LUẬN VĂN MỘT SỐ TÀI LIỆU VỀ DÃY SỐ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG


NGUYỄN THỊ THÙY NHI

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC VỀ DÃY SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG


NGUYỄN THỊ THÙY NHI

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC VỀ DÃY SỐ

Chuyên ngành: Phƣơng pháp toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN DUY THÁI SƠN

Đà Nẵng – Năm 2015

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan
Những nội dung được trình bày trong luận văn này là do tôi thực hiện
dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Duy Thái Sơn
Mọi tài liệu trong luận văn đều được trích dẫn rõ ràng và trung thực tên
tác giả, tên công trình, thời gian và địa điểm công bố.
Nếu có sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo tôi xin chịu hoàn
toàn trách nhiệm.

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Thùy Nhi


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Tính cấp thiết của đề tài ........................................................................ 1
2. Mục tiêu nghiên cứu ............................................................................. 1
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu......................................................... 2
4. Phƣơng pháp nghiên cứu ...................................................................... 2
5. Bố cục đề tài .......................................................................................... 2
6. Tổng quan tài liệu nghiên cứu………………………………………...2
CHƢƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ....................................................... 3
1.1. DÃY SỐ ............................................................................................. 3
1.2. DÃY SỐ BỊ CHẶN............................................................................ 4
1.3. DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU ......................................................................... 5
1.4. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN ................................................... 5
1.5. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ CÁC ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN ........ 8
CHƢƠNG II: XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ12
2.1. SỬ DỤNG CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN ĐỂ TÌM CÔNG

THỨC TỔNG QUÁT CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ ............................... 12
2.2. DÙNG PHÉP THẾ LƢỢNG GIÁC ĐỂ XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC
TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ ........................................................................ 16
2.3. ỨNG DỤNG PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀO
BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ ....... 20
2.4. ỨNG DỤNG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐỂ XÁC ĐỊNH CÔNG
THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ ............................................................ 29
2.5. PHƢƠNG PHÁP SỬ DỤNG HÀM SINH TÌM CÔNG THỨC
TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ ........................................................................ 36


CHƢƠNG III: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH SỰ TỒN
TẠI HOẶC TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ.............................................. 45
3.1. SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ BỊ CHẶN ................................ 45
3.2. DÙNG HÀM CO VÀ ĐỊNH LÝ LAGRANGE ............................. 50
3.3. PHƢƠNG PHÁP DÃY PHỤ .......................................................... 52
3.4. DÙNG GIỚI HẠN HÀM SỐ .......................................................... 56
3.5. SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN KẸP .................................... 58
3.6. DÙNG ĐỊNH LÝ STOLZ – CESARO ........................................... 61
3.7. SỬ DỤNG TỔNG TÍCH PHÂN ..................................................... 65
3.8. PHƢƠNG PHÁP LẤY TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ..................... 70
KẾT LUẬN .................................................................................................... 72
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................71
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (Bản sao)


1

MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài

Dãy số chiếm một vị trí đặc biệt quan trọng trong Giải tích toán học: dãy
số không chỉ là một đối tƣợng để nghiên cứu mà nó còn đóng vai trò là một
công cụ đắc lực trong các mô hình rời rạc của giải tích, trong lý thuyết vi
phân hàm, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn... Các vấn đề liên quan đến
dãy số là rất phong phú. Có thể kể ra đây một số chủ đề thƣờng gặp: giới hạn
dãy số, công thức tìm số hạng tổng quát, tính đơn điệu và tính bị chặn của dãy
số, tính chất của dãy số nguyên...
Trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic toán học quốc tế, hay
những kì thi giải toán của nhiều tạp chí toán học thì các bài toán về dãy số
xuất hiện khá nhiều và đƣợc xem nhƣ những dạng toán loại khó ở bậc Trung
học phổ thông. Một trong các nội dung thƣờng gặp trong các bài toán về dãy
số là xác định số hạng tổng quát và tìm giới hạn của dãy số. Hiện nay đã có
nhiều tài liệu đề cập đến các khía cạnh khác nhau của dãy số. Tuy nhiên, các
tài liệu đƣợc hệ thống theo dạng toán cũng nhƣ phƣơng pháp giải thì chƣa có
nhiều và tôi mong muốn cung cấp cho các em học sinh, đặc biệt là các em học
sinh giỏi hoặc yêu thích toán, thêm một tài liệu tham khảo về dãy số. Tôi cố
gắng hệ thống các phƣơng pháp giải bài toán tìm số hạng tổng quát và bài
toán về giới hạn của dãy số.
Với những lý do trên và qua khả năng tìm hiểu, nghiên cứu, tôi chọn
“Một số vấn đề chọn lọc về dãy số” làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp bậc
cao học của mình.

2. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu của đề tài là nhằm hệ thống lại một số phƣơng pháp hiệu quả
để giải quyết bài toán xác định công thức tổng quát và chứng minh sự tồn tại


2

hoặc tìm giới hạn của dãy số. Đồng thời tìm hiểu thêm một số ứng dụng của

toán cao cấp vào việc giải quyết các bài toán có liên quan ở bậc THPT.

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Đối tƣợng nghiên cứu của đề tài là dãy số. Ngoài tổng quan về giới hạn
của dãy số, chúng tôi nghiên cứu một số dạng phƣơng trình sai phân tuyến
tính, sử dụng các kiến thức của đại số tuyến tính, hàm sinh trong việc xác
định công thức tổng quát của dãy số.
Phạm vi nghiên cứu: Đề tài chủ yếu đề cập đến phƣơng pháp xác định
công thức tổng quát của dãy số và chứng minh sự tồn tại hoặc tìm giới hạn
của dãy số.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Tham khảo các tài liệu viết về dãy số, đặc biệt là các tài liệu về xác định
công thức tổng quát và giới hạn của dãy số, sau đó hệ thống lại kiến thức.
Trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hƣớng dẫn để trình bày nội
dung các vấn đề của luận văn một cách phù hợp.

5. Bố cục đề tài
Luận văn đƣợc chia thành ba chƣơng:
Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị
Chƣơng 2: Xác định công thức tổng quát của dãy số
Chƣơng 3: Một số phƣơng pháp chứng minh sự tồn tại hoặc tìm giới hạn
của dãy số
6. Tổng quan tài liệu nghiên cứu
Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến Dãy
số và ứng dụng thực tế qua các ví dụ, bài tập áp dụng, nhằm xây dựng một tài
liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên cứu về Dãy số.
Đƣa ra một số bài toán, cũng nhƣ một số ví dụ minh họa nhằm làm cho
ngƣời đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề đƣợc đề cập.

3

CHƢƠNG I

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. DÃY SỐ
Định nghĩa 1.1.1.[3] Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên
dƣơng

* đƣợc gọi là một dãy số vô hạn (hay gọi tắt là dãy số).

Mỗi giá trị của hàm số u đƣợc gọi là một số hạng của dãy số; u (1) đƣợc
gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu); u (2) đƣợc gọi là số hạng thứ 2; …
Ngƣời ta thƣờng kí hiệu các giá trị u(1), u(2),... tƣơng ứng bởi u1 , u2 ,...
Dãy số với các số hạng un thƣờng đƣợc kí hiệu là un n1 hoặc  un  ,


hoặc  u1, u2 ,..., un ,... và gọi un là số hạng tổng quát của dãy số đó; số n đƣợc
gọi là chỉ số (số hiệu) của nó.
Trong luận văn này, nếu không có sự chú thích riêng biệt thì các dãy số
đƣợc xét là các dãy số thực.
Chú ý: Theo định nghĩa, dãy số luôn luôn chứa trong nó vô số số hạng
(có thể không hoàn toàn phân biệt). Tuy nhiên, ngƣời ta cũng gọi một hàm số
u xác định trên tập hợp gồm m số nguyên dƣơng đầu tiên (m tùy ý thuộc

