07 nguyen ham luong giac p2 pros(2016)

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

07. NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Dạng 2. Nguyên hàm lượng giác của các hàm chỉ có sinx, cosx
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
a) I 4 = ∫ sin 3 x dx
b) I 5 = ∫ cos5 x dx

c) I 3 = ∫ cos 4 x dx

Hướng dẫn giải:
a) I 4 = ∫ sin 3 x dx = ∫ sin 2 x.sin x dx = − ∫ (1 − cos 2 x ) d ( cos x ) = − cos x +

cos3 x
+ C.
3

b) I 5 = ∫ cos5 x dx = ∫ cos 4 x.cos x dx = ∫ (1 − sin 2 x ) d ( sin x ) = ∫ (1 − 2sin x + sin 2 x ) d ( sin x ) =
2

sin 3 x
sin 3 x
+ C 
→ I 5 = sin x − sin 2 x +
+ C.
3

3
c) Sử dụng liên tiếp công thức hạ bậc hai ta được:
= sin x − sin 2 x +

2
1
1 + cos 4 x  3 1
1
 1 + cos 2 x  1
2
cos 4 x = ( cos 2 x ) = 
 = (1 + 2cos 2 x + cos 2 x ) =  1 + 2cos 2 x +
 = + cos 2 x + cos 4 x
2
4
4
2
8


 8 2
1
3x 1
1
3 1

Khi đó I 3 = ∫ cos 4 x dx = ∫  + cos 2 x + cos 4 x  dx =
+ sin 2 x + sin 4 x + C.
8
8 4

32
8 2

Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
cos x dx
sin 2 x
a) I1 = ∫ 2
b) I 2 = ∫
dx
sin x + 3sin x + 2
cos x
dx
dx
c) I 3 = ∫
d) I 4 = ∫
sin 3 x + sin x
cos3 x
Hướng dẫn giải:
cos x dx
d (sin x)
a) Ta có I1 = ∫ 2
=
sin x + 3sin x + 2 ∫ sin 2 x + 3sin x + 2
( t + 2 ) − ( t + 1) dt = dt − dt = ln t + 1 + C = ln sin x + 1 + C.
dt
Đặt t = sin x 
→ I1 = ∫ 2
=∫
∫ t +1 ∫ t + 2 t + 2
t + 3t + 2

sin x + 2
( t + 1)( t + 2 )
2

sin 2 x
sin 2 x.cos x dx
sin 2 x d (sin x)
sin 2 x d (sin x)
dx = ∫
=
−
=
∫ 1 − sin 2 x ∫ sin 2 x − 1
cos x
cos 2 x
t 2 dt
t2 −1 + 1
1 
dt
1 ( t + 1) − ( t − 1)

Đặt t = sin x 
→ I2 = ∫ 2
=∫ 2
dt = ∫  1 + 2
=t+ ∫
dt =
 dt = t + ∫ 2
t −1
t −1

t −1
2 ( t + 1)( t − 1)
 t −1 

b) I 2 = ∫

1 t −1
1 sin x − 1
1 sin x − 1
= t + ln
+ C = sin x + ln
+ C 
→ I 2 = sin x + ln
+ C.
2 t +1
2 sin x + 1
2 sin x + 1
dx
dx
dx
1
sin x dx
1
d (cos x)
c) I 3 = ∫
=∫
=∫
= ∫ 2
=− ∫
2

2
sin 3 x + sin x
2sin 2 x.cos x
4sin x.cos x 4 sin x.cos x
4 (1 − cos 2 x ) .cos 2 x
2
2
1
dt
1 (1 − t ) + t
1  dt
dt 
Đặt cos x = t 
→ I3 = − ∫
=− ∫
dt = −  ∫ 2 + ∫
2
2
2
2
4 (1 − t ) .t
4 (1 − t ) .t
4 t
1 − t 2 

dt

Mà

1

= − + C1
t
1  1 1 1+ t

→ I 3 = −  − + ln
dt
1 (1 − t ) + (1 + t )
1  dt
dt  1 1 + t
4  t 2 1− t
∫ 1 − t 2 = 2 ∫ (1 − t )(1 + t ) dt = 2  ∫ 1 + t + ∫ 1 − t  = 2 ln 1 − t + C2

∫t

2


 + C.


