Luận văn thạc sĩ xấp xỉ khung gabor đối ngẫu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PH Ạ M HÀ NỘI 2

H O À N G T H Ị B ÍC H T H Ủ Y

XẤP x ỉ KHUNG GABOR Đ ố i NGẪU

LUẬ N VĂN THẠC s ĩ TO Á N HỌC

H À N Ộ I, 2015


BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO
T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌC s ư P H Ạ M H À N Ộ I 2

H O À N G T H Ị B ÍC H T H Ủ Y

XẤP x ỉ KHUNG GABOR Đ ố i NGẪU
C h u y ê n n g à n h : T o á n giải t íc h
M ã số : 60 46 01 02

LU Ậ N VĂN THẠC s ĩ TO Á N HỌC

N g ư ờ i h ư ớ n g d ẫ n k h o a học:
TS. N G U Y Ễ N Q U Ỳ N H N G A

H À N Ộ I, 2015


Lời cảm ơn
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cô giáo T S . N g u y ễ n

Q u ỳ n h N g a đã tận tâm truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tôi hoàn
thành luận văn này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.

Hà Nội, tháng 7 năm 2015
T ác giả

H o à n g T h ị B íc h T h ủ y


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự chỉ bảo và hướng dẫn của T S . N g u y ễ n Q u ỳ n h N ga.

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tôi đã kế thừa
những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 1 năm 2015
T ác giả

H o à n g T h ị B íc h T h ủ y


M uc luc

M ở đầu

3

1

K iến th ứ c chuẩn bị

6

1.1

Toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian H i l b e r t ..............

6

1.2

Toán tử giả nghịch đ ả o .................................................................

8

1.3

Phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Fourier thòi gian ngắn 10

1.4

Khung và cơ sở Riesz trong không gian H i l b e r t .....................

2

11

X ấ p xỉ kh un g G ab or đối ngẫu

25

2.1

Khung Gabor trong L 2(K)

..........................................................

25

2.2

Phương pháp lát cắt hữu h ạ n .......................................................

31

2.3

Xấp xỉ khung Gabor đối ngẫu

34

K ết luận
Tài liệu th a m khảo

....................................................

49
50


3

M ở đầu
1. Lí do chọn đ ề tà i
Khái niệm khung được đưa ra vào năm 1952 bởi Duffin và Schaeffer [6]
khi họ nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa. Tuy nhiên phải đến năm
1986 sau bài báo của Daubechies, Grossmann và Meyer [4] thì khung mới
nhận được sự quan tâm rộng rãi của cộng đồng các nhà khoa học. Khung
thường được sử dụng trong xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, nén dữ liệu và trong
lý thuyết m ật mã.
Một khung

trong một không gian Hilbert H có tính chất là mọi
00

phần tử / G H đều có thể biểu diễn dưới dạng / =

CLifi trong đó
í= 1
{dị} G /2(N), thường được gọi là các hệ số khung. Các hệ số khung không

duy nhất như đối với trường hợp cơ sở. Một trong những lựa chọn cho các
hệ số khung là ữị = ( / , S'- 1 /ị) trong đó s là toán tử khung tương ứng với
khung

1 được xác định bởi

00

s:

->

s / :=£</,/(>/,

(1)

i=1
Ta có khai triển khung sau
00

í= 1

00

í= 1

{5'_ 1/ ị } ° ° 1 thường được gọi là khung đối ngẫu của khung

Nếu

ta có thông tin về khung đối ngẫu {*S'_ 1/ ị } 0° 1 thì theo (2) ta có thể khôi


4

phục lại / . Tuy nhiên, trong thực tế khó tìm toán tử nghịch đảo S _1 do s

thường tác động trên không gian vô hạn chiều H . Do đó chúng ta mong
muốn tìm xấp xỉ khung đối ngẫu bằng các phương pháp hữu hạn chiều.
Một khung Gabor trong L 2(K) là khung được tạo thành từ một hàm
g G L 2(K) nhò các phép tịnh tiến và biến điệu, tức là khung {gna mb}

€ĩã,

trong đó gna,mb{t) = e27ĩimbtg(t - na) vdi a, b e K.
Khung Gabor có tính chất là khung đối ngẫu của nó cũng là một khung
Gabor. Do khung Gabor đóng vai trò quan trọng trong xử lí tín hiệu và
truyền thông kỹ th u ật số nên được nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên
cứu. Một trong những vấn đề được quan tâm là xấp xỉ khung Gabor đối
ngẫu.
Do tính ứng dụng cao của khung Gabor nên dưới sự hướng dẫn của cô
giáo TS. Nguyễn Quỳnh Nga, tôi quyết định chọn nghiên cứu đề tài “Xấp
xỉ khung Gabor đối ngẫu” để thực hiện luận văn tốt nghiệp.

