Luận văn thạc sĩ phương pháp sai phân giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NGỌC CHI

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐŨNG
PHƯƠNG TRÌNH ĐAO HÀM RIÊNG
a

LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2015


B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NGỌC CHI

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐŨNG
PHƯƠNG TRÌNH ĐAO HÀM RIÊNG
a

Chuyền ngành: Toán Giải tích
Mã sổ : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hùng

HÀ NỘI, 2015

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà
Nội 2, phòng sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường, các thầy cô giáo
dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho
tôi kết thúc tốt đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin bầy tỏ lòng biết ơn tới thầy giáo TS .Nguyễn Văn Hùng, người
đã luôn quan tâm động viên, tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình làm luận
văn.
Tác giả trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và đào tạo Bắc Ninh, trường
THPT Lý Thái Tổ, gia đình, bạn bè đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong
quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2015

Nguyễn Thị Ngọc Chi


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan bản luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 11 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Thị Ngọc Chi

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
MỞ ĐẦU............................................................................................................1
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC c ơ BẢN.............................................................3
1.1. Sai phân................................................................................................3
1.1.1. Định nghĩa.......................................................................................3
1.1.2.

Tỉnh chất của sai phân....................................................................5

1.2. Phương trình sai phân tuyến tính..................................................... 8
1.2.1. Định nghĩa.......................................................................................8
1.2.2. Nghiệm.............................................................................................9
1.3. Tuyến tính hoá..................................................................................... 21
1.4. Sai s ố .................................................................................................... 25
1.4.1. Định nghĩa....................................................................................... 25
1.4.2. Quy tắc làm tròn............................................................................. 26
1.4.3. Sai số tỉnh toán................................................................................ 27
1.4.4. Bài toán ngược của bài toán sai sổ...............................................29
CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GÀN ĐÚNG
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG...................................................... 31
2.1. Phương pháp sai phân giải phương trình Elliptic..........................31
2.1.1. Bài toán biên Dirichlet....................................................................31
2.1.2. Những bước đi chính trong việc sai phân hoả bài toán biên
Dirichlet..................................................................................................... 31
2.2. Phương pháp sai phân giải phương trình Parabolic....................46
2.2.1. Bài toán biên của phương trình Parabolic.................................. 46

2.2.2. Những bước đi chính trong việc sai phân hoả bài toán (2.45),
(2.46)............................................................ !..............................................47
2.3. Phương pháp sai phân giải phương trình Hyperbolic....................57


2.3.1. Bài toán...........................................................................................57
2.3.2. Những bước đi chính trong việc sai phân hoá bài toán Hyperbolic.
.......................................................... .........!..................................!..........58
CHƯƠNG 3: GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
BẰNG MÁY TÍNH.........................................................................................61
Ví du 3.1. Giải bài toán:............................................................................... 61
•

Ví dụ 3.2. Tìm nghiệm của bài toán Dirichlet.............................................64
Ví dụ 3.3. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình:..................................68
Ví dụ 3.4. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình Parabolic:................. 69
Ví dụ 3.5. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình:..................................72
Ví dụ 3.6. Giải phương trình Hyperbolic.................................................... 76
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ....................................................................... 78
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................ 79


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đè tài
Phương trình đạo hàm riêng thường xuyên xuất hiện trong các bài toán
ứng dụng của lí thuyết thủy động học, cơ học lượng tử, điện học- từ trường.
Đa số các bài toán này rất phức tạp, không có phương pháp giải đúng. Nhiều
bài toán không có nghiệm theo nghĩa cổ điển, vấn đề tìm nghiệm đúng của

