ĐỀ THI HSG TOÁN 9 PHÚ THỌ 2015-2016

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9
Năm học : 2015 – 2016
Môn thi : Toán

Câu 1(3 điểm):
a) Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + n(n + 1)(n + 2) với n là số tự nhiên khác 0.
Chứng minh rằng: 4S + 1 là số chính phương.
b) Tìm các số nguyên x,y thoả mãn x 2 + 2 y 2 + 2 xy = y + 2
Câu 2( 4 điểm):
x
1
x 5 − 4 x 3 − 17 x + 9
=
a) Tính giá trị biểu thức P= P = 4
với 2
2
x + x +1 4
x + 3x + 2 x + 1

b) Cho a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = 5 và a + b + c = 3
Chứng minh rằng

a
b
c
4
+

+
=
a+2 b+2 c+2
(a + 2)(b + 2)(c + 2)

Câu 3(4 điểm):
a) Giải phương trình: (3x + 1) 2 x 2 − 1 = 5 x 2 +

3x
−3
2

2
2
 2 x − y + xy + y − 5 x + 2 = 0
b) Giải hệ phương trình:  2 2
 x + y + x + y − 4 = 0

Câu 4( 7 điểm):
Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R. Gọi M là điểm bất kỳ thuộc (O) ( M
khác A và B). Các tiếp tuyến với (O) tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP⊥AB (
P∈AB). Vẽ MQ⊥AE ( Q∈AE).
a) Chứng minh rằng tứ giác AEMO là tứ giác nội tiếp và APMQ là hình chữ
nhật.
b) Chứng minh PQ,OE,MA đồng quy.
c) Gọi K là giao của EB và MP. Chứng minh rằng K là trung điểm của MP.
d) Đặt AP=x, tính MP theo R,x. Tìm vị trí điểm M trên (O) để hình chữ nhật
APMQ có diện tích lớn nhất.

Câu 5(2 điểm): Cho a,b,c phân biệt. Chứng minh rằng:
(a 2 + b 2 + c 2 )(

1
1
1
9
+
+
)≥
2
2
2
(a − b) (b − c ) (c − a )
2