*)

là một dãy số. Rõ ràng, dãy số trong trƣờng hợp này chỉ có hữu hạn số hạng
(m số hạng u1, u2 ,..., um ), vì thế ngƣời ta còn gọi nó là một dãy số hữu hạn; u1

đƣợc gọi là số hạng đầu và um là số hạng cuối của dãy số.
Ta xây dựng các phép toán trên dãy số nhƣ sau:
Giả sử cho  

và cho hai dãy số:

 an    a1, a2 ,..., an ,... ;
 bn    b1, b2 ,..., bn ,... ;


4

Định nghĩa 1.1.2. [3]
a. Dãy  cn  :  an  bn    a1  b1, a2  b2 ,..., an  bn ,... đƣợc gọi là tổng
của 2 dãy  an  và  bn  ;
b. Dãy  dn  :  an  bn    a1  b1, a2  b2 ,..., an  bn ,... đƣợc gọi là hiệu
của 2 dãy  an  và  bn  ;
c. Dãy  bn    b1, b2 ,..., bn ,... đƣợc gọi là tích của hằng số  và
dãy  bn  .
Nhƣ vậy tập hợp các dãy số lập thành một không gian vectơ.
1.2. DÃY SỐ BỊ CHẶN
Dãy số  un  đƣợc gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao
cho: n  *, un  M .
Dãy số  un  đƣợc gọi là dãy số bị chặn dƣới nếu tồn tại một số m sao
cho: n  *, un  m .
Dãy số  un  đƣợc gọi là dãy số bị chặn nếu vừa bị chặn trên, vừa bị chặn
dƣới. Nghĩa là, tồn tại một số M và một số m sao cho:
n  *, m  un  M .

Rõ ràng dãy số  un  bị chặn khi và chỉ khi tồn tại số dƣơng k sao cho:

n  *, un  k .

Ví dụ. Xét tính bị chặn của dãy số sau:
un  (1)n  cos n, n  * .

Giải. Với mọi n * ta có:
1  cos n  1
 2  (1)n  cos n  2.

Vậy dãy  un  bị chặn.


5

1.3. DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU
Dãy số  un  đƣợc gọi là một dãy số tăng (tƣơng ứng tăng nghiêm ngặt)
nếu với mọi n * ta có: un  un1 (tƣơng ứng un  un1 ).
Dãy số  un  đƣợc gọi là một dãy số giảm (tƣơng ứng giảm nghiêm ngặt)
nếu với mọi n * ta có: un  un1 (tƣơng ứng un  un1 ).
Dãy số tăng hay giảm đƣợc gọi là dãy số đơn điệu.
Ví dụ. Xét tính đơn điệu của dãy số sau:
n

1
un  n    , n  * .
2

Giải. n  * ta có:
1 1


un1  un  1  n   n1  0 ;
 2  2

Vậy  un  là một dãy tăng (nghiêm ngặt).
Chú ý:
Mọi dãy số  un  giảm luôn bị chặn trên bởi u1 .
Mọi dãy số  un  tăng luôn bị chặn dƣới bởi u1 .
1.4. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Định nghĩa 1.4.1.[3] Dãy  un  đƣợc gọi là một cấp số cộng khi và chỉ
khi kể từ số hạng thứ hai trở đi mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng trƣớc nó
cộng với một số không đổi. Số không đổi đƣợc gọi là công sai của cấp số
cộng.
Vậy  un  là cấp số cộng  un1  un  d , n  * , trong đó: u1 là số
hạng đầu tiên, un là số hạng thứ n (số hạng tổng quát), d là công sai.
Nhận xét 1.4.1.[3]
a. d  u2  u1  u3  u2  ...  un1  un  ...