1
1
1 1 + cos x 
Thay t = cosx vào ta được I 3 = −  −
+ ln
 + C.
4  cos x 2 1 − cos x 

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
d) I 4 = ∫

Facebook: LyHung95

dx
cos x dx
d (sin x)
=∫
= −∫
2
3
4
cos x
cos x
(1 − sin 2 x )
2
 ( t + 1) − ( t − 1) 
1  1
1 
= ∫
−
 dt = ∫ 
 dt =
4  t −1 t +1
 2 ( t + 1)( t − 1) 
2

Đặt t = sin x 

→ I 4 = −∫
=

dt

(1 − t )

2 2

= −∫

(t

dt
2

− 1)

2

 1 1
( t + 1) − ( t − 1) dt  1  1
1
dt
dt
2dt
1
1
t −1 
+∫

+∫
−
+∫
−
+ ln
∫
 = −
 = −
 + C.
2
2
4  ( t − 1)
t +1 
( t − 1)( t + 1)  4  t − 1 t + 1
( t − 1)( t + 1)  4  t − 1 t + 1
( t − 1)

1
1
1
sin x − 1 
Thay t = sinx vào ta được I 4 =  −
−
+ ln
 + C.
4  sin x − 1 sin x + 1
sin x + 1 
Ví dụ 3: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
dx
4sin 3 x dx

a) I 5 = ∫
b) I 6 = ∫
sin x cos x
1 + cos x
Hướng dẫn giải:
dx
cos x dx
d (sin x)
a) I 5 = ∫
=
=
sin x cos x ∫ sin x cos 2 x ∫ sin x (1 − sin 2 x )

Đặt t = sin x 
→ I5 = ∫

c) I 7 = ∫

sin x dx
cos3 x − 1

2
t 2 + (1 − t 2 )
dt
t dt
dt
1 d (1 − t )
1
=
dt

=
+
=
−
+ ln t = − ln 1 − t 2 + ln t + C.
2
2
∫
∫
∫
∫
2
2
1− t
t
2
1− t
2
t (1 − t )
t (1 − t )

1
1
Thay t = sinx vào ta được I 5 = − ln 1 − sin 2 x + ln sin x + C = − ln cos 2 x + ln sin x + C = ln tan x + C.
2
2
dx
V ậy I 5 = ∫
= ln tan x + C.
sin x cos x

b) Sử dụng phép biến đổi lượng giác ta có:
2
4sin 3 x 4sin 2 x.sin x 4 (1 − cos x ) .sin x
=
=
= 4 (1 − cos x ) .sin x = 4sin x − 2sin 2 x.
1 + cos x
1 + cos x
1 + cos x
4sin 3 x dx
T ừ đó I 6 = ∫
= ∫ ( 4sin x − 2sin 2 x ) dx = −4cos x + cos2 x + C 
→ I 6 = −4cos x + cos2 x + C.
1 + cos x
sin x dx
d (cos x)
c) I 7 = ∫
= −∫
cos3 x − 1
cos3 x − 1
dt
dt
Đặt t = cosx ta được I 7 = − ∫ 3
= −∫
(t − 1)(t 2 + t + 1)
t −1
Bằng kĩ thuật phân tích nhảy tầng lầu ta được

1

( t − 1) ( t 2 + t + 1)

=

3t 2 − 3 ( t 2 + t + 1) + 3 ( t − 1)
−6 ( t − 1) ( t 2 + t + 1)

2
2
1 3t − 3 ( t + t + 1) + 3 ( t − 1)
1 3t 2 dt 1 dt 1
dt
Khi đó I 7 = ∫
dt
=
− ∫
+ ∫ 2
3
∫
2
6
6 t −1 2 t −1 2 t + t +1
( t − 1) ( t + t + 1)

d ( t 3 − 1)
3t 2 dt
3
∫ t 3 − 1 = ∫ t 3 − 1 = ln t − 1 + C1
dt
= ln t − 1 + C2

t −1


1
t+ 
dt
dt
1
2  + C = 2 arctan  2t + 1  + C
=
arctan 
3
3


2
∫ t2 + t +1 = ∫
2
3
3
 3 
 3 
 1  3



t +  + 
2
 2 
 2  2 

1
1
1 2
1
1
1
 2t + 1 
 2t + 1 
Từ đó I 7 = ln t 3 − 1 − ln t − 1 + .
arctan 
+ C = ln t 3 − 1 − ln t − 1 +
arctan 

 + C.
6
2
2 3
6
2
3
 3 
 3 
Bình luận:
Ngoài cách sử dụng kĩ thuật nhảy tầng lầu trực tiếp như trên, chúng ta có thể biến đổi theo hướng khác như sau

