sáng kiến kinh nghiệm khai thác các ứng dụng từ một bài toán có quy luật ở THCS

Phần I : Đặt vấn đề
Giải toán là một nghệ thuật thực hành . Vì vậy để có kỹ năng giải bài tập Toán
và tìm ra được quy luật bài toán phải qua quá trình luyện tập . Tuy rằng không
phải cứ giải bài tập là có kỹ năng hay tìm ra được quy luật. Việc luyện tập sẽ có
hiệu quả , nếu như biết khéo léo khai thác từ một bài tập sang một loại bài tập
tương tự , nhằm vận dụng một tính chất nào đó hay khái quát được cách giải
chocho loại bài tập cùng dạng hoặc có dạng tương tự. Thực tế cho thấy học sinh
học Toán thường không chú ý đến đặc điểm bài toán, phương pháp giải nên khi
gặp bài toán có sử dụng phương pháp giải tương tự còn gặp nhiều khó khăn
,lúng túng,thậm chí không biết cách giải như thế nào.Điều đó càng khẳng định
rằng “không thầy đố mày làm nên”.Nếu như không có sự hướng dẫn của giáo
viên thì người học không có được một phương pháp hay một kết quả tốt.Chứng
tỏ phương pháp học đóng một vai trò cực kỳ quan trọng trong học tập.
Chính vì vậy để nâng cao chất lượng bộ môn toán và lôi cuốn được niềm đam
mê,sự yêu thích dành cho bộ môn Toán tôi đã tiến hành soạn ra đề tài : “Khai
thác các ứng dụng từ một bài toán có quy luật ở THCS”.

Phần II. Giải quyết vấn đề
1. Cơ sở lý luận của đề tài :
Giải bài tập toán là một quá trình suy luận ,nhằm khám phá ra các quá trình
logic giữa cái đã cho (giả thiết) với cái phải tìm (kết luận) .Nhưng các quy tắc
suy luận cũng như các chứng minh chưa được tường minh .Do đó , học sinh
thường gặp nhiều khó khăn khi giải bài tập . Thực tiễn dạy học cũng cho thấy :
học sinh khá giỏi thường đúc kết những tri thức ,phương pháp cần thiết cho
mình bằng con đường kinh nghiệmvà từ đó có thể tìm ra được quy luật cho bài
toán. ; còn học sinh trung bình, yếu , kém gặp nhiều lúng túng . Để có kỹ năng
giải bài tập phải qua quá trình rèn luyện. Tuy rằng ,không phải cứ giải nhiều bài
tập là học sinh nào cũng có thể tìm ra được quy luật của bài toán .

1

Việc luyện tập có nhiều hiệu quả ,nếu như biết khéo léo khai thác từ một bài
tập sang một loại bài tập tương tự ,nhằm vận dụng một tính chất nào đó ,nhằm
rèn luyện một phương pháp chứng minh nào đó . Quan sát đặc điểm bài toán,
khái quát đặc điểm đề mục là vô cùng quan trọng , song quan trọng hơn là khái
quát hướng suy nghĩ và phương pháp giải .Sự thực là khi giải bài tập không chỉ
là giải một vấn đề cụ thể mà là giải đề bài trong một loại vấn đề nào đó . Vì vậy ,
hướng suy nghĩ và phương pháp giải bài tập cũng nhất định có một ý nghĩa
chung nào đó . Nếu ta chú ý mà khái quát được hướng suy nghĩ và cách giải của
một vấn đề nào đó là gì thì ta có thể dùng nó để chỉ đạo giải vấn đề cùng loại và
mở rộng ra : “ Mỗi vấn đề mà tôi giải quyết đều sẽ trở thành ví dụ mẫu mực
dùng để giải quyết vấn đề khác “ . Do đó sau khi giải một bài toán nên chú ý
hướng khai thác,cách giảivà quy luật bài toán
2. Thực trạng của vấn đề:
* Đối với giáo viên:
Đa số giáo viên luôn quan tâm,nghiên cứu,tìm tòi để có phương pháp hay
truyền đạt kiến thức đến các em một cách dễ hiểu nhất.Bên cạnh đó vẫn còn giáo
viên chưa đi sâu tìm hiểu đối tượng học sinh,chưa tìm tòi nghiên cứu để tìm ra
phương pháp phù hợp với đối tượng học sinh lớp dạy, còn có cách nghĩ chủ
quan,áp đặt đối với học sinh dẫn đến nội dung dạy chỉ bám sát vào sách giáo
khoa và chuẩn kiến thức mà chưa nâng cao mở rộng,hoăc có đưa ra dạng toán
nâng cao mở rộng thì chưa phong phú dạng bài hoặc chỉ đưa ra để giới thiệu chứ
chưa đi sâu ,chưa hướng dẫn các em cách khai thác dạng toán có phương pháp
giải tương tự,chưa chỉ ra cho các em phương pháp khai thác,tìm đặc điểm của
bài toán ,vận dụng,tìm mối liên hệ giữa các bài toán,dạng toán tương tự.
*Đối với học sinh:
Thực tế là đa số học sinh khi giải bài tập toán chỉ đơn thuần là tìm ra đáp số
hay giải đúng là được ,kể cả học sinh khá giỏi hay trung bình yếu. Các em chưa
có thói quen quan sát đặc điểm bài toán rồi mới đưa ra phương pháp giải,chứ
chưa nói đến việc mà các em biết tìm mối liên hệ giữa bài toán này với bài toán

