Luận văn bài toán ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính có điều khiển

T R Ư Ờ N G ĐẠI HỌC s ư P H Ạ M HÀ NỘI 2

K H Ú C THỊ LOAN

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HÓA HỆ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
TUYẾN TÍNH CÓ ĐIỀU KHIEN

L U Ậ N VĂN TH Ạ C SĨ T O Á N HỌC

Hà Nội, tháng 6 năm 2015


T R Ư Ờ N G ĐẠ I HỌC s ư P H Ạ M HÀ NỘI 2

K H Ú C THỊ LOAN

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HÓA HỆ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
TUYẾN TÍNH CÓ ĐIỀU KHIEN

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C SĨ T O Á N H Ọ C

C huyên ngành : T O Á N G I Ả I
M ã số : 60 46 01 02

TÍCH

N gười hướng dẫn khoa học:
G S.TSK H v ũ N G Ọ C PH Á T

Hà Nội, tháng 6 năm 2015


LỜI C ẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn tận tình của GS.TSKH Vũ Ngọc Phát. Em xin được gửi lời
cảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo GS.TSKH Vũ
Ngọc Phát. Em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành của mình tới
toàn bộ các thầy, cô giáo trong khoa đã tham gia giảng dạy và giúp đỡ
chúng em trong suốt quá trình học tập cao học chuyên ngành Toán giải
tích tại trường.
Em xin chân thành cảm ơn ban Giám hiệu, phòng Sau đại học trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình em
học tập và nghiên cứu.

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Tác giả

Khúc Thị Loan


LỜI C A M Đ O A N
Luận văn tốt nghiệp được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo
GS.TSKH Vũ Ngọc Phát.
Trong quá trình nghiên cứu luận văn em có sử dụng sách tham khảo
của một số tác giả, các nhà nghiên cứu đã nêu trong mục tài liệu tham
khảo.
Em xin cam đoan rằng khóa luận này là trung thực, không sao chép từ

các tài liệu có sẵn, tên đề tài không trùng lặp với bất cứ tên đề tài nào
khác.

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Tác giả

KHÚC THỊ LOAN


M ục lục
Mở đầu

1

1

C ơ SỞ T O Á N HỌC
1.1 Hệ phương trình vi p h â n ............................................................
1.2 Hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến t í n h ......................
1.3 Bài toán ổn định và ổn định h ó a ...............................................
1.3.1 Bài toán ổn đ ịn h ...............................................................
1.3.2 Bài toán ổn định h ó a .....................................................
1.4 Các tiêu chuẩn ổn định cơ b ả n .................................................
1.5 Các bổ đề bổ t r ợ .........................................................................

2

T ÍN H ỔN Đ ỊN H HÓA HỆ P H Ư Ơ N G T R ÌN H VI P H Â N
T U Y Ế N T ÍN H CÓ ĐIỀU K H IEN

15
2.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính có điềukhiển ôtônôm
15
2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính khôngôtônôm có hạn
chế trê n điều khiển

.............................................................................

