Nguyên hàm các hàm lượng giác

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 50

Vấn đề 8: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM LƯNG GIÁC

Để xác đònh nguyên hàm các hàm lượng giác ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các
phương pháp cơ bản sau:
1. Sử dụng các dạng nguyên hàm cơ bản.
2. Sử dụng các phép biến đổi lượng giác đưa về các nguyên hàm cơ bản.
3. Phương pháp đổi biến.
4. Phương pháp tích phân từng phần.

1. SỬ DỤNG CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
Bài toán 1: Xác đònh nguyên hàm các hàm lượng giác bằng việc sử dụng các dạng
nguyên hàm cơ bản.

Dạng 1: Tính tích phân bất đònh:
dx
I
sin(xa)sin(xb)
=
++
ò


PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
· Bước 1: Sử dụng đồng nhất thức:

sin(ab)sin[(xa)(xb)
1

sin(ab)sin(ab)
-+-+
==
--

· Bước 2: Ta được:

dx1sin[(xa)(xb)]
Idxdx
sin(xa)sin(xb)sin(ab)sin(xa)sin(xb)
+--
==
++-++
òò


1sin(xa).cos(xb)cos(xa).sin(xb)
dx
sin(ab)sin(xa)sin(xb)
1cos(xb)cos(xa)
dxdx
sin(ab)sin(xb)sin(xa)
1
[ln|sin(xb)}ln|sin(xa)|]C
sin(ab)
1sin(xb)
lnC.
sin(ab)sin(xa)
++-++
=

-++
++éù
=-
êú
-++
ëû
=+-++
-
+
=+
-+
ò
òò

Chú ý: Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các dạng tích phân sau:
1.
dx
I
cos(xa)cos(xb)
=
++
ò
, sử dụng đồng nhất thức
sin(ab)
1.
sin(ab)
-
=
-

2.
dx
I
sin(xa)cos(xb)
=
++
ò
, sử dụng đồng nhất thức
cos(ab)
1.
cos(ab)
-
=
-

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 51
Ví dụ 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
1
f(x)
sinx.cosx
4
=
p
ỉư
+
ç÷
èø
.
Giải:

· Cách 1: Sử dụng phương pháp trong dạng toán cơ bản
Sử dụng đồng nhất thức:
cosxx
cos
4
4
12cosxx.
4
2
cos
4
2
éùp
ỉư
p
+-
ç÷
êú
éùp
ỉư
èø
ëû
===+-
ç÷
êú
p
èø
ëû

Ta được:

cosxx
cosxcosxsinxsinx
4
44
F(x)2dx2
sinx.cosxsinx.cosx
44
éù
p
ỉư pp
ỉưỉư
+-
+++
ç÷
ç÷ç÷
êú
èø
ëûèøèø
==
pp
ỉưỉư
++
ç÷ç÷
èøèø
òò


sinx
cosx
4

2dxdx
sinx
cosx
4
sinx
2ln|sinx|lncosxC2lnC
4
cosx
4
éùp
ỉư
+
ç÷
êú
èø
êú
=+
p
ỉư
êú
+
ç÷
êú
èø
ëû
éù
p
ỉư
=-++=+
êú

ç÷
p
ỉư
èø
ëû
+
ç÷
èø
òò

· Cách 2: Dựa trên đặc thù của hàm f(x)
Ta có:
2
dxdx
F(x)22
sinx.(cosxsinx) sinx(cotgx1)
==
- -
òò


d(cotgx)d(cotgx1)
222lncotgx1C.
cotgx1cotgx1
-
=-=-=--+
--
òò

Dạng 2: Tính tích phân bất đònh:
dx
I
sinxsin
=
+a
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
· Bước 1: Biến đổi I về dạng:
dx1dx
I(1)
xx
sinxsin2
sin.cos
22
==
+a-a
+a
òò

· Bước 2: Áp dụng bài toán 1 để giải (1).
Chú ý: Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các dạng tích phân sau:
1.
dx
I,với|m|1
sinxm
=£
+