2


khác ,để từ đó có phương pháp giải hợp lý nhất hay vận dụng phương pháp từ
bài toán này sang bài toán khác có dạng tương tự,khai thác từ bài toán này sang
bài toán khác,vận dụng kết quả từ bài toán này sang bài toán khác ,….Vì
vậy,qua kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy tôi thấy để học sinh đạt được kết quả
học tập tốt thì các em phải có phương pháp giải toán tốt .Đó là biêt quan sát, biêt
dụng ,biêt khai thác bài toán có dạng tương tự,từ đó tìm ra quy luật chung.
Do đó,khi chưa hướng dẫn học sinh khai thác ứng dụng từ một bài toán có
quy luật ở THCS mà chỉ hướng dẫn một bài cụ thể.Đa số các em khi gặp loại
toán tương tự không biết cách áp dụng mà loai hoay không biết cách giải,kêt quả
cụ thể :
Lớp

TS

6A
8A

15
15

Giỏi
SL
%
0
0
0
0

Khá
SL
%
0
0
0
0

TB
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
4
26,67 4
26,67 7
46,66
4
26,67 3
20
8
53,33

3.Giải pháp và biện pháp thực hiện:
a)Giải pháp:

Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy để học sinh có được phương pháp
giải toán tốt người giáo viên cần phải giúp các em có thói quen quan sát đặc
điểm bài toán trước khi giải và có ý thức liên hệ ,vận dụng,khai thác từ bài toán
này sang bài toán khác.
b)Biện pháp thực hiện :
Qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy dạng bài tập có nhiều ứng dụng trong giải
các dạng toán như :
-Ứng dụng trong dạng tính toán ,toán rút gọn,toán chứng minh đẳng thức .
-Ứng dụng trong dạng toán chứng minh bât đăng thức.
-Ứng dụng trong dạng toán giải phương trình,bât phương trình....
Vì thế tôi chọn dạng bài tập có quy luật để khai thác các ứng dụng để hướng
dẫn học sinh để tìm ra quy luật.
Xét bài toán sau:
1

1

1

a) Chứng tỏ rằng với n ∈ N,n ≠ 0: n(n + 1) = n − n + 1
b) Áp dụng kết quả trên để tính được tổng sau:

(1)

1
1
1
1
1
1

+
+
+
+
+
1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7

• Hướng dẫn:

3


1

1

n +1− n

1

a) Biến đổi vế phải : n − n + 1 = n(n + 1) = n(n + 1)
b) Xét đặc điểm đẳng thức ở câu a: vế phải có mẫu là một tích hai biểu thức
1

1

1

cách nhau 1; 1 chính là tử thì có n − n + 1 = n(n + 1) . Tương tự với đặc điểm
như vế phải ở câu a, ta có :

1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 6
= − + − + − + − + − + − =1 − =
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7
7 7

Cách phát biểu khác của bài toán:
1

a) Viết phân thức n(n + 1) thành hiệu của hai phân thức có tử bằng một
b) Vận dụng kết quả câu a hãy rút gọn biểu thức sau:
1
1
1
1
1
1
+

+
+
+
+
1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7

I. Khai thác bài tập trên trong tính toán ,trong toán rút gọn ,toán chứng
minh đẳng thức:
Bài 1 : Tính :
a)

1 1
1
1
1
1
+
+
+
+
+ ... +
2 2.3 3.4 4.5 5.6
99.100

* Hướng dẫn :
1 1
1
1
1
1

1 1 1 1 1 1 1
1
1
+
+
+
+
+ ... +
= + − + − + − + ... −
2 2.3 3.4 4.5 5.6
99.100 2 2 3 3 4 4 5
99 100
1
99
=1 =
100
100

Từ đó có bài toán tổng quát :
1

1

1

1

1

1

c) Tính tổng: 2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + ... + n(n + 1) với n ≥ 1
* hướng dẫn : Tương tự câu a ,ta có kết quả: 1 −

