SKKN Một số sai lầm thường gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục

Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục

Phần 1: Những vấn đề chung
I. Lí do chọn đề tài:
Toán học có một vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí, góp
phần tạo nên nguồn tài nguyên chất xám, nguồn tài nguyên quý nhất cho đất
nớc. Toán học là bộ môn khoa học tự nhiên đợc hình thành từ rất sớm bởi sự
gắn bó chặt chẽ của nó với thực tiễn đời sống con ngời. Toán học là môn khoa
học cơ bản rất quan trọng, nó giúp cho việc hình thành và phát triển cho ngời
học năng lực t duy logic, phơng pháp luận khoa học, phẩm chất trí tuệ, t
tởng đạo đức.
Ngày nay sự phát triển của tất cả các ngành khoa học cũng nh tất cả các
ngành công nghiệp then chốt đều không thể thiếu toán học, chúng đều đợc khởi
nguồn và dựa trên toán học. Sự phát triển của một đất nớc không phụ thuộc
nhiều ở tài nguyên thiên nhiên, mà phụ thuộc chủ yếu vào trình độ dân trí. Toán
học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí, góp phần tạo nên
nguồn tài nguyên chất xám. Việt Nam chúng ta so với các nớc trên thế giới còn
ở trong tình trạng nghèo nàn, lạc hậu. Muốn thoát khỏi tình trạng này và đuổi kịp
các nớc trên thế giới, đối với Việt Nam phải có lớp ngời mới đợc trang bị
kiến thức tốt, luôn phát huy tính sáng tạo và khả năng nhanh nhạy để nắm bắt kĩ
thuật mới. Nhiệm vụ quan trọng này ngành GD - ĐT vinh dự đợc Đảng và Nhà
nớc giao cho. Chính vì vậy trong từng năm học, Bộ GD - ĐT đã có những chỉ
thị kịp thời, Sở GD - ĐT, Phòng GD & ĐT và Nhà trờng đã chủ động đề ra
những kế hoạch chi tiết, những mục tiêu rõ ràng và giao nhiệm vụ cụ thể đến
từng giáo viên.
Để hoàn thành nhiệm vụ, ngời giáo viên phải có lòng nhiệt tình, có kiến thức
và phơng pháp truyền thụ kiến thức phù hợp. Nhng thực tế đã cho thấy hầu hết
giáo viên đều có lòng nhiệt tình, có kiến thức song phơng pháp còn nhiều hạn
chế, các thầy cô giáo viên dạy toán cũng không phải là ngoại lệ. Vậy đâu là
nguyên nhân của những hạn chế trên? Theo tôi nguyên nhân cơ bản là:
- Giáo viên cha tạo cho học sinh thói quen tiến hành đầy đủ các bớc cần

thiết khi giải một bài toán, nhất là những bài toán mới lạ hoặc những bài toán
1

Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang


Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục

khó nên học sinh cha có phơng pháp suy nghĩ, suy luận đúng trong việc tìm
tòi lời giải một bài toán.
- Chỉ nặng về trình bày lời giải đã tìm ra mà không chú ý đến việc hớng dẫn
để học sinh tự tìm ra lời giải. Bởi vậy học sinh cũng chỉ hiểu đợc lời giải cụ thể
của bài toán cha học tập đợc cách suy luận để giải bài toán tơng tự.
- Cha chú trọng đến việc phân tích bài toán theo nhiều khía cạnh, theo từng
loại để tạo ra phơng pháp và lời giải khác nhau, cha chú trọng rèn luyện cho
học sinh kĩ năng thực hành tính toán, biến đổi, suy luận.
- Cho học sinh giải nhiều bài tập mà không chú ý đến việc lựa chọn một hệ
thống bài tập đa dạng, đầy đủ.
Trong quá trình học tập, học sinh sớm đợc làm quen với bộ môn toán. Nhìn
chung Toán học là môn học rất trừu tợng. Tính trừu tợng và logic tăng dần khi
các em càng học lên các lớp trên. Từ năm học lớp 8 khó khăn của học sinh đã
đợc bộc lộ rõ nét hơn, đặc biệt là các bài toán chứng minh bất đẳng thức, các
bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Đây là một đề tài thú vị, nó thờng
không có quy tắc giả tổng quát. Do vậy học sinh hay mắc thiếu sót và sai lầm khi
giải các bài toán loại này. Vậy tại sao học sinh thờng mắc phải sai lầm khi
giải các bài toán cực trị? Theo tôi nguyên nhân này xuất phát từ những lý do
sau:
1. Ngời giải toán cha có đờng lối rõ ràng khi giải bài toán tìm cực trị.
2. Cha nắm chắc các tính chất của bất đẳng thức.
3. Cha hệ thống, phân dạng đợc các bài tập cùng loại.

4. Không đọc kĩ đầu bài, cha hiểu rõ bài toán đã đã vội đi ngay vào giải
toán.
5. Không biết đề cập bài toán theo nhiều cách giải khác nhau, không chịu
nghiên cứu kĩ từng chi tiết và kết hợp các chi tiết trong từng bài toán, không sử
dụng hết giả thiết bài toán, không biết linh hoạt vận dụng kiến thức đã có.
6. Không tự t duy lại bài toán mình làm sau khi đã giải xong xem đã đúng
cha.