ò

2.
dxdx
IvàI,với|m|1
cosxcoscosxm
==£
+a+
òò
.
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 52
Ví dụ 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
1
f(x)
2sinx1
=
+
.
Giải:
Biến đổi f(x) về dạng:
11111
f(x)..(1)
6x6x
1
24
sinxsinsin.cos
2sinx
61212
2

===
p+p-p
ỉư
+
+
ç÷
èø

Sử dụng đồng nhất thức:
6x6x
cos
cos
26x6x
1212
6
1cos
1212
33
cos
6
2
+p-p
p
ỉư
-
ç÷
+p-p
ỉư
èø
===-

ç÷
p
èø

Ta được:
3x6x
cos
1
1212
F(x)
66x
23
sin.cos
1212
+p-p
ỉư
-
ç÷
èø
=
+p-p
ò


6x6x6x6x
cos.cossin.sin
1
12121212
6x6x
23

sin.cos
1212
6x6x
cossin
1
1212
dxdx
6x6x
23
sincos
1212
6x
sin
16x6x1
12
lnsinlncosClnC.
6x
1212
233
cos
12
+p-p+p-p
+
=
+p-p
+p-p
éù
êú
=+
êú

+p-p
êú
ëû
+p
éù+p+p
=-+=+
êú
-p
ëû
ò
òò


Dạng 3: Tính tích phân bất đònh: Itgx.tg(x)dx.=+a
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
· Bước 1: Biến đổi I về dạng:

sinx.sin(x)
Itgx.tg(x)dxdx
cosx.cos(x)
cosx.cos(x)sinx.sin(x)
1dx
cosx.cos(x)
cosdxdx
dxcosx(1)
cosx.cos(x)cosx.cos(x)
+a

=+a=
+a
+a++a
ỉư
=-
ç÷
+a
èø
a
=-=a-
+a+a
òò
ò
òòò

· Bước 2: Áp dụng bài toán 1 để giải (1).
Chú ý: Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các dạng tích phân sau:
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 53
1. Itg(x).cotg(x)dx.=+a+b
ò

2. Icotg(x).cotg(x)dx.=+a+b
ò

Ví dụ 3: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)tgx.tgx
4
p
ỉư
=+

ç÷
èø
.
Giải:
Biến đổi f(x) về dạng:
sinx.sinxcosx.cosxsinx.sinx
444
f(x)1
cosx.cosxcosx.cosx
44
ppp
ỉưỉưỉư
++++
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø
==-
pp
ỉưỉư
++
ç÷ç÷
èøèø


cos
21
4
1.1.
2
cosx.cosxcosx.cosx
44

p
=-=-
pp
ỉưỉư
++
ç÷ç÷
èøèø

Khi đó:
2dx2dx
F(x)dxx(1)
22
cosx.cosxcosx.cosx
44
=-=-+
pp
ỉưỉư
++
ç÷ç÷
èøèø
òòò

Để đi xác đònh :
dx
J
cosx.cosx
4
=
p
ỉư

+
ç÷
èø
ò
ta lựa chọn một trong hai cách sau:
· Cách 1: Sử dụng phương pháp trong dạng toán cơ bản.
Sử dụng đồng nhất thức:
sinxx
sin
4
4
12sinxx
4
2
sin
4
2
éù
p
ỉư
p
+-
ç÷
êú
éùp
ỉư
èø
ëû
===+-
ç÷

êú
p
èø
ëû

Ta được:

sinxx
sinxcosxcosxsinx
4
44
J2dx2dx
cosx.cosxcosx.cosx
44
sinx
sinx
4
2dxdx2lncosxxlncosxC
cosx4
cosx
4
cosx
2ln
éùp
ỉư pp
ỉưỉư
+-
+-+
ç÷
ç÷ç÷

êú
èø
ëûèøèø
==
pp
ỉưỉư
++
ç÷ç÷
èøèø
éùp
ỉư
+
ç÷
êú
éù
p
ỉư
èø
=-=-+++
êú
ç÷
êú
p
èøỉư
ëû
êú
+
ç÷
êú
èø

ëû
=
òò
òò
C2ln1tgxC.
cosx
4
+=--+
p
ỉư
+
ç÷
èø

· Cách 2: Dựa trên đặc thù của hàm dưới dấu tích phân
Ta có:
2
dxdx
J22
cosx.(cosxsinx) cosx(1tgx)
==
--
òò