2. M ụ c đích n gh iên cứu
Đề tài nhằm nghiên cứu, trình bày về xấp xỉ khung Gabor đối ngẫu.

3. N h iệm vụ n gh iên cứu
Tìm hiểu, trình bày về khung Gabor trong L 2(R), phương pháp lát cắt
hữu hạn, xấp xỉ khung Gabor đối ngẫu.

4. Đ ố i tư ợ n g và p h ạm vi n gh iên cứu
Đối tượng nghiên cứu: khung Gabor, xấp xỉ khung Gabor đối ngẫu.
Phạm vi nghiên cứu: các kiến thức liên quan đến xấp xỉ khung Gabor
đối ngẫu.

5

5. P h ư ơ n g pháp n gh iên cứu
Sử dụng các kiến thức của giải tích hàm và giải tích Fourier để nghiên
cứu vấn đề.
Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất về khung Gabor,
xấp xỉ khung Gabor đối ngẫu.

6. D ự kiến đ ó n g góp củ a luận văn
Trình bày một cách có hệ thống và chi tiết về xấp xỉ khung Gabor đối
ngẫu.


6

Chương 1
K iến thứ c chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại một vài khái niệm, kết quả cơ
bản sẽ dùng trong chương sau. Các kết quả này được tham khảo từ các
tài liệu [2], [4], [8].

1.1

Toán tử tu y ế n tín h bị chặn trên k h ôn g gian
H ilb ert

Toán tử tuyến tính T từ không gian Hilbert H vào không gian Hilbert
K là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn, nghĩa là, tồn tại hằng số c > 0 sao
cho
||Ta;|| < c

| | í e ||

, với mọi X € H.

(1.1)

Ký hiệu B ( H , K ) là tập tấ t cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ H vào
K . Khi H = K thì B ( H , K ) được ký hiệu đơn giản là B ( H ) .
Chuẩn của T € B ( H , K ) được định nghĩa là hằng số c nhỏ nhất thỏa
mãn (1.1). Nói một cách tương đương,
||T|| = sup{||Ta:|| : X € H, ||a;|| < 1}
= sup {||Ta;|| : a; € i l , || íe|| = 1} .
M ệ n h đ ề 1 .1 .1 . Giả sử H , L, K là các không gian Hilbert. Nếu T €


7

B ( H , K ) thì tồn tại duy nhất một phần tử T* G B ( K , H ) sao cho
(T*x, y ) = (X, T y ) , ( x e K , y e H )
Hơn nữa,
i) (a S + b T Ỵ = ãS* + bT*.
li) (R S Ỵ = S*R *.
Ill) ( T * y = T.
iv) T = I.
v) Nếu T khả nghịch thì T* cũng khả nghịch và (T _1)* = (X1*) 1, trong
đó S , T G B ( H , K ) , R G B ( K , L) và a, h G c.
Toán tử T* ở Mệnh đề 1.1.1 được gọi là toán tử liên hợp của toán tử T.
M ệ n h đề 1.1.2. Giả sử T G B ( H , K ) và s G B ( K , L ) . Khi đó
i) ||Tæ|| < ||T|| ||æ|| ,Væ G H .

Il) ||ST|| < II5II ||T||.
iii) ||T|| = \\T* Il.
iv) IlTT* Il = ||T ||2.
Cho T G B ( H ) . T được gọi là toán tử tự liên hợp nếu T* = T , là
unita nếu T*T = TT* = I. T được gọi là chuẩn tắc nếu T*T = TT*.
T được gọi là dương (ký hiệu T > 0) nếu (T x , x ) > 0 với mọi X G H.
T, K G B ( H ) , T > K nếu T — K > 0. T được gọi là xác định dương nếu
tồn tại M > 0 sao cho (T x , x ) > M ||æ ||2, Væ G H.
Chú ý rằng với mỗi T G B ( H ) thì ( T * T x , x ) = ( T x , T x ) > 0 với mọi
X G H . Do đó T * T là dương.
M ệ n h đề 1.1.3. Giả sử T G B ( H ) . Khi đó
i) T là tự liên hợp nếu và chỉ nếu ( T x , x ) là thực với mọi X G H . Dặc
biệt, toán tứ dương là tự liên hợp.


8

il) T là unita nếu và chỉ nếu T là ánh xạ bảo toàn chuẩn (hay tương
đương là bảo toàn tích vô hướng) từ H lên H .
iii) T là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu \\Tx\\ = ||T*æ|| với mọi X G H .
M ệ n h đề 1.1.4. Giả sư T Ç 5

. ỉ£h% đo cac đìcu sau đay la tương

đương
i) T là dương.
ii) T = s 2 trong đó s là toán tứ dương,
ni) T = v * v trong đó V E B ( H ) .
Toán tử s trong ii), là duy nhất và được gọi là căn bậc hai của T, ký
hiệu là Ta.

