Chú ý chung :
Nếu có ñặt ẩn phụ t = h( x) . Từ ñiều kiện của x chuyển thành ñiều kiện của t .Có 3 hướng ñể tìm ñiều
kiện :
• Sử dụng BðT Cô si cho các số không âm
• Sử dụng bất ñẳng thức Bunhiacopxki
• Sử dụng ñạo hàm ñể tim min và max ( lúc ñó t sẽ thuộc min và max )

B).Bài Tập Ứng Dụng :
Loại 1: Bài toán tìm m ñối với phương trình
Bài 1.Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm :
b) x x + x + 12 = m( 5 − x + 4 − x )

a) x 2 + x + 1 − x 2 − x + 1 = m

c) x + 9 − x = − x 2 + 9 x + m
d) 4 x 2 + 1 − x = m
1


e) 4 x 4 − 13x + m + x − 1 = 0
f) m( x − 2 + 24 x 2 − 4 ) − x + 2 = 24 x 2 − 4
g) tan 2 x + cot 2 x + m(tan x + cot x) + 3 = 0
Bài làm :
a) x 2 + x + 1 − x 2 − x + 1 = m
Xét hàm số y = x 2 + x + 1 − x 2 − x + 1
• Miền xác ñịnh : D = R
• ðạo hàm :
y' =

2x + 1
2 x2 + x +1

−

2x − 1
2 x2 − x +1

y ' = 0 ⇔ (2 x − 1) x 2 + x + 1 = (2 x + 1) x 2 − x + 1
(2 x − 1)(2 x + 1) > 0
⇔
2
2
2
2
(2 x − 1) ( x + x + 1) = (2 x + 1) ( x − x + 1)
⇔ vô nghiệm
Mà y ' (0) = 1 > 0 nên hàm số ñồng biến trên R

• Giới hạn :
lim y = lim ( x 2 + x + 1 − x 2 − x + 1) = lim

x → +∞

x → +∞

lim y = lim

x → −∞

x → −∞

x → +∞

2x
x2 + x +1 + x2 − x +1

2x
x2 + x +1 + x2 − x +1

= −1

• Bảng biến thiên :
x
y'
y

+∞

−∞

+
1
-1

Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi − 1 < m < 1
b) x x + x + 12 = m( 5 − x + 4 − x )
ðiều kiện :
x ≥ 0
 x + 12 ≥ 0


⇔0≤x≤4

5 − x ≥ 0
4 − x ≥ 0

(*)

Viết phương trình về dạng :
( x x + x + 12 )( 5 − x − 4 − x ) = m

(1)

Xét hàm số : y = ( x x + x + 12 )( 5 − x − 4 − x )
• Miền xác ñịnh : D = [0,4]
2

=1


• Nhận xét rằng :
- Hàm h( x) = ( x x + x + 12 ) là hàm ñồng biến trên D
- Hàm g ( x) = 5 − x − 4 − x có :
g ' ( x) =

5− x − 4− x
2 5− x 4− x

> 0 ∀x ∈ D .Suy ra ñồng biến

⇒ y = h( x).g ( x) là hàm ñồng biến trên D

Vậy phương trình (1) có nghiệm khi : f (0) ≤ m ≤ f (4)
⇔ 12 ( 5 − 2) ≤ m ≤ 12

x + 9 − x = − x 2 + 9x + m

c)

ðiều kiện :
x ≥ 0
⇔0≤ x≤9

9 − x ≥ 0

Biến ñổi phương trình : 9 + 2 x(9 − x) = − x 2 + 9 x + m
⇔ x 2 − 9x − 9 + 2 − x 2 + 9x = m

Xét hàm số y = x 2 − 9 x + 9 + 2 − x 2 + 9 x
• Miền xác ñịnh : D = [0,9]
• ðạo hàm :
y' = 2 x − 9 −

( −2 x + 9 )

− x 2 + 9x


1
y ' = 0 ⇔ (2 x − 9) 1 +

=0
− x 2 + 9x 

9
⇔x=
2

• Bảng biến thiên :
x
y'
y

9
2

0

–

0

9

9

+
9

−

9
4

9
4

Vậy phương trình có nghiệm khi : − ≤ m ≤ 9
d)

x2 +1 − x = m
ðiều kiện : x ≥ 0
4

Xét hàm số : y = 4 x 2 + 1 − x
• Miền xác ñịnh : D = [0,+∞ )
3n


• ðạo hàm :
y' =

x
24 ( x + 1)
2

−

3

1

2 x

y ' = 0 ⇔ x x = 4 ( x 2 + 1) 3
⇔ x 6 = ( x 2 + 1) 3
⇔ x2 = x2 +1
(vô nghiệm)