1
n
=
n +1 n +1

Nhận xét : Đặc điểm mẫu các phân thức để từ đó ta có các dạng bài toán khác ;
các hạng tử trong tổng trên đều là những phân thức có dạng : mẫu là một tích
hai nhân tử cách nhau một đơn vị chính bằng tử .Vậy mẫu là tích hai nhân tử
cách nhau 2,hay 3,hay 4,…thì giải bài toán như thế nào ? Chẳng hạn:
1
1
1
1
1
+
+
+
+ ... +
1.3 3.5 5.7 7.9
2005.2007
1
1
1
1
1
b) 2.5 + 5.8 + 8.11 + 11.14 + ... + (3n + 2)(3n + 5)

a)

*Hướng dẫn:
a) Viết mỗi hạng tử dưới dạng hiệu hai phân thức:

4


1 1 1 1 1
1 1 1
= ( − );
= ( − )
1.3 2 1 3 5.7 2 5 7
1
1 1 1 1
1 1 1
1
1 1
1
= ( − );
= ( − );...;
= (
−
)
3.5 2 3 5 7.9 2 7 9
2005.2007 2 2005 2007
1
1
1

1
1
+
+
+
+ ... +
Vậy:
1.3 3.5 5.7 7.9
2005.2007
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
1003
−
) = (1 −
)=
= ( − + − + − + − + ... +
2 1 3 3 5 5 7 7 9
2005 2007
2
2007
2007

b)Phương pháp làm tương tự câu a:
1

1

1

1

Xét hạng tử tổng quát: (3n + 2)(3n + 5) = 3 ( 3n + 2 − 3n + 5 )
1

1

1

1

1

nên ,ta có 2.5 + 5.8 + 8.11 + 11.14 + ... + (3n + 2)(3n + 5)
1 1
1
n +1
1 1 1 1 1 1 1
1
1
)=
+ ... +
−
)= ( −
3 2 3n + 5 2(3n + 5)
3 2 5 5 8 8 11
3n + 2 3n + 5

= ( − + − + −

- Tương tự như vậy ta có thể đề xuất một bài toán cùng loại và giải quyết với
cùng phương pháp.
* Chú ý đến đặc điểm tử và mẫu các phân thức ta có bài toán tổng quát hơn ;tử
là một số (biểu thức) bất kỳ ,mẫu là tích của 2 số (biểu thức) cách đều nhau thì
làm như thế nào ? Chẳng hạn:
Bài 2: Tính tổng:
5
5
5
5
5
+
+
+
+ ... +
2.4 4.6 6.8 8.10
98.100
n
n
n
n
n
b) a a + a a + a a + a a + ... + a a
1 2
2 3
3 4
4 5
k k +1

a)

với a2 - a1= a3 – a2 = a4 – a3 = …= ak+1- ak = b
Hướng dẫn :Phương pháp làm :Viết các hạng tử trong tổng dưới dạng hiệu
5
5 1 1
5
5 1 1
= ( − )
= ( − )
;
2.4 2 2 4
4.6 2 4 6
5
5 1 1
5
5 1 1
5
5 1
1
= ( − );
= ( − ); … ;
= ( −
)
6.8 2 6 8
8.10 2 8 10
98.100 2 98 100
5
5

5
5
5
+
+
+
+ ... +
2.4 4.6 6.8 8.10
98.100
5 1 1 1 1 1 1
1
1
5 1 1
49
= ( − + − + − + ... + −
)= ( − )=
2 2 4 4 6 6 8
98 100
2 2 100 40

(tương tự bài 1). Ta có :

Do đó :

b)Phương pháp làm tương tự câu a. Đây chính là bài toán tổng quát rút ra từ bài
toán trên .Vậy ta xét các trường hợp sau:
- Trường hợp 1: Nếu a2 - a1= a3 – a2 = a4 – a3 = …= ak+1- ak = n
Bài toán này được giải dễ dàng theo cách phân tích của bài 1,vì khi đó :
n
1 1

= −
a1a2 a1 a2
n
1 1
= −
a2 a3 a2 a3

5


………………………….
n
1
1
= −
ak ak +1 ak ak +1
n
n
n
n
n
1
1
Cộng vế với vế ta có : a a + a a + a a + a a + ... + a a = = a − a
1 2
2 3
3 4
4 5
k k +1
1

k +1
-Trường hợp 2: Nếu a2 - a1= a3 – a2 = a4 – a3 = …= ak+1- ak = b ≠ n
n
n
n
n
n
Ta có : a a + a a + a a + a a + ... + a a
1 2
2 3
3 4
4 5
k k +1
b
b
b
b
n b
= ( a a + a a + a a + a a + ... + a a )
b 1 2
2 3
3 4
4 5
k k +1

