Lý thuyết phương trình đường thẳng

Lý thuyết Phương trình đường thẳng
PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG
1. Vectơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng
Định nghĩa :
vectơ

được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu

≠

và giá của

song song

hoặc trùng với ∆

Nhận xét :
– Nếu

là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ thì k ( k≠ 0) cũng là một vectơ chỉ

phương của ∆ , do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết môt điểm và một vectơ chỉ phương của
đường thẳng đó.
2. Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng
– Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0 ;y0) và nhận vectơ

= (u1 ;

u2) làm vectơ chỉ phương là :
∆:

-Khi hệ số u1 ≠ 0 thì tỉ số k=

được gọi là hệ số góc của đường thẳng.

Từ đây, ta có phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0 ;y0) và có hệ số góc k là:
y – y0 = k(x – x0)
Chú ý: Ta đã biết hệ số góc k = tanα với góc α là góc của đường thẳng ∆ hợp với chiều
dương của trục Ox
3. Vectơ pháp tuyến của đƣờng thẳng
Định nghĩa: Vectơ
nếu

≠

Nhận xét:

và

được gọi là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng ∆

vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆


– Nếu

là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì k (k ≠ 0) cũng là một vectơ pháp

tuyến của ∆, do đó một đường thẳng có vô số vec tơ pháp tuyến.
– Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một và một vectơ pháp tuyến của nó.
4. Phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng

Định nghĩa: Phương trình ax + by + c = 0 với a và b không đồng thời bằng 0, được gọi là
phương trinh tổng quát của đường thẳng.
Trường hợp đặc biết:
+ Nếu a = 0 => y =

; ∆ // Ox

+ Nếu b = 0 => x =

; ∆ // Oy

+ Nếu c = 0 => ax + by = 0 => ∆ đi qua gốc tọa độ
+ Nếu ∆ cắt Ox tại (a; 0) và Oy tại B (0; b) thì ta có phương trình đường thẳng ∆ theo đoạn
chắn:
+

=1

5. Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng
Xét hai đường thẳng ∆1 và ∆2
có phương trình tổng quát lần lượt là :
a1x+b1y + c1 = 0 và a 2+ b2y +c2 = 0
Điểm M0(x0 ;y0) là điểm chung của ∆1 và ∆2 khi và chỉ khi (x0 ;y0) là nghiệm của hệ hai
phương trình:

(1)
Ta có các trường hợp sau:
a) Hệ (1) có một nghiệm: ∆1 cắt ∆2
b) Hệ (1) vô nghiệm: ∆1 // ∆2
c) Hệ (1) có vô số nghiệm: ∆1 = ∆2

6.Góc giữa hai đƣờng thẳng
Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau tạo thành 4 góc. Nếu ∆1 không vuông góc với ∆2thì góc
nhọn trong số bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2. Nếu ∆1 vuông góc
với ∆2 thì ta nói góc giữa ∆1 và ∆2bằng 900 .Trường hợp ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau


thì ta quy ước góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 00. Như vậy gương giữa hai đường thẳng luôn bé hơn
hoặc bằng 900
Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được kí hiệu là
Cho hai đường thẳng ∆1 = a1x+b1y + c1 = 0
∆2 = a 2+ b2y +c2 = 00
Đặt

=

cos

=

Chú ý:
+ ∆1 ⊥ ∆2 <=> n1 ⊥ n2 <=> a1a2+ b1b2 = 0
+ Nếu ∆1 và ∆2 có phương trình y = k1 x + m1 và y = k2 x + m2 thì
∆1 ⊥ ∆2 <=> k1.k2 = -1.
7.Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng ∆ có phương trình ax+by + c = 0 và
điểm M0(x0 ;y0).Khoảng cách từ điểm M0 đến đường thẳng ∆ kí hiệu là (M0 ;∆), được tính
bởi công thức
d(M0 ;∆) =
Lý thuyết Phương trình đường tròn
PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG TRÒN

1.Lập phƣơng trình đƣờng tròn có tâm và bán kính cho trƣớc
Phương trình đường tròn có tâm I(a; b), bán kính R là :
(x –a)2 + (y – b)2 = R2
2. Nhận xét
Phương trình đường tròn (x – a)2 + (y – b)2 = R2 có thể được viết dưới dạng
x2+ y2 – 2ax – 2by + c = 0
trong đó c = a2 + b2 + R2
Ngược lại, phương trình x2+ y2– 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) khi
và chỉ khi a2 + b2 -c > 0. Khi đó đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính R
=


3.Phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng tròn
Cho điểm M0(x0 ;y0) nằm trên đường tròn (C) tâm I(a; b).Gọi ∆ là tiếp tuyến với (C) tại M0

Ta có M0 thuộc ∆ và vectơ

= (x0– a ; y0 – b) là vectơ pháp tuyến cuả ∆

Do đó ∆ có phương trình là :
(x0 – a )(x – x0 ) + (y0 – b)(y – y0)
Phương trình (1) là phương trình tiếp tuyến của đường tròn
(x –a)2 + (y – b)2 = R2 tại điểm M0 nằm trên đường tròn.
Lý thuyết Đường Elip
ĐƢỜNG ELIP
1. Định nghĩa đƣờng elip
Định nghĩa : Trong mặt phẳng, cho hai điểm cố định F1 và F2
Elip là tập hợp các điểm M sao cho tổng F1M +F2M = 2a không đổi
Các điểm F1 và F2 gọi là tiêu điểm của elip
Khoảng cách F1 .F2 = 2c gọi là tiêu cự của elip

2. Phƣơng trình chính tắc của elip
Cho elip có tiêu điểm F1 và F2 chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F1(-c ; 0) và F2(c ; 0). Khi đó
người ta chứng minh được
M(x ; y) ε elip <=>

+

= 1 (1)

trong đó: b2 = a2 – c2
Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip


3. Hình dạng của elip
Xét elip (E) có phương trình (1):
a) Nếu điểm M(x; y) thuộc (E) thì các điểm M1(-x ; y) M2(x ;- y) và M3(-x ; -y) cũng thuộc
(E).
Vậy (E) có các trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc O.
b) Thay y = 0 vào (1) ta có x = ±a suy ra (E) cắt Ox tại hai điểm A1(-a ; 0) A2(a ;0).
Tương tự thay x = 0 vào (1) ta được y = ±b, vậy (E) cắt Oy tại hai điểm B1(0 ; -b) B2(0 ;b).
Các điểm A1, A2, B1, B2 gọi là các đỉnh của elip
Đoạn thẳng A1A2 gọi là trục lớn, đoạn thẳng B1, B2 gọi là trục nhỏ của elip