M ệ n h đề 1.1.5. Nếu U G B ( H ) là toán tử tự liên hợp thì \\Ư\\ =
sup \ ( ư f , f ) \ .
11/ 11=1

1.2

Toán tử giả ngh ịch đảo

Chúng ta thường mong muốn tìm một dạng nghịch đảo cho một toán
tử mà không phải là khả nghịch theo nghĩa hẹp. Bổ đề dưới đây đưa ra
một điều kiện để đảm bảo sự tồn tại của một nghịch đảo phải.
B ổ đề 1 .2 .1 . Cho H, K là các không gian Hilbert, và giả sử rằng u : K —>
H là một toán tứ bị chặn với miền giá trị đóng R ự . Khi đó tồn tại một
toán tử bị chặn

: H —> K mà
í/c/t/ = /, V / Ẽ f l ơ .

C h ứ ng m inh. Xét hạn chế của u trên phần bù trực giao của hạt nhân
của u , tức là
Ĩĩ := UịNỞ : Nụ —> H.
Mvu


9

Rõ ràng ư là tuyến tính và bị chặn, ư cũng là đơn ánh: nếu ư X = 0, theo
đó X G Nụ n N ụ = {0}. Bây giò ta chứng minh rằng miền giá trị của ư
bằng với miền giá trị của ư . Cho y G R u , tồn tại X £ K sao cho ư x = y.
Bởi X = X\ + X 2, trong đó X\ G N ụ , Xi G N ụ , ta có được

ư Xị = Ux\ = ư ( x \ + X 2) = ư x = y.
Mà ư có một nghịch đảo bị chặn
{ư)

'■R u

*Ny .

~ -1
Thác triển ([/)
bằng cách cho bằng 0 trên phần bù trực giao của Ru
ta có được một toán tử bị chặn ư ĩ : H —Ï K mà ư ư ^ Ị = / với mọi
/ € Ru-

□

Toán tử 171 được xây dựng trong chứng minh Bổ đề 1.2.1 được gọi là
giả nghịch đảo của ư . Trong các tài liệu ta thường thấy giả nghịch đảo
của một toán tử ư với miền giá trị đóng R u được định nghĩa là toán tử
duy nhất thỏa mãn
N„, = R ị , R u< = N ¿ và U W f = f , V /

e

Rb.

định nghĩa này tương đương với việc xây dựng trên. Bổ đề sau cho ta một
số tính chất của [/1 và mối quan hệ của nó với u .
B ổ đ ề 1 .2 .2 . Cho u : K —> H là một toán tử bị chặn với miền giá trị
đóng. Khi đó

í) Phép chiếu trực giao của H lên R u được cho bởi [/[/1.
ii) Phép chiếu trực giao của K lên R u t được cho bởi [/![/.
iii) u có miền giá trị đóng, và ( u*y = ([/!)*.
iv) Trên R u , toán tử [/1 được cho rõ ràng bởi

w = u*{uu*)-\


10

1.3

P h ép b iến đ ổi Fourier và p h ép b iến đ ổi Fourier
th ờ i gian ngắn

Cho / G L ^ K ), biến đổi Fourier / được định nghĩa bởi
00

f W e - ^ d x , 7 SK

/ ( 7 ):= j
—

00

Ta cũng thường ký hiệu biến đổi Fourier của / là T Ị .
Nếu L ^ K ) n L 2(K) được trang bị chuẩn L 2(K), b iến đổi Fourier là một
phép đẳng cự từ L ^M )

n

L 2(M) đến L 2(K). Nếu / G L 2(K) và

là

một dãy của các hàm trong L ^ K ) n L 2(K) và hội tụ đến / trong không
gian L 2(K), thì dãy | / f c |
độc lập với lựa chọn của

cũng hội tụ trong L 2(K), với một giới hạn
Định nghĩa
/ := lim /fc
fc —f 00

Ta có thể mở rộng biến đổi Fourier thành một ánh xạ unita từ L 2(K)
lên L 2(K). Ta sẽ dùng ký hiệu tương tự để ký hiệu mở rộng này. Đặc biệt
ta có đẳng thức Plancherel
( / , 9 ) = (f, 9 ) , V/, g G L 2(R), và

/

/

( 1 .2 )

