Ôn tập toán 9 cả năm

A.1. Kiến thức cơ bản

luyện thi vào lớp 10 - MÔN toán
A. Căn thức và biến đổi căn thức

A.1.1. Căn bậc hai
a. Căn bậc hai số học
- Với số dơng a, số a đợc gọi là căn bậc hai số học của a
- Số 0 cũng đợc gọi là căn bậc hai số học của 0
x 0
- Một cách tổng quát: x = a 2
x = a
b. So sánh các căn bậc hai số học: - Với hai số a và b không âm ta có: a < b a < b
2
A.1.2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A = A
a. Căn thức bậc hai
- Với A là một biểu thức đại số , ngời ta gọi A là căn thức bậc hai của A, A đợc gọi là biểu thức lấy căn hay
biểu thức dới dấu căn ;
A xác định (hay có nghĩa) A 0

b. Hằng đẳng thức
-

Với mọi A ta có

A2 = A
A2 = A

Nh vậy:

A2 = A nếu A 0 ;

A2 = A nếu A < 0

A.1.3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng
a. Định lí: + Với A 0 và B 0 ta có: A.B = A. B
+ Đặc biệt với A 0 ta có ( A ) 2 = A2 = A
b. Quy tắc khai phơng một tích: Muốn khai phơng một tích của các thừa số không âm, ta có thể khai phơng từng
thừa số rồi nhân các kết quả với nhau
c. Quy tắc nhân các căn bậc hai: Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dới dấu
căn với nhau rồi khai phơng kết quả đó
A.1.4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng
A
A
=
B
B
b. Quy tắc khai phơng một thơng: Muốn khai phơng một thơng a/b, trong đó a không âm và b dơng ta có thể lần
lợt khai phơng hai số a và b rồi lấy kết quả thứ nhất chí cho kết quả thứ hai.
c. Quy tắc chia các căn bậc hai: Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho số b dơng ta có thể chia số a cho
số b rồi khai phơng kết quả đó.
A.1.5. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
a. Đa thừa số ra ngoài dấu căn
a. Định lí: Với mọi A 0 và B > 0 ta có:

-

Với hai biểu thức A, B mà B 0, ta có

A2 B = A B , tức là

+ Nếu A 0 và B 0 thì A2 B = A B ;
b. Đa thừa số vào trong dấu căn
+ Nếu A 0 và B 0 thì A B = A2 B ;

Nếu B < 0 và B 0 thì

A2 B = A B

Nếu B < 0 và B 0 thì A B = A2 B
A
AB
=
c. Khử mẫu của biểu thức lấy căn: - Với các biểu thức A, B mà A.B 0 và B 0, ta có
B
B
d. Trục căn thức ở mẫu
- Với các biểu thức A, B mà B > 0, ta có
A
A B
=
B
B


- Với các biểu thức A, B, C mà A 0 và A B 2 , ta có
C
C ( A B)
=
A B2
AB

- Với các biểu thức A, B, C mà A 0, B 0 và A B , ta có
C ( A B)
C
=
A B
A B
A.1.6. Căn bậc ba
a. Khái niệm căn bậc ba:
- Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3 = a;
b. Tính chất
-

Với a < b thì

3

a<3b;

Với mọi a, b thì

3

Với mọi a thì ( 3 a )3 = 3 a 3 = a

ab = 3 a . 3 b ;

Với mọi a và b 0 thì

3

A.2.1. Bất đẳng thức và bất phơng trình
Bất đẳng thức
Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: f1(x), f2(x), ,fn(x) là các biểu thức bất kì
f1 ( x) + f 2 ( x ) + ... + f n ( x ) f1 ( x ) + f 2 ( x ) + ... + f n ( x) .

(

)

Đẳng thức xảy ra khi f i ( x) i = 1, n cùng dấu



Bất đẳng thức Côsi: a1, a2, , an là các số không âm, khi đó
a1 + a2 + ... + an n
a1.a2 ...an
n
Đẳng thức xảy ra khi a1 = a2 = = an
Bất đẳng thức Bunhiacôpski: (a1, a2, , an ) và (b1, b2, , bn ) là hai bộ số bất kì, khi đó
(a1b1 + a2b2 + ... + anbn ) 2 (a12 + a22 + ... + an2 )(b12 + b22 + ... + bn2 )
a
a1 a2
=
= ... = n (quy ớc bi == 0 thì ai = 0)
Đẳng thức xảy ra khi
b1 b2
bn
Bất phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
f ( x) ( 0) f ( x)

f ( x) ( 0) f ( x) hoặc f ( x)

A.2.2. Biến đổi tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a 0). Khi đó ta có
b

f ( x) = ax 2 + bx + c = a ( x ) 2
với = b 2 4ac
2a
4a


b
x=
Nếu a > 0 thì f ( x )
nên min f ( x) =
x

R
4a
4a
2a


b
x=
Nếu a < 0 thì f ( x )
nên max f ( x ) =
x

R
4a
4a
2a
k
* Chú ý. Nếu A =
(k là hằng số dơng) khi đó ta có
A'
Amin Amax
;
Amax Amin
A.2. Bài tập chọn lọc
1
x 3
2
x+ 2




Bài 1. Cho biểu thức: P =
ữ
ữ
x 1 2 2 x
2x x ữ
x x 1

a. Rút gọn P
;

b. Tính giá trị của P với x = 3 2 2

a 3a
=
b 3b


1 2x + x 1 2x x + x x
1

+
Bài 2. Cho biểu thức P =
ữ
ữ:
ữ
x 1 x
1+ x x
1 x

a. Rút gọn P
; b. Tính giá trị của P với x = 7 4 3 ; c. Tính giá trị lớn nhất của a để P > a
x x 3
2( x 3) ( x + 3)

+
x2 x 3
x +1
3 x
a. Rút gọn P; b. Tính giá trị của P với x = 11 6 5 ; c.Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Bài 3. Cho biểu thức P =


x x +3
x +2
x +2
:
+
+
Bài 4. Cho biểu thức : M = 1
ữ

ữ

ữ
x +1 ữ

x 2 3 x x 5 x + 6
a. Rút gọn M
b. Tìm x để M > 0
c. Tìm các giá trị củ m để có các giá trị của x thỏa mãn: M ( x + 1) = m( x + 1) 2
Bài 5: Cho biểu thức: A =

x + x2 4x



x x2 4x

x x2 4x x + x2 4x

a. Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.;
b.Rút gọn A. ; c.Tìm x để A < 5 .
x
1 x x x + x

Bài 6: Cho A =
ữ
ữ x + 1 x 1 ữ
ữ.
2
2
x



a. Rút gọn A. ; b. Tìm x để A > -6.
x
2
1
10 x
+
+
: x 2+
Bài 7: Cho B =
ữ
ữ.
ữ
x +2
x +2
x4 2 x

a. Rút gọn B. ; b.Tìm x để B > 0.
1
2
2

+
Bài 8: Cho C =
.
x 1 x x +1 x x +1
a. Rút gọn C. ; b. Chứng minh rằng C < 1.
Bài 9: Cho biểu thức: A = 4 x 4 x 2 12 x + 9
a. Rút gọn A.
b. Tìm x để A = -15.
Bài 10: Cho biểu thức: y =

(x

2

)

2

2 + 8x2

2x + 3 .
x
a. Rút gọn y. ; b. Tìm các giá trị nguyên của x để y có giá trị nguyên.
Bài 11: Cho biểu thức: A = x + 2 x 1 + x 2 x 1 với x 1.
a. Rút gọn A. ; b. Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

Bài 12: Cho biểu thức: A = 2 x + x 2 6 x + 9 .
a. Rút gọn rồi tìm giá trị của A khi a = -5. ; b. Tìm x khi A = 15.

3
3
+ 1 x ữ:
+ 1ữ.
Bài 13: Cho biểu thức: M =
1+ x
1 x2

2

+

( x 1)

a. Rút gọn M. ; b. Tìm giá trị của M khi x =

2

3

2+ 3
Bài 14: Cho biểu thức: Q = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1.
a. Chứng minh Q 0 với mọi x.

. ; c. Tìm giá trị của x để

; b. Tính giá trị của Q khi x =

Bài 15: Cho biểu thức: A = 3 x 1 4 x 2 + 9 12 x .
a. Rút gọn biểu thức A. ; b. Tìm giá trị của x để A = 3.

7 5
.
2

M >M .


