giáo án ôn thi vào 10 môn toán năm học 2016 2017

Giáo trình ôn thi vào THPT
Chơng trình ôn thi vào lớp 10 Năm học: 2016 - 2017
phần I đại số
Chuyên đề i: căn thức bậc hai - bậc ba
Các phép biến đổi căn thức bậc hai- bậc ba
A. Những công thức biến đổi căn thức:
1) A 2 = A
2) AB = A. B ( với A 0 và B 0 )
3)

A
=
B

A
B

( với A 0 và B > 0 )

4) A 2 B = A B (với B 0 )
5) A B = A 2 B ( với A 0 và B 0 )
A B = A 2 B ( với A < 0 và B 0 )
6)
7)
8)
9)

A
=
B
A

=

B
C

AB
( với AB 0 và B 0 )
B
A B
( với B > 0 )
B

AB
C

=

A B

C ( A B )
( Với A 0 và A B2 )
2
A B
=

C( A B )
( với A 0, B 0 và A B
A B

B. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau:
3
2x + 1
1
b) x <
2

a) 2 x + 3

b)

2

c)

x 1
x 0
3
HD: a) x
c)
2
x 1
Bài 2: Phân tích thành nhân tử ( với x 0 )
a) 2 + 3 + 6 + 8
b) x2 - 5
c) x - 4
HD: a) 2 + 3 2 + 1
b) x + 5 x 5 c) x + 2

(

)(

)

(

)(

)

(

Bài 3: Đa các biểu thức sau về dạng bình phơng.
a) 3 + 2 2
b) 3 8
c) 9 + 4 5
2
2
2
HD: a) ( 2 + 1)
b) ( 2 1)
c) ( 5 + 2)
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:
a)

(4

17

)

2

b)

6 + 14

c)

x2 5

1
2x 2

d)

d) x 0

)(

(với x 5)

x 2

)

d) x x 1
d) ( x 1)( x + x + 1)

d) 23 8 7
2
d) ( 4 7 )
d)

x x 1

x+ 5
2 3 + 28
x 1
2
HD: a) 17 4
b)
c) x 5
d) x + x + 1
2
Bài 5: Tìm giá trị của x Z để các biểu thức sau có giá trị nguyên.

Hoàng Quốc Nga 0914780828

( với x 0, x 1 )

1


Giáo trình ôn thi vào THPT
a)

3

( với x 0)

x +2
HD: a) x = {1}

x +5

b)

( với x 0)

x +2

c)

x +1
b) x = { 0;1;9}

( với x 0 và x 4)

x 2
c) x = { 0;1;9;16;36}

Bài 6: Giải các phơng trình, bất phơng trình sau:
a)

x5 = 3

HD: a) x = 14

b) 3 2 x 5
b) 1 x

x +3

c)

3
2

x 3

=2

3

d)

x 1

>1

d) 1 < x < 16

c) x = 81

C. Bài tập tổng hợp:
Bài 1: Cho biểu thức: A =

x x +1 x 1

x 1
x +1

a)Tìm ĐKXĐ và rút gọn A.

b) Tính giá trị biểu thức A khi x =

9
.
4

c) Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1.
x 0
, rút gọn biểu thức ta có: A =
x 1

HD: a) ĐKXĐ là:

x
x 1

.

9
thì A = 3
4
c) 0 x < 1 .

b) x =

x +1

Bài 2: Cho biểu thức: B =

x 2

2 x

+

x +2



2+5 x
x4

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức B.
b) Tìm x để B = 2.
x 0
x 4

HD: a) Điều kiện:

, rút gọn biểu thức ta có: B =

c) B = 2 x = 16.

Bài 3: Cho biểu thức: C =

1

a 1



3 x
x +2

.

1 a +1
a + 2

:

a a 2
a 1

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức C.
b) Tìm giá trị a để C dơng.
a > 0

a 2
HD: a) Điều kiện: a 4 , rút gọn biểu thức ta có: C =
3 a
a 1

b) C dơng khi a > 4.


Bài 4: Cho biểu thức D =

x

x 2

+

x x4
.
x + 2 4 x

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức D.
b) Tính giá trị của D khi x = 6 2 5 .
x > 0
x 4

HD: a) Điều kiện:

, rút gọn biểu thức ta có: D = x .

b) D = 5 1
Hoàng Quốc Nga 0914780828

2

Gi¸o tr×nh «n thi vµo THPT
x

Bµi 5: Cho biĨu thøc E =

x +1

−

x
x −1

3− x
x −1

+

a) T×m ®iỊu kiƯn x¸c ®Þnh vµ rót gän biĨu thøc E.
b) T×m x ®Ĩ E = -1.
x > 0
x ≠ 1

HD: a) §iỊu kiƯn: 
c) x = 4.

,rót gän biĨu thøc ta cã: E =


2

F = 

Bµi 6: Cho biĨu thøc:

 x −2

−

−3
1+ x

.

 x+4 x +4
.
8
x + 2
2

a) Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức F.
b) Tính giá trò của biểu thức F khi x=3 + 8 ;
c) Tìm giá trò nguyên của x để biểu thức F có giá trò nguyên ?
x ≥ 0
,rót gän biĨu thøc ta cã: F =
x ≠ 4

HD: a) §KX§: 

x +2
x −2

b) x = 3+ 8 = 3 + 2 2 = ( 2 + 1)
⇒ A = 2 2 −1
c) BiĨu thøc A nguyªn khi: x − 2 = { ± 4;±2;±1} ⇒ x = {0; 1; 9; 16; 36}
2

D. Bµi tËp lun tËp:
Bµi1: Cho biĨu thøc:

1
a +2
5
−
+
a +3 a+ a −6 2− a

P=

a) T×n §KX§ vµ rót gän P.
b) TÝnh gi¸ trÞ cđa P khi: a = 7 − 4 3 .
c) T×m gi¸ trÞ cđa a ®Ĩ P < 1.


1   a +1

1

a + 2


−
 : 
−
Bµi2 : Cho biĨu thøc: Q= 

a
−
1
a
a
−
2
a
−
1

 

a. Rót gän Q.
b. T×m gi¸ trÞ cđa a ®Ĩ Q d¬ng.

Bµi3: Cho biĨu thøc: A =

2 x −9
x−5 x +6

−

x +3
x −2

a, T×m §KX§ vµ rót gän biĨu thøc A.
b, T×m c¸c gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ A > 1.
c, T×m c¸c gi¸ trÞ cđa x ∈ Z ®Ĩ A ∈ Z.
Bµi4 : Cho biĨu thøc: C =

1
x +1

−

3
x x +1

+

−

2 x +1
3− x

2
x − x +1

a, T×m §KX§ vµ rót gän biĨu thøc C.
b, T×m c¸c gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ C = 1.
 x −2
x + 2  (1 − x) 2


⋅
−
.
Bµi5: Cho biĨu thøc: M = 
2
x + 2 x + 1 
 x −1

a) Rót gän M.
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ M d¬ng.
c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa M.
Hoµng Qc Nga 0914780828

3


Giáo trình ôn thi vào THPT


x

Bài6: Cho biểu thức: P =

x 1



1
2

:
+


x x x +1 x 1
1

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P > 0
c) Tìm x để P = 6.