Bây giờ ta sẽ tìm hiểu động cơ thúc đẩy sự xuất hiện phép biến đổi
Fourier thời gian ngắn. Cho tín hiệu f ( x) , biến số X thường được giải
thích như thời gian, và biến đổi Fourier / ( 7 ) cung cấp thông tin về độ dao
động với tần số 7 . Trong thực tế xuất hiện vấn đề là thông tin thời gian
bị mất trong biến đổi Fourier, nghĩa là, không có thông tin về tần số nào

xuất hiện ở thời gian nào. Một cách để vượt qua khó khăn này là "xem
xét tín hiệu ở khoảng thời gian ngắn và lấy biến đổi Fourier ở đây". Phát
biểu này có nghĩa toán học là ta nhân tín hiệu / với hàm cửa số g, là hằng
số trên khoảng bé, và giảm nhanh, trơn và bằng 0 ngoài khoảng nhỏ này;


11

bằng cách lấy biến đổi Fourier của tích số này, ta có được ý tưởng về tần
số của / trong khoảng thòi gian nhỏ. Để có thông tin về / trên toàn bộ
trục thòi gian ta lặp quá trình với phép tịnh tiến của hàm cửa sổ.
Từ đó ta có định nghĩa của biến đổi Fourier thòi gian ngắn, cũng được
gọi là biến đổi Gabor liên tục.
Đ ị n h n g h ĩa 1.3.1. Cố định hàm g G L 2(K )\{ 0 } . Phép b iến đổi Fourier
thòi gian ngắn của một hàm / G L 2(K) tương ứng với hàm cửa sổ g được
tính bằng cách lấy

J

00

v s ( /) (y , 7 ) =
—

f { x ) g { x - y)e ~2nixldx, y , j G R.

00

Chú ý nếu viết theo toán tử biến điệu và toán tử tịnh tiến thì

v ,( /) ( y , 7) = ư , E , T , a ) .
trong đó Ta : L 2(K) —> L 2(K), (Taf ) ( x ) := f { x — à) được gọi là toán tử
tịnh tiến và E b : L 2(K) —> L 2(K), (E bf ) ( x ) := e27ĩibxf ( x ) được gọi là toán
tử biến điệu.

1.4

K h u n g và cơ sở R iesz tro n g k h ôn g gian H ilb ert

Trong nghiên cứu không gian vectơ, một trong những khái niệm quan
trọng nhất là cơ sở, cho phép biểu diễn mỗi phần tử ở trong không gian
như một tổ hợp tuyến tính của các thành phần trong cơ sở. Tuy nhiên
điều kiện là cơ sở rất hạn chế - không cho phép sự phụ thuộc tuyến tính
giữa các thành phần và đôi khi chúng ta yêu cầu các thành phần trực giao
tương ứng với một tích vô hướng. Điều này làm cho khó tìm hoặc thậm
chí không thể tìm thấy cơ sở đáp ứng điều kiện bổ sung và đây là lý do
người ta muốn tìm một công cụ linh hoạt hơn.


12

Khung là công cụ như vậy. Một khung cho một không gian vectơ được
trang bị một tích vô hướng cũng cho phép mỗi phần tử trong không gian
được viết như là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong khung,
nhưng tính độc lập tuyến tính giữa các phần tử của khung là không cần
thiết.
Cho H là một không gian Hilbert khả ly, với tích vô hướng

.) tuyến

tính theo thành phần thứ nhất, tuyến tính liên hợp theo thành phần thứ
hai.
Đ ị n h n g h ĩ a 1.4.1. Dãy

trong H được gọi là dãy Bessel nếu
00

i ư > / i )|2 < B ll/ll2 , V / € H,

3-B >
i=1
B được gọi là cận Bessel của
Một dãy Bessel của

là một khung nếu
00

3 A > 0 : A ||/ r < £ K / , / . > l 2, v / e f f .
Í=1
Vậy ta có định nghĩa khung như sau:
Đ ị n h n g h ĩ a 1.4.2. Một dãy { / 1}°°! trong H là một khung nếu tồn tại
hai hằng

S O 0 < A < B < O Q

sao cho

00

A \ \ f \ \ 1 < ỵ , \ U J , ) \ 2 < B \ \ f \ \ 2 , V / e H.

i =1
Các số A , B được gọi là các cận của khung. Chúng không là duy nhất.
Cận khung dưới tối ưu là supremum trên tấ t cả các cận khung dưới và cận
khung trên tối ưu là infimum trên tấ t cả các cận khung trên. Chú ý rằng
các cận khung tối ưu là các cận khung thực sự.
Khung { / 1}°°! được gọi là chặt nếu A = B và được gọi là khung Parseval
nếu A = B = 1 .