5
5
6
7
7
9
9
14

18

Kết luận

32

Tài liệu tham khảo

33


1

MỞ Đ Ầ U

1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết ổn định là một phần quan trọng của lý thuyết định tính
phương trình vi phân. Lý thuyết ổn định được nghiên cứu từ cuối thế kỷ
19 bởi nhà toán học Nga A.M.Lyapunov. Mỗi khi phân tích và thiết kế các
hệ thống kỹ thuật hoặc các mô hình kinh tế mô tả bằng các hệ phương
trình toán học người ta cần nghiên cứu tính ổn định của hệ thống đó. Cho
đến nay tính ổn định đã được nghiên cứu và phát triển như một lý thuyết
toán học độc lập có rất nhiều ứng dụng hữu hiệu trong kinh tế, khoa học
và kỹ thuật. Đặc biệt từ những năm 60 của thế kỷ hai mươi, bằng sự ra
đời của lý thuyết điều khiển hệ thống, tính ổn định ngày càng đươc quan
tâm nghiên cứu và ứng dụng vào các mô hình điều khiển kỹ thuật. Từ đó
xuất hiện các bài toán nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi
phân điều khiển.
Song song với sự phát triển của lý thuyết ổn định, do nhu cầu nghiên
cứu tính ổn định các hệ kỹ thuật mô tả bằng các phương trình điều khiển,
người ta nghiên cứu tính ổn định hóa của các hệ động lực. Bài toán ổn
định hóa là tìm hàm điều khiển chấp nhận được (hàm điều khiển ngược)
sao cho hệ đóng (hệ giải tương ứng với điều khiển chấp nhận được này) là
ổn định tiệm cận Lyapunov. Từ những kết quả đầu tiên về quan hệ giữa
tính ổn định và điều khiển được của các hệ điều khiển, nhiều kết quả thú
vị và có nhiều ứng dụng trong các bài toán kỹ thuật và công nghệ đã được
công bố bởi các nhà toán học, điều khiển học trong và ngoài nước, đặc
biệt bởi nhóm nghiên cứu của GS Vũ Ngọc Phát, Viện toán học Hà Nội.
Bài toán ổn định hóa là bài toán khó và vẫn còn là hướng nghiên cứu
quan trọng đang được quan tâm nghiên cứu. Vì vậy tôi đã chọn đề tài cho
luận văn thạc sĩ của mình là “ Bài toán ổn định hóa hệ phương trình
vi phân tuyến tính có điều khiển ”

2

2. Cấu trúc của khóa luận
Luận văn này gồm 2 chương
Chương 1: Cơ sở toán học: Trình bày một số khái niệm về hệ phương
trình vi phân, hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính, bài toán ổn
định , ổn định hóa và một số bổ đề sử dụng cho chương sau.
C h ư ơ n g 2 : Các tiêu chuẩn về ổn định hóa hệ phương trình vi phân
tuyến tính có điều khiển: Đây là chương chính của luận văn, trình bày một
số định lý về tính ổn định hóa hệ phương trình tuyến tính có điều khiển
ôtônôm và không ôtônôm, hệ có hạn chế trên điều khiển.

3. M ục đích nghiên cứu
Trình bày cơ sở bài toán ổn định hóa và một số kết quả chọn lọc của
tính ổn định hóa hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính.

4. N h iệm vụ nghiên cứu
Đọc hiểu các tài liệu về lý thuyết ổn định Lyapunov, bài toán ổn định
hóa hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính; trình bày những kiến
thức này dưới dạng một luận văn khoa học.Vận dụng để giải một số bài
toán ổn định, ổn định hóa hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính

5. Đ ối tượng và phạm vi nghiên cứu
Các hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính.

6. Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp và kỹ thuật toán học của phương trình vi phân, đại
số tuyến tính, giải tích thực hiện đại.

3

7. Đ ón g góp của đề tài
Hệ thống các kiến thức cơ sở của lý thuyết ổn định, ổn định hóa hệ
phương trình vi phân tuyến tính và các kết quả chọn lọc mới về bài toán
ổn định hóa của hệ phương trình vi phân tuyến tính


4

M ột số ký hiệu và v iết tắ t
M.
R+
Rn
Rnxm
AT
(x, y)
||.||
A(A)
АтйЯ(А)
Amin(A)
tị(A)
Z/2([í, s] , Rn)

M ([0, + 00] , Ry)
M > 0
M >0

Tập các số thực

Tập các số thực không âm
Không gian Euclide n chiều
Tập tất cả ma trận n X m
Ma trận chuyển vị
Tích vô hướng
Chuẩn
Tập tất cả giá trị riêng của A
Max{Re(A) : Л G А(Л)}
M in{R e(A ) : Л £ А (Л )}
Độ đo của ma trận Ả ; ĩ](j4) = ( \ / 2 ) \ max(A + A T)
Không gian các hàm khả tích bậc hai trên [t,s]với giá
trị trên Rn
Tập các hàm ma trận xác định không âmvà bị chặn
Ma trận xác định không âm
Ma trận xác định dương


5

Chương 1
c ơ SỞ TOÁN HỌC
Trong chương này, luận văn trình bày những kiến thức cơ sở về hệ
phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính,
trình bày về bài toán ổn định và ổn định hóa của hệ phương trình vi phân
điều khiển tuyến tính, các tiêu chuẩn của bài toán ổn định và ổn định hóa.
Ngoài ra còn có một số mệnh đề bổ trợ cho việc chứng minh các định lí
ổn định trong chương 2. Nội dung Chương 1 được lấy từ các tài liệu [1, 2].