các phương trình đạo hàm riêng không thể và cũng không cần trong mọi
trường họp. Bởi yậy ta dẫn đến việc tìm nghiệm gần đúng của các phương
trình đạo hàm riêng và cũng từ đó xuất hiện các phương pháp giải gần đúng
các phương trình đó. Trong số các phương pháp giải gần đúng phương trình
đạo hàm riêng thì phương pháp sai phân (còn gọi là phương pháp lưới) được
sử dụng phổ biến nhất.
Mục đích chính của phương pháp sai phân là đưa bài toán phương trình
đạo hàm riêng về bài toán rời rạc trên các điểm lưới, đặc biệt là xung quanh
các điểm kì dị hoặc các điểm biên để đưa bài toán đang xét về hệ phương
trình sai phân và việc tìm nghiệm bằng số của bài toán chuyển về việc giải hệ
phương trình đại số bằng các phương pháp đúng hoặc gần đúng.
Tuy nhiên ngày nay chúng ta ngày càng tăng cường việc ứng dụng công
nghệ thông tin vào việc dạy và học toán. Và một trong những công cụ hữu
hiệu để giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng là phần mềm Maple.
Từ nhu cầu thực tiễn như vậy với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về
phương pháp sai phân và phần mềm Maple giải gần đúng phương trình đạo
hàm riêng, được sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hùng em đã chọn đề tài
nghiên cứu: “PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐỦNG PHƯƠNG
TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG” để thực hiện luận văn tốt nghiệp của mình.


2

2. Mục đích nghiền cứu
Luận văn nghiên cứu phương pháp sai phân giải gần đúng phương trình
đạo hàm riêng.
3. Nhiệm vụ nghiền cứu
Nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là:
- Các kiến thức cơ bản về sai phân.
- ứng dụng của sai phân trong việc giải gần đúng phương trình đạo hàm

riêng.
4. Đổi tượng và phạm vi nghiền cứu
Các kiến thức cần thiết về sai phân, phương trình đạo hàm riêng.
5. Phương pháp nghiền cứu
Sử dụng kiến thức của giải tích số và phương trình đạo hàm riêng để
nghiên cứu
6. Đóng góp của luận văn
Trình bày một cách có hệ thống về ứng dụng sai phân trong việc giải
phương trình đạo hàm riêng.
Sử dụng phần mềm Maple giải gần đúng một số phương trình đạo hàm
riêng.


3

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC c ơ BẢN
1.1. Sai phân
Xét dãy số {xn}; dạng khai triển của nó là:
{ * 0, X 1 >x 2> ■■■>x n> ■■■}•

Thí dụ, dãy số tự nhiên kí hiệu là N có dạng

dãy số nguyên dương z +có dạng {n} = {1,2,..., n , ...}; dãy số điều hoà

Có thể xem dãy số là một hàm của đối số nguyên n.
Kí hiệu x(n ) = xn.
1.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi sai phân hữu hạn cấp 1 của hàm số x(n ) = xn
với n e Z: {n} = {0, +1, +2,..., +71,...} (hoặc 71 e z +, hoặc 71 e N) là hiệu:

Thí dụ, hàm xn cho dưới dạng bảng
71

0

3

2

3

4

4

7

6

Có sai phân hữu hạn câp 1 là
Ax0 =

X 1 — X Q=

3 —1 = 2;

Ax2 = x 3 — x 2= 7 —4 = 3;

Ax1 = x 2 — x ±= 4 —3 = 1;
Ax3 = x4 — x 3= 6 —7 = —1;

4

Từ đây về sau, nếu không có gì nhầm lẫn với tỷ sai phân, ta gọi tắt sai
phân hữu hạn cấp k là sai phân cấp k, còn sai phân cấp 1 gọi tắt là sai phân.
Định nghĩa 1.1.2. Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm xn là sai phân của sai
phân cấp 1 của xn, và nói chung, sai phân cấp k của hàm x nlầ sai phân của sai
phân cấp k — 1 của hàm số đó.
Như yậy, sai phân cấp 2 của hàm xn là
ầ 2xn = A(Axn) = ầ xn+1 - ầ xn = xn+2 - x n+1 - (xn+1 -

Xn)

~ %n+2 —2xn+i + Xn\
Sai phân cấp 3 của hàm xn là
A xn

A(A xn~)

A Xn + 1

2 + X n +1

~ %n+ 3

~

X-n+3

A xn
( Xn+2

2 x n + ^-ị-Xn)

~ 3xn+2 + 3xn+1 — xn.