13

M ệ n h đ ề 1.4.1. Cho một dãy
chiều V. Khi đó

trong không gian Hilbert hữu hạn

là một khung cho span

C h ứ n g m in h . Ta có thể giả sử rằng không phải tấ t cả các f j đều bằng
m
không. Như vậy ta thấy, điều kiện khung trên thỏa mãn với B =
\\fj\\ .
¿=1
Bây giò lấy w := span
và xem xét ánh xạ liên tục
m


R, $ (/) := E

-y

lư. fi)l2 ■

¿=1
Mặt cầu đơn vị trong w là compact, vì vậy ta có thể tìm g G w với
<7II = 1 sao cho
m

m
A ~ ỵ , \ { 9 , f i ) \ 2 = i n f { £ | ( / , / j )|2
j=l
j=l

ll/ll = 1

Rõ ràng là A > 0. Bây giò ta lấy / G w, f Ỷ 0)
m

m

Ẻ

£lơ./i)l2=
3=1
j=l

Ị

r

V

(ìĩT ĩĩ./i)
11/11

2

| / | | 2 > Al l / l l 2

□

Mệnh đề được chứng minh.

H ệ q u ả 1.4.1. Một họ các phần tứ { f j } m=1 trong V là một khung của V
khi và chỉ khi span { f j } m=1 = V.
Hệ quả trên chỉ ra một khung có thể có số phần tử nhiều hơn số phần tử
cần thiết để là cơ sở. Đặc biệt, nếu { f j } k=ì là một khung của V và { g j } m=ì
là một tập hữu hạn tùy ý các vec tơ trong V thì { f j } k=ì

u

cũng

là một khung của V.

t
w
, 'y/3 l V

f ự 3 -1
V í d ụ 1.4.1. Lấy H = R 2, d = (0,1) , e2 = 1 -y -,
, e3 = í -y -, - J
{ e i,e 2,e 3} là một khung chặt với cận khung là —.
2


14

T hật vậy, với X = (xi, Xĩ)7 G H bất kì ta có

\{x ^ i ) \ 2 = x ỉ

+

+

2 X2)

+ ( ^ æi - 2 ^ )

3 / 1
n,
= 2 K + x 2)
-

æ

2 11 1

V í dụ 1.4.2. Giả sử {ejfc}^°=1 là một cơ sở trực chuẩn của H.
i) {efc}^°=1 là một khung Parseval.
ii) Bằng cách lặp mỗi phần tử trong dãy {ơfc}^°=1 hai lần ta thu được
{/fc}fc°=1 = {eij eh e 2, Ơ2, ■■■} khi đó {/fc} “=1 là khung chặt với cận khung
A=2.
T hật vậy, ta có
00

00

lơ, A>r =

£
k= 1

lơ,e*>r = 2 II/II2 ,v/

2 £

e H.

fc=l

Nếu chỉ d được lặp lại ta thu được {/fc}^! = {ei, e2, e2, ■■■} khi đó
{/fc}fc°=i là khung với cận A = 1, B = 2. T hật vậy, ta có
00

00

£ lơ , / ơ |2 = lơ,e,}|2 + £ lơ ,e <,)|2

fc=l

fc=l
00

00

< £ l ơ , e t >|2 + £ K / , e t )|2
fc=l

fc=l

00

= 2 £ l ơ , e t >|2
fc=l

= 2 ||/||2.
Mặt khác,
00

00

K/ , ei >| 2 + £ l ơ , e t >|2 > £ | ( / , e t >|2 = | | / | | 2 .
fc = l

fc = l


15

Do đó
00

l l / i r < £ l ơ , A } l 2 <2||/l|2,V / e i / .
fc= l

Vì vậy

là một khung với cận khung dưới là 1 và một cận khung

trên là 2 .
r^ io o
/ 1
1
1
1
1
1
iii) Giả sử I /fc}r=i := ị e u ~ ^ e 2, ụ ^ e 2, ụ ^ e 3, ụ ^ e 3, ụ ^ e 3, . . . Ị , nghĩa

1

v

là {fk)k L i là dãy mà mỗi véc tơ ự=efc được lặp lại k lần.
Khi đó với mỗi / G H có
00

k= 1

00

K/>/fc)|2 =

/

*1

\

k \ f ’ /rek)

fc=i

'

l/ll2 -

'

v/c

Vì thế {/fc} là một khung chặt của H với cận khung là Ả = 1.
V í dụ 1.4.3. Cho K = L 2 (T ) trong đó T là đưòng tròn đơn vị với độ đo
Lebesgue chuẩn hóa. Khi đó {e ins : n G z} là một cơ sở trực chuẩn tiêu
chuẩn cho K = L 2 (T). Nếu E là tập đo được bất kì thì {eins IE' n G z}
là một khung Parseval cho L 2 (E ).
T hật vây, trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:
B ổ đ ề 1.4.1. Cho H là không gian Hilbert và K là không gian con đóng