Bài 16: Rút gọn biểu thức: A = 2 x 1 x 2 x +

Bài 17: Cho biểu thức: y =
a. Rút gọn y.

x4 +

(

x2 2

)

3 2 x2 6

1
rồi tìm giá trị của x để A = 3/2.
4
.

b. Tìm giá trị lớn nhất của y.
2 x 9
x + 3 2 x +1
Bài 18: Cho biểu thức: Q =


x5 x +6
x 2 3 x
a. Rút gọn rồi tìm giá trị của x để Q < 1. ; b. Tìm các giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên.
3x + 9 x 3
x +1
x 2
Bài 19: Cho biểu thức: P =

+
x+ x 2
x + 2 1 x
a. Rút gọn P. ; b. Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên.
x2 + x
2x + x
Bài 20: Cho biểu thức: Q =

+1
x x +1
x
a. Rút gọn Q. ; b. Biết x > 1, hãy so sánh Q với {Q}. ; c. Tìm x để Q = 2. ; d. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q?
x2 2
Bài 21. Cho biểu thức M = 4
x + ( 3 2) x 2 6

a. Rút gọn M ; b. Tìm x để M có giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó
Bài 22. Cho biểu thức
A=

(x

2

;

)

2

3 + 12 x 2
2

+ ( x + 2) 2 8 x

x
a. Rút gọn A ; b. Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của A là một số nguyên
3x + 9 x 3
x +1
x +2
Bài 23. Cho biểu thức C =

+
x+ x 2
x + 2 1 x
a. Tìm điều kiện cỉa x để C có nghĩa ; b. Rút gọn biểu thức C

c.Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của C là một số nguyên
Bài 24. Cho biểu thức
2 x
x
3x + 3 2 x 2
P =
+

1ữ
ữ:
ữ , với x 0 và x 9
x 3 x 9 ữ
x +3
x 3

a. Rút gọn P ; b. Tìm các giá trị của x để P < -1/3 ; c. Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 25. Cho biểu thức
2 x 9
x + 3 2 x +1
Q=


x5 x +6
x 2 3 x
a. Tìm các giá trị của x để Q có nghĩa ; b. Rút gọn Q ; c.Tìm các giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên
Bài 26. Cho biểu thức
x 4( x 1) + x + 4( x 1)
1
. 1
ữ

2
x 1
x 4( x 1)
a. Tìm điều kiện của x để M có nghĩa ; b. Rút gọn M
Bài 27. Cho biểu thức
1
1
2
1 1 x3 + y x + x y + y 3
A =
+
+ + :
với x > 0, y > 0
ữ.
yữ
x3 y + xy 3
x
x + y x y
a. Rút gọn A ; b. Biết xy = 16. Tìm giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó
Bài 28. Cho biểu thức
M=


2

1
1


B = ( x 2 + x 1) : x 2 + 2 ữ + 2 x + ữ 3 , với x 0

x
x


a. Rút gọn B ; b. Tìm giá trị của x để B có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó
Bài 29. Cho biểu thức:

1

1+ x
1 x
1 x
x
P =

.

1

.
ữ

ữ

ữ
2

2
x ữ
1 x2 1 + x ữ

1+ x 1 x
x
1 x + 1 x
a. Tìm điều kiện để P có nghĩa ; b. Rút gọn P
Bài 30. Cho biểu thức A = x 2 2 x 2 + 1 + x 8
a. Rút gọn biểu thức A ; b. Với giá trị nào của x thì A = -3
x 2 x 1 + x + 2 x 1
1
1
ữ.
2
x 1
x 4( x 1)
a. Tìm điều kiện của x để A có nghĩa. ; b. Rút gọn A.

Bài 31: Cho A =

Bài 32: Cho biểu thức: A = x 2 + 2 x 2 1 x 2 2 x 2 1 .
a. Tìm điều kiện của x để A có nghĩa. ; b. Tính giá trị của A khi x 2.
1
x +1
:
.
x x x x +x+ x
a. Tìm điều kiện của x để A có nghĩa. ; b. Rút gọn A.
1
1
x3 x
Bài 34: Cho B =
.

x + x 1
x x 1 1 x
a. Tìm điều kiện của x để B có nghĩa. ; b. Tìm x để B > 0.
Bài 33: Cho A =

2

(

)(

)

2x 1 + x 2x x + x x x x 1 x
Bài 35: Cho biểu thức: E = 1
.
+
ữ
1 x
ữ.
1
+
x
x
2
x

1

a. Tìm điều kiện để E có nghĩa. ; b. Rút gọn E.
a 3 b3
a 2 b 2
ab ữ: 1 1 .
Bài 36: Cho A =
a b
ữ a b


a. Tìm điều kiện của a, b để A có nghĩa.
b. Rút gọn A.
Bài 37: Cho biểu thức: A = x 2 6 x + 9 x 2 + 6 x + 9 .
a. Rút gọn A.
b. Tìm các giá trị của x để A = 1.
x + x2 2x x x2 2x

.
Bài 38: Cho biểu thức: A =
x x2 2x x + x2 2x
a. Tìm điều kiện xác định của A.
b. Rút gọn A.
c. Tìm x để A < 2.
a +2
Bài 39: Cho biểu thức M =
.
a 2
a. Tìm các số nguyên a để M là số nguyên.
b. Tìm các số hữu tỉ a để M là số nguyên.

a +6
Bài 40. Cho biểu thức M =
a +1
a. Tìm các số nguyên a để M là số nguyên
b. Chứng minh rằng với a = 4/9 thì M là một số nguyên
c. Tìm các số hữu tỉ a để M là số nguyên


Bài 41. Xét biểu thức
B = (1 +

a
1
2 a
):(

)
a +1
a 1 a a + a a 1

a. Rút gọn B
b. Tìm các giá trị của a sao cho B > 1
c. Tính giá trị của B nếu a = 6 2 5
Bài 42. Xét biểu thức
2 x 9
x + 3 2 x +1
A=


x5 x +6

x 2 3 x
a. Rút gọn A
b. Tìm các giá trị của x để A < 1
c. Tìm các giá trị nguyên của x sao cho A cũng là số nguyên
Bài 43. Xét biểu thức
2 a +3 b
6 ab
A=

ab + 2 a 3 b 6
ab + 2 a + 3 b + 6
a. Rút gọn A
b + 10
(b 10) . Chứng minh rằng a/b = 9/10
b. Cho giá trị của biểu thức A sau khi đã rút gọn bằng
b 10
Bài 44. Xét biểu thức
2+ x 2 x
4x
x 3
P =


:
ữ
ữ
2 x 2+ x x4 2 x x
a. Rút gọn P
b. Tìm các giá trị của x để P > 0, P < 0
c. Tìm các giá trị của x để |P| = 1

Bài 45. Cho biểu thức A = 4 x 9 x 2 12 x + 4
a. Rút gọn A
b. Tính giá trị của A khi x = 2/7
1
2
Bài 46: Cho A = x + 1 x 2
trong đó x R .
x +1 x
Xác định x để giá trị của A là một số tự nhiên.
x2 x
x2 + x
Bài 47. Cho biểu thức A =

0 x 1
x + x +1 x x +1
Bài 48. Cho biểu thức A = 5 x + x 2 + 6 x + 9
a. Rút gọn B
b. Tính giá trị của x để B = -9
1
5
x 2
Bài 49: Cho biểu thức: P =


.
x + 2 x x 6 3 x
a. Rút gọn P.
b. Tìm giá trị lớn nhất của P.
x+ y
x y x + y + 2 xy

+
: 1+
Bài 50: Cho P =
ữ
ữ.
ữ
1 xy
1

xy
1
+
xy


a. Rút gọn P.

2
.
2+ 3
c. Tìm giá trị lớn nhất của P.
b. Tính giá trị của P với x =


B.1. Kiến thức cơ bản

B. Hệ phơng trình

b.1.1. Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn
a. Phơng trình bậc nhất hai ẩn

Phơng trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c với a, b, c R (a2 + b2 0)
Tập nghiệm của phơng trình bậc nhất hai ẩn:
Phơng trình bậc nhât hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d): ax + by = c
a
c
- Nếu a 0, b 0 thì đờng thẳng (d) là đồ thị hàm số y = x +
b
b
- Nếu a 0, b = 0 thì phơng trình trở thành ax = c hay x = c/a và đờng thẳng (d) song song hoặc trùng với trục
tung
- Nếu a = 0, b 0 thì phơng trình trở thành by = c hay y = c/b và đờng thẳng (d) song song hoặc trùng với trục
hoành
b. Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn
ax + by = c
Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn:
a ' x + b ' y = c '
trong đó a, b, c, a, b, c R
Minh họa tập nghiệm của hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn
Gọi (d): ax + by = c, (d): ax + by = c, khi đó ta có
(d) // (d) thì hệ vô nghiệm
(d) (d) = { A} thì hệ có nghiệm duy nhất
(d) (d) thì hệ có vô số nghiệm
Hệ phơng trình tơng đơng
Hệ hai phơng trình tơng đơng với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm
c. Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế
Quy tắc thế
Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế
Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phơng trình đã cho để đợc một hệ phơng trình mới trong đó có một phơng
trình một ẩn
Giải phơng trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ

d. Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số
Quy tắc cộng
Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế
Nhân hai vế của mỗi phơng trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó
trong hai phơng trình bằng nhau hoặc đối nhau
áp dụng quy tắc cộng đại số để đợc hệ phơng trình mới, trong đó có một phơng trình mà hệ số của một
trong hai ẩn bằng 0 (phơng trình một ẩn)
Giải phơng trình một ẩn vừa thu đợc rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho
b.1.2. Hệ phơng trình đa về phơng trình bậc hai
- Nếu hai số x và y thỏa mãn x + y = S, x.y = P (với S2 4P) khi đó hai số x, y là nghiệm của phơng trình: x2 +
SX + P = 0
B.2. Kiến thức bổ xung
b.2.1. Hệ phơng trình đối xứng loại 1
a. Định nghĩa:
Hệ hai phơng trình hai ẩn x và y đợc gọi là đối xứng loại 1 nếu ta đổi chỗ hai ẩn x và y đó thì từng phơng trình
của hệ không đổi
b. Cách giải
Đặt S = x + y, P = x.y, Đk: S2 4P
Giải hệ để tìm S và P




Với mỗi cặp (S, P) thì x và y là hai nghiệm của phơng trình:
t2 St + P = 0
c. Ví dụ
Giải hệ phơng trình
x + y + xy = 7
x + y + xy + 1 = 0
x + y + x2 + y 2 = 8

2
2

2
2
x + y + xy = 13
x + y x y = 22
xy ( x + 1)( y + 1) = 12
Giải phơng trình
x + 17 x 2 + x 17 x 2 = 9