Bài tập tự rèn
Bài 1: Cho biểu thức:


1
a +2
5

+
a +3 a+ a 6 2 a

P=
a 4
ữ
a 2ữ


a) Rút gọn P P =

b) Tìm giá trị của a để P <1 (1

P = 1

Bài 2: Cho biểu thức:
a) Rút gọn P


P =




x x +3
x +2
x +2
:

+
+
x + 1 x 2 3 x x 5 x + 6

x 2
ữ
x +1 ữ


b)Tìm giá trị của a để P < 0 (x > 4)

x 1
1
8 x 3 x 2
: 1


+
3 x +1
9
x

1
3
x

1
3
x
+
1




x x +1

ữ
P

=
a) Rút gọn P
3 x 1 ữ


6
b) Tìm các giá trị của x để P =
5


a 1
2 a


Bài 4: Cho biểu thức: P = 1 + a + 1 :


a 1 a a + a a 1

P =

Bài 3: Cho biểu thức:

(



a) Rút gọn P P =

)

a + a +1
ữ
a 1 ữ


b) Tìm giá trị của a để P<1
c) Tìm giá trị của P nếu a = 19 8
Bài 5: Cho biểu thức:


a) Rút gọn P P =


P=

3

1 + a3

a (1 a ) 2 1 a 3
:
+ a .
a
1+ a

1+ a
1 a

a
ữ
a +1 ữ

1
2

x +1
2x + x
x +1
2x + x

+
1 : 1 +


2x + 1
2x 1
2
x
+
1
2
x

1

b) Xét dấu của biểu thức M=a.(P- )


Bài 6: Cho biểu thức: P =


a) Rút gọn P
Hoàng Quốc Nga 0914780828

4


Giáo trình ôn thi vào THPT

(

Bài 7: Cho biểu thức:

P

)

1
.3+ 2 2
2

2 x

=

x x + x x 1

b) Tính giá trị của P khi x =

1
x
: 1 +

x + 1
x 1

a) Rút gọn P
b) Tìm x để P 0
Bài 8: Cho biểu thức: P


2a + 1
1 + a3
a

ì

a

ữ

ữ
= 3
ữ
a + a +1 ữ

a
1 + a


a) Rút gọn P
b) Xét dấu của biểu thức P.

1 a
x+2
x +1
x +1
.
+


x x 1 x + x +1 x 1

P = 1 :

Bài 9: Cho biểu thức:
a) Rút gọn P
b) So sánh P với 3

1 a a
1 + a a

+ a .
a
1 a
1+ a

Bài 10: Cho biểu thức: P =
a) Rút gọn P
b) Tìm a để P < 7 4

3
2 x
+
x +3

Bài 11: Cho biểu thức: P =

x
3x + 3 2 x 2
:

1
x 3 x 9 x 3


a) Rút gọn P
b) Tìm x để P <

1
2

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 12: Cho biểu thức:

x3 x
9 x
x 3
1 :


x9
x+ x 6 2 x

P =

x 2

x + 3

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P<1
Bài 13: Cho biểu thức: P =

15 x 11 3 x 2 2 x + 3
+

x + 2 x 3 1 x
x +3

a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P =
c) Chứng minh P

1

2

2
3

Bài 14: Cho biểu thức: P =

2 x
+
x +m

x
m2

2
x m 4 x 4m

với m > 0

a) Rút gọn P
b) Tính x theo m để P = 0.
c) Xác định các giá trị của m để x tìm đợc ở câu b thoả mãn điều kiện x>1

Hoàng Quốc Nga 0914780828

5


Giáo trình ôn thi vào THPT

Bài 15: Cho biểu thức:

P

a2 + a
2a + a

+1
=
a a +1
a

a) Rút gọn P
b) Biết a >1 Hãy so sánh P với
c) Tìm a để P =

P

1
2

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 16: Cho biểu thức:
a) Rút gọn P

(

P=

a +1

a +1

ab + a
ab + a

:

+

1

+
1
ab + 1
ab + 1

ab

1
ab

1




ab )

b) Tính giá trị của P nếu a = 2

3

3 1
1+ 3
a+ b=4

và b =

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu
Bài 17: Cho biểu thức: P =

a a 1 a a +1
1 a + 1
a 1


+ a
+

a a
a+ a
a a 1
a + 1

a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của a thì P =7
c) Với giá trị nào của a thì P>6
Bài 18: Cho biểu thức: P =

a

1



2

2
a



a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của a để P < 0
c) Tìm các giá trị của a để P =-2
Bài 19: Cho biểu thức:

(
P=

)

2

a 1
a +1



a +1

a

1



2

a b + 4 ab a b b a
.
a+ b
ab

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b) Rút gọn P
c) Tính giá trị của P khi a = 2 3 và b =

3

x+2
x
1
:
+
+

x
x

1

x
+
x
+
1
1

x



Bài 20: Cho biểu thức: P =

a) Rút gọn P
b) Chứng minh rằng P > 0

x 1

2 x + x

x x 1

Bài 21: Cho biểu thức: P =
a) Rút gọn P
b) Tính P khi x= 5 + 2

x 1
2

1

x +2
: 1



x 1 x + x + 1

3

Bài 22: Cho biểu thức: P =

3x


1

2
1
:
1:
+ 2
2+ x 4 x 42 x 42 x





Hoàng Quốc Nga 0914780828

6

Giáo trình ôn thi vào THPT

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P = 20
Bài 23: Cho biểu thức:

P

x y
+
=
x y

x3 y 3
yx


:



(

)

2

x y + xy

x+ y

a) Rút gọn P
b) Chứng minh P 0
Bài 24: Cho biểu thức:
1
3 ab
1
3 ab
a b
.
:
+




a + b a a + b b a b a a b b a + ab + b


P =

a) Rút gọn P
b) Tính P khi a =16 và b = 4
2a + a 1 2a a a + a a a
.

2 a 1
1

a
1

a
a



Bài 25: Cho biểu thức: P = 1 +
a) Rút gọn P
b) Cho P =

6
1+ 6

tìm giá trị của a
2
3
x5 x

25 x

= x 25 1 :
x
+
2
x

15

c) Chứng minh rằng P >
Bài 26: Cho biểu thức: P

x 5

x 3

x +3
+
x +5

a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của x thì P <1
Bài 27: Cho biểu thức: P =

(

)


( a 1). a b
3 a
3a
1

:

+

a + ab + b a a b b
2a + 2 ab + 2b
a

b



a) Rút gọn P
b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
1
1 a +1
a + 2



