Tách phân thức hữu tỉ

KSTN K60 HUST

KỸ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU
Tóm tắt nội dung
Kỹ thuật Nhảy tầng lầu là phương pháp tách tích phân hữu tỉ (phân thức) ra thành nhiều tích phân con
có khoảng cách giữa bậc tử và mẫu không lớn, hạ bậc mẫu của tích phân ban đầu xuống mức tối giản
nhất có thể, từ đó tính tốn dễ dàng hơn. Kỹ thuật này được thầy Trần Phương viết trong cuốn sách
“TUYỂN TẬP CÁC CHUYÊN ĐỀ & KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN” xuất bản năm 2006, và trong tài liệu ngắn
này, tôi sẽ nhắc lại kỹ thuật dưới “tư duy CASIO” – một lối tư duy mới của học sinh phổ thông từ năm
2016, không những giúp các bạn hiểu được bản chất kỹ thuật, mà còn đưa ra một số cách truy dạng đẹp
khi đối mặt với số vô tỉ.

Tài liệu tham khảo
Sách “TUYỂN TẬP CÁC CHUYÊN ĐỀ & KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN” của thầy Trần Phương.

Bản quyền
Tài liệu này được phép sao chép dưới mọi hình thức, với điều kiện phải ghi rõ nguồn tác giả hoặc trang
web. Mọi thơng tin đóng góp về tài liệu xin gửi về địa chỉ: Lâm Minh –

1 Kiến thức cần chuẩn bị
1.1

Hai cơng thức tích phân
1
ln|𝑎𝑥 + 𝑏| + 𝐶
nếu 𝑛 = 1
𝑑𝑥
𝑎
CT1. ∫
=
1

(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛
+ 𝐶 nếu 𝑛 ≠ 1
[ (1 − 𝑛)(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛−1
CT2. ∫

𝑎𝑥 2

𝑑𝑥
2
2𝑎𝑥 + 𝑏
=
tan−1 (
)
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 √4𝑎𝑐 − 𝑏 2
√4𝑎𝑐 − 𝑏 2
VIET NAM CASIO TEAM

(∆ < 0).


KSTN K60 HUST
1.2

Lý thuyết về tách phân thức hữu tỉ
1.2.1 Phân thức thực sự là phân thức

𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)

với deg 𝑃(𝑥) < deg 𝑄(𝑥) (deg 𝑃(𝑥) là bậc

của đa thức 𝑃(𝑥)).
1.2.2 Phân thức đơn giản là phân thức thuộc 1 trong 2 dạng sau:

𝑚
(𝑎𝑥+𝑏)𝑛

;

𝑚𝑥+𝑛
(𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐)𝑛

(𝑛 ∈ 𝑁, 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 < 0).
1.2.3 Định lý tổng quát về phân tích đa thức: Mọi đa thức 𝑄(𝑥) không đồng nhất 0 với hệ
số thực đều có duy nhất 1 cách phân tích thành nhân tử dạng:
𝑄(𝑥) = (𝑥 − 𝑥1 )𝑟1 … (𝑥 − 𝑥𝑘 )𝑟𝑘 (𝑎1 𝑥 2 + 𝑏1 𝑥 + 𝑐1 )𝑠1 … (𝑎𝑛 𝑥 2 + 𝑏𝑛 𝑥 + 𝑐𝑛 )𝑠𝑛
Trong đó các tam thức bậc 2 đều có ∆ < 0
1.2.4 Phương pháp chung tính tích phân hàm hữu tỉ: mọi phân thức hữu tỉ

𝑃∗ (𝑥)
𝑄(𝑥)

với

deg 𝑃∗ (𝑥) > deg 𝑄(𝑥) đều có thể thực hiện phép chia đa thức 𝑃∗ (𝑥) cho 𝑄(𝑥) đưa
về phân thức thực sự

𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)

(có deg 𝑃(𝑥) < deg 𝑄(𝑥)). Khi đó, giả sử ta có:

𝑄(𝑥) = (𝑥 − 𝑥1 )𝑟1 … (𝑥 − 𝑥𝑘 )𝑟𝑘 (𝑎1 𝑥 2 + 𝑏1 𝑥 + 𝑐1 )𝑠1 … (𝑎𝑛 𝑥 2 + 𝑏𝑛 𝑥 + 𝑐𝑛 )𝑠𝑛
thì mọi phân thức thực sự

𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)

đều biểu diễn được dưới dạng:

