úng dụng của phép đối xúng tâm vào giải tón

Trang

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong nhà trường phổ thông, hình học là một môn học khó bởi vì tính chặt
chẽ, logic và tính trừu tượng của hình học cao hơn các môn học khác. Đặc biệt
là các phép biến hình sơ cấp là một phần quan trọng của hình học và nó là công
cụ hữu ích để giải toán.
Phép biến hình là một công cụ mới mẻ để giải toán và nó còn giúp chúng ta
làm quen với các phương pháp tư duy và suy luận mới. Nó giúp chúng ta nhìn nhận
sự việc và các hiện tượng trong cuộc sống với sự vận động và biến đổi của chúng
để nghiên cứu, tìm tòi, khám phá, tạo cơ sở để chúng ta tư duy và phát triển.
Phép đối xứng tâm là một trong những phép biến hình sơ cấp được vận dụng
để giải quyết các bài toán dựng hình, tìm tập hợp điểm, chứng minh tính chất,…
Tuy nhiên việc vận dụng được nó vào giải toán không phải là việc dễ dàng.
Chính vì lí do trên nên tôi chọn đề tài “Một số ứng dụng của phép đối
xứng tâm vào giải toán” làm đề tài nghiên cứu của mình.
2. Mục đích nghiên cứu


- Nhằm hệ thống hóa kiến thức về phép đối xứng tâm đặc biệt là việc vận
dụng các kiến thức của phép đối xứng tâm vào giải toán.
- Nâng cao hiểu biết của bản thân về phép đối xứng tâm.
3. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu định nghĩa, tính chất của phép đối xứng tâm và một số ứng
dụng của phép đối xứng tâm vào giải toán.
4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu và mạng internet
5. Cấu trúc của đề tài
Đề tài được trình bày theo bố cục sau:
Chương 1: Cơ sở lí thuyết

Chương 2: Một số ứng dụng của phép đối xứng tâm
Chương 3: Bài tập vận dụng
Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1. Phép đối xứng tâm
1.1.1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó,
biến mỗi điểm M khác I thành M’sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM’
được gọi là phép đối xứng tâm I.
Điểm I được gọi là tâm đối xứng.
Phép đối xứng tâm I được kí hiệu là ĐI.
1.1.2. Tính chất
Tính chất 1: Phép đối xứng tâm bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
Tính chất 2: Phép đối xứng tâm biến:
- Đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó;
- Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó;
- Tam giác thành tam giác bằng nó;
- Đường tròn thành cđường tròn có cùng bán kính.
1.1.3. Biểu thức tọa độ


Trong hệ tọa độ Oxy cho điểm I (a,b). Nếu phép đối xứng tâm Đ I biến điểm
M(x,y) thành điểm M’(x’,y’) thì:

 x ' = 2a − x
.

 y ' = 2b − y
Công thức trên gọi là biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm ĐI.
1.1.4. Tâm đối xứng của một hình
Điểm O được gọi là tâm đối xứng của một hình H nếu phép đối xứng tâm

ĐO biến hình H thành chính nó, tức là ĐO(H) = H.


Chương II: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
2.1. Một số ứng dụng của phép đối xứng tâm
2.1.1. Tìm ảnh của một hình qua phép đối xứng tâm
a) Bài toán: Cho điểm I (a, b) và hình (H) có phương trình f ( x, y ) = 0 .
Tìm phương trình ảnh (H’) của hình (H) qua phép đối xứng tâm I.
b) Phương pháp chung
Gọi M(x, y) tùy ý trên (H): f ( x, y ) = 0 .
Gọi M’(x’, y’) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I. Dùng biểu thức tọa