Suy ra y ' ( x) không ñổi dấu trên D , mà y ' (1) =

1
4

2 8

−

1
<0
2

Do ñó y ' ( x) < 0 ∀x ∈ D ⇔ hàm số ñồng biến
• Giới hạn:
lim y = lim ( 4 x 2 + 1 − x ) = lim

x → +∞

x → +∞

x → +∞

1
( x + 1 + x )( x 2 + 1 + x)
4

2

=0

• Bảng biến thiên:
x
y'
y

+∞

0

–
1
0

Vậy phương trình có nghiệm khi : 0 < m ≤ 1
e)

4

x 4 − 13 x + m + x − 1 = 0

Biến ñổi phương trinh : 4 x 4 − 13x + m = 1 − x
1 − x ≥ 0

⇔ 4
4
 x − 13 x + m = (1 − x)
x ≤ 1
⇔
4
4
(1 − x) − x + 13 x = m

Xét hàm số y = (1 − x) 4 − x 4 + 13x
• Miền xác ñịnh : D = (− ∞,1]
• ðạo hàm :
y ' = −4(1 − x) 3 − 4 x 3 + 13 = −12 x 2 + 12 x + 9
y ' = 0 ⇔ −12 x 2 + 12 x + 9 = 0

3

 x = 2 (l )
⇔
1
x = −
( n)
2


• Giới hạn :

[

]

lim y = lim (1 − x) 4 − x 4 + 13 x = +∞

x → −∞

x → −∞

• Bảng biến thiên:

4


x

−∞

y'
y

−

—

1
2

1

0

+

+∞

12
−

Vậy ñể phương trình có nghiệm khi : m ≥ −

3
2

3
2

f) m( x − 2 + 24 x 2 − 4 ) − x + 2 = 24 x 2 − 4
ðiều kiện : x ≥ 2
VT = −2
⇔ VT ≠ VP (loại)
VP = 0

Khi x = 2 : 

Khi x > 2 : Chia 2 vế cho 4 x 2 − 4 ta ñược :

 x−2
x+2
=2
m 4
+ 2  − 4

x−2

 x+2

ðặt t = 4

(*)

x+2
x−2

Tìm ñiều kiện cho t
Cách 1: Xét hàm số f ( x) = 4

x+2
x−2

x + 2
ðạo hàm : f ' ( x) = 

 x −2

∀x > 2
'

1
 x + 2
44 

 x−2

3

=

−1

(x − 2)2 4  x + 2 

<0
3

 x−2

Suy ra hàm số f (x) nghịch biến ∀x > 2
⇔ f ( x) > lim f ( x) ⇔ t > 1
x → +∞

Cách 2: Ta có x > 2 .
Mà t = 4

x+2
x+2
⇔ t4 =
x−2
x−2
⇔ t 4 ( x − 2) = x + 2
2(t 4 + 1)
⇔x= 4
t −1

Do ñó:
2(t 4 + 1)
4
>2⇔ 4
>0
4
t −1
t −1
t 2 > 1
4
⇔ t −1 > 0 ⇔  2
⇔
t < −1

t < −1
t > 1

5


Mặc khác t > 0 ⇒ t > 1
Lúc ñó : (*) ⇒ m + 2  − t = 2 ⇔ m =
1
t


t + 2t
Xét hàm số f (t ) =
2t + 1

• Miền xác ñịnh : D = (1,+∞ )

t 2 + 2t
⇔ g (m) = f (t )
2t + 1

2

• ðạo hàm : f ' (t ) =

2t 2 + 2t + 2

(2t + 1)2

> 0 ⇒ hàm số ñồng biến

• Giới hạn : tlim
f (t ) = +∞
→ +∞
• Bảng biến thiên:
x
y'
y

+∞

1

+
+∞

1
Vậy ñể phương trình có nghiệm : g (m) > 1 ⇔ m > 1
g) tan 2 x + cot 2 x + m(tan x + cot x) + 3 = 0
ðặt t = tan x + cot x ⇒ t 2 = tan 2 x + cot 2 x + 2
Tìm ñiều kiện cho t :
t = tan x + cot x = tan x + cot x ≥ 2 tan x. cot x ⇔ t ≥ 2