( 7 + 48 ) x + ( 7 48 ) x = 14

b.2.2. Hệ phơng trình đối xứng loại 2
a. Định nghĩa
Hệ hai phơng trình hai ẩn x và y đợc gọi là đối xứng loại 2 nếu ta đổi chỗ
hai ẩn x và y thì phơng trình này trở thành phơng trình kia và ngợc lại
b. Cách giải
Trừ vế theo vế hai phơng trình trong hệ để đợc phơng trình hai ẩn
Biến đổi phơng trình hai ẩn vừa tìm đợc thành phơng trình tích
Giải phơng trình tích ở trên để biểu diễn x theo y (hoặc y theo x)
Thế x bởi y (hoặc y bởi x) vào 1 trong 2 phơng trình trong hệ để đợc phơng trình một ẩn
Giải phơng trình một ẩn vừa tìm đợc ròi suy ra nghiệm của hệ
c. Ví dụ
Giải hệ phơng trình
2 x = y 2 4 y + 5
x 3 = 13 x 6 y

3
2

2 y = x 4 x + 5
y = 13 y 6 x
Giải phơng trình
x3 + 1 = 2 3 2 x 1
2 x2 + 2 x + 1 = 4 x + 1
b.2.3. Hệ phơng trình đẳng cấp bậc 2
a. Định nghĩa
ax 2 + bxy + cy 2 = 0
- Hệ phơng trình đẳng cấp bậc hai có dạng: 2
2
a ' x + b ' xy + c ' y = 0
b. Cách giải
- Xét xem x = 0 có là nghiệm của hệ phơng trình không
- Nếu x 0, ta đặt y = tx rồi thay vào hai phơng trình trong hệ
- Khử x rồi giải hệ tìm t
- Thay y = tx vào một trong hai phơng trình của hệ để đợc phơng trình một ẩn (ẩn x)
- Giải phơng trình một ẩn trên để tìm x từ đó suy ra y dựa vào y = tx
* Lu ý: ta có thể thay x bởi y và y bởi x trong phần trên để có cách giải tơng tự
c. Ví dụ
Giải hệ phơng trình
2
2
2
2
x 4 xy + y = 1
2 x 3 xy + y = 3
2
2
2
y 3xy = 4

x + 2 xy 2 y = 6
B.3. Bài tập chọn lọc
Bài 1. Giải các hệ phơng trình
( x + 2)( y 2) = xy
( x 1)( y 2) ( x + 1)( y 3) = 4


( x + 4)( y 3) = xy + 6
( x 3)( y + 1) ( x 3)( y 5) = 18

( x + 5)( y 2) = xy

( x 5)( y + 12) = xy

2x 5 y 1 x 2 y
+
= 16

11
3

7 x + y + 2( x 1) = 31
5
3

4x 3

x + y = 5

x + 3 y = 15 9 y

14

9x 2 y
7 3 = 28

3 x + 12 y = 15
2
5


 5
 x −1 +


 1 +
 x − 1

1
= 10
y −1
3
= 18
y −1

 xy 2 − 2 y + 3x 2 = 0
 2
2
 y + x y + 2 x = 0
( x + 3)( y − 5) = xy


( x − 2)( y + 5) = xy
5
 2
 3x − y − x − 3 y = 3


 1 + 2 =3
 3 x − y x − 3 y 5
x
x
 y − y + 12 = 1


 x − x =2
 x − 12 y

1
 4
 x + 2y − x − 2y =1


 20 + 3 = 1
 x + 2 y x − 2 y
 x + 3 − 2 y + 1 = 2

 2 x + 3 + y + 1 = 4
( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 = ( x + 1) 2 + ( y + 1) 2

2

2
( x − y − 3) = ( x − y − 1)
4
5
 7
 x−7 − y+6 = 3


 5 + 3 = 13
 x − 7
y+6 6
 4( x + y ) = 5( x − y )

40
 40
x+ y + x− y =9


( x + 3) 2 − 2 y 3 = 6
 2 x 2 + y 2 = 10

 2
2
3
2
3( x + 3) + 5 y = 7
 x − 2 y = 5
Bµi 2. Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh
 x + 1 + y − 1 = 5
 y − 2 x + 3 = 0



 x + 1 = 4 y − 4
 y + x − 3 = 0
 x − 1 + y − 2 = 1
 x 2 + 10 x + 25 = x + 5

.
 x − 1 + 3 y = 3
 x 2 − 10 x + 25 = 5 − x
 x 2 + xy + y 2 = 4
 x x + y y = 341


 x + xy + y = 2
 x y + y x = 330
 x 2 + y 2 = 2( xy + 2)
 x + y + xy + 1 = 0

 2
2
x + y = 6
 x + y − x − y = 22
4
2 2
4
 x + xy + y = 5
 x + x y + y = 481
 2
 2

2
2
y + x = 5
 x + xy + y = 37

3
13
 4
 x + y = 36


 6 + 10 = 1
 x
y
( x + y ) 2 − 4( x + y ) = 45

2
( x − y ) − 2( x − y ) = 3
 xy − 2 x − y + 2 = 0

3 x + y = 8
3
2

 x + y − 3 − x − y −1 = 8


3
1


+
= 1,5
 x + y − 3 x − y + 1
1 1 3
x + y = 4


1 + 1 = 2
 6 x 5 y 15
7 x 2 + 13 y = −39
 2
5 x − 11 y = 33

 x + 1 + y − 1 = 5

 x + 1 − 4 y + 4 = 0
 x − 2 + 2 y − 1 = 9

 x + y − 1 = −1
 x 2 + y 2 = 11

 x + xy + y = 3 + 4 2
 x + y + xy = 7
 2
2
 x + y + xy = 13
2
2
 x + y + x + y = 8
 2

2
 y + x + xy = 7
 x 2 y + xy 2 = 6

 xy + x + y = 5

 x 2 + y 2 = 10

x + y = 4
 x 3 + y 3 = 1
 5
5
2
2
 x + y = x + y
x + y = 5

 x y 13
y + x = 6


 x 2 + y 2 = 65

( x − 1)( y − 1) = 18
x + y = 1
 3
3
2
2
x + y = x + y

 x 3 + y 3 = 2
 2
2
 x y + xy = 2

 x 4 + y 4 = 97

2
2
 xy ( x + y ) = 78

 x + y + xy = 3

 x + y − xy = 1

 x + y + xy = 2 + 3 2
 2
2
 x + y = 6

x + y + z = 9
 2
2
2
 x + y + z = 27

( x + 1)( y + 1) = 10

( x + y )( xy + 1) = 25

x + y = 3
4
4
x + y = 17

x 2 + xy + y 2 = 84

x + xy + y = 14

xy + x + y = 19
2
2
x y + xy = 84

xy ( x + 1)( y + 1) = 72

( x 1)( y 1) = 2
x + y = 1
5
5
x + y = 31

x + y xy = 1
2
2
x + y = 5
x 2 + xy + y 2 = 4

x + xy + y = 2

3
x = 5 x + y
3
y = x + 5 y
x + 1 + y = 1

x + y + 1 = 1

2
2 x 2 x + xy y = 0
2
2 y + 2 y xy x = 0
2
2
x + ( x + y ) = 17
2
2
y + ( x + y ) = 25

( x 2 + 1)( y 2 + 1) = 10

( x + y )( xy 1) = 3
3
3
x + y = 1
4
4
x + y = 1
2

2 x = y 4 y + 5

2
2 y = x 4 x + 5
3
x + 1 = 3 y
2
y + 1 = 3 x

2
x + xy + y = 1

2
x + xy + y = 1
x 2 + y 2 + z 2 = 12

xy + yz + zx = 12

3
x = 2 x + y
3
y = 2 y + x
2
2
2
x + y + z = 1
3
3
3
x + y + z = 1

2
2
( x y )( x + y ) = 5

2
2
( x + y )( x y ) = 9

2
2
x xy y = 11
2
2
( x y ) xy = 108

2
2
x y + 2 = y
2
2
xy + 2 = x
2
2 x 2 x + xy y = 0
2
2 y + 2 y xy x = 0

Các bài HPT có chứa tham số
Bài 4. Cho hệ phơng trình
3 x y = m

2
9 x m y = 3 3
a. Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình vô nghiệm
b. Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình có vô số nghiệm? Khi đó hãy tìm dạng tổng quát nghiệm của hệ
phơng trình
c. Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình có nghiệm duy nhất
Bài 5. Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình
mx + y = 4

x my = 1
8
Có nghiệm thỏa mãn điều kiện x + y = 2
. Khi đó hãy tìm các giá trị của x và y.
m +1
Bài 6. Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phơng trình
2mx + 3 y = m

x + y = m +1
Có nghiệm nguyên, tìm nghiệm nguyên đó.
Bài 7. Cho hệ phơng trình
x + 2 y = 6

2 x y = 2
a. Giải hệ phơng trình đã cho bằng phơng pháp đồ thị
b. Nghiệm của hệ phơng trình đã cho có phải là nghiệm của phơng trình 3x 7y = - 8 không ?
c. Nghiệm của hệ phơng trình đã cho có phải là nghiệm của phơng trình 4,5x + 7,5y = 25 không ?
Bài 8. Cho hai đờng thẳng (d1): 2x 3y = 8 và (d2): 7x 5y = -5
Tìm các giá trị của a để đờng thẳng y = ax đi qua giao điểm của hai đờng thẳng (d1) và (d2)
Bài 9. Cho ba đờng thẳng

(d1): y = 2x 5
(d2): y = 1
(d3): y = (2m 3)x 1
Tìm các giá trị của m để ba đờng thẳng đồng quy
x + ay = 2
Bài 10. Cho hệ phơng trình
ax 2 y = 1
Tìm các giá trị của a để hệ phơng trình đã cho có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0
Bài 11. Tìm các giá trị của a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(-5; -3) và điểm B(3; 1)
Bài 12. Tìm các giá trị của m để
mx y = 5
a. Hệ phơng trình:
có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0
2 x + 3my = 7
mx + y = 3
b. Hệ phơng trình:
có nghiệm thoả mãn điều kiện x > 1, y > 0
4 x + my = 6
Bài 13. Cho hệ phơng trình
mx + y = 2m

x + my = m + 1
Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phơng trình có nghiệm x, y là các số nguyên
Bài 14. Cho hệ phơng trình
(m + 1) x + my = 2m 1

