Bai tap chuong 3 toán cao cấp

Chương 3 – Không gian vector

Bài tập: Chương 3
Bài 1. Hãy biểu diễn vectơ u thành tổ hợp tuyến tính của hệ vectơ S trong các
trường hợp sau (nếu có):
a ) u  1,1,1 ; S   2,1,0  ;  3, 1,1 ;  2,0, 2 
b) u   7, 2,15 ; S   2,3,5 ;  3,7,8  ; 1, 6,1
c) u   22,12,34,0  ; S  1,2,1,3 ;  4,3,7, 1 ; 3,5,2, 2 
d ) u   6, 8,4, 8  ; S  1, 2,3,2  ;  2,1,2, 3 ; 3,2, 1,2  ;  2,3,2,1

Bài 2. Tìm tham số m để vectơ u là tổ hợp tuyến tính của hệ vectơ S trong các
trường hợp sau:
a ) u   9,12, m  ; S  u1   6,8,7  ; u2   3,4,2 
b) u   0, m,5 ; S  u1   2,3,0  ; u2  1,36,0  ; u3   1,2,0 
c ) u   7, 2, m  ; S  u1   3,7,8  ; u2  1, 6,1 ; u3   2,3,5 
d ) u  1,3,5 ; S  u1   2,4,7  ; u2   5,6, m  ; u3   3,2,5 

Bài 3. Các hệ vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Tại sao?
a ) S  u1  1,1,2  ; u2  1,2,5 ; u3   0,1,3
b) S  u1   5,4,3 ; u2   3,3,2  ; u3  8,1,3
c) S  u1   2,1,1,0  ; u2  1,2,3,4  ; u3   0,1,2,3
d ) S  u1  1, 2,3, 4  ; u2   3,3, 5,1 ; u3   3,0,3, 10  ; u4  1,1, 5,7 

Bài 4. Xác định cơ sở và số chiều của các không gian sinh bởi hệ vectơ sau
a ) S  u1   2, 3,1 ; u2   4,1,1 ; u3   0, 7,1
b) S  u1  1,1, 4, 3 ; u2   2,0,2, 2  ; u3   2, 1,3,2 

Bài 5. Xác định cơ sở và số chiều của các không gian nghiệm của các hệ phương
trình sau
1

Chương 3 – Không gian vector

3x1  x2  x3  x4  0
a) 
5 x1  x2  x3  x4  0
 x1  2 x2  x3  x4  x5  0
 2 x  x  x  2 x  3x  0
 1
2
3
4
5
b) 
3
x

2
x

x

x

2
x
2
3
4
5 0

 1
2 x1  5 x2  x3  2 x4  2 x5  0

Bài 6. Trong không gian

3

, cho các hệ vectơ

B1  u1   3,1, 4  ; u2   2,5,6  ; u3  1,4,8 
B2  v1  1,1,0  ; v2   0,1,1 ; v3  1,2,2 

a) Chứng minh rằng B1 và B2 là các cơ sở của không gian

3

.

b) Tìm tọa độ của vectơ u  1,3, 2  trong cơ sở B1 .
c) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B1 sang B2 .
Bài 7. Trong không gian

4

, cho các hệ vectơ

B  u1   0,0,2,5 ; u2   m,0,3,4  ; u3  0, m,4,7 ; u4   3,4,11,12 

a) Xác định m để B là một cơ sở của không gian

4

.

b) Khi m  1 , hãy tìm tọa độ của vectơ u   4, 5,2,6 trong cơ sở B.
Bài 8. Trong không gian

3

, cho hai cơ sở B1 , B2 có ma trận chuyển cơ sở từ B1

sang B2 là
 2 2 3 
A   2 1 2 
 1 0 1 



Biết vectơ u có tọa độ trong cơ sở B1 là  u B  1,3,5 ; Hãy tìm tọa độ của u trong
1

cơ sở B2 .
2