:

a

1
a
a

2
a

1

Bài 28: Cho biểu thức: P =
a) Rút gọn P

1
6
1
1
2
1
+ +
= + .
y x+ y x
x

b) Tìm giá trị của a để P >
Bài 29: Cho biểu thức: P

1
:
y

x3 + y x + x y + y 3
x 3 y + xy 3

a) Rút gọn P
b) Cho x.y =16. Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất
Bài 30: Cho biểu thức: P =

x3
2x
1 x

ì
xy 2 y x + x 2 xy 2 y 1 x

a) Rút gọn P
b) Tìm tất cả các số nguyên dơng x để y = 625 và P < 0,2

Hoàng Quốc Nga 0914780828

7


Giáo trình ôn thi vào THPT

Bài 31 Cho biểu thức

1 1
1
1
1
A=
+

ữ:
ữ+
1 x 1+ x 1 x 1+ x 1 x

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4 3 .
c) Với giá trị nào của x thì A có giá trị nhỏ nhất?
Bài 32 Cho biểu thức

x
1
x +1 x 1 2
B=


+
ữ: 2
ữ
x 1 x +1 x 1 x 1 x +1

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức B.
b) Tính giá trị của B khi x = 3 + 8 .
c) Tính giá trị của x khi B = 5
Bài 33 Cho biểu thức

a a 1 a a +1 a + 2
C =

ữ
ữ: a 2
a

a

a
+
a



a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức C.
b) Với những giá trị nào của a thì C có giá trị nguyên?
Bài34 Cho biểu thức

D=

x +1
10
5

+
x + 3 ( x + 3) ( x 2 ) x 2

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức D.
b) Xác định giá trị của x để D > 0
Bài 35 Cho biểu thức

E=

x
2x

x 1 x x

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức E.
b) Tính giá trị của B khi x = 3 + 8 .
c) Với giá trị nào của x thì E > 0?; E < 0?
Bài 36 Cho biểu thức



x 1
2 x
F = 1 +
:

ữ

ữ
ữ
ữ
x +1 x 1 x x + x x 1

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức F.
b) Tính giá trị của x để F > 3
c) Tính giá trị của x để F = 7
d) x = 19 - 8
Bài 37 Cho biểu thức


x
1 1
2
G =

:
+
ữ

ữ
ữ
x 1 x x x +1 x 1

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức G.
b) Tính giá trị của B khi x = 3 + 8 .
c) Tìm x khi G = 5
Bài 38 Cho biểu thức

H=

1
1
x3 x
+
+
x 1 x
x 1 + x
x 1

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức H.
b) Tính giá trị của x khi H = 4.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để H có giá trị nguyên?
Bài 39 Cho biểu thức

x 2
x + 2 x2 2x + 1
M =

ữ
ữì
2
x 1 x + 2 x +1

Hoàng Quốc Nga 0914780828

8


Giáo trình ôn thi vào THPT

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức M.
b) Tính giá trị của M khi x = 0,16.
c) CMR nếu 0 < x < 1 thì M > 0
d) Xác định giá trị lớn nhất của M
e) Tìm giá trị nguyên của x để M có giá trị nguyên?
Bài 40 Cho biểu thức: N = x + 4 x 4 + x 4 x 4
a) Rút gọn biểu thức N.
b) Tìm giá trị của x khi N = 4?
Chuyên đề II
PHNG TRèNH - H PHNG TRèNH - BT PHNG TRèNH (Bc nht)
A.KIN THC C BN
1.Phng trỡnh bc nht mt n
-Quyngkhmu.
-avdngax+b=0(a0)

b
-Nghimduynhtl x =
a
2.Phng trỡnh cha n mu
-TỡmKXcaphngtrỡnh.
-Quyngvkhmu.
-Giiphngtrỡnhvatỡmc.
-SosỏnhgiỏtrvatỡmcviKXriktlun.
3.Phng trỡnh tớch
giỏiphngtrỡnhtớchtachcngiicỏcphngtrỡnhthnhphncanú.
A ( x ) = 0

Chnghn:ViphngtrỡnhA(x).B(x).C(x)=0 B ( x ) = 0
C x = 0
( )
4.Phng trỡnh cú cha h s ch (Gii v bin lun phng trỡnh)
Dngphngtrỡnhnysaukhibinicngcúdngax+b=0.Songgiỏtrc
thcaa,btakhụngbitnờncntiukinxỏcnhsnghimcaphngtrỡnh.
b
-Nua0thỡphngtrỡnhcúnghimduynht x =
.
a
-Nua=0vb=0thỡphngtrỡnhcúvụsnghim.
-Nua=0vb0thỡphngtrỡnhvụnghim.
5.Phng trỡnh cú cha du giỏ tr tuyt i
A khi A 0
Cnchỳýkhỏinimgiỏtrtuyticamtbiuthc: A =
A khi A < 0
6.H phng trỡnh bc nht
Cỏchgiichyudavohaiphngphỏpcngisvth.Chỳýphng

phỏptnphtrongmtstrnghpxuthincỏcbiuthcgingnhauchai
phngtrỡnh.
Hoàng Quốc Nga 0914780828

9


Gi¸o tr×nh «n thi vµo THPT
7.Bất phương trình bậc nhất
Với bất phương trình bậc nhất thì việc biến đổi tương tự như với phương trình bậc 
nhất. Tuy nhiên cần chú ý khi nhân và cả hai vế với cùng một số âm thì phải đổi chiều 
bất phương trình.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Giải các phương trình sau
7x
20x + 1,5
− 5( x − 9) =
a)  2 ( x − 3) + 1 = 2 ( x + 1) − 9                b) 
8
6
13
1
6
+
= 2
c)  2
     d)  x − 3 + 3 x − 7 = 10 (*)
2x + x − 21 2x + 7 x − 9
Giải
a) 2 ( x − 3) + 1 = 2 ( x + 1) − 9 ⇔ 2x − 5 = 2x − 7 ⇔ −5 = −7 (Vô lý)

Vậy phương trình vô nghệm.
7x
20x + 1,5
− 5( x − 9) =
⇔ 21x − 120x + 1080 = 80x + 6 ⇔ −179x = −1074 ⇔ x = 6
8
6
Vậy phương trình có nghiệm x = 6.
b)

13
1
6
13
1
6 ⇔
+
=
+
=
( x − 3) ( 2x + 7 ) 2x + 7 ( x − 3) ( x + 3)
2x 2 + x − 21 2x + 7 x 2 − 9
7
ĐKXĐ: x ≠ ±3; x ≠ −
2
⇒ 13 ( x + 3) + ( x − 3) ( x + 3) = 6 ( 2x + 7 ) ⇔ 13x + 39 + x 2 − 9 = 12x + 42
c) 

 x = 3 ∉ DKXD
⇔ x 2 + x − 12 = 0 ⇔ ( x − 3) ( x + 4 ) = 0 ⇔ 

 x = −4 ∈ DKXD
Vậy phương trình có nghiệm x = - 4.

d) Lập bảng xét dấu
x
                              3                                    7
x – 3
                -             0                +                                  +
x - 7
              -                                  -                 0                +
-Xét x < 3:
7
(*)  ⇔ 3 − x + 3 ( 7 − x ) = 10 ⇔ 24 − 4x = 10 ⇔ −4x = −14 ⇔ x =  (loại)
2
-Xét 3 ≤ x < 7 :
(*)  ⇔ x − 3 + 3 ( 7 − x ) = 10 ⇔ −2x + 18 = 10 ⇔ −2x = −8 ⇔ x = 4  (t/mãn)
-Xét  x ≥ 7 :
17
(*)  ⇔ x − 3 + 3 ( x − 7 ) = 10 ⇔ 4x − 24 = 10 ⇔ 4x = 34 ⇔ x =  (loại)
2
Vậy phương trình có nghiệm x = 4.
VD2.Giải và biện luận phương trình sau
Hoµng Quèc Nga 0914780828