2
mx y = m 2
Tìm các giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện xy đạt giá trị lớn nhất

Bài 15. Hãy tìm giá trị của m và n sao cho đa thức
P(x) = mx3 + (m + 1)x2 (4n + 3)x + 5n đồng thời chia hết cho (x 1) và (x + 2).
Bài 16. Cho hệ phơng trình
(m + 1) x y = m + 1

x + (m 1) y = 2
Tìm các giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện: S = x + y đạt giá trị lớn nhất
Bài 17. Cho hệ phơng trình
mx + my = m
m, n là các tham số

mx + y = 2m
a. Giải và biện luận hệ phơng trình
b. trong trờng hợp hệ có nghiệm duy nhất hãy tìm giá trị của m để nghiệm của phơng trình thỏa mãn điều kiện
x > 0, y < 0
Bài 18. Tìm a và b để hệ phơng trình sau có nghiệmcó nghiệm với mọi giá trị của tham số m
(m + 3) x + 4 y = 5a + 3b + m

x + my = am 2b + 3m 1
2
3
2
y = x 4 x + a.x
Bài 19. Tìm tham số a để hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất: 2
3
2
x = y 4 y + ay

x + y = m
Bài 20. Biết cặp số (x, y) là nghiệm của hệ phơng trình: 2

2
2
y + x = m + 6
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = xy + 2(x + y).
x + y = 2a 1
Bài 21. Giả sử (x, y) là nghiệm của hệ phơng trình: 2
Xác định giá trị của tham số a để hệ thỏa
2
2
y + x = a + 2a 3
mãn tích xy nhỏ nhất.
xy = a 2

Bài 22. Cho hệ phơng trình: 1 1 1
x + y = b

Giải và biện luận hệ phơng trình biết rằng x, y là độ dài các cạnh của một hình chữ nhật.


2 x + my = 1
Bài 23. Cho hệ phơng trình:
mx +2 y = 1
a. Giải và biện luận theo tham số m.
b. Tìm các số nguyên m để cho hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y là các số nguyên.
x + my = 4
Bài 24. Cho hệ phơng trình:
(m là tham số).
mx +4 y = 10 m
a. Giải và biện luận theo m.
b. Với giá trị nào của số nguyên m, hệ có nghiệm (x; y) với x, y là các số nguyên dơng.

(m 1) x my = 3m 1
Bài 25. Cho hệ phơng trình:
2 x y = m + 5
Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
(m + 1) x + my = 2m 1
Bài 26. Cho hệ phơng trình:
2
mx y = m 2.
Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm (x; y) mà tích P = xy đạt giá trị lớn nhất.
mx + y = 2m
Bài 27. Cho hệ phơng trình:
x + my = m + 1.
a. Giải hệ khi m = -1.
b. Tìm m để hệ có vô số nghiệm, trong đó có nghiệm: x = 1, y = 1.
mx + 2 y = m + 1
Bài 28. Giải và biện luận hệ phơng trình sau đây theo tham số m:
2 x + my = 3.
x + my = 2
Bài 29. Cho hệ phơng trình:
mx 2 y = 1.
a. Giải hệ khi m = 2.
b. Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0 và y < 0.
c. Tìm số nguyên n để có nghiệm duy nhất (x; y) mà x, y là các số nguyên.
x + my = 1
Bài 30. Cho hệ phơng trình:
mx 3my = 2m + 3.
a. Giải hệ khi m = - 3.
b. Giải và biện luận hệ đã cho theo m.
2 x + y = m
Bài 31. Cho hệ phơng trình:

(m là tham số nguyên).
3 x 2 y = 5
Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0, y < 0.
mx y = 2
Bài 32. Cho hệ phơng trình:
3 x + my = 5.
a. Giải và biện luận hệ đã cho.
m2
b. Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn hệ thức: x + y = 1 2
.
m +3
mx + 2my = m + 1
Bài 33. Cho hệ phơng trình:
x + ( m + 1) y = 2.
a. Chứng minh rằng nếu hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thì điểm M(x; y) luôn luôn thuộc một đờng thẳng cố định
khi m thay đổi.
b. Xác định m để M thuộc góc vuông phần t thứ nhất.
c. Xác định m để M thuộc đờng tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 5 .


mx + 4 y = m + 2
Bài 34. Với giá trị nào của số nguyên m, hệ phơng trình:
có nghiệm duy nhất (x; y) với x; y là các
x + my = m.
số nguyên.
2 x + my = 1
Bài 35. Cho hệ phơng trình:
mx + 2 y = 1.
a. Giải và biện luận theo m.
b. Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x; y là các số nguyên.

c. Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x; y), điểm M(x; y) luôn luôn chạy trên một đờng thẳng cố định.
2
d. Xác định m để M thuộc đờng tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng
.
2
Bài 36. Giải và biện các hệ phơng trình:
2m2 x + 3(m 1) y = 3
x 2 y = m +1
x my = 1
a.
b.
c.
x + y = 2 m.
x y = m.
m( x + y ) 2 y = 2
2mx + y = 5
Bài 37. Cho hệ phơng trình:
mx + 3 y = 1.
a. Giải hệ phơng trình lúc m = 1.
b. Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số.
mx y = 1
Bài 38. Cho hệ phơng trình (m là tham số ):
x + y = m.
a. Chứng tỏ lúc m = 1, hệ phơng trình có vô số nghiệm.
b. Giải hệ lúc m khác 1.
Bài 24. Tìm nghiệm nguyên dơng nhỏ nhất của hệ phơng trình:
x = 5y + 3
x + 2 y + 3 z = 20
a.
b.

x = 11z + 7
3 x + 5 y + 4 z = 37
Bài 39. Với giá trị nào của x, y, z; ta có đẳng thức sau: 4x2 + 9y2 + 16z2 4x 6y 8z +3 = 0.

x 2 + y 2 = 25
Bài 40. Với giá trị nào của m, hệ phơng trình:
có nghiệm?
mx y = 3m 4
x 2 + y 2 = 2a
Bài 62. Cho hệ phơng trình:
. Xác định a để hệ có hai nghiệm phân biệt. Tìm các nghiệm đó.
2 xy + 1 = 2a
x + y 2 + z 3 = 14

Bài 41. Giải hệ phơng trình: 1
1
1 x y z (x, y, z là các số dơng)
2 x + 3 y + 6 z ữ 2 + 3 + 6 ữ = 1



x y
+ =m
Bài 42. Cho hệ phơng trình: y x
. Xác định m để hệ phơng trình có nghiệm kép.
x + y = 8

x y = m
Bài 43. Cho hệ phơng trình: 2
. Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó.

2
y + x =1
xy + x + y = 71
Bài 44. Cho x, y là hai số nguyên dơng sao cho: 2
. Tìm giá trị của biểu thức: M = x2 +y2.
2
x
y
+
xy
=
880

x + my = m + 1
Bài 45. Cho hệ phơng trình:
mx + y = 3m 1
a. Giải và biện luận hệ phơng trình trên.
b. Không giải hệ phơng trình, cho biết với giá trị nào của m thì hệ phơng trình có nghiệm duy nhất?


(a + 1) x y = a + 1
Bài 46. Cho hệ phơng trình:
(a là tham số).
x + ( a 1) y = 2
a. Giải hệ phơng trình với a = 2.
b. Giải và biện luận hệ phơng trình.
c. Tìm giá trị nguyên của a để hệ phơng trình có nghiệm nguyên.
d. Tìm giá trị của a để nghiệm của hệ thỏa mãn điều kiện x + y nhỏ nhất.
Bài 47. Lập phơng trình đờng thẳng đi qua gốc O và song song với AB biết:
A(-1; 1), B(-1; 3).

A(1; 2), B(3; 2).
A(1; 5), B(4; 3).
Bài 48. Cho ba điểm A(-1; 6), B(-4; 4), C(1; 1). Tìm tọa độ đỉnh D của hình bình hành ABCD.
Bài 49. Cho bốn điểm: A(0; -5), B(1; -2), C(2; 1), D(2,5; 2,5). Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng.
Bài 50. Cho bốn điểm A(1; 4), B(3; 5), C(6; 4), D(2; 2). Hãy xác định tứ giác ABCD là hình gì?
2(m + 1) x + (m + 2) y = m 3
Bài 51. Tìm giá trị của m để hệ phơng trình sau vô nghiệm, vô số nghiệm:
(m + 1) x + my = 3m + 7
(m 1) x + 2my + 2 = 0
Bài 52. Cho hệ phơng trình:
(m là tham số).
2mx + (m 1) y (m 1) = 0
a. Giải hệ phơng trình trên.
b. Tìm giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x < 0, y < 0.
(m 1) x + y = 3m 4
Bài 53. Cho hệ phơng trình:
(m là tham số)
x + ( m 1) y = m
a. Giải hệ phơng trình.
b. Tìm giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm nguyên.
c. Tìm giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm dơng duy nhất.
x + my = m + 1
Bài 54. Cho hệ phơng trình:
(m là tham số)
mx + y = 3m 1
a. Giải hệ phơng trình.
b. Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện xy nhỏ nhất.
4 x 4 y + 2 z = 1
Bài 55. Các số không âm x, y, z thỏa mãn hệ phơng trình:
8 x + 4 y + z = 8

a. Biểu thị x và y theo z.
b. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y z.
Bài 56.
a. Tìm các giá trị nguyên của tham số a hoặc m để hệ phơng trình có nghiệm là số dơng, số âm.
ax 2 y = 1
3 x + 5 y = m
;


x + ay = 2
2 x + y = 1
2 x + y = m
b. Tìm giá trị nguyên của m để hệ phơng trình sau:
có nghiệm x > 0 và y < 0.
3 x 2 y = 5
mx y = 2
m2
c. Với giá trị khác 0 nào của m thì hệ phơng trình:
có nghiệm thỏa mãn x + y = 1 2
m +3
3 x + my = 5
Bài 57.
a.x + y = 3
1. Cho hệ phơng trình:
x + 1 + y = 2
a. Giải hệ phơng trình với a = 2.
b. Tìm giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất.
2. Tìm các giá trị của a để hệ phơng trình sau vô nghiệm.

