ứng dụng toán học vào thực tiễn

Thầy Kim Trọng – SĐT: 0167 309 3318

68 Đỗ Nhuận – TP Hải Dương

Chuyên đề:

ỨNG DỤNG TOÁN HỌC VÀO THỰC TIỄN
I. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất ít nhất 140 kg chất A và 9 kg chất
B. Từ mỗi tấn nguyên liệu loại I giá 4 triệu đồng, có thể chiết xuất được 20 kg chất A và 0,6 kg chất B.
Từ mỗi tấn nguyên liệu loại II giá 3 triệu đồng, có thể chiết xuất được 10 kg chất A và 1,5 kg chất B.
Hỏi phải dùng bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất, biết rằng
cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 10 tấn nguyên liệu loại I và không quá 9
tấn nguyên liệu loại II ?
Đáp số: Để chi phí nguyên liệu ít nhất, cần sử dụng 5 tấn nguyên liệu loại I và 4 tấn nguyên liệu loại
II. Khi đó, chi phí tổng cộng là 32 triệu đồng.
Ví dụ 2. Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm kí hiệu là I và II. Một tấn sản phẩm I lãi 2 triệu
đồng, một tấn sản phẩm II lãi 1,6 triệu đồng. Muốn sản xuất 1 tấn sản phẩm I phải dùng máy M1
trong 3 giờ và máy M2 trong 1 giờ. Muốn sản xuất 1 tấn sản phẩm II phải dùng máy M1 trong 1 giờ và
máy M2 trong 1 giờ. Biết rằng một máy không thể sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm; máy M1 làm
việc không quá 6 giờ trong một ngày, máy M2 một ngày chỉ làm việc không quá 4 giờ. Hỏi xí nghiệp
phải sản xuất trong một ngày bao nhiêu tấn sản phẩm loại I và loại II để tổng số tiền lãi là cao nhất ?
Đáp số: Để tổng số tiền lãi cao nhất, cần sản xuất 1 tấn sản phẩm loại I và 3 tấn nguyên liệu loại II.
Khi đó, tổng số tiền lãi cao nhất là 6 , 8 triệu đồng.
Ví dụ 3. Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24g hương liệu, 9 lít nước và
210g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế 1 lít nước cam cần 30g đường, 1 lít nước
và 1g hương liệu; pha chế 1 lít nước táo cần 10g đường, 1 lít nước và 4 g hương liệu. Mỗi lít nước
cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao
nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để đạt được số điểm thưởng cao nhất ? (Đề dự bị kỳ thi THPT QG
2015)
Đáp số: Để được số điểm cao nhất, cần pha chế 4 lít nước cam và 5 lít nước táo. Khi đó số điểm cao

nhất là 640 điểm.
Ví dụ 4. Một cơ sở sản xuất bánh trung thu cần sản xuất 2 loại bánh: bánh thập cẩm và bánh đậu
xanh. Lượng đường, đậu cho một bánh mỗi loại, lượng dự trữ nguyên liệu, tiền lãi cho một bánh mỗi
loại được cho trong bảng sau:
Đậu Đường
Trứng
Tiền lãi
Bánh thập cẩm
0g
3g
1 trứng
4000 đồng
Bánh đậu xanh
8g
1g
1 trứng
3000 đồng
Lượng dự trữ
4kg
1,8kg
800 trứng
Hãy tìm số lượng mỗi loại bánh cần sản xuất sao cho không bị động về nguyên liệu mà lãi đạt được
cao nhất.
1


Thầy Kim Trọng – SĐT: 0167 309 3318

68 Đỗ Nhuận – TP Hải Dương

Đáp số: Để lãi đạt được cao nhất, cần sản xuất 500 bánh thập cẩm và 300 bánh đậu xanh. Khi đó lãi
đạt được cao nhất là 2.900.000 ngàn đồng.
Ví dụ 5. Một bác nông dân cần trồng lúa và khoai trên diện tích đất gồm 6 ha, với lượng phân bón dự
trữ là 100kg và sử dụng tối đa 120 ngày công. Để trồng 1 ha lúa cần sử dụng 20 kg phân bón, 10 ngày
công với lợi nhuận là 30 triệu đồng; để trồng 1 ha khoai cần sử dụng 10 kg phân bón, 30 ngày công
với lợi nhuận là 60 triệu đồng. Hỏi bác nông dân cần trồng bao nhiêu ha lúa và khoai để đạt lợi
nhuận cao nhất.
Đáp số: Để đạt lợi nhuận cao nhất, bác nông dân cần trồng 3 ha lúa và 3 ha khoai. Khi đó lợi nhuận
cao nhất là 270 triệu đồng.
Ví dụ 6. Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm A, B được chế tạo từ ba loại nguyên liệu I, II, III.
Lượng nguyên liệu I, II và III mà xí nghiệp có lần lượt là 15, 21, 18. Lượng nguyên liệu I, II, III cần cho
một đơn vị sản phẩm loại A lần lượt là 1, 3, 3, loại B lần lượt là 3, 3, 2 đơn vị. Hãy lập kế hoạch sản
xuất để xí nghiệp thu tiền lãi nhiều nhất, biết tiền lãi một đơn vị sản phẩm loại A là 2 triệu đồng, loại
B là 3 triệu đồng.
Đáp số: Để thu tiền lãi nhiều nhất, xí nghiệp phải sản xuất 3 sản phẩm A, 4 sản phẩm B . Khi đó lợi
nhuận cao nhất là 18 triệu đồng.
Ví dụ 7. Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm A, B. Một tấn sản phẩm A lãi 7 triệu đồng, một tấn
sản phẩm B lãi 3 triệu đồng. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm A phải dùng máy M1 trong 2 giờ và
máy M2 trong 1 giờ. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm B phải dùng máy M1 trong 1 giờ và máy M2
trong 2 giờ. Một máy không thể sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Mỗi ngày, máy M1 làm việc
không quá 11 giờ, máy M2 làm việc không quá 13 giờ. Đồng thời, để duy trì hoạt động, xí nghiệp
đưa ra thêm chỉ tiêu mỗi ngày phải sản xuất tối thiểu 6 tấn sản phẩm. Hãy lập kế hoạch sản xuất
trong một ngày sao cho tổng số tiền lãi cao nhất.
Đáp số: Để thu tiền lãi nhiều nhất, trong một ngày xí nghiệp phải sản xuất 5 sản phẩm A, 1 sản phẩm
B . Khi đó lợi nhuận cao nhất là 38 triệu đồng.
Ví dụ 8. Giả sử yêu cầu tối thiểu mỗi ngày về các chất dinh dưỡng đạm, đường, khoáng cho một loại
gia súc tương ứng là 10g, 6g, 7g. Cho biết hàm lượng các chất dinh dưỡng trên có trong 1g thức ăn A,
B và giá mua 1kg thức ăn mỗi loại cho bởi bảng sau:

Thức ăn A

Thức ăn B

Đạm
3g
2g

Đường
1g
2g

Khoáng chất
1g
3g

Giá mua
3000 đồng
4000 đồng

Hãy xác định khối lượng thức ăn mỗi loại cần phải mua để tổng số tiền mua ít nhất nhưng vẫn đáp
ứng được nhu cầu dinh dưỡng mỗi ngày của gia súc.
Đáp số: Để số tiền mua ít nhất, khối lượng thức ăn mỗi loại cần phải mua là 2 g thức ăn A và 2 g thức
ăn B. Khi đó chi phí ít nhất là để mua 14 ngàn đồng.

2


Thầy Kim Trọng – SĐT: 0167 309 3318

68 Đỗ Nhuận – TP Hải Dương

II. Bài tập rèn luyện:
Bài 1. Một công ty cần thuê xe vận chuyển 140 người và 9 tấn hàng hóa. Nơi cho thuê xe chỉ có 10 xe
hiệu MITSUBISHI và 9 xe hiệu FORD. Một chiếc xe hiệu MITSUBISHI có thể chở 20 người và 0,6 tấn
hàng. Một chiếc xe hiệu FORD có thể chở 10 người và 1,5 tấn hàng. Tiền thuê một xe hiệu
MITSUBISHI là 4 triệu đồng, một xe hiệu FORD là 3 triệu đồng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại
để chi phí thấp nhất ?
Đáp số: Để chi phí thấp nhất, công ty cần thuê 5 xe hiệu MITSUBISHI và 4 xe hiệu FORD. Khi đó chi
phí thấp nhất là 30 triệu đồng.
Bài 2. Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm. Mỗi kg sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và 30 giờ,
đem lại mức lời 40.000 ngàn đồng. Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4 kg nguyên liệu và 15 giờ, đem lại
mức lời 30.000 ngàn đồng. Xưởng có 200kg nguyên liệu và 120 giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại
sản phẩm bao nhiêu để có mức lời cao nhất ?
Đáp số: Để có mức lời cao nhất, nên sản xuất 20 kg sản phẩm loại I, 40 kg sản phẩm loại II. Khi đó
mức lời cao nhất là 2 triệu đồng.
Bài 3. Nhân dịp tết Trung Thu, Xí nghiệp sản xuất bánh Trăng muốn sản xuất hai loại bánh: Đậu xanh, Bánh
dẻo nhân đậu xanh. Để sản xuất hai loại bánh này, Xí nghiệp cần: Đường, Đậu, Bột, Trứng, Mứt, ... Giả sử số
đường có thể chuẩn bị được là 300kg, đậu là 200kg, các nguyên liệu khác bao nhiêu cũng có. Sản xuất một cái
bánh đậu xanh cần 0,06kg đường, 0,08kg đậu và cho lãi 2 ngàn đồng. Sản xuất một cái bánh dẻo cần 0,07kg
đường, 0,04kg đậu và cho lãi 1,8 ngàn đồng. Cần lập kế hoạch để sản xuất mỗi loại bánh bao nhiêu cái để
không bị động về đường, đậu và tổng số lãi thu được là lớn nhất (nếu sản xuất bao nhiêu cũng bán
hết) ?
Đáp số: Để lãi thu được là lớn nhất, nên sản xuất 625 cái bánh đậu xanh, 3750 cái bánh dẻo. Khi đó lãi
thu được lớn nhất là 8 triệu đồng.
Bài 4. Công ty Bao bì Dược cần sản xuất 3 loại hộp giấy: đựng thuốc B1, đựng cao Sao vàng và đựng
"Quy sâm đại bổ hoàn". Để sản xuất các loại hộp này, công ty dùng các tấm bìa có kích thước giống
nhau. Mỗi tấm bìa có hai cách cắt khác nhau. Cách thứ nhất cắt được 3 hộp B1, một hộp cao Sao vàng và
6 hộp Quy sâm. Cách thứ hai cắt được 2 hộp B1, 3 hộp cao Sao vàng và 1 hộp Quy sâm. Theo kế hoạch,
số hộp Quy sâm phải có là 900 hộp, số hộp B1 tối thiểu là 900 hộp, số hộp cao sao vàng tối thiểu là
1000 hộp. Cần phương án sao cho tổng số tấm bìa phải dùng là ít nhất ?
Đáp số: Để tổng số tấm bìa phải dùng là ít nhất, cần cắt theo cách sau: 100 tấm bìa cắt theo cách thứ

nhất, 300 tấm bìa cắt theo cách thứ hai. Khi đó số tấm bìa cần dùng ít nhất là 400 tấm.
----------------------------Hết-------------------------

3