6

u  a
b. Dãy  un  đƣợc xác định bởi  1
(trong đó a, d
un1  un  d , n  *

là các số thực) là một cấp số cộng.
Tính chất 1.4.1.[3]
a. Công thức của số hạng tổng quát
Dãy  un  là một cấp số cộng với công sai d thì ta có:
un  u1  (n  1)d , n  * .

Chứng minh
Ta có:
u1  u1; u2  u1  d ; u3  u2  d ;...; un  un1  d .

Suy ra un  u1  (n  1)d .
Chú ý. k , l , m, n  * mà k  l  m  n thì uk  ul  um  un
b. un1 

un  un  2
, n  * .
2

Chứng minh
Ta có:
un  u1  (n  1)d ;
un 2  u1  (n  1)d ;
 un  un 2  2(u1  nd )  2un1;
 un1 

un  un  2
.
2

c. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng
Dãy  un  là cấp số cộng thì ta có:
Sn  u1  u2  ...  un 

Chứng minh
Ta có:

n(u1  un ) n  2u1   n  1 d 

.
2
2


7
Sn  u1  u2  ...  un1  un ;
Sn  un  un1  ...  u2  u1;
 2Sn  n(u1  un );

 Sn 

n(u1  un )
.
2

Định nghĩa 1.4.2.[3] Dãy số  un  đƣợc gọi là một cấp số nhân khi và
chỉ khi kể từ số hạng thứ hai trở đi mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng trƣớc
nó nhân với một số không đổi. Số không đổi đƣợc gọi là công bội của cấp số
nhân.
Vậy dãy  un  là cấp số nhân  un1  un .q, n  * , trong đó: u1 là số
hạng đầu tiên, un là số hạng thứ n (số hạng tổng quát), q là công bội.
Nhận xét 1.4.2.[3]
a. q 

u2 u3
u

  ...  n1  ...(un  0, n  *) ;
u1 u2
un

u  a
b. Dãy  un  đƣợc xác định bởi  1
, (trong đó a, q là các số
u

u
.
q
n
 n1

thực) là một cấp số nhân.
Tính chất 1.4.2.[3]
a. Công thức của số hạng tổng quát
Dãy  un  là một cấp số nhân với công bội q thì ta có:
un  u1.q n1, n  *.

Ở đây ta quy ƣớc q 0  1 (để điều phải chứng minh đúng cả khi n  1, q  0).
Chứng minh
Ta có:
u1  u1; u2  u1q; u3  u2q;...; un  un1q.

Suy ra un  u1q n1 .


8

Chú ý. k , l , m, n  * mà k  l  m  n thì uk .ul  um .un .
b. un21  un .un2 , n  *.
Chứng minh
Ta có:
un .un2  u1q n1.u1q n1  u12q 2 n  un21 .

c. Tổng của n số hạng đầu tiên
Dãy  un  là một cấp số nhân, ta có:
1  qn
Sn  u1  u2  ...  un  u1
(q  1).
1 q

Chứng minh
Ta có:
Sn  u1  u2  ...  un1  un  u1  u1q  ...  u1q n2  u1q n1
 u1 (1  q  ...  q n2  q n1 )  u1

1  qn
.
1 q

d. Tổng các số hạng của cấp số nhân lùi vô hạn
Một cấp số nhân đƣợc gọi là lùi vô hạn khi và chỉ khi công bội q thỏa
q  1.

Dãy  un  là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q  1 có:
S  u1  u2  ... 

u1

.
1 q

1.5. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ CÁC ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN
Định nghĩa.[4] Dãy số  un    u1, u2 ,..., un ,... có giới hạn là số a nếu bắt
đầu từ một chỉ số nào đó, mọi số hạng un đều nằm trong  -lân cận bất kì
U  a,   của điểm a , tức là nếu có số hạng ở ngoài U  a,   thì chỉ có một số

hữu hạn số hạng.