1.1

H ệ phương trình vi phân

Xét hệ phương trình vi phân có dạng:
< â (t) = /(t,a ;(t)),
k x ( t 0) = x 0ì

t > t 0ì

to > 0,

tro n g đó x { t ) € R n , / : R + X R n —>■R n , với mỗi t > t 0.

Hàm khả vi liên tục x { t ) thỏa mãn hệ phương trình vi phân (1.1) là
nghiệm của hệ phương trình vi phân đó. Công thức nghiệm dạng tích phân
của hệ ( 1 . 1) là
t

x(t) = X 0 + J

f(s,x(s))ds.

to
Định lý sau đây khẳng định sự duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi
phân ( 1 . 1)


6

Định lý 1.1 (Định lý 1.23, [2], trang 27):
Xét hệ phương trình vi phân (1.1) trong đó giả sử hàm

/ ( í , íc(í )):
X Rn —> Rn là liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz
theo x:

3 K > 0 : H/(í,íCi) - f ( t , x 2)|| < K lịrri - x 2\\ ,

Ví > 0.

Khi đó với mỗi (to,Xo) £
x
sẽ tìm được số d > 0 sao cho hệ (1.1)
luôn có nghiệm duy nhất trên khoảng [to — d, to + đ\ . Hay nói cách khác,
q u a mỗi điểm (í0, £o) £ K + X R n có m ột và chỉ m ột đường cong tích p h â n

chạy qua.
Nhận xét 1.1: Nếu hệ (1.1) là hệ phương trình vi phân tuyến tính

x(t) = A(t)x(t) + g(t),

t > 0,

trong đó A(t),g(t) là các hàm liên tục, luôn tồn tại nghiệm x ( t , x o) xác
định trên toàn khoảng [0 , + o o ) .

1.2

H ệ phương trình vi phân điều khiển tu yến tín h

Xét một hệ thống điều khiển mô tả bởi phương trình vi phân tuyến
tính dạng

x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t),

( 1 .2)

t > 0,

trong đó x(t) £ Rn - là véc tơ trạng thái, u(t) £
là véctơ điều khiển ;
n > ra; A(t), B(t ), t > 0, là những ma trận hàm liên tục có số chiều (n x rì)
,(n X ra) tương ứng.

Hệ phương trình tuyến tính (1.2) có nghiệm x(t, Xq, u) tại thời điểm t được
cho bởi:
t
x ( t , X q, u ) = <E>(í, 0)^0 4- J

$(t,s)B(s)u(s)ds,

t > 0,

0

trong đó $ (í, s) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ tuyến tính thuần nhất :

x(t) = A(t)x(t),

t > 0.

7

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.1: Cho hai trạng thái
€: Rn , cặp (Xq,X i ) được
gọi là điều khiển được sau thời gian tị > 0 , nếu tồn tại một điều khiển
chấp n h ậ n được u (t) sao cho nghiệm x { t , Xũ, u ) của hệ th ỏ a m ã n điều kiện

x (0 ,x 0,w) = xũ,x(ti,xũ,u) = X\.
Đ ịn h n g h ĩa 1.2.2: Hệ điều khiển (1.2) gọi là điều khiển được hoàn
toàn (GC) nếu với bất kỳ hai trạng thái Xq,X\ sẽ tìm được một thời gian
> 0 sao cho X q, X \ là điều khiển được sau thời gian t ị .

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.3: Hệ điều khiển (1.2) gọi là đạt được hoàn toàn (GR)
nếu với b ấ t kỳ tr ạ n g th á i X\ £

, tồ n tạ i m ột thời gian t ị > 0 sao cho

(0 , rr 1) là điều khiển được sau thời gian tị.
Đ ịn h n g h ĩa 1.2.4: Hệ điều khiển (1.2) được gọi là điều khiển được
hoàn toàn về 0 (GNC) nếu với bất kỳ trạng thái Xq E Rn , tồn tại một
thời gian
> 0 sao cho (íCo)O) là điều khiển được sau thời gian tị.