C.1. Kiến thức cơ bản

C. Phơng trình

C.1.1. Phơng trình bậc nhất một ẩn
a. Định nghĩa
- Phơng trình có dạng ax + b = 0. Trong đó a, b R và a 0
b. Cách giải và biện luận
- Nếu a = 0. Khi đó: + b = 0 thì phơng trình có VSN
+ b 0 thì phong trình VN
- Nếu a 0. Khi đó phơng trình có nghiệm duy nhất x = - b/a
C.1.2. Phơng trình bậc hai một ẩn
a. Định nghĩa
- Phơng trình có dạng: ax2 + bx + c = 0. Trong đó a, b, c R và a 0
b. Cách giải và biện luận
- Nếu a = 0. Phơng tình có dạng bx + c = 0: Phơng trình bậc nhất
- Nếu a 0. Khi đó = b 2 4ac (hoặc ' = b '2 ac )
+ < 0 (hoặc ' < 0 ): Pt vô nghiệm
b
b'
+ = 0 (hoặc ' = 0 ): Pt có nghiệm kép x1 = x2 =
(hoặc x1 = x2 = )
2a
a
+ > 0 (hoặc ' > 0 ): Pt có hai nghiệm phận biệt
b ' '
b
(hoặc x1,2 =
)
x1,2 =

a
2a
Chú ý: Nếu phơng trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì ta có thể viết
ax2 + bx + c = a(x x1)(x x2)
C.1.3. Định lí Viet
a. Định lí thuận
- Nếu phơng trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì tổng và tích hai nghiệm đó là S = x1 + x2 =

b
và
a

c
a
b. Định lí đảo
- Nếu hai số x và y có tổng x1 + x2 = S và tích x1.x2 = P thỏa mãn S 2 4 P thì hai số x và y là hai nghiệm của phơng trình t2 St + P = 0
C.2. Kiến thức bổ sung
P = x1.x2 =

C.2.1. Phơng trình đa thức, phơng trình bậc cao
C.2.2. Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
C.2.3. Phơng trình vô tỉ
C.2.4. Phơng trình nghiệm nguyên
C.3. Bài tập chọn lọc
Bài 1. Tìm các giá trị của m để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung
x2 + mx + 1 = 0;
x2 + x + m = 0
2
Bài 2. Cho hai phơng trình x + p1x + q1 = 0;
x2 + q2x + q2 = 0

Chứng minh rằng nếu p1 p2 2(q1 + q2 ) thì ít nhất một trong hai phơng trình đã cho có nghiệm
Bài 3. Với giá trị bào của k thì hai phơng trình sau:
2x2 + (3k + 1)x - 9 = 0;
6x2 + (7k 1)x - 19 = 0
Có ít nhất một nghiệm chung, tìm nghiệm chung đó
Bài 4. Chứng minh rằng phơng trình sau luôn có nghiệm với mọi a, b, c
(x a)(x b) + (x b)(x c) + (x c)(x a) = 0
Bài 5. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của m ột tam giác. Chứng minh phơng trình sau vô nghiệm:
a2x2 + (a2 + b2 c2)x + b = 0


Bài 6. Cho ba phơng trình
x2 + 2ax + ac = 0; x2 2bx + ab c = 0;
x2 + 2cx + c = 0
Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phơng trình trên có nghiệm
Bài 7. Cho phơng trình: ax2 + bx + c = 0. Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm nếu một trong hai điều kiện
sau đợc thỏa mãn
a. a(a + 2b + c) < 0
b. 5a + 3b + 2c = 0
Bài 8. Tìm các giá trị của k để phơng trình: kx2 (1 2k)x + k 2 = 0 có nghiệm là số hữu tỉ.
Bài 10. Cho phơng trình: 2x2 3x + 1 = 0. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình . Không giải phơng trình hãy tìm
giá trị các biểu thức sau:
1 1
1 x1 1 x2
x1
x
+
+ 2
a. A = +
b. B =

c. C = x12 + x22
d. D =
x1 x2
x1
x2
x2 + 1 x1 + 1
2
Bài 11. Cho phơng trình: x + (2m 1)x m = 0
a. Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
b. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị của m để biểu thức A = x12 + x22 6 x1 x2 đạt giá trị
nhỏ nhất
Bài 12. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình: 3x2 + 5x 6 = 0. Không giải phơng trình hãy lập phơng trình bậc
hai ẩn y có các nghiệm
1
1
y1 = x1 + ; y2 = x2 +
x2
x1
Bài 13. Cho phơng trình x 2 2 3 x + 1 = 0 . Không giải phơng trình hãy tính giá trị của biểu thức
3x 2 + 5 x x + 3x 2
a. A = x13 + x23
b. B = 1 3 1 2 3 2
4 x1 x2 + 4 x1 x2
2
Bài 14. Cho phơng trình (k 1)x 2kx + k 4 = 0. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình trên, hãy lập hệ thức
liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào k
Bài 15. Tìm các giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phơng trình:
a. x2 + (m 2)x + m + 5 = 0 thỏa mãn x12 + x22 = 10
b. x2 - (m + 3)x + 2(m + 2) = 0 thỏa mãn x1 = 2x2
c. x2 - mx + m + 1 = 0 thỏa mãn x1x2 + 2(x1 + x2) -19 = 0

Bài 16. Cho phơng trình bậc hai: mx2 (5m 2)x + 6m - 5 = 0
a. Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm là hai số đối nhau
b. Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau
Bài 17. Cho phơng trình: x2 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0
Tìm các giá trị của m để hai nghiệm x1, x2 của phơng trình thỏa mãn
A = 10 x1 x2 + x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó
Bài 18. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình
2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = |x1x2 - 2x1 2x2|
Bài 19. Cho phơng trình: x2 mx + m 1 = 0
a. Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
b. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 x1 x2 + 3
P= 2
x1 + x22 + 2( x1 x2 + 1)
Bài 20. Cho phơng trình: x2 + px + q = 0
Tìm các giá trị của p và q sao cho hai nghiệm của phơng trình thỏa mãn
x1 x2 = 5
3 3
x1 x2 = 35
Bài 21. Cho phơng trình bậc hai: x2 2x m2 = 0 có các nghiệm x1, x2. Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm y1,
y2 sao cho:
a. y1 = x1 3, y2 = x2 3
b. y1 = 2x1 1, y2 = 2x2 1


Bài 22. Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm thỏa mãn:
x1 x2 = 2
3 3
x1 x2 = 26

Bài 23. Chứng minh rằng trong ba phơng trình sau có ít nhất một phơng trình cú nghiệm
x2 + ax + b - 1 = 0
x2 + bx + c - 1 = 0
x2 + cx + a - 1 = 0
Bài 24. Cho 2 phơng trình:
x2 + 2x + a = 0 (1) và (1 + a)(x2 + 2x + a) 2(a 1)(x2 + 1) = 0 (2)
Chứng minh rằng nếu phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) vô nghiệm.
Bài 25. Cho phơng trình: x2 2(m + 1)x + m 1 = 0.
a. Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b. Chứng minh rằng biểu thức: A = x1(1 x1) + x2(1 x2) tron đó x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình
không phụ thuộc vào m
Bài 26. Cho phơng trình (m 1)x2 2mx + m + 4 = 0
a. Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
b. Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm có tích bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của phơng trình
c. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
x1 x2 5
+ + =0
d. Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức:
x2 x1 2
Bài 27. Tìm các giá trị của m và n để hai phơng trình sau tơng đơng
x2 + (4m + 3n)x 9 = 0.
x2 + (3m + 4n)x + 3n = 0
Bài 28. Cho phơng trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm dơng phân biệt x1, x2
a. Chứng minh rằng phơng trình cx2 + bx + a = 0 cũng có hai nghiệm dơng phân biệt
b. Chứng minh rằng S = x1 + x2 + x3 + x4 4
Bài 29. Cho phơng trình: x2 (2m + 1)x + m2 + m = 0
a. Biết rằng phơng trình có một nghiệm x1 = 2,tìm m rồi tìm nghiệm còn lại
b. Tìm các giá trị của m để các nghiệm của phơng trình thỏa mãn bất đẳng thức
-2 < x1 < x2 < 4
Bài 30. Tìm a sao cho nghiệm của phơng trình

x4 + 2x2 + 2ax + a2 + 2a + 1 = 0.
Đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Bài 31. Cho a, b, c là ba số dơng khác nhau có tổng bằng 12. Chứng minh rằng trong ba phơng trình sau:
x2 + ax + b = 0
x2 + bx + c = 0
x2 + cx + a = 0.
Có một phơng trình vô nghiệm, một phơng trình có nghiệm
1
2
Bài 32. Cho biết phơng trình x2 + bx + c = 0, với b, c là các số hữu tỉ có một nghiệm là +
. Tìm các cặp số (b, c)
2 4
Bài 33. Biết số đo độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của phơng trình bậc hai: (m 2)x2
2
2(m 1)x + m = 0. Tìm m để số đo chiều cao ứng với cạnh huyền là
5
Bài 34. Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phơng trình sau thỏa mãn điều kiện: x12 + x22 = 1 :
mx2 2(m 2)x + (m 3) = 0.
Bài 35. Cho phơng trình: mx2 2(m + 1)x + (m 4) = 0 (m là tham số).
1. Tìm m để phơng trình có nghiệm.
2. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn
hơn.
3. Xác định m để các nghiệm x1, x2 của phơng trình thỏa mãn x1 + 4x2 = 3.
4. Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m.
Bài 36. Cho phơng trình x2 2(m 2)x + (m2 + 2m 3) = 0.


