Luận văn điểm bất động của ánh xạ kiểu giãn trong không gian metric nón

BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO
T R Ư Ờ N G ĐẠ I HỌC s ư P H Ạ M H À N Ộ I 2

Đ ỗ H ồng H ạnh

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KIẺU GIÃN
TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN

LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC

Hà Nội —Năm 2015


BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO
T R Ư Ờ N G ĐẠ I HỌC s ư P H Ạ M H À N Ộ I 2

Đ ỗ H ồng H ạnh

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KIÊU GIÃN
TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN

C huyên ngành: Toán Giải tích
M ã số: 60 46 01 02

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C SĨ T O Á N HỌC

NGƯÒI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
T S. H à Đ ức Vượng

H à N ội —N ăm 2015

Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội
2 dưới sự hướng dẫn của TS. H à Đ ức Vượng. Sự giúp đỡ và hướng
dẫn tận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận
văn đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một
vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất
đối với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường
đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học
tập và hoàn thành luận văn.

Hà Nội, ngày 21 tháng 3 năm 2015
Tác giả

Đ ỗ H ồng H ạnh


Lời cam đoan
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Tôi xin cam đoan luận văn này do tôi tự làm dưới sự hướng dẫn
của TS. H à Đ ức Vượng.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa
những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự
trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn
trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội, ngày 21 tháng 3 năm 2015
Tác giả

Đ ỗ H ồng H ạnh


iii

B ản g kí hiệu

N

Tập số tự nhiên

R

Tập số thực

€

Tập số phức

0

Tập rỗng

in t(P )

Phần trong của p
Q uan hệ thứ tự theo nón p

d

M etric

dp

M etric nón

□

Kết thúc chứng minh


M ục lục

Lời cảm ơn

i

Lời cam đoan

ii

B ảng kí hiệu

iii

Lời m ở đầu

1

1 K iến thứ c chuẩn bị

4

2

1.1 Không gian m e t r i c .................................................................

4

1.2 Không gian B a n a c h .................................................................

9

1.3 Nguyên lý ánh xạ co B a n a c h .................................................

14

Đ iểm bất động của ánh x ạ kiểu giãn trong không gian
m etric nón

19

2.1 Định nghĩa và ví d ụ .................................................................

19

2.2 Sự hội tụ trong không gian metric n ó n ...............................

23

2.3 Điểm bất động của ánh xạ kiểugiãn trong không gian
metric n ó n ................................................................................

33


KẾT LUẬN
Tài liệu tham khảo


1

Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Một tập hợp M tùy ý khác rỗng và ánh xạ T : M ^
Xq E M mà T x 0 — Xq thì

XQ

M . Nếu tồn tại

được gọi là điểm bất động của ánh xạ

T trên tập hợp M. Chẳng hạn xét ánh xạ T : R —»• R xác định bởi:
T x

=

2 x 2 — 1 . T a c ó Xq =

1 th ì T x 0 = Ti =

1 = X Q. V ậ y X Q l à đ i ể m

bất

động của ánh xạ T trên tập hợp M.
Các kết quả nghiên cứu về lĩnh vực này đã hình thành nên Lý thuyết
điểm bất động (fixed point theory). Lý thuyết điểm bất động phát triển
gắn liền với tên tuổi nhiều nhà khoa học lớn trên thế giới như: Banach,
Brouwer, Shauder, Tikhonov, Sadovski, KyFan, . . .
Ta đã biết, với tập hợp X bất kỳ. Ánh xạ d : X X X —>• R thỏa mãn
các tiên đề về metric được gọi là một metric trên X . Như vậy giá trị của
metric là một số thực.
Năm 2007, Huang Long Guang và Zhang Xian là hai nhà toán học
người Trung Quốc đã giới thiệu khái niệm metric nón bằng cách thay tập
số thực trong định nghĩa metric bởi một nón định hướng trong không
gian Banach thực.
Các tác giả đã giới thiệu khái niệm về sự hội tụ và tính đầy đủ của
không gian. Đồng thời các tác giả đã giới thiệu kết quả về điểm bất động
của ánh xạ co trong lớp không gian này. Sau đó nhiều nhà toán học đã
quan tâm và các kết quả về điểm bất động trong không gian metric nón