1.3

B ài toán ổn định và ổn định hóa

1.3.1

B ài to á n ổn định

Đ ịn h n g h ĩa 1.3.1: Hệ (1.1) là ổn định nếu với bất kỳ £ > 0, t(Ị > 0
sẽ tồn tại số ỏ > 0 (phụ thuộc vào £, to ) sao cho bất kỳ nghiệmx(t) :
x ( t o ) = X q thỏa mãn lịrro|Ị < ô thì ||íc(í)|| < £ với mọi t > Í q .

Đ ịn h n g h ĩa 1.3.2: Hệ (1.1) là ổn định tiệm cận nếu hệ là ổn định và
có một số ỏ > 0 sao cho nếu ||íCo|| < ỗ thì
lim ||z(í)|| = 0.
í—>00
Nếu số ỏ > 0 trong các định nghĩa trên không phụ thuộc vào thời gian
ban đầu to thì tính ổn định (hay ổn định tiệm cận) được gọi là ổn định
đều (hay ổn định tiệm cận đều).


Đ ịn h n g h ĩa 1.3.3: Hệ (1.1)
0 ,ổ > 0 sao cho mọi nghiệm của

là ổn định mũ nếu tồn tạ i các số M >
hệ ( 1 . 1 ) với íc(ío) = X(Ị thỏa mãn

\\x(t)\\ < Me~5(t~to) IIEoII,

Ví > t0.

V í d ụ 1.1: Xét phương trình vi phân sau trong M
X = ax,

t > 0.

Nghiệm x(t), với x(ío) = %0 cho bởi công thức

x ( t ) = eatXo,

t > 0.

Khi đó hệ là ổn định (tiệm cận,mũ) nếu a < 0. Nếu a = 0 thì hệ là ổn
định. Hơn nữa, hệ sẽ là ổn định đều (hoặc ổn địnhtiệm cận đều) vì số
ỏ > 0 chọn được sẽ không phụ thuộc vào trạng thái ban đầu to.
V í dụ 1.2: Xét phương trình vi phân

x(t ) = a(t)x ,

t > 0,

trong đó a(t ) : R + —> M là hàm liên tục, nghiệm x(t), với x(ío) = %0 cho
bởi công thức
t

x(t) =

I a(r)dT
ế°
X0.

Dễ kiểm tra được rằng hệ là ổn định nếu

t
j a(r)dr < n(to) < + 00 .
ío
Hệ là ổn định đều nếu số /i(ío) là hằng số không phụ thuộc vào to , là ổn
định tiệm cận nếu

9

1.3.2

B ài to á n ổn định hóa

Xét hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính (1.2)
Định nghĩa 1.3.1: Hệ (1.2) được gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại
hàm h(t) = K{t)x{t) sao cho hệ đóng (closed - loop system)

x(t) = [Ả(t) + B(t)K(t)] x(t),

t > 0,

là ổn định tiệm cận. Hàm h(t) được gọi là hàm điều khiển ngược (feedback
control).
Như vậy mục đích của bài toán ổn định hóa là tìm các hàm điều khiển
ngược h(t), hoặc ma trận K sao cho hệ đóng là ổn định tiệm cận.

1.4

Các tiêu chuẩn ổn định cơ bản

Xét hệ tuyến tính

x(t) = Ax(t),

t > 0,

(1.3)

tro n g đó Ả là (n X rì) m a t r ậ n hằng số.

Nghiệm của hệ (1.3) cho bởi

x{t) = eA^~to^Xo,

t > to.

Ta sẽ gọi Ma trận Ả là ổn định nếu phần thực các giá trị riêng của Ả
là âm.
Định lý l . l ( Đ ị n h lý 3.1, [2], trang 110):
Hệ (1.3) là ổn định mũ khi và chỉ khi Ả là ma trận ổn định.
V í dụ 1.3: Xét tính ổn định hệ
2?1 (í)

= - Z i (í),

k x 2(t) = - 2x 2(t).


10

Ta thấy

Vậy giá trị riêng của Ả là À = —1, —2 . Hệ là ổn định mũ.
Định lý 1.2 (Định lý 3.3, [2], trang 113):
Ma trận Ả là ổn định khi và chỉ khi với bất kỳ ma trận Y đối xứng xác

định dương, phương trình (LE) A TX + X A = —Y có nghiệm là ma trận
X đối xứng, xác định dương.