𝑝𝑟𝑘𝑘
𝑝𝑟1 1
𝑃(𝑥)
𝑝11
𝑝1𝑘
=(
+⋯+
) + ⋯+ (
+⋯+
)
𝑟
(𝑥 − 𝑥𝑘 )𝑟𝑘
𝑄(𝑥)
𝑥 − 𝑥1
(𝑥 − 𝑥1 ) 1
𝑥 − 𝑥𝑘
𝑚𝑠1 1 𝑥 + 𝑛𝑠1 1
𝑚11 𝑥 + 𝑛11
+(
+ ⋯+

)+⋯
2
(𝑎1 𝑥 2 + 𝑏1 𝑥 + 𝑐1 )𝑠1
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑥 + 𝑐1
𝑚𝑠𝑛 𝑛 𝑥 + 𝑛𝑠𝑛𝑛
𝑚1𝑛 𝑥 + 𝑛1𝑛
+(
+ ⋯+
)
2
(𝑎𝑛 𝑥 2 + 𝑏𝑛 𝑥 + 𝑐𝑛 )𝑠𝑛
𝑎𝑛 𝑥 + 𝑏𝑛 𝑥 + 𝑐𝑛
Bằng cách tách phân thức hữu tỉ như vậy, ta sẽ áp dụng 2 cơng thức tích phân cơ
bản có sẵn ở mục 1.1 để tính dễ dàng.
1.3

Một số kỹ thuật CASIO cơ bản
Đây là một số kỹ thuật CASIO cơ bản các bạn có thể dễ dàng tìm học qua các bài viết trên
mạng hoặc từ bất cứ ai có hiểu biết chút ít về CASIO:
VIET NAM CASIO TEAM


KSTN K60 HUST
1.3.1 Phương pháp xấp xỉ khai triển rút gọn đa thức.
1.3.2 Phân tích đa thức 1 ẩn thành nhân tử.
1.3.3 Tính giới hạn.

2 Kỹ thuật CASIO tách phân thức hữu tỉ
Giả sử ta cần tách:
𝑃(𝑥)

𝑝1
𝑝𝑘
𝑚1 𝑥 + 𝑛1
𝑚𝑛 𝑥 + 𝑛𝑛
=(
+ ⋯+
)
+
(
+
⋯
+
)
(𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑛
𝑄(𝑥)
𝑥 − 𝑥0
(𝑥 − 𝑥0 )𝑘
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Trong đó: 𝑄(𝑥) = (𝑥 − 𝑥0 )𝑘 (𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑛 với 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 < 0
Đặt

𝑚1 𝑥+𝑛1
𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐

𝑚 𝑥+𝑛𝑛

+ ⋯ + (𝑎𝑥 2𝑛

+𝑏𝑥+𝑐)𝑛

= 𝑅(𝑥), ta dễ thấy:

𝑃(𝑥)
(𝑥 − 𝑥0 )𝑘 = lim (𝑝1 (𝑥 − 𝑥0 )𝑘−1 + ⋯ + 𝑝𝑘−1 (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑝𝑘 + (𝑥 − 𝑥0 )𝑘 𝑅(𝑥)) = 𝑝𝑘
𝑥→𝑥0 𝑄(𝑥)
𝑥→𝑥0
lim

𝑃(𝑥)
𝑝𝑘
⇒ lim (
−
) (𝑥 − 𝑥0 )𝑘−1 = 𝑝𝑘−1
𝑥→𝑥0 𝑄(𝑥)
(𝑥 − 𝑥0 )𝑘
𝑃(𝑥)
𝑝𝑘
𝑝𝑘−1
⇒ lim (
−
−
) (𝑥 − 𝑥0 )𝑘−2 = 𝑝𝑘−2 ⇒ …
𝑘
𝑥→𝑥0 𝑄(𝑥)
(𝑥 − 𝑥0 )
(𝑥 − 𝑥0 )𝑘−1
Như vậy ta có thể tìm các hệ số 𝑝𝑖 (𝑖 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
1, 𝑘) bằng cách tính giới hạn như vậy trên CASIO.
Tiếp theo giả sử PT 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 có 2 nghiệm phức 𝑥1 , 𝑥2 (vì ∆ < 0), tương tự trên ta có:
𝑃(𝑥)

lim 𝑄(𝑥) (𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑛 = 𝑚𝑛 𝑥1 + 𝑛𝑛
𝑥→𝑥
{ 1 ( )
từ đó giải hệ ta tìm được 𝑚𝑛 , 𝑛𝑛
𝑃𝑥
lim 𝑄(𝑥) (𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑛 = 𝑚𝑛 𝑥2 + 𝑛𝑛
𝑥→𝑥2

