Giải bài toán IMO bằng số phức

Bài toán 1 (IMO 1985 bài 5 ngày 2). Đường tròn với tâm
giác
của

cắt các đoạn thẳng
các

đường

tròn

rằng

ngoại

tiếp

đi qua các đỉnh

lần thứ hai tại các điểm

và

tam

(khác

giác

và

cho
. Chứng minh rằng

minh

đồng thời tâm của
và

cắt

nằm trên

tại

và

nhọn

khác

và

tiếp xúc trong đường tròn

. Tiếp tuyến chung của
. Chứng minh rằng

và

lần lượt qua các đường

. Chứng minh rằng các đường thẳng đối xứng này tạo thành một tam

Bài toán 5 (IMO 2004 bài 5 ngày 2). Trong tứ giác

các đường chéo

góc

và

mãn

.

là

một

và

điểm

nằm

trong

tứ

không là phân

giác

thỏa

. Chứng minh rằng tứ giác

nội tiếp khi

.

Bài toán 6 (IMO 2009 bài 1 ngày 1). Cho tam giác
điểm lần lượt nằm trên đoạn thẳng
của

và

lần lượt tại

.

và chỉ khi

tại

.

và

giác có các đỉnh nằm trên đường tròn nội tiếp tam giác

các

cắt

tại

là các đường cao của tam giác

. Xét đối xứng của các đường thẳng
và

và

tiếp xúc

. Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc các cạnh

thẳng

sao

lần lượt là tâm nội tiếp các tam

Bài toán 4 (IMO 2000 bài 6 ngày 2). Gọi

giác

Chứng

đồng quy.

Bài toán 3 (IMO 1999 bài 5 ngày 2). Hai đường tròn

và

).

nằm trong tam giác

. Gọi

giác

.

của tam

là giao điểm

.

Bài toán 2 (IMO 1996 bài 2 ngày 1). Cho điểm

và

và

. Gọi

và

minh rằng

, và

và

là đường tròn đi qua

. Gọi
và

và

.

và

là các

lần lượt là trung điểm

. Giả sử rằng

tiếp xúc

. Chứng

.

Bài toán 7 (IMO 2011 bài 6 ngày 2). Cho tam giác
là một tiếp tuyến của

với tâm ngoại tiếp

. Gọi

và

nhọn với đường tròn ngoại tiếp

lần lượt là đối xứng của

minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi các đường thẳng

qua

. Gọi

và
và

tiếp xúc

. Chứng
.

Trong 7 bài toán này có thể mỗi bài toán mang một ý nghĩa riêng, một màu sắc riêng hoặc là với
một tiêu chí riêng nào đó, nhưng thực sự nó đều là các bài toán tinh túy bậc nhất của hình học

phẳng Olympic. Bài viết chỉ mang tính chất so sánh vui vẻ và cũng là những quan điểm hết sức cấ
nhân và đặt trên blog riêng của tôi hy vọng nó sẽ không làm phật ý hoặc đụng chạm gì tới bất kỳ
ai.
Mong rằng bài viết vui vẻ này sẽ giúp các bạn có một cái nhìn vui hơn và lạ hơn cho các bài toán
thi IMO đặc biệt là các vấn đề hình học.