9
Kí hiệu: lim un  a hay un  a khi n  .
n

Định nghĩa vừa phát biểu có thể diễn đạt dƣới dạng tƣơng đƣơng sau:
Dãy số  un  có giới hạn là a nếu :
  0, N  N ( )  *: n  N , un  a   .

Định lí 1.5.1.[4] Nếu dãy  un  có giới hạn thì nó bị chặn.
Dãy có giới hạn đƣợc gọi là dãy hội tụ; dãy không hội tụ gọi là dãy phân
kì.
Ta nêu (không chứng minh) một số tính chất thông dụng cơ bản nhất của
dãy hội tụ.
Định lí 1.5.2.[4] Dãy hội tụ chỉ có một giới hạn.
Nhận xét.[4]
a. Nếu un  a, n 

thì lim un  a , a=const.
n

b. Nếu lim un  a thì lim un1  a và ngƣợc lại.
n

n

Định lí 1.5.3.[4] Nếu lim un  a , lim vn  b và un  vn , n  * thì a  b.
n

n

Định lí 1.5.4.[4] (Giới hạn kẹp)
Giả sử
a. lim un  lim vn   ;
n

n

b. un  zn  vn , n  *;
Khi đó: lim zn   .
n

Định lí 1.5.5.[4] Nếu lim un  a thì lim | u n || a | .
n

n

Định lí 1.5.6.[4] Dãy đơn điệu tăng (hoặc giảm) hội tụ khi và chỉ khi nó
bị chặn trên (hoặc dƣới).

10

Định lí 1.5.7.[4] Giả sử các dãy

 un  ,  vn 

hội tụ và lim un  a ,
n

lim vn  b;
n

Khi đó:
a. lim(un  vn )  lim un  lim vn  a  b;
n

n

n

b. lim(unvn )  lim un lim vn  ab;
n

n

n

1
1

1

 .
n u
lim un a
n

c. Nếu un  0, n và lim un  0 thì lim
n

n

Hệ quả. Giả sử b, c 

và lim un , lim vn ;
n

n

Khi đó:
a. lim(un  b)  lim un  b;
n

n

b. lim(c.un )  c.lim un ;
n

n

vn
vn lim
 n .
n u
lim un
n

c. Nếu lim un  0, un  0, n  * thì lim
n

n

Nhận xét. Các giới hạn trong các vế trái của định lí 1.5.7 có thể tồn tại
mặc dù  un  và  vn  không hội tụ.


11


12

CHƢƠNG II

XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ
2.1. SỬ DỤNG CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN ĐỂ TÌM CÔNG
THỨC TỔNG QUÁT CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ
Nội dung chủ yếu của phần này là giới thiệu một số kỹ thuật biến đổi để
qui về dãy số quen thuộc trong chƣơng trình toán THPT là cấp số cộng và cấp
số nhân. Ta xét một số bài toán và ví dụ minh họa sau:
Bài toán 2.1.1.[1] Xác định số hạng tổng quát của dãy số  un  đƣợc cho

u  c
bởi:  1
với a, b, c  .
un  aun1  b, n  *

Phƣơng pháp giải.
Trƣờng hợp 1: Nếu a  1 thì dãy  un  là một cấp số cộng với công sai b .
Dựa vào tính chất của cấp số cộng ta tìm đƣợc số hạng tổng quát của dãy là:
un  u1  (n  1)b  c  (n  1)b.

Trƣờng hợp 2: Nếu a  1, ta qui dãy  un  về dãy  vn  bằng cách đặt
vn  un  k , k  ; trong đó số k đƣợc xác định sao cho thỏa mãn vn  avn1

(ta sẽ xác định đƣợc k 

b
). Với cách đặt nhƣ trên ta đƣợc  vn  là một cấp
a 1

số nhân, công bội a . Dựa vào tính chất của cấp số nhân ta tìm đƣợc công thức
tổng quát của dãy  vn  . Từ đó suy ra công thức tổng quát của dãy  un  .
Ví dụ 2.1.1. Xác định số hạng tổng quát của dãy  un  đƣợc xác định bởi:
u1  2

un1  3un  1, n  1.