2

Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang


Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục

Nói chung dạng toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là
dạng toán khó nhng rất thú vị. Nó lôi cuốn nhiều ngời phải say mê, từ các em
học sinh đến các nhà bác học lỗi lạc. Tại sao vậy? Mỗi bài toán chứng minh BĐT
hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất với số liệu riêng của nó đòi hỏi một cách giải
riêng phù hợp. Điều đó có tác dụng rèn luyện t duy toán học mềm dẻo, linh
hoạt và sáng tạo. Chính vì thế chúng ta thấy trong các kì thi học sinh giỏi toán
thờng có bài toán về chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Tóm lại, từ nhiệm vụ yêu cầu thực tế của đất nớc và của ngành giáo dục, từ
khó khăn của giáo viên và học sinh thờng hay mắc sai lầm trong việc giải các
bài toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tôi đã chọn đề tài
Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc
phục trong chơng trình THCS để nghiên cứu với hy vọng đề tài này sẽ góp
phần vào việc giải quyết khó khăn, khắc phục sai lầm cho giáo viên và học sinh
trong việc dạy và học kiến thức về chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất. Nh nhà giáo dục toán học Polya đã nói: Con ngời phải biết học ngay ở

những sai lầm của mình .

3

Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang


Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục

II. Cơ sở khoa học
Đề tài đợc viết dựa vào những cơ sở lí luận và thực tiễn.
II.1. Cơ sở lý luận
Thực tế cho thấy Toán học là nền tảng cho mọi ngành khoa học, là chiếc chìa
khoá vạn năng để khai phá và thúc đẩy sự phát triển cho mọi ngành khoa học,
kinh tế, quân sự... trong cuộc sống. Chính vì vậy việc dạy và học bộ môn toán
trong nhà trờng đóng vai trò vô cùng quan trọng dạy toán chiếm vị trí số một
trong các môn học của nhà trờng, đối với giáo viên, dạy toán là niềm tự hào
song đó cũng là thử thách vô cùng lớn. Để dạy toán và học toán tốt thì Thày và
Trò không ngừng rèn luyện và đầu t trí và lực vào nghiên cứu học hỏi. Học và
dạy toán với chơng trình cơ bản đã rất khó, xong dạy và học toán trong đào tạo
mũi nhọn lại vô cùng gian truân, việc học và dạy không dừng ở việc ngời học
và ngời dạy phải có trí tuệ nhất định mà cả thày và trò phải dày công đầu t vào
nghiên cứu các dạng toán, thuật toán vận dụng hợp lý các tính chất toán học do
các nhà toán học đã nghiên cứu vào giải toán, ngoài ra ngời dạy và học toán
phải tự rèn luyện và nghiên cứu để có những công trình toán của riêng mình
cùng góp sức để đa bộ môn toán ngày càng phát triển.
Thực hiện nhiệm vụ năm học cũng nh đợc sự phân công của Phòng Giáo
dục và Đào tạo huyện Yên Dũng, Ban giám hiệu trờng THCS Yên L, qua quá
trình bồi dỡng học sinh giỏi nhiều năm gần đây bản thân tôi thấy việc hình
thành cho học sinh cách suy nghĩ để tìm lời giải cho bài toán hoặc mỗi dạng toán

nào đó là công việc rất khó. Đứng trớc một bài toán nếu ngời thày cha hiểu
cha có hớng giải thì ta hớng dẫn học sinh nh thế nào, thật khó trong những
tình huống nh thế ngời thày sẽ mất vai trò chủ đạo trong việc dạy học sinh,
còn học sinh đã không giải đợc toán nhng lại mất niềm tin ở thày và cảm thấy
việc học toán là cực hình là khó vô cùng không thể học đợc.
Toán học là bộ môn khoa học của nhân loại một bộ môn khoa học đa dạng
về thể loại không phải cứ dạy toán và học toán là biết hết, là đã đến đỉnh cao của
trí tuệ nhân loại. Khi trực tiếp bồi dỡng học sinh giỏi tôi tự thấy kiến thức toán
của bản thân còn rất hạn chế, nhất là những bài toán về Bất đẳng thức, bài toán
4

Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang


Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục

về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Đây là dạng toán lớn, có nhiều cách thức để giải
xong cả thày và trò lại rất ngại khi đụng đến vì nó khó và phải mất rất nhiều thời
gian để dự đoán kết quả và tìm cách giải, hơn nữa rất dễ mắc sai lầm. Tôi đã tìm
nhiều biện pháp để hớng dẫn học sinh nhận xét, phân tích để giải các bài toán
dạng này bằng các phơng pháp mà học sinh và thày đợc trang bị trong cấp
học, nhng đều không thành công bởi chính thày cũng phải lần mò mãi mới có
lời giải, học sinh thì hay mắc sai lầm. Cho đến một ngày tôi đọc đợc bài báo
của tác giả Vũ Hữu Bình GV trờng THCS Trng Vơng - Hà Nội trên báo
Toán học và tuổi trẻ ra tháng 8 năm 2000, bài báo này đã giúp tôi nhất nhiều
trong quá trình bồi dỡng học sinh giỏi, đối với bài toán trên khi áp dụng kiến
thức của bài báo vào, mỗi khi hớng dẫn học sinh tôi đã hoàn toàn tự tin và giữ
vai trò chủ đạo để hớng dẫn học sinh, còn học sinh đã khai thác bài toán đợc
bằng nhiều cách, tránh đợc những sai lầm cố hữu thờng mắc phải khi giải
toán cực trị và có hứng thú thực sự với dạng toán này. Từ thực tế này tôi xin đợc