VIET NAM CASIO TEAM


KSTN K60 HUST

⇒

𝑃(𝑥)
𝑚𝑛 𝑥+𝑛𝑛
2
𝑛−1
lim (𝑄(𝑥) −
= 𝑚𝑛−1 𝑥1 + 𝑛𝑛−1
𝑛 ) (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐)
2
𝑥→𝑥1
(𝑎𝑥 +𝑏𝑥+𝑐)
𝑃(𝑥)
𝑚𝑛 𝑥+𝑛𝑛
2
𝑛−1
lim (𝑄(𝑥) −

= 𝑚𝑛−1 𝑥2 + 𝑛𝑛−1
𝑛 ) (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐)
2
𝑥→𝑥2
(𝑎𝑥 +𝑏𝑥+𝑐)
{

, tìm được 𝑚𝑛−1 , 𝑛𝑛−1

Về lý thuyết, ta có thể làm như trên, luôn tách được mọi phân thức hữu tỉ về 1 trong 2 dạng tối
giản, nhưng sẽ có những trường hợp ngoại lệ và ta cần phải linh hoạt khi sử dụng CASIO để đạt
hiệu suất giải tốn cao nhất, phần ví dụ minh họa sau đây sẽ cho các bạn thấy rõ.

3 Ví dụ minh họa
𝒙𝟑 + 𝟐
𝐕𝐃𝟏. ∫ 𝟒
𝒅𝒙
𝒙 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟒
Ta có 𝑥 4 − 5𝑥 2 + 4 = (𝑥 − 2)(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 + 2) do đó ta sẽ tách hàm như sau:
𝑥3 + 2
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
=
+
+
+
𝑥 4 − 5𝑥 2 + 4 𝑥 − 2 𝑥 − 1 𝑥 + 1 𝑥 + 2
𝑋 3 +2

𝑥3 +2
Vì lim 4
(𝑥 − 2) = 𝑎 nên ta nhập 4
(𝑋 − 2) rồi gán 𝑋 = 2 + 10−11 , được
𝑥→2 𝑥 −5𝑥2 +4
𝑋 −5𝑋 2 +4
5
kết quả 0,8333333333 = 6 = 𝑎
𝑋 3 +2
𝑥3 +2
(𝑥
−
1)
=
𝑏,
sửa
biểu
thức
thành
(𝑋 − 1), gán 𝑋 = 1 +
𝑥→1 𝑥4 −5𝑥2 +4
𝑋 4 −5𝑋 2 +4

Tiếp theo: lim

1
10−11 thu được −0,5 = − 2 = 𝑏
1
1
Tương tự: 𝑐 = 6 ; 𝑑 = 2

𝑥3 + 2
5
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
Vậy: ∫ 4
𝑑𝑥
=
∫
−
∫
+
∫
+
∫
𝑥 − 5𝑥 2 + 4
6 𝑥−2 2 𝑥−1 6 𝑥+1 2 𝑥+2
𝐕𝐃𝟐. ∫

𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟖
𝒅𝒙
(𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏𝟑)𝟐

VIET NAM CASIO TEAM

KSTN K60 HUST
Phương trình 𝑥 2 − 6𝑥 = 13 = 0 vơ nghiệm thực, do đó ta sẽ tách phân thức như sau:
2𝑥 2 + 18
𝑎𝑥 + 𝑏
𝑐𝑥 + 𝑑
= 2
+ 2
2
2
(𝑥 − 6𝑥 + 13)
𝑥 − 6𝑥 + 13 (𝑥 − 6𝑥 + 13)2
Ta có: 𝑥 2 − 6𝑥 = 13 = 0 ⇔ 𝑥 = 3 ± 2𝑖, do đó để tìm 𝑐𝑥 + 𝑑 ta tính 2 giới hạn:
2𝑥 2 + 18
(𝑥 2 − 6𝑥 + 13)2 = 𝑐(3 − 2𝑖) + 𝑑
𝑥→3−2𝑖 (𝑥 2 − 6𝑥 + 13)2
lim

2𝑥 2 + 18
(𝑥 2 − 6𝑥 + 13)2 = 𝑐(3 + 2𝑖) + 𝑑
lim
𝑥→3+2𝑖 (𝑥 2 − 6𝑥 + 13)2
Bằng cách chuyển chế độ sang MODE 2 (số phức) rồi gán lần lượt 𝑋 = 3 − 2𝑖 + 10−10 và 𝑋 =
3 + 2𝑖 + 10−10, thu được {

𝑐(3 − 2𝑖) + 𝑑 = 28 − 24𝑖
𝑐 = 12
⇔{
𝑐(3 + 2𝑖) + 𝑑 = 28 + 24𝑖
𝑑 = −8

Tương tự ta có thể tìm 𝑎𝑥 + 𝑏, tuy nhiên nhận thấy:
2𝑥 2 + 18
12𝑥 − 8
( 2
−
) (𝑥 2 − 6𝑥 + 13) = 𝑎𝑥 + 𝑏
(𝑥 − 6𝑥 + 13)2 (𝑥 2 − 6𝑥 + 13)2
Do đó sửa biểu thức đang hiển thị thành:
2𝑋 2 + 18
− (12𝑋 − 8) ÷ (𝑋 2 − 6𝑋 + 13)2
(𝑋 2 − 6𝑋 + 13)2
Cho 𝑋 = 1000 sau đó nhân kết quả với 𝑋 2 − 6𝑋 + 13 được 2

Vậy: ∫

2𝑥 2 + 18
𝑑𝑥
12𝑥 − 8
𝑑𝑥 = 2 ∫ 2
+∫ 2
𝑑𝑥
2
2
(𝑥 − 6𝑥 + 13)
(𝑥 − 6𝑥 + 13)2
𝑥 − 6𝑥 + 13

𝒙𝟐 − 𝟏
𝐕𝐃𝟑. ∫ 𝟒

𝒅𝒙
𝒙 +𝟏
Ta có: 𝑥 4 + 1 = (𝑥 2 − √2𝑥 + 1)(𝑥 2 + √2𝑥 + 1) nên ta sẽ tách thành:

VIET NAM CASIO TEAM


KSTN K60 HUST
𝑥2 − 1
𝑎𝑥 + 𝑏
𝑐𝑥 + 𝑑
=
+
4
𝑥 + 1 𝑥 2 − √2𝑥 + 1 𝑥 2 + √2𝑥 + 1
Nghiệm của 𝑥 2 − √2𝑥 + 1 = 0 là 𝑥 =

√2 ± √2𝑖

2

, do đó, tương tự VD2, ta tính 2 giới hạn:

𝑥2 − 1 2
√2 − √2𝑖
(𝑥 − √2𝑥 + 1) = 𝑎 (
)+𝑏
4
2
√2 − √2𝑖 𝑥 + 1

𝑥→
lim

2

𝑥2 − 1 2
√2 + √2𝑖
(𝑥 − √2𝑥 + 1) = 𝑎 (
)+𝑏
4
2
√2 + √2𝑖 𝑥 + 1
𝑥→
lim

2

𝐴=

√2 − √2𝑖

2
Các bạn nên gán trước {
để việc tính tốn phía sau đơn giản hơn.
√2 + √2𝑖
𝐵=
2

Lưu ý thứ 2 là ở một số dịng máy đời thấp khơng hỗ trợ tính lũy thừa của biểu thức số phức với
số mũ từ 4 trở lên, khi đó thay vì nhập vào biểu thức là

là

𝑋 2 −1
𝑋𝑋 3 +1

𝑋 2 −1
𝑋 4 +1

(𝑋2 − √2𝑋 + 1), ta phải nhập

(𝑋2 − √2𝑋 + 1), nếu khơng khi tính giới hạn sẽ bị “Math ERROR”.

Cho 𝑋 = 𝐴 + 10−10 ta được một số xấu: −0,00001502625 − 0,4999849728𝑖, lưu nó vào C.
Cho 𝑋 = 𝐵 + 10−10 được một số xấu khác, lưu nó vào D.
𝐶−𝐷
√2
𝑎𝐴 + 𝑏 = 𝐶
Vậy ta được {
⇒ tính
thu được 0,7070855295 ≈ 2 = 𝑎 (nếu không nhận
𝑎𝐵 + 𝑏 = 𝐷
𝐴−𝐵

ra được dạng đẹp này thì hãy bình phương kết quả lên).

√2
√2
⇒𝑏 =𝐶−
𝐴=𝐷−
𝐵⇒𝑏 =

2
2

√2
√2
(𝐶 − 2 𝐴) + (𝐷 − 2 𝐵)
2

VIET NAM CASIO TEAM


KSTN K60 HUST
√2
√2
Như vậy ta có thể tính b dễ dàng bằng 𝐶 − 2 𝐴 hoặc 𝐷 − 2 𝐵, nhưng khi tính 1 trong 2 biểu

thức này ta đều nhận được 2 kết quả khá xấu, và đặc biệt chứa cả 𝑖 gây nên lúng túng, do đó ta
1
có thể dùng biểu thức gộp thứ 3 ở trên để tính 𝑏, thu được −0,5000150263 ≈ − 2 = 𝑏

Sở dĩ phải lấy xấp xỉ như vậy vì có sai số khá lớn, nguyên nhân bắt nguồn từ 2 phép tính giới hạn
ban đầu.
Do bài này chỉ phải tách thành 2 phân thức, do đó việc tìm 𝑐𝑥 + 𝑑 tiếp theo sẽ không phải áp
dụng cách lằng nhằng như vừa rồi, đây là một trường hợp ngoại lệ như phần lí thuyết đã đề
cập. Cụ thể ta thấy:

(

𝑥2 − 1
𝑎𝑥 + 𝑏

−
) (𝑥 2 + √2𝑥 + 1) = 𝑐𝑥 + 𝑑
4
𝑥 + 1 𝑥 2 − √2𝑥 + 1

Từ 𝑎, 𝑏 đã tìm được, suy ra khả năng 𝑐, 𝑑 cũng có dạng căn thức, do đó việc gán 𝑋 = 1000 như
VD2 có thể sẽ khơng thành cơng. Mặt khác nếu 𝑐, 𝑑 có dạng căn, chắc chắn sẽ liên quan đến
√2, do đó ta sửa biểu thức đang hiển thị thành:
𝑋2 − 1
1
√2
− ( 𝑋 − ) ÷ (𝑋 2 − √2𝑋 + 1)
4
𝑋 +1
2
2
Gán 𝑋 là 1 số vô tỉ đẹp nhưng tránh √2, chẳng hạn với 𝑋 = √3, kết quả thu được đem nhân với
𝑋 2 + √2𝑋 + 1, ta được số

Vậy: ∫

−1 − √6
2

=−

1
1
√2
√2

3− =−
𝑋 − = 𝑐𝑥 + 𝑑
√
2
2
2
2

𝑥2 − 1
1
1
√2𝑥 − 1
√2𝑥 + 1
𝑑𝑥
=
∫
𝑑𝑥
−
∫
𝑑𝑥
𝑥4 + 1
2 𝑥 2 − √2𝑥 + 1
2 𝑥 2 + √2𝑥 + 1

𝐕𝐃𝟒. ∫

𝒅𝒙
𝒙𝟕 − 𝟏𝟎𝒙𝟑
4

4

Vì 𝑥 7 − 10𝑥 3 = 𝑥 3 (𝑥 − √10)(𝑥 + √10)(𝑥 2 + √10) nên ta sẽ tách phân thức như sau:

VIET NAM CASIO TEAM


KSTN K60 HUST
1
𝑎 𝑏
𝑐
𝑑
𝑒
𝑚𝑥 + 𝑛
=
+
+
+
+
+
𝑥 7 − 10𝑥 3 𝑥 𝑥 2 𝑥 3 𝑥 − 4√10 𝑥 + 4√10 𝑥 2 + √10
1
Dễ dàng tìm được 𝑎 = 𝑏 = 0; 𝑐 = − 10 như 3 VD trước, do đó để tìm 𝑑 ta sẽ tính:

1
4
(𝑥 − √10) = 𝑑
7 − 10𝑥 3
𝑥
𝑥→ √10

lim
4

4

Gán 𝐴 = √10, cho 𝑋 = 𝐴 + 10−10 vào biểu thức giới hạn trên ta được 0,00790451347, số này
4

chắc chắn có chứa √10, vấn đề là làm sao tìm ra dạng đẹp của nó.
Bài này cần thay đổi cách tính giới hạn 1 chút, cụ thể ta thấy:

𝑥7

1
1
1
4
(𝑥 − √10) =
⇒𝑑 =
|
4
4
3
− 10𝑥
𝑥 3 (𝑥 + √10)(𝑥 2 + √10)
𝑥 3 (𝑥 + √10)(𝑥 2 + √10) 𝑥= 4

√10

Do đó nhập biểu thức

1
4

𝑋 3 (𝑋+ √10)(𝑋 2 +√10)

