Chuyên đề Lượng giác 10

Chuyên đề lượng giác lớp 10

Năm học 2015 - 2016

LƯỢNG GIÁC
Phần 1: Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
A. Kiến thức cần nhớ
1. Các hằng đẳng thức cơ bản
b) tan x =

a) sin 2 x + cos 2 x = 1
d) 1 + tan 2 x =

1
cos 2 x

sin x
cos x

e) 1 + cot 2 x =

1
sin 2 x

c) cot x =

f) tan x. cot x = 1

2. Giá trị của các hàm lượng giác cung liên quan đặc biệt
a) Hai cung đối nhau
b) Hai cung bù nhau

π
cos(− x) = cos x
sin( − x) = − sin x
tan(− x ) = − tan x
cot(− x) = − cot x

sin(π − x) = sin x
cos(π − x) = − cos x
tan(π − x ) = − tan x
cot(π − x) = − cot x

d) Hai cung khác nhau π

cos x
sin x

c) Hai cung khác nhau 2
sin( x + 2π ) = sin x
cos( x + 2π ) = cos x
tan( x + 2π ) = tan x
cot( x + 2π ) = cot x

e) Hai cung phụ nhau

sin(π + x) = − sin x
cos(π + x) = − cos x
tan(π + x) = tan x
cot(π + x ) = cot x

π


π

sin  − x  = cos x ; cos − x  = sin x
2

2

π

π

tan − x  = cot x ; cot  − x  = tan x
2

2


B. Bài tập
1. Tìm các giá trị của α để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
A=

1
1 + sin α

; B=

1
1 − cos α

2. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) sin 123o − sin 132 o
b) cot 304 o − cot 316 o
3. Rút gọn các biểu thức sau:
a) 5 tan 540 o + 2 cos1170 o + 4 sin 990 o − 3 cos 540 o

25π
13π
19π
− 3 tan
+ 2 cos
6
4
3
2
o
2
o
2
o
c) sin 15 + sin 35 + sin 55 + sin 2 75 o
d) cos 2 15 o + cos 2 35 o + cos 2 55 o + cos 2 75 o
π
3π
5π
7π
9π
11π
+ sin 2
+ sin 2

e) sin 2 + sin 2 + sin 2 + sin 2
12
12
12
12
12
12
π
3
π
5
π
7
π
9
π
11π
+ cos 2
+ cos 2
f) cos 2 + cos 2 + cos 2 + cos 2
12
12
12
12
12
12
π
3
π





g) sin(π + a) − cos + a  + cot(2π − a) + tan + a 
2

 2

4
2
2
2
h) A = sin a + cos a + sin a. cos a
2
a
a

 sin + cos  − 1
2
i) B =  2
a
a
a
tan − sin . cos
2
2
2

b) 3 sin

Trường THPT Phan Đăng Lưu – Yên Thành – Nghệ An

Trang 1


Chuyên đề lượng giác lớp 10
cos 2 696 o + tan(−260 o ). tan 530 o − cos 2 156
j) C =
tan 2 252 o + cot 2 342 o
2

Năm học 2015 - 2016

 17π
 7π

 13π

+ tan
− b  + cot
+ cot ( 7π − b ) 
k)  tan
4
4
 2




 1 − sin x

1 + sin x  1 − cos x
1 + cos x 


−
−
l) 
 1 + cos x

1
+
sin
x
1
−
sin
x
1
−
cos
x



3
3
m) sin a(1 + cot a) + cos a(1 + tan a)
tan b
n)
tan b + cot b

1 − cos 4 a − sin 4 a
o)
cos 4 a
sin( x − π ). cos( x − 2π ). sin( 2π − x)
p) sin  π − x . cot(π − x). cot 3π + x 
2

 2


2

2

2

 π

  3π



q) sin − x  + sin(π − x) + cos − x  + cos(2π − x)


 2

  2

π


 2π

 5π

 3π

r) sin  − a . tan + a . cos + a  + tan(π + a). tan − a 
3

 3

 3

 2

cot(5,5π − a) + tan(b − 4π )
s) cot(a − 6π ) − tan(b − 3,5π )
t) tan 50 o. tan 190 o. tan 250 o. tan 260 o. tan 400 o. tan 700 o

4. Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh:
a) sin( A + B) = sin C; cos(B + C) = -cosA
c) tan( A + C ) = − tan B; cot(A + B) = -cotC
b) sin

A+B
C
B+C
A
= cos ; cos

= sin
2
2
2
2

d) tan

5. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y =

A+C
B
A+B
C
= cot ; cot
= tan
2
2
2
2

2 + cos x
sin x + cos x − 2

cos x + 2 sin x + 3
6. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trong khoảng − π < x < π : y =
.

7. Gọi a, b, c là các cạnh đối diện với các góc tương ứng của tam giác ABC.
a) Cho sin 2 B + sin 2 C = 2 sin 2 A . Chứng minh A ≤ 60 o .

b) 2(a cos A + b cos B + c cos C ) = a + b + c ⇒ ∆ABC đều.
c) Chứng minh: 0 < sin A + sin B + sin C - sinA.sinB - sinB.sinC - sinC.sinA < 1
Phần 2: Các công thức lượng giác
I. Công thức cộng
A. Kiến thức cần nhớ
1) sin( a ± b) = sin a cos b ± sin b cos a
2) cos(a ± b) = cos a cos b sin a sin b

B. Bài tập
1. Chứng minh các công thức sau:
π
4

3) tan(a ± b) =

π
4

2 cos x − sin x + 4

tan a ± tan b
1 tan a tan b





a) cos a + sin a = 2 cos − a  = 2 sin  + a 




Trường THPT Phan Đăng Lưu – Yên Thành – Nghệ An

Trang 2


Chuyên đề lượng giác lớp 10
π

π

b) cos a − sin a = 2 cos + a  = 2 sin  − a 
4

4


Năm học 2015 - 2016

2. Rút gọn các biểu thức:
π

2 cos a − 2 cos + a 
4

a)
π

− 2 sin a + 2 sin  + a 

4


b) cos10 o + cos11o. cos 21o + cos 69 o. cos 79 o
c) (tan a − tan b).cot(a − b) − tan a. tan b
3. Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:
A
B
B
C
C
A
+ tan . tan = 1
2
2
2
2
2
2
A
B
C
A
B
C
c) cot A. cot B + cot B.cot C + cot C.cot A = 1
d) cot + cot + cot = cot .cot .cot
2
2
2

2
2
2
π
1 + tan b
1 − tan a
= tan a và
= − tan b .
4. a) Cho a − b = , chứng minh:
4
1 − tan b
1 + tan a
π
b) Cho a + b = , chứng minh: (1 + tan a)(1 + tan b) = 2 và (1 − cot a)(1 − cot b) = 2
4
tan( x + a ) = m
a−b
c) Cho tan(a − y ) = n . Chứngminh: tan( x + y ) =
.
1 + ab
2
3
d) Cho tan a = , tan b = (0 < a, b < 1v) . Tìm a + b.
5
7
1 π
π
e) Cho tan a = − ( < a < π ) và tan b = 3 (0 < b < ) . Tìm a + b.
2 2
2

2
1
f) Cho tan a = 1 , tan b = (0 < a, b < 1v) . Tìm a - b.
3
4
1
2
1
g) Cho tan a = , tan b = , tan b = . Chứng minh a + b + c = 45o.
12
5
3
π
5π
5. Tìm giá trị các hàm số lượng giác góc: 15o hoặc
và 75o hoặc
.
12
12
π
6. Cho α , β , γ thoả mãn điều kiện: α + β + γ = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
A = 1 + tan α . tan β + 1 + tan β . tan γ + 1 + tan γ . tan α

a) tan A + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC

b) tan . tan + tan . tan

7. Chứng minh rằng nếu các góc của tam giác A, B, C thoả mãn một trong các đẳng thức sau thì tam
giác ABC cân:

cos 2 A + cos 2 B 1
= (cot 2 A + cot 2 B )
sin 2 A + sin 2 B 2
A
c) a + b = tan (a tan A + b tan B)
2

a)

b)

sin B
= 2 cos A
sin C

d) tan A + 2 tan B = tan A. tan 2 B

II. Công thức nhân đôi nhân ba.
Trường THPT Phan Đăng Lưu – Yên Thành – Nghệ An

Trang 3


Chuyên đề lượng giác lớp 10

Năm học 2015 - 2016

A. Lý thuyết cần nhớ
sin 2a = 2sin a cos a

sin 3a = 3sin a − 4sin 3 a

cos 2a = cos 2 a − sin 2 a = 1 − 2sin 2 a = 2cos 2 a − 1
2 tan a
tan 2a =
1 − tan 2 a

cos 3a = 4 cos3 a − 3cos a

B. Bài tập
1. Rút gọn các biểu thức sau:
π
 π

sin  − a .sin  + a 
a)
4
 4

sin 3a cos a − cos 3a sin a
c) cos 20 o.cos 40 o.cos 80 o

e) cos 4 a − 6 sin 2 a cos 2 a + sin 4 a
g) 1− 8 sin 2 a cos 2 a
i) 4 sin 3 a cos 3a + 4 cos 3 a sin 3a

b)

π
−1

8
tan π 8

tan 2

d) 2 sin a cos a(cos 2 a − sin 2 a)
a
a
2
2
o
o
h) 8 cos10 cos 20 cos 40 o
j) 4 sin 4 4a + sin 2 2a

f) cos 2 a − 4 sin 2 cos 2

π
2π
l) cos 20 o cos 40 o cos 60 o cos 80 o
5
5
m) tan a + 2 tan 2a + 4 tan 4a + 8 tan 8a + 16 tan16a + 32 tan 32a
cos a − cos 3a
sin 3 a + sin 3a
n)
o)
3
sin a + sin 3a
cos a − cos 3a

k) cos cos

2. Chứng minh:

π
π
1
9
3
 3
 4
3
2
b) 8 sin 18 + 8 sin 18 = 1
π
π
π
π
c) 8 + 4 tan + 2 tan + tan = cot
8
16
32
32
2
o
2
o
d) tan 36 tan 72 = 5
π

5π
7π
π
 π
 1
e) cos a cos − a  cos + a  = cos 3a . Tính: cos cos cos
18
18
18
3
 3
 4
3
3 tan a − tan a
f) tan 3a =
1 − 3 tan 2 a
5 −1
π
 π

o
o
o
g) tan a tan − a  tan + a  = tan 3a . Chứng minh: tan 6 tan 54 tan 66 =
.
3
 3

10 + 2 5
π


 

a) sin a sin − a  sin + a  = sin 3a . Áp dụng với a = .

2 ab
(a, b > 0) . Tìm sin 2α , cos 2α , tan 2α .
a+b
2a
b) Cho cos α =
. Tìm sin 2α , cos 2α , tan 2α .
1+ a2
5
c) Cho sin α + cos α = . Tìm sin 2α , cos 2α , tan 2α .
4

3. a) Cho sin α =

4. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số sau:
π  π

a) y = sin x +  sin x − 


4



4

b) y = cos 4 x − sin 4 x

c) y = 1− 8 sin 2 x cos 2 x
a
2

III. Công thức hạ bậc. Công thức viết các hàm lượng giác theo t = tan .
Trường THPT Phan Đăng Lưu – Yên Thành – Nghệ An

Trang 4


Chuyên đề lượng giác lớp 10

Năm học 2015 - 2016

A. Lý thuyết cần nhớ
1 + cos 2a = 2 cos 2 a
1 − cos 2a = 2 sin a
2

sin a =

2t
1+ t 2

cos a =

B. Bài tập
1. Chứng minh các biểu thức sau:

a)

2 sin a − sin 2a
a
= tan 2
2 sin a + sin 2a
2

c) (sin a + sin b) 2 + (cos a + cos b) 2 = 4 cos 2
e)

a+b
2

g) sin a(sin a + sin b) + cos a(cos a + cos b) = 2 cos 2

π a 
π a 
sin  +  sin  − 
i)  4 2  −  4 2  (0 < a < π )
1 − sin a
1 + sin a

tan a =

2t
1− t 2

1 − sin 2a + cos 2a
π


= tan − a 
1 + sin 2a + cos 2a
4

a
a
d) tan = cot − 2 cot a
2
2

b)

1 + sin a
π a 
= cot 2  − 
1 − sin a
 4 2

h) (sin a − sin b) 2 + (cos a − cos b) 2 = 4 sin 2

1− t2
1+ t2

a−b
2

f) tan 7 o 30' = ( 3 − 2 )( 2 − 1)
a −b
2

2. Rút gọn các biểu thức sau:
1 1 1 1
+
+ cos α (0 < α ≤ π )
2 2 2 2
a
2 cot
2
c)
a
1 + cot 2
2
a
a
tan
tan
2 +
2
e)
a
a
1 + tan
1 − tan
2
2
1 − cos α + cos 2α
g)
sin 2α − sin α

a)

1 1 1 1
−
+ cos α (0 < α ≤ π )
2 2 2 2
a
a
cot − tan
2
2
d)
a
a
cot + tan
4
4

b)

1

sin a
a
biết tan = 2
3 − 2 cos a
2

1

f) 1 − tan a 1 + tan a
2

2

h)

sin 2α
cos α
.
1 + cos 2α 1 + cos α

b)

tan a + sin a
a 2
Biết tan =
tan a − sin a
2 15

3. Tìm giá trị biểu thức
a)

−

4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
a) y = 2 cos 2 x + sin 2 x
b) y = 2 sin 2 x − cos 2 x
π
4


2
2
c) y = sin  − x  + (sin x − cos x)


IV. Công thức biến đổi tổng và tích
A. Lý thuyết cần nhớ
1. Công thức biến đổi tích thành tổng

Trường THPT Phan Đăng Lưu – Yên Thành – Nghệ An

Trang 5


Chuyên đề lượng giác lớp 10
1
sin a cos b = [ sin( a + b) + sin( a − b)]
2
1
cos a cos b = [ cos(a + b) + cos(a − b)]
2
1
sin a sin b = [ cos(a − b) − cos(a + b)]
2

2. Công thức biến đổi tổng thành tích
a+b
a−b

. cos
2
2
a+b
a−b
sin a − sin b = 2 cos
.sin
2
2
a+b
a −b
cos a + cos b = 2 cos
. cos
2
2
a+b
a −b
cos a − cos b = −2 sin
.sin
2
2
sin a + sin b = 2 sin

Năm học 2015 - 2016

sin(a + b)
cos a cos b
sin(a − b)
tan a − tan b =
cos a cos b

sin(a + b)
cot a + cot b =
sin a sin b
sin( a − b)
cot a − cot b = −
sin a sin b
tan a + tan b =

B. Bài tập
1. Rút gọn biếu thức
a) cos a + cos(a + b) + cos(a + 2b) + ... + cos(a + nb) (n ∈ N)
b)

cos a − cos 3a + cos 5a − cos 7 a
sin a + sin 3a + sin 5a + sin 7 a

π
π


cos 2a −  − cos 2a + 
6
6
d) cos a − 

2 cos a
1
1
4
2

o
o
h) sin 1 + sin 91 + 2 sin 203o (sin 112 o + sin 158o )
i) cos 35o + cos125o + 2 sin 185o (sin 130 o + sin 140 o )

cos a + 2 cos 2a + cos 3a
sin a + sin 2a + sin 3a
π
π


cos a +  + cos a − 
3
3


e)
a
cot a − cot
2

c)

f) cos 2a cos 2 a − cos 4a − cos 2a

g) cos 2 3 + cos 2 1 − cos 4 cos 2

j) sin 20 o sin 40 o sin 60 o sin 80 o
2. Chứng minh:

k) tan 20 o tan 40 o tan 60 o tan 80 o

3
16
sin a + sin 3a + sin 5a + ... + sin(2n − 1)a
b) cos a + cos 3a + cos 5a + ... + cos(2n − 1)a = tan na
na
(n + 1)a
sin sin
2
2
c) sin a + sin 2a + sin 3a + ... + sin na =
a
sin
2
na
(n + 1)a
sin cos
2
2
d) cos a + cos 2a + cos 3a + ... + cos na =
a
sin
2

a) sin 20 o sin 40 o sin 60 o sin 80 o =

3. Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:
Trường THPT Phan Đăng Lưu – Yên Thành – Nghệ An

Trang 6


Chuyên đề lượng giác lớp 10

Năm học 2015 - 2016

A
B
C
a) sin A + sin B + sin C = 4 cos cos cos
2
2
2
A
B
C
b) cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin sin sin
2
2
2
2
2
2
c) sin A + sin B + sin C = 2(1 + cos A cos B cos C )

d) cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 − 2 cos A cos B cos C
A
B
C

2
2
2
A
B
C
f) cos A + cos B − cos C = 4 cos cos sin − 1
2
2
2
g) sin 2 A + sin 2 B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C
h) cos 2 A + cos 2 B + cos 2C = −1 − 4 cos A cos B cos C
i) sin 2 A + sin 2 B − sin 2 C = 2 sin A sin B cos C
x+ y 1
≥ (sin x + sin y ) với 0 < x, y < π .
4. Chứng minh bất đẳng thức: sin
2
2

e) sin A + sin B − sin C = 4 sin sin cos

5. Tính giá trị các biểu thức sau:

π
3π
5π
7π
+ sin 4
+ sin 4
+ sin 4

16
16
16
16
o
o
o
b) tan 67 5'− cot 67 5'+ cot 7 5'− tan 7 o 5'
c) cos 5o cos 55o cos 65o
π
3π
5π
7π
9π
d) cos + cos + cos + cos + cos
11
11
11
11
11

a) sin 4

6. Chứng tỏ các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:
π x
 4 2


2
2π

2π
c) cos x + cos  + x  + cos  − x 
3

3


3π

4
2
2
a) 4 sin x + sin 2 x + 4 cos  −  với π < x <
2

b) 4 cos 4 x + cos 2 2 x − 4 cos 2 x cos 2 x

2π

 2π

+ x  + sin 2 
− x
 3

 3

sin B + sin C
7. Điều kiện cần và đủ để một tam giác vuông ở A là: sin A =
cos A + cos B

3
8. Chứng minh nếu các góc của ∆ABC thoả mãn: cos A + cos B + cos C = thì nó là tam giác đều.
2
b+c
9. Chứng minh rằng nếu các cạnh và các góc của ∆ABC thoả mãn hệ thức: cos A + cos B =
thì tam
a
2
2
d) sin x + sin 

giác đó là tam giác vuông.
A
2

10. Cho tam giác ABC và 5 tan tan

B
= 1 . Chứng minh rằng: 3c = 2(a+b).
2

Trường THPT Phan Đăng Lưu – Yên Thành – Nghệ An

Trang 7