Giải. Đặt vn  un  k , k  . Ta tìm số k sao cho:
1
vn1  3vn  un1  k  3(un  k )  3un  1  k  3(un  k )  k  ;
2

13

1
Vậy cần đặt vn  un  .
2

Khi đó ta có vn1  un1 

1
1
1
 3un  1   3(u n  )  3vn nên dãy  vn  là
2
2
2

một cấp số nhân với công bội 3 và v1  u1 
Vậy un  vn 

1 5
5
 . Do đó vn  .3n1 , n  1.
2 2
2

1 5 n1 1
 .3  , n  1.
2 2

2

Ví dụ 2.1.2. Xác định số hạng tổng quát của dãy  un  đƣợc xác định bởi:
u1  3

un

un1  u  1 , n  1.
n


Giải. Ta có lời giải tham khảo ở một số tài liệu trên mạng nhƣ sau:
Ta có u1  0 , qui nạp ta đƣợc un  0, n .
Từ giả thiết suy ra:
Đặt vn 

1
1
 1  .
un1
un

1
1 1
, khi đó ta đƣợc vn1  vn  1 với v1   .
un
u1 3

Vậy dãy  vn  là một cấp số cộng, công sai 1 . Do đó ta có:
4

vn  v1  (n  1)(1)  n  ;
3

Suy ra un 

1
3

, n  2.
vn 3n  4

Tuy nhiên, cách làm này chƣa chứng tỏ đƣợc un  1, n để suy ra un1
luôn xác định (khi un1 luôn xác định rồi thì un  0, n ). Do đó ta giải lại ví
dụ 2.1.2 nhƣ sau:
Xét cấp số cộng  vn  với công sai d  1 và số hạng đầu v1 

1 1
 .
u1 3


14

Suy ra: vn  v1   n  1 d 

4
 n, n  1.
3

(*)

Tiếp theo, ta chứng minh bằng quy nạp theo n rằng:
un 

1
, n  1
vn

(**)

Hiển nhiên ta có (**) khi n  1 . Giả sử (**) đã đúng cho n. Theo (*) ta
thấy vn không phải là một số nguyên nên un  1. Suy ra un1 xác định đƣợc và
1
un
v
1
1
un1 
 n 

.
un  1 1  1 vn  1 vn1
vn

Vậy (**) đúng với mọi n, tức là un 

3
, n  1.
4  3n

Bài toán 2.1.2.[1] Xác định số hạng tổng quát của dãy số  un  đƣợc cho
u1  c
bởi: 
với a, c 
u

au

f
(
n
)
n 1
 n

, f (n) là một đa thức bậc k theo n .

Phƣơng pháp giải. Ta phân tích f (n)  g (n)  ag (n  1) với g (n) cũng
là một đa thức theo n .
Trƣờng hợp 1: Nếu a  1 , ta thấy đa thức g (n)  ag (n  1) có bậc nhỏ
hơn đa thức g (n) và không phụ thuộc vào hệ số tự do của g (n) . Vì f (n) là
đa thức bậc k nên để f (n)  g (n)  ag (n  1)(*) ta cần chọn g (n) là đa thức
bậc k  1 và nên chọn hệ số tự do của g (n) bằng không. Khi đó để xác định
các hệ số của g (n) ta chỉ cần thay k  1 giá trị bất kỳ của n vào (*) và giải hệ
gồm k  1 phƣơng trình này.
Lúc này ta có un  g (n)  un1  g (n  1)  ...  u1  g (1) . Từ đó suy ra
công thức tổng quát của dãy  un  .


