Chuyên đề lượng giác 10

Bài tập về công thức lợng giác
A. Lý thuyết
Công thức cộng Công thức nhân đôi
cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sin .cos cos .sin
sin( ) sin .cos cos .sin
tan tan
tan( )
1 tan .tan
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
= +
+ =
=
+ = +

=
+
+

+ =

2 2 2 2
2
sin 2 2sin .cos
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
2 tan
tan 2
1 tan
a a a
a a a a a
a
a
a
=
= = =
=

Công thức biến đổi tích thành tổng Công thức biến đổi tổng thành tích:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
cos .cos cos cos
2
1
sin .sin cos cos
2
1
sin .cos sin sin

2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
= + +

= +

= + +

cos cos 2cos .cos
2 2
cos cos 2sin .sin
2 2
sin sin 2sin .cos
2 2
sin sin 2cos .sin
2 2
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
+
+ =
+
=

+
+ =
+
=

Công thức hạ bậc nâng cung
Hệ quả của công thức hạ bậc nâng
cung
2
2
2
1 cos 2
sin
2
1 cos 2
cos
2
1 cos2
tan
1 cos 2
a
a
a
a
a
a
a
+
=
+

=

=
+
2
2
1 cos 2 2cos
1 cos2 2sin
a a
a a
+ =
=
B. bài tập
I. Bài tập về công thức cộng
Bài 1. a. Cho
12
sin
13
3
2
2
a
a



=

< <


.Tính
cos( )
3
a



b. Cho
3
5
sin

=
và
2


< <
. Tính tan(
3


+
)
c. Cho
3

a b

=
. Tính GT của biểu thức
2 2
(cos cos ) (sin sin )C a b a b= + + +
Bài 2. a. Cho 2 góc nhọn a, b với
1 1
tan , tan
2 3
a b= =
. Tính a+b
b. Biết
tan( ) , 1
4
m m


+ =
. Tính tan

theo m.
c. Cho
1
sin
5
(0 , )
21
sin
10

a
a b
b


=


< <


=


.Chứng minh rằng
4
a b

+ =
d. Cho tanx, tany là nghiệm của phơng trình : at
2
+ bt + c = 0 (
0a
). Tính giá trị của
biểu thức S = a.sin
2
(x + y) + b.sin(x + y).cos( x + y) + c.cos
2
(x + y )
e. Cho

cos( )
.
cos( )
a b m
a b n
+
=

Tính tana.tanb
Bài 3. : Chứng minh rằng :
a. cos( a + b)cos(a - b) = cos
2
a - sin
2
b
b. sina.sin( b - c) + sinb.sin( c- a) + sinc.sin( a - b) = 0
c. cosa.sin(b - c) + cosb.sin( c - a) + cosc.sin( a - b) = 0
d. cos( a + b)sin(a - b) + cos( b + c)sin(b - c ) + cos( c + a)sin( c - a) = 0
e.
sin( ) sin( ) sin( )
0
cos .cos cos .cos cos .cos
a b b c c a
a b b c c a

+ + =
Bài 4. Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
a. tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC
b.
cot cot .cot .cot

2 2 2 2 2 2
cot cot
A B C A B C
+ + =
c.
tan .tan t tan tan tan 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
an+ + =
d. cotA. cotB + cotB. cotC + cotC. cotA = 1
Bài 5. Chứng minh rằng :
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b

=
. áp dụng tính
1 1 1
...
cos .cos2 cos2 .cos3 cos( 1) .cos
S
a a a a n a na
= + + +

II. Bài tập về công thức nhân đôi và hạ bậc
Bài 1. Cho
1

sin , 0
5 2
x x

= < <
. Tính
a. sin2x, cos2x, tan2x, cot2x
b. sin
2
x
, cos
2
x
, tan
2
x
, cot
2
x
Bài 2. Chứng minh rằng:
2
cot tan
sin 2
x x
x
+ =
.
áp dụng tính: A =
0 0 0 0
tan 9 tan 27 tan 63 tan 81 +

Bài 3: Chứng minh rằng:
cot tan 2 cot 2x x x
=
. áp dụng chứng minh:
a.
cot tan 2 tan 2 4 tan 4 8cot 8x x x x x =
b.
8 4 tan 2 tan tan cot
8 16 32 32

+ + + =
Bài 4. Chứng minh rằng:
1
sin .cos .cos 2 .cos 4 .cos8 sin16
16
x x x x x x=
. áp dụng tính:
A =

