ÔN LUYỆN LƯỢNG GIÁC

ÔN LUYỆN LƯỢNG GIÁC
Phần 1: Các công thức lượng giác
1.Công thức lượng giác cơ bản:
•
•
•
•
•
•

-1 sinx 1
-1cosx 1
2
2
sin x + cos x = 1
tanx =
cotx =
tanxcotx = 1
1+ tan2x =
1 +cot2x =

2. Công thức nhân đôi:
•
•

•

sin2x = 2sinxcosx
cos2x = cos2x – sin2x
= 2cos2x – 1
= 1 - 2sin2x

tan2x =

3. Công thức nhân ba:
•
•

sin3x = 3sinx – 4sin3x
cos3x = 4cos3x – 3cosx

4. Công thức hạ bậc:
•
•
•

sin2x =
cos2x =
tan2x =

5. Công thức cộng:
•
•

sin(x + y) = sinxcosy + cosxsiny
sin(x – y) = sinxcosy – cosxsiny


•
•
•
•

cos(x + y) = cosxcosy – sinxsiny
cos(x – y) = cosxcosy + sinxsiny
tan(x + y) =
tan(x – y) =

6. Công thức biến đổi tổng thành tích :
•
•
•
•
7. Công thức biến đổi tích thành tổng :
•
•
•
•

cosxcosy =
sinxsiny =
sinxcosy =
cosxsiny =

8. Một số công thức đặc biệt:
•

sin4x +cos4x = 1 - sin22x

Chứng minh:
Ta có:
VT = sin4x + cos4x = (sin2x)2 + (cos2x)2

= (sin2x)2 + 2sin2xcos2x+ (cos2x)2 – 2sin2xcos2x
= (sin2x + cos2x)2 – 2sin2xcos2x
= 1- sin22x = VP (đpcm)
•

sin4x – cos4x = - cos2x

Chứng minh :


Ta có :
VT = sin4x – cos4x = (sin2x)2 - (cos2x)2
= (sin2x +cos2x)(sin2x – cos2x)
= - cos2x = VP (đpcm)
•

sin6x + cos6x = 1- sin22x

Chứng minh :
Ta có :
VT = sin6x + cos6x = (sin2x)3 +(cos2x)3
= (sin2x + cos2x)(sin4x – sin2xcos2x – cos4x)
= 1 - sin22x - sin22x
= 1 - sin22x = VP (đpcm)
•
•

1 – sin2x = (cosx – sinx)2
1 + sin2x = (cosx + sinx)2

Phần 2: Phương trình lượng giác
1.

Phương trình lượng giác cơ bản:
a) Phương trình sinx = m
• Nếu m [-1; 1] : pt vô nghiệm
• Nếu m [-1; 1] : pt có nghiệm
+ m = sin thì sinx = sin

x = +k2
x = - +k2

+ m sin thì sinx = m
x = arcsinm + k2

(k z)


x = - arcsinm + k2
b)

Phương trình cosx = m
• Nếu m [-1; 1] : pt vô nghiệm
• Nếu m [-1; 1] : pt có nghiệm
+ m = cos thì cosx = cos x = +k2
x = - +k2
+ m cos thì cosx = m
x = arccosm + k2

(k z)

x = - arccosm + k2
c)

Phương trình tanx = m
Xét pt tanx = m (m R)
TXĐ : D = R\ { +k, k z}
+ m = tan thì tanx = tan x = + k, (k z)
+ m tan thì tanx = m x = arctanm + k

d)

Phương trình cotx = m
Xét pt cotx = m (m R)
TXĐ : D = R\ { k, k z}
+ m = cot thì cotx = cot x = + k, (k z)
+ m cot thì cotx = m x = arccotm + k

2.

Phương trình lượng giác đơn giản:
a) Phương trình bậc nhất
Dạng: asinx + b = 0
acosx + b = 0
(a, b R; a 0)
atanx + b = 0


b)

acotx + b = 0
Giải: Đưa về dạng sinx =
(Tương tự các pt còn lại)
Phương trình bậc hai
Dạng: (1) asin2x + bsinx + c = 0 (a 0)
(2) acos2x + bcosx + c = 0 (a 0)
(3) atan2x + btanx + c = 0 (a 0)
(4) acot2x + bcotx + c = 0 (a 0)
Phương pháp:
(1)
Đặt t = sinx (-1 t 1)
Pttt : at2 + bt + c = 0
(2)

Đặt t = cosx (-1 t 1)

Pttt : at2 + bt + c = 0
(3)

TXĐ : D = R\ { +k, k z}
Đặt t = tanx, t R

Pttt : at2 + bt + c = 0
(4)

TXĐ : D = R\ { k, k z}
Đặt t = cotx, t R

Pttt : at2 + bt + c = 0
c)

Phương trình thuần nhất đối với sinx và cosx
Dạng : asinx + bcosx = c (a2 + b2 0)
Phương pháp:
Pt có nghiệm a2 + b2 c2
Để giải pt chia 2 vế của pt cho
Pt sinx + cosx =
cos (x – ) =
với sin = và cos =


Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx
Dạng : asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d
Phương pháp :
PP1 : + Xét cosx = 0 có thỏa pt hay không
+ Xét cosx 0 chia 2 vế của pt cho cos2x
Ta được pt: atan2x + btanx + c = d(1 + tan2x)
PP2 : Dùng công thức hạ bậc
Pt a + b + c = 0
bsin2x + (c – a)cos2x = - a – c
e) Phương trình đối xứng với sinx và cosx
Dạng : a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0
Phương pháp:
Đặt t = sinx + cosx (- )
sinxcosx =
Pttt : at + b + c = 0
t2 + at + (c - ) = 0
Hàm số lượng giác của các cung(góc) liên kết :
a) Hai góc đối nhau
• cos(- x) = cosx

• sin(- x) = - sinx
• tan(- x) = - tanx
• cot(-x) = - cotx
b) Hai góc bù nhau
• sin( - x) = sinx
• cos( - x) = - cosx
• tan( - x) = - tanx
• cot( - x) = - cotx
c) Hai góc phụ nhau
• sin( - x) = cosx
• cos( - x) = sinx
• tan( - x) = cotx
• cot( - x) = tanx
d)

3.