1 1 x1 + x2
+ =
.

x1 x2
5
Bài 37. Chứng minh rằng tồn tại một phơng trình có các hệ số hữu tỉ nhận một trong các nghiệm là:
3 5
2+ 3
2+ 3
3+ 5
2 3
Bài 38. Cho phơng trình x2 + 5x 1 = 0 (1)
Không giải phơng trình (1), hãy lập một phơng trình bậc hai có các nghiệm là lũy thừa bậc bốn của các nghiệm
phơng trình (1).
Bài 39. Xác định các số m, n của phơng trình x2 + mx + n = 0 sao cho các nghiệm của phơng trình cũng là m và n.
Bài 40. Chứng minh rằng phơng trình sau có nghiệm với mọi a và b:
(a + 1)x2 2(a + b)x + (b 1) = 0.
Bài 41. Chứng minh rằng phơng trình sau có nghiệm với mọi m:
x2 (3m2 5m + 1)x (m2 4m + 5) = 0.
4 x 3 y = 7
Bài 42. Tìm giá trị của m để hệ phơng trình sau có nghiệm: 2
2
2 x + 5 y = m
Bài 43. Tìm giá trị của a để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung:
x2 + ax + 8 = 0 (1) và x2 + x + a = 0 (2).
Bài 44. Tìm giá trị của m để phơng trình sau có ít nhất một nghiệm x 0:
(m + 1)x2 2x + (m 1) = 0.
Bài 45. Xác định m để phơng trình: (m + 1)x2 2(m + 2)x + 2(m + 1) = 0 có hai nghiệm cùng âm, cùng dơng, và trái
dấu nhau
Bài 46. Tìm giá trị của m để phơng trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt: x3 m(x + 1) + 1 = 0.
Bài 47. Chứng minh rằng phơng trình sau có nghiệm với mọi a, b và c:
x(x a) + x(x b) + (x a)(x b) = 0
(x a)(x b) + (x b)(x c) + (x c)(x a) = 0.

Bài 48. Chứng minh rằng với mọi a, b, c khác 0, tồn tại một trong các phơng trình sau có nghiệm:
ax2 + 2bx + c = 0; bx2 + 2cx + a = 0; cx2 + 2ax + b = 0
Bài 49. Chứng minh rằng phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có nghiệm biết rằng
5a + 2c = b.
Bài 50. Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng phơng trình sau có nghiệm:
(a2 + b2 c2)x2 4abx + (a2 + b2 c2) = 0.
2b c
+4.
Bài 51. Chứng minh rằng phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có nghiệm nếu
a a
Bài 52. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phơng trình sau có nghiệm nếu
bm = 2(c + n):
x2 + bx + c = 0 và x2 + mx + n = 0.
Bài 53. Cho phơng trình bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a 0)
Chứng minh rằng nếu tồn tại số thực mà af() 0 thì phơng trình có nghiệm.
Bài 54. Cho phơng trình: f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a 0) (1)
Chứng minh rằng nếu tồn tại hai giá trị , của x mà f(x) đổi dấu (tức là f ( ). f ( ) 0 ) thì phơng trình (1)
có nghiệm.
Bài 55. Cho biết các phơng trình ax2 + bx +2 c = 0 và ax2 + bx c = 0 (a 0) có nghiệm. Vận dụng bài 22 để chứng
minh phơng trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm.
3 x + y = 1
Bài 56. Với giá trị nào của a thì hệ phơng trình sau có nghiệm: 2
2
x + y = a
Bài 57. Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung:
x2 + 2x + m = 0 (1) và x2 + mx + 2 = 0 (2).
Bài 58. Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung:
x2 + (m 2)x + 3 = 0 và 2x2 + mx + m + 2 = 0.
Bài 59. Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung:
2x2 + (3m 5)x - 9 = 0 và 6x2 + (7m-15)x -19 = 0.

Bài 60. Tìm giá trị nguyên của a để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung:
2x2 + (3m 1)x 3 = 0 và 6x2 (2m 3)x 1 = 0.
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 phân biệt thỏa mãn


Bài 61. Tìm giá trị của m để một nghiệm của phơng trình 2x2 13x + 2m = 0 (1) gấp đôi một nghiệm của phơng
trình x2 4x + m = 0 (2).
Bài 62. Cho các số a, b, c khác nhau đôi một, c 0. Biết rằng các phơng trình
x2 + ax + bc = 0(1) và x2 + bx + ca = 0 (2) có ít nhất một nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó.
Bài 63. Cho các phơng trình: ax2 + bx + c = 0 (1) và cx2 + dx + a = 0 (2)
Biết rằng phơng trình (1) có các nghiệm m và n, phơng trình (2) có các nghiệm p và q. Chứng minh rằng:
m2 + n2 + p2 + q2 4.
Bài 64. Cho các phơng trình: ax2 + bx + c = 0 (1) và cx2 + bx + a = 0 (2).
1. Biết phơng trình (1) có nghiệm dơng m,
2. Chứng minh rằng phơng trình (2) có nghiệm n sao cho m + n 2.
Bài 65. Cho các phơng trình: ax2 + bx + c = 0 (1) và cx2 + bx + a = 0 (2).
Tìm liên hệ giữa các số a, b, c biết rằng các nghiệm x1, x2 của phơng trình (1), các nghiệm x3, x4 của phơng
trình (2) thỏa mãn đẳng thức: x12 + x22 + x32 + x42 = 4 .
Bài 66. Phơng trình x2 + bx + c = 0 có nghiệm x1, x2. Phơng trình x2 b2x + bc = 0 có nghiệm x3, x4.
Biết x3 x1 = x4 x2 = 1. Xác định b và c.
Bài 67. Tìm các số a, b sao cho các phơng trình: x2 + ax + 6 = 0 và x2 + bx + 12 = 0 có ít nhất một nghiệm chung và
a + b nhỏ nhất.
Bài 68. Tìm m để phơng trình x2 + mx + 2m 4 = 0 có ít nhất một nghiệm không âm.
2
2
Bài 69. Tìm m để phơng trình x + 2m x 2 4 x + m + 3 = 0 có nghiệm.
Bài 70. Tìm m để phơng trình 3x2 4x + 2(m 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2.
Bài 71. Tìm m để phơng trình (m 1)x2 (m 5)x + (m 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn -1.
Bài 72. Với giá trị nào của m thì hai nghiệm của phơng trình x2 + x + m = 0 đều lớn hơn m?
Bài 73. Tìm giá trị của m để phơng trình sau có ba nghiệm phân biệt:

x3 (m + 1)x2 + (m2 + m 3)x m2 + 3 = 0.
Bài 74. Tìm giá trị của m để phơng trình sau có nghiệm:
(m 3)x4 2mx2 + 6m = 0.
Bài 75. Tìm giá trị của m để phơng trình: mx4 10mx2 + m + 8 = 0
1. Có bốn nghiệm phân biệt.
2. Có bốn nghiệm x1, x2, x3, x4 (x1< x2< x3< x4) thỏa mãn điều kiện:x4 x3 = x3 x2 = x2 x1.
Bài 76. Cho phơng trình ẩn x: x2 2(m 1)x 3 m = 0.
1. Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm số với mọi m.
2. Tìm m sao cho nghiệm x1, x2 của phơng trình thỏa mãn điều kiện: x12 + x22 10 .
Bài 77. Cho phơng trình: x2 2mx + 2m 1 = 0.
1. Chứng tỏ phơng trình có nghiệm x1, x2 với mọi m.
2. Đặt A = 2( x12 + x22 ) 5 x1 x2
Chứng minh A = 8m2 18m + 9.
Tìm m sao cho A = 27.
3. Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia.
Bài 78. Cho phơng trình: (m 1)x2 + 2(m 1)x m = 0.
a. Định m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này.
b. Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều âm.
Bài 79. Cho phơng trình: x2 (2m 3)x + m2 3m = 0.
a. Chứng minh rằng, phơng trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi.
b. Định m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 1 < x1 < x2 < 6.
Bài 80. Cho hai phơng trình: x2 + x + a = 0 (1)
x2 + ax + 1 = 0 (2)
Tìm các giá trị của a để hai phơng trình:
a. Tơng đơng với nhau.
b. Có ít nhất một nghiệm chung.
Bài 81
a. Chứng minh hằng đẳng thức: (m2 + m 1)2 + 4m2 + 4m = (m2 + m + 1)2
b. Cho phơng trình: mx2 (m2 + m + 1)x + m + 1 = 0. Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm phân
biệt khác -1.