Nói chung, sai phân cấp k của hàm xn là
Akxn = A(Ak~1xn') = Ak~1xn+1 - Ak~1xn =

= Ỵ J C - I ỹ c i x n+I, _ i
i=0

trong đó
kị
Ck ~ i \ ( k - i ) \
Từ công thức (1.1), suy ra một số tính chất của sai phân sau đây.

( 1 .1)


5

1.1.2. Tính chất của sai phân
Tính chất 1.1.1. Sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trị của
hàm số.
Chứng minh. Đe chứng minh tính chất 1.1.1, ta chứng minh công thức
( 1. 1).

Thật yậy, với k = 1, ta có ầxn = xn+1 — x n =

c°xn_±— CỊxn

Giả sử (1.1) đúng với k, có nghĩa là
k
Ak*n =

c lk x n + k - ũ

i=0
ta chứng minh (1.1) đúng với k + 1 tức là
ầ k+1x„ = ầ kxn+1
■
n-n+1 — ầ kx„
'n'n =
k

k

= ^ ( — l)1Cỉcx n + l + k - i ~ ^ ( — l)1Cỉcx n + k - i

i=0

i=0

Trong tổng thứ hai ta đổi chỉ số i = i' — 1, sau đó thay i' bằng i, ta được
k

k+1

^ ( - 1 ỳ c ị x n + k - i = ^ ( - l ) í,~1 Cfc_1Cfc_1*n+fc-i' =

i=0

i' =1
/c+1
i=l

Bởi vậy
k

Ak+Ixn = Y í
i=0

k-1
- ư

c lk x n + k + l - i + Ỵ j í ~ Ư C lk ~ 1 x n + k + l - i +

i=1

( - l ) k+1*n


6

k

k

^ ' c~

C k x n + k + l - i T" x n + k + l T"

ly^k 1 x n + k + l - i

i=1

i=1
+ í - l ) k+1xn =
k

l)l(£fc

=

^k

1) x n + k + í - i + x n + k + l - i + (— l)k+1^n =

i=1
k

= ^ ' ( - l y C k ^ n + k + l - i "I" -^n+k+1 "I" ( —1)

—

i=1
k+1
=

( —l ) l C^ ^ n + k + l- i -

i=0
Theo quy luật quy nạp, công thức (1.1) đúng với mọi giá trị n nguyên
dưcmg.
Tính chất 1.1.2. Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến tính.
Chứng minh. Ta phải chứng minh
Ak (axn + byn) = aầkxn + bầkyn, k = 1,2,...
Thật vậy theo (1) ta có
k

Ak(axn + byn) = ^ ( - l ỹ c l{a x n+k_i + byn+k_i)
i=0
k

k

^ ( - l ý c lk axn+k_i + y ( - l ý c lkbyn+k_i =
i=0

i=0


7

k

k

= a Ỵ i - l ý c lkxn+k_i + b ^ ( - l ý c lkyn+k_i = aầkxn + bầkyn.
i =o

i=0

Tính chất 1.1.3. Sai phân cấp k của đa thức bậc m là
1. Đa thức bậc m — k nếu k < m
2. Hằng số nếu k = m
3. Bằng 0 khi k > m.
Chứng minh. Theo tính chất 1.1.2, sai phân mọi cấp là toán tử tuyến tính,
nên ta chỉ việc chứng minh cho đơn thức Pm (n) = nm là đủ.
1. Ta có, Âmn = (n + l ) m —nm = c°l + c^n-ì----- f c™nm - nm =
= c

+ chn+ ••• +

= pm-i(n ).

Giả sử tính chất này đúng với k = s < m, ta chứng minh nó đúng với
k = s + 1 < m.
Thật yậy,
As+1nm = A(Asnm) = As(n + l ) m - Asn m = APm_s(n) = Pm_s_i(n)
2. Khi k = m, theo chứng minh trên ta có
Amnm = Pm- m(n) = PQ(n) =

c = const;

3. Khi k > m, ta có
Akn m = Ak~mAmnm = Ak~mc = Ak~m~1AC = 0.
Tỉnh chất 1.1.4.

N

^
n=a

Akxn = Ak~1xN+1 - Ak~1x a

với k e z +.


8

Chứng minh.
N

N

ầ kxn = y
n=a
= ầk

n=a

1x a+1 — ầ k

1X a + ầ k 1X a + 2 — ầ k 1X CL+1 + -

+ ầ k 1X N+1

- ầ k ~ 1X N = ầ k ~ 1X N+1 - ầ k ~ 1X a .

Đặc biệt lưu ý trường họp k=l, ta có
N

^ ’ Ax n ~ %n+ 1
n=a

xa.

1.2. Phương trình sai phân tuyến tính
1.2.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.2.1. Phương trình sai phân tuyến tính là một hệ thức tuyến
tính giữa sai phân các cấp:
F

A xn, ..., A x n~)

0

trong đó, xn hiểu là sai phân cấp 0 của hàm x n; cấp lớn nhất của sai phân (ở
đây là bằng k), là bậc của phương trình sai phân tuyến tính.
Do tính chất 1.1.1 của sai phân, sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua
các giá trị của hàm số, nên người ta thường dùng định nghĩa 1.2.2 sau đây
tương đương với định nghĩal.2.1, nhưng thuận tiện hơn.
Định nghĩa 1.2.2. Phương trình sai phân tuyến tính của hàm xn là một
biểu thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm xn tại các điểm khác nhau:
( 1.2)


9

trong đó Lh là kí hiệu toán tử tuyến tính tác dụng lên hàm xn, xác định trên
lưới có bước lưới h; aũtal t ... ,a k với a 0 ^ 0, ak ^ 0 là các hằng số hoặc các
hàm số của 71, được gọi là các hệ số của phương trình sai phân; fn là một hàm
số của 71, được gọi là vế phải; xn là giá trị cần tìm được gọi là ẩn.
Phương trình (1.2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính bậc k, vì
để tính được tất cả các giá trị xn, ta phải cho trước k giá trị liên tiếp của xn,
rồi tính các giá trị còn lại của xn theo công thức truy hồi.
Định nghĩa 1.2.3. Nếu fn = 0 thì (1.2) được gọi là phương trình sai phân
tuyến tính thuần nhất.
Nếu /n í 0 thì (1.2) được gọi là phương trình tuyến tính không thuần
nhất.
Nếu fn = 0 và aũtalt ...,ak là các hằng số, a 0 & 0, ak & 0 thì phương
trình (1.2) trở thành
Lfix n ~ a 0x n+k "h a l x n + k - l + ■■■ + a k x n ~ 0

(1 '3 )

và được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc k với các hệ số
hằng số.
1.2.2. Nghiệm
Hàm số xn biến

71,

thoả mãn (1.2) được gọi là nghiệm của phương trình

sai phân tuyến tính (1.2).
Hàm số xn phụ thuộc k tham số, thoả mãn (1.3) được gọi là nghiệm tổng
quát của (1.3); nếu với mọi tập giá trị ban đầu

X Q,

xl t ... ,x k_1 , ta đều xác

định được duy nhất các tham số C1, c2, ..., ck để nghiệm xn trở thành nghiệm
riêng của (1.3), tức là vừa thoả mãn X Q = Xq, ^ = x l t ..., x k_1 = x k_1.