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 54

d(tgx)d(1tgx)
222ln1tgxC
1tgx1tgx

-
==-=--+
--
òò

Vậy ta được: F(x)xln1tgxC.=---+

Dạng 4: Tính tích phân bất đònh:
dx
I
asinxbcosx
=
+
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta có thể lựa chọn hai cách biến đổi:
· Cách 1: Ta có:

2222
2222
2
22
1dx1dx
I
xx
sin(x)
abab
2sincos
22

x
dtg
1dx1
2
xxx
abab
2tgcostg
222
1x
lntgC.
2
ab
==
+a+a
+a
++
+a
ỉư
ç÷
èø
==
+a+a+a
++
+a
=+
+
òò
òò

· Cách 2: Ta có:

2
2222
2
2222
1dx1sin(x)dx
I
sin(x) sin(x)
abab
1d[cos(x)]1cos(x)1
lnC.
cos(x)1cos(x)1
ab2ab
+a
==
+a +a
++
+a+a-
=-=-+
+a++a-
++
òò
ò

Chú ý: Chúng ta cũng có thể thực hiện bằng phương pháp đại số hoá với việc đổi biến:
x
ttg.
2
=
Ví dụ 4: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

2
f(x)
3sinxcosx
=
+
.
Giải:
Ta có:
2dxdxdx
F(x)
xx
3sinxcosx
sinx2sincos
6212212
===
ppp
ỉưỉưỉư
+
+++
ç÷ç÷
ç÷
èøèø
èø
òòò


2
x
dtg
dxx

212
lntgC.
xxx
212
2tgcostg
212212212
éù
p
ỉư
+
ç÷
êú
p
èø
ëû
===++
ppp
ỉưỉưỉư
+++
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø
òò

Dạng 5: Tính tích phân bất đònh:
11
22
asinxbcosx
Idx.
asinxbcosx
+

=
+
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 55
· Bước 1: Biến đổi :
112222
asinxbcosxA(asinxbcosx)B(acosxbsinx)+=++-
· Bước 2: Khi đó:

2222
22
A(asinxbcosx)B(acosxbsinx)
Idx
asinxbcosx
++-
=
+
ò


22
22
22
acosxbsinx
AdxBdxAxBlnasinxbcosxC
asinxbcosx

-
=+=+++
+
òò

Ví dụ 5: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
4sinx3cosx
f(x)
sinx2cosx
+
=
+
.
Giải:
Biến đổi: 4sinx3cosxa(sinx2cosx)b(cosx2sinx)+=++-
(a2b)sinx(2ab)cosx=-++
Đồng nhất đẳng thức, ta được:
a2b4a2
2ab3b1
-==
ìì
Û
íí
+==-
ỵỵ

Khi đó:
2(sinx2cosx)(cosx2sinx)cosx2sinx
f(x)2.
sinx2cosxsinx2cosx

+---
==-
++

Do đó:
cosx2sinxd(sinx2cosx)
F(x)2dx2dx
sinx2cosxsinx2cosx
-+
ỉư
=-=-
ç÷
++
èø
òò

2xlnsinx2cosxC=-++
Dạng 6: Tính tích phân bất đònh:
11
2
22
asinxbcosx
Idx
(asinxbcosx)
+
=
+
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta thực hiện theo các bước sau:
· Bước 1: Biến đổi :
112222
asinxbcosxA(asinxbcosx)B(acosxbsinx)+=++-
· Bước 2: Khi đó:

2222
2
22
A(asinxbcosx)B(acosxbsinx)
Idx
(asinxbcosx)
++-
=
+
ò


22
2
22 22
dxacosxbsinx
ABdx
asinxbcosx(asinxbcosx)
-
=+
+ +
òò

22
22
22
22
22
22
AdxB
sin(x)asinxbcosx
ab
AxB
ln|tg|C
2asinxbcosx
ab
=-
+a+
+
+a
=-+
+
+
ò

Trong đó
22
2222
2222
ba
sinvàcos
abab
a=a=

++