2

đã lần lượt được công bố.
Năm 2011, Sarla Chouhan và Neeraj Malviya là hai nhà toán học
người Ân Độ đã công bố kết quả về điểm bất động cho lớp ánh xạ kiểu

giãn trong không gian metric nón qua bài báo “A F ixed P oint T h eo­
rem for E xpansive T ype M appings in C one M etric Spaces”. [6]
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về điểm bất động của ánh xạ kiểu
giãn trong không gian metric nón, được sự hướng dẫn của tiến sĩ Hà
Đức Vượng, tôi chọn đề tài nghiên cứu: “ Đ iểm b ấ t đ ộ n g c ủ a á n h x ạ
kiểu giãn tron g không gian m etric nón.”
2. M ục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về điểm bất động của ánh xạ kiểu giãn trong không gian
metric nón.
3. N hiệm vụ nghiên cứu
Tổng hợp kết quả về điểm bất động của ánh xạ kiểu giãn trong không
gian metric nón.
4. Đ ối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về không gian metric nón và điểm bất động của ánh xạ kiểu
giãn trong không gian metric nón. Nội dung chính dựa vào hai bài báo:
1. “ Cone Metric Spaces and Fixed Point Theorems of Contractive Map­
ping” của Huang Long Guang và Zhang Xian [3].
2. “ A Fixed Point Theorem for Expansive Type Mappings in Cone Met­
ric Spaces” của Sarla Chouhan và Neeraj Malviya [6].
5. Phương pháp nghiên cứu
Dịch, đọc và nghiên cứu tài liệu.


3

Tổng hợp, phân tích, vận dụng kiến thức cho mục đích nghiên cứu.
6. Đ óng góp của đề tài
Luận văn là bài tổng quan về điểm bất động của ánh xạ kiểu giãn trong
không gian metric nón. Luận văn được trình bày với hai chương nội
dung.

Chương 1. Kiến Thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về không
gian metric, sự hội tụ trong không gian metric, không gian metric đầy
đủ. Tiếp theo chúng tôi trình bày khái niệm cơ bản về không gian Banach
và cuối cùng là nguyên lí ánh xạ co Banach.
Chương 2. Điểm bất động của ánh xạ kiểu giãn trong không gian
metric nón.
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về nón,
không gian metric nón, sự hội tụ trong không gian metric nón và kết
thúc là định lí về điểm bất động của ánh xạ kiểu giãn trong không gian
metric nón.


4

Chương 1
K iến thứ c chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về không
gian metric, không gian metric đầy đủ, không gian Banach và cuối cùng
là Nguyên lý ánh xạ co Banach.

1.1

K h ô n g gian m etric

Đ ịn h n g h ĩa 1.1.1. [1]. Không gian metric là một tập hợp X Ỷ 0 cùng
với một ánh xạ d : X X X —> R, thỏa mãn các điều kiện sau:
1. d(x,y) ^

0,d(x,y) =

0 o

X = y,

V x,y e X ;

2. d ( x , y) = d { y , x ), Vx,y G X;
3. d(x, y ) < d(x, z ) + d(z, y), Vrr, y, z e X.
Ánh xạ d gọi là metric trên X .
Số d(x, y ) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử X và y.
Các phần tử của X gọi là các điểm.


5

Không gian metric được kí hiệu là (X , d).

V í dụ 1.1.1.
Cho Cịab] là tập các hàm số thực liên tục trên đoạn [a,b], ta đặt
d(x,y) = max Ix(t) - y(t)I
a^t^b
với mọi x = x{t ), y = y(t) e ơ [o>6Ị.
Khi đó (Cịabj, d) là một không gian metric.

Đ ịn h n g h ĩa 1.1.2.