Bài toán này thực chất đã đưa về bài 2; bài 3. Do đó ta có kết quả là:
n 1
1
( −
)

b a1 ak +1

Nếu mẫu là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp cách đều nhau thì sao ? Từ đó ta có
bài toán khó hơn:
Bài 3: Tính tổng :
1

1

1

1

1

1

1

1

1

A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + ... + (n − 1).n.(n + 1) với n ≥ 1,n∈ N
1

B = 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + 7.9.11 + ... + (2n − 1)(2n + 1)(2n + 3) với n ≥ 2,n∈ N
*Hướng dẫn: Phương pháp giải tương tự như các bài toán trên:viết các hạng tử
dưới dạng hiệu
2

1

1

*Nhận xét: (n − 1).n.(n + 1) = (n − 1)n − n(n + 1) . Do đó ta có :
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1 1
( 1.2 − 2.3 + 2.3 − 3.4 + 3.4 − 4.5 + ... + ( n − 1).n − n(n + 1) )= 2 ( 2 − n(n + 1) )
2
4
1
1
*Nhận xét: (2n − 1).(2n + 1).(2n + 3) = (2n − 1)(2n + 1) − (2n + 1)(2n + 3) .Do đó ta có
1
1
1
1
1
1
1
1 1

B= ( 1.3 − 3.5 + 5.7 − 7.9 + 9.11 − 11.13 + ... + (2n − 1).(2n + 1) − (2n + 1)(2n + 3) )
4
1 1
1
= 4 ( 3 − (2n + 1)(2n + 3) )
1 1 b−a
*) Từ (1) ta có đẳng thức tổng quát hơn: a − b = ab với a ≠ 0 ; b ≠ 0 thì việc áp

A=

dụng công thức trên trong thực tế được sử dụng rất nhiều . Chẳng hạn với bài
toán sau:
Bài 4: Cho biết a,b,c là các số thực khác nhau. Chứng minh :
b−c
c−a
a −b
2
2
2
+
+
=
+
+
(a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a )(c − b) a − b b − c c − a

*Hướng dẫn: Đối với bài này nếu dùng cách hòa đồng mẫu số vế trái để chứng
minh thì quá trình tính phức tạp .Có cách gì tính ngắn gọn không ? Quan sát các
số hạng ở vế trái tử số vừa đúng bằng hiệu hai thừa số ở mẫu số :
6

b – c = (a – c) - (a – b) ; c – a = (b – a) – (b – c) ;
a – b= (c- b) – (c – a) .Điều đó gợi cho ta nhớ đến dùng ngược công thức

b−a
1
1
b−a 1 1
=
−
= − tức
. Do đó :
(a − b)(a − c) a − b a − c
a.b
a b
b−c
c−a
a −b
1
1
1
1
1
1
+
+
=
−
+

−
+
−
(a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a )(c − b) a − b a − c b − c b − a c − a c − b
1
1
1
1
1
1
−
+
−
+
−
=
a −b a −c b −c b −a c −a c −b
2
2
2
+
+
=
(đpcm)
a −b b−c c−a

* Chú ý đến mẫu :nếu ta thay x(x+1) = x2 + x; (x+1)(x+2)= x2 + 3x +2;…
Ta sẽ có các bài toán luyện cho học sinh kỹ năng phân tích đa thức thành nhân
tử:
Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau :

1
1
1
1
1
+ 2
+ 2
+ 2
+ 2
x + x x + 3x + 2 x + 5 x + 6 x + 7 x + 12 x + 9 x + 20
1
1
1
1
+ 2
+ 2
+ 2
b) N = 2
x − 5 x + 6 x − 7 x + 12 x − 9 x + 20 x − 11x + 30

a) M =

2

*Hướng dẫn :
a) Để rút gọn M cần phân tích các mẫu thành nhân tử :
Ta có : x2 +x = x( x+ 1) ; x2 +3x + 2 = x2 + x+ 2x +2= (x +1)(x +2)
x2 + 5x + 6 = x2 +3 x+ 2x +6= (x +3)(x +2) ;
x2 + 7x + 12 = x2 + 3x+ 4x + 12= (x +3)(x +4)
x2 + 9x + 20 = x2 + 4x+ 5x +20 = (x +4)(x +5) .Do đó :

1

1

1

1

1

M= x( x + 1) + ( x + 1)( x + 2) + ( x + 2)( x + 3) + ( x + 3)( x + 4) + ( x + 4)( x + 5)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
−
+
−
+
−
+
−
+
−

x x +1 x +1 x + 2 x + 2 x + 3 x + 3 x + 4 x + 4 x + 5
1
1
5
= x − x + 5 = x( x + 5)