của H . Gọi p là phép chiếu trực giao từ H lên K và {eị}ieI là một cơ sở
trực chuẩn của H . Khi đó { P e ị } eI là một khung Parseval của K .
C h ứ n g m in h . Gọi / là phần tử thuộc K bất kì. Khi đó P f = f .
Ta có E \ ( f , P e i ) I2 = E I( p / ; eî) |2 = E \ ( f , e i ) \ 2 = \\f\\2.
iel
iel
iel
Do đó { P e i } eI là một khung Parseval của K .
Bây giờ ta sẽ chứng minh { e ins \e ' n G z
L 2 (E ).

}

□

là một khung Parseval cho


16

Cho

f e v (E).

D p

m

=

{

Khi đó / (í) E L 2 (E ) . Do đó bằng cách đồng nhất / và / ta có thể
coi L 2 (E ) là một không gian con đóng của L 2 (T ). Gọi p là phép chiếu
trực giao từ L 2 (T ) lên L 2 (E ). Khi đó p (eins) = eins IE- Do {eins}
cơ sở trực chuẩn của L 2 (T ) nên theo Bổ đề 1.4.1, {eins I#}

z là

z là khung

Parseval cho L 2 (E ).
Đ ị n h n g h ĩa 1.4.3. Dãy

được gọi là đầy đủ trong H nếu

spãn{/fc}r=i = H B ổ đ ề 1.4.2. Nếu

là một khung của H thì

là một dãy

đầy đủ trong H .
C h ứ n g m in h . Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử g Ỷ 0 thuộc H
sao cho £ l s p ã h { / fc}“=1. Khi đó (g, fk) = 0, Vfc. Khi đó Ễ \(g, /fc)|2 = 0.
fc=i
Mặt khác, do {/fc} là một khung nên tồn tại 0 < A < +00 sao cho A ||/||2 <
Ễ \ { f , f k ) \ 2, V / G H. Cho / = g ta được A\\g\\2 < Ễ \{g,fk) |2 = 0. Do
fc=i
fc=i

g Ỷ 0 nên A = 0. Mâu thuẫn trên chứng tỏ span { f k } ^ =1 = H .
□
Định lý sau cho ta một đặc trưng của dãy Bessel thông qua toán tử tổng
hợp T.
Đ ị n h lý 1.4.1. Giả sử

là một dãy trong H . Khi đó

là

một dãy Bessel với cận Bessel B khi và chỉ khi
00

T '■

ckfk
k=1

là toán tử hoàn toàn xác định, tuyến tính, bị chặn từ l2 (N) vào H và
\\T\\ < Ự b .
C h ứ n g m in h . Trước hết, giả thiết

là dãy Bessel với cận Bessel B.

Giả sử {cfc}“ 1 G l2 (N). Ta phải chỉ ra T {Cfc}^°=1 là hoàn toàn xác định,


17

00

tức là J2 ckfk là hội tụ. Xét m , n G N, n > ra. Khi đó
fc=i
n
^ ^ Ckỉk

m
^ ^ Cfc/fc

fc=l

fc=l

71

^ ^ Ckỉk
k=m+ 1
n
sup
^ ! ckfkì
llsll-1
kfc=m+ 1

X

< sup

ICk i f k , g ) I

l®ll — fc= m + l

1
2

< (

lcfc|2)

'fc = m + l

<

(

SUP

'

Y1

'fc=m+ 1

llsll- 1

k=m+ 1

lơ*>$)l

Icfci2

Do {cfc}~=1 G l 2 (N), ta biết rằng I XI |cfc|2 Ị
là dãy Cauchy trong c.
U =1
J fc=i
f n
1 00
Tính toán trên chỉ ra rằng ị Ỵ2 Ckfk f
là một dãy Cauchy trong H và
U =1
J fc=i
do đó hội tụ. Vậy T {Cfc}^°=1 là hoàn toàn xác định. Rõ ràng T là tuyến
tính. Từ

llT {*}?= ! II = sup I(T {ck}™= ì ,g)\ ,
l l sl l =i

tính toán trên chỉ ra T bị chặn và ||T|| < \ / B . Để chứng minh điều ngược
lại, giả sử T là hoàn toàn xác định và
T\\ < V

b

,

khi đó
00

E
i(/.W
I2

<||T
||2
||/||2
,V
ÍEỈ
fc=o
chỉ ra { f k i ^ i là dãy Bessel với cận Bessel B.