trao đổi kinh nghiệm này cùng các đồng nghiệp mong rằng đề tài này sẽ đợc
mở rộng và phát triển sâu rộng hơn.
II.2 Cơ sở thực tiễn
II.2.1 Tình hình học sinh
Đối tợng là học sinh khá, giỏi nên kiến thức cơ bản các em nắm tơng đối
vững có trí tuệ nhất định. Xong không phải bất cứ bài toán nào hay dạng toán
nào các em cũng làm đợc, đối với các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất hầu
hết các em đều cho rằng đây là một loại toán rất khó nên đầu t vào sẽ mất nhiều
thời gian mà cha chắc đã làm đợc và lại rất dễ mắc sai lầm. Do vậy các em
thờng bỏ qua bài toán này để tập trung thời gian giải bài toán khác và rất nhiều
em không có hứng thú khi gặp bài toán này.
II.2.2 Tình hình giáo viên
- Thuận lợi: Hầu hết các thầy cô có trình độ, đợc đào tạo cơ bản, tâm huyết
với nghề và luôn cầu tiến bộ.
- Khó khăn:

5

Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang


Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục

Thời lợng thực dạy trên lớp 19 tiết/1 tuần và chuẩn bị giáo án đồ dùng để phục
vụ tiết dạy đẫ lấp kín thời gian trên lớp và ở nhà, mặt khác trong nền kinh tế thị
trờng với đồng lơng không cao, chỉ đủ đáp ứng đợc cuộc sống đạm bạc thậm chí
có phần khó khăn của các nhà s phạm nên các thầy cô giáo còn bị chi phối nhiều
thời gian vào cuộc sống cho bản thân cùng gia đình. Trong khi đó kiến thức đã khó
lại rộng lớn và bao trùm. Do đó để dành nhiều thời gian vào nghiên cứu, tìm tòi để có
kiến thức vững và sâu thì rất hạn chế, nhiều ngời còn t tởng chỉ cần hoàn thành

nhiệm vụ là đợc còn nghiên cứu tìm tòi đã có các nhà khoa học.
Nguyên nhân góp phần không nhỏ nữa cho rằng việc nghiên cứu tìm lời giải
cho các bài toán là những ngời phải có trí tuệ, phải là bậc vĩ nhân. Suy nghĩ này
chỉ đúng một phần vì Ngọc không mài thì không sáng đợc. Đối với bài toán
tìm cực trị không có cách giải mẫu mực mà chủ yếu dựa vào phân tích - kinh
nghiệm của ngời làm toán. Do đó đòi hỏi ngời giáo viên phải có thời gian, có
tâm huyết và tinh thần học hỏi cao thì mới đáp ứng đợc chuyên môn, công việc
giảng dạy của mình. Toán học cao cấp có kiến thức, có cách giải nhanh và khoa
học với dạng toán trên song không vận dụng đợc vào cấp học phổ thông, hoặc
cha tìm đợc phơng pháp khoa học để học sinh tiếp cận cho phù hợp với
chơng trình học, và nội dung sách giáo khoa hiện hành.
II.2.3 Các tài liệu
Các tài liệu tham khảo của môn toán THCS dành cho giáo viên và học sinh về số
lợng, có vô số và lan tràn khắp thị trờng, vì mục đích kinh doanh bề ngoài sách
đẹp, tiêu đề sách thu hút song nội dung thì trùng nhau lời giả sơ sài, thậm chí nhiều
cuốn sách có rất nhiều sai sót, tính s phạm không cao. Các sách của Bộ giáo dục vì
lý do s phạm vì khuôn khổ chơng trình học của cấp học nên phần giải bài toán
tìm cực trị và những sai lầm dễ mắc trong chơng trình THCS chỉ có tính chất giới
thiệu thông qua một vài bài tập mà không viết riêng thành một tài liệu để giáo viên
và học sinh ở cấp học này có thể tham khảo.
Chính vì những lý do nêu trên, tôi đã chon đề tài Một số sai lầm thờng
gặp trong các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục trong chơng trình
THCS để nghiên cứu và thực hiện.
6

Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang


Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục

Phần 2: Nội dung chính
I. Vài nét khái quát về tình hình địa phơng huyện Yên Dũng và các nhà
trờng.
I.1 Đặc điểm
I.1.1 Thuận lợi
- Huyện Yên Dũng có bề dày về thành tích bồi dỡng HSG, có thế mạnh về
đội ngũ giáo viên có tay nghề chuyên môn cao, kiến thức vững vàng.
- Về phía học sinh các em hiếu học, có ý thức tốt.
- Chính quyền và tổ chức đoàn thể rất quan tâm và coi trọng công tác giáo dục.
- Các bậc phụ huynh đặc biệt coi trọng việc học tập của con cái.
- Cơ sở vật chất các nhà trờng cơ bản đã đầy đủ để học một ca.
I.1.2 Khó khăn
- Do không còn hình thức tuyển chọn học sinh nh trớc nên lực học của học
sinh không đồng đều, mức độ đào tạo, dạy dỗ ở các trờng không đồng đều, nhiều
em ham chơi, coi nhẹ việc học. Về phía gia đình nhiều hộ còn gặp khó khăn mải
miết làm ăn nên thiếu sự phối hợp với nhà trờng giáo dục các em. Còn một bộ
phận giáo viên công tác cha thực sự nỗ lực, trách nhiệm cha cao.
I.2 Phơng pháp và đối tợng nghiên cứu.
I.2.1 Phơng pháp.
Trong quá trình nghiên cứu đề tài tôi đã dùng những phơng pháp sau:
- Đọc sách, nghiên cứu thu thập, xử lí tài liệu su tầm đợc.
- Điều tra, trò chuyện với giáo viên và học sinh.
- Tự tìm hiểu đối tợng học sinh .
- Tổng kết đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy.
- Cập nhật thông tin từ mạng Internet.
Dựa vào các phơng pháp này và phân tích nguyên nhân tôi đã định hình cho
việc nghiên cứu đề tài.
I.2.2 Đối tợng.
Đối tợng nghiên cứu là môn toán và những kiến thức toán học có liên quan
đến các dạng toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, những sai