=

b) Tương tự ta có:
1

1

1

1

N = ( x − 2)( x − 3) + ( x − 3)( x − 4) + ( x − 4)( x − 5) + ( x − 5)( x − 6)
1
1
1
1
1
1
1
1
−
+
−
+

−
+
−
x −2 x −3 x −3 x −4 x − 4 x −5 x −5 x −6
1
1
−4
= x − 2 − x − 6 = ( x − 2)( x − 6)

=

Bài 6: Rút gọn :
a
a
a
a
1
+ 2
+ 2
+ 2
+
2
2
2
x + ax x + 3a.x + 2a
x + 5.a.x + 6a
x + 7.a.x + 12a
x + 4a
a
a

a
a
1
+ 2
+ 2
+ ... + 2
+
b) B = 2
2
2
2
x + ax x + 3a.x + 2a
x + 5.a.x + 6a
x + 19.a.x + 90a
x + 10a

a) A=

2

Hướng dẫn:

7


a

a

a

a

1

a) A= x( x + a) + ( x + a)( x + 2a) + ( x + 2a)( x + 3a) + ( x + 3a)( x + 4a) + x + 4a
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
−
+
−
+
−
+
−
+
=
a x + a x + a x + 2a x + 2a x + 3a x + 3a x + 4a x + 4a
x
a
a
a

a
B=
+
+
+
x ( x + a ) ( x +a )( x +2a ) ( x +2a)( x +3a ) ( x +3a )( x +4a )
b)
1
1
1
1
1
+
−
+... +
+
=
x +4a x +5a
( x +9a )( x +10a ) x +10a
x
2x +1
1
1
* Xét biểu thức sau : ( x + 1)2 − x 2 = 2 x + 1 nên ta có : x 2 ( x + 1)2 = x 2 − ( x + 1) 2 .

=

Do đó ta có bài toán sau:
3

2x +1

5

A = (1.2)2 + (2.3) 2 + ... + x( x + 1) 2
[
]

Bài 7: Rút gọn biểu thức sau:
2x +1

1

1

Hướng dẫn: Nhận xét: x 2 ( x + 1)2 = x 2 − ( x + 1)2 nên ta có :
1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

x( x + 2)

1

A = 12 − 22 + 22 − 32 + 32 − 42 + ... + x 2 − ( x + 1) 2 = 1 − ( x + 1) 2 = ( x + 1) 2
II) Khai thác các ứng dụng bài 28 trong chứng minh bất đẳng thức :
Bài 8 : Chứng minh rằ với mọi số tự nhiên n ≥ 1
1

1

a) A = 22 + 42 + 62 + 82 + ... + (2n) 2 < 2 ;
Hướng dẫn:
1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

b) 32 + 52 + 7 2 + 92 + ... + (2n + 1)2 < 4
1

a) Nhận xét : (2n) 2 = 4 . (n − 1).n mà (n − 1).n = n − 1 − n nên ta có :
1

1

1

1

1

1 1 1 1 1 1 1

1
A = 22 + 42 + 62 + 82 + ... + (2n) 2 = ( 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 ) nên
4 1 2 2 3 3 4
n
1

1

1

1

1

A< 4 (1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + (n − 1).n ) hay
1
1 1 1 1 1
1
1
(1 + 1 − + − + − + ... +
− )
A< 4
2 2 3 3 4
n − 1 n hay
A=

1
1
1 1
1

(1 + 1 − )
4
n hay A〈 − hayA〈
2 4n
2

(đpcm)

1
1
1
1 1
1 
〈
⇔
〈  −
÷ nên ta có :
2
2
2
(2n + 1) (2n + 1) − 1
(2n + 1) 2  2n 2n + 2 
1
1
1
1
1
B < 32 − 1 + 52 − 1 + 7 2 − 1 + 92 − 1 + ... + (2n + 1) 2 − 1 hay
1
1

1
1
1
B< 4.2 + 4.6 + 6.8 + 8.10 + ... + 2n.(2n + 2) hay
1 1 1 1 1 1 1
1
1
) hay
B< ( − + − + − + ... + −
2 2 4 4 6 6 8
2n 2n + 2

b)Nhận xét :

8


1
1
1
B〈 −
⇒ B〈
1 1
1
)⇒
4 4(n + 1)
4
B< ( −
2 2 2n + 2

(đpcm)

Bài 9: Chứng minh với n nguyên ,n lớn hơn 1:
A=

1 1 1 1
1
1
+ 2 + 2 + 2 + ... + 2 〈 2 −
2
1 2 3 4
n
n

Hướng dẫn:Để áp dụng (1)cần sử dụng phương pháp làm trội,tương tự như bài 9
1

1

1

1

1

Nhận xét với k = 2;3;4;…; n,ta có : k 2 〈 (k − 1).k hay k 2 〈 k − 1 − k (2)
Lần lượt cho :k = 2;3;4;…; n trong (2) rồi cộng lại vế theo vế ta được:
A=