□


18

00

H ệ quả 1.4.2. Nếu {/fc}^! là một dãy trong H và

ckfk hội tụ với mọi
k=1

{ck} t i G l2 (N) thì

là một dãy Bessel.
00

H ệ quả 1.4.3. Nếu

là một dãy Bessel trong H , thì

Ckfk hội

k= 1

tụ không điều kiện với mọi {Cfc}^°=1 G l2 (N).
Do một khung { f k } ^ =i là một dãy Bessel nên toán tử

T : i 2 (NM - f f . T f e } “
fc=l

bị chặn bởi Định lý 1.4.1. T được gọi là toán tử tổng hợp. Gọi T* : H —»■
l2 (N) là toán tử liên hợp của T. Theo định nghĩa của toán tử liên hợp thì
với mọi j ta có

T f , e i ) = U, Te¡) = {ỉ, ¡i).
Từ đó T* f = { ( /,

T* được gọi là toán tử phân tích. Hợp thành

của T và T* được gọi là toán tử khung
00

S : H ^ H , Sf = TT'f = J 2 ư , h ) f k k=1
BỔ đề 1.4.3. Giả sử

là một khung với toán tứ khung s với các

cận khung A, B . Khi đó ta có các khẳng định sau
i) s bị chặn, khả nghịch, tự liên hợp và là toán tứ dương.
ii) { s -1 f k}^_ì là khung với các cận B ~ l , A ~ l . Nếu A , B là các cận tối
ưu của

thì các cận B ~ l , A ~ l là tối ưu của

{*S'- 1 / f c } ^ 1 .

Toán tứ

khung của {£'- 1/fc} ^ 1 là S'- 1 .
Khung { s ~ 1fk} được gọi là khung đối ngẫu của {/fc}.
Khai triển khung dưới đây là một trong những kết quả về khung quan
trọng nhất. Nó chỉ ra rằng nếu {/fc} là một khung của H thì mọi phần tử
trong H có thể biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính vô hạn của các phần
tử khung. Do đó ta có thể xem khung như một dạng cơ sở suy rộng.


19

Đ ịn h lý 1.4.2. Giả sử { /fc } ^ i là một khung với toán tử khung là s . Khi
đó

00

f = 'E(ỉ,S-ỉh)h, v/e JÏ,
k=1

chuỗi hội tụ không điều kiện với mọi f G H.
C h ứ n g m inh. Giả sử f ç. H . Sử dụng các tính chất của toán tử khung
trong Bổ đề 1.4.3 ta có
00

/ =

00

s s - 'f = ỵ , ( 5 - 1/, fi) fi = E i= 1

Do

fi, V / g H.

i=1

là một dãy Bessel và { ( / , »S'_ 1/fc)}^°=1 E l2 (N), theo Hệ quả

1.4.3, chuỗi hội tụ vô điều kiện.

□

Gọi F, F là các toán tử phân tích tương ứng của khung {/*.} và {S'-1 /*;}.
Khi đó ta có mối liên hệ giữa các toán tử như sau:
M ệ n h đề 1.4.2. F = F(F*F)~1, F*F = ( F * F ) - \ F * F = I d = F* F và

FF* = FF* là phép chiếu trực giao từ l2(N) lên R(F) = R(F).
Định lý sau cho ta đặc trưng của khung thông qua toán tử tổng hợp của
nó.
Đ ịn h lý 1.4.3. Một dãy

trong H là khung của H khi và chỉ khi
00

T : {cfc}fc°=i

cfc/fc

k=1

là ánh xạ hoàn toàn xác định tuyến tính, liên tục từ l2 (N) lên H.
Nếu

là một dãy Bessel thì ta có thể lấy hợp thành của các toán

tử bị chặn T* và T để được toán tử bị chặn
T ' T : /2(N) -> /2(N), T T {<*}”_, = Ị

c,/ , , / * } Ị

.
fc=l


20

Gọi {ejfc}^°=1 là cơ sở trực chuẩn chính tắc của /2(N). Khi đó thành phần
thứ j k của ma trận biểu diễn của T * T là
(T*Tek, ẽj) = ( T e k , T e j ) = (fk, f j ) .
Bằng cách đồng nhất T * T với ma trận biểu diễn của nó, ta viết T * T =
{(h, m z = y
Ma trận {{fkì fj)}°°k=i được gọi là ma trận Gram liên kết với
Theo phần trên, ma trận Gram xác định một toán tử bị chặn trên /2(N)
khi

là một dãy Bessel, về m ặt nguyên lý, ta có thể xem xét ma

trận Gram liên kết với bất kỳ dãy

nào trong H nhưng nếu chúng

ta muốn nó xác định một toán tử bị chặn trên /2(N) thì ta không thể bỏ
qua điều kiện Bessel.
B ổ đ ề 1.4.4. Cho dãy

trong H . Khi đó các phát biểu sau là tương

đương
i)

là dãy Bessel với cận là B.