7

Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang


Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục

lầm học sinh thờng mắc phải và cách khắc phục là trọng tâm nghiên cứu của đề
tài.
II. Phần cơ bản.
II.1. Phơng pháp trình bày đề tài.
Đề tài đợc trình bày dới dạng đa ra các bài tập cụ thể, mỗi bài tập đều
đợc đa ra lời giải sai, phân tích sai lầm và cách khắc phục, đồng thời đa ra lời
giải đúng, cuối cùng đa ra các bài tập đề nghị cho ngời đọc. Các sai lầm
thờng mắc phải đợc liệt kê ở cùng dạng và chỉ đợc nêu rõ ở phần giải đáp.
II.2. Nội dung cụ thể.
II.2.1. Một số tính chất của bất đẳng thức
Cho a, b, c là các số thực
Tính chất 1: a b b a
a b
a=b
b a

Tính chất 2.

Tính chất 3. Tính chất bắc cầu
a b
a c.

b c

Tính chất 4. a b a + c b + c
a b
a+c b+d
c d

Tính chất 5.

Chú ý: Không đợc trừ hai bất đẳng thức cùng chiều cho nhau.
ac bc
c > 0

Tính chất 6. a b

ac bc
c < 0

Tính chất 7. a b

Tính chất 8. Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều và hai vế không âm
a b 0
ac bd

c d 0

8

Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang

Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục
a1 b1 0
a b 0
Tổng quát: 2 2
a1a2 ...an b1b2 ...bn 0, n N *
...

an bn 0

Chú ý: Không đợc chia hai bất đẳng thức cho nhau.
Tính chất 9. Nâng luỹ thừa hai vế của bất đẳng thức
* a b 0 a n b n , n N *
* a b a n b n (n N * , n M 2)

Tính chất 10. a b 0 n a n b , n N * , n 2
Tính chất 11. So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số
m n > 0
*
am an
a > 1
m n > 0
*
am an
0 < a < 1
b a
1 1

a b
ab > 0

Tính chất 12.


II.2.2. Một số kiến thức thờng dùng để giải bài toán cực trị hình học
II.2.2.1 Sử dụng quan hệ đờng vuông góc, đờng xiên, hình chiếu
- Quan hệ đờng vuông góc, đờng xiên, hình chiếu thờng đợc sử dụng dới
dạng:
+ Trong các tam giác vuông (có thể suy biến thành đoạn thẳng), cạnh góc vuông
AB và cạnh huyền BC thì AB BC , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A trùng với C;
+ Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đờng thẳng, đoạn thẳng
vuông góc với đờng thẳng có độ dài nhỏ nhất.
+ Trong các đoạn thẳng nối hai điểm thuộc hai đờng thẳng song song, đoạn
thẳng vuông góc với hai đờng thẳng sông song có độ dài nhỏ nhất.
+ Trong hai đờng xiên kẻ từ một điểm đến cùng một đờng thẳng, đờng xiên
lớn hơn khi và chỉ khi hình chiếu của nó lớn hơn.
II.2.2.2. Sử dụng quan hệ giữa đoạn thẳng và đờng gấp khúc
9

Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang


Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục

- Quan hệ giữa đoạn thẳng và đờng gấp khúc đợc sử dụng dới dạng:
+ Với ba điểm bất kỳ A, B, C ta có AB + BC AC . Dấu đẳng thức xảy ra khi và
chỉ khi B thuộc đoạn thẳng AC.
+ Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm A và B ngắn hơn độ dài đờng gấp khúc có hai
đầu là A và B.
II.2.2.3 Sử dụng các bất đẳng thức trong đờng tròn
- Các bất đẳng thức trong đờng tròn đợc thể hiện trong các định lý:

+ Trong các dây của một đờng tròn, dây lớn nhất là đờng kính.
+ Trong hai dây của một đờng tròn:
*Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
* Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
+ Trong hai cung nhỏ của một đờng tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi góc ở tâm
chắn cung đó lớn hơn.
+ Trong hai cung nhỏ của một đờng tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi dây
trơng cung ấy lớn hơn.
II.2.3. Một số bất đẳng thức thờng vận dụng để tìm cực trị.
* Bất đẳng thức Côsi
Dạng cơ bản: Cho a, b 0 , khi đó ta có bất đẳng thức a + b 2 ab .
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b .
Dạng tổng quát: Cho các số không âm a1 , a2 , a3 ,..., an .
Ta có bất đẳng thức a1 + a2 + a3 + ... + an n. n a1a2 a3 ...an với n N , n 2 .
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = a3 = ... = an .
* Bất đẳng thức Bunhiacôpxki
Dạng cơ bản: Với a, b, c, d là các số thực tuỳ ý ta luôn có

( ac + bd )

2

( a 2 + b 2 )( c 2 + d 2 ) .