1 1 1 1

1
1 1 1 1 1 1
1
1
+ 2 + 2 + 2 + ... + 2 〈 1 + − + − + − + ... +
−
2
1 2 3 4
n
1 2 2 3 3 4
n −1 n
1
hay A< 2(đpcm)
n

Từ bài 9 ta có thể ra bài tập sau:
Bài 10: Chứng minh với mọi số tự nhiên n,n ≥ 2 thì:
B=

1 1 1 1
1
+ 2 + 2 + 2 + ... + 2 < 1
2
2 4 6 8
n

*Hướng dẫn : Áp dụng kết quả bài 10,ta có : A< 2-

1
mà B = A – 1 hay

n

1
1
hay B< 1hay B < 1 (đpcm)
n
n
Bài 11: Chứng minh với mọi số tự nhiên n,n ≥ 2 thì:
1 1 1 1
1
2
C = 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 <
2 4 6 8
n
3

A = B + 1,khi đó : B + 1 < 2-

*Hướng dẫn: Để áp dụng (1) cần sử dụng phương pháp làm trội . Vậy vận dụng
nó như thế nào? Có giống như bài 11 không ?
1
4
4
1
1
1
= 2< 2
⇔ 2 < 2(
−
) . Do đó:

2
n
4n
4n − 1
n
2n − 1 2n + 1
1 1 1 1
1
1
1
1
2
−
) hay C < 2( −
) hay C <
C< 2( − + − + ... +
(đpcm)
3 5 5 7
2n − 1 2n + 1
3 2n + 1
3
Bài 12: Chứng minh với mọi số tự nhiên n,n ≥ 2 ta có:
1 1 1
1 1
E = 3 + 3 + 3 ... + 3 〈
3 4 5
n 4

Hãy xem nhận xét sau :

*Hướng dẫn: Để áp dụng (1) cần sử dụng phương pháp làm trội.Vậy sử dụng
như thế nào ? hãy xem nhận xét sau:
1
1
1
1
1 1
1
1
〈 3
hay 3 〈
hay 3 〈 (
−
) .Do đó ta có:
3
k k −k
k (k − 1)(k + 1)
k 2 (k − 1).k (k + 1).k
1
1
1
D < 3 + 3 + ... + 3
2 −2 3 −3
n −n
1 1
1
1
1
1
1

hay D < 2 (1.2 − 2.3 + 2.3 − 3.4 + ... + (n − 1).n − n.(n + 1) )

9


1 1

1

1

hay D < 2 (1.2 − n.(n + 1) ) hay D <
(đpcm)
4
Bài 13: Chứng minh với mọi số tự nhiên n,n ≥ 3 ta có:
1 1 1
1 1
+ 3 + 3 ... + 3 〈
3
3 4 5
n 12

E=

Hướngdẫn:Tacó
1
1
1
1
1 1

1
1
〈 3
hay 3 〈
hay 3 〈 (
−
) .Do đó :
3
n n −n
n (n − 1).n.(n + 1)
n 2 (n − 1).n (n + 1).n
1 1
1
1
1
1
1
E < 2 ( 2.3 − 3.4 + 3.4 − 4.5 + ... + (n − 1).n − n.(n + 1) ) hay
1 1
1
1
E < 2 ( 2.3 − n.(n + 1) ) hay E <
(đpcm)
12

Bài 14: Chứng minh với mọi số nguyên dương n,ta có:
3

5

2n + 1

7

M = 4 + 36 + 144 + ... + n 2 .(n + 1) 2 〈1
2n + 1

1

1

Hướng dẫn: Ta có: n.2 n + 1 2 = n 2 − n + 1 2 . Do đó :
(
)
(
)
1

1

1

1

1

1

M = 1- 22 + 22 − 32 + ... + n 2 − (n + 1) 2 = 1 − ( n + 1) 2 〈1 ( đpcm)
III ) . Khai thác các ứng dụng bài toán trong giải phương trình ,bất phương

trình:
Bài 15: Giải phương trình :
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
)x = +
+
+ ... +
1.101 2.102 3.103
10.110
11 2.12 3.13
100.110
1
1
1
1
148
98
)( x − 2) + x =
x−
b) ( + + + ... +
1.3 3.5 5.7