(vì tan x. cot x = 1)
Lúc ñó : t 2 + mt + 1 = 0 ⇔ −m =

t2 +1
⇔ g (m) = f (t )
t

t 2 +1
t
• Miền xác ñịnh: D = (−∞,−2) ∨ (2,+∞)

Xét hàm số f (t ) =

t 2 −1
> 0 ∀x ∈ D
t2
t2 +1
• Giới hạn : tlim
= ±∞
f (t ) = lim
→ ±∞
t → ±∞

t

• ðạo hàm : f ' (t ) =

• Bảng biến thiên :
x
y'

−∞

−2

+∞

2

+

y

+
−

−∞

5
2

+∞
5

2
6


5

m < − 2
Vậy ñể phương trình có nghiệm: 
5
m >
2


Bài 2.Tìm m ñể phương trình có ñúng 2 nghiệm phân biệt
a) 4 2 x + 2 x + 24 6 − x + 2 6 − x = m
4
b) x 4 − 4 x 3 + 16 x + m + x 4 − 4 x 3 + 16 x + m = 6
Bài làm :
a) 4 2 x + 2 x + 24 6 − x + 2 6 − x = m
(1)
2 x ≥ 0
⇔0≤x≤6
6
−
x
≥
0


ðiều kiện : 

Xét hàm số y = 4 2 x + 2 x + 24 6 − x + 2 6 − x
• Miền xác ñịnh: D = [0,6]
• ðạo hàm
1

y' =

+

1

1

−

−

1

6−x
2 4 (6 − x )
1
1
1
1
−
+
−
=0

y' = 0 ⇔
2x
6− x
2 4 ( 2 x ) 3 2 4 (6 − x ) 3
24 (2 x)

3

2x

3



 1
1   1  1
1
1
+ 1 + 1  =0
⇔  4
−4
 
+
+
6 − x   2  2 x
6 − x 4 2 x(6 − x)  4 2 x 4 6 − x 
 2x
⇔

1

=

1

2x 4 6 − x
⇔ 2x = 6 − x
⇔ x=2
4

• Bảng biến thiên:

x
y'

0

2

+

y

0

6

—

3( 4 4 + 4 )

2( 4 6 + 6 )

4

12 + 12

ðể (1) có hai nghiệm phân biệt: 2( 4 6 + 6 ) ≤ m < 3( 4 4 + 4 )
7


4

b) x 4 − 4 x 3 + 16 x + m + x 4 − 4 x 3 + 16 x + m = 6
ðặt t = 4 x 4 − 4 x 3 + 16 x + m (t ≥ 0)
Lúc ñó : t 2 + t = 6 ⇔ t 2 + t − 6 = 0
t = 2 (n)
⇔
t = −3 (l )

Với t = 2 ⇔ x 4 − 4 x 3 + 16 x + m = 16 ⇔ x 4 − 4 x 3 + 16 x = 16 − m (*)
Xét hàm số : f ( x) = x 4 − 4 x 3 + 16 x

• Miền xác ñịnh: D = R
• ðạo hàm :
f ' ( x) = 4 x 3 − 8 x 2 + 16
f ' ( x) = 0 ⇔ 4 x 3 − 8 x 2 + 16 = 0
 x = −1
⇔
x = 2

• Giới hạn
lim f ( x) = lim ( x 4 − 4 x 3 + 16 x) = +∞

x → +∞

x → +∞

lim f ( x) = lim ( x 4 − 4 x 3 + 16 x) = +∞

x → −∞

x → −∞

• Bảng biến thiên:
x
y'
y

−∞

—

-1
0

+

2
0

+∞

+

+∞

+∞

16
-11
Vậy ñể có hai nghiệm khi : 16 − m > −11 ⇔ m < 27
π

3.Tìm m ñể phương trình mx 2 + 1 = cos x có ñúng 1 nghiệm thuộc (0, )
2

Bài làm:
Biến ñổi phương trình: mx 2 = cos x − 1 (1)
Nhận xét: (1) có nghiệm khi m ≤ 0
( vì m > 0 lúc ñó VT > 0, VP < 0 )
Lúc ñó (1) ⇔ m =

cos x − 1
⇔
x2

2 sin 2

 x
4 

2

x
2 = −m
2

8


sin 2

⇔

 x
 
2

x
2 = −2 m
2

(2)

x
π
π
ðặt t = . Vì x ∈  0,  ⇒ t ∈  0, 


2

4



2

2

2

sin t
 sin t 
= −2 m ⇔ 
 = −2 m
2
t
 t 
sin t
Xét hàm số: f (t ) =
t
π
• Miền xác ñịnh D =  0, 
 4
t. cos t − sin t cos t.(t − tan t )
• ðạo hàm f ' (t ) =
=
<0
t2
t2