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a b
= .
c d

Dạng tổng quát: Cho hai bộ số ( a1 , a2 , a3 ,..., an ) , ( b1 , b2 , b3 ,..., bn ) , khi đó ta có

( a1b1 + a2b2 + a3b3 + ... + anbn )

2

( a12 + a22 + a32 + ... + an2 )( b12 + b22 + b32 + ... + bn2 )

10

Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang


Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a
a1 a2 a3
=
= = ... = n
b1 b2 b3
bn

(Với điều kiện các biểu thức đều có nghĩa).
* Bất đẳng thức Trêbusep
a b
a b
a + b A + B aA + bB
hoặc

, ta có:
.

.
2
2
2
A B
A B

Dạng cơ bản: Cho

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b hoặc A = B .
Dạng tổng quát: Cho hai bộ số cùng tăng hoặc cùng giảm
a1 a2 a3 ... an
a a a ... an
hoặc 1 2 3
.

b1 b2 b3 ... bn
b1 b2 b3 ... bn

Ta có bất đẳng thức
a1 + a2 + a3 + ... + an b1 + b2 + b3 + ... + bn a1b1 + a2b2 + a3b3 + ... + anbn

.
n
n
n

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = a3 = ... = an hoặc b1 = b2 = b3 = ... = bn .
Lu ý: Nếu một dy tăng và một dy giảm thì bất đẳng thức đổi chiều.
* Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
a 0, a R
a = a nếu a 0
a = a nếu a < 0
a a a
a + b a + b . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab 0 .
a b ab a + b
* Bất đẳng thức trong tam giác
Nội dung: Cho tam giác ABC
có AB = c, BC = a, CA = b . Ta có
a b < c < a+b

bc < a < b+c

ca
11

Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang


Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục

II.2.4. Đờng lối tổng quát giải bài toán cực trị
* Cực trị đại số: Để tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của biểu thức f ta
phải thực hiện hai bớc:
- Bớc 1: Chứng minh f m (hoặc f m ) với m là hằng số.
- Bớc 2: Trả lời câu hỏi dấu bằng xảy ra khi nào? và kết luận.

* Cực trị hình học: Để tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho đại lợng f
(f là số đo độ dài, hoặc số đo diện tích,) có giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất), ta
phải thực hiện hai bớc:
- Bớc 1: Chứng tỏ rằng với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f m
(hoặc f m ) với m là hằng số.
- Bớc 2: Xác định vị trí của hình H trên miền D sao cho f = m.
*Chú ý: Trong một bài toán mà sử dụng nhiều bất đẳng thức để tìm cực trị
thì lu ý các dấu = phải xảy ra đồng thời.
II.2.5. Các bài tập minh hoạ
A. Cực trị Đại số
A.1. Dạng sai lầm thứ nhất
1
y

Bài 1. Cho x, y là hai số dơng thoả mãn x + 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
x
y

y
x

biểu thức M = 32. + 2007. .

Lời giải có vấn đề.
Từ x, y > 0 ta có

x y
+ 2.
y x
2

1
1
1
y
Từ x, y > 0 và x + 1 ta có 1 x + 4 x. 4.
y
y
x
y

x

y

x

y

y

Do vậy M = 32. + 2007. = 32. + + 1975. 32.2 + 1975.4 = 7964 .
y
x
y x
x

Dấu = xảy ra x = y .
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 7964, giá trị này đạt đợc khi x = y.
12

Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang


Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục

13

Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang


Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục

Bình luận
Nhng!... x = y thì M = 2039. Vậy sai lầm ở đâu?
Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2 x + 3 y biết 2 x 2 + 3 y 2 5 .

Lời giải sai:
Gọi B = 2 x 2 + 3 y 2 , ta có B 5.
Xét A + B = 2 x + 3 y + 2 x 2 + 3 y 2

(

) (

= 2 x2 + x + 3 y 2 + y

2

)
2

1
1 5
5


= 2 x + + 3 y +
2
2 4
4



(1)

Ta lại có B 5 nên B 5

(2)

Cộng (1) với (2) ta đợc A
Min A =

25
.
4

25
1
x= y= .
4
2
1
2

5
2

Nhng với x = y = A = , vậy sai lầm ở đâu?
Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
F ( x, y ) = ( x + y ) + ( x + 1) + ( y x ) .
2

2

2

Lời giải đẹp:
Ta thấy ( x + y ) ; ( x + 1) ; ( y x ) không đồng thời bằng 0 nên F ( x, y ) > 0.
2

2

2

F ( x, y ) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi a = ( x + 1) và b = ( x + y ) + ( y x )
2

2

2

đồng thời đạt giá trị nhỏ nhất.
a = ( x + 1) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi x = -1.
2

Khi đó b = ( x + y ) + ( y x ) = 2 y 2 + 2, nên b đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi y = 0.
2

2

x = 1
.
y = 0

Vậy giá trị nhỏ nhất của F ( x, y ) là 2 khi
Phải chăng lời giải trên là đúng?