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
I7 = − ∫


→

Facebook: LyHung95

dt
dt
d( t − 1 )
du
= −∫
= −∫
= −∫
2
2
2
t −1
( t − 1 )( t + t + 1 )
u ( u + 3u + 3 )
( t − 1 ) ( t − 1 ) + 3( t − 1 ) + 3 )
3

2
2
−1
−1
1 ( 3u + 6u + 3 ) − 3 ( u + 3u + 3 ) + 3u 1 3u 2 + 6u
1
1
=

=
.
= . 3
−
+
3
2
2
2
2
2
6 u + 3u + 3u 2u 2 ( u + 3u + 3 )
u ( u + 3u + 3 ) u + 3u + 3u 6
u ( u + 3u + 3 )

Thay vào ta được :
1
1
1
du
1
1
1
 2u + 3 
I7 = ln u 3 + 3u 2 + 3u − ln u + ∫
= ln u 3 + 3u 2 + 3u − ln u +
arctan 
 + C.
2
2

6
2
2 
6
2
2 3
 3 
3  3

u +  + 
2  2 


Ví dụ 4: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
a) I1 = ∫ ( tan x + e 2sin x ) cos xdx

b) I 2 = ∫ ( esin x + cos x ) .cos x dx
sin 3 x
d) I 4 = ∫
dx
1 + cos 2 x

c) I 3 = ∫ sin 2 x.cos x(2 + cos x) dx
2

Ví dụ 5: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
b) I 2 = ∫ ( cos3 x − 1) cos 2 xdx

x


a) I1 = ∫ 1 + tan x.tan  sin xdx
2


c) I 3 = ∫

cos x + sin x.cos x
2 + sin x

d) I 4 = ∫

sin 3 x − sin 3 x
dx
1 + cos 3 x

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
a) I1 = ∫ cos 6 x dx

b) I 2 = ∫

dx
sin x.cos x

c) I 3 = ∫ sin 2 x ( 2 + sin 2 x ) dx

d) I 4 = ∫

sin 4 xdx
2 cos 4 x − 1

dx
sin 3 x

b) I 2 = ∫

cos3 x dx
sin 5 x

c) I 3 = ∫ sin x cos 2 x dx

d) I 4 = ∫

dx
sin x cos 6 x

2

Bài 2: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
a) I1 = ∫

Bài 3: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
a) I1 = ∫

1 + sin 2 x
dx
cos 2 x

b) I 2 = ∫

sin 2 x.cos x
dx
3 + cos x

c) I 3 = ∫

sin 2 x
dx
1 + cos x

d) I 4 = ∫

cos x
dx
2 + cos 2 x

Bài 4: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
a) I1 = ∫ cos 2 x.cos 4 xdx

b) I 2 = ∫ 1 − cos3 x .sin x.cos5 x dx

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

c) I 3 = ∫ sin x.cos x(1 + cos x)2 dx

Facebook: LyHung95

d) I 4 = ∫

cos 2 x
dx
1 + sin x cos x

b) I 2 = ∫

sin 3 x
dx
1 + cos 2 x

Bài 5: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
a) I1 = ∫ cos 2 x(sin 4 x + cos 4 x)dx
c) I 3 = ∫ (sin 3 x + cos3 x)dx
Bài 6: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
a) I1 = ∫

sin 2 x sin x
dx
1 − sin x

b) I 2 = ∫ ( sin 4 x + sin 2 x ) cos 2 x + 3dx

Bài 7: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
a) I1 = ∫
c) I 3 = ∫

tan xdx
4 + cos 2 x

3sin x + 4 cos x
dx
3sin 2 x + 4 cos 2 x

b) I 2 = ∫

dx
tan x 3 + cos 2 x

d) I 4 = ∫

sin x.cos3 x
dx
1 + cos 2 x

b) I 2 = ∫

sin 3 x
dx
3 + sin 2 x

d) I 4 = ∫

sin 2 x + sin x
dx
1 + 2 cos x

Bài 8: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
a) I1 = ∫ cos 4 x(sin 6 x + cos 6 x)dx

c) I 3 = ∫

cos xdx
5 + cos 2 x

Bài 9: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
a) I1 = ∫

cos 3 x
dx
sin x

b) I 2 = ∫

sin x.cos3 x
dx
1 + cos 2 x

c) I 3 = ∫

4sin 3 xdx
1 + cos 4 x

d) I 4 = ∫

3sin 2 x + sin x
dx
6 cos x − 5

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!