( vì t ∈ D ⇒ cos t > 0, tan t < t )

(2) ⇔

∀t ∈ D

Do ñó hàm f (t ) nghịch biến
• Giới hạn :
 sin t 
lim f (t ) = lim
 =1
t →0
t →0
 t 

• Bảng biến thiên:
t

π

0

f ' (t )
f (t )

4

–
1
2 2

π

Vậy ñể phương trình có ñúng một nghiệm :
2 2

π

2

8
1
4
 sin t 
< f (t ) < 1 ⇔ 2 < 
 < 1 ⇔ 2 < −2m < 1 ⇔ − < m < − 2
2
π
π
π
 t 
8

4.Tìm m ñể phương trình m x 2 + 2 = x + m có ba nghiệm phân biệt
Bài làm:
Biến ñổi phương trình: m( x 2 + 2 − 1) = x
⇔m=

Xét hàm số f ( x) =

x
x + 2 −1
2

(vì x 2 + 2 ≥ 2 )

x

x2 + 2 −1
• Miền xác ñịnh : D = R
9


• ðạo hàm :
2 − x2 + 2

f ' ( x) =

x 2 + 2 ( x 2 + 2 − 1) 2

f ' ( x) = 0 ⇔

x2 + 2 = 2

⇔x=± 2

• Giới hạn
 x(



x
 = lim 
lim f ( x) = lim 
 x →+∞
2
x → +∞
x → +∞
 x + 2 −1

 x(


x
 = lim 
lim f ( x) = lim 
 x →−∞
2
x → −∞
x → −∞
 x + 2 −1


x 2 + 2 + 1) 
=1

x2 +1

x 2 + 2 + 1) 
= −1


x2 +1


• Bảng biến thiên:
x
y'
y

− 2

−∞

—

0

+∞

2

+

−1

0

—
2

− 2

1

Vậy ñể phương trình có 3 nghiệm phân biệt: − 2 < m < 2
Loại 2: Bài toán tìm m ñối với bất phương trình
Bài 1: Tìm m ñể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi x
a) x 2 − 6 x + 5 + 2mx > 1
b) m.9 x − 3 x + 1 ≥ 0
c) m.x 4 − 4 x + m ≥ 0
Bài làm :
a) Xét hàm số : y = f ( x) = x 2 − 6 x + 5 + 2mx
 f1 ( x) = x 2 + 2(m − 3) x + 5 ( x ≤ 1 ∨ x ≥ 5)

f ( x) = 
2
 f 2 ( x) = − x + 2(m + 3) x − 5 (1 < x < 5)
ðể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi x
⇔ min f ( x) > 1 ⇔ min{ f1 (1), f1 (5), f1 (3 − m)} > 1


1

 f (1) > 1
m > 2
 1

1
⇔  f1 (5) > 1
⇔ m >
⇔1< m < 5

 f (3 − m) > 1  2 10
m − 6 m + 5 < 0
 1


Vậy với 1 < m < 5 bất phương trình có nghiệm ñúng với mọi x
10


b) ðặt t = 3 x

(t > 0)

Lúc ñó : m.t 2 − t + 1 ≥ 0 ⇔ mt 2 ≥ t − 1 ⇔ m ≥
Xét hàm số f (t ) =

t −1
⇔ g (m) ≥ f (t )
t2

t −1
t2

• Miền xác ñịnh D = (0,+∞ )
2t − t 2
t4

• ðạo hàm : f ' (t ) =

t = 0

f ' (t ) = 0 ⇔ 2t − t 2 = 0 ⇔ 
t = 2
 2t − t 2 
• Giới hạn : xlim
f (t ) = lim  4  = 0
→ +∞
x →+∞

 t

• Bảng biến thiên:
x
y'

0

+∞

2

+

0

y

—

1
4

−∞

0

ðể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi x ⇔ g (m) ≥ max f (t )
⇔m≥