10

Định lí 1.2.1. Nghiệm tổng quát xn của (1.2) bằng tổng xn và Xn, với Xn
là một nghiệm riêng bất kì của (1.2).
Chứng minh. Thật yậy, giả sử xn và Xn là 2 nghiệm của (1.2), tức là
Lfix n ~ fn> ^hx n ~ f n •

Do Lh tuyến tính, nên
Lfix n

Lhx n ~ ^ h i x n

x n ) — ^5

tức là xn — Xn thoả mãn (1.3) và do đó nghiệm tổng quát
xn — xn

xn => xn — x n + xn. .

Định lí 1.2.2. Nếu xn l,x n2, —,x nk là k nghiệm độc lập tuyến tính của
(1.3), tức là từ hệ thức

^1^-nl
suy ra

c±= c2 =

••• =

ck =

c2xn2 + ■■■+ Cikxnk = 0
0, thì nghiệm tổng quát xn của (1.3) có dạng

xn = Clxnl T" C2Xn2 + ••• + Cík xnk,
trong âỏc1,c2,...,ck là các hằng số tuỳ ý.
Chứng minh. Theo tính chất tuyến tính của Lh, ta có
k

Lhxn

Lh ^ ' Cị x nị
i=1

k

^ ' Cị Lhxni
i=1

vì theo giả thiết xni là nghiệm, tức là Lhxni = 0.
Vậy xn là nghiệm của (1.3).

0


11

Giả sử, x 0, x lt ...,xk_1 là các giá trị ban đầu tuỳ ý. Ta chứng minh rằng,
có thể xác định duy nhất các hằng số c1,c 2,...,c k để

X Q = X Q, X 1 =

x lt ...,xk_1 = x k_x. Điều này có nghĩa là hệ
C2X02 + — I- Ckx Qk = X q
^1*11 "h ^2*12 "h ''' T" Ckx xk —x x

'C i * o i +

£ l x k - 1,1 T" C 2 x k - 1 , 2 + ■■■ + C k x k - l , k — x k -1

CÓnghiệm duy nhất c1>c2,..., ck với mọi vế phải X Q, xx, ..., x k_x.
Muốn yậy, định thức
*01
A= *11
*fc-l,l

*02
*12

...

X ok

...

x lk

*fc-l,2

■■■

x k-l,k

phải khác 0. Điều này suy ra từ tính độc lập tuyến tính của các vectơ nghiệm
x nl> x n2> ■■■>x n k •

Bây giờ ta chuyển sang tìm nghiệm xn của (1.3) và Xn của (1.2). Vì
phương trình thuần nhất (1.3) luôn có nghiệm xn = 0, nên để tìm nghiệm
tổng quát, ta tìm xn của (1.3) dưới dạng xn = CĂn, c

0, A

0. Thay

xn = CĂn vào (1.3) và ước lược cho CĂn ^ 0 ta được
L ị ị À — CLqÀ

+ CLXÀ

+ ••• +

CLk — 0

(1.4)

Phương trình (1.4) được gọi là phương trình đặc trưng của (1.3) (người ta
cũng xem là phương trình đặc trưng của (1.2)). Nghiệm xn của (1.3) và Xn
của (1.2) phụ thuộc cốt yếu vào cấu trúc nghiệm của (1.4).


12

I.2.2.I. Nghiệm tổng quát xn
Định lý 1.2.3. Nếu (1.4) có k nghiệm thực khác nhau là Ai,¿ 2 , ...,Ẫk thì
nghiệm tổng quát xn của (1.3) có dạng
k
xn = CXẰ1 + C2Ằ2 + — f clk 4 = ^
i=1
trong đó Cị, i = 1,..., k là các hằng số tuỳ ý.
Chứng minh.
Ta có
k
Lh^n = ^
i=1
VÌ LhÀ™ — ÀỸ(a0Ài + a±Äi 1 + —

= 0

a k) —0 (theo (1.4))

Ta lại có
1

A=
ik—1

1
^2
2k—1
A2

...
...