97.99
99
99
1 1 1
1
2007
+ + + ... +
=
x( x + 1) 2009
c) 3 6 10
2
1
1
1
1
1
1 1 1
1
1
+
+
+ ... +
=
(1 −
+ −
+ ... + −
)
Hướng dẫn : a)
1.101 2.102 3.103
10.110 100

101 2 102
10 110
1
1 1
1 1
1
1
(1 + + + ... + −
− ... −
)
=
100
2 3
10 101 102
110
1
1
1
1
1 1 1 1 1
1
1
+
+ ... +
−
)
Xét +
= ( − + − + ... +
11 2.12 3.13
100.110 10 1 11 2 12

100 110
1
1 1
1 1 1
1
1
− ... −
)
= (1 + + + ... +
- − − ... −
10
2 3
100 11 12
100
110
1
1 1
1 1
1
1
1 1
−
− ... −
) . do đó ,ta có : x= :
= 10
= (1 + + + ... + 10
2 3
10 101 102
110
10 100

1
1
1
1
1
1 1 1 1 1
1
1
+
+
+ ... +
b)Xét :
= (1 − + − + − + ... + − )
1.3 3.5 5.7
97.99 2
3 3 5 5 7
97 99
1
1
49
= (1 − ) = . Khi đó ta có :
2
99 99

a) (

10


49

148
98
( x − 2) + x =
x−
hay 49(x- 2) + 99x = 148x - 98 hay
99
99
99
49x + 99x – 148x = 0 hay 0.x = 0 hay x ∈ R
1 1 1
1
2007
2
2
2
2
2007
+ + + ... +
=
+
+
+ ... +
=
x( x + 1) 2009 hay
c) 3 6 10
2.3 3.4 4.5
x( x + 1) 2009
2
1 1 1 1 1 1
1

1
2007
⇔ 2( − + − + − + ... + −
)=
2 3 3 4 4 5
x x + 1 2009
1
1
2007
2
2007
2
2
⇔ 2( −
⇔ 1−
⇔
⇔ x = 2008
)=
=
=
2 x + 1 2009
x + 1 2009
x + 1 2009
(thỏa mãn x ≠ 0 ; x ≠ - 1 )

Bài 16: Giải phương trình :
1
1
1
1

1
9
+
+
+ ... +
)( x − 1) + x = x −
1.2 2.3 3.4
9.10
10
10
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
)x = (
+
+
+ ... +
)
b) (
1.51 2.52 3.53
10.60
1.11 2.12 3.13

50.60

a) (

*Hướng dẫn:
1
1
1
1
1
9
+
+
+ ... +
)( x − 1) + x = x −
1.2 2.3 3.4
9.10
10
10
1 1 1 1 1
1 1
1
9
⇔ (1 − + − + − + ... + − )( x − 1) + x = x −
2 2 3 3 4
9 10
10
10
9
1

9
⇔
⇔ 0x = 0 ⇔ x ∈ R
( x − 1) + x = x −
10
10
10
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
)x = (
+
+
+ ... +
)
b) (
1.51 2.52 3.53
10.60
1.11 2.12 3.13
50.60
1
1 1 1 1 1

1 1
1 1 1 1 1
1
1
⇔
(1 − + − + − + ... + − ) x = ( − + − + ... + − )
50
51 2 52 3 53
10 60
10 1 11 2 12
50 60
1
1 1
1
1 1
1
1
1 1
1 1 1
1
⇔
(1 + + + ... + − − ... − ) x =
(1 + + + ... +
- − − ... − )
50
2 3
10 51 52
60
10
2 3

50 11 12
60
1
1 1
1
1 1
1
1
1 1
1 1 1
1
⇔
(1 + + + ... + − − ... − ) x =
(1 + + + ... +
- − − ... − )
50
2 3
10 51 52
60
10
2 3
50 51 52
60
1 1
⇔x=
: =5
10 50

a) (

Bài 17: Giải phương trình sau:

1
1
1
1
1
1
−6
+ 2
=
+ 2
+ 2
=
b) 2
x + 4 x + 3 x + 8 x + 15 6
x − 5 x + 6 x − 8 x + 15 x − 13 x + 40 5
1
1
1
+
=
c) 2
x + 9 x + 20 x 2 + 13 x + 42 18
1
1
1
1
1
+ 2

+ 2
+ ... + 2
=
d) 2
x + 3 x + 2 x + 5 x + 6 x + 7 x + 12
x + 15 x + 56 14

a)

2

Hướng dẫn :
a) Nhận xét: x2 + 4x +3 = (x + 1)(x + 3) ; x2 + 8x +15 = (x + 5)(x + 3)
ĐKXĐ: x ≠ -1; x ≠ - 3; x ≠ - 5