1
4

c) Biến ñổi bất phương trình có dạng : m( x 4 + 1) ≥ 4 x
4x
⇔ g ( m) ≥ f ( x )
x +1

⇔m≥

Xét hàm số f ( x) =

4

4x
x +1
4

• Miền xác ñịnh D = R
• ðạo hàm f ' ( x) =

4 − 12 x 4

(x

4

)

+1

2

f ' ( x) = 0 ⇔ x = ±

1
4

3

• Giới hạn : xlim
f ( x) = 0
→ ±∞
• Bảng biến thiên:

11


x

−∞

y'

y

−

—

1
4

1
4

3

0

+

+∞

3

0
4

0

—

27

− 4 27

0

Vậy ñể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi x
⇔ g (m) ≥ max f ( x) ⇔ m ≥ 4 27

Bài 2: Tìm m ñể bất phương trình có nghiệm
a) mx − x − 3 ≤ m + 1
b) 2 sin x + 3cos x ≥ m.3sin x
c) x 2 − 4 x + 3 + 2mx − 6 > 0
Bài làm :
a) mx − x − 3 ≤ m + 1
ðiều kiện : x ≥ 3
ðặt t = x − 3 (t ≥ 0)
2

2

2

Lúc ñó : m(t 2 + 3) − t ≤ m + 1 ⇔ m(t 2 + 2) ≤ t + 1 ⇔ m ≤
⇔ g (m) ≤ f (t )

Xét hàm số: f (t ) =

t +1
t2 + 2

t +1
t2 + 2

• Miền xác ñịnh D = [0,+∞ )
• ðạo hàm f ' (t ) =

− t 2 − 2t + 2

(t

2

)

+1

2

f ' (t ) = 0 ⇔ x = −1 ± 3
t +1
• Giới hạn : tlim
f (t ) = lim 2
=0
→ +∞
t → +∞ t + 2

• Bảng biến thiên :
x
y'

+

y

+∞

−1+ 3

0

0

—

3 +1
4
1
2

ðể bất phương trình có nghiệm: g (m) ≤ max f (t ) ⇔ m ≤

0
3 +1
4

12


2

2

2

b) 2 sin x + 3cos x ≥ m.3sin x
(*)
sin x
Chia 2 vế của (*) cho 3 ta có:
2

2
 
3

sin 2 x

+

31−sin
3sin

2

2

x

x

2

≥m⇔ 
3

2
Xét hàm số y =  
3

sin 2 x

sin 2 x

1
+ 3. 
9

1
+ 3. 
9

sin 2 x

≥m

sin 2 x

là hàm nghịch biến

1

1

2
1
2
Lúc ñó : 0 ≤ sin x ≤ 1 ⇔   + 3.  ≤  
9 3
 3
⇔1≤ y ≤ 4
ðể (1) có nghiệm max y ≥ m ⇔ m ≤ 4

sin 2 x

2

c) x 2 − 4 x + 3 + 2mx − 6 > 0

(1)

1
+ 3. 
9

sin 2 x

0

1
2
≤   + 3. 
9

3

0

(*)

Xét hàm số f ( x) = x 2 − 4 x + 3 + 2mx − 6
 f ( x) = x 2 + 2(m − 3) x + 5
( x ≤ 1 ∪ x ≥ 3)
 1
⇔ f ( x) = 
2
(1 ≤ x ≤ 3)
 f 2 ( x ) = − x + 2( m + 2) x − 9

Vậy (*) có nghiệm ⇔ max f ( x) > 0 ⇔ max{ f 2 (1); f 2 (3); f 2 (m + 2)} > 0

 f 2 (1) > 0
2 m − 6 > 0


⇔  f 2 (3) > 0
⇔ 6m + 5 > 0
⇔1< m < 5
 f ( m + 2) > 0
m 2 − 6 m + 5 > 0

 2

Bài 3: Tìm tất cả m ñể bất phương trình − x 3 + 3mx − 2 ≤ −

1
thoả mãn với x ≥ 1
x3

Bài làm:
1
x3
x 6 + 2x3 − 1
⇔ 3m ≤
x4

Biến ñổi bất phương trình về dạng: 3mx ≤ x 3 + 2 −

x6 + 2x3 −1
x4
• Miền xác ñịnh : D = [1,+∞ )