1
Ẩk
—Yỉk>i>j>lí^i
2
k—
1
... Ak

Jj) ^ 0.

Vì Ăị ^ yíý Vi,ỹ. Định thức A trong truờng hợp này là định thức Văng-đécmông cấp k.
Theo định lý 1.2.2,
k

*„= £ Mí
i=l
là nghiệm tổng quát của (1.3).

13

Neu phương trình đặc trưng (1.4) có nghiệm thực Ăj bội s, thì ngoài
nghiệm Xj, ta lấy thêm các vectơ bổ sung n X j,n 2Xj, ...,n s~1Ăj, cũng là các
nghiệm độc lập tuyến tính của (1.3) và do đó
k

s-l

*„ = 2 c> ‘An + £ Ci%.
i=0
7*1=1
trong đó Cj và Cị là các hằng số tuỳ ý.
V/ dụ: Phương trình sai phân
x n+ 3

7xn+2 + 16xn+1

12xn — 0

có phương trình đặc trưng là
Ã3 - 7Ắ2 + 1 6 Ắ - 12 = 0
có các nghiệm Ảị = 2 (kép) và /l2 = 3. Đối với Ạ]_ = 2 (kép) ngoài nghiệm
XI = 2n, ta bổ sung thêm nghiệm nXf = n2n và được nghiệm tổng quát là
xn = (Cỉ + c ịn )2 n + c23n
trong đó c \, c ị, c2 là các hằng số tuỳ ý.
Neu phương trình đặc trưng (1.4) có nghiệm phức
Ăị = CL +

bi

=

r(cos
+

isimp ),

trong ầỏ r = \Ảị \ = Va2 + b2, (Ọ = acgumenĂị, có nghĩa \ầtg

(1.4) cũng có nghiệm liên hợp phức Ăt =

CL — bi

= r(cos

ta có Ăỹ = r n (cosn(p + isinnq)); Ă™ = r n (cosn(p — isinnạ}) là các nghiệm
của (1.3).


14

Ta lấy

x\\j = - [Xị + Ăj n) = r ncosnx ịj

+ Àĩ n) = r nsinn(p

làm các nghiệm độc lập tuyến tính của (1.3), khi đó

k
xn = ^

CịẨ? + r n (Cỷcosn

j * i =1

trong đó Cị, cỳ, cf là các hằng số tuỳ ý.
Vỉ dụ: Phương trình sai phân
x n+ 3 — 5xn+ 2 "h 8xn+1

—6xn

có phương trình đặc trưng
Ã3 - 5Ã2 + 8 Ầ - 6 = 0
phương trình đặc trưng có các nghiệm Ầị = 3, /L2 = 1 + i, À2 = 1 — i; với
i2 = - 1 , ta có r = V l + 1 = V2, tg

xn = c±3n + (V2 ) n(C2 cosn—+ c ^ sin n —)
4
4
trong đó Cr ,C\, c ị là các hằng số tuỳ ý.
Neu phương trình đặc trưng có nghiệm phức Ảị bội s, thì nó cũng có
nghiệm liên hợp phức Ăt bội s; trong trường họp này, ngoài nghiệm Ảji —
r ncosnĂj2 = r nncosnq),Ăj3 = r nn 2cosn(p, ...,Ảjs = r nn s~1cosn
Ăj2 = r nnsinrưp,Ăj3 = r nn 2sinnự),... ,ẢjS = r un s~1sinn(p


15

và theo định lí 1.2.2, ta có
k
xn = ^

CịĂỸ + r n [(i41 + A2n + — I- i4sn s-1)cosn
j* i=1

+ (B1 + B2n + — I- Bsn s~1)sinn(p]
trong đó Ci,A 1,A 2, ... ,A s,B1,B 2, ...,B s là các hằng số tuỳý.
Ví dụ: Phương trình sai phân
x n+ 6