10


Gi¸o tr×nh «n thi vµo THPT

Giải

x + a − b x + b − a b2 − a 2
a) 
−
=
 (1)
a
b
ab
a ( x 2 + 1)
ax
−
1
2
b) 
 (2)
+
=
x −1 x +1
x2 −1
a) ĐK: a ≠ 0; b ≠ 0.
(1) ⇔ b ( x + a − b ) − a ( x + b − a ) = b 2 − a 2
⇔ bx + ab − b 2 − ax − ab + a 2 = b 2 − a 2
⇔ ( b − a ) x = 2( b − a ) ( b + a )

2( b − a ) ( b + a )
= 2( b + a )
b−a
-Nếu b – a = 0  ⇒ b = a  thì phương trình có vô số nghiệm.
Vậy:

-Với b ≠ a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2(b + a).
-Với b = a, phương trình có vô số nghiệm
b) ĐKXĐ:  x ≠ ±1
(2) ⇒ ( ax-1) ( x + 1) + 2 ( x − 1) = a ( x 2 + 1)
-Nếu b – a ≠ 0  ⇒ b ≠ a  thì  x =

⇔ ax 2 + ax − x − 1 + 2x − 2 = ax 2 + a
⇔ ( a + 1) x = a + 3

a +3
a +1
-Nếu a + 1 = 0  ⇒ a = −1  thì phương trình vô nghiệm.
-Nếu a + 1 ≠ 0  ⇒ a ≠ −1  thì  x =

Vậy: -Với a ≠ -1 và a ≠ -2 thì phương trình có nghiệm duy nhất  x =
   -Với a = -1 hoặc a = -2 thì phương trình vô nghiệm.

a +3
a +1

VD3.Giải các hệ phương trình sau
1
5
 1
+
=
 x + 2y − 3z = 2

 x + 5y = 7
x + y x − y 8


a) 
b) 
c) x − 3y + z = 5
3x
−
2y
=
4
1
1
3


 x − 5y = 1
−
=

 x − y x + y 8
 x = 7 − 5y
 x + 5y = 7
 x = 7 − 5y
 x = 7 − 5y
x = 2
⇔
⇔
⇔
⇔
Giải a) 
3x − 2y = 4 3 ( 7 − 5y ) − 2y = 4 21 − 17y = 4  y = 1

y = 1
 x + 5y = 7
3x + 15y = 21 17y = 17
y = 1
⇔
⇔
⇔
hoặc  
3x − 2y = 4 3x − 2y = 4
3x − 2y = 4
x = 2
b) ĐK:  x ≠ ± y
1
1
= u;
=v
đặt 
x+y
x−y
Hoµng Quèc Nga 0914780828

11


Gi¸o tr×nh «n thi vµo THPT
5
1


v=

2v = 1
u + v = 8



2
⇔
Khi đó, có hệ mới  
5⇔
− u + v = 3
u + v = 8
u = 1


8
8
x + y = 8
x = 5
⇔
Thay trở lại, ta được:  
x − y = 2
y = 3

 x + 2y − 3z = 2  x = 1 + 5y
 x = 1 + 5y
x = 6





c)   x − 3y + z = 5 ⇔ 1 + 5y + 2y − 3z = 2 ⇔ 7y − 3z = 1 ⇔  y = 1
 x − 5y = 1
1 + 5y − 3y + z = 5
2y + z = 4
z = 2




C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Giải các phương trình sau
x + 17 3x − 7
a) 3 ( x + 4 ) − 5 ( x − 2 ) = 4 ( 3x − 1) + 82         b)
−
= −2
5
4
x +1 x + 2 x + 3 x + 4
x −1
x
7x − 3
c)
+
=
+
                    d)
−
=
65
64

63
62
x + 3 x − 3 9 − x2
x+2 1
2
e)
− =
                                f ) x + 3 = 5
x − 2 x x ( x − 2)
g) 3x − 1 = 2x + 6                                         h) 2 − x − 3 2x + 1 = 4
i) 5 + 3x ( x + 3 ) < ( 3x − 1) ( x + 2 )                   k)

4x + 3 x − 1 2x − 3 x + 2
−
>
−
3
6
2
4

2.Giải và biện luận các phương trình sau
x−a
x−b
a)
+b=
+a
b) a 2 ( x − 1) − 3a = x
a
b

         
          
a
1
a
−1 a +1
d)
+
=
+
ax-1 x + a a 2 + 1
c)
−
= 2
x − a x +1 x − a x +1
a+1 1 − a a − 1
                     
3.Giải các hệ phương trình sau
m + n + p = 21
 x + y = 24

2
2
3x + 4y − 5 = 0

2u − v = 7
n + p + q = 24
a)  x y
c)  2
d) 

8 b) 
2
2x
−
5y
+
12
=
0
+
=
2

u + 2v = 66
 9 7
p + q + m = 23
9
q + m + n = 22
( m + 1) x − y = 3
4.Cho hệ phương trình  
mx + y = m
a) Giải hệ với m = - 2
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho x + y dương.

Hoµng Quèc Nga 0914780828

12


Giáo trình ôn thi vào THPT

Chuyên đề iii
Hàm số và đồ thị
i. Kiến thức cơ bản
1. Hàm số
a. Khái niệm hàm số
- Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta
luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số tơng
ứng của x và x đợc gọi là biến số
- Hàm số có thể cho bởi bảng hoặc công thức
b. Đồ thị hàm số
- Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả những điểm M trong mặt phẳng tọa độ có tọa
độ thỏa mãn phơng trình y = f(x) (Những điểm M(x, f(x)) trên mặt phẳng tọa độ)
c. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
* Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R
Hoàng Quốc Nga 0914780828

13


Giáo trình ôn thi vào THPT
- Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R
- Nếu x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R
1.1Hàm số bậc nhất
a. Khái niệm hàm số bậc nhất
- Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các
số cho trớc và a 0
b. Tính chất
Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất
sau:

- Đồng biến trên R khi a > 0
- Nghịch biến trên R khi a < 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0)
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) là một đờng thẳng
- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
- Song song với đờng thẳng y = ax, nếu b 0, trùng với đờng thẳng y = ax, nếu b
=0
* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0)
Bớc 1. Cho x = 0 thì y = b ta đợc điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.
Cho y = 0 thì x = -b/a ta đợc điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành
Bớc 2. Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm P và Q ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b
d. Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng
Cho hai đờng thẳng (d): y = ax + b (a 0) và (d): y = ax + b (a 0). Khi đó
a = a '
b b '

+ d // d '

+ d ' d ' = { A} a a '
a = a '
b = b '
+ d d ' a.a ' = 1

+ d d'

e. Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b (a 0)
Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox.
- Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong
đó A là giao điểm của đờng thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đờng
thẳng y = ax + b và có tung độ dơng

Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b
- Hệ số a trong phơng trình y = ax + b đợc gọi là hệ số góc của đờng thẳng y = ax +b
f. Một số phơng trình đờng thẳng
- Đờng thẳng đi qua điểm M0(x0;y0)có hệ số góc k: y = k(x x0) + y0
x

y

- Đờng thẳng đi qua điểm A(x0, 0) và B(0; y0) với x0.y0 0 là x + y = 1
0
0
1.2 Hàm số bậc hai
a. Định nghĩa
- Hàm số có dạng y = ax2 (a 0)
b. Tính chất
- Hàm số y = ax2 (a 0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và:
+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0
Hoàng Quốc Nga 0914780828

14


Giáo trình ôn thi vào THPT
+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax2 (a 0)
- Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm
trục đối xứng
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dời trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị
2. Kiến thức bổ sung

2.1 Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng
Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) và B(x2, y2). Khi đó
- Độ dài đoạn thẳng AB đợc tính bởi công thức
AB = ( xB x A )2 + ( y B y A ) 2

- Tọa độ trung điểm M của AB đợc tính bởi công thức
xM =

x A + xB
y + yB
; yM = A
2
2

2.2 Quan hệ giữa Parabol y = ax2 (a 0) và đờng thẳng y = mx + n (m 0)
Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đờng thẳng (d): y = mx + n. Khi đó
- Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phơng trình
y = ax 2

y = mx + n

- Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phơng trình
ax2= mx + n (*)
- Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phơng trình (*)
+ Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung
+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau
+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
II. Bài tập mẫu:
Bài 1: Cho hàm số: y = (m + 4)x - m + 6 (d).
a. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến.

b. Tìm các giá trị của m, biết rằng đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2). Vẽ đồ thị
của hàm số với giá trị tìm đợc của m.
c. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.
d. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.
e. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đờng thẳng (d) luôn luôn đi qua một
điểm cố định.
Bài 2: Cho hai đờng thẳng:
y = (k - 3)x - 3k + 3 (d1) và y = (2k + 1)x + k + 5 (d2).
Tìm các giá trị của k để:
a. (d1) và (d2) cắt nhau.
b. (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
c. (d1) và (d2) song song với nhau.
d. (d1) và (d2) vuông góc với nhau.
e. (d1) và (d2) trùng nhau.
Bài 3: Cho hàm số: y = (2m-5)x+3 với m

có đồ thị là đờng thẳng d .

Tìm giá trị của m để :
Hoàng Quốc Nga 0914780828

15


Giáo trình ôn thi vào THPT
a. Góc tạo bởi (d) và trục Ox là góc nhọn, góc tù ( hoặc hàm số đồng biến , nghịch
b.
c.
d.
e.

f.
g.

biến)
(d) đi qua điểm (2;-1)
(d)// với đờng thẳng y =3x-4
(d) // với đờng thẳng 3x+2y = 1
(d) luôn cắt đờng thẳng 2x-4y-3 =0
(d) cắt đờng thẳng 2x+ y = -3 tại điểm có hoành độ bằng -2
Chứng tỏ (d) luôn đi qua 1 điểm cố định trên trục tung

Bài 4: cho (p) y = 2x2 và đờng thẳng (d) y = (2m-1)x m2-9 . Tìm m để :
a. Đờng thẳng(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
b. (d) tiếp xúc với (P)
c. (d) và (P) không giao nhau.
1
2

Bi 5:Chohms: y = x 2 cúth(P).
a) TỡmcỏcimA,Bthuc(P)cúhonhlnltbng1v2.
b) VitphngtrỡnhngthngAB.
c) VitphngtrỡnhngthngsongsongviABvtipxỳcvi(P).Tỡmta
tipim.
Bi 6:Chohms:y=(m+1)x2cúth(P).
a) Tỡmmhmsngbinkhix>0.
b) Vim=2.Tỡmtogiaoimca(P)vingthng(d):y=2x3.
c) Tỡmm(P)tipxỳcvi(d):y=2x3.Tỡmtatipim.
Bi 7:Chngtngthng(d)luụntipxỳcviParabol(P)bit:
a)(d):y=4x4;(P):y=x2.
b)(d):y=2x1;(P):y=x2.

Bi 8:
8.1) Chngtrngngthng(d)luụnctParabol(P)ti2imphõnbit:
a) (d):y=3x+4;(P):y=x2.
b) (d):y=4x+3;(P):y=4x2.
8.2) Tỡmtagiaoimca(d)v(P)trongcỏctrnghptrờn.
Bi 9:ChoParabol(P)cúphngtrỡnh:y=ax2vhaingthngsau:
4
3

(d1): y = x 1
a)
b)
c)
d)

(d2):4x+5y11=0

Tỡmabit(P),(d1),(d2)ngquy.
V(P),(d1),(d2)trờncựnghtrctaviavatỡmc.
Tỡmtagiaoimcũnlica(P)v(d2).
Vitphngtrỡnhngthngtipxỳcvi(P)vvuụnggúcvi(d1).
1
2

Bi 10:ChoParabol(P): y = x 2 vngthng(d):y=2x+m+1.
a) Tỡmm(d)iquaimAthuc(P)cúhonhbng2.
b) Tỡmm(d)tipxỳcvi(P).Tỡmtatipim
c) Tỡmm(d)ct(P)tihaiimcúhonhcựngdng.

Hoàng Quốc Nga 0914780828

16


Giáo trình ôn thi vào THPT
d) Tỡmmsaocho(d)ctth(P)tihaiimcúhonhx 1 x2 thamón:
1 1 1
+ =
x12 x22 2

Bi 11:Chohms:y=ax2cúth(P)vhms:y=mx+2m+1cúth(d).
a) Chngminh(d)luụniquamtimMcnh.
b) Tỡma(P)iquaimcnhú.
c) VitphngtrỡnhngthngquaMvtipxỳcviParabol(P).

Chuyên đề iv: phơng trình bậc hai
PHN I KIN THC C BN CN NM VNG
1.Cụngthcnghim:
Phngtrỡnhax2+bx+c=0(a0)cú=b2-4ac
+Nu<0thỡphngtrỡnhvụnghim
+Nu=0thỡphngtrỡnhcúnghimkộp:x1=x2=

b
2a

+Nu>0thỡphngtrỡnhcú2nghimphõnbit:
x1=

b+
b

;x2=
2a
2a

2.Cụngthcnghimthugn:
Phngtrỡnhax2+bx+c=0(a0)cú=b2-ac(b=2b)
+Nu<0thỡphngtrỡnhvụnghim

Hoàng Quốc Nga 0914780828

17


Gi¸o tr×nh «n thi vµo THPT
+Nếu ∆’= 0 thì phương trình có nghiệm kép:  x1 = x2 = 

−b
a

+Nếu ∆’> 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
                                     x1 = 

− b + ∆'
− b − ∆'
;    x2 = 
a
a

3. Hệ thức Vi-ét
a) Định lí Vi-ét:   

    Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a≠0)
     thì : S = x1+x2 = 

−b
c
;   P = x1.x2 = 
a
a

b) Ứng dụng: 
+Hệ quả 1: 
     Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm:
x1 = 1;   x2 = 

c
a

+Hệ quả 2: 
     Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) có: a- b+c = 0 thì  phương trình có nghiệm: 
x1 = -1;   x2 = 