Xét hàm số f ( x) =

2 x 6 − 2 x 3 + 4 2 x 3 ( x 3 − 1) + 4
=
>0
x5
x5
2x 6 − 2x3 + 4
• Giới hạn : xlim
= +∞
f ( x) = lim
→ +∞

x → +∞
x5

• ðạo hàm : f ' ( x) =

∀x ∈ D

• Bảng biến thiên :

13


x
y'
y

+∞

1

+
+∞

2
ðể bất phương trình nghiệm ñúng với x ≥ 1
⇔ min f ( x) ≥ g (m)
2
⇔ 3m ≤ 2 ⇔ m ≤
3
log 22 x

Bài 4: Tìm tất cả m ñể bất phương trình

log 22 x −1

≥ m nghiệm ñúng với mọi x > 0

Bài làm:
ðặt t = log 22 x
Tìm ñiều kiện cho t : Vì x > 0 ⇔ t > 1
Lúc ñó :

t
t −1

≥ m ⇔ f (t ) ≥ g (m)
t

Xét hàm số f (t ) =

t −1

• Miền xác ñịnh D = (1,+∞ )
• ðạo hàm : f ' (t ) =

t−2
23 (t − 1)

2

f ' (t ) = 0 ⇔ t = 2

• Giới hạn :
lim f (t ) = lim

t → +∞

t → +∞

lim f (t ) = lim+

t →1+

t →1

t−2
2 (t − 1)
t−2
3

2 (t − 1)
3

= +∞
2

= +∞

2

• Bảng biến thiên :
x
y'
y

1

+∞

2

—

0

+∞

+
+∞

1
ðể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi x > 0
⇔ f (t ) ≥ g (m) ∀t > 0 ⇔ min f (t ) ≥ g (m) ⇔ 1 ≥ m

3
Bài 5: Tìm m ñể bất phương trình  
4
x ∈ (− 2,0 )

log 4 ( − x 2 − 2 x + 3 )

< m nghiệm ñúng với mọi

14


Bài làm:
ðiều kiện : − x 2 − 2 x + 3 > 0 ⇔ −3 < x < 1
Nhận xét : ñề bài yêu cầu thoả mãn x ∈ (− 2,0 )
Do ñó ta xét giao của hai tập hợp trên : x ∈ (− 2,0 )
Xét hàm số : f ( x) = log 4 (− x 2 − 2 x + 3)
• Miền xác ñịnh D = (− 2,0)
'

 ln(− x 2 − 2 x + 3) 
− 2x − 2
 =
• ðạo hàm f ' ( x) = 
2
ln 4

 2 ln 2.(− x − 2 x + 3)
f ' ( x ) = 0 ⇔ x = −1

• Bảng biến thiên:
x
f ' ( x)

−2

−1

+

f (x)

0

0

—

1
log 4 3

log 4 3

Vậy ñể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi
3
x ∈ (−2,0) ⇔ max f ( x) < m ⇔  
4

log 4 3


Loại 3: Bài toán tìm m ñối với hệ phương trình
Bài 1: Tìm m ñể hệ phương trình có nghiệm:
 x − y + m = 0 (1)



 y + xy = 2 (2)


Bài làm:
2 − y ≥ 0
Từ (2) suy ra:  x = y 2 − 4 y + 4

y
y2 − 4y + 4
4y − 4
− y+m=0⇔ m=
⇔ g ( m) = f ( y )
Lúc ñó (1) có :
y
y
4y − 4
Xét hàm số f ( y ) =
y

• Miền xác ñịnh D = (− ∞,2] \ {0}
• ðạo hàm f ' ( y ) =

4
> 0 .Hàm số ñồng biến trên D
y2

• Giới hạn

15

lim f ( y ) = 4

y → −∞

lim f ( y ) = −∞

y →0 +

lim f ( y ) = +∞

y →0 −

• Bảng biến thiên :
−∞

x
y'

0

2

+

+

y

+∞

2
−∞

4
Vậy ñể hệ có nghiệm : m ∈ (−∞,2] ∪ (4,+∞)

Bài 2: Xác ñịnh m ñể hệ phương trình có hai cặp nghiệm phân biệt
log ( x + 1) − log ( x − 1) > log 4
3
3
3


2
log 2 ( x − 2 x + 5) − m log x 2 − 2 x + 5 2 = 5


(1)
( 2)

Bài làm :
ðiều kiện x > 1
x +1
x +1
> log 3 4 ⇔
> 2 ⇔1< x < 3
x −1
x −1

ðặt t = log 2 ( x 2 − 2 x + 5)