[1]. Cho không gian metric (X, d),

dãy {xn} c X ,

điểm XQ€ X . Dãy {x n} được gọi là hội tụ đến điểm XQkhi n —> oo nếu với
Ve > 0, 3nữ G N*, với Vn ^ nữ thì d(xn, x o) < £. Hay lim d(xn, Xo) = 0.
n-¥ 00

Ký hiệu lim x n = Xo hay x n —>■x ữ, n —»• oo.
71—
^00

Điểm Xo được gọi

là giới hạn của dãy {x n} trong X .

Đ ịn h n g h ĩa 1.1.3.

[1]. Cho không gian metric ( x , d ) .

Dãy{xn} c X

được gọi là dãy Cauchy, nếu với Ve > 0, 3n0 £ N*, Vn,m ^ n 0 thì
d{xn, XỵỊị') < £,
hay
lim d(xn, x m) = 0.

n , m —»00

V í dụ 1.1.2.
Cho không gian metric (Cịo 1 ], tỉ) với metric d được định nghĩa như sau:

6

d(x,y) = Jq1 Ix(t) - y(t)\dt. Xét dãy {rcn} с Ơ[0,1 ] như sau:
2

1 I 1

x n(t) = <
1

khi ị + ị < t < 1.

Khi đó {xn} là dãy Cauchy trong không gian (ơ [0 1 ],d).
T hật vậy:
Với mọi m > n ta có:
dịXnĩ^m)

I |*En(í)
J0
r1
r 1+1
= Ị \xn(í) - x m(t)\dt + J
Ix n(t) - ,
+ /
\xn(t) - x m(t)\dt
J 21+n1
= J

f1

|0

r 1+1
0|dt + Ị^
\xn(t) - x m{t)\dt

+ [
|1 — lịdt
J ì+ì
f l +n
= /
\xn(t) - x m(t)\dt.
2

Vì
\xn(t) - x m(t)I < 1, Vn,m G N*, Ví G [0,1].
Nên ta có

Suy ra

/
2

Ч

/*1 +

1

\xn(t) - x m(t)\dt ^

/
2

ị

1

1dt =

.


7

Cho n —>oo ta được d(xn, x m) = 0.
Vậy { xn} là một dãy Cauchy trong

( Cị o 1 ], d).

Đ ịnh nghĩa 1.1.4. [1]. Không gian metric (X , d) được gọi là không gian
metric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ tới một điểm thuộc X.

V í dụ 1.1.3.
Không gian Cịahị các hàm số liên tục trên [a,b] với metric d ( x , y )
max |x(í) —y( t ) I là không gian metric đầy đủ.
a^t^b
V í dụ 1.1.4. Cho X là tập hợp tấ t cả các hàm số
không gian metric R sao cho
phụ thuộc từng hàm số

X

X (t)

X

(t) liên tục trên

= 0 ngoài một đoạn nào đó (đoạn này

(t)). Với hai hàm số bất kỳ x ị t ) :y (t ) E X ta

đặt
d (X, y) = max \x (t ) - y (t) I .
Khi đó (X , d) là một không gian metric không đầy đủ.
T hật vậy, ta xét dãy hàm { xn (í)} c X xác định như sau:

r

1

xn (t)= < t2+ 1
0

1
n2+ l

nếu \t\ ^ n
nếu \t\ > n.

Ta thấy {xn} là dãy các hàm liên tục và bằng không ngoài đoạn ị—n, n].
Với mọi n , p € N, ta có:
d (x n+p, x n) = max \xn+p (t ) - x n (i)|


8

max \xn+p(t) - x n (t)\
\t\Mặt khác
|*En+p (ì)

Xn (ì) I

1
—^ 1 :--------------------------------------õ
--- với \t\ ^ n
n 2 + 1 (n + p) + 1
1
1 5----với n < \t < n + p
—-----------------t 2 + 1 (n + p )2+ l

0

với \t\ > n + p.