15

Trƣờng hợp 2: Nếu a  1, ta thấy g (n)  ag (n  1) và g (n) là hai đa thức
cùng bậc. Vì vậy ta chọn g (n) là đa thức bậc k và các hệ số của g (n) đƣợc
xác định tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp 1.
Lúc này ta có un  g (n)  a(un1  g (n  1)). Đặt vn  un  g (n) thì ta có
dãy (v n ) là một cấp số nhân, công bội a . Dựa vào tính chất của cấp số nhân
ta tìm đƣợc công thức tổng quát của dãy (v n ) . Từ đó tìm đƣợc công thức tổng
quát của dãy  un  .
Ví dụ 2.1.3. Xác định số hạng tổng quát của dãy  un  đƣợc cho bởi:
2

u

1

3
.

u
n
un1 
, n  1.
2(2n  1)un  1


(HSGQG-2011)
Giải. Ta có u1  0 , qui nạp ta đƣợc un  0, n.
Từ giả thiết ta có
Đặt vn 

1

1
  4n  2.
un1 un

1
1 3
ta đƣợc vn1  vn  4n  2 và v1   .
un
u1 2

Phân tích 4n  2  g (n  1)  g (n) trong đó g (n)  an2  bn; a, b  .
Ta có 4n  2  a(n  1)2  b(n  1)  an2  bn  (2n  1)a  b  4n  2
a  b  2
a  2
Cho n  0, n  1 ta đƣợc hệ 
Suy ra g (n)  2n2 .

3a  b  6 b  0.

Khi đó vn  g (n)  vn1  g (n  1)  ...  v1  g (1) 
 vn  g (n) 

1
1
 2n 2  .
2
2

3
1

2 ;
2
2


16

Vậy un 

1
2
 2 , n  1.
vn 4n  1

Bài toán 2.1.3.[1] Xác định số hạng tổng quát của dãy số  un  xác định
bởi:
u1  c
với a, b, c  ,  0 .

n
u

au

b

n 1
 n

Phƣơng pháp giải.

Trƣờng hợp 1: Nếu a   , ta phân tích:



 n  k n  ak n1   k 

 

  a 

.

Khi đó ta có: un  bk n  a(un1  kb n1 )  ...  a n1 (u1  bk );
 un  a n1 (u1  bk )  bk n .

Trƣờng hợp 2: Nếu a   , ta phân tích:  n  n n   (n  1) n1 .
Khi đó:
un  bn n    un1  b(n  1) n1   ...   n1 (u1  b );
 un  b(n  1) n  u1 n1.

Ví dụ 2.1.4. Xác định số hạng tổng quát của dãy  un  đƣợc xác định bởi:
u1  3

n
un1  un  3.4 , n  1.

Giải. Theo giả thiết: un1  un  3.4n  un  4n1  4n
 un1  4n1  un  4n  ...  u1  4  1  un  4n  1, n  1.

2.2. DÙNG PHÉP THẾ LƢỢNG GIÁC ĐỂ XÁC ĐỊNH CÔNG

THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ


17

Khi công thức truy hồi xuất hiện những yếu tố gợi đến các công thức
lƣợng giác thì ta có thể thử với phép thế lƣợng giác. Ta xét một số bài toán
sau:
Bài toán 2.2.1.[1] Xác định số hạng tổng quát của dãy số  un  xác định
bởi:
u1  k
với k  , n  2 .

2
u

2
u

1
n 1
 n

Phƣơng pháp giải.
Trƣờng hợp 1: k  1 .
Khi đó  0;  : cos  k  u1. Từ công thức truy hồi của dãy ta có
thể liên tƣởng đến công thức nhân đôi của hàm số côsin:
cos2  2cos2   1.

Ta có:

u2  2u12  1  cos2 ;
u3  2u22  1  cos4 ;
u4  2u32  1  cos8 ;

…
Bằng qui nạp ta có thể chứng minh đƣợc un  cos 2n1 . Thật vậy:
+ Với n  2 ta có u2  cos221  cos2 .
+ Giả sử un1  cos 2n2 thì ta có:
un  2un21  1  2cos2 2n2  1  cos2n1 .