−c
a

c) Định lí: (đảo Vi-ét)
        Nếu hai số x1; x2 có  x1+x2= S ;  x1.x2 = P  thì x1; x2 là nghiệm của phương trình : 
x2- S x+P = 0
(x1 ; x2 tồn tại khi S2 – 4P ≥ 0)
Chú ý:  
   + Định lí Vi-ét chỉ áp dụng được khi phương trình có nghiệm (tức là ∆ ≥ 0)

  + Nếu a và c trái dấu thì phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu
PHẦN II. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
II. TOÁN TỰ LUẬN
LOẠI TOÁN RÈN KỸ NĂNG ÁP DỤNG CÔNG THỨC VÀO TÍNH TOÁN
Bài 1:        Giải phương trình
                  a)   x2 - 49x - 50 = 0 
                  b)  (2- 3 )x2 + 2 3 x – 2 – 3   = 0
Giải:
  a)  Giải phương trình  x2 - 49x - 50 = 0
    + Lời giải 1:  Dùng công thức nghiệm
                          (a = 1; b = - 49; c = 50)
       ∆ = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601;  ∆ = 51
       Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
                x1 =

− (−49) − 51
− (−49) + 51
= −1 ;   x2 =
= 50
2
2

    + Lời giải 2:    Ứng dụng của định lí Viet
       Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0 
      Nên phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 =  −
Hoµng Quèc Nga 0914780828

− 50
= 50
1

18


Gi¸o tr×nh «n thi vµo THPT
       + Lời giải 3:    ∆ = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601
        Theo định lí Viet ta có :       
 x1 + x2 = 49 = (−1) + 50
 x = −1
⇒ 1
 x1.x2 = 49 = −50 = ( −1).50  x2 = 50

                

       Vậy phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 =  −

− 50
= 50
1

  b)  Giải phương trình  (2- 3 )x2 + 2 3 x – 2 – 3   = 0
Giải:
  + Lời giải 1:   Dùng công thức nghiệm
                    (a = 2- 3 ; b = 2 3 ; c = – 2 – 3 )
      ∆ = (2 3 )2- 4(2- 3 )(– 2 – 3 ) = 16;  ∆ = 4
     Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
        x1 =

−2 3+4
−2 3−4

= 1 ;   x2 =
= −( 7 + 4 3 )
2( 2 − 3 )
2( 2 − 3 )

  + Lời giải 2:   Dùng công thức nghiệm thu gọn 
                         (a = 2- 3 ; b’ =  3 ; c = – 2 – 3 )
      ∆’ = ( 3 )2 - (2 -  3 )(– 2 – 3 ) = 4;  ∆ = 2
       Do ∆’ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
              x1 =

− 3+2
− 3−2
= 1 ;   x2 =
= −(7 + 4 3 )
2− 3
2− 3

  + Lời giải 3: Ứng dụng của định lí Viet
      Do a + b + c =  2- 3  + 2 3 + (- 2 -  3 ) = 0 
      Nên phương trình có nghiệm:  x1 = 1; x1 =  −

−2− 3
= −(7 + 4 3 )
2− 3

+ Học sinh xác định đúng hệ số a, b, c và áp dụng đúng công thức
+ Áp dụng đúng công thức (không nhẩm tắt vì dễ dẫn đến sai sót)
+ Gv: cần chú ý rèn tính cẩn thận khi áp dụng công thức và tính toán
* Bài tương tự:      Giải các phương trình sau:

1. 3x2 – 7x - 10 = 0 
5. x2 – (1+ 2 )x +   2  = 0
2. x2 – 3x + 2 = 0 
6. 3 x2 – (1- 3 )x – 1 = 0
3. x2 – 4x – 5 = 0 
7.(2+ 3 )x2 - 2 3 x – 2 + 3   = 0
2
4. 3x  – 2 3 x – 3 = 0
Bài 2: Tìm hai số u và v biết:  u + v = 42 và u.v = 441
Giải
Du u+v = 42 và u.v = 441 nên u và v là nghiệm của phương trình
x2 – 42x + 441 = 0 (*)
Ta có:    ∆’ = (- 21)2- 441 = 0
Phương trình (*) có nghiệm x1 = x2 = 21
        Vậy u = v = 21
*Bài tương tự: 
1. Tìm hai số u và v biết: 
   a)  u + v = -42 và u.v = - 400         b)  u - v = 5 và u.v = 24 
   c)  u + v = 3 và u.v = - 8                d)  u - v = -5 và u.v = -10 
Hoµng Quèc Nga 0914780828

19


Gi¸o tr×nh «n thi vµo THPT
2. Tìm kích thước mảnh vườn hình chữ nhật biết chu vi bằng 22m và diện tích bằng 
30m2
Bài 3:     Giải các phương trình sau (phương trình quy về phương trình bậc hai)
2x
x2 − x + 8

=
     a) x  + 3x  – 2x – 6 = 0;        b)   
x + 1 ( x + 1)( x − 4)
3

2

   c)   5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2;   d)   3(x2+x) – 2 (x2+x) – 1 = 0
Giải
  a) Giải phương trình   x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0  (1)
             (1) ⇔ (x2 - 2)(x + 3) = 0 ⇔ (x +  2 )(x -  2 )(x + 3) = 0
                   ⇔ x = - 2 ; x =  2 ; x = - 3 
             Vậy phương trình (1) có nghiệm x = - 2 ; x =  2 ; x = - 3
2x
x2 − x + 8
=
  b)  Giải phương trình  
  (2)
x + 1 ( x + 1)( x − 4)

    Với ĐK: x≠ -1; x≠ 4 thì 
    (2) ⇔  2x(x- 4) = x2 – x + 8 ⇔  x2 – 7x – 8 = 0 (*)
    Do a – b + c = 1- (-7) + (- 8) = 0 nên phương trình  (*) có nghiệm x 1 = -1(không thoả 
mãn ĐK)  ; x2 = 8 (thoả mãn ĐK)
    Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 8
  c)  Giải phương trình 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2  (3)
    Ta có: (3) ⇔ 5x4 – 3x2 – 26 = 0
    Đặt x2 = t (t ≥ 0) thì (3) ⇔ 5t2 – 3t – 26 = 0
     Xét ∆ = (-3)2 – 4.5.(-26) = 529. ⇒  ∆ = 23
− (−3) + 23 13

− (−3) − 23
= (thoả mãn t ≥ 0) ;      t2 =
= −2  (loại)
2 .5
5
2.5
13
13
13
     Với t =  ⇔ x2 =  ⇔ x =  ±
5
5
5

     Nên:   t1 =

     Vậy phương trình (3) có nghiệm x1 =  −

13
13
;   x2 = 
5
5

  d)  Giải phương trình 3(x2+x) – 2 (x2+x) – 1 = 0  (4)
            Đặt x2+x = t . Khi đó  (4) ⇔  3t2 – 2t – 1 = 0
            Do a + b + c = 3 + (- 2) + (- 1) = 0 . Nên t1 = 1; t2 =  −

1
3

            t1 = 1⇔ x2+x = 1⇔ x2 + x – 1 =  0 
            ∆1 = 12 - 4.1.(-1) = 5 > 0. Nên x1 = 
1
3

−1 − 5
−1 + 5
;  x2 =
2
2

1
3

            t2 =  − ⇔ x2+x =  − ⇔ 3x2 + 3x + 1 = 0  (*)
            ∆2 = 32 - 4.3.1 = -3 < 0 . Nên (*) vô nghiệm 
           Vậy phương trình (4) có nghiệm x1 = 

−1 − 5
−1 + 5
;  x2 =
2
2

* Bài tương tự:    Giải các phương trình sau:
1. x3+3x2+3x+2 = 0
7.  (x2 – 4x + 2)2 + x2 - 4x - 4 = 0
2. (x2 + 2x - 5)2 = (x2 - x + 5)2
3.   x4 – 5x2 + 4 = 0

Hoµng Quèc Nga 0914780828

20


Gi¸o tr×nh «n thi vµo THPT
4.   0,3 x4 + 1,8x2 + 1,5 = 0
5.  x3 + 2 x2 – (x - 3)2 = (x-1)(x2-2
6.  

2

1
1


8.   x +  − 4 x +  + 3 = 0
x
x


x+2
6
+3=
9.  
x −5
2− x

x
x +1

− 10.
=3
x +1
x

Bài 4:  Cho phương trình  x2 +  3 x -  5  = 0  có  2 nghiệm là x1 và  x2  . 
          Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
1

1

1

1

      A =  x + x ;     B = x12 + x22 ;    C =  2 + 2 ;        D = x13 + x23
x2
x2
2
2
Giải
      Do phương trình có 2 nghiệm là x1 và  x2 nên theo định lí Viet ta có:
      x1 + x2 = − 3 ;      x1.x2 =  − 5
      A = 

x + x2
1
1
− 3 1
+

= 1
=
=
15 ; 
x2
x2
x1 .x 2
− 5 5

      B = x12 + x22 = (x1+x2)2- 2x1x2=  (− 3 ) 2 − 2(− 5 ) = 3 + 2 5
x12 + x 22 3 + 2 5 1
= (3 + 2 5 ) ;  
      C =  2 2 =
x1 .x 2
(− 5 ) 2 5

      D = (x1+x2)( x12- x1x2 + x22) =  (− 3 )[3 + 2 5 − (− 5 )] = −(3 3 + 3 15 )
* Bài tương tự:    
           Cho phương trình  x2 + 2x - 3 = 0  có  2 nghiệm là x1 và  x2  . 
           Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
1

1

1

1

      A =  x + x ;     B = x12 + x22 ;    C =  2 + 2 ;        D = x13 + x23
x2

x2
2
2
6 x12 + 10 x1 x 2 + 6 x 22
3 x12 + 5 x1 x 2 + 3 x 22
      E = 
;   F = 
5 x1 x 23 + 5 x13 x 2
4 x1 x 22 + 4 x12 x 2

LOẠI TOÁN RÈN KỸ NĂNG SUY LUẬN(Phương trình bậc hai chứa tham số)
Bài 1:  (Bài toán tổng quát)
     Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) có: 
   1. Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔ ∆ ≥ 0
   2. Vô nghiệm ⇔ ∆ < 0
   3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) ⇔ ∆ = 0
   4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) ⇔ ∆ > 0
   5. Hai nghiệm cùng dấu ⇔ ∆≥ 0 và P > 0
   6. Hai nghiệm trái dấu ⇔ ∆ > 0 và P < 0 ⇔ a.c < 0
   7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) ⇔ ∆≥ 0; S > 0 và P > 0
   8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) ⇔ ∆≥ 0; S < 0 và P > 0
   9. Hai nghiệm đối nhau ⇔ ∆≥ 0 và S = 0
   10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau ⇔ ∆≥ 0 và P = 1
   11.Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S< 0
   12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ac< 0 và S> 0
(ở đó: S = x1+ x2 = 

−b
c
;   P = x1.x2 =  )

a
a

Hoµng Quèc Nga 0914780828

21


Gi¸o tr×nh «n thi vµo THPT
* Giáo viên cần cho học sinh tự suy luận tìm ra điều kiện tổng quát, giúp học sinh chủ
động khi giải loại toán này
Bài 2:    Giải phương trình (giải và biện luận):   x2 - 2x + k = 0  ( tham số k)
Giải
∆’ = (-1)2- 1.k = 1 – k 
     Nếu ∆’< 0 ⇔ 1- k < 0 ⇔ k > 1 ⇒ phương trình vô nghiệm
     Nếu ∆’= 0 ⇔ 1- k = 0 ⇔ k = 1 ⇒ phương trình có nghiệm kép x1= x2=1
     Nếu ∆’> 0 ⇔ 1- k > 0 ⇔ k < 1 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt
                                                              x1 = 1-  1 − k ;   x2 = 1+ 1 − k
     Kết luận: 
     Nếu k > 1 thì phương trình vô nghiệm
     Nếu k = 1 thì phương trình có nghiệm x=1
     Nếu k < 1 thì phương trình có nghiệm x1 = 1-  1 − k ; x2 = 1+ 1 − k  
Bài 3:    Cho phương trình  (m - 1)x2 + 2x - 3 = 0   (1) (tham số m)
   a) Tìm m để (1) có  nghiệm
   b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?
   c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)?
Giải
3
2

a) + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng  2x - 3 = 0 ⇔ x =   (là nghiệm) 
    + Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ∆’=12 - ( -3)(m - 1) = 3m - 2
       (1) có nghiệm ⇔ ∆’ = 3m-2 ≥ 0 ⇔ m ≥ 

2
3
2
3

    + Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với m ≥   thì phương trình có nghiệm
3
2

b) + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng  2x - 3 = 0 ⇔ x =   (là nghiệm)
     + Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ∆’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2
2
3

       (1) có nghiệm duy nhất ⇔ ∆’ = 3m-2 = 0 ⇔ m =   (thoả mãn m ≠ 1)
1
1
=−
=3
2
        Khi đó x =  m − 1
−1
3
−

  +Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất  x = 

3
2

2
3

        Với m =   thì phương trình có nghiệm duy nhất  x = 3
c)  Do phương trình có nghiệm x1 = 2 nên ta có:
3
4
3
1
     Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do m -1 =  -1= −  ≠ 0)
4
4

     (m - 1)22 + 2.2 - 3 = 0  ⇔ 4m – 3 = 0 ⇔ m = 

Hoµng Quèc Nga 0914780828

22


Gi¸o tr×nh «n thi vµo THPT
−3
−3
=
= 12 ⇒ x 2 = 6
    Theo đinh lí Vi - et ta có:  x1.x2 =  m − 1 − 1

4
3
     Vậy m =   và nghiệm còn lại là x2 = 6
4

* Giáo viên cần khắc sâu trường hợp hệ số a có chứa tham số (khi đó bài toán trở
nên phức tạp vàhọc sinh thường hay sai sót)
Bài 4:    Cho phương trình:  x2 - 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)
   a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m
   b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
   c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm
   d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn x12+x22  ≥  10.
   e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m
   f) Hãy biểu thị x1 qua x2
g) Tìm GTNN của A = x12 +x22
Giải
2

1  15

a)   Ta có: ∆  = (m-1)  – (– 3 – m ) =   m −  +
2
4

2
15
1

     Do   m −  ≥ 0  với mọi m;  > 0  ⇒ ∆ > 0 với mọi m
4

2

’

2

       ⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 
       Hay phương trình luôn có hai nghiệm (đpcm)
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  ⇔ a.c < 0 ⇔ – 3 – m < 0 ⇔ m > -3 
     Vậy  m > -3
c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
    Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
    Khi đó phương trình có hai nghiệm âm ⇔ S < 0 và P > 0
2(m − 1) < 0
m < 1
⇔
⇔ m < −3
− (m + 3) > 0
m < −3

      ⇔ 

     Vậy m < -3
d) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
    Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
     Khi đó A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10 
     Theo bài A ≥ 10 ⇔ 4m2 – 6m ≥ 0 ⇔ 2m(2m-3) ≥ 0 
 m ≥ 0

2 m − 3 ≥ 0

⇔
                                 ⇔ 
m ≤ 0

2m − 3 ≤ 0

 m ≥ 0

 m ≥ 3
3

m≥

2

⇔
2


m
≤
0


m
≤
0


3

 m ≤
2


3
2

      Vậy m ≥   hoặc m ≤ 0
e) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Hoµng Quèc Nga 0914780828

23


Gi¸o tr×nh «n thi vµo THPT
 x1 + x 2 = 2(m − 1)
 x + x 2 = 2m − 2
⇔ . 1
 x1 .x 2 = −(m + 3)
2 x1 .x 2 = −2m − 6

    Theo định lí Viet ta có:  

    ⇒ x1 + x2+2x1x2 = - 8 
    Vậy  x1 + x2 + 2x1x2 + 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc m
8 + x2

f) Từ ý e) ta có: x1 + x2+2x1x2 = - 8 ⇔ x1(1+2x2) = - ( 8 +x2) ⇔  x1 = − 1 + 2 x
8+ x

2

1
2

2
    Vậy   x1 = − 1 + 2 x     ( x 2 ≠ − )
2

Bài 5:   Cho phương trình:  x2 + 2x + m -1= 0  ( m là tham số)
  a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau 
  b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1 + 2x2 = 1
1

1

2

1

   c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn  y1 = x1 + x ;  y 2 = x2 + x  với x1; x2 là nghiệm của 
phương trình ở trên
Giải
a)  Ta có ∆’ = 12 – (m-1) = 2 – m
     Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau 
∆' ≥ 0
2 − m ≥ 0
m ≤ 2
⇔
⇔

⇔m=2
m − 1 = 1
m = 2
P = 1

      ⇔ 

     Vậy m = 2
b) Ta có ∆’ = 12 – (m-1) = 2 – m
     Phương trình có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ 2 – m ≥ 0 ⇔ m ≤ 2 (*)
     Khi đó theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2  (1);  x1x2 = m – 1 (2)
     Theo bài: 3x1+2x2 = 1 (3)
 x1 + x2 = −2

  Từ (1) và (3) ta có:   

3 x1 + 2 x2 = 1

 2 x1 + 2 x2 = −4

⇔

3 x1 + 2 x2 = 1

 x1 = 5

 x1 = 5

⇔

 x1 + x2 = −2

⇔

 x 2 = −7

   Thế vào (2) ta có:   5(-7) = m -1 ⇔ m = - 34 (thoả mãn (*))
   Vậy m = -34 là giá trị cần tìm
d)  Với m ≤ 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm 
     Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2  (1) ;    x1x2 = m – 1 (2)
+ y 2 = x1 + x2 +

      Khi đó: y

1

                  y y
1

2

= (x +
1

1
x

)( x +
2

2

1
x1
1
x

1

+

1

= x1 + x 2 +

x2

)= xx +
1

2

1
xx
1

x1 + x2
x1 x2

= −2 +

+ 2 = m −1+
2

1
m −1

−2
m −1

+2=

=

m

2m
1− m

  (m≠1)

2

m −1

 (m≠1)

2m
m2
     ⇒ y1; y2 là nghiệm của phương trình: y  - 

.y + 
 = 0  (m≠1)
1− m
m −1
2

     Phương trình ẩn y cần lập là:  (m-1)y2 + 2my + m2 = 0
*Yêu cầu:
+ HS nắm vững phương pháp
+ HS cẩn thận trong tính toán và biến đổi
+ Gv: cần chú ý sửa chữa những thiếu sót của học sinh, cách trình bày bài và khai
thác nhiều cách giải khác
Hoµng Quèc Nga 0914780828

24


Gi¸o tr×nh «n thi vµo THPT
* Bài tương tự:
1) Cho phương trình: (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 ( ẩn x)
   a) Định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này
   b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm.
2)  Cho phương trình : x2 – 4x + m + 1 = 0
   a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
   b) Tìm  m sao cho phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12  + x22 = 10
3) Cho phương trình: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0
   a) C/m , phương trình luôn luôn có hai nghiệm  khi m thay đổi
   b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: 1 < x1 < x2 <6
4) Cho phương trình bậc hai có ẩn x: x2 – 2mx + 2m – 1 = 0
   a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m.

   b) Đặt A = 2(x12 + x22) – 5x1x2
*) CMR:  A = 8m2 – 18m  + 9
**) Tìm m sao cho A =27
   c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm  kia
5) Cho phương trình ; x2  -2(m + 4)x + m2 – 8 = 0. Xác định m để phương trình có 2 
nghiệm x1, x2 thoả mãn:
   a) A = x1 + x2 – 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất.
   b) B = x12 + x22 – x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
   c) Tìm hệ thức giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m
6) Cho phương trình : x2 – 4x – (m2 + 3m) = 0
   a) C/m  phương trình luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m
   b) Xác định m để: x12 + x22 = 4(x1 + x2)
   c) Lập phương trình bậc hai ẩn y có 2 nghiệm y1 và y2 thoả mãn: 
y

y

1
2
          y1 + y2 = x1 + x2 và  1 − y + 1 − y = 3
2
1
2
7) Cho phương trình : x  + ax + 1 = 0. Xác định a để phương trình có 2 nghiệm x 1 , x2 

x
thoả mãn :   1
 x2

2

2


x 
 +  2  > 7

 x1 

8) Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0 (1)
 a) Giải (1) khi m = 2 
b) Giải và biện luận phương trình (1) theo m
 c) Khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2:
      * Tìm một hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m
      * Tìm m sao cho  x1 − x 2 ≥ 2
Dạng: Tìm m để phương trình ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm x 1, x2 thoả mãn  đẳng thức 
cho trước.
Bài 1: Tìm m để phương trình :   x 2 − 2( m − 1 ) x + m 2 − 3m = 0.   có 2 nghiệm x1, x2  thoả 
mãn x12 + x22 = 8.
Bài 2: Tìm m để phương trình :  x 2 − ( 2 m − 1 ) x − 4 m − 3 = 0.  có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn 
x12 + x22 = 10.
Bài 3: Tìm m để phương trình :   ( 2 m − 1 ) x 2 − 2( m + 4 ) x + 5 m + 2 = 0.   có 2 nghiệm x1,x2 
thoả mãn   x 12 + x 22 = 2 x 1 x 2 + 16.
Hoµng Quèc Nga 0914780828

25