Chứng minh. Giả sử phương trình (LE) có nghiệm là ma trận X đối xứng
xác định dương. Với x{t) là một nghiệm tùy ý của (1.3) ta xét hàm số
v ( t , x ( t ) ) = (Xx(t),x(t)) , Ví > 0.
Ta có
ỵ

V ( t, x(t)) = (Xx, x) + {Xx, x)
= { ( X A + A TX ) x , x )
= — (Yx, x ) .

Do đó

V{t,x{t)) - V (t 0ìx 0) = - f (Yx(s),x(s)) ds.
Vì X là xác định dương nên V (t , íc(í)) > 0 ,
/ (Y x(s), x(s)) ds < v ( t o ,
Jt0

Ví > ío yà do đó

X q)

= { X x ữì x ữ) .

Mặt khác, vì Y là xác định dương nên tồn tại a > 0 sao cho:

(Y
Do đó

X,

x) > o;||íc||2, Vx G l n.


11

Cho t —> +00 ta được

\x (s)||2ds < 00 .
Ta sẽ chứng minh rằng ReA < 0 , VA € A(j4). Thật vậy giả sử có một số
Ao £ А(Л) mà ReAo > 0. Lấy X(ị £ Rn là vectơ riêng ứng với giá trị riêng
Ao này thì nghiệm của hệ (1.3) sẽ cho bởi

Xịự) = еАо‘х0,
và do đó

/

00

pỡO

||íCi(t)|| 2d t = / e2ReXot\\x0\\2dt = + 00 ,
«0
•'ío
vì ReA > 0, suy ra điều mâu thuẫn. Vậy ReA < 0, VAo £ A(^4).
Ngược lại, giả sử Ả là ma trận ổn định , tức là ReA < 0 , VA € A(j4).
Với bất kỳ ma trận Y đối xứng xác định dương, xét phương trình ma trận

sau đây:
' Z(t) = ATZ( t ) + Z(t)A,

t > to,

(1.4)

I Z((t0) = Y.

Nhận thấy rằng hệ (1.4) có một nghiệm riêng là

Z(t) = eATịYe At.
Đặt

X(t) = f Z(s)ds.
Jto
Vì Ả là ma trận ổn định nên dễ kiểm tra được rằng

X = /

z(s)ds < 00,

là xác định và do Y là đối xứng nên X cũng là đối xứng. Mặt khác , lấy
tích phân hai vế phương trình (1.4) từ t đến í 0 ta có

Z { t ) - Y = ATX{t) + X ự ) A ,

Ví > í 0.

Cho t —>■+00 thì z ( t ) —¥■0 và vì A là ma trận ổn định , nên ta được

- Y = A TX + X A ,


12

hay là, các ma trận đối xứng X và Y thỏa mãn (LE). Ta chỉ còn chứng
minh X là ma trận xác định dương. Thật vậy, ta có

Do Y là xác định dương và eẢt không suy biến nên ( X x , x )
2) ^ 0 .
Định lý được chứng minh.

> 0 nếu

□

Tiếp theo, luận văn trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định của hệ
phương trình vi phân phi tuyến theo phương pháp hàm Lyapunov. Trước
hết ta nhắc lại định nghĩa hàm Lyapunov.
Xét phương trình vi phân phi tuyến:

x(t) = f(t, x(t)), t > t 0
k x(t0) = x 0ì t0 > 0 ,

(1.5)

tro n g đó / : R + X R n —>■R n là hàm phi tu y ến cho trước

Định nghĩa 1.4.1: Xét K là lớp các hàm liên tục tăng chặt ữ(.) : R+—>

R + , a(0) = 0. Hàm khả vi liên tục v ( t , x ) : R + X Rn —> M làhàm
Lyapunov cho hệ (1.5) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) V (t , x) là hàm xác định dương theo nghĩa
3a(.) £ K : V ( t , x ) > ữ(||íc||),
(ii) D ị V (t, x) = ^ + % f ( t , x) < 0,

v (í,x ) £ R + X Rn.

V(í, i ) G R + x r .