14

Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang


Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục

Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D = 5 x 2 2 xy 2 y 2 + 14 x + 10 y 1 .

Lời giải boăn khoăn:
Ta có D = 5 x 2 2 xy 2 y 2 + 14 x + 10 y 1
= ( x 2 + 2 xy + y 2 ) ( 4 x 2 14 x ) ( y 2 10 y ) 1
2

7
145
2

= ( x + y ) 2 x ( y 5) +
2
4

2

x + y = 0
x = y


7
7
145
. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 2 x = 0 x =
Suy ra D
2
4
4


y 5 = 0

y = 5

Hệ trên vô nghiệm nên D không tồn tại giá trị lớn nhất.

Bạn có đồng ý với kết luận trên của bài toán không? Lời giải đ thuyết
phục cha?
A.2. Dạng sai lầm thứ hai

Bài 5. Cho x, y, z thoả mãn x 2 + y 2 + z 2 27 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = x + y + z + xy + yz + zx.

Lời giải sai
Với mọi x, y, z ta có: ( x y ) 0; ( y z ) 0; ( z x ) 0
2

Suy ra

2

2

x 2 + y 2 2 xy; y 2 + z 2 2 yz; z 2 + x 2 2 zx

2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 ( xy + yz + zx )

27 xy + yz + zx.

(1)

Mặt khác ( x 1) 0; ( y 1) 0; ( z 1) 0

2

2

2

Suy ra x 2 + 1 2 x; y 2 + 1 2 y; z 2 + 1 2 z
( x 2 + y 2 + z 2 ) + 3 2 ( x + y + z ) 15 x + y + z

(2)
15

Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang


Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục

Cộng theo từng vế của (1) và (2) suy ra P 42 .
Vậy giá trị lớn nhất của P là 42.
Bình luận
Bài làm khá đẹp, nhng kết quả lại sai? Theo bạn lời giải sai ở đâu? Khắc
phục nh thế nào?
Bài 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + x .

Lời giải sai:
2

1
1
1

1
1
Ta có A = x + x = x + x + = x +
4 4
2 4
4

1
4

Vậy min A = .
Bình luận:
Lời giải rất hồn nhiên và ngắn gọn nhng lập luận đã chặt chẽ cha? Kết
quả có chính xác không? Theo bạn kẽ hở ở chỗ nào?

Bài 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

( x + a )( x + b ) , với
x

x > 0 , a và b là

các hằng số dơng cho trớc.

Lời giải sai:
Ta có x + a 2 ax

(1)

x + b 2 bx

(2)

Do đó A =

( x + a )( x + b ) 2
x

ax .2 bx
= 4 ab
x

Min A = 4 ab x = a = b.

Bình luận:
Lời giải thuyết phục đấy chứ, có cần phải giải lại không?

16

Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang


Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục

Bài 8. Cho a, b, c là các số dơng, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a
b
c

P = 1 + 1 + 1 + .

5b 5c 5a

Một bạn học sinh đã giải nh sau:
Do a, b, c là các số dơng nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
1+

a
a
2
5b
5b

1+

(1);

b
b
2
5c
5c

1+

(2);

c
c
2
5a

5a

(3)

Nhân từng vế của ba bất đẳng thức cùng chiều và các vế đều dơng ta đợc
P8

a
b
c 8 5
.
.
.
=
5b 5c 5a
25

8 5
.
25

Do đó P nhỏ nhất bằng

Các bạn có đồng tình với cách giải này không?

Bài 9. Cho a, b là hai số dơng và x, y, z là các số dơng tuỳ ý.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M=

x2

y2

+

+

z2

( ay + bz )( az + by ) ( az + bx )( ax + bz ) ( ax + by )( ay + bx )

.

Lời giải của một học sinh:
Dễ thấy ( ay + bz ) ( a 2 + b 2 )( y 2 + z 2 ) và ( az + by ) ( a 2 + b 2 )( z 2 + y 2 )
2

Vậy

x2

( ay + bz )( az + by )

Tơng tự ta có

2



(a

x2

2

+ b 2 )( y 2 + z 2 )

y2

( az + bx )( ax + bz )
z2

( ax + by )( ay + bx )
Do đó M





(a

x2

2

(a

+ b 2 )( z 2 + x 2 )
z2

2

+ b 2 )( x 2 + y 2 )

.

1 x2
y2
z2
+
+

.
a 2 + b2 y 2 + z 2 z 2 + x 2 x2 + y 2

17

Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang


Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục
x2
y2
z2
3
+
+

2
2

2
2
2
2
y +z
z +x
x +y
2

Mặt khác chứng minh đợc
Suy ra M

3
. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
2 ( a 2 + b2 )

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là

3
, giá trị này đạt đợc khi và chỉ khi
2 ( a + b2 )
2

x = y = z.

Cách giải trên phải chăng là đúng! Bạn giải bài toán này nh thế nào?

Bài 10.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 x 2 + 5 y 2 + 4 xy 4 x 8 y + 6

Lời giải đẹp
Ta có P = ( x 2 + 4 y 2 + 1 + 4 xy 2 x 4 y ) + ( x 2 2 x + 1) + ( y 2 4 y + 4 )
P = ( x + 2 y 1) + ( x 1) + ( y 2 )
2

2

2

Do ( x + 2 y 1) 0, ( x 1) 0, ( y 2 ) 0 nên
2

2

2

P = ( x + 2 y 1) + ( x 1) + ( y 2 ) 0 .
2

2

2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 0 .
Lời giải quá gọn, bạn có ý kiến gì không?