Bài 82. Gọi a, b là hai nghiệm của phơng trình: x2 + px + 1 = 0


Gọi c, d là hai nghiệm của phơng trình: y2 + qy + 1 = 0
Chứng minh hệ thức: (a c)(a d)(b c)(b d) = (p q)2.
Bài 83. Gọi a, b là hai nghiệm của phơng trình: x2 + px + 1 = 0
Gọi c, d là hai nghiệm của phơng trình: y2 + qy + 1 = 0
Chứng minh hệ thức: (a c) (b c) (a + d) (b + d) = q2 p2.
Bài 84. Cho phơng trình: (m + 2)x2 (2m 1)x 3 + m = 0.
1. Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi m.
2. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và khi đó hãy tìm giá trị của m
để nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia.
Bài 85. Cho phơng trình: x2 4x + m + 1 = 0.
1. Định m để phơng trình có nghiệm.
2. Tìm m sao cho phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x12 + x22 = 10 .
Bài 85. Cho phơng trình x2 2mx + m + 2 = 0.
1. Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm không âm.
2. Khi đó hãy tính giá trị của biểu thức: E = x1 + x2 theo m.
Bài 87. Cho phơng trình: 3x2 mx + 2 = 0. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn: 3x1x2 = 2x2 2.
Bài 88. Cho phơng trình: x2 2(m 1)x m = 0.
1. Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m.
1
1
2. Với m 0, lập phơng trình ẩn y thỏa mãn: y1 = x1 + , y2 = x2 + .
x2
x1
5
Bài 89. Cho phơng trình: 3x2 5x + m = 0. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn: x12 x22 = .
9
Bài 90. Cho phơng trình: x2 2(m + 4)x + m2 8 = 0. Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

A = x1 + x2 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất.
B = x12 + x22 x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 91. Cho phơng trình: x2 4x (m2 + 3m) = 0.
1. Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi m.
2. Xác định m để: x12 + x22 = 4( x1 + x2 ) .
y1
y
+ 2 =3.
3. Lập phơng trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1 và y2 thỏa mãn: y1 + y2 = x1 + x2,
1 y2 1 y1
2

2

x x
Bài 92. Cho phơng trình: x + ax + 1 = 0. Xác định a để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 1 ữ + 2 ữ > 7.
x2 x1
2
2
Bài 93. Cho phơng trình: 2x + 2(m + 2)x + m + 4m + 3 = 0.
1. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2.
2

2


2
2. Chứng minh rằng các nghiệm x1, x2 thỏa mãn bất đẳng thức: x1 + x2 + 3x1 x2 1 +
ữ.

2 ữ


2
Bài 94. Cho phơng trình: ax + bx + c = 0 (a 0). Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiệm
mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia là: 9ac = 2b2.
Bài 95. Cho phơng trình: ax2 + bx + c = 0 (a 0). Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiệm
mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia (k > 0) là: kb2 = (k + 1)2 ac.
Bài 96. Cho hai phơng trình: x2 + mx + 2 = 0 (1) x2 + 2x + m = 0 (2)
a. Định m để hai phơng trình có ít nhất một nghiệm chung.
b. Định m để hai phơng trình tơng đơng.
c. Xác định m để phơng trình: (x2 + mx +2)(x2 + 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 97. Với giá trị nào của tham số a và b, các phơng trình:
(2a + 1)x2 (3a 1)x + 2 = 0 và (b + 2)x2 (2b + 1)x 1 = 0 có hai nghiệm chung.
Bài 98. Với giá trị nào của tham số k, hai phơng trình sau có nghiệm chung:
2x2 + (3k + 1)x 9 = 0 và 6x2 + (7k 1)x 19 = 0.
Bài 99. Với giá trị nào của số nguyên p, các phơng trình sau đây có nghiệm chung: 3x2 4x + p 2 = 0; x2 2px +
5 = 0.


Bài 100. Cho phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 với a, b, c là các số hữu tỉ, a 0. Cho biết phơng trình có một
nghiệm 1 + 2 . Hãy tìm nghiệm còn lại.
Bài 101. Tìm tất cả các số nguyên k để phơng trình: kx2 (1 2k)x + k 2 = 0 luôn luôn có nghiệm số hữu tỷ.
Bài 102. Cho phơng trình: 3x2 + 4(a 1)x + a2 4a + 1 = 0 xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2
x1 + x2 1 1
= + .
thỏa mãn hệ thức:
2
x1 x2
Bài 103. Cho biết phơng trình: x2 + px + 1 = 0 có 2 nghiệm là a và b, phơng trình:

x2 + qx + 2 = 0 có hai nghiệm b
và c. Chứng minh hệ thức: (b a)(b c) = pq 6.
Bài 104. Cho các phơng trình:x2 5x + k = 0 (1) x2 7x + 2k = 0 (2)
Xác định k để một trong các nghiệm của phơng trình (2) lớn gấp hai một trong các nghiệm của phơng trình (1).
Bài 105. Cho hai phơng trình:
2x2 + mx 1 = 0 (1)
mx2 x + 2 = 0 (2)
Với giá trị nào của m, phơng trình (1) và phơng trình (2) có nghiệm chung.
Bài 106. Giả sử x1 và x2 là hai nghiệm của phơng trình: 3x2 cx + 2c 1 = 0. Tính theo c giá trị của biểu thức:
1 1
S= 3+ 3.
x1 x2
Bài 107. Xác định a để 2 phơng trình: x2 + ax + 8 = 0 và x2 + x + a = 0 có nghiệm chung.
Bài 108. Cho phơng trình: 2x2 + 6x + m = 0. Với giá trị nào của tham số m, phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2
x1 x2
+ =2.
thỏa mãn:
x2 x1
Bài 109. Cho biết x1, x2 là hai nghiệm phân biệt khác 0 của phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a 0; a, b, c R ).
1 1
Hãy lập một phơng trình bậc hai có các nghiệm là: 2 , 2 .
x1 x2
Bài 110. Biết rằng x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình: ax2 + bx + c = 0. Hãy viết phơng trình bậc hai nhận x13 , x23 làm
hai nghiệm.
Bài 111. Cho f(x) = x2 2(m + 2)x + 6m + 1.
1. Chứng minh rằng phơng trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m.
2. Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2.
Bài 112. Cho phơng trình: x2 (2m + 1)x + m2 + m 6.
1. Định m để phơng trình có hai nghiệm đều âm.
3

3
2. Định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 x2 = 50 .
Bài 113. Chứng minh rằng phơng trình: (x + 1)(x + 3) + m(x + 2)(x + 4) = 0. Luôn luôn có nghiệm số thực với mọi giá
trị của tham số m.
Bài 114. Cho phơng trình: x2 6x + m = 0. Với giá trị nào của tham số m, phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2
thỏa mãn x13 + x23 = 72 .
Bài 115. Giả sử a và b là hai số khác nhau. Chứng minh rằng nếu phơng trình:
x2 + ax + 2b = 0 (1) và x2 + bx + 2a = 0 (2) có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm còn lại của (1) và (2) là nghiệm
của phơng trình: x2 + 2x + ab = 0.
Bài 116. Cho phơng trình: x2 (m 1)x m2 + m - 2 = 0.
1. Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m.
2. Với giá trị nào của tham số m, biểu thức: E = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 117. Cho hai phơng trình: x2 + a1x + b1 = 0 và x2 + a2x + b2 = 0
Cho biết a1a2 2(b1 + b2). Chứng minh ít nhất một trong hai phơng trình đã cho có nghiệm.
Bài 118. Cho ba phơng trình: ax2 + 2bx + c = 0 (1)
bx2 + 2cx + a = 0 (2)
cx2 + 2ax + b = 0 (3)
với a, b, c khác 0. Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phơng trình trên phải có nghiệm.
Bài 119. Cho phơng trình: x2 2(m 1)x + m2 3m + 4 = 0.
1 1
1. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: + = 1 .
x1 x2
2. Lập một hệ thức giữa x1 và x2 độc lập với m.
Bài 120. Cho phơng trình: (m + 2)x2 2(m 1)x + 3 m = 0.
1. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x12 + x22 = x1 + x2 .


2. Lập một hệ thức giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m
x1 1
x 1

, X2 = 2
3. Lập một phơng trình bậc hai có các nghiệm là: X 1 =
.
x1 + 1
x2 + 1
Bài 121. Cho phơng trình: x2 + (m + 1)x + m = 0.
1. Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m.
2. Với giá trị nào của tham số m, biểu thức: E = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 122. Cho phơng trình: (a 3)x2 2(a 1)x + a 5 = 0.
1. Giải phơng trình khi a = 13.
2. Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 123. Cho phơng trình: 2x2 + (2m 1)x + m 1 = 0.
1. Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.
2. Xác định m để phơng trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm đó.
3. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: -1 < x1 < x2 < 1.
4. Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2, hãy lập một hệ thức giữa x1, x2 không có m.
Bài 124. Cho phơng trình: x2 2(m 1)x + m 3 = 0.
1. Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.
2. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm đối nhau.
Bài 125. Cho phơng trình: x2 + ax + b = 0. Xác định a và b để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x1
x2 = 5 và x13 x23 = 35 . Tính các nghiệm đó.
Bài 126. Giả sử phơng trình: ax2 + bx + c = 0; (a, b, c khác 0) có hai nghiệm phân biệt trong đó có đúng một nghiệm
dơng x1 thì phơng trình: ct2 + bt + a = 0 cũng có hai nghiệm phân biệt trong đó t1 > 0 thỏa mãn: x1 + t1 2.
Bài 127. Cho hai phơng trình: ax2 + bx + c = 0 (1) cx2 + bx + a = 0 (2) (a, b, c khác 0).
Chứng minh rằng nếu (1) có hai nghiệm dơng x1, x2 thì (2) cũng có hai nghiệm x3 và x4. Ngoài ra các nghiệm đó thỏa
mãn: x1 + x2 + x3 + x4 4.
3x 2 + 5 x x + 3x 2
Bài 128. Không giải phơng trình: 3x2 + 17x 14 = 0. Hãy tính giá trị của biểu thức: S = 1 2 1 2 2 2 . Với x1, x2
4 x1 x2 + 4 x1 x2
là hai nghiệm của phơng trình.