Do đó,
d, (Xn+Pĩ x n) = max \xn+p (t ) - x n (t ) I
ieM

= max Ix n+p (t ) - x n (í)|
[í[
1
n2+ 1
1
<
n2+ 1

1
{n -\- PỶ + 1

Suy ra
lim d ( x n+ĩnx n) = 0.

n-¥ 00

Vậy { x n} là một dãy Cauchy trong X .
Bây giờ ta chứng minh X là không gian metric không đầy đủ bằng
phản chứng.
Giả sử X là không gian

m e tric

đầy đủ. Dãy

hay tồn tại X € X sao cho lim d (xn, x) = 0.
n —>00

Xét hàm
x(t)

t2 + 1:

{ x n} hội

tụ đến

X e

X


9

Ta có
Do

X

X

(t ) liên tục trên R và 0 <

(t ) 7^ 0, Ví e M nên

X

X

(í) ^ 1, Ví € R.

(t) ị X . Mặt khác, ta có: với Ví e R,

0 ^ IX (t) — X (í)|
^ \x(t) - x n (t)\ + \xn (t) - x(t)\
1
^ „9 , 1 + max \xn (t) - x ( t ) \
n2+ 1
íeK

Suy ra,
0^1 x (t)-x (t)\^

1

+ d ( x n, x ) .

(1.1)

n z + 1

Từ (1.1) cho n —>• oo ta được: |x (í) —x (í)| = 0, Ví € R, suy ra
X (í) =

X

(t) Ệ X , mâu thuẫn với giả thiết

X

(t) E X .

Mâu thuẫn trên chứng tỏ tồn tại một dãy Cauchy trong không gian
( x , d ) nhưng không hội tụ đến phần tử trong ( x , d ) . Do đó ( x , d ) là
không gian metric không đầy đủ.

1.2

K h ô n g gian B an ach

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.1. [1]. Cho X là không gian tuyến tính trên trường K
(thực hoặc phức). Một ánh xạ |Ị • II : X —)• R được gọi là một chuẩn nếu
1. ||rr|| ^ 0, Vrc € X.
||xỊỊ = 0

X = 6.

2. ||Ax|| = |A| • ||x||, V x e X, VA € K.

3. \\x + y\\ < ||x|| + ||y||, Wx,y e X .


10

số |Ịrc|Ị được gọi là chuẩn của vectơ X.

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.2. [1]. Cho X là không gian tuyến tính trên trường K
(thực hoặc phức). Không gian X cùng với chuẩn II • II xác định trên

X

được gọi là không gian định chuẩn, ký hiệu là (X , ỊỊ • ỊỊ).

V í d ụ 1.2.1.
Cho không gian tuyến tính phức En = {x = ( x i , x 2, ■■■, x n) : Xí £ C}
và ánh xạ
II • II : En

M,

xác định bởi: ||íc|| = y/YJk =1 ll^ ll2-

Khi đó (En, II • II) là một không gian định chuẩn.

Đ ịnh nghĩa 1.2.3. [1]. Cho không gian định chuẩn X

vàdãy điểm

{xn} c X . Dãy {rcn} gọi là hội tụ tới X nếu
lim |Ịxn —x|| = 0.
71—
>00
Kí hiệu lim x n = X, hay x n —> X, n —>■oo.
Tí—V00

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.4. [1]. Cho không gian định chuẩn X , dãy {xn} c X
được gọi là dãy Cauchy nếu
lim \\xn — x m\\ = 0.

n , m —»00

Hay với Ve > 0, 3 n 0 e N* sao cho Vn ^ n 0, Vra ^ n 0, ta có
ll^n

3CmII

£•


11

Đ ịnh nghĩa 1.2.5. [1]. Không gian định chuẩn X được gọi là không
gian Banach nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ tới một điểm thuộc X .

V í dụ 1.2.2. Cho không gian Cịah-ị là không gian các hàm thực liên tục
trên đoạn [a, b] cùng với ánh xạ
II • II : £>,&] —>• K,
xác định bởi: |ỊícỊ| = max |x(í)| là không gian Banach.
a^tcb

V í dụ 1.2.3.
Không gian Cịữ các hàm số liên tục trên đoạn [0,1], với chuẩn trên
1
cp

được định nghĩa ||x|| =

J \x (í)| dt không là không gian Banach.

0

T hật vậy, ta xét dãy:

1
Xn (t ) =

<

với 0 ^ t < l

n+ l-2nt

với ị

+±

0

với ỉ + £ < t < 1.