A.3. Dạng sai lầm thứ ba
Bài 11. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 28 + 3x x 2 + 5 + 4 x x 2 .

Lời giải sai:

Điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa là
28 + 3x x 2 0
4 x 7
( 4 + x )( 7 x ) 0


1 x 5.



2
x
1
5



x
x
1
5
0
+


(
)(
)
5 + 4 x x 0

18

Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang


Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục

Nhận xét: Với 1 x 5 ta có
5 + 4 x x 2 = (1 + x )( 5 x ) 0 , suy ra
28 + 3 x x 2 = ( 4 + x )( 7 x ) > 0 , suy ra

5 + 4 x x 2 0.
28 + 3 x x 2 > 0.

Do đó, với 1 x 5 thì P = 28 + 3x x 2 + 5 + 4 x x 2 > 0, nên P không có giá
trị nhỏ nhất.
Bài 12. Tìm m để phơng trình x 2 + ( m + 1) x + 1 = 0 có tổng bình phơng các
nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải của một học sinh:
Điều kiện để phơng trình có nghiệm là:
m 1
2
(*) .
0 ( m + 1) 4 0 ( m + 3)( m 1) 0
m 3

Khi đó tổng bình phơng các nghiệm là:
x12 + x22 = ( x1 + x2 ) 2 x1 x2 = ( m + 1) 2 (Theo định lí Viét).

2

2

Ta có ( m + 1) 2 2 nên tổng bình phơng các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất là
2

-2 khi và chỉ khi m + 1 = 0 m = 1.
Giá trị m = -1 không thoả mãn điều kiện (*) nên không tồn tại giá trị của m
để tổng bình phơng các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất.

A.4. Dạng sai lầm thứ t

Bài 13. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =

1
.
x 6 x + 10
2

Lời giải sai:
Phân thức

1
có tử không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất.
x 6 x + 10
2

19

Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang


Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục

Ta có: x 2 6 x + 10 = ( x 3) + 1 1.
2

(

)

min x 2 6 x + 10 = 1 x = 3.

Vậy max A = 1 x = 3.
Bình luận: Lời giải có vẻ khá trơn, nhng nếu đi thi mà làm vậy thì trợt.
Tại sao vậy?

Bài 14. Tìm x để biểu thức P =

1
đạt giá trị lớn nhất.
x + 2x 3
2

Trong một lần kiểm tra có một học sinh đã giải bài toán này nh sau:
Điều kiện x 1 ; x 3 .
Ta có P =

1

( x + 1)

2

4

.

Để biểu thức P đạt giá trị lớn nhất thì ( x + 1) 4 đạt giá trị nhỏ nhất. Điều này
2

xảy ra khi ( x + 1) = 0 hay x = 1 . Khi đó giá trị lớn nhất của P =
2

1
4

Bình luận:
1
5

Nhng có thể thấy khi x = 2 thì P = , do đó

1
không phải là giá trị lớn nhất
4

của P. Vậy sai lầm của lời giải ở đâu? Khắc phục sai lầm đó nh thế nào?
A.5. Dạng sai lầm thứ năm

x
y

y
z

Bài 15. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = + +

z
với x, y, z > 0.
x

Lời giải sai: Khi hoán vị vòng quanh x y z x thì biểu thức A không đổi
nên không mất tính tổng quát, giả sử x y z > 0 , suy ra
xz 0
y ( x z) z ( x z)
xy yz + z 2 xz.

(1)

20

Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang


Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục

Chia cả hai vế của (1) cho số dơng xz ta đợc
y y z
+ 1.

z x x

Mặt khác ta có

(2)
x y
+ 2
y x

(3).

Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức cùng chiều (2) và (3) ta đợc
x y z
+ + 3.
y z x

Từ đó suy ra min A = 3 x = y = z.
Bình luận:
Tuy kết quả đúng, nhng xem ra lời giải bất ổn. Tại sao vậy?

Bài 16. Cho x, y, z là các số thực lớn hơn -1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=

1 + x2
1+ y2
1+ z2
.
+
+
1 + y + z 2 1 + z + x2 1 + x + y 2

Có một lời giải nh sau:
Nếu x < 0 , ta thay x bởi (-x) thì hai hạng tử đầu của P không đổi còn hạng tử
còn lại giảm xuống. Từ đó không mất tính tổng quát giả sử x y z 0 .
Từ ( x 1) 0 , suy ra 3 ( x 2 + 1) 2 ( x 2 + x + 1) .
2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1.
Do đó

1 + x2
1 + x2
2

.
2
2
1+ y + z
1+ x + x
3

Tơng tự ta cũng có

1+ y2
2
1+ z2
2
;

.

2
2
1+ z + x
3 1+ x + y
3

Từ đó suy ra P 2 . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 .
Theo các bạn lời giải trên đ chuẩn cha? Lời giải của bạn nh thế nào?

A.6. Một số dạng sai lầm khác thờng mắc phải

21

Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang


Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục

Bài 17. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
a 4 + b 4 + c 4 < 2 ( a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) .