2
cos .cos
5 5
D =

2 3 4
sin .sin sin .sin
5 5 5 5
B =
0 0 0
sin10 .cos 20 .cos 40

E =
0 0 0 0
sin6 .sin 42 .sin66 .sin78

C =
0 0 0
sin10 .sin 50 .sin 70
F =

4 5
cos .cos .cos
7 7 7
Bµi 5. Chøng minh r»ng:
a.
4 4
3 1
sin cos cos4
4 4
a a a+ = +

b.
6 6
5 3
sin cos cos4
8 8
a a a+ = +
c.
1 1 1 1
(1 )(1 )(1 )(1 ) tan8 .cot
cos cos2 cos4 cos8 2

a
a
a a a a
+ + + + =
d.
1
1
cos 2 2 ... 2 2
2
2
n
π
+
= + + + +
Bµi 6 : Chøng minh r»ng :
a. NÕu cos
2
a + cos
2
b = m th× cos(a + b).cos( a – b) = m -1
b. NÕu sinb = sina.cos( a + b) th× 2tana = tan( a + b)
c. NÕu 2sinb = sin(2a + b) th× 3tana = tan( a + b)
d. NÕu m.sin(a + b) = cos(a – b) th×
1 1
1 .sin2 1 .sin 2
S
m a m b
= +
− −
kh«ng phô thuéc

a,b
III. C«ng thøc biÕn ®æi tÝch thµnh tæng,tæng thµnh tÝch
Bµi 1: Rót gän biÓu thøc sau:
a)
cos 4 cos2
sin 4 sin 2
a a
a a
−
+
b)
sin 3sin 2 sin 3
cos 3cos 2 cos3
a a a
a a a
− +
− +
c)
2
1 cos cos 2 cos3
2cos cos 1
a a a
a a
+ + +
+ −
d)
sin 2 sin 4 sin 6
1 cos 2 cos 4
a a a
a a

+ +
+ +
Bµi 2. a. Rót gän biÓu thøc sau víi ®iÒu kiÖn cã nghÜa:

sin 2 sin
1 cos 2 cos
x x
A
x x
+
=
+ +
B =
2
cos3 cos 2 cos 1
2cos cos 1
x x x
x x
+ + +
+ −
Bµi 3 : Rót gän biÓu thøc sau :
sin sin3 sin5 sin 7
cos cos3 cos5 cos7
a a a a
A
a a a a
+ + +
=
+ + +

2 2
sin sin
sin( ) sin( )
a b
B
a b b a
= +
− −
2 2 2
2 2 2
sin ( ) sin sin
sin ( ) cos cos
a b a b
C
a b a b
+ − −
=
+ − −

1 2cos
1 2cos
a
D
a
−
=
+

1 2sin
1 2sin

a
E
a
−
=
+
2 4 6 8
cos cos( ) cos( ) cos( ) cos( )
5 5 5 5
F a a a a a
π π π π
= + + + + + + + +
Bµi 4. Chøng minh r»ng
a.
1
cos .cos( ).cos( ) cos3
3 3 4
x x x x
π π
− + =

b.
1
sin .sin( ).sin( ) sin3
3 3 4
x x x x
π π
− + =

¸p dông tÝnh:

A =
0 0 0
sin 20 .sin 40 .sin 80
B =
0 0 0
cos10 .cos 50 .cos 70
C =
0 0 0 0
cos10 .cos 20 .cos 30 ...cos80
C =
0 0 0 0
cos5 .cos15 .cos 25 ...cos85
Bµi 5 : Chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau :
a.
sin sin sin( ).sin( )
2cos
tan cot
2 2
x y x y x y
x y x y
y
+ + −
=
+ −
+
b.
2sin sin3 sin5
2cos2 .cot
cos 2cos2 cos3 2
x x x x

x
x x x
− +
= −
− +
c. sin6a.sin4a – sin15a.sin13a + sin19a.sin9a = 0
d. 3 - 4cos2a + cos4a = 8sin
4
a
Bµi 6 : Chøng minh r»ng c¸c biÓu thøc sau ®éc lËp ®èi víi x,y :
A =
2 2
cos ( ) cos ( ) cos2 .cos2x y x y x y+ + − −

sin
cos .sin (tan tan )
2
1 cos( )
cos .sin
2
x y
x y x y
B
x y
x y
y
−
+
= +
+

− +
Bµi 7. Chøng minh c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo x

2 2 2
2 2
cos cos ( ) cos ( )
3 3
A x x x
π π
= + + + −
B = sin
2
(a + x) – sin
2
x – 2sinx.sina.cos( a + x) ( a lµ h»ng sè)

2 2 2
2 4
sin sin ( ) sin ( )
3 3
C x x x
π π
= + + + +
Bµi 8: TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau :

2
cos cos
5 5
A
π π

= −

2 4 6
cos cos cos
7 7 7
B
π π π
= + +

0 0 0 0
tan9 tan27 tan63 tan81C = − − +

2 3
cos cos cos
7 7 7
D
π π π
= − +

0 0
1 3
sin10 cos10
E = −

Bµi 9: Cho tam gi¸c ABC .Chøng minh r»ng :
a. sinA + sinB + sinC =
4cos .cos .cos
2 2 2
A B C

b. cos cos cos 1 4sin .sin .sin
2 2 2
A B C
A B C+ + = +
c. sin2A + sin2B + sin2C = - 4sinA.sinB.sinC
d. tan2A + tan2B + tan2C = tan2A.tan2B.tan2C
e. sin3A +sin3B + sin3C =
3 3 3
4cos .cos .cos
2 2 2
A B C
−

g.
3 3 3
cos3 cos3 cos3 1 4sin .sin .sin
2 2 2
A B C
A B C+ + = −
h. cos 4A + cos 4B + cos 4C = - 1 + 4cos2A.cos2B.cos2C
Mai Duy Du©n