Ta có với mọi m > n
1
J 1*^71 {t)

'Em (01 ^

0

ì

=J \xn (t) 0

ỉ +á
x m (t)\dt + Ị
1

2

\xn (t) - x m (t)I dt


12

1
+ Ị
2

\xn (t) - x m (t)\dt
2n

1+ 2—
n

2

= Ị
1

\xn (t) - x m (t) I dt.

2

Vì
|xn (í)

x m (í) I ^ 1,

nên
||x„ —x m\\ ^ ------ >0 khi n —>■00 ,
2n
do đó {xn (í)} là một dãy Cauchy. Dễ dàng thấy rằng dãy Cauchy này
không hội tụ tới một điểm thuộc ơp .
T hật vậy, giả sử dãy {xn (í)} hội tụ tới một x ( t ) nào đó trong Cịữ!],
tức là:

1
lim / Ịxn (í) —a: (í)| dt = 0.

n —>-00 J

0

Ta có:

1

ầ

1

Ị \xn ( t ) - x ( t ) \ d t = Ị \xn ( t ) - x ( t ) \ d t + Ị \xn (t)
0

0

cho nên ta phải có

1

2

1
2

lim Ị \xn (t ) —rr (í)| dt = 0,
71—
>00 y
0

1

lim / |;cn (í) —X (i)| dt = 0.
1

n —»00 y

2

-

X

(t)\dt,


13

Nhưng ta lại có:

1
2

lim / \xn (t) — 1| dt = 0,

n —>00 J
0

1

lim / |a;n (í) —0| dt — 0.
Ti—yoo y
1
2

Vậy hai hàm x(í) và 1 cùng là giới hạn của x n (í) trong cỉ'
L0,2J
Ta cũng có x ( t ) và 0 cùng là giới hạn của x n (í) trong c k -ị.
U’1]
Do tính duy nhất của giới hạn ta suy ra:

1

nếu 0 ^ t ^

x(t) =

x
nếu

0
Vậy x ( t ) không liên tục tại t =

1

1
2

1
< t ^ 1.

2

nên x(í)

ơp 1J.

Do đó, dãy x n (í) không có giới hạn nào trong không gian ơ j p , hay
dãy {rcn (í)} không hội tụ tới một x ( t ) trong ơp XJ.
Vậy ơp

không là không gian Banach.

N hận x ét 1.2.1.
1. Trên cùng một tập hợp X , ta có thể trang bị các metric khác nhau
để được các không gian metric khác nhau.
2. Trong không gian định chuẩn (X , 11-11) nếu đặt d ( x , y ) = ||x —y II
thì ta có (X , d) là không gian metric. Vậy mọi không gian định chuẩn
đều là không gian metric.


14

1.3

N g u y ê n lý ánh x ạ co B an ach

Đ ịnh nghĩa 1 .3 .1 . [2]. Cho không gian metric (X , d). Ánh xạ T : X —>•
X được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số к G [о, 1) sao cho
d ( T x , T y ) ^ kd(x,y),

\/x,y & X .

V í dụ 1.3.1.
Cho X = R và ánh xạ T : X —>X xác định bởi Tx = ị x thì T là ánh
xạ co.
T hật vậy: Ух, y G X , T x = \х,Ту = ly. Та có
d{Tx, Ту) =

1
1

X— у =
3
Зу

3

\ х - у \ = д ф ,у ) .

Đ ịnh lý 1.3.1. [2]. Mọi ánh xạ co từ không gian metric đầy đủ (X,d)
vào chính nó đều có điểm bất động duy nhất.
Chứng minh.
Giả sử T : X —>■X là ánh xạ co, ta lấy điểm Xq bất kỳ, x ữ G X và lập
dãy lặp
Xi = T x Q,

x 2

= T x i , ...

,x n

= T x n- 1 , . ..

Vì T là ánh xạ co nên tồn tại hằng số к £ [0,1) thỏa mãn:
d ( T x i , T x Q) ^ k d ( x i , x Q).

d(x 2 ,Xi) = d{Txii T x ữ) < kd{xii

X q)

= k d( T xữ, ж0).

d(x 3 , x 2) = d ( Tx2, T x i) ^ kd(x 2 ,x i) ^ k 2d( Txữ, x ữ).