Trường hợp v(t,x) là hàm Lyapunov và thỏa mãn thêm hai điều kiện:
(iii) 3Ò(.) € K : V ( t, x) < ò(||x||), V(t,x) G R+ X
(iv) 3c(.) £ K : D f V ( t , x ) < —c(||íc||) < 0, với mọi nghiệm x(t ) của
hệ (1.5), thì v ( t , x ) được gọi là hàm Lyapunov chặt của hệ (1.5)
Định lý 1.4 (Định lý 3.14, [2], trang 130):
Nếu hệ (1.5) có hàm Lyapunov thì hệ ổn định. Nếu hàm Lyapunov đó là


13

chặt thì hệ ổn định tiệm cận.
V í d ụ 1.5 :Xét hệ phương trình vi phân :
±1

= {2x2 - x 1)(2x1x 2 + Xi2 + 1),

<
k ± 2 = - 5 z 23 - 2x2Xi2 - x 1.

Khi đó ta chọn hàm V{x) = x í 1 + 2x22 từ đó ta có được:

D f V ( x ) = 2xixi + 4x 2i 2
= 2x i (2x 2 — xi)(2xix2 + xí1 + 1) + 4x2(—5x23 — 2X\2X2 — Xi)

= —2(xĩ 2 + Zi 4 + 10x 24).
Do đó

Dj V (x ) < ũ.
Vậy hệ ổn định tiệm cận.
V í d ụ 1.6 :Xét hệ phương trình vi phân:
X\

=

—X ị

+ -Æisin 2 (í),
Ẩi

k ± 2 = - 2 x 2 + z 2sin2(í).

Khi đó ta chọn hàm v ( t , x ) = 2x\2 + X22 thỏa mãn các điều kiện (ỉ),(ỉỉ)
và

D f V ( t , x ) = ẩXịXi + 2 X2X2
= ị x i { - x i + ^ZiSÌn2(í)) + 2x2( - 2 x 2 + z 2sin 2(í))
Ẩi

= —4(íCi2 + z 22) + 2 zi2sin 2(í) + 2z22sin2(í).
Do đó D f V ( t , x ) < —2(||:r||2). Vậy hệ ổn định tiệm cận.

14

1.5

Các bổ đề bổ trỢ

Bổ đề 1.5.1: Hệ điều khiển
x{t) = Ax(t) + B u ( t ) , t > 0,
ỉà điều khiển được hoàn toàn về 0 nếu mội trong hai điều kiện sau thỏamẫn:
ỉ) rank

[в, A

ỉỉ) Tồn tại

B , А п~хв \ = п.

т > о sao

cho ma trận

LT = [ e~AtB B Te~ATtdt ,
•'О
là không suy biến.
Bổ đề 1.5.2 ( Bổ đề Schur): Giả sứ s G Rn x n ỉà một ma trậnđối
xứng xác định dương, thì mọi ma trận P , Q £ Rn x nta có ma trận

là ma trận xác định âm khi và chỉ khi ma trận P + Q S 1QT là xác định âm.

Bổ đề 1.5.3 ( Bất đẳng thức m a trận Cauchy): Giả sứ s G Rnxn
là ma trận đối xứng, xác định dương. Khỉ đó với mọi p, Q £ Rn x n
2(PQy, X) - {S y , ỳ) < ( P Q S 1QTPx, X) ,

Ух, y G R n.


15

Chương 2
TÍNH ỔN ĐỊNH HÓA HỆ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
TUYẾN TÍNH CÓ ĐIỀU KHIEN
Chương này trình bày một số kết quả về bài toán ổn định hóa hệ phương
trình vi phân tuyến tính có điều khiển ôtônôm và không ôtônôm. Nội dung
được lấy từ tài liệu [2, 3].

2.1

H ệ phương trình vi phân tu yến tín h có điều
khiển ôtônôm

Xét hệ phương trình

x(t)

=

Axịt) + Bu(t),

t > 0,

( 2 .1 )

trong đó A, B , là ma trận hằng số.
Định nghĩa 2.1: Hệ (2.1) gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại ma trận
K sao cho ma trận (Ả + B K ) là ổn định.
Định lý 2.1 (Định lý 3.18, [2], trang 140):
Hệ (2.1) là ổn định hóa được nếu nó là điều khiển được về 0 hoàn toàn.