Hai góc hơn kém nhau
• sin( + x) = cosx
• cos( + x) = - sinx
• tan( + x) = - tanx
• cot( + x) = - cotx
e) Hai góc hơn kém nhau
• sin( + x) = - sinx
• cos( + x) = - cosx
• tan( + x) = tanx
• cot( + x) = cotx
Một số phương trình đặc biệt:
a) Đối với sinx

d)

4.

sinx = 1 x = + k2
• sinx = -1 x = + k2
• sinx = 0 x = k
• sinx = cosu sinx = sin - u)
• sinx = - cosusinx = sin(u - )
Đối với cosx
• cosx =1 x = k
• cosx = -1 x = + k
• cosx = 0 x = + k
• cosx = sinu cosx = cos - u)
• cosx = - sinu cosx = cos + u)
Đối với tanx
• tanx = 1 x = + k
• tanx = - 1 x = + k (x = + k)
• tanx = 0 x = k
• tanx = cotu tanx = tan( - u)
•

b)

c)


•

tanx = - cotu tanx = tan( + u)

Phần 3 : Bài tập củng cố
BT : Giải các phương trình sau
a) cos(x +) + sin(2x - ) = 0
Lời giải : TXĐ : D = R
Ta có : cos(x +) = - sin(2x - )
cos(x +) = cos( + 2x - )
cos(x +) = cos( + 2x)
x + = + 2x + k2
x + = - 2x + k2 (k z)
x=
x = + k (k z)
Vậy pt có 2 họ nghiệm S = { ; + k ;k z}
b) cos3x = sin2x
Lời giải : TXĐ : D = R
Ta có : cos3x = cos( – 2x)
3x = - 2x + k2
3x = + 2x + k2 (k z)
x= +k
x = + k2 (k z)
Vậy pt có 2 họ nghiệm S = { + k ; + k2; k z}
c) tan2x – (1 + )tanx +1 = 0
Lời giải: TXĐ: D =R\ { + k; k z}


Đặt t = tanx , t R
Pttt : t2 – (1 + )t +1 = 0
t=1

tanx = 1

t=
x=

tanx =

= tan

+k
x= +k

(k z)

Vậy pt có 2 họ nghiệm S = { + k; + k; k z}
d) sin2x + cos2x = 1
Lời giải: TXĐ: D = R
Ta có: ( )2 + 12 = 4 > 1 nên chia 2 vế của pt cho 2
Pt sin2x + cos2x =
sin sin2x + cos cos2x = cos
cos ( - 2x ) = cos
- 2x = + k2
- 2x = + k2 (k z)
x= k
x= +k

(k z)

Vậy pt có 2 họ nghiệm S = { k; + k ;k z}
e) 3cos2x – 2sin2x + sin2x = 1
Lời giải: TXĐ: D = R

+ Xét cosx =0 sin2x = 1, thay vào pt ta có 1 =1
Suy ra pt có nghiệm x = + k (k z)
+ Xét cosx 0, chia 2 vế của pt cho cos2x
Pt 3 – 4tanx + tan2x = 1 + tan2x


- 4tanx + 2 = 0
tanx =
x = arctan + k

(k z)

Vậy pt có 2 họ nghiệm S ={ + k; arctan + k; k z}
f) (2 + )(cosx + sinx) – 2sinxcosx – (2 +1) = 0
Lời giải: TXĐ: D =R
Đặt t = sinx + cosx (- )
sinxcosx =
Pttt : (2 + )t – 2 – (2 +1) = 0
t2 - (2 + )t + 2 = 0
t = 2 (loại)
t=
Với t = thì sinx + cosx =
cos(x - ) =
cos(x - ) = 1
x = = + k (k z)
g) 4sinxcos(x - ) + 4sin( + x)cosx
+ 2sin( - x)cos( + x)=1
Lời giải: TXĐ: D = R
Pt 4sinx.sinx – 4sinxcosx – 2cosx(- cosx) =1
4sin2x – 4sinxcosx + 2cos2x =1

+ Xét cosx = 0 sin2x =1, thay vào pt: 4 = 1(vô lí)
Suy ra cosx = 0 không thỏa pt
+ Xét cosx 0, chia 2 vế của pt cho cos2x
Pttt: 4tan2x – 4tanx + 2 = 1 + tan2x
3tan2x – 4tanx + 1 = 0
tanx = 1
x= +k
tanx =
x = arctan + k (k z)
h) cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0


Lời giải: TXĐ: D = R
Pt 4cos3x – 3cosx + 2cos2x – 1 – cosx = 0
4cos3x + 2cos2x – 4cosx – 2 = 0

cosx = 1
cosx = - 1

x = k2
x= +k

cosx =

x= +k