Từ (1) ta có log

3

Tìm ñiều kiện của t:
• Xét hàm số f ( x) = log 2 ( x 2 − 2 x + 5) ∀x ∈ (1,3)
• ðạo hàm:
f ' ( x) =

2x − 2
>
ln 2.( x 2 − 2 x + 5)

∀x ∈ (1,3)

Hàm số ñồng biến nên ta có f (1) < f ( x) < f (3) ⇔ 2 < t < 3
Nhận xét số nghiệm của x thông qua t
• Ta có x 2 − 2 x + 5 = 2 t ⇔ ( x − 1) 2 = 2 t − 4
Suy ra ứng với mỗi giá trị t ∈ (2,3) thì ta luôn có một giá trị x ∈ (1,3)
Lúc ñó (2) suy ra: t −

m
= 5 ⇔ t 2 − 5t = m
t

Xét hàm số f (t ) = t 2 − 5t

∀t ∈ (2,3)

• ðạo hàm : f ' (t ) = 2t − 5 = 0 ⇔ t =

5
2

• Bảng biến thiên :

16


x

5
2

2

y'

+

0

3

—

−6

y

−6
−

25
4

ðể hệ có 2 cặp nghiệm phân biệt ⇔ −6 > −m > −

25
25
⇔
4
4

Bài 3: Tìm m ñể hệ có nghiệm ( x, y ) thoả mãn ñiều kiện x ≥ 4
 x+ y =3


 x+5 + y+3 ≤ m


(1)
( 2)

Bài làm:
x ≥ 0
y ≥ 0

ðiều kiện: 

ðặt t = x .Lúc ñó (1): y = 3 − t ⇔ y = (t 2 − 6t + 9)
ðiều kiện của t: 2 ≤ t ≤ 3
Khi ñó (2) ⇔ t 2 + 5 + t 2 − 6t + 12 ≤ m
Xét hàm số f (t ) = t 2 + 5 + t 2 − 6t + 12
• Miền xác ñịnh D = [2,3]
• ðạo hàm :
f ' (t ) =

t
t +5
2

f ' (t ) = 0 ⇔

+

t −3

t − 6t + 12
t
3−t
=
2
2
t +5
t − 6t + 12
2

⇔ t t 2 − 6t + 12 = (3 − t ) t 2 + 5
⇔ t 4 − 6t 3 + 12t 2 = t 4 − 6t 3 + 14t 2 − 30t + 45
⇔ 2t 2 − 30t + 45 = 0 vô nghiệm với x ∈ D
Mà f ' (3) > 0 ⇒ f (t ) ñồng biến trên D

Do ñó: min f (2) = 5
ðể hệ có nghiệm ( x, y ) thoả mãn x ≥ 4 ⇔ (2) có nghiệm thoả (1) và
x ≥ 4 ⇔ f (t ) ≤ m thoả mãn với mọi 2 ≤ t ≤ 3
⇔ min f (t ) ≤ m ⇔ m ≥ 5

Bài 4: Tìm m ñể hệ có hai nghiệm với tung ñộ trái dấu:
17


 x 2 + 2 xy − 5 x + m = 0


 x − y = sin x − sin y


(1)
( 2)

Bài làm:
Biến ñổi (2) về dạng: x − sin x = y − sin y
⇔ f ( x) = f ( y )
(*)
Xét hàm số f (t ) = t − sin t
• Miền xác ñịnh D = R

1 − cos t
(t > 0)

• ðạo hàm f ' (t ) = 
(t < 0)
1 + cos t

Suy ra f ' (t ) ≥ 0 ∀t ≠ 0 ⇔ hàm số ñồng biến

Từ (*) ⇔ x = y .Thay vào (1): 3x 2 − 5 x + m = 0
(**)
ðể hệ có hai nghiệm với tung ñộ trái dấu ⇔ phương trình (**) có 2 nghiệm
trái dấu ⇔ P < 0 ⇔ m < 0
3 x − 3 y = ( y − x)( xy + m)
Bài 5: Tìm m ñể hệ có nghiệm:  2 2
x + y = m


(1)
( 2)

Bài làm:
Thay (2) vào (1) ta có : 3 x − 3 y = ( y − x)( xy + x 2 + y 2 )
⇔ 3x − 3 y = y 3 − x3
⇔ 3x + x3 = 3 y + y 3
⇔ f ( x) = f ( y)