 x ' = 2a − x
độ 
. Ta có M (2a-x’, 2b-y’).
 y ' = 2b − y
M ∈ ( H ) thay tọa độ của M vào (H) ta có (H’): g ( x ', y ' ) = 0 .
(H’) là ảnh của (H) qua phép đối xứng tâm I. Vậy (H’) là tập hợp tất cả các
điểm M’.
Các trường hợp đặc biệt
- (H) là đường thẳng (gọi đường thẳng đó là (d))
Ta có thể thực hiện một trong các cách sau:
Cách 1: Sử dụng biểu thức tọa độ
Cách 2: Sử dụng tính chất của phép đối xứng tâm
Sử dụng tính phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng có
giá song song hoặc trùng với nó.
Cách 3:Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
+) Chọn hai điểm M (x0, y0), N (x1, y1) thuộc đường thẳng d.
+) Dùng biểu thức tọa độ ta có: M’ (2a-x 0, 2b-y0) và N’ (2a-x1, 2b-y1) lần
lượt là ảnh của M và N qua phép đối xứng tâm I.

Vậy ảnh của d qua phép đối xứng tâm I là d’ có phương trình là:
d ':

x − ( 2a − x1 )
y − ( 2b − y1 )
=
.
( 2a − x0 ) − ( 2a − x1 ) ( 2b − y0 ) − ( 2b − y1 )

- (H) là đường tròn (gọi đường tròn đó là (C))


Ta có thể dùng một trong các cách sau:
Cách 1: Sử dụng biểu thức tọa độ
Phương pháp làm giống như phương pháp chung
Cách 2: Sử dụng tính chất của phép đối xứng tâm
Sử dụng tính chất: Phép đối xứng tâm biến đường tròn thành đường tròn có
cùng bán kính.
+) Xác định tâm O ( x0 , y0 ) và bán kính của đường tròn (C).
+) dùng biểu thức tọa độ ta có tọa độ của tâm O ' ( 2a − x0 ,2b − y0 ) là ảnh
của tâm O qua phép đối xứng tâm I.
+) Đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm I có
tâm là O ' ( 2a − x0 ,2 b− y0 ) và bán kính R. Vậy phương trình đường tròn (C’) là:
(C’):  x − ( 2a − x0 )  +  y − ( 2b − y0 )  = R 2 .
2

2

c) Ví dụ
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm I ( 1,2 ) và đường thẳng

d : 3 x − y + 9 = 0 . Hãy xác định phương trình đường thẳng d’ảnh của d qua phép
đối xứng tâm I.
Giải
Cách 1: Sử dụng biểu thức tọa độ
Gọi A ( x, y ) là điểm bất kỳ thuộc đường thẳng d và A ' ( x ', y ' ) thuộc đường
thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm I. Khi đó:

 x ' = 2.1 − x
x = 2 − x '
⇔
.

y
'
=
2.2
−
y
y
=
4
−
y
'


Thay x, y vào phương trình đường thẳng d ta có:
3 ( 2 − x ') − ( 4 − y ' ) + 9 = 0 ⇔ −3 x '+ y '+ 11 = 0 ⇔ 3 x '− y '− 11 = 0 .
Vậy phương trình đường thẳng d’ là: d ': 3 x '− y '− 11 = 0 .
Cách 2: Sử dụng tính chất của phép đối xứng tâm

Gọi d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I.


Do d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I nên d’ phải có giá song song
hoặc trùng với d. Suy ra phương trình đường thẳng d’ là: d ' : 3x '− y '+ c = 0 .
Gọi M ( 0;9 ) ∈ d và M ' ( x ', y ') là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I. Suy

 x ' = 2.1 − 0
x ' = 2
⇔
⇒ M ' ( 2; −5 ) .
ra M ' ∈ d ' . Ta có: 
 y ' = 2.2 − 9  y ' = −5
Thay M’ vào phương trình d’ ta có: 3.2 − ( −5 ) + c = 0 ⇔ c = −11
Vậy phương trình đường thẳng d’ là: d ': 3 x '− y '− 11 = 0 .
Cách 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua hia điểm

 M ( 0;9 ) ∈ d
Lấy 
. Gọi M’ và N’ lần lượt là ảnh của M, N qua phép đối
 N ( −3;0 ) ∈ d
xứng tâm I.

 M ' ( 2; −5 )
Suy ra: 
.
 N ( 5;4 )
Gọi d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I.
Vậy d’ là đường thẳng đi qua hai điểm M’ và N’. Phương trình đường
thẳng d’ là: d ': 3 x '− y '− 11 = 0 .

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M ( 1;2 ) và đường tròn (C) có
2
2
phương trình x + y + 2 x − 6 y + 6 = 0 . Hãy xác định đường tròn (C’) là ảnh của

đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm M.
Giải
Cách 1: Sử dụng công thức tọa độ
Gọi A ( x, y ) là điểm bất kỳ thuộc đường tròn (C) và A ' ( x ', y ' ) là ảnh của
điểm A qua phép đối xứng tâm M. Khi đó A’ sẽ thuộc đường tròn (C’).
Theo biểu thức tọa độ ta có:

 x ' = 2.1 − x  x = 2 − x '
⇔

2.2 − y
4 − y '
Thay x; y trong biểu thức trên vào phương trình đường tròn (C) ta được:


( 2 − x ')

2

+ ( 4 − y ') + 2 ( 2 − x ') − 6 ( 4 − y ') + 6 = 0
2

⇔ 4 − 4 x '+ x '2 + 16 − 8 y '+ y '2 + 4 − 2 x '− 24 + 6 y '+ 6 = 0
⇔ x '2 + y '2 − 6 x '− 2 y '+ 6 = 0
⇔ ( x '− 3) + ( y '− 1) = 4

2

2

Vậy phương trình đường tròn (C’) cần tìm là:

( C ') : ( x − 3)

2

+ ( y − 1) = 4 .
2

Cách 2: sử dụng tính chất của phép đối xứng tâm
2
2
Đường tròn ( C ) : x + y + 2 x − 6 y + 6 = 0 hay ( C ) : ( x + 1) + ( y − 3) = 4
2

2

Suy ra đường tròn (C) có tâm I ( −1;3) và bán kính R=2
Phép đói xứng tâm biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. Do
đó đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm M sẽ có
bán kính là R’=R=2
Gọi I’(x’, ,y’) là tâm của đường tròn(C’). Do đó I’ là ảnh của I qua phép
đối xứng tâm M.
Ta có:
 x ' = 2.1 − ( −1)
x ' = 3

⇔
⇔ I ' ( 3;1) .

y
'
=
1
y
'
=
2.2
−
3


Vậy phương trình đường tròn (C’) cần tìm là:

( C ') : ( x − 3)

2

+ ( y − 1) = 4 .
2

2.1.2. Chứng minh các tính chất hình học và tính các yếu tố trong một
hình
a) Phương pháp chung
Bài toán chứng minh tính chất hình học
Bước 1: Xác định một hoặc nhiều phép đối xứng tâm để thiết lập mối liên
hệ giữa các yếu tố.

Bước 2: Sử dụng các tính chất của phép đối xứng tâm để giải các yêu cầu
của bài toán.
- Bài toán tính các yếu tố của một hình


Bước 1: Xác định các yếu tố đã biết của bài toán
Bước 2: Tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho với yếu tố cần tính toán.
Bước 3: Thiết lập được các phép đối xứng tâm thích hợp.
Bước 4: Dựa vào các dữ liệu đã được thiết lập để tính toán các yếu tố cần
tính của bài toán.
b) Ví dụ
Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu một tam giác có đường trung tuyến và
đường phân giác cùng xuất phát từ một đỉnh mà trùng nhau thì tam giác đó là
tam giác cân.
Giải

A

C

B

E

D

Giả sử ∆ABC có đường trung tuyến AE đồng thời là đường phân giác
Suy ra E là trung điểm của BC hay B và C đối xứng nhau qua E
Gọị D=ĐE(A) ⇒ Tứ giác ABDC là hình bình hành tâm E
·

·
·
⇒ AC=BD (1) , BDA
⇒ ∆BAD cân ở B ⇒ BD=BA (2)
= DAC
= BAD
Từ (1) và (2) suy ra ∆ABC cân ở A ⇒ đfcm.
2.1.3. Tìm tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn một số tính chất nào đó
cho trước (bài toán quỹ tích)
a) Phương phápchung
Bước 1: Từ giả thiết chọn điểm E di động sao cho EM nhận điểm cố định I
làm trung điểm.
Bước 2: Xác định hình (H) là quỹ tích của điểm E.
Bước 3: Kết luận tập hợp điểm M là hình (H’) ảnh của hình (H) qua phép
đối xứng tâm I.


b) Ví dụ
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC và đường tròn (O). Trên cạnh AB ta lấy điểm
E sao cho BE=2AE. F là trung điểm của cạnh AC và I là đỉnh thứ tư của hình
bình hành AEIF với mỗi điểm P trên đường tròn (O) ta dựng điểm Q sao cho
uuur uuur uuur uur
PA + 2 PB + 3PC = 6 IQ . Tìm tập tập hợp điểm Q khi P thay đổi.
Giải
A
F
E
I
C
B

P

uuur uuur uuur r
Gọi K là điểm thỏa mãn điều kiện KA + 2 KB + 3KC = 0
uuur uuur uuur
Suy ra: AK = 2 KB + 3KC
uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur uuur
⇒ AK = 2 KA + AB + 3 KA + AC ⇒ 6 AK = 2 AB + 3 AC ( 1)

(

) (

)

uur uuur uuur 1 uuur 1 uuur
uur uuur uuur
AI
=
AE
+
AF
=
AB
+
AC
⇒

6
AI = 2 AB + 3 AC ( 2 )
Ta có:
3
2
uur uur uur r
Từ (1) và (2) suy ra K ≡ I ⇒ IA + 2 IB + 3IC = 0
Theo giả thiết ta có:
uuur uuur uuur uur uur uur uur uur uur uur uur
PA + 2 PB + 3PC = 6 IQ ⇒ PI + IA + 2 PI + 2 IB + 3PI + 3IC = 6 IQ
uur uur uur uur
⇒ 6 PI = 6 IQ ⇒ IP = − IQ
Suy ra P và Q đối xứng nhau qua I
Vậy tập hợp tất cả các điểm Q là đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua ĐI.
2.1.4. Bài toán cực trị


a) Phương phápchung
Sử dụng tính chất của phép đối xứng tâm.
- Khi tìm vị trí của hình H trên mền D sao cho biểu thức f có giá trị lớn
nhất ta phải chứng minh được:
Bước 1: Với mọi vị trí của H trên miền D thì f ≥ m (với m là hằng số).
Bước 2: Xác định vị trí của H trên miền D sao cho f = m .
- Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao ch biểu thức f có giá trị nhỏ nhất
ta phảo chứng tỏ được:
Bước 1: Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f ≤ m ( với m là hằng
số).
Bước 2: Xác định vị trí của H trên miền D sao cho f = m .
b) Ví dụ
Ví dụ 5: cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác. Gọi A’,B’, C’

là ảnh của A, B, C qua phép đối xứng tâm O. T là một đa giác được tạo bởi phần
chung của hai tam giác ABC và A’B’C’. Tìm vị trí của O sao cho T có diện tích
lớn nhất.
Giải

C'

B'
A
H

O

K

A'
B

C

Ta có hai trường hợp
TH1: A’ là ảnh của A qua ĐO nằm trong tam giác.
Vì ĐO biến A thành A’, B thành B’ nên AB // A′B ' ( 1)
Vì ĐO biến A thành A’, C thành C’ nên AC // A′C ' ( 2 )


Từ (1) và (2) suy ra T là hình bình hành có hai cạnh liên tiếp nằm trên AB,
AC và một đường chéo AA’.
Gọi M là giao điểm của AA’ với BC. Dựng hình bình hành AKMH có MK //AC
và MH // AB (K∈ AB, H ∈ AC). Suy ra T bị chứa trong hình bình hành AKMH.

Do đó: S( T ) ≤ S AKMH
Ta có :

S AHK AK AH
=
.
S ABC AB AC
AK CM AH BM
=
,
=
AB BC AC BC

Do MK //AC , MH // AB nên
Và do đó

AK AH
+
=1
AB AC

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
2

AK AH 1  AK AH  1
.
≤ 
+
÷ =
AB AC 4  AB AC  4

1
⇒ S AHK ≤ S ABC ⇔ S AKMH ≤ S ABC
4
Vậy diện tích (T) lớn nhất bằng một phần hai diện tích ABC. Dấu bằng xảy
ra khi
AK AH 1
=
= suy ra A ' ≡ M , M là trung điểm của BC suy ra O là trung
AB AC 2
điểm của A.
A

C'

Q

R

B'

O

P

S

B
N

M

A'

C


TH 2: A’, B’, C’ nằm ngoài tam giác ABC. Khi đó T là một lục giác
Phép đối xứng tâm ĐO biến A, B, C lần lượt thành A’, B’, C’ nên T là một
lục giác có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
Gọi S1, S2, S3 là diện tích các tam giác bị cắt ra từ tam giác ABC bởi các
đường thẳng B’C’, C’A’, A’B’.
S là diện tích tam giác ABC
2

2

2

S  AQ  S2  BP  S3  PQ 
=
=
Ta có: 1 = 
÷,
÷,
÷.
S  AB  S  AB  S  AB 
 AQ  2  BP  2  PQ  2 
Suy ra: S1 + S2 + S3 = S 
÷ +
÷ +

÷
AB
AB
AB





 

Áp dụng bắt đẳng thức bunhiacopxki ta có:
2

S  AQ BP PQ  S
S1 + S2 + S3 ≥ 
+
+
÷ =
3  AB AB AB  3
Vậy min ( S1 + S2 + S3 ) =

S
AQ BP PQ
=
=
xảy ra khi
hay O là trọng tâm
3
AB AB AB

cảu tam giác ABC.
Diện tích cuả T lớn nhất khi S1 + S2 + S3 nhỏ nhất.
Vậy diện tích của T lớn nhất bằng

2
S.
3

2.1.5. Bài toán dựng hình
a) Phương phápchung
Giải bài toán dựng hình ta thực hiện theo 4 bước sau:
Bước 1: Phân tích
Giả sử đã dựng được hình thỏa mãn điều kiện đầu bài. Ta tìm điều kiện xác
định từng bộ phận hình cần dựng (phần này thể hiện điều kiện cần).
Bước 2: Cách dựng
Dựa vào bước 1 để lần lượt dựng các hình bằng các phép đối xứng tâm phù
hợp (phần này thể hiện điều kiện đủ).


Bước 3: Chứng minh
Khẳng định hình thu được từ cách dựng là nghiệm. Chứng tỏ cả điều cần và
điều kiện đủ.
Bước 4: Biện luận
Bài toán có nghiệm: chỉ ra số nghiệm.
Bài toán vô nghiệm.
b) Ví dụ
Ví dụ 6: cho đường tròn ( O ) , đường thẳng d không có điểm chung với
đường tròn ( O ) và điểm H. Hãy dựng hình bình hành ABCD sao cho hai đỉnh
liên tiếp A,B nằm trên d và hai đỉnh còn lại nằm trên ( O ) và nhận H làm giao

điểm các đường chéo. Hãy xác định vị trí của H để hai đỉnh của hình bình hành
để d cách nhau xa nhất.
Giải
d
C

d'

D
H
A

B

Phân tích :
Gải sử dựng được hình bình hành ABCD thõa mãn A, B thuộc d.
H là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành.
ĐH(A) = C, ĐH(B) = D
Kí hiệu d’ là ảnh của d qua ĐH suy ra d Pd ' và d đi qua C,D.
Cách dựng:
Dựng d’ là ảnh của d qua ĐH, d '∩ ( O ) = { C , D}