15

d(xn+1, x n)

d( TxnĩT x n—i) ^ kd(xnĩx n—i)
kd(TXfi—1Ị TXfi—2) ^ k d^Xji—ijXfi—2^
= fc2d(Txn_ 2,T x n_3) < k3d(xn- 2 , ^ - 3)

= fcn 1d(Txi, T x 0) ^ knd(xi,

X q)

= knd( Tx0, x0),

Vn = 1 ,2 ,...
Từ đó suy ra với Vra, n E N* ta có
m
dị^Xn+m; *£n) ^
^(•^n+fcj 3'n+k—1 )

E
fc=l

m

<ỉd{Txữ, x a) ỵ 2 k n+k- 1
k=1
ý^.n __ ỵ.n + m

1

d ( Tx0, x 0)
-

<
Vì

£(ỉ(Txo,Xo)-

G [0,1) nên lim kn = 0, do đó
n —ìoc

lim d(xn+m, x n) = 0 ,
n- ¥ 0 0

V m e N*.

Vậy dãy {xn} là dãy Cauchy trong không gian metric đầy đủ (X , d).
Do đó {x n} hội tụ tới
Ta chứng minh

X*

X*

& X.
là điểm bất động của ánh xạ T trong X .

Ta có:
d(Tx*,x*) ^ d(Tx*, xn) + d(xn, X*)
= d( Tx * , Txn- 1 ) + d(xn,x*)


16

^ kd(x*,xn- 1 ) + d(xn, X*),

Vn = 1 ,2 ,...

Do
lim

Ti—У00

d(xn,x*)

=

lim

n—
>00

d { x n - 1 ,X * ) =

0,

nên ta suy ra
d(Tx* , X*) = 0 hay Тж* = X*,
nghĩa là X* là điểm bất động của ánh xạ T.

Bây giờ ta chứng minh

X*

là điểm bất động duy nhất của ánh xạ

T trên X.
Giả sử tồn tại điểm y* G X cũng là điểm bất động của ánh xạ T. Thế
thì
d ( x\ y *) = d ( T x \ T y *) ^ kd(x*,y*).
Suy ra
d(x*,y*) - kd(x*,y*) ^ 0.
Hay
(1 —k)d(x*,y*) ^ 0.
Do к < 1 nên ta có
d{x*,y*) = 0.
Suy ra
Vì vậy

X*
X*

= y*.
là điểm bất động duy nhất của ánh xạ T. Định lý được

chứng minh.

□


17

V í dụ 1.3.2.
Chứng minh phương trình

X

+ asinrc —7T = 0 (a là tham số, a £ [0,1))

có nghiệm duy nhất.
Chứng minh.
Viết lại phương trình dưới dạng
X — 7T — a s i n r r .

Đặt T x = 7T —CL sin X 1 ta nhận được ánh xạ T từ không gian đầy đủ R
vào chính nó. Ta chứng minh sin í < t, Ví > 0. T hật vậy:
Xét hàm số
f ( t ) = sin t — t, Ví e R.
Ta có
/'( í) = cos t — 1 ^ 0, Ví e R.
Do đó hàm số f ( t ) là hàm nghịch biến với mọi í e l .
Suy ra
f ( t ) < /(0 ), Ví > 0.
Hay

sin í —t < 0, Ví > 0.
Vậy
sin í < t, Ví > 0.
Giả sử X > x', khi đó ta có
|Ta: —T x;| = |a sin x —á sina:'!


18

/у» I /у»!

rỵ* _ /y*t

2 | a | | c o s ^ — I • I sin — ^— I
X — x'
= a\x — x'\.
Vi a € [0,1), suy ra T là ánh xạ

CO.

Hơn nữa Ш là không gian metric

đầy đủ nên theo Nguyên lý ánh xạ co Banach thì ánh xạ T có điểm bất
động duy nhất, nghĩa là phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

□