3 £ n + 5 "h 4 x n + 4

b£ n + 3 + 5 ^ n+2

3 ^ n+1 + 2 z n — 0

CÓphương trình đặc trưng
Ã6 - 3Ã5 + 4Ắ4 - 6Ã3 + 5Ắ2 - 3Ắ + 2 = 0.
Phương trình đặc trưng có các nghiệm Ảị = 3, Ă2 = 2, Ă3 = i (kép),
Ằ3 = - i (kép), với i2 = - 1 .
Ta có r = 1, (Ọ =

và

+ c2.2 n + (A± + A2n ) c o s ^ - + (B± + B2ri)sin
trong đó C1, C2,A 1,A 2,B 1,B 2 là các hằng số tuỳý.

1.2.2.2. Nghiệm riêng X*
Phương pháp chung để tìm nghiệm riêng Xn của phương trình sai phân
tuyến tính không thuần nhất (1.2) là xây dựng hàm Grin.
Sau đây là một số trường hợp đặc biệt, có thể tìm

đơn giản hơn và

nhanh hơn. Các dạng đặc biệt này của x*n là chuyển tương ứng từ các dạng
đặc biệt của phương trình vi phân thường. Để xác định các tham số trong các


16

dạng nghiệm này, người ta dùng phương pháp hệ số bất định (còn gọi là
phương pháp chọn).
a. Trường hợp f n là đa thức bậc m của n; m e N
fn = Pm(rO'

me N

1. Nếu các nghiệm Ấy,Ẳ2 , —,Ảk là các nghiệm thực khác 1 của phương
trình đặc trưng (1.4), thì
xn = Qm(.n)>

m eN

Qm(n) là đa thức cùng bậc m với fn.
2. Nếu có nghiệm /1 = 1 bội s, thì
xn = n sQm(n)>

me N

trong đó Qm (n) là đa thức của 71 cùng bậc m với f n.
Vỉ dụ: Tìm nghiệm riêng Xn của các phương trình sai phân:
!• ■*'71+3

^xn+2 T" 16^-n+l

12^n

71 + 1

2- x n+4 — x n+ 3 — 3 x n+2 + 5 x n + l ~ ^ x n ~

Lời giải
1. Phương trình đặc trưng yl3 —7Ẩ2 + 16Ẩ —12 = 0 có nghiệm Ảỵ = 2
(kép), Ầ2 = 3 đều khác 1. Do vậy ta tìm

= an + b vì fn = 71 + 1 là đa

thức bậc 1.
Đe xác định a và b, ta thay Xn vào phương trình sai phân rồi so sánh các
hệ số của các luỹ thừa của 71 ở 2 vế:
a(n + 3) + b — 1 [a(n + 2) + b] + 16[a(n + 1) + b] — 12 (an + b)
= 71+1
Từ đó với hệ số 71 ta có
1
—2 a = 1 => a = ---2

17

với hệ số tự do ta có
5a - 2Ồ = 1 => ồ = -

7

4

Vậy
1

7

*í = - ĩ B -4 2. Phương trình đặc trưng /l4 —/l3 —3/ỉ2 + 5/1—2 = 0, có các nghiệm
Ảy = 1 (bội 3) và Àz = - 2 , nên do fn = 1 là đa thức bậc 0, ta phải tìm
nghiệm Xn = n 3. a.
Thay X* vào phương trình sai phân, ta được
a(n + 4)3 - a(n + 3)3 - 3a(n + 2)3 + 5a(n + l ) 3 - 2an3 = 1.
Vì 2 đa thức bằng nhau, khi chúng bằng nhau với mọi giá trị của đối số,
1
1
nên cho n = 0, ta được 18a = 1 => a = Yg. Vậy x*n = ĩg