16

Chứng minh: Giả sử (2 . 1 ) là điều khiển được về 0 hoàn toàn, (không
mất tính tổng quát ta giả sử t(Ị = 0), theo bổ đề 1.5.1 sẽ có một số T > 0
sao cho ma trận
= [ e- MB B Te- ÂTtdt,
•'0
là không suy biến.
Lấy bất kỳ Ti > T và đặt

LTi = í 1 (Ti - t)e-MB B Te- ATtdt,
•'0
khi đó LTl cũng là không suy biến, tức là, tồn tại ma trận ngược L~1.
Đặt

K = —T ị B t L ^ ,
ta chứng tỏ rằng K chính là ma trận điều khiển ngược cần tìm. Tức là với
điều khiển ngược

u(t) = —TiB LT z(í),
thì hệ (2 . 1 ) là ổn định tiệm cận, nói cách khác, ma trận (Ả + B K ) là ổn
định.
Để làm được điều này, ta lấy hàm Lyapunov dạng
V (X ) = ( L ^ x , x ) .

Với nghiệm x ( t ) , x(0) = X q của hệ

x(t) = (A + BK)x(t),
và bằng điều khiển u = —T i B L ^ x ta có

d
v( x(t )) = { L ^ x ^ x ) + { L ^ x ^ x )
dt
= {{Lr^A + A TLT1) X, x) + 2 ( B u , Lr^x)


17

Đặt y = LTl x và nhận xét rằng

{(L~lA + A TL~l) x , x ) = {{LTlẢ T + Ả L Tl) y,y)
ta có
( x ( t)) = { (L TlA T + A L Tl) y , y) + 2 {Bu, y ) .

Mặt khác vì

d
f Tl .
LTíA T + A L Tl = / (Ti —t )

e~AtB B Ấẽ
dt
Jo
Tx

= TXB B T - J e~AtB B TC~ATtdt,
0

nen
T,

^ У ( х Ш = ( T i B B Ty,y) + 2{Bu,y) - { у ,

I e AíB B Te AT‘ydt

= Ti { BTy, B Ty) - 2ĨÌ {BTy, B Ty) - (LTty , y ) .
Ta được

Ị v ( x ( t ) ) < -TiịịBTyịị2 - (LTly,y)

< - (ь т,у,у) = - { L~' x, x) .
Hơn nữa, vì Lỹ 1 là ma trận xác định dương nên có một số
(Lỹ 1^ , X) > СЦяЦ2.
Vậy

Df V(x) < - C \ \ x \ \ \

с>

0 sao cho

18

Theo định lý 1.4 hệ là ổn định tiệm cận. Định lý được chứng minh.
V í dụ 2.1: Xét hệ điều khiển (2.1) trong đó

A =

-1

0

o\
-

2.

„
í
B =

0

Ta thấy hệ X = Ax là ổn định, do đó hệ là ổn định hóa được với K = 0.
Tuy nhiên ta thấy hệ không là điều khiển về 0 hoàn toàn vì

rank [B , A B ] = rank

2.2

0 0=

1 < 2.

1 -2

H ệ phương trình vi phân tu yến tín h không
ôtôn ôm có hạn chế trên điều khiển

Xét hệ điều khiển tuyến tính không ôtônôm có dạng

x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t),

t > 0.

( 2 .2 )

trong đó x ( t ) e R” ,tí(í) e Rra, ^ ( í ) e R”x" ,B (í) e R"*m - là các ma
trận hàm liên tục, và điều khiển u(t) thỏa mãn điều kiện:

\u(t)\\ < r,

t > 0.