Lời giải sai.
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên
bc < a
b 2 2bc + c 2 < a 2
b 2 + c 2 a 2 < 2bc
( b 2 + c 2 a 2 ) < ( 2bc )
2

2

b 4 + c 4 + a 4 + 2b 2 c 2 2b 2 a 2 2c 2 a 2 < 4b 2 c 2
a 4 + b 4 + c 4 < 2 ( a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 )

Bình luận
Lời giải trên đ đúng cha? Nếu cha, giải thế nào thì đúng?
Bài 18. Cho hai số x; y thoả mãn x > y và xy = 1 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

x2 + y 2
.
x y

Lời giải sai.
x 2 + y 2 x 2 2 xy + y 2 + 2 xy ( x y ) + 2 xy
=
=
Ta có A =
x y
x y
x y
2

Do x > y và xy = 1 nên

( x y)
A=

2

x y

+

2 xy
2
= x y+
x y
x y

1
a

Biết rằng nếu a > 0 thì a + 2 (BĐT Côsi)
Do đó A =

x y
2
x y
x y
.
+
+
2+
2
x y
2
2

22

Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang


Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục

Vậy A có giá trị nhỏ nhất khi

x y
2
+
=2
2
x y

( x y) + 4 = 4( x y) ( x y) 4( x y) + 4 = 0 .
2

2

Giải phơng trình này đợc nghiệm x y = 2.
x y = 2
, nghiệm của hệ phơng trình là
xy = 1

Do đó ta có hệ phơng trình sau

( x; y ) = (1 +

)

2; 1 + 2 ;

( x; y ) = (1

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là A =

)

2; 1 2 (Thoả mãn điều kiện bài ra).

x y
2
+ 2 = + 2 = 3.
2
2

Bình luận
Nhng với x =

6+ 2
6 2
62
thì có x > y; xy =
; y=
= 1 và A = 2 2 < 3.
2
2
4

Tại sao lại nh thế?

Bài 19. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x 2 x + 3 + x 2 x 2 .

Một học sinh lên bảng làm nh sau:
2

2

1
1
11
1
1
9
Ta có A = x x + 3 + x x 2 = x 2. x + + + x 2 2. x +
2
4
2
2
2 4
2

2

2

2

2

1 11
1 9

= x + + x .
2
4
2 4


Suy ra A

11
9 11 9
+ = + = 5.
4
4 4 4
2

1
1
1
Đẳng thức xảy ra x = 0 x = 0 x = .
2
2
2

1
2

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 5 khi x = .
Bình luận:

23

Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang


Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục

Trong lớp có hai nhóm đa ra các nhận xét khác nhau, nhóm thứ nhất cho là
lời giải của bạn học sinh trên có vấn đề, nhóm thứ hai hoàn toàn nhất trí với lời
giải trên. Còn bạn, bạn sẽ đứng ở nhóm nào? Tại sao?
Bài 20. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ( x 2 1)( x 2 + 1) .

Lời giải hay
Ta có x 2 0 với mọi x, suy ra x 2 1 1 và x 2 + 1 1
Suy ra P = ( x 2 1)( x 2 + 1) ( 1) .1 = 1 P 1.
x 1 = 1
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 2
x = 0.
2

x + 1 = 1

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là -1 khi x = 0.
Sai lầm ở đâu?

Bi 21. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2 xy + 3 y 2 x + 1 .

Lời giải dễ hiểu
Điều kiện x 0; y 0.
Ta có P = x 2 xy + 3 y 2 x + 1
=

(

x y

)

=

(

2
1 1
x y 1 + 2 y 2 y +
2 2

=

(

x y 1 +

2

+1 2

(

)

x y 2 y + 2y

)

)

2

(

)

2
1
1
2 y 1
2
2

1
2

1
4

9

4

Từ đó đánh giá đợc min P = y = ; x = .
Bình luận:
Lời giải rất logic, liệu các bạn có chấp nhận không?
24

Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang


Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục
x + y = m

Bài 22. Cho ( x, y ) là nghiệm của hệ phơng trình

2
2
2
x + y = m + 6

(I ) .

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = xy + 2 ( x + y )

Lời giải hay
x + y = m
Từ hệ (I) ta có
2

x + y = m

2
( x + y ) 2 xy = m + 6
xy = m 3
2

Khi đó F = m 2 3 + 2m = ( m + 1) 4
2

Ta thấy ( m + 1) 4 4 , dấu = xảy ra khi và chỉ khi m = 1 nên min F = 4 khi
2

và chỉ khi m = 1 .
Mặt khác dễ thấy m càng lớn thì F = ( m + 1) 4 càng lớn, do đó biểu thức F
2

không đạt giá trị lớn nhất.
Bình luận
Bài toán có lỗ hổng không? Nếu có thì nó nằm ở đâu?

Bài 23. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
f ( x ) = x 2 x + 1 + x 2 3 x + 1 với x R .

Cách giải hay?
2

2

2
2

3

1
3
1
Đa hàm số trên về dạng f ( x ) = x + + x +
2 2
2 2



1

3

(

)

3 1

Trong hệ trục tọa độ Oxy, xét các điểm A , , B , và C ( x, 0 ) .
2 2 2 2
Khi đó f ( x ) = CA + CB. Vì CA + CB AB ,
2
2
2 3 1
3 1 1
3
,

Trong đó AB = + =
2
2 2 2 2

25

Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang