Luận văn thạc sĩ khai triển một hàm thành tổng vô hạn hoặc tích vô hạn và một số ứng dụng

BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO
T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌC s ư P H Ạ M H À N Ộ I 2

Q U Á C H TH Ị T H U H U Y E N

KHAI TR IỂN MỘT HÀM T H À N H TỎ NG VÔ H Ạ N
HOẶC TÍCH VÔ H Ạ N VÀ M ỘT s ố Ứ NG D Ụ N G

L U Ậ N V Ă N TH Ạ C s ĩ T O Á N HỌC
C huyên ngành: Toán giải tích
M ã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học
TS. B ùi K iên Cường

H À N Ộ I, 2015


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Bùi Kiên Cường, thầy đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, giảng giải để tôi có thể
hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã trang bị kiến thức, giúp đỡ tôi trong suốt quá
trình học tập.
Qua đây tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Ban giám hiệu cùng toàn thể
các thầy cô giáo trường THPT Vĩnh Yên, TP Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc đã
giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi có thể hoàn thành luận văn
này.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,

bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và
hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 01 năm 2015
Tác giả

Quách Thị Thu H uyền


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS. Bùi Kiên Cường, luận văn:
K h a i tr i ể n m ộ t h à m thành tổng vô hạn hoặc tích vô hạn và
m ộ t số ứng dụng là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu viết luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn, các thông
tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 01 năm 2015
Tác giả

Quách Thị Thu H uyền


M ục lục
M ở đầu,

Chương 2. M ột số ứng dụng của tổn g vô hạn và tích vô hạn
33

21
.

Phương trình vi phân thường cấp 2

.

211
.

.

.

Các điểm kì dị của phương tr ìn h vi p h â n thư ờng cấp 2

2 . 1 . 2 . Nghiệm tro n g m ột lân cận của điểm thư ờng

33
33
34

2 . 2 . ứng dụng tổng vô hạn trong việc tìm nghiệm của một số phương
trình vi phân thường

39

2 . 2 . 1 . Nghiệm tro n g lân cận của m ột điếm kì dị

39

2 . 2 . 2 . Nghiệm chính quy. Điếm kì dị chính quy

45

2.2.3. P h ư ơ n g p h á p Frobenius

51

2.3. Khai triển hàm qua tích vô hạn

3

54


2.4. Khai triển tiệm cận
2.4.1. Mở đ ầ u về khai triể n tiệm cận
2.4.2. K hai triể n tiệm cận của tích p h â n Laplace, Bổ đề W atson

K ết luận
Tài liệu tham khảo


M ở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Trong giải tích cổ điển, bên cạnh lý thuyết tổng vô hạn hay còn gọi là
chuỗi số, một đối tượng khác cũng được quan tâm nghiên cứu, đó là tích
vô hạn. Cũng tương tự như đối với chuỗi, người ta cũng quan tâm đến
việc biểu diễn hàm đã cho như là một tích vô hạn. Nhờ việc biểu diễn
hàm qua tổng vô hạn và tích vô hạn, một số kiểu phương trình vi phân
thường có thể tìm được biểu diễn nghiệm, đặc biệt là nghiệm kỳ dị của
chúng.

Nhằm tìm hiểu sâu về ứng dụng của lý thuyết chuỗi và tổng vô hạn trong
lĩnh vực biểu diễn nghiệm kỳ dị của một số lớp phương trình vi phân,
và được sự hướng dẫn của T S. B ùi kiên Cường, tôi đã chọn đề tài
nghiên cứu: K h a i tr i ể n m ộ t h à m thành tổng vô hạn hoặc tích
vô hạn và m ộ t số ứng dụng để thực hiện luận văn tốt nghiệp thạc
sĩ.

2. M ục đích nghiên cứu
Biểu diễn một số hàm qua tích vô hạn và ứng dụng trong tìm nghiệm
kỳ dị của một số phương trình vi phân thường.

1


3. N hiệm vụ nghiên cứu
• Nghiên cứu về lý thuyết tích vô hạn và việc khai triển một hàm
thành tổng hoặc tích vô hạn;
• Nghiên cứu ứng dụng của việc khai triển hàm thành tổng vô hạn
trong việc tìm nghiệm kỳ kị của một số phương trình vi phân.

4. Đ ối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Một số đa thức: Bernoulli, Euler, ... tích vô hạn, khai triển tiệm cận
trong giải tích cổ điển;
• Nghiệm của một số phương trình vi phân thường cấp 2 có sử dụng
các hàm đặc biệt.

5. Phương pháp nghiên cứu
Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan đến đề
tài, sử dụng các phương pháp nghiên cứu lý thuyết.

6. Những đóng góp của đề tài
Luận văn là tài liệu tổng quan về biểu diễn hàm qua tổng vô hạn hoặc
tích vô hạn và một số ứng dụng của nó trong việc giải một số kiểu phương
trình vi phân thường cấp 2.

2


Chương 1
Tổng vô hạn và tích vô hạn
1.1. Tổng vô hạn và tích vô hạn
Mục này được trình bày dựa theo tài liệu [4J.
1.1.1. Tổng vô hạn
Cho dãy số {a„}“=1, ta định nghĩa dãy {s„}“=1, gồm các tổng riêng
00

sn =

d ị + Ũ 2 + ■■ ■ +

an. Tổng vô hạn hình thức
00

Ta nói rằng, chuỗi

an

được gọi là chuỗi.

n= 1

an

hội tụ tới giới hạn

s nếu dãy các tổng riêng

71=1

{sn}~ ! hội tụ tới

s.

Ta biết rằng, tiêu chuẩn hội tụ Cauchy cho một dãy số phát biểu rằng:
Một dãy số hội tụ khi và chỉ khi nó là một dãy cơ bản (dãy Cauchy).
Áp dụng tiêu chuẩn hội tụ Cauchy cho dãy tổng riêng {Sn}£°=i ta có tiêu
chuẩn Cauchy cho một chuỗi như sau:
oo

Đ ịnh lý 1.1.1. Chuỗi Y2 an hội tụ nếu và chỉ nếu với mỗi e > 0 tồn
n= 1

tại NẼG N* sao cho khi m > n > NẼ ta có Ian + an+1 + ■■■+ amI < €.
oo

Hơn nữa, từ định lí trên ta suy ra rằng nếu chuỗi Y2 an hội tụ thì
n= 1

lim an = 0. Tuy nhiên điều ngược lại là không đúng. Chẳng hạn, chuỗi
“ 1
1

điều hòa
— là phân kì trong khi đó lim an = lim —= 0.

n —>00

n=l n

n -> o o

3

n -> o o n


00

Ta thấy rằng, nếu chuỗi
71=1

N
nếu IA — £ a n| < e thì

E

N

00

«71 = A thì

ữn

= A—

71 = JV + 1

«711 <

a n-

Do đó,

71=1

€.

71=JV+1
Sử dụng chuỗi Taylor ta có các công thức khai triển thành tổng vô
n=1

hạn của một số hàm sơ cấp cơ bản như dưới đây:
00 „71
(1.1.1)

«* = Ẽ £ 71=0

(1.1.2)

1 ! z = Í 2 az'1’ IZ I < 1 .
71=0

00 ( 1\ 71 271+1
sinz = y " V
, V zeC ,
^
2n
+
1)!
71=0 v
’ ’
00
1^71„271

(1.1.3)

ị

(1.1.4)

™SZ = E
( ¿ Ị . V* e C '
71=0 '
_°° (_-\ 'sn 71
log(l +
= J2
1
7 M < 1,
n=1
00 „71
iog(i - * ) = £ - ,
\z\< i.

z)

(1.1.5)
(1.1.6)

Ta có một số kết quả về tính hội tụ của tổng vô hạn sau đây.
00

Đ ịnh lý 1.1.2. Cho hai dãy số phức {an}“=0 và {bn}^=0. Nếu Ỵ2 Ian
n= 0

00

hội tụ và {bn} bị chặn thì chuỗi Y2 anbn hội tụ.
n=0
00

00

Ta nói rằng chuỗi Y2 an hội tụ tuyệt đối nếu như chuỗi Y2 \an\ hội
71 = 0

71 = 0

tụ.
oo

oo

Đ ịnh lý 1.1.3. Nếu Y2 an là một chuỗi các số phức và chuỗi Y2 Ian
00

hội tụ thì chuỗi

n=0

n= 0

an hội tụ.
71 = 0

4


Điều ngược lại của định lí này là không đúng, chẳng hạn xét chuỗi

Ẽ

( - 1 )"

n= 1

, chuỗi này là chuỗi đan dấu và hội tụ theo dấu hiệu Leibnitz,

^

00

( - 1)'

tuy nhiên chuỗi

n

71 = 1

00

2

=

~ phân kì.
71=1

^

Đ ịnh lý 1.1.4. Giả sử rằng amn € [0,oo) với mỗi (m , n ) € N X N và
ệ : N —> N X N ỉà một song ánh. Với ngầm hiểu rằng một chuỗi số thực
không ăm hội tụ đến 00 nếu như nó không hội tụ đến một số thực, ta có
00

00

1

71=

771=

00

1

771=

00

1

00

1

71=

fc=l

Đ ịnh lý 1.1.5. Giả sửcm n € c với mỗi (m, n) e N x N và ệ : N ^ N x N
ỉà một song ánh. Nếu một trong ba tổng sau
00

00

00

00

00

Ia

71=

1

771 =

1

771=

1

71=

1

ệ{k)

I

fc= l

hội tụ thì các tổng sau hội tụ tuyệt đối và có tổng bằng nhau
00

00

00

00

00

Qệ(fc) ■
71=

1

771=

1

771=

1

71=

1

fc= l

1.1.2. Tích vô hạn
Trong mục này, chúng tôi trình bày các khái niệm và các bài toán hội
tụ của tích vô hạn, đặc biệt trình bày các điều kiện về hội tụ tuyệt đối.
Tích vô hạn

00

JỊ«n=

■■■

(1.1.7)

71=1

gọi là hội tụ nếu và chỉ nếu tồn tại m sao cho Vn > m , u n Ỷ 0; và tích
riêng
pn = um+1u m + 2 ■■-un,
5

n> m

(1.1.8)


tiến tới một giới hạn Um không bằng 0 khi n —> 00. Khi đó,
00

u

11 un

U\U2 ■■■umLĩm

(1.1.9)

71= 1

được gọi là giá trị của tích vô hạn.
Đ ịnh lý 1.1.6. Nếu tích vô hạn (jl.1 -7|) hội tụ thì lim un = 1.
n —>-00

Chứng m inh. Khi n —> 00 ta có un = Pn/Pn-1 —> 1 vì Pn,pn-1 có cùng
một giới hạn ưm khi n —> 00.

□

Nếu ta đặt un = 1 + an, và thì (Ị1.1.7D trở thành
00

1 1 10)

( . .

I Ị (1 + «n)n= 1

Khi đó, từ định lí 1. 1.6 suy ra nếu chuỗi (1.1.10) hội tụ thì lim an = 0.
Đ ịnh lý 1.1.7. Tích vô hạn (ỊTTTTTÕỊ) hội tụ nếu và chỉ nếu tồn tại m
sao cho chuỗi

00

ln(l + on)

(1.1.11)

n =m + 1

hội tụ, ở đây logarit được lấy theo các giá trị chính, tức là \arg(l + an)\ <
7Ĩ.

Kí hiệu tổng trong (1.1.11) là L, khi đó
oo

Ỵ[{1

+ flti) =

32

( ữ + ữ i ) ( l + <. ) • • • ( ữ +

am)eL.

1 1 12)

( . .

n= 1

Chứng m inh.
Giả sử chuỗi (1.1.11) hội tụ, khi đó day
pn =

(1 +

ữm+i) ( l

+

ữ m+2)

• • • (1

Ị
+

an) =

exp <

n

^2

.r = m + 1

6

'Ị

ln (l + a r) >

J

sẽ hội tụ và lim Pn = eL. Ngược lại, nếu tích hội tụ thì tồn tại m sao
n —>oo

cho (1 + an) Ỷ 0) Vn > m và Pn —> p Ỷ 0 khi n —> 00. Khi đó
00

ln(l + or) = lim lnp„ = lnp.
n —>oo

r=m+1

Do đó, chuỗi (1.1.11) là hội tụ. Tuy nhiên, các giá trị của nó phụ thuộc
vào argument của các thừa số trong p. Các argument đó không thể xác
định một cách bất kì, vì lim ln(l + an) = 0 là điều kiện cần để chuỗi
(1.1.11) hội tụ và
ln(l + an) = ln |1 + an\ + iarg( 1 + an).
Vì vậy, ta phải có an —> 0 và arg( 1 + an) —> 0. Do đó, ngoại trừ với một
số số hạng hữu hạn ta phải có \arg(l + a„)| < 7Ĩ, tức là logarit là lấy các
giá trị chính của chúng.

□

Tiếp theo, ta trình bày điều kiện cần và đủ để một tích vô hạn là hội
tụ tuyệt đối.
00

Đ ịnh nghĩa 1.1.1. (Hội tụ tuyệt đối) Tích vô hạn

n (1 + an) hội tụ

71=1

00

tuyệt đối nếu tích vô hạn n ( i + \ữn I) hội tụ.
71=1

oo
Đ ịnh lý 1.1.8. Nếu tích vô hạn J1 (1 + an) hội tụ tuyệt đối thì nó cũng
71=1

hội tụ.
oo
Chứng m inh. Vì tích vô hạn n ơ T |ữn|) hội tụ nên theo định nghĩa,
n=1
tồn tại r sao cho
Ọs — (1 + |ữr+ i|)(l + |ar+iI) ■■■(! + |as|) -> ợ 7^ 0

7

khi s —> 0. (1.1.13)


Với k > 0 bất kì, thì khi s đủ lớn, ta có

1(1 +

ữ r + i ) ( l + ữ r + i) • •

•(1 +

a s) —

1|

< (1 + |ar+i|)(l + |ữr+i|) • • • (1 + \as\) — 1
= — -lQs

(1.1.14)

Do đó, tồn tại m sao cho với bất kì s > ra, ta có
........................... .
1
1(1 + ữr+i)(l + ar+i) •••(! + as) — 1| = IPs — 1| <
tức là
1 I I 3
ỉ < Ip »i < 2
điều này chứng tỏ rằng, khi S > r a ,l + as ^ 0 v à nếu Ps tiến tới một giới
hạn thì giới hạn đó phải khác không. Hơn nữa, từ (1.1.14) ta có
Ps+k
Ps

2 < Qs+k H
- 1 < e,
Qs

s > m, k > 0,

hay

ÌPs+k -Pa\ < e\Pa\ < 2e00

Khi đó, theo tiêu chuẩn Cauchy, ps có giới hạn, tức là n (1 + an) hội tụ.

oo

Đ ịnh lý 1.1.9. Điều kiện cần và đủ để tích vô hạn
oo

n (1+ an) hội tụ

n=1

tuyệt đối là chuỗi Y2 an hội tụ tuyệt đối.
n=1
C hứng m inh. Đặt Pn = (1 + |ữm+i|)(l + |ữm+2|) •••(! + |ữn|), n > m.
Rõ ràng, Pn Ỷ 0. Đặt Sn = \am+ì \ + \am+2\ -----b |an|. Vì 1 + \au\ < e|ov|,
do đó Sn < Pn < eSn và điều này suy ra sự hội tụ của Sn và Pn là tương
đương. Định lí được chứng minh.

□
8


00

Đ ịnh lý 1.1.10. Nếu tích vô hạn J1 (1 + an) hội tụ tuyệt đối thì tổng
71=1

00

vô hạn

ln(l +

a n)

cũng hội tụ tuyệt đối và ngược lại.

71= 1

C hứng m inh.
Vì tích hoặc tổng vô hạn hội tụ thì ta phải có an —> 0 khi n —> 00.
. '
1
Do đó, với n đủ lớn mà |an| < - , ta có

2

ln(l + o„)

=

®7l

ữ7i ưn aị
~ 2
3 ~ 4 + 1
1
1

1

< 22 + 23 + 24 H

2’

tức là
ln(l + an)
Qn
00

Do đó, sự hội tụ của chuỗi

Iln(l + 07i)| và

71=1

00

|ữn| là tương đương, và
71=1

tới đây ta áp dụng Định lí|l.l.9 |ta thu được kết luận của Định lí Ịl.1.10.

□
V í dụ 1.1.1. Với mỗi z cố định Z € c \ {0}, tích vô hạn
■pr sin(z/n)
„7 1 = 1

zl n

'

hội tụ tuyệt đối.
Thật vậy, ta biết rằng khai triển
“

, „2 f c+ l

s in H = V ( - l ) fc/

9

- ■


Do đó,
00

sin(z/n)
z /n

fc ( z / n T ^
E(-D
(z/n)(2k + 1)!
fc=o

=1+hp-»‘
00

Jl k

n2(fc-i)(2fc -f 1)!

k=1

„

bn

1+

2
n¿

00

Jl k

k=1

n2(fc-i)(2fc -f 1)!

trong đó bn =
n, ta có

00

IM <

,2 k + l

¿ (-T
k= 1

1
sin(z) —z
• 7-7 <
(2k + 1)! \z\
1
“ 2 hội tụ, do đó
n'

Do đó, { |6n|} là dãy bị chặn và

bn

dụng Định lí 1.1.9 tích vô hạn J3 (l +
là

. Với z Ỷ O cố định và với bất kì

00

rr

) hội tụ, điều này cũng có nghĩa

00

,

ñ ( i +£ ) =ñ
71 = 1

hội tụ. Áp

71 = 1

sin(z/n)
z /n

hội tụ tuyệt đối.
V í dụ 1.1.2. Các hàm sin£ và cosx có thể được khai triển dưới dạng
tích vô hạn tương ứng là:
00

sina; =

X

//

n(i

fc=i v
và

00

cosx =

/

n'

fc=l

v

9

xz

4x2
(2 k

— 1 ) 27ĩ 2

Thật vậy, để chứng tỏ (1.1.15) ta áp dụng công thức Euler
g ix _ e ~ í x

sina; =

~Yi
10

(1.1.15)

fc27ĩ2 )

(1.1.16)


và thay các hàm mũ eix,e ix bởi các giới hạn tương ứng của các hàm
này là
lim (1

71-foo

+

y

3Tl J)

và

e~ix = lim ( 1 n -fo o

y

Tl J

Do đó, ta thu được
1
sinæ = — lim
2i

n-¥ 0O

—- lim
2 Tl—
»00

y !); - f ) j
K )' K ) ,

(1.1.17)

Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton ta có
ix
1+nn

IX

1+ —
n.

n(n — 1) f i x

2!

x

'

k=0

x

'

và
ix \n
.

=

ix
n(n — 1) f i x
_ n ^ + ^ 2!
(?

- ■ ■ ■ - B - i r e g y .
k=0
v 7
(1.1.19)

Thay (1.1.18), (1.1.19) vào (1.1.17), và loại bỏ các số hạng bậc chẵn đối
với

X,

khi đó vế phải của (1.1.17) trở thành
(n-l)/2
sinæ = X lim £
( - 1 )‘ c f +1
n-¥oo

k= 0

X

2k

n2k+ 1 '

Biểu diễn vế phải của (1.1.20) dưới dạng chuỗi lượng giác ta có
- l )/2
1 (1 + cos 2 h ĩ ĩ / n ) x 2
sin X = X lin TT
11
(1 —cos 2fc7ĩ/n)n2
fc=i
sử dụng công thức hạ bậc ta có,
- l )/2
TT
1sinæ = X lin
fc= 1
- l )/2
r 1=
X
L
fc= 1

E

11

cos2 k ĩ ĩ / n

n 2 cos2 h i ĩ / n

X2

„2

X
n 2

tan2 h i ĩ / n

1

1 1 20)

( . .


Mặt khác, ta có
( n - l) /2

sinx = X lim

r

Ỵ[
k=1

n-¥ 00

1

x 2k27Ĩ2
n2k27Ĩ2 tan2 /C 7 ĩ/n

1-

a:2 / /C 7 ĩ/n \
fc27Ĩ2 \ t an / n /

( n - l) /2

X

lim

n —> 00

Ỵ[
fc= l

2

Vì
0
lim
= 1.
ứ-Tô tan 1?
Do đó, cho qua giới hạn ta thu được biểu diễn Euler cho hàm sina: như
sau

sina: = \ i™ ñ ( i - ¿ ) k=1 x
'
Tương tự, đối với hàm cosa:, trước tiên ta sử dụng công thức Euler
e i x _|_ e - Ĩ X

cos X

=

và biểu diễn các hàm mũ dưới dạng giới hạn

■+?H'

cosa: = - lim
2

n —>-00

n-

)

Áp dụng các đa thức ở (1.1.18) và (1.1.19) vào vế phải của đẳng thức
trên, ta có thể thấy rằng, ngược lại với hàm sina:, tất cả các số hạng có
mũ lẻ sẽ không còn xuất hiện và ta thu được biểu diễn đối với hàm eos X
như sau:
( n - l) /2

cosa: = lim

n —►oo

' ■**'
k=0

~2fc
(—1)kCỉn2k±_
n2k'

Lý luận tương tự như trong (1.1.20) ta thu được
(n i)/2 ,
cosa: =

n™

11

[1 + cos(2fc - l ) 7ĩ/n]a:2 Ị

\ 1 _ [1 + cos(2fc - l ) 7ĩ/n ]n 2 J
12


Áp dụng các công thức biến đổi lượng giác hạ bậc ta có
(n l)/2 .

£ 2 COS2(2fc — l ) 7 ĩ / 2 n \

cosx

n 2 cos2(2fc — l ) 7 ĩ / 2 n /

n-Kx

(n-Ị)/2
lim Ỵ [

X

^n2tan2(2fc — l ) 7ĩ / 2n

n-¥oo

k=0

Hay
Í
^ ậ„ )
\4:iĩ2(2k — l ) 27ĩ2 tan2(2fc — l)7ĩ/2 n )

CCS*= l i m (T
k=0

(n-l)/2

= lim

4ar
/ (2 k — l)7ĩ/2n
(2k — 1)27ĩ 2 \ta n 2(2fc — l ) 7ĩ / 2n

Ỵ[

n —>oo

'*•

k= 0
00

✓

=n(i
k=1 v

4x2
(2 k — 1)27ĩ 2/

Vậy ta thu được biểu diễn Euler cho hàm cos X
00

✓

4x2
(2 k — 1)27ĩ 2/

ft(i

cosx

k=1 v

V í dụ 1.1.3. Hàm sin hyperbolic sinh a: có thể được khai triển dưới dạng
tích vô hạn
sinha; =

X

n(ȣ)-

( 1. 1.21)

k=1

Thật vậy, để chứng tỏ (1.1.21) ta áp dụng công thức Euler
gix _ g - i x

sinha; =
và thay các hàm mu eix,e ix bởi các giới hạn tương ứng của các hàm
này là
eix = lim (1 +
n -> o o

Y

n )

—)

và e~ix = lim

n —»oo Y

13

(1

n )

- —) .


Do đó, ta thu được

KH

1
sinhæ = - lim
2

n -¥ 0 o

(1.1.22)

1-iĩỴ
n) J

Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton ta có
H

1+ —

ix

= 1+n—H

• \ 2

n

n(n — 1) (( ix

—

—
K

—

r

’

ĩ) +

1

'

/ • \ fc

=É<Í
fc= 0

x

“

><■■=>

y

và
ix \n

ix

n(n — 1) ( ix
-

p

-

k=0

^

Ệ

Ỵ

v

.

7
(1.1.24)

Thay (1.1.23), (1.1.24) vào (1.1.22), và loại bỏ các số hạng bậc chẵn đối
với

X,

khi đó vế phải của (1.1.22) trở thành
(n-Ị)/2
2k
X
sinhæ = X lim y
c f +1 2k+1
71 —f 0 0
'
n
k=0

Biểu diễn vế phải của (1.1.25) dưới dạng chuỗi lượng giác ta có
sinha; =

lim

X

n —HX)

(n-Ị)/2
( 1 -I- cos 2k'K/n)x2
II
1+

(1 —cos 2k'ïï/n)n2

k=1

sử dụng công thức hạ bậc ta có,
( n - l) /2

sinha; =

lim

X

1+

ỊỊ

71—7 oo
fc = l

=

X

cos2 /C7ĩ/n
n2 sin2 kTĩ/n

X2

(n-l)/2 r
X2
lim Ỵ [
1+
00
n2tan2 kiĩ/n
k=1

Mặt khác, ta có
(n-ì)/2

sinh X

= X

lim

Ịị

1+

x2k27Ĩ2
n2k2ĩĩ2 tan2 f c 7 ĩ / n

1+

a:
^ kĩĩ/n
k2ĩĩ2 Vtanfc7ĩ/n

fc = l

(n-1)

= æ lim
71 —7 0 0

Ỵ[
fc=i

14

(1.1.25)


Vì
0
lim
= 1.
ứ-Tô tan 1?
Do đó, cho qua giới hạn ta thu được biểu diễn Euler cho hàm sinhæ như
sau
sinhæ

=

X

”

lim

/

I1

n-¥ 00 1 1 V

z 2 \
+

k= 1

——

kz7Yz J

1.2. Đ a thức và các số Bernoulli, Euler
Mục này được trình bày dựa theo các tài liệu [4, 6J.
1.2.1. Đ a thứ c B ernoulli và các số B ernoulli
Các đa thức Bernoulli ipn(x), n =

0 , 1 , 2 , ...

được cho dưới dạng khai

triển sau:
tf>xt
é

00 ịỶn
_°°_
n

121

( . . )

— 1
71 = 0

Hàm ở vế trái của fll.2.ip gọi là hàm sinh (generating function) của
tpn(x). Chuỗi trong (|1.2.ip hội tụ với \t\ < 21ĩ, vì tính kì dị của hàm sinh

gần nhất với 0 là ±27rị. ở đây ta kí hiệu B n(x) thay cho tpn(x).
Khi

X

= 0, công thức (Ị1.2.1Ị) trở thành
°°

t

é

— 1

n= 0

+n

1^ ( 0).

( 1.2 .2)

n\

Công thức này thường được biểu diễn dưới dạng sau:
oo

' t
1\
í e ^ + e- '/ 2
ë - 1 + 2 ) ~ l é ! 2 - e -í/2

i +Et
n =1

- 1 ) " -1

2n
2 ____O

(2n)! n'

(1.2.3)

Trong (1.2.3) chỉ có các bậc chẵn của t xuất hiện vì vế trái là một hàm
chẵn theo biến t. Từ (1.2.2) và (1.2.3) và viết ipn thay cho (/^(o); lư thu
15


được
¥»0 =

Vi = ~ 2 ’

1,

( — l ) fc 1B k ,

V2k =

V2k+1 =

0,

fc =

l ,

2, . . . .

(1-2-4)

Bk được gọi là các số Bernoulli. Đôi khi, tpn cũng được gọi là các số
Bernoulli.
Dưới đây, trình bày các tính chất cơ bản và các công thức của các đa
thức Bernoulli:
1.

Biểu thức tường minh của các đa thức Bernoulli và công thức truy

hồi cho các số Bernoulli.
Từ (Ị1.2.2D ta có
text
et — 1
trong đó

^

tk
k=0 ki

00

+ỉ

00

¿n

J 2 ^ k E1=0I * ' = Ẹ=0 £

71

n

■í x w * - * ,
fc=0

ck= n(n — l ) ( n —2) • • • (n —k + i)/k\.

thu được biễu diễn dạng ẩn cho

Vn{% ) :

fc,„ „n—k,
nVkX

Vs l(z ) =

So sánh với (Ị1.2.1D ta

n = 0, 1, 2, . . .

(1.2.5)

k=0
ở đây ta phải tính các Vk- Để tính được các Vk, từ (1.2.2) ta có
pt

_

1

°° ,1-1

tk

”

1 = ------- V —ự>k =
t ^ kvk
k=

0

,k

Ê
Ç Ê ^
Ỉ=1 ■ k=0 ■

rç-l

Vk
= E ‘“- ‘ E k\(n —k)\
71=1
k=0

Cân bằng hệ số của đẳng thức trên ta suy ra
n —1

1
rVk = 0,
Vo = 1. E
k\(n —fc)!
fc=o

n > 2.

( 1.2 .6)

Đây là công thức truy hồi cho ípk. Đặt 71 = 2, 3, . . . ta có thể tính được
tpn. Lưu ý rằng, nhờ (1.2.4) tất cả các ípn với n lẻ là bằng không, ngoại
trừ (/?!■
16


Từ (1.2.5) và (1.2.6) có thể được biểu diễn ở dạng:
{ự> + 1)" -

(1.2.7)

n = 0, 1, 2, . . . ,

= 0,

(1.2.8)

ở đây ta ngầm hiểu, trong khai triển nhị thức, lũy thừa ipk chính là ipkMười số Bernoulli đầu tiên và với bảy đa thức Bernoulli đầu tiên được
cho như sau:

Bi =

1
B2 — — ,
30’
691
Bt
6 2730’
174611
B 10
330

6’

Br =

66’
43867
Bo =
798

1
Bị — — ,
42’
B,

(1.2.9)

—

1
M

x ) = 1,

1
B, = ^
30’
3617
B
8
510 ’

ỊP Á x ) = x ~

1

ị

V Á X) = X2 -

x + 0,

1\
3 3 2 1
< w ) = x \x - l)(z - - ) = X - -X + -X,

1 2 10)

( . .

= x4 - 2x3 + X2 - i ,

(p5(x) = x(x - l)(x - ị ) { x 2 - X - ị ) = X5 - ị x 4 + ị x 3
. .

,.

5

â

1

,

1
—X,
6 ’

1

ự>e(x) = ar —3x5 + -X4 — - X 2 + — X.
v w
2
2
42
2. Đạo hàm và tích phân
Đạo hàm (1.2.5), ta thu được

d
ipn(x) =
dx

n —1

Cn(n - k)ípkxn~k~l = mpn-i(x)

(1.2.11)

k=0

và
dp
dxp
_

n!
(n - p ) \

) = 7 - ----- - 7 7 *1ữ n - p { z ) -

17

( 1 . 2 . 12 )


thay n bằng n + 1 trong (1.2.11) và lấy tích phân ta có
X

Ị y>n{y)dy =

1
[n+ 1

-

(1.2.13)

y>n + l ( o ) ] .

a

3. Dạng sai phần
ip0(x + 1) = (pQ{x),

ụ>i(x + 1) =

n{x) + nxn 1,

+ 1,
(1.2.14)

n > 2.

Công thức (1.2.14) có thể được chứng minh như sau. Từ (Ị1.2.1D ta có
ị e ( x + l )i

00

1 =

ịTi
£71

ị^xt

1Vn{x + 1) = teXt +
' n\
71 = 0

00

1

£71 +

1

n!

00

-xn +

£71

— ,y> n {x).

' n\
71=0

So sánh các hệ số của tn trong chuỗi trên ta thu được (1.2.14).
Ạ. Công thức lấy phần bù
ipn(l - x) = ( - l ) nipn(x).

(1.2.15)

Thật vậy, từ (Ị1.2.1D ta có
í e ( l- x ) t

et — 1

_ °°

+71

_ °°

,< p * i( l

71 = 0

' n\

- x ) =

_

e * —1

=
71 = 0

( _ f \ n

'

^Ị-V n ix ).

n\

So sánh các hệ số của tn trong chuỗi trên ta thu được (1.2.15).
5. Công thức cộng Thay

X

trong (Ị1.2.1Ị) bởi

ị e (x+y)t

00 tn
' n\
71 = 0

X

J 2 ~ ,V n { x +

e* — 1

+ y ta có
y)-

Nhưng vế trái bằng với
teyt
el — 1 e“ =

°°

+ fc

°°

^ » (s) E
fc=0

■

í= 0

p

+71

li1' = E

£ E

■

18

71=0

"

■ fc=0

c nV*(») X

n —k


do đó ta có công thức cộng:
n

(1.2.16)

y>n{x + y) = J 2 c ÍVk(y)xn~kk=0
6. Công thức tổng
Ta có
m

Wn+1 {m + \)-Ệ
‘*=
n

+
1
s=

n + lị ì

n > 1.

(1.2.17)

1

Thật vậy, từ (1.2.14) ta có
sn =

1
[ < P n + l( s
n+ 1

+

1) -


Hơn nữa, chúng ta còn có công thức tổng cho một số hàm:
Từ (1.2.3) ta cũng thu được công thức khai triển đối với hàm cot :
t

t

it

B

e ư / 2 + e ~ it! 2

I‘ I <*T.
71 = 1

'

a - 2'18»

'

và công thức khai triển đối với hàm tan :
t
t
- tan

2

2

t

2

— — ỉ p ^ í 2n,

c o t- - ícotí = V

2

^

71= 1

'

2n)!'

|í|<7ĩ.
11

v(1.2.19)!

Kết hợp (1.2.18) và (1.2.19) ta thu được công thức khai triển cho hàm
2i
CSC : (ở đây cscz =
= %z _ y —ĨZ z e C )
Sin z
eế* —z
t
t
t
t
t CSC t = - cot — I— ta n 2

2

2

2

oo

2(22n — l ) B n^2n
t 2n,
(2
n)\
n= 1

1+Ệ

19

|í| < 7T.

( 1 .2 .20 )


1.2.2. Đ a thứ c Euler và các số Euler
Các đa thức Euler En(x),

n =

0 , 1 , 2 , ...

được cho dưới dạng khai triển

như sau:
2exi
é

00

fn

1 2 21)

( . .

+ 1
71 = 0

Hàm ở vế trái được gọi là hàm sinh của các đa thức Euler. Chuỗi hội tụ
nếu \t\

< 7Ĩ

vì điểm kì dị gần nhất của hàm tính từ t
1

,

= 0

là t

=

± 7 iứ .

,_______ .

Đặt X = - , vế trái của fll.2.2ip là một hàm chẵn theo t và do đó
không có các lũy thừa các bậc lẻ theo t được trình bày theo chuỗi ở vế
phải. Vì vậy, ta có
2exi
t
ỹ ( - l )nEn, t 2
= see - =
2 ĩn =-0 (2
et + 1
n)Ị
y2’ ’
v
’

1 2 22)

( . .

trong đó En = (—l ) n22n^ 2n(|) được gọi là các số Euler. Đôi khi ta kí
hiệu các số Euler là En = 2nEn(ị)] khi đó E2n+1 = 0 và E2n à đây bằng
( - 1 Ỵ E n.
Tiếp theo ta trình bày các tính chất cơ bản của đa thức Euler và các
số Euler. Chứng minh các tính chất đó tương tự với các tính chất ở mục

1.1.1 của đa thức và các số Bernoulli.
1. Biểu diễn tường minh của đa thức Euler và công thức truy hồi cho
các số Euler
Vế trái của (1.2.21) có thể được khai triển thành
2e./y.-ử )<

e‘ + l

^

^
k= 0

(-!)*£„ t

(2k)<
V
v
'

(x - ị y
^

1=0

L.

= Ẻ £ E L ^ C Ỉ* (* k=0

■ k= 0

20

2 tl

(1.2.23)