ii) Ma trận Gram liên kết với { f k } (k=i xác định một toán tử bị chặn trên
l2(N) với chuẩn nhiều nhất là B .
Đ ị n h n g h ĩa 1.4.4. Một cơ sở Riesz trong H là một họ có dạng {Ưek}^=1,
trong đó {efc}^°=1 là một cơ sở trực chuẩn của H và u : H —> H là một
toán tử tuyến tính song ánh bị chặn.
Đ ị n h lý 1.4.4. Nếu

là một cơ sở Riesz của H thì tồn tại duy nhất

một dãy { g ^ ^ i trong H sao cho
00

/ = E ơ,sO A ,V /eH ,
fc=l

(1.3)

{S'fclfcL1 cũng là một cơ sở Riesz và {/fclfc'Lpis'fcj'fc'Ll là song trực giao, tức
là
/f
\ — Ẫ — / 1 khi j = k
\Jji9k)
j,k
ị 0 khi j 7^ k.


21

Hơn nữa chuỗi (1.3) hội tụ vô điều kiện với mọi f G H .
C h ứ n g m in h . Theo định nghĩa ta viết

= { ư e k } ^ =1, ư là toán tử

tuyến tính song ánh bị chặn và {efc}^°=1 là một cơ sở trực chuẩn. Giả sử
/ G H , khai triển í / -1 / trong cơ sở trực chuẩn {efc}^°=1 ta có
00

u -'f = £

< a - 1/ , e * ) e t = £

k= 1
Đặt Ọk '■= (ư ~ l Ỵ e k . Ta có
00

00

/ = t / t r 1/ = £ ( / , ( U ^ Ỵ e ^ U e , = £ ( f , g t ) f t .
k= 1
fc=l
Do (!7-1 )* là tuyến tính song ánh, bị chặn,

là một cơ sở Riesz theo

định nghĩa. Cho / G H,
00

£

00

k/

, a >I2 = £

fc=l

k/

, ^ I:>|2 = \\U'f\\2 < ||ư*||2 . | | / | | 2 = || ư ||2 . | | / | | 2 .

fc=l

(1.4)
Điều này chứng tỏ một cơ sở Riesz là một dãy Bessel, từ đó chuỗi (1.3)
hội tụ vô điều kiện theo Hệ quả 1.4.3. Theo (1.3) ta có
00

ỉó=

(Ĩh9k) fkk=1

Do tính duy nhất của biểu diễn ta suy ra (f j , g k ) = ỗj fc. Giả sử tồn tại
một dãy

khác sao cho
00

/ = £ ơ ,M A ,
fc= l

Lấy (1.3) trừ đi (1.5) ta được
00

0 = £ ( f , 9 k - hk) /fc.
fc=i
Do đó

(1.5)

22

ự , 9k - h k) = 0, Vfc.

□

Do f & H ỉầ tùy ý nên <7fc — hk = 0 vậy <7fc = hkM ệ n h đ ề 1.4.3. Nếu {/fc}fcli =

là một cơ sở Riesz của H thì

tồn tại các hằng số A, B > 0 sao cho
00

¿||/||2< E

\ ( f , h ) \ 2
v / s ií.

fc=l

Giá trị lớn nhất có thể của hằng số Ả là

và nhỏ nhất có thể của
\ư-

B là \\ư\r .
C h ứ n g m in h . Một cơ sở Riesz

là một dãy Bessel với cận trên

tối ưu \\ư\\2 suy ra từ đánh giá (1.4). Kết quả cận dưới kéo theo từ

/11=

(¡y*)-1[ / 7

<

( ư*)I—
- 11 . \\u*f\\ = ||f /- 1| | . \\ư*f\\.

□
Định lý sau cho ta các điều kiện tương đương để {/fc}fcli là một cơ sở
Riesz.
Đ ị n h lý 1.4.5. Cho một dãy

trong H , các điều kiện sau là tương

đương:
i) {/fc}fc°=i là một cơ sở Riesz của H .
a)

{/f c}f c°=i

dầy đủ trong H , và tồn tại các hằng số A, B >

với mỗi dãy hưu hạn

{Cfc}

0

sao cho

có:

AJ2 M 2<

^ ' Ckfk

<

b

£

m

2-

( 1 ,6 )

Hi) {/fc}fc°=i là dãy Bessel đầy đủ và nó có dãy song trực giao đầy đủ
{ỡfc}fc°=1 cũng là một dãy Bessel.
iv)

{/fc}fc°=i dầy đủ và ma trận Gram của nó {(/fc, / j )}°°fc=1 xàc định một

toán tử khả nghịch bị chặn trên /2(N).