Dựng CH ∩ d = A, DH ∩ d = B
Vậy ABCD là hình cần dựng.
Chứng minh:
Theo cách dựng ta có:
ĐH-1 biến d’ thành d mà C,D thuộc d’ nên ĐH-1 biến C, D thành A, B
⇒ A, B thuộc d và ABCD là hình bình hành.
Biện luận:

Bài toán có một nghiệm hình khi d’ cắt (O) tại hai điểm phân biệt.
Bài toán vô nghiệm khi d’ không cắt (O) hoặc cắt (O) tại một điểm duy
nhất.
AB lớn nhất thì CD lớn nhất khi và chỉ khi CD là đường kính của (O),
trong trường hợp này ảnh của tâm (O) qua Đ H phải thuộc d. Gọi O’ là giao điểm
của OH và d thì h là trung điểm của OO’.


Chương 3: BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Cho đường thẳng d có phương trình x + 2 y − 2 = 0 và điểm A ( 2;3) .
Tìm ảnh của d trong các trường hợp sau:
a) Phép đối xứng tâm là gốc tọa độ.
b) Phép đối xứng tâm A.
2
2
Bài 2: Cho đường tròn (C) có phương trình x + y + 4 x − 6 y + 4 = 0 và

điểm B ( −1;2 ) . Hãy tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm B.
Bài 3: Cho đường tròn (C) có tâm O và dây cung AB. Gọi x, y là hai đường
thẳng vuông góc với AB tạ các đầu mút của dây cung đó. Chứng minh rằng x, y
đối xứng nhau qua tâm O.
Bài 4: Cho hai hình bình hành ABCD và A’B’C’D’ trong đó A ' ∈ AB ,
B ' ∈ BC , C ' ∈ CD . Chứng minh rằng hai hình bình hành trên có cùng tâm.
Bài 5: Cho ∆ABC . Hãy tìm một đa giác lồi có tâm đối xứng chứa trong nó
(các đỉnh các cạnh của tam giác có thể nằm trên biên đa giác) tam giác đã cho và
có diện tích nhỏ nhất.
Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). BC cố định và A
di động trên đường tròn (O). Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC
Bài 7: Qua điểm A cho trước, hãy kẻ đường thẳng sao cho đoạn thẳng xác
định bởi các giao điểm của nó với một đường thẳng và một đường tròn cho

trước nhận O làm trung điểm.


KẾT LUẬN
Quá trình học tập và nghiên cứu về một số ứng dụng của phép đối xứng
tâm đã giúp tôi cũng như nhiều bạn sinh viên tìm thấy niềm vui, sự hứng thú học
toán. Dẫu biết rằng hiểu biết của mình còn rất hạn hẹp, tuy nhiên qua đề tài này
tôi cũng đã rút ra cho mình nhiều kinh nghiệm, nhiều hiểu biết mới lạ.
Đề tài trên đây trình bày một cách có hệ thống những khái niệm cơ sở, tính
chất và một số ứng dụng của phép đối xứng tâm. Tôi hi vọng rằng khối lượng
kiến thức nhỏ gọn trên đây cũng phần nào giúp được các bạn học sinh, sinh viên
trong việc giải quyết những khó khăn khi gặp bài toán về phép đối xứng tâm.
Tuy nhiên trong đề tài sẽ không tránh khỏi thiếu sót và hạn chế, rất mong
sự đóng góp chân thành của quý thầy cô và các bạn để đề tài được hoàn thiện
hơn.


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Bộ giáo dục đào tạo, Hình học 11, NXB Giáo dục.
2. Nguyễn Đăng Phất, Các phép biến hình trong mặt phẳng và ứng dụng
giải toán hình học, NXB Giáo dục.
3. Lê Hoành Phò, Hình học 11 bài tập và phương pháp giải, NXB Đại học
quốc gia Hà Nội.
4. Đỗ Thanh Sơn, Phương pháp giải toán hình học 11 theo chủ đề, NXB
Giáo dục, năm2010.


MỤC LỤC
Trang