0,00970569415, thử bình số này lên, ta được

Tương tự, 𝑒 =

1

|

4
𝑥3 (𝑥− √10)(𝑥2+√10)

rồi cho 𝑋 = 𝐴, ta được số chính xác hơn:
1

√10
1
, do đó 𝑑 = √16000 = 400
16000

=𝑑
4

𝑥=− √10

Để tìm 𝑚𝑥 + 𝑛, ta áp dụng:

𝑚𝑥 + 𝑛 = [

𝑥7

1
1
1
1
√10
+
−
(
+
)] (𝑥 2 + √10)
4
3
3
− 10𝑥
10𝑥
400 𝑥 − √10 𝑥 + 4√10

Vẫn là cách giải hệ bậc nhất như 2 VD trước, nhưng thay vì dùng nghiệm của PT 𝑥 2 + √10 = 0
khiến cho kết quả tăng sai số, ta sẽ dùng số nguyên.
Lần lượt cho 𝑋 = 1; 𝑋 = −1 vào biểu thức trên, ta thu được 2 kết quả đối nhau, bình lên đều
được

1

√10
, như vậy số chính xác là
, do đó ta có hệ:
4000
200

VIET NAM CASIO TEAM


KSTN K60 HUST

√10
√10
200 ⇔ {𝑚 = −
200
√10
𝑛
=
0
−𝑚 + 𝑛 =
200
{
𝑚+𝑛 =−

Vậy: ∫

1
1
𝑑𝑥
𝑑𝑥

𝑥𝑑𝑥
√10
√10
√10
𝑑𝑥
=
−
+
∫
+
∫
−
∫
4
4
𝑥 7 − 10𝑥 3
10𝑥 3 400 𝑥 − √10 400 𝑥 + √10 200 𝑥 2 + √10

Nhìn chung, bài này không nhất thiết phải tách đến tối giản như vậy, ta có thể tính như sau:
1
1
𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑥
1 1
𝑑(𝑥 2 )
𝑑𝑥
∫ 7
𝑑𝑥
=
(∫

−
∫
)
=
(
∫
−
∫
)
𝑥 − 10𝑥 3
10
𝑥 4 − 10
𝑥3
10 2 (𝑥 2 )2 − 10
𝑥3
Đó là 1 kiểu tách “dễ chịu hơn” của “nhảy tầng lầu”, nhưng ở đây tôi muốn kết hợp thêm việc
phân tích xử lí khi gặp căn thức cho các bạn xem, nên mới đi theo hướng phân tích như vậy.
𝐕𝐃𝟓. ∫

𝒅𝒙
+𝟏

𝒙𝟖

Chắc chắn ai đã đọc cuốn “TUYỂN TẬP CÁC CHUYÊN ĐỀ & KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN” của thầy
Trần Phương thì khó mà qn được đoạn văn ấn tượng này, nó nằm ngay trang nhất:

Thực tế thì chưa ai thấy thầy Phương giải bài này, có một số thầy giáo cũng đã áp dụng kỹ thuật
nhảy tầng lầu của thầy và giải thành công, nhưng cũng chưa có ai “giải nó bởi 5 biến đổi dấu
bằng với khoảng 3 dịng” cả! Tại đây tơi sẽ trình bày lại cách giải nó bằng CASIO.

Ta có: 𝑥 8 + 1 = (𝑥 2 − √2 + √2𝑥 + 1) (𝑥 2 + √2 + √2𝑥 + 1) (𝑥 2 − √2 − √2𝑥 + 1) (𝑥 2 +
√2 − √2𝑥 + 1). Do đó việc tách sẽ như sau:

VIET NAM CASIO TEAM


KSTN K60 HUST
1
𝑎1 𝑥 + 𝑏1
𝑎2 𝑥 + 𝑏2
𝑎3 𝑥 + 𝑏3
=
+
+
𝑥 8 + 1 𝑥 2 − √2 + √2𝑥 + 1 𝑥 2 + √2 + √2𝑥 + 1 𝑥 2 − √2 − √2𝑥 + 1
+

𝑎4 𝑥 + 𝑏4
𝑥 2 + √2 − √2𝑥 + 1

Ta tìm 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 trước, đầu tiên giải 2 nghiệm phức của PT 𝑥 2 − √2 + √2𝑥 + 1 = 0. Các dòng
máy từ CASIO fx-570VN PLUS trở lên đến VINACAL có thể lưu nghiệm trực tiếp từ MODE EQN
vào 1 biến nào đó giống như việc gán bình thường, nhưng ở một số dịng máy đời thấp hơn
như CASIO fx-570ES thì khơng có chức năng này, do đó phải sử dụng 2 biểu thức
−𝐵 ± √𝐵 2 − 4𝐴𝐶
2𝐴

để tính nghiệm tại MODE CMPLX (số phức).

2 nghiệm thu được rất xấu: {

𝑋1 = 0,9238795325 − 0,3826834324𝑖 → 𝐴
𝑋2 = 0,9238795325 + 0,3826834324𝑖 → 𝐵

Bây giờ, tương tự VD4 ta có:
1
(𝑥 2 + √2 + √2𝑥 + 1) (𝑥 4 + √2𝑥 2 + 1)

|

=[
𝑥=[

𝐴
𝐵

𝑎1 𝐴 + 𝑏1
𝑎1 𝐵 + 𝑏1

Cũng phải lưu ý lại rằng trên một số dòng máy đời thấp ta phải nhập 𝑋𝑋 3 + √2𝑋 2 + 1 thay vì
𝑋 4 + √2𝑋 2 + 1 thì mới thực hiện phép tính được.
Tính biểu thức này tại 𝑋 = 𝐴 rồi lưu kết quả vào C, tính tiếp nó tại 𝑋 = 𝐵 rồi lưu kết quả vào D,
𝐶−𝐷
𝑎 𝐴 + 𝑏1 = 𝐶
𝐶−𝐷
như vậy ta được: { 1
⇒ 𝑎1 = 𝐴 − 𝐵. Tính biểu thức
ta được một số nữa gây
𝑎1 𝐵 + 𝑏1 = 𝐷
𝐴−𝐵

chán nản: −0,2309698831, vì số này bình phương mấy lần cũng khơng mị ra được. Phải làm
sao đây?
Với người khơng chun về CASIO, có lẽ đến 99% bỏ cuộc ở đoạn này, nhưng nếu các bạn đã
chơi quen với số vơ tỉ như tơi, thì sẽ nghĩ ngay rằng kết quả này có dính dáng đến √2 + √2

VIET NAM CASIO TEAM


KSTN K60 HUST
√2+√2
𝐶−𝐷
Và thực tế tơi đã tính √2 + √2 ÷ 𝐴 − 𝐵, thu được con số rất đẹp: −8. Vậy 𝑎1 = − 8

Mò được 𝑎1 rồi thì 𝑏1 cũng sẽ dễ dàng ra ngay 𝑏1 = 𝐶 +

√2+√2

8

1
𝐴=4

3 biểu thức còn lại là 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 , 𝑎3 𝑥 + 𝑏3 , 𝑎4 𝑥 + 𝑏4 các bạn hãy tự xử xem như thế nào, hướng
làm giống y hệt vừa rồi, chỉ là luyện bấm cho nhanh thôi.

Vậy: ∫

√2 + √2𝑥 − 2
√2 + √2𝑥 + 2

𝑑𝑥
1
1
=− ∫
𝑑𝑥 + ∫
𝑑𝑥 +
+1
8 𝑥 2 − √2 + √2𝑥 + 1
8 𝑥 2 + √2 + √2𝑥 + 1

𝑥8

√2 − √2𝑥 − 2
√2 − √2𝑥 + 2
1
1
− ∫
𝑑𝑥 + ∫
𝑑𝑥
8 𝑥 2 − √2 − √2𝑥 + 1
8 𝑥 2 + √2 − √2𝑥 + 1
Thực tế thì việc tìm ra 𝑎1 như tơi đã làm khơng hẳn là mị, cái gì cũng có cơ sở của nó, miễn là
các bạn chịu khó luyện tập nhiều thì sự nhạy bén, linh hoạt, kinh nghiệm tư duy sẽ nhiều lên và
việc nhìn ra mấu chốt sẽ khơng cịn khó khăn.
Nhắc lại lần nữa, là kỹ thuật Nhảy tầng lầu có khá nhiều cách tách khác nhau, nhưng khơng phải
cách nào cũng đưa đến hướng đi ngắn, đó là lí do thầy Phương đã viết:

Và ở đây, tơi muốn một lần nữa qua bài tích phân của thầy để nói thêm nữa về sự linh hoạt
trong thao tác xử lí số vơ tỉ, khơng đơn giản chỉ dừng lại ở việc nhắc lại về kỹ thuật Nhảy tầng
lầu.