•

b. Trường hợp fn = Pm (n)Pn, trong đó Pm (n) là đa thức bậc m của n;
m e N.
1. Nếu các nghiệm của phương trình đặc trưng (1.4) đều là các nghiệm
thực khác /?, thì Xn có dạng

* ; = Qm (n)/?n,
trong đó Qm (n) là đa thức cùng bậc với fn.
2. Nếu (1.4) có nghiệm Ả = (ỉ bội s, thì tìm Xn dưới dạng
Xn = n sQm(n )p n,
trong đó Qm (n) là đa thức của n cùng bậc với fn.
Vỉ dụ: Tìm các nghiệm riêng x*n của các phương trình sai phân không
thuần nhất sau đây:


18

!• %n+4

^-®^n+3 "1" 35xn+2

2. x n + 3 -

7 x n+2

S^^-n+1 "T24£n

48.5

+ 16xn+1 - 12xn = 2n (24 - 24n).
Lời giải

1. Phương trình đặc trưng Ắ4 —10Ằ3 + 35Ã2 —50/1+ 24 = 0 có các
nghiệm Âi = 1,Ã2 = 2, Ã3 = 3, Ã4 = 4 đều khác 5; Pm(n) là đa thức bậc 0,
nên tìm xỊl = a. 5n. Thay vào phương trình sai phân và giản ước 2 vế cho
5n ^ 0, ta được

a. 54 - 10a. 53 + 35a. 52 - 50a. 5 + 24a = 24a = 48 => a = 2.
V ậy*; = 2. 5n.
2. Phương trình đặc trưng Ă3 — 7/ỉ2 + 16/1 —12 = 0 có nghiệm Ạ]_ = 2
(kép), Ả2 = 3; pm(n) = 24 - 24n là đa thức bậc 1, do yậy phải tìm Xn =
n2(an + b). 2n. Thay vào phương trình sai phân và giản ước 2 vế cho 2n +
0, ta được
8[a(n + 3) + b](n + 3)2 - 28[a(n + 2) + b](n + 2)2
+ 32[a(n + 1) + b](n + l ) 2 - 12[an + b]n2 = 24 — 24n
so sánh các hệ số của các luỹ thừa n ở 2 vế ta được:
ị —24a = —24
l 2 4 a - 8b = 24
giải hệ này ta được a = 1, b = 0 và Xn = n 2.2 n.
c. Trường hợp f n = acosnx + Ịỉsinnx với a, p là hằng sổ
Trong trường hợp này nghiệm riêng x*n được tìm dưới dạng
Xn = acosnx + bsinnx


19

Vỉ dụ: Tìm nghiệm riêng X* của phương trình sai phân:
x n+ 3

2*n+2

x n+1

,
.
nn _
ĨITĨ

+ 2xn = [2 - V2)cos — + 2sin — .
Lời giải

Tìm X* dưới dạng:
nn
ĨITĨ
x t = acos-----1- bsin —
4
4
Thay X* vào phương trình sai phân và rút gọn, ta được
[(2 - ypĩ)a — 2b]cos — + + [2a + (2 - V2)b]sin — =
ĨITĨ _
ĨITĨ
= [2 — \ 2 ) c o s — + 2s in — .
v
'
4
4
So sánh hệ số của cos

và sin

ở 2 vế, ta được

(2 - yÍ2)a - 2b = 2 - yp2
2a + (2 - V2)b = 2
Giải hệ này, ta được a = 1,b = 0 và

__ nn
= cos'^f.

d. Trường hợp fn = fnl + fn 2 + - + fnsTrong trường họp này ta tìm nghiệm riêng x*ni ứng với từng hàm f ni,i =
1,2,

Nghiệm riêng Xn ứng với hàm fn sẽ là Xn = Xni + x *2 + ... +

Xns,

do tính tuyến tính của phương trình sai phân.

Vỉ dụ: Tìm nghiệm riêng X* của phương trình sai phân:
X.n+4

^xn+3 4" 3x■
n+2

3x.n + 1 +2xn -