Xét hàm số f (t ) = 3t + t 3
• Miền xác ñịnh D = R
• ðạo hàm f ' ( x) = ln 3.3t + 3t 2 > 0 .Hàm số ñồng biến

Do ñó x = y .Thay vào phương trình (2) ta có:
x 2 + x 2 = m ⇔ 2x 2 = m ⇔ x 2 =

m
2

ðể hệ có nghiệm: m ≥ 0

C).Bài tập tự luyện:

Bài 1: Tìm m ñể bất phương trình (m + 2) x − m ≥ x + 1 có nghiệm x ∈ [0,2]
Bài 2: Tìm m ñể 9 2 x
kiện x ≥

2

−x

− 2(m − 1).6 2 x

2

−x

+ (m + 1).4 2 x

2

−x

≥ 0 nghiệm ñúng với mọi x thoả ñiều

1
2

Bài 3: Tìm m ñể phương trình x − 2 ( x + 1) + m = 0 có ba nghiệm phân biệt
18


x 2 −2 x

1
Bài 4: Tìm m ñể phương trình  
= m 2 + m + 1 có bốn nghiệm phân biệt
3
 
Bài 5: Tìm m ñể phương trình − 2 x 2 + 10 x − 8 = x 2 − 5 x + m có bốn nghiệm phân biệt

Bài 6: Tìm m ñể (3 + x)(7 − x) ≤ x 2 − 4 x + m nghiệm ñúng ∀x ∈ [− 3,7]
Bài 7: Tìm m ñể hệ phương trình có nghiệm:
 x 2  1  4 −5 x
2 ≤  

2
3 x 2 − mx x + 16 = 0


Bài 8: Tìm m ñể hệ phương trình có ba cặp nghiệm phân biệt
3( x + 1) 2 + y − m = 0


 x + xy = 1
 x 2 − 3x − 4 ≤ 0
Bài 9: Tìm m ñể hệ có nghiệm  3
2
 x − 3 x x − m − 15m ≥ 0
3 x + x = 3m + y
Bài 10: Tìm m ñể hệ vô nghiệm:  y
3 + y = 3m + x

Bài 11: Tìm m ñể phương trình có nghiệm:
7 2 x + x +1 − 7 2+ x +1 + 2007 x ≤ 2007

 2
 x − ( m + 2) x + 2 m + 3 = 0


(1)
( 2)

19


TOÁN; Khối: A

⎧⎪(4 x 2 + 1) x + ( y − 3) 5 − 2 y = 0
Giải hệ phương trình ⎨
(x, y ∈ R).
2
2
⎪⎩4 x + y + 2 3 − 4 x = 7

Bài làm:
3
5
; y≤ .
4
2
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: (4x2 + 1).2x = (5 − 2y + 1) 5 − 2 y (1)

Điều kiện: x ≤

Nhận xét: (1) có dạng f(2x) = f( 5 − 2 y ), với f(t) = (t2 + 1)t.
Ta có f ' (t) = 3t2 + 1 > 0, suy ra f đồng biến trên R.
Do đó: (1) ⇔ 2x =

⎧x ≥ 0
⎪
5 − 2y ⇔ ⎨
5 − 4 x2
y
=
.
⎪
⎩
2
2

⎛5
⎞
Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được: 4x2 + ⎜ − 2 x 2 ⎟ + 2 3 − 4x −7 = 0 (3).

2
⎝
⎠
3
Nhận thấy x = 0 và x = không phải là nghiệm của (3).
4
2

⎛5
⎞
⎛ 3⎞
Xét hàm g(x) = 4x2 + ⎜ − 2 x 2 ⎟ + 2 3 − 4x − 7, trên khoảng ⎜ 0; ⎟ .
⎝2
⎠
⎝ 4⎠
⎛5
⎞
g '( x) = 8x − 8x ⎜ − 2 x 2 ⎟ −
⎝2
⎠

4
3 − 4x

= 4x (4x2 − 3) −

4
3 − 4x

< 0, suy ra hàm g(x) nghịch biến.

1
⎛1⎞
Mặt khác g ⎜ ⎟ = 0, do đó (3) có nghiệm duy nhất x = ; suy ra y = 2.
2
⎝2⎠
⎛1 ⎞
Vậy, hệ đã cho có nghiệm: (x; y) = ⎜ ; 2 ⎟ .
2

20