Bài 129.
1. Không giải phơng trình, hãy tính hiệu các lập phơng của các nghiệm lớn và nghiệm nhỏ của phơng trình:
85
5
x2
x +1 = 0 .
4
16
2. Với giá trị nào của số nguyên a, các nghiệm của phơng trình:
ax2 + (2a 1)x + a 2 = 0 là các số hữu tỷ.
Bài 130. Cho phơng trình: 2x2 (2m + 1)x + m2 9m + 39 = 0.
1. Giải phơng trình khi m = 9.
2. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
3. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm mà một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại. Tìm các nghiệm đó.
Bài 131. Cho phơng trình: x2 + ax + b = 0. Xác định a và b để phơng trình có hai nghiệm là a và b.
Bài 132. Cho f(x) = (4m 3)x2 3(m + 1)x + 2(m + 1).
1. Khi m = 1, tìm nghiệm của phơng trình f(x) = 0.
2. Xác định m để f(x) viết đợc dới dạng một bình phơng.
3. Giả sử phơng trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Lập một hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 133. Cho x, y > 0 thỏa mãn hệ thức: x x + y = 3 y ( x + 5 y ) . Hãy tính giá trị của biểu thức:

(

E=

)

2 x + xy + 3 y

.

x + xy y
Bài 134. Cho phơng trình ẩn x: x2 2(m 1)x 3 m = 0.
Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm số với mọi m.
Tìm m sao cho nghiệm x1, x2 của phơng trình thỏa mãn điều kiện: x12 + x22 10 .
Với giá trị nào của tham số m, biểu thức: E = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 135. Cho 2 phơng trình: ax2 + bx + c = 0 và px2 + qx + r = 0 có ít nhất một nghiệm chung. Chứng minh rằng ta có
hệ thức: (pc ar)2 = (pb aq)(cq rb).


Bài 136. Cho hai phơng trình: x2 + ax + b = 0 và x2 cx d = 0. Các hệ số a, b, c, d thỏa mãn: a(a c) + c(c a)
+ 8(d b) > 0. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
Bài 137. Giả sử phơng trình: x2 + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên dơng. Chứng minh rằng: a2 + b2 là một hợp số.
Bài 138. Giả sử phơng trình: x2 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Xác định m để biểu thức:
E = x12 + x22 + 10 x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính min E.
Bài 139. Cho phơng trình: x2 + px 1 = 0 (p là số lẻ) có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Chứng minh rằng: nếu n là số tự
nhiên thì: x1n + x2n và x1n +1 + x2n +1 đều là các số nguyên và chúng nguyên tố cùng nhau.
Bài 140. Cho phơng trình: x2 2(m + 1)x + 4m = 0
a. Chứng minh rằng với mọi m, phơng trình luôn luôn có nghiệm. Tìm m để phơng trình có nghiệm kép. Tìm
nghiệm kép đó.
b. Xác định m để phơng trình có một nghiệm x = 4. Tính nghiệm còn lại.
Bài 141. Cho phơng trình: x2 mx + m 1 = 0. Có 2 nghiệm x1, x2. Với giá trị nào của m, biểu thức:
2 x1 x2 + 3
R= 2
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
x1 + x22 + 2(1 + x1 x2 )
Bài 142. Cho a là số thực khác -1. Hãy lập một phơng trình bậc hai có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn các hệ thức: 4x1x2 +
4 = 5(x1 + x2) (1)
1
(2)
( x1 1) ( x2 1) =

a +1
1
Bài 143. Cho a khác 0. Giả sử x1, x2 là nghiệm của phơng trình: x 2 a.x 2 = 0 . Chứng minh rằng:
2a
4
4
x1 + x2 2 + 2 . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
1
Bài 144. Cho a khác 0. Giả sử x1, x2 là nghiệm của phơng trình: x 2 a.x 2 = 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a
4
4
E = x1 + x2 .
Bài 145. Cho phơng trình: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0
a. Với giá trị nào của a, phơng trình có nghiệm kép. Tính các nghiệm kép.
b. Xác định a để phơng trình có hai nghiêm phân biệt lớn hơn -1.
Bài 146. Cho phơng trình: x2 ax + a + 1 = 0 có hai nghiệm là x1 và x2.
3 x12 + 3x22 3
M
=
a. Không giải phơng trình, hãy tính giá trị của biểu thức:
.
x12 x2 + x1 x22
b. Tìm giá trị của a để: P = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 147. Cho phơng trình: x2 (2m + 1)x + m2 + m 1= 0.
a. Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi m.
b. Chứng minh rằng có một hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
Bài 148. Cho phơng trình: ax2 + (ab + 1)x + b = 0.
a. Chứng minh rằng với mọi a, b phơng trình đã cho đều có nghiệm.
b. Muốn cho phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất bằng 1/2 thì a và b phải bằng bao nhiêu?

Bài 149. Cho phơng trình: x2 2mx m2 1 = 0.
a. Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m.
b. Tìm biểu thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
x1 x2
5
+ = .
c. Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
x2 x1
2
2
Bài 150. Cho phơng trình: (m 1)x 2(m + 1)x + m = 0.
a. Giải và biện luận phơng trình theo m.
b. Khi phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2:
Tìm một hệ thức giữa x1, x2 độc lập với m.
Tìm m sao cho: x1 x2 2 .
Bài 151. Cho phơng trình : x2 2x (m -1)(m 3) = 0.
a. Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
b. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm không âm.


c. Gọi x1, x2 là hai nghiệm. Xác định m để biểu thức: E = ( x1 + 1) x2 đạt giá trị lớn nhất.
Bài 152. Cho phơng trình: x2 + 2(m + 2)x 4m 12 = 0.
a. Chứng minh phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
b. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 = x22 .
Bài 153. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình: x2 3x + a = 0
Gọi t1, t2 là hai nghiệm của phơng trình: t2 12t + b = 0
x1 x2 t1
=
= . Tính a và b.
Cho biết:

x2 t1 t2

D.1. Kiến thức cơ bản

D. Bất phơng trình

D.2. Bài tập chọn lọc

E.1. Kiến thức cơ bản

E. Hàm số và đồ thị

E.1.1. Hàm số
a. Khái niệm hàm số
- Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định đợc chỉ một
giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số tơng ứng của x và x đợc gọi là biến số
- Hàm số có thể cho bởi bảng hoặc công thức
b. Đồ thị hàm số
- Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả những điểm M trong mặt phẳng tọa độ có tọa độ thỏa mãn phơng trình y =
f(x) (Những điểm M(x, f(x)) trên mặt phẳng tọa độ)
c. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
* Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R
- Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R
- Nếu x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R
* Tổng quát
f ( x2 ) f ( x1 )
> 0, x1 , x2 D, x1 x2 Hàm số f(x) đồng biến trên D
+
x2 x1
f ( x2 ) f ( x1 )

< 0, x1 , x2 D, x1 x2 Hàm số f(x) nghịch biến trên D
+
x2 x1
E.1.2. Hàm số bậc nhất
a. Khái niệm hàm số bậc nhất
- Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các số cho trớc và a 0
b. Tính chất
Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau:
- Đồng biến trên R khi a > 0
- Nghịch biến trên R khi a < 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0)
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) là một đờng thẳng
- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
- Song song với đờng thẳng y = ax, nếu b 0, trùng với đờng thẳng y = ax, nếu b = 0
* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0)
Bớc 1. Cho x = 0 thì y = b ta đợc điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.
Cho y = 0 thì x = -b/a ta đợc điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành
Bớc 2. Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm P và Q ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b
d. Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng
Cho hai đờng thẳng (d): y = ax + b (a 0) và (d): y = ax + b (a 0). Khi đó


a = a '
+ d // d '
b b '

+ d ' d ' = { A} a a '
a = a '
+ d d'
b = b '

+ d d ' a.a ' = 1
e. Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b (a 0)
Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox.
- Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao điểm của đờng
thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b và có tung độ dơng
Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b
- Hệ số a trong phơng trình y = ax + b đợc gọi là hệ số góc của đờng thẳng y = ax +b
f. Một số phơng trình đờng thẳng
- Đờng thẳng đi qua điểm M0(x0;y0)có hệ số góc k: y = k(x x0) + y0
x
y
+
=1
- Đờng thẳng đi qua điểm A(x0, 0) và B(0; y0) với x0.y0 0 là
x0 y0
E.1.3. Hàm số bậc hai
a. Định nghĩa
- Hàm số có dạng y = ax2 (a 0)
b. Tính chất
- Hàm số y = ax2 (a 0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và:
+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0
+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax2 (a 0)
- Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dời trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị
E.2. Kiến thức bổ xung
E.2.1. Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng
Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) và B(x2, y2). Khi đó
- Độ dài đoạn thẳng AB đợc tính bởi công thức

AB = ( xB x A ) 2 + ( yB y A ) 2
- Tọa độ trung điểm M của AB đợc tính bởi công thức
x +x
y + yB
xM = A B ; yM = A
2
2
2
E.2.2. Quan hệ giữa Parabol y = ax (a 0) và đờng thẳng y = mx + n (m 0)
Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đờng thẳng (d): y = mx + n. Khi đó
- Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phơng trình
y = ax 2

y = mx + n
- Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phơng trình
ax2= mx + n (*)
- Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phơng trình (*)
+ Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung
+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau
+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
E.2.3. Một số phép biến đổi đồ thị
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C)
- Đồ thị (C1): y = f(x) + b đợc suy ra bằng cách tịnh tiến (C) dọc theo trục tung b đơn vị
- Đồ thị (C2): y = f(x + a) đợc suy ra bằng cách tịnh tiến (C) dọc theo trục hoành a đơn vị