Trƣờng hợp 2: k  1.
1
1
1
1 
1
1 
Ta đặt u1   a   . Khi đó: u2   a 2  2  ; u3   a 4  4  ;...
2
a
2
a 
2
a 


18

1  n 1
1 

Bằng qui nạp ta chứng minh đƣợc un   a 2  2n 1  , n  2.
2
a 

(Trong đó a  0 và là nghiệm (cùng dấu với u1 ) của phƣơng trình
a 2  2u1a  1  0 )

Bài toán 2.2.2.[1] Xác định số hạng tổng quát của dãy số  un  xác định
u1  k
bởi: 
với k  , n  2.
3
u

4
u

3
u
n 1
n 1
 n

Phƣơng pháp giải.
Trƣờng hợp 1: k  1 .
Khi đó  0;  : cos  k  u1. Từ công thức truy hồi của dãy ta có
thể liên tƣởng đến công thức nhân ba của hàm số côsin:
cos3  4cos3   3cos .

Ta có:

u2  4u13  3u1  cos3 ;
u3  4u23  3u2  cos9 ;
u4  4u33  3u3  cos27 ;

…
Bằng qui nạp ta có thể chứng minh đƣợc un  cos3n1 . Thật vậy:
+ Với n  2 ta có u2  cos321  cos3 .
+ Giả sử un1  cos3n2 thì ta có:
un  4un31  3un1  4cos3 3n2  3cos3n2  cos3n1 .

Trƣờng hợp 2: k  1.
1
1
1
1
1
1
Ta đặt u1   a   . Khi đó: u2   a3  3  ; u3   a9  9  ;...
2
a
2
a 
2
a 


19

1  n 1
1 

Bằng qui nạp ta chứng minh đƣợc un   a3  3n 1  , n  2.
2
a 

(Trong đó a  0 và là nghiệm (cùng dấu với u1 ) của phƣơng trình
a 2  2u1a  1  0 ).

Bài toán 2.2.3. Tìm công thức tổng quát của dãy  un  xác định bởi:
u1  a

un1  b với n  2 .

u

n

1  b.un1


Phƣơng pháp giải.
Ta đặt a  tan  , b  tan   un  tan    n  1   .
Có thể xảy ra khả năng un không xác định từ n nào đó.
Ví dụ. Xác định số hạng tổng quát của dãy số  un  xác định bởi:

3
u1 
3

với n  2 .


u

2

3
u  n1
 n 1  (2  3)un1

Giải. Ta có:

sin





1  cos

1  
 sin  .  
12
2 6

cos



1  cos

1  

 cos  .  
12
2 6

 tan


12

 2  3.

6  2 3 ;
2
2



6  2 3 ;
2
2


20

Do đó un 

Mà u1 

un1  tan



12 .

1  un1 tan
12

3

 tan ;
3
6
 u2 

 u3 

u1  tan



12  tan       tan  ;



4
 6 12 
1  u1 tan
12
u2  tan



12  tan    2.    tan  ;



12 
3
6
1  u2 tan
12

u4  tan

5

  5 
 cot  
  cot ;
12
12
 2 12 

u5  không xác định!

Do đó un không xác định khi n  5.
Bài toán 2.2.4. Tìm công thức tổng quát của dãy  un  đƣợc cho bởi:
u1  



2 2
un  a  a un1 , n  2

trong đó  ,a 



thỏa

a

 1(a  0). .

Phƣơng pháp giải. Đặt:
u1    a cos  u2  a  b  a cos   a 1  2cos2    a cos 2 …
2

Bằng qui nạp ta chứng minh đƣợc un  a cos2n1 , n  2 .
2.3. ỨNG DỤNG PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀO
BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