VIET NAM CASIO TEAM


KSTN K60 HUST

4 Bài tập tự luyện
Đây cũng là mấy bài toán trong sách “TUYỂN TẬP CÁC CHUYÊN ĐỀ & KỸ THUẬT TÍNH TÍCH
PHÂN” của thầy Phương, các bạn có thể nghĩ ra nhiều cách tách khác nhau nhưng hãy ưu tiên
cách tách tối giản, mục đích là để tiếp xúc nhiều với số vô tỉ! Và đừng xem trước đáp án.
Bài 1. ∫

𝑑𝑥
𝑥6 − 1

Bài 5. ∫

𝑑𝑥
4
3
𝑥 + 4𝑥 + 6𝑥 2 + 7𝑥 + 4

Bài 2. ∫

𝑑𝑥
𝑥6 + 1

Bài 3. ∫

Bài 6. ∫

𝑑𝑥
𝑥4 + 𝑥2 + 1

Bài 4. ∫

𝑥 3 + 2𝑥 2 + 4𝑥 + 9
𝑑𝑥
𝑥2 + 4

Bài 7. ∫

𝑑𝑥
𝑥8 − 1

𝑥11

𝑑𝑥
− 8𝑥 5

Nếu các bạn đã đọc cách giải của thầy trong cuốn sách đó, thì sẽ thấy hầu hết thầy không sử
dụng cách tách triệt để như tôi, trừ phi hệ số phải là số đẹp, nhưng thầy cũng “giải sai” khá
nhiều bài bằng cách chia cả tử và mẫu cho 𝑥 trong khi chưa có gì xác nhận 𝑥 ≠ 0, vì bài tốn là
tích phân bất định chứ khơng phải xác định để dựa vào cận. Dù vậy, tôi nghĩ là thầy chỉ muốn
giải càng ngắn càng tốt!

5 Đáp án bài tập tự luyện
Bài 1. ∫

𝑑𝑥

1
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
1
𝑥−2
1
𝑥+2
=
∫
−
∫
+
∫
𝑑𝑥
−
∫
𝑑𝑥
𝑥6 − 1 6 𝑥 − 1 6 𝑥 + 1 6 𝑥2 − 𝑥 + 1
6 𝑥2 + 𝑥 + 1

Bài 2. ∫

𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
1
1
√3𝑥 − 2
√3𝑥 + 2

=
∫
−
∫
𝑑𝑥
+
∫
𝑑𝑥
𝑥 6 + 1 3 𝑥 2 + 1 6 𝑥 2 − √3𝑥 + 1
6 𝑥 2 + √3𝑥 + 1

Bài 3. ∫

𝑑𝑥
1
𝑥+1
1
𝑥−1
=
∫
𝑑𝑥
−
∫
𝑑𝑥
𝑥4 + 𝑥2 + 1 2 𝑥2 + 𝑥 + 1
2 𝑥2 − 𝑥 + 1

Bài 4. ∫

=

𝑑𝑥
−1

𝑥8

1
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
1
1
√2𝑥 − 2
√2𝑥 + 2
∫
− ∫
− ∫ 2
+ ∫
𝑑𝑥 − ∫
𝑑𝑥
8 𝑥 − 1 8 𝑥 + 1 4 𝑥 + 1 8 𝑥 2 − √2𝑥 + 1
8 𝑥 2 + √2𝑥 + 1

Bài 5. ∫

𝑥4

+

4𝑥 3

𝑑𝑥
+ 6𝑥 2 + 7𝑥 + 4
3

1
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
1
2𝑥 + 2 − √3
= ∫
− ∫
− ∫
𝑑𝑥
3
3 𝑥 + 1 9 𝑥 + 1 + √3 9 𝑥 2 + (2 − 3√3)𝑥 − 3√3 + 3√9 + 1

VIET NAM CASIO TEAM


KSTN K60 HUST
𝑥 3 + 2𝑥 2 + 4𝑥 + 9
𝑑𝑥
Bài 6. ∫
𝑑𝑥
=
∫(𝑥

+
2)𝑑𝑥
+
∫
𝑥2 + 4
𝑥2 + 4
Bài 7. ∫

𝑑𝑥
1 𝑑𝑥 4 − √2
𝑑𝑥
4 + √2
𝑑𝑥
=
−
∫
+
∫
+
∫
𝑥11 − 8𝑥 5
8 𝑥5
448
448
𝑥 − √2
𝑥 + √2
−

1
𝑥 + √2

1
𝑥 − √2
∫
𝑑𝑥 −
∫
𝑑𝑥
192 𝑥 2 − √2𝑥 + 2
192 𝑥 2 + √2𝑥 + 2

Mọi câu hỏi thắc mắc về phương pháp xin gửi về:


Thank you for watching!

VIET NAM CASIO TEAM