(2.3)

Định nghĩa 2.1: Hệ điều khiển (2.2) là ổn định hóa được nếu có một
hàm điều khiển ngược u(t ) = k(x(t)) thỏa mãn điều kiện (2.3) sao cho hệ
đóng:

x(t)

= A (t) X (t) + B (t) k (X ( t ) ) ,

là ổn định tiệm cận theo nghĩa Lyapunov.
Chúng ta nói hệ điều khiển tuyến tính (2.2) là điều khiển được toàn cục
(GC) nếu có một số N>0 sao cho với mỗi X q £ Rn có hàm điều khiển


19

u(t ) E L 2 ([0, N] , Rm) thỏa mãn

J
N

u ( N , 0 )z 0 +

Ư(N, s)B(s)u(s)ds = 0 ,

0
trong đó и (t , s ) kí hiệu ma trận nghiệm cơ bản của hệ cơ bản

x{t ) = A(t)x(t),
xác định bởi

du(t, s)/dt = A{t)u(t, s),t, s > 0 ,
U(t,t) = I.
Đ ịn h n g h ĩa 2.2: Hệ điều khiển (2.2) là điều khiển được đều (UGC) nếu
có số N > 0 và Cl, C2 , Сз, Cị > 0 sao cho th ỏ a m ãn các điều kiện sau cho t ấ t

cả t > 0 :
(i)

ClI < W ( t , t + N ) < C 2 Ỉ .

(ii)

c3/ < U(t + N, t ) W( t , t + N) UT(t + N, t) < c j .

Trong đó

W ( t , t + N) = Ị u ( N , s ) B( s ) BT(s)UT(N, s)ds.
Hiển nhiên rằng, nếu hệ là UGC thì nó là GC. Kết hợp với hệ điều khiển
không ôtônôm (2.2) chúng ta xét các phương trình vi phân Riccati sau:

(RDE) p(t) + A T(t)P(t) + P(t)A(t) - P ( t )B ( t) B Tự ) P ự ) + Q(t) = 0,
(2.4)
trong đó P(t), Q(t) e R"*”.
M ệ n h đề 2.1: Nếu hệ điều khiển (2.2) là UGC, ta có những khẳng
định sau:
(i) Tồn tại số C5 > 0 sao cho
^2

J UT(s,t1)U(s,t1)ds < c5(í 2 - í i ) / ,
h

Ví2 > Í 1 > 0.

20

(ii) Hệ phương trình vi phân Riccati RDE(2.4) với Q(t) = I có một nghiệm
p(t) £ M ([0, 00] , R” ) . Hơn nữa chúng ta có
||P(í)|| <

Ví > 0 ,

1/ci + nc5(l + nc2/c i) 2

trong đó số dương Ci,C2 định nghĩa trong Định nghĩa 2.2.
M ệnh đề 2.2: Cho hệ điều khiển (2.2) , phương trình RDE(2.4) với Q
=1)1, có một nghiệm p(t) £ M ([ 0 , 00] , R Ị),thỏa mãn
Il-P(í)|| <

1/ĩỊCi

+ nc5(l + nc 2 / c i ) 2 77,

Ví > 0.

Chứng minh : Giả sử rằng hệ điều khiển (2.2)là UGC, khi đó nó là GC.
Đặt Q(t ) =ĨỊI, phương trình vi phân Riccati
p (í) + A T(t)P(t) + P(t)A(t) - P ( t ) B( t ) BT(t)P(t) + TỊl = ũ,
CÓ nghiệm p ( t ) > 0. Điều đó có nghĩa rằn g phương tr ìn h vi p h â n R iccati

P(t) + A T(t)P(t) + P(t)A(t) - P ( t ) Ẽ( t) B T(t)P(t) + 1 = 0,

(2.5)

trong đó

P(t) = ( l / V)P(t),Ẽ(t) = ựĩjB(t),
có nghiệm p(t). Rõ ràng hệ [yl(í),5(í)] cũng là UGC; do đó, theo Mệnh
đề 2.1, phương trình RDE(2.5) có nghiệm p ( t ) thỏa mãn
||-P(í)|| <

I / 77C1 + nc5(l + nc 2 / c i ) 2 ,

Ví > 0.

Bởi vậy,
Il-P(í)|| <

I / 77C1 + nc5(l + nc 2 / c i ) 2

TỊ,

Ví > 0.

Mệnh đề được chứng minh.
M ệ n h đề 2.3: Cho hàm ma trân liên tục và bị chặn B(t), p(t), khi đó
f { t , x ) = - r B ( t ) B T ( t)P{t)x/ [1 + ||-BT(í)P(í)x||] ,

g(t , x) = - rB( t ) BT(t ) [P (t ) + I ] x / [1 + ||-BT (í) [P(t) + I ] z||] ,