11


1

1

1

Phương trình đã cho được viết : ( x + 1)( x + 3) + ( x + 3)( x + 5) = 6
⇔

1 1
1
1

1
1
(
−
+
−
)= ⇔
2 x +1 x + 3 x + 3 x + 5 6

1 1
1
1
(
−
)=
2 x +1 x + 5 6
⇒ 3(x+ 5 – x -1) = (x + 5)(x + 1) ⇔ (x+3)2 = 42 ⇔ x+ 3 = 4 hoặc x + 3 = - 4
⇔ x = 1 hoặc x = - 7 ( thỏa mãn ĐKXĐ)

• ) Các câu b;c;d phương pháp làm hoàn toàn như câu a
Bài18:Giảiphươngtrình
(

1
1
1
1
1
1
1

1
+
+
+ ... +
)x < ( +
+
+ ... +
)
1.51 2.52 3.53
10.60
11 2.12 3.13
50.60

Hướng dẫn : Cách làm tương tự như bài 21b,chỉ cần chý ý dấu BĐT thay cho
dấu đẳng thức và ta có giá trị biểu thức sau luôn dương:
1+

1 1
1 1 1
1
+ + ... + - − − ... −
nên ta có kết quả là : x < 5
2 3
10 51 52
60

c) Kiểm nghiệm:
Sau khi hướng dẫn tôi đã tiến hành kiểm nghiệm khảo sát một nhóm học sinh
sau khi hướng dẫn kết quả đạt được như sau:
Lớp TS

Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
SL %
SL %
SL %
SL %
SL %
6A
15
1
6,67 4
26,67 5
33,33 3
20
2
13,33
8A
15
1
6,67 4
26,67 4
26,67 4
26,67 2
13,33

Phần 3 : Kết luận và đề xuất
a) Kết luận:

Phương pháp giải bài tập có hệ thống là một yếu tố cơ bản giúp học sinh
nắm vững kiến thức ,giải quyết linh hoạt các bài tập toán và đạt kết quả cao
trong học tập môn toán .Điều quan trọng nhất cần đề cập bài toán theo nhiều
cách khác nhau ,nghiên cứu kỹ ,khảo sát từng chi tiết và kết hợp các chi tiết của
bài toán theo nhiều cách để mở rộng cho các bài toán khác .Đồng thời qua đó có
thể khai thác các ứng dụng của một bài toán cơ bản vào giải quyết các bài toán
cùng loại.
Hi vọng rằng với một số ví dụ tôi đưa ra trong đề tài này giúp các em học
sinh sẽ biết cách làm chủ được kiến thức của mình ,thêm yêu mến môn toán
học ,tự tin trong quá trình học tập và nghiên cứu sau này .
Đây mới chỉ là kinh nghiệm cua bản thân tôi nên chắc chắn còn nhiều khiếm
khuyết ,hi vọng được các bạn đồng nghiệp quan tâm và góp ý để đề tài được
hoàn chỉnh hơn.
* Lưu ý:

12


Khi học sinh giải dạng toán này cân quan sát tử và mâũ của phân số, phân
thức .Từ đó học sinh chỉ ra được khoảng cách giữa hai thừa số,hiêụ hai đa thức
của tích ở dưới mâũ rồi so sánh với số,đa thức ở trên tử.
Nếu dạng toán mà dưới mẫu là một số (một đa thức) như bài tập bài 5;… ta
phải biến đổi đưa mẫu về dạng tích hai thừa số ( hai đa thức) rồi mới áp dụng
phương pháp trên
b) Đề xuất:
Đề nghị các giáo viên dạy bô môn Toán trong quá trình giảng dạy nên cố
gắng nghiên cứu đưa ra các dạng bài tâp và hướng dẫn học sinh cách khai
thác,vận dụng, tìm mối liên hê .
Xác nhận của Hiêụ trưởng

Thanh Hóa ,ngày 10 tháng 4 năm 2014
Cam kết không copy
Tác giả

Lê Thị Hương

\

Tài liệu tham khảo
1.
2.
3.
4.

Bài tập toán 8 tập 1.
Nâng cao và phát triển toán 8 tập 1.
Phát triển toán 8.
Bồi dưỡng toán 8.
13


5. Bài tập toán 6 tập 2.
6. Nâng cao và phát triển toán 6 tập 2.
7. Một số tài liệu tham khảo khác.

Phụ lục
Phần I : Đặt vấn đề.
…………………………………
Phần II: Giải quyết vấn đề.
………………………………….

1. Cơ sở lý luận.
…………………………………
2. Thực trạng của vấn đề.
…………………………………
3. Giải pháp và biện pháp thực hiện …………………………….
4. Kiểm nghiệm.
…………………………………….
Phần III : Kết luận và đề xuất ………………